Correction de l'épreuve du Bac S 2016 de Métropole
6 points exercice 1
PARTIE A
1. D'après la formule des probabilités totales, on a :
2.
PARTIE B
1. 
donc

et
Un intervalle de confiance est alors :
2. Comme un intervalle de confiance de confiance est de la forme :
Alors son amplitude est la différence
On veut que

, on résoud l'inéquation, et on trouve n>10 000.
PARTIE C
1.a. =\displaystyle{\int_{0}^{a} f(x)dx)
où a>0 correspond à l'aire comprise entre la courbe, l'axe des
abscisses et les droites
d'équations x=0 et x=a.
b.
c. 
donc par composition,
Donc
2. On veut résoudre
= 0,5 \\ 1-e^{-7\lambda}=0,5 \\ e^{-7\lambda}=0,5 \\ -7\lambda=ln(0,5) \\ \lambda = -\frac{ln(0,5)}{7} \\ \lambda \approx 0,099)
.
3.a. On cherche à calculer
b. Comme il s'agit d'une variable aléatoire à durée de vie sans vieillissement,
c.
Cela signifie que la durée de vie moyenne d'un composant électronique est de 10 ans
environ.
4 points exercice 2
Affirmation 1 : FAUSSE
Ces coordonnées ne peuvent pas être proportionnelles. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.
Donc A, B et C ne sont pas alignés.
Affirmation 2 : VRAIE

engendrent donc le plan P

est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P, c'est donc un vecteur
normal à P
Affirmation 3 : VRAIE
Or le plan (ABC) dont un vecteur normal est
)
admet
pour équation :

.
Ecrivons que ce plan contient le point A(1;2;3) alors on trouve d=1
(EF) coupe le plan (ABC) en M(x;y;z) si et seulement si

soit k=-2. En remplaçant dans le système paramétré de la droite (EF), on trouve M(1;0;1)
De plus, le milieu de [BC] a pour coordonnées
)
soit
)
, et donc
les deux points sont bien confondus.
Affirmation 4 : FAUSSE
\quad \text{ et }\overrightarrow{CD}(3;1;-2))
sont deux vecteurs
non colinéaires.
Or les coordonnées de D ne vérifient pas l'équation du plan (ABC) (car

) donc D n'appartient pas au plan (ABC).
Les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.
5 points exercice 3 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. La solution est x=0
2. La fonction f est dérivable sur

en tant que somme et composée de fonctions
dérivables.
Ainsi
\geq 0)
pour tout

en tant que quotient de nombres positifs.
Et
= 0)
si et seulement si x=1
La dérivée ne s'annule donc qu'en 1 et, pour tout réel on a
\geq 0)
.
La fonction est par conséquent strictement croissante sur

.
Donc
Finalement,
La limite en

est admise.
3.
Et
De plus, la fonction est strictement croissante. Le théorème des valeurs
intermédiaires permet de conclure.
4.a. Cet algorithme fournit le premier entier naturel à partir duquel, pour un A donné
on a
\geq A)
.
b. On a
\approx 99,6)
et
Donc l'algorithme affichera 110.
PARTIE B
1. Initialisation :

donc
La propriété est vraie au rang 0 .
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p :
Donc
or, d'après la question A.3 si
![x\in [0;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in [0;1])
alors
Donc
La propriété est par conséquent vraie au rang p+1.
Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel on a
![u_n\in [0;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_n\in [0;1])
.
2. Pour tout entier naturel n, on a :
Or

donc

donc
Par conséquent
La suite
)
est donc décroissante.
3. La suite
)
est décroissante et minorée par 0 ; elle converge donc.
4. 
vérifie
D'après la question 4.1, on a
5 points exercice 3 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1.a Les nombres x et y sont des entiers relatifs.
)
, or

est un entier relatif, donc

est divisible par 3
b. 
soit

soit
8 n'est pas divisible par 3, et

est divisible par 3.
Cette droite n'admet pas de point à coordonnées entières.
Généralisation
2. 
sont des entiers relatifs
2.a donc

est entier relatif

qui est élément de
Z.
Donc

divise le produit
b. 
divise le produit

et pgcd(p,q)=1, donc
d'après le théorème de Gauss,

divise
3.a q divise n donc

avec r dans
Z
m et n sont premiers entre eux, donc d'après l'égalité de Bezout, il existe deux entiers relatifs
u et -v tels que

soit
3.b
Posons

et

(tous deux entiers) on obtient :

.
4.
On a m=3 ; n=8 ; p=7 ; q=4 Or 4 divise 8, donc d'après ce qui précède, il existe un point de coordonnées entières
sur la droite

. par exemple le point de coordonnées (10;2)
5.a. Si

ne divise pas

alors on ne rentre pas dans la boucle Tant que et l'algorithme s'arrête.
Si

divise

alors d'après la question 3.b. il existe pour tous les entiers relatifs

tels que
pgcd
=pgcd(p,q)=1)
et

divise

un couple d'entiers relatifs
)
tels que

.
On va donc trouver un entier relatif

tel que

est entier.
Cet entier est soit positif, soit négatif.
La boucle Tant que s'arrête si l'une des deux conditions n'est pas vérifiée ce qui, d'après ce qui vient d'être dit, arrivera au moins une fois.
5.b. Cet algorithme permet de trouver un point de

dont les coordonnées sont entières.
5 points exercice 4 Commun à tous les candidats
1.
2. 
. On calcule la dérivée du quotient.
\,'=\dfrac{1}{(\cos x)^2})
qui est toujours strictement positive,
donc la fonction tangente est strictement croissante sur
3.
On remplace par les valeurs trouvées précédemment.
4. 
est maximal lorsque

est maximal,
donc lorsque

est maximal (puisque la fonction tangente est croissante sur l'intervalle étudié)
On remarque que

donc

est maximal lorsque

sera minimale (puisque la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle étudié) .
Etudions les variations de

.
Pour

dans [0 ; 50], cette dérivée s'annule en

, elle est négative
pour

dans
![[0\,;\sqrt{765}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0\,;\sqrt{765}])
et positive dans

est donc minimale pour
On a alors
A la calculatrice, on trouve

rd.