Fiche de mathématiques

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Bac Scientifique
Liban - Session Juin 2008

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires.
Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.

Partie A

Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.
1. Soit R l'événement " le joueur obtient une boule rouge ".
Montrer que p(R) = 0,15.

2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ?

Partie B

Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).
Soit $x$ un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne $x$ euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs $2x \, , \, x - 2$ et -4.

1. Déterminer la loi de probabilité de G.

2. Exprimer l'espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de $x$ .

3. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on E(G) $\geq$ 0 ?

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

Partie A

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v}).$

1. Soit z un nombre complexe d'argument $\frac{\pi}{3}.$
Proposition 1 : " z¹⁰⁰ est un nombre réel ".

2. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1 du plan telle que $\left |\dfrac{z}{1-z}\right | = 1.$
Proposition 2 : " l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ".

3. Soit r la rotation d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$ et dont le centre K a pour affixe $1 + \text{i}\sqrt{3}.$
Proposition 3 : " l'image du point O par la rotation r a pour affixe $(1 - \sqrt{3}) + \text{i} (1 + \sqrt{3})$ "

4. On considère l'équation (E) suivante : $z^2 + 2 \cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right) z + 1 = 0.$
Proposition 4 : " l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ".

Partie B

On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, représenté ci-dessous.
Proposition 5 : " le vecteur $\overrightarrow{\text{AG}}$ est normal au plan (BDE)".

Proposition 6 : " les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ".

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Liban 2008 - terminale : image 1

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.

1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct $(O \, ; \, \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{v})$ , on considère la similitude directe $f$ d'écriture complexe $z \mapsto \dfrac{3}{2}(1-i)z+4-2i$ .
Proposition 1 : " $f = r \circ h$ où $h$ est l'homothétie de rapport $3\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et de centre le point $\Omega$ d'affixe -2 - 2i et où $r$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}$ ".

2. Pour tout entier naturel $n$ non nul :
Proposition 2 : " $5^{6n+1}+2^{3n+1}$ est divisible par 5 ".
Proposition 3 : " $5^{6n+1}+2^{3n+1}$ est divisible par 7 ".

3. Dans le plan muni d'un repère, $(D)$ est la droite d'équation $11x-5y=14$ .
Proposition 4 : " Les points de $(D)$ à coordonnées entières sont les points de coordonnées ( $5k+14$ ; $11k+28$ ) où $k \in \mathbb{Z}.$

4. L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O \, ; \, \overrightarrow{i} \, , \, \overrightarrow{j} \, , \, \overrightarrow{k}).$
La surface $\Sigma$ ci-dessous a pour équation $z=x^2+y^2$ .

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Liban 2008 - terminale : image 2

Proposition 5 : " la section de la surface $\Sigma$ et du plan d'équation $x=\lambda$ , où $\lambda$ est un réel, est une hyperbole ".
Proposition 6 : " le plan d'équation $z=\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$ partage le solide délimité par $\Sigma$ et le plan d'équation $z=9$ en deux solides de même volume ".

Rappel : Soit V le volume du solide délimité par $\Sigma$ et les plans d'équations $z=a$ et $z=b$ où $0 \le a < b \le 9$ . V est donné par la formule V= $\displaystyle \int_a^bS(k)dk$ où S(k) est l'aire de la section du solide par le plan d'équation $z=k$ où $k \in$ [a ; b].

6 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A - Démonstration de cours

Prérequis : définition d'une suite tendant vers $+\infty$ .
" une suite tend vers $+\infty$ si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A "

Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$ .

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [ par $f(x) = \ln(x+1)+\dfrac{1}{2}x^2$ .
La courbe (C) représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Ce graphique sera complété.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Liban 2008 - terminale : image 3

1. Etudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [.

2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.

3. Tracer la droite (T) sur le graphique précédent.

Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle [0 ; $+\infty$ [, la courbe (C) est située au dessus de la droite (T).

Partie C

On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=f(u_n)$ .

1. Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite $(u_n)$ en laissant apparents les traits de construction.

2. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite $(u_n)$ et son comportement lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

3. a) