Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Économique et Social
Polynésie Française - Session Septembre 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte sans justifier le choix effectué.
Barème : une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse n'apporte et n'enlève aucun point.
1. $\text{e}^{-2\ln 3}$ est égal à

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{1}{9}$

$9$

2. L'ensemble des solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $\text{e}^{3x} - 1 \geqslant 0$ est l'intervalle :

$[0~;~+ \infty[$

$[1~;~+ \infty[$

$\left[\dfrac{1}{3}~;~+ \infty \right[$

3. Une primitive de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x)~=~\ln~x~+~1$ est :

$x \mapsto x\ln x + x$

$x \mapsto x\ln x$

$x \mapsto \dfrac{1}{x}$

4. Le prix TTC (toutes taxes comprises) d'un article est 299 €. Sachant que le taux de la TVA est de 19,6 %, son prix HT (hors taxes) est :

240,40 €

250 €

279,40 €

5. Lors d'une expérience aléatoire, on considère deux évènements indépendants A et B tels que $P(\text{A}) = 0,6$ et $P(\text{B}) = 0,2$ .
On a alors :

$P(\text{A} \cup \text{B})=0,8$

$P(\text{A} \cup \text{B})= 0,68$

$P(\text{A} \cup \text{B})= 0,92$

6. $\left(U_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite géométrique telle que : $U_{0} = 2$ et $U_{8} = 32$ .
Sa raison est égale à :

$\sqrt{2}$

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère un groupe de 2000 lecteurs, tous abonnés à une des revues : la Drosera, l'Iguane ou le Nénuphar. Chacun d'eux n'est abonné qu'à une revue et ne lit que celle-là.
Parmi ces abonnés :
    400 abonnés lisent la Drosera, et 20 % des abonnés à la Drosera sont des femmes ;
    700 abonnés lisent l'Iguane et 30 % des abonnés à l'Iguane sont des femmes
    les autres abonnés lisent le Nénuphar et 60 % des abonnés au Nénuphar sont des femmes.

On choisit un lecteur au hasard parmi ces abonnés.
On note par D, I, N, F et H les évènements suivants :
    D : « l'abonné lit la Drosera » ;
    I : « l'abonné lit l'Iguane » ;
    N : « l'abonné lit le Nénuphar » ;
    F : « l'abonné est une femme » ;
    H : « l'abonné est un homme ».

1. Traduire les données de l'exercice à l'aide d'un arbre de probabilité.

2. a) Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant la Drosera.
    b) Calculer la probabilité que l'abonné soit une femme lisant l'Iguane.
    c) Démontrer que la probabilité que l'abonné soit une femme est égale à 0,415.

3. Sachant que l'abonné choisi est une femme, calculer la probabilité qu'il soit lecteur de la Drosera (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième).

4. On interroge au hasard et de façon indépendante trois abonnés.
Quelle est la probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du Nénuphar (le résultat sera donné sous forme décimale, arrondi au millième) ?

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

Soit la suite $\left(U_{n}\right)$ définie par la donnée de son premier terme $U_{0} = 14000$ et par la relation :
pour tout entier naturel $n,~ U_{n+1} = 1,04 \times U_{n} +200$ .

1. Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$ .
2. Pour tout entier naturel $n$ , on pose $V_{n} = U_{n} + 5000$ .
    a) Calculer $V_{0}$ .
    b) Exprimer $V_{n+1}$ en fonction de $V_{n}$ .
En déduire que la suite $\left(V_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
    c) Exprimer $V_{n}$ en fonction de $n$ .
    d) En déduire que $U_{n} = 19000 \times (1,04)^n - 5000$ .

Partie B

On suppose que $U_{n}$ représente le salaire annuel d'une personne pour l'année 2002+ $n$ , $n$ étant un entier naturel.
1. Calculer le salaire annuel, arrondi à l'euro, de la personne en 2010.
2. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation d'inconnue $x$ : $1,04^x \geqslant \dfrac{33}{19}$ .
b) À partir de quelle année le salaire annuel de cette personne aura-t-il doublé par rapport à celui de 2002 ?

