Fiche de mathématiques
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Sujet maths bac 2016 STD2A Polynésie

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exercice 1

Partie A : Ellipse et cercle


1. L'ellipse a pour axe focal la droite (AA'), le grand axe vaut AA'= 6-(-4)=10 donc le demi-grand axe vaut 5

L'axe secondaire est (BB') et BB'=1-(-3)=4, donc le demi petit axe vaut 2

L'ellipse est centrée au point de coordonnées (1;-1)

L'ellipse admet donc pour équation : \dfrac{(x-1)^2}{25}+\dfrac{(y+1)^2}{4}=1

2. La droite d'équation x=5 coupe l'ellipse en I(5;\frac{1}{5})
Le second point d'intersection est donc le symétrique de I par rapport à la droite d'équation y=1 soit I'(5,-\frac{11}{5})

3. Une équation du cercle est : (x-5)^2+(y+1)^2=\dfrac{1}{4}

Partie B : Courbes symétriques


f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

1.a f est dérivable sur [-4 ; 5] et f'(x)=3ax^2+2bx+c

b. f(0)=0 donc d=0

f'(0)=0 donc c=0

2. La courbe passe par A(-4 ; -1) et par I(5 ; -1/5) équivaut à dire \begin{cases}f(-4)=-1\\f(5)=\frac{-1}{5}\end{cases}

\begin{cases}f(-4)=-1\\f(5)=\frac{-1}{5}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}-64a+16b=-1\\125a+25b=\dfrac{-1}{5}\end{cases}

b. On remplace dans le système précédent a par \dfrac{47}{6000} et b par -\dfrac{187}{6000}, et on vérifie ainsi que les valeurs données vérifient bien le système.

3. f(x)=\dfrac{47}{6000}x^3-x^2\dfrac{187}{6000} sur [-4 ; 5]

f'(x)=\dfrac{141}{6000}x^2-\dfrac{374}{6000}x=\dfrac{x}{6000}(141x-374)

La dérivée s'annule pour x=0 ou pour x=\dfrac{374}{141} qui vaut environ 2,65

La dérivée est un polynôme du second degré qui est du signe du coefficent de x^2 soit positif à l'extérieur des solutions.

On en déduit le tableau de variations suivant :

\begin{array} {|c|cccccccc|} \hline x & -4 & & 0 & & 2,65 & & 5 & \\ \hline {f'(x} & & + & 0 & - & 0 & + & & \\ \hline {f} & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \\ \hline \end{array}


4.
\begin{array} {|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline x & -4 & & -3& & -2& & -1 & & 0 & & 1 & & 2 & & 3 & & 4 &&5& \\  \hline {f(x)} &-1 & &- ,049 & & -0,19 & & -0,04 & & 0 & & -0,02 & & -0,06 & & -0,07 && 0,00 & & 2& \\ \hline \end{array}


5.
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exercice 2

Partie A


1. On suppose que x est un réel strictement positif, ce qui n'est pas dit dans l'énoncé.

10\log \frac{1}{x}=30\Leftrightarrow \log \frac{1}{x}=3\Leftrightarrow \log x = -3 \Leftrightarrow x=10^{-3}

2.
R=10\log \frac{1}{\tau} or R=30 donc \tau doit être de l'ordre de 10^{-3} , donc les architectes vont choisir le matériau offrant un facteur de transmission \tau_1=0,0012

Partie B : Module du panneau


1.
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ce qui donne pour le module :
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2. Calcul de l'aire du module
a. Les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Les angles \widehat{BAD}\text{ et }\widehat{EBJ} sont correspndants et donc ont même mesure. \widehat{EBJ}=60°

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Dans le triangle BHJ, rectangle en H, \sin \widehat{EBJ}=\dfrac{HJ}{BJ}

D'où : HJ=BJ\times \sin \widehat{EBJ} ce qui donne HJ=1\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} (cm)

L'aire du triangle BEJ vaut : \mathcal{A}(BEJ)=\frac{1}{2}\times BE\times JH=\frac{1}{2}\times 3\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}= 3\dfrac{\sqrt{3}}{4} (cm²)

Sauf erreur de ma part toujours possible, je pense qu'il y avait une erreur d'énoncé.

b. Aire du parallélogramme
Soit H' le projeté de D sur [AB]. Dans le triangle DAH', on a de même que précédemment : \sin 60° = \dfrac{DH'}{AD} d'où DH'=3\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On en déduit l'aire du parallélogramme : \mathcal{A}(ABCD)=AB\times DH'=4\times 3\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} (cm²)

L'aire du polygone AEJCFI est donc égale à : \mathcal{A}(AEJCFI)=\mathcal{A}(ABCD)+2\times\mathcal{A}(BEJ) = 6\sqrt{3}+2\times 3\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{15}{2}\sqrt{3} (cm²)

Partie C : assemblage du panneau


1.
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La figure 2 se déduit de la figure 1 par la symétrie de centre O, milieu de [JE]

2.a
Il s'agit par exemple des vecteurs \overrightarrow{CE}\text{ et } \overrightarrow{AF}
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Par la translation de vecteur \overrightarrow{CE}, la figure 1 a donné la figure 3 et par la transaltion de vecteur \overrightarrow{AF}, la figure 2 a donné la figure 4.

Le pavage du plan est ainsi obtenu.

exercice 3


1.a Le point d'intersection des droites (ts) et (xw) est le point de fuite.

1.c Le point J est dans le plan frontal, donc le point j est le milieu de [ab]
Par contre, le point I n'est pas dans un plan frontal, donc i n'est pas nécessairement le milieu de [ad] 2. Le côté de la boutique IL doit mesurer 10 m. Donc DL=\dfrac{10}{\sqrt{2}}

DC=AB=EA=10\sqrt{2}

Le volume de ABCDEFGH est égal à \mathcal{V}=(10\sqrt{2})^3=2000\sqrt{2}

Les dimensions pour le parallélépipède QRSTUVWX sont QU, UV et QT

Or QU=AB+2 ; UV=AB ; et QT=AE+1

Donc le volume de QRSTUVWX est égal à :

\mathcal{V}(QRSTUVWX )=(10\sqrt{2}+2)\times 10\sqrt{2}\times (10\sqrt{2}+1)=600+2020\sqrt{2}

Le volume de béton nécessaire est donc la différence des ces deux volumes soit : 600 + 20 \sqrt{2} m³ ce qui donne arrondi au m³ supérieur, la valeur de 629 m³.

La construction de l'arche :
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La construction de l'arche et du cube de verre :
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