Fiche de mathématiques
> >

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole

Partager :

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 1

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 2

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 3

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 4

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 5

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 6

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 7

Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 8




exercice 1


1. M\text{ suit la loi normale }\mathcal{N}(250\;;5^2)
Le fromage est refusé si sa masse est inférieure à 240 g. A la calculatrice, on trouve : P(M<240)=0,023
La probabilté qu'un fromage soit refusé est de 0,023.

2.a X suit une loi binomiale de paramètres 150 et 0,02 soit X=\mathcal{B}(150\;;0,2)

b. La probabilité qu'il y ait au maximum 5 fromages de masse insuffisante est égale à : p(X\le 5)=0,918

c. E(X)=150\times 0,02=3. Cela veut dire que sur un grand nombre d'échantillons de 150 fromages, le nombre moyen de fromages ayant une masse insuffisante est de 3.

3.a p=18\%=0,18 et n=400. On remarque que les conditions sont remplies et on obtient pour intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% : l'intervalle I=\left[p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\;;p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right] ce qui donne I=[0,142\;;0,218]

3.b La proportion de personnes préférant le fromage sec est égale à : p=\dfrac{55}{400}\approx 0,138 qui n'appartient pas à I.

La laiterie doit donc considérer, au risque d'erreur de 5\% que la préférence des consommateurs a changé.

4.a T est une loi exponentielle de paramètre \lambda donc E(T)=\dfrac{1}{\lambda}

On nous dit que E(T)=90 donc \lambda=\dfrac{1}{90}

b. On cherche t_0 tel que p(T\ge t_0)=0,93

p(T\ge t_0)=0,93\Leftrightarrow \text{e}^{-\lambda t_0}=0,93

mais \lambda = 90 soit -90 t_0=\ln 0,93

t_0=\dfrac{\ln 0,93}{-90}\approx 6,53 heures.

Interprétation : pour 93\% des balances, la balance restera réglée correctement au moins 6,5 heures.

exercice 2


1.a Soit l'équation différentielle (E) : y'+0,162y=20,3\text{ sur } [0\;;60]

Les solutions de (E) sont les fonctions f_k définies sur [0 ; 60] par f_k(t)=k\text{e}^{-0,162t}+\dfrac{20,3}{0,162} avec k dans R.

b. On cherche k tel que f_k(0)=21 ce qui donne :

k+\dfrac{20,3}{0,162}=21 soit k=-104,309 (arrondi au millième)

et on obtient : f(t)=-104,309\text{e}^{-0,162t}+125,309

2.a Pour  t\in [0\;; 60], \; g(t)=125 -104\text{e}^{-0,16t}

La fonction g est dérivable comme somme et composée de fonctions dérivables sur [0 ; 60]

g\,'(t)=-104\times (-0,16)\text{e}^{-0,16t}=16,64\text{e}^{-0,16t}

Cette dérivée est toujours stritement positive.

b.
\begin{array} {|c|cccc|} \hline t&0& & 60 & \\ \hline {g'(t)} & & + & & \\ \hline {g} & _{21}& \nearrow & ^{g(60)}& \\ \hline \end{array}

Remarque : g(60)\approx 125

3.
Sujet Bac STL 2016 mathématiques métropole : image 9

a. Au bout de 9 minutes, la température sera d'enviton 100°
b. Il faudra attendre environ 19 minutes pour atteindre 120°. C'est au début de la 23e minute que l'autoclave pourra être arrêté.

c. Soit à résoudre l'inéquation 125-104\text{e}^{-0,16t}>120

104\text{e}^{-0,16t}<5

\text{e}^{-0,16t}<\dfrac{5}{104}

-0,16t < \ln \dfrac{5}{104}

t>\dfrac{-1}{0,16}\times\ln \dfrac{5}{104}

Or : \dfrac{-1}{0,16}\times\ln \dfrac{5}{104}\approx 18,97

On retrouve bien que c'est à partir de la 19e minute que l'autoclave aura atteint 120°

exercice 3


1. f(-1)=4 car la courbe passe par le point de coorodnnées (-1;4)
f\,'(-1)=-1 car la tangente admet pour coefficient directeur -1.

2. La fonction g ne prend que des valeurs positives entre 1 et 4.

L'aire du domaine considéré est donc : \mathcal{A}=\displaystyle{\int_0^4g(x)\text{d}x=\int_0^4 \dfrac{1}{x}+x+1\,\text{d}x=\left[\ln x+\dfrac{x^2}{2}+x\right]_1^4=(\ln 4+8+4)-\left(\frac{1}{2}+1\right)=\dfrac{21}{2}+\ln 4\text{ u.a}

3. H\,'=h donc C_2 est la courbe repésentative de  h (prend des valeurs négatives entre 0 et 1, et des valeurs positives au-delà)

La courbe représentative de H est C_1, décroissante entre 0 et 1, puis croissante au-delà.

exercice 4


1.a d_0=10 donc d_1=10+6\%\times 10=10,6

b. Pour tout n\text{ de }\textbf{ N,}d_{n+1}=d_n+0,06d_n=1,06d_n

(d_n) est donc la suite géométrique de premier terme d_0=10 et de raison 1,06

d_n=(1,06)^n\times d_0=10\,(1,06)^n

c. La distance qu'Alice pourra courir en septembre correspond à d_8.

d_8=10\,(1,06)^8=15,9 soit 15,9 km (arrondi au dixième)

d. On cherche n tel que 10\,(1,06)^n>25 soit (1,06)^n>2,5 ou encore n>\dfrac{\ln 2,5}{\ln 1,06}

Or \dfrac{\ln 2,5}{\ln 1,06}\approx 15,7. C'est donc à partir du 16e mois après janvier 2015 qu'Alice pourra courir cette distance de 25 km.

2.a Alice cherche à savoir au bout de combien de mois elle mettra moins de 50 minutes pour courir les 10 premiers kilomètres.

b.
\begin{array} {|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline N & 0 & & 1 & & 2 & & 3 & & 4 & & 5 & & 6 & & 7 & & 18& & 9 & & 10 & \\ \hline {t} &60 & & 58,80 & & 57,62 & & 56,47& & 55,34 & & 54,24 & & 53,15 & & 52,09& & 51,05& & 50,02 & & 49,02& \\ \hline \end{array}


c. En sortie d'algorithme, les valeurs affichées sont N=10 et t=49,02

Alice en déduit que c'est au 10e mois après septembre 2015 qu'elle courra les 10 premiers kilomètres en moins de 50 minutes. (ce qui correspond au mois de juillet 2016).

d. Novembre 2016 correspond à n=14. Elle saura courir les dix premiers kilomètres en 60\times (0,98)^{14}=45,219 minutes

Mais elle va courir à 82\% de sa vitesse, ce qui donne un temps de \dfrac{45,219}{0,82}=55,14 minutes pour 10 km

Pour 21 km, elle metta donc : 55,14\times 2,1=115,80 minutes (temps inférieur à 120 minutes).

Alice peut donc espérer se qualifier.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
malou Moderateur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1236 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !