Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Polynésie Française - Session Septembre 2008
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
3 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué. Barème : une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point. 1. est égal à
2. L'ensemble des solutions dans de l'inéquation est l'intervalle :
3. Une primitive de la fonction définie sur l'intervalle par est :
4. Le prix TTC (toutes taxes comprises) d'un article est 299 €. Sachant que le taux de la TVA est de 19,6 %, son prix HT (hors taxes) est :
240,40 €
250 €
279,40 €
5. Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements indépendants A et B tels que et .
On a alors :
6. est une suite géométrique telle que : et .
Sa raison est égale à :
2
4
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
On considère un groupe de 2000 lecteurs, tous abonnés à une des revues : la Drosera, l'Iguane ou le Nénuphar. Chacun d'eux n'est abonné qu'à une revue et ne lit que celle-là.
Parmi ces abonnés :
400 abonnés lisent la Drosera, et 20 % des abonnés à la Drosera sont des femmes ;
700 abonnés lisent l'Iguane et 30 % des abonnés à l'Iguane sont des femmes
les autres abonnés lisent le Nénuphar et 60 % des abonnés au Nénuphar sont des femmes.
On choisit un lecteur au hasard parmi ces abonnés.
On note par D, I, N, F et H les évènements suivants :
D : « l'abonné lit la Drosera » ;
I : « l'abonné lit l'Iguane » ;
N : « l'abonné lit le Nénuphar » ;
F : « l'abonné est une femme » ;
H : « l'abonné est un homme ».
1. Traduire les données de l'exercice à l'aide d'un arbre de probabilité.
2. a) Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant la Drosera.
b) Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant l'Iguane.
c) Démontrer que la probabilité que l'abonné soit une femme est égale à 0,415.
3. Sachant que l'abonné choisi est une femme, calculer la probabilité qu'il soit lecteur de la Drosera (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième).
4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois abonnés.
Quelle est la probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du Nénuphar (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième) ?
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
Soit la suite définie par la donnée de son premier terme et par la relation :
pour tout entier naturel .
1. Calculer et .
2. Pour tout entier naturel , on pose .
a) Calculer .
b) Exprimer en fonction de .
En déduire que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
c) Exprimer en fonction de .
d) En déduire que .
Partie B
On suppose que représente le salaire annuel d'une personne pour l'année 2002+, étant un entier naturel.
1. Calculer le salaire annuel, arrondi à l'euro, de la personne en 2010.
2. a) Résoudre dans l'inéquation d'inconnue : .
b) À partir de quelle année le salaire annuel de cette personne aura-t-il doublé par rapport à celui de 2002 ?
6 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
On considère la fonction définie sur l'ensemble des nombres réels par .
On note sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unité graphique 1 cm.
Partie A
1. Calculer et . On donnera les valeurs exactes.
2. a) Calculer la limite de en .
b) Montrer que la droite d'équation est asymptote oblique à la courbe .
c) Calculer la limite de en .
Partie B
1. a) On note la fonction dérivée de . Calculer pour tout réel et étudier son signe sur .
b) Dresser le tableau de variations de sur .
2. a) Montrer que sur l'intervalle l'équation admet une seule solution .
b) Donner une valeur, arrondie au centième, de .
c) Préciser le signe de selon les valeurs du réel .
3. Tracer la droite et la courbe dans le repère .
Partie C
1. Déterminer une primitive de la fonction sur .
2. Calculer l'intégrale .
Donner la valeur exacte de , puis une valeur décimale arrondie au centième.
Donner une interprétation graphique de cette intégrale.
6 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Le tableau suivant donne l'évolution de la population de l'Inde de 1951 à 1991.
Année
1951
1961
1971
1981
1991
Rang
1
2
3
4
5
Population (en millions)
361
439
548
683
846
On cherche à étudier l'évolution de la population exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang de l'année.
1. Représenter graphiquement le nuage de points dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques 1 cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 millions sur l'axe des ordonnées.
2. a) À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de en par la méthode des moindres carrés.
b) En utilisant cet ajustement, déterminer la population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001, c'est-à-dire pour (le résultat sera arrondi au million).