6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par $f(x) = \text{e}^{x - 1} + x - 1$ .
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm.

Partie A

1. Calculer $f(0)$ et $f(1)$ . On donnera les valeurs exactes.
2. a) Calculer la limite de $f$ en $- \infty$ .
b) Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x - 1$ est asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ .
c) Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ .

Partie B

1. a) On note $f^{'}$ la fonction dérivée de $f$ . Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ réel et étudier son signe sur $\mathbb{R}$ .
    b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .
2. a) Montrer que sur l'intervalle $[0 ~;~ 1]$ l'équation $f(x) = 0$ admet une seule solution $\alpha$ .
    b) Donner une valeur, arrondie au centième, de $\alpha$ .
    c) Préciser le signe de $f(x)$ selon les valeurs du réel $x$ .
3. Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .

Partie C

1. Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
2. Calculer l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$ .
Donner la valeur exacte de $I$ , puis une valeur décimale arrondie au centième.
Donner une interprétation graphique de cette intégrale.

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Le tableau suivant donne l'évolution de la population de l'Inde de 1951 à 1991.

Année	1951	1961	1971	1981	1991
Rang $x_{i}$	1	2	3	4	5
Population $y_{i}$ (en millions)	361	439	548	683	846
$z_{i}$

On cherche à étudier l'évolution de la population $y$ exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang $x$ de l'année.

1. Représenter graphiquement le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan muni d'un repère orthonormal d'unités graphiques 1 cm pour 1 sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 millions sur l'axe des ordonnées.

2. a) À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés.
    b) En utilisant cet ajustement, déterminer la population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001, c'est-à-dire pour $x = 6$ (le résultat sera arrondi au million).

3. On cherche un autre ajustement et on se propose d'utiliser le changement de variable suivant : $z = \ln y$ .
    a) Recopier le tableau ci-dessus et compléter la dernière ligne (les valeurs seront arrondies au millième).
    b) À l'aide de la calculatrice, déterminer un ajustement affine de $z$ en fonction de $x$ par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième).
    c) En déduire qu'une approximation de la popu1ation $y$ , exprimée en millions d'habitants, en fonction du rang $x$ de l'année est donnée par : $y \approx 289\text{e}^{0,215x}$ .
    d) En utilisant cet ajustement, calculer la population que l'on pouvait prévoir pour 2001(le résultat sera arrondi au million).

4. Les résultats obtenus en 2001 ont révélé que la population comptait 1027 millions d'habitants. Déterminer une estimation de la population, arrondie au million d'habitants, en 2011 en choisissant le modèle qui semble le plus approprié. Justifier ce choix.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. Réponse B : $\displaystyle\frac{1}{9}$
$e^{-2 \ln 3} = \dfrac{1}{e^{2 \ln 3}}=\dfrac{1}{e^{\ln (3)^{2}}}=\dfrac{1}{e^{\ln 9}}=\dfrac{1}{9}$

2. Réponse A : $[0 ; +\infty[$
On a :
$\begin{matrix} e^{3x} - 1 \geq 0 &\Longleftrightarrow & e^{3x} \geq 1\\ &\Longleftrightarrow & e^{3x} \geq e^0\\ &\Longleftrightarrow & 3x \geq 0 \\ &\Longleftrightarrow & x \geq 0\end{matrix}$
Donc l'ensemble des solutions est : $S= [0 ; +\infty[$

3. Réponse B : $x \mapsto x \ln x$
Pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[ \text{ : } (x\ln x)^{'}=1\times\ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}=\ln(x)+1$

4. Réponse B : 250
$250 \times 19.6\% + 250=250\times \dfrac{19,6}{100}+250 = 299$

5. Réponse B : 0,68
Les événements A et B sont indépendants donc : $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0,6 \times 0,2=0,12$ , et on obtient :
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0,6+0,2-0,12=0,68$

6. Réponse A : $\sqrt{2}$
On sait que $U_{0}=2 \text{ , } U_{8}=32$ et que $U_{8}=U_{0}q^{8}$ avec $q$ raison de la suite.
$U_0\times (\sqrt{2})^{8}=2\times 2^4= 32$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. L'arbre pondéré permet de traduire les données de l'énoncé, il est immédiat dans ce cas :

