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Sujet corrigé Bac S 2016 Mathématiques métropole

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Remarque : Une erreur a été signalée en cours d'épreuve dans l'algorithme : lire à 5 reprises -\dfrac{P}{Q} à la place de +\dfrac{P}{Q}

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Correction de l'épreuve du Bac S 2016 de Métropole

exercice 1

PARTIE A

1. D'après la formule des probabilités totales, on a :

P(S)=P(S \cap A)+P(S \cap B)=0,4 \times 0,8+0,6\times 0,95=0,89

2. P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(A)}=\frac{0,4\times 0,8}{0,89}\approx 0,36

PARTIE B

1. n=400 \geq 30, f=0,92 donc nf=368 \geq 5 et n(1-f)=32 \geq 5

Un intervalle de confiance est alors : I=[0,92-\frac{1}{\sqrt{400}};0,92+\frac{1}{\sqrt{400}}] \text{ soit }  [0,87\;;\,0,97]

2. Comme un intervalle de confiance de confiance est de la forme : [f-\frac{1}{\sqrt{n}};f+\frac{1}{\sqrt{n}}]

Alors son amplitude est la différence a=f-\frac{1}{\sqrt{n}}-(f+\frac{1}{\sqrt{n}})=\frac{2}{\sqrt{n}}

On veut que \frac{2}{\sqrt{n}}<0,02, on résoud l'inéquation, et on trouve n>10 000.

PARTIE C

1.a. P(T\leq a)=\displaystyle{\int_{0}^{a} f(x)dx où a>0 correspond à l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=0 et x=a.

b. P(T\leq t)=\displaystyle{\int_{0}^{t} f(x)dx=\int_{0}^{t}\lambda e^{-\lambda x}dx=-e^{-\lambda t}-(-1)=1-e^{-\lambda t}

c. \displaystyle{\lim_{t\to+\infty}-\lambda t=-\infty donc par composition, \displaystyle{ \lim_{t\to +\infty}e^{-\lambda t}=0
Donc \displaystyle{\lim_{t\to+\infty}P(T\leq t)=1

2. On veut résoudre

P(t\leq 7)= 0,5 \\ 1-e^{-7\lambda}=0,5 \\ e^{-7\lambda}=0,5 \\ -7\lambda=ln(0,5) \\ \lambda = -\frac{ln(0,5)}{7} \\ \lambda \approx 0,099.

3.a. On cherche à calculer P(T\geq 5)=1-P(T<5)=e^{-0,099\times 5}\approx 0,61

b. Comme il s'agit d'une variable aléatoire à durée de vie sans vieillissement,

P_{T\geq 2}(T\geq 7)=P_{T\geq 2}(T\geq 5+2)=P}(T\geq 5)\approx 0,61


c. E(T)=\frac{1}{0,099}\approx 10
Cela signifie que la durée de vie moyenne d'un composant électronique est de 10 ans environ.



exercice 2


Affirmation 1 : FAUSSE

\overrightarrow{AB}(2;-2;-2)\quad \overrightarrow{AC}(-2;-2;-2)

Ces coordonnées ne peuvent pas être proportionnelles. Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Donc A, B et C ne sont pas alignés.

Affirmation 2 : VRAIE
\overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{AC} engendrent donc le plan P

\overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}=0-2+2=0\text{ et } \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=0-2+2=0

\overrightarrow{n} est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P, c'est donc un vecteur normal à P

Affirmation 3 : VRAIE
M(x;y;z)\in (EF)\Leftrightarrow \overrightarrow{EM}=\k\overrightarrow{EF}\text{ avec }k\in \textbf{ R}\Leftrightarrow \begin{cases} x+1=k(-1)\\y+2=k(-1)\\z-3=k\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=-k-1\\y=-k-2\\z=k+3\end{cases}

Or le plan (ABC) dont un vecteur normal est \overrightarrow{n}(0;1;-1) admet pour équation : 0x+y-z+d=0\text{ avec d réel}.
Ecrivons que ce plan contient le point A(1;2;3) alors on trouve d=1

(EF) coupe le plan (ABC) en M(x;y;z) si et seulement si -k-2-k-3+1=0 soit k=-2. En remplaçant dans le système paramétré de la droite (EF), on trouve M(1;0;1)

De plus, le milieu de [BC] a pour coordonnées (\frac{3-1}{2};\frac{0+0}{2};\frac{1+1}{2}) soit (1;0;1), et donc les deux points sont bien confondus.

Affirmation 4 : FAUSSE

\overrightarrow{AB}(2;-2;-2)\quad \text{ et }\overrightarrow{CD}(3;1;-2) sont deux vecteurs non colinéaires.

Or les coordonnées de D ne vérifient pas l'équation du plan (ABC) (car 1+1+1=3\neq 0 ) donc D n'appartient pas au plan (ABC).

Les droites (AB) et (CD) ne sont pas sécantes.



exercice 3 Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. La solution est x=0

2. La fonction f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que somme et composée de fonctions dérivables.

f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}

Ainsi f'(x)\geq 0 pour tout x en tant que quotient de nombres positifs.

Et f'(x)= 0 si et seulement si x=1

La dérivée ne s'annule donc qu'en 1 et, pour tout réel on a f'(x)\geq 0.

La fonction est par conséquent strictement croissante sur \mathbb{R}.

\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}x=-\infty
\displaystyle{\lim_{x\to-\infty}ln(x^2+1)=+\infty

Donc \displaystyle{\lim_{x\to-\infty}-ln(x^2+1)=-\infty

Finalement, \displaystyle{\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty
La limite en +\infty est admise.

3. f(0)=0
Et f(1)=1-ln(2)<1
De plus, la fonction est strictement croissante. Le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.