3. On cherche un autre ajustement et on se propose d'utiliser le changement de variable suivant : .
a) Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne (les valeurs seront arrondies au millième).
b) À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de en fonction de par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
c) En déduire qu'une approximation de la popu1ation , exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang de l'année est donnée par : .
d) En utilisant cet ajustement, calculer la population que l'on pouvait prévoir pour 2001(le résultat sera arrondi au million).
4. Les résultats obtenus en 2001 ont révélé que la population comptait 1027 millions d'habitants. Déterminer une estimation de la population, arrondie au million d'habitants, en 2011 en choisissant le modèle qui semble le plus approprié. Justifier ce choix.
5.Réponse B : 0,68
Les événements A et B sont indépendants donc : , et on obtient :
6.Réponse A :
On sait que et que avec raison de la suite.
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. L'arbre pondéré permet de traduire les données de l'énoncé, il est immédiat dans ce cas :
2. a) La probabilité que l'abonné soit une femme lisant la Drosera est :
2. b) La probabilité que l'abonné soit une femme lisant l'Iguane est :
2. c) On démontre de même que la probabilité qu'un abonné soit une femme lisant le Nénuphar est :
Donc la probabilité qu'un abonné soit une femme est :
3. Sachant que l'abonné choisi est une femme, la probabilité qu'il soit lecteur de la Drosera est :
4. On est dans ce cas devant une expérience de Bernoulli et on a donc une loi binomiale de paramètres n=3 et p=0,027, en appelant succès : "être une femme lectrice de Nénuphar". La probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du Nénuphar est
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1. On a : et pour tout de ,
Donc :
Pour , on obtient :
Pour , on obtient :
2. a) On a pour tout de ,
Donc
2. b) Pour tout de ,
Or
Donc
Soit
Conclusion : pour tout de ,
et est la suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme
2. c) Pour tout de ,
2. d) Pour tout de , , donc :
Partie B
1. En 2010, le rang de l'année est ce qui donne pour le salaire annuel :
2. a) Pour tout :
L'ensemble solution de l'inéquation est : .
2. b) On cherche à partir de quelle année son salaire aura doublé.
On résout l'inéquation :
Cela revient au calcul de la question précédente. La plus petite valeur entière répondant à la question est . Ce sera donc en l'année
Son salaire aura donc doublé à partir de 2017.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A
1.
2. a) et , et donc, par addition des limites :
2. b) On a
Donc la droite est asymptote oblique à en
2. c) et , et par addition des limites :
Partie B
1. a) Pour tout de : est une fonction définie et dérivable sur .
La fonction est donc l'addition de fonctions définies et dérivables sur , elle est dérivable sur et sa dérivée vaut :
Or pour tout de :
Soit
1. b) Tableau de variations :
2. a) Pour tout de [0 ; 1][/tex], la fonction est strictement croissante, et dérivable donc continue.
De plus et
Donc il existe une unique solution tel que
2. b) donc :
2. c) Pour
Pour
3.
Partie C
1. La fonction est définie et continue sur . Elle admet des primitives sur .
Une primitive de sur est la fonction définie sur par :
2. Donc
Pour la courbe est au dessus de l'axe des abscisses (cf Partie B, 2.c)).
Cette intégrale représente donc l'aire (exprimée en unités d'aire ) du domaine plan limité par , les droites d'équation et , et l'axe des abscisses.
exercice 4 - Commun à tous les candidats
1. On obtient le nuage de points suivant :
2. a) Une équation de la droite de régression de en , obtenue par la méthode des moindres carrés, est :
2. b) La population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001 est :
3. a)
Année
1951
1961
1971
1981
1991
1
2
3
4
5
361
439
548
683
846
5.889
6.084
6.306
6.526
6.741
3. b) Une équation de la droite de régression de en , obtenue par la méthode des moindres carrés, est :
3. c)
3. d) La population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001 est :
4. On utilisera le modèle exponentiel car il fournit des résultats plus proches de la réalité que ceux fournis par le modèle linéaire.
Alors, en 2011, on peut prévoir une population de l'Inde de : (obtenue pour ).
Publié par TP/Groy
le
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Merci à Groy pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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