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 3

2. a) La probabilité que l'abonné soit une femme lisant la Drosera est : $P(D \cap F) =P(D)\times P_D(F)=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{5}=\boxed{ 0,04}$

2. b) La probabilité que l'abonné soit une femme lisant l'Iguane est : $P(I\cap F) =P(I)\times P_I(F)=\dfrac{7}{20}\times\dfrac{3}{10}=\boxed{0,105}$

2. c) On démontre de même que la probabilité qu'un abonné soit une femme lisant le Nénuphar est : $P(N\cap F) = \dfrac{9}{20}\times\dfrac{3}{5} = 0,27$
Donc la probabilité qu'un abonné soit une femme est : $P(F) = P(D \cap F) + P(I \cap F) + P(N \cap F) = 0,04 + 0,105 + 0,27 =\boxed{0,415}$

3. Sachant que l'abonné choisi est une femme, la probabilité qu'il soit lecteur de la Drosera est : $P_F(D)= \dfrac{P(D \cap F)}{P(F)}=\dfrac{0,04}{0,415} \boxed{\approx 0,096}$

4. On est dans ce cas devant une expérience de Bernoulli et on a donc une loi binomiale de paramètres n=3 et p=0,027, en appelant succès : "être une femme lectrice de Nénuphar". La probabilité qu'aucun des abonnés ne soit une femme lectrice du Nénuphar est $p=(1-0,27)^{3} \boxed{\approx 0,389}$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. On a : $U_{0} = 14000$ et pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $U_{n+1}= 1,04\timesU_{n}+200$
Donc :
Pour $n = 0$ , on obtient : $U_{1}=1,04\times U_{0}+200=14760$
Pour $n = 1$ , on obtient : $U_{2}=1,04\times U_{1}+200=15550,40$

2. a) On a pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $V_{n}=U_{n}+5000$
Donc $V_{0}=U_{0}+5000=14000+5000= 19000$

2. b) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $V_{n+1}= U_{n+1}+ 5 000$
Or $U_{n+1}= 1,04 \times U_{n}+ 200$
Donc $V_{n+1}= 1,04 \times U_{n}+ 200 + 5 000 =1,04 \times U_{n}+5200$
Soit $V_{n+1}= 1,04 \times (U_{n}+ 5 000)= 1,04 V_n$
Conclusion : pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $V_{n+1}= 1,04\times V_{n}$
et $(V_n)$ est la suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme $V_0=19000$

2. c) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $V_{n}=V_{0}\times (1,04)^{n}=19000 (1,04)^{n}$

2. d) Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , $V_{n}=U_{n}+ 5 000$ , donc : $U_{n}=V_{n}- 5 000=19 000 \times 1,04^{n}-5 000$

Partie B

1. En 2010, le rang de l'année est $n = 2010 - 2002=8$ ce qui donne pour le salaire annuel : $U_{8}= 19 000 \times (1,04)^{8}\approx 21003\text{ ( en euros).}$

2. a) Pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
$\begin{matrix} 1,04^x \geq \dfrac{33}{19}&\Longleftrightarrow& x \times \ln 1,04 \geq \ln \dfrac{33}{19} \\&\Longleftrightarrow& x \geq \ln \dfrac{33}{19} \times \dfrac{1}{\ln 1,04}\end{matrix}$
L'ensemble solution de l'inéquation est : $\left[\ln \dfrac{33}{19} \times \dfrac{1}{\ln 1,04}~;~+\infty \right[$ .
2. b) On cherche à partir de quelle année son salaire aura doublé.