4.a. Cet algorithme fournit le premier entier naturel à partir duquel, pour un A donné on a f(x)\geq A.

b. On a f(109)\approx 99,6 et f(110)\approx 100,6
Donc l'algorithme affichera 110.

PARTIE B

1. Initialisation : u_0=1 donc u_0 \in [0;1]
La propriété est vraie au rang 0 .

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang p :

Donc u_ {p+1}=u_p-ln(u_p^2+1)=f(u_p)

or, d'après la question A.3 si x\in [0;1] alors f(x)\in [0;1]

Donc u_{p+1}\in [0;1]

La propriété est par conséquent vraie au rang p+1.

Conclusion : La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel on a u_n\in [0;1].

2. Pour tout entier naturel n, on a : u_{n+1}-u_n=-ln(u_n^2+1)

Or u_n^2\geq 0 donc u_n^2+1\geq 1 donc ln(u_n^2 +1)\geq 0

Par conséquent u_{(n+1)}^2-u_n^2 \leq 0

La suite (u_n) est donc décroissante.

3. La suite (u_n) est décroissante et minorée par 0 ; elle converge donc.

4. l vérifie f(l)=l
D'après la question 4.1, on a l=0

exercice 3 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité


1.a Les nombres x et y sont des entiers relatifs.
15x-12y=3(5x-4y) , or 5x-4y est un entier relatif, donc 15x-12y est divisible par 3

b. y=\frac{5}{4}x-\frac{2}{3} soit 12y=15x-8 soit 15x-12y=8

8 n'est pas divisible par 3, et 15x-12y est divisible par 3.

Cette droite n'admet pas de point à coordonnées entières.

Généralisation


2. n, y_0, m, x_0 sont des entiers relatifs
2.a donc ny_0-mx_0 est entier relatif

ny_0-mx_0=n\frac{m}{n}x_0-\frac{np}{q}-mx_0=-\frac{np}{q} qui est élément de Z.

Donc q divise le produit np

b. q divise le produit np et pgcd(p,q)=1, donc d'après le théorème de Gauss, q divise n

3.a q divise n donc n=qr avec r dans Z

m et n sont premiers entre eux, donc d'après l'égalité de Bezout, il existe deux entiers relatifs u et -v tels que nu-mv=1 soit qru-mv=1

3.b qru-mv=1

-\dfrac{p}{q}\times qru-\dfrac{p}{q}\times mv=-\dfrac{p}{q}

-pru=\dfrac{pr}{n}mv-\dfrac{p}{q}

-pru=\dfrac{m}{n}prv-\dfrac{p}{q}

Posons y_0=-pru= et x_0=prv (tous deux entiers) on obtient :

y_0=\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}.

4. \Delta : y=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{7}{4}

On a m=3 ; n=8 ; p=7 ; q=4 Or 4 divise 8, donc d'après ce qui précède, il existe un point de coordonnées entières sur la droite \Delta. par exemple le point de coordonnées (10;2)

5.a. Si Q ne divise pas N alors on ne rentre pas dans la boucle Tant que et l'algorithme s'arrête.

Si Q divise N alors d'après la question 3.b. il existe pour tous les entiers relatifs m,n,p,q tels que pgcd(m,n)=pgcd(p,q)=1 et q divise n un couple d'entiers relatifs \left(x_0;y_0\right) tels que y_0=\dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q}.

On va donc trouver un entier relatif x_0 tel que \dfrac{m}{n}x_0-\dfrac{p}{q} est entier.

Cet entier est soit positif, soit négatif.

La boucle Tant que s'arrête si l'une des deux conditions n'est pas vérifiée ce qui, d'après ce qui vient d'être dit, arrivera au moins une fois.

5.b. Cet algorithme permet de trouver un point de \Delta dont les coordonnées sont entières.

exercice 4 Commun à tous les candidats


1. \tan \alpha = \dfrac{EA}{ET}=\dfrac{25}{x}\quad \text{ et } \quad \tan \beta=\dfrac{EB}{ET}=\dfrac{30,6}{x}

2. \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. On calcule la dérivée du quotient.

(\tan x)\,'=\dfrac{1}{(\cos x)^2} qui est toujours strictement positive, donc la fonction tangente est strictement croissante sur ]0\,;\,\frac{\pi}{2}[

3. \tan \gamma=\tan (\beta-\alpha)=\dfrac{\tan \beta -\tan \alpha}{1+\tan \beta\times\tan \alpha}

On remplace par les valeurs trouvées précédemment.

\tan \gamma=\dfrac{\frac{30,6}{x}-\frac{25}{x}}{1+\frac{30,6}{x}\times\frac{25}{x}} =\dfrac{5,6x}{x^2+765}=5,6\times \dfrac{x}{x^2+765}

4. \widehat{ATB} est maximal lorsque \gamma est maximal, donc lorsque \tan \gamma est maximal (puisque la fonction tangente est croissante sur l'intervalle étudié)

On remarque que x+\dfrac{765}{x}=\dfrac{x^2+765}{x} donc \tan \gamma =5,6\times \dfrac{1}{f(x)}

\tan \gamma est maximal lorsque f sera minimale (puisque la fonction inverse est décroissante sur l'intervalle étudié) .

Etudions les variations de f.

f'(x)=1-\dfrac{765}{x^2}=\dfrac{765-x^2}{x^2}

Pour x dans [0 ; 50], cette dérivée s'annule en \sqrt{765}, elle est négative pour  x dans [0\,;\sqrt{765}] et positive dans [\sqrt{765}\,;50]

f est donc minimale pour x=\sqrt{765}

On a alors \tan \gamma=\dfrac{5,6\times \sqrt{765}}{1530}

A la calculatrice, on trouve \gamma \approx 0,100 rd.
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