On résout l'inéquation : $19 000 \times (1,04)^{n} - 5 000\geq 2\times 14000 \Longleftrightarrow (1,04)^{n} \geq \dfrac{33}{19}$
Cela revient au calcul de la question précédente. La plus petite valeur entière répondant à la question est $n = 15$ . Ce sera donc en l'année $2002 + 15 = 2017$
Son salaire aura donc doublé à partir de 2017.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

1.
$f(0)= e^{0-1}-1=e^{-1}-1$
$f(1)= e^{1-1}+1-1=1$

2. a) $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{x-1} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} x - 1 = -\infty$ , et donc, par addition des limites : $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to -\infty} e^{x-1} + x - 1 = -\infty$

2. b) $f(x)-(x-1)=e^{x-1}$
On a $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}e^{x-1} = 0$
Donc la droite $\mathcal{D}\text{ d'équation }y=x-1$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ en $-\infty$

2. c) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} e^{x-1} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} x - 1 = +\infty$ , et par addition des limites :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$

Partie B

1. a) Pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $x \mapsto e^{x-1}$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ .
La fonction $f$ est donc l'addition de fonctions définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ , elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée vaut : $f^{'}(x)=e^{x-1}+1$
Or pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ : $e^{x-1} \geq 0 \text{ donc } e^{x-1} + 1 > 0$
Soit $f'(x) > 0$

1. b) Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & -\infty & & \text{ } & & +\infty \\ \hline f^{'}(x) & & & + & & \\ \hline \niveau{2}{2} f & -\infty & & \croit & & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

2. a) Pour tout $x$ de [0 ; 1][/tex], la fonction $f$ est strictement croissante, et dérivable donc continue.
De plus $f(0)\approx-0,63< 0$ et $f(1)=1> 0$
Donc il existe une unique solution $\alpha \in [0 ; 1]$ tel que $f(\alpha) = 0$

2. b) $f(0,432)< 0 \text{ et } f(0,433) > 0$ donc : $\alpha \approx 0,43$

2. c)
Pour $x < \alpha \, : \, f(x) < 0$
Pour $x > \alpha \, : \, f(x) > 0$

3.

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 2

Partie C

1. La fonction $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$ . Elle admet des primitives sur $\mathbb{R}$ .
Une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $F(x)= e^{x-1}+\displaystyle \frac{x^2}{2}-x$

2. $\displaystyle \int_1^{3} f(x) dx = [F(x)]_1^3= \left[ e^{(x-1)} + \dfrac{x^2^}{2} - x \right]_1^3=(e^{(3-1)} + \dfrac{3^2}{2} - 3) - (e^{1-1} + \dfrac{1^2}{2} - 1)=e^2 + \dfrac{9-1}{2} - 3 - 1 + 1$
Donc $\displaystyle \int_1^{3} f(x) dx = e^2 + 1 \approx 8.39$
Pour $x\in[0~;~3]$ la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de l'axe des abscisses (cf Partie B, 2.c)).
Cette intégrale représente donc l'aire (exprimée en unités d'aire ) du domaine plan limité par $\mathcal{C}$ , les droites d'équation $x=1$ et $x=3$ , et l'axe des abscisses.

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. On obtient le nuage de points suivant :

Bac ES obligatoire et spécialité Polynésie Française Septembre 2008 - terminale : image 4

2. a) Une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $y = 121,4x + 211,2$

2. b) La population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001 est : $121,4\times 6+211,2\approx 940 \text{ millions}$

3. a)

Année	1951	1961	1971	1981	1991
$x_{i}$	1	2	3	4	5
$y_{i}$	361	439	548	683	846
$z_{i}$	5.889	6.084	6.306	6.526	6.741

3. b) Une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés, est : $z = 0,215x + 5,665$

3. c) $z = 0,215x + 5,665 \text{ ce qui donne : }$
$\ln(y)=0,215x+5,665 \Longleftrightarrow y=e^{0,215x+5,665}\Longleftrightarrow y=e^{5,665}e^{0,215x}\Longleftrightarrow y=288,587 e^{0,215x} \Longleftrightarrow y\approx 289e^{0,215x}$

3. d) La population de l'Inde que l'on pouvait prévoir pour 2001 est : $y\approx 289e^{0,215\times 6}\approx 1050 \text{ millions}$

4. On utilisera le modèle exponentiel car il fournit des résultats plus proches de la réalité que ceux fournis par le modèle linéaire.
Alors, en 2011, on peut prévoir une population de l'Inde de : $y\approx 289e^{0,215\times 7}\approx 1302 \text{ millions}$ (obtenue pour $x=7$ ).

Publié par TP/Groy le 31-08-2014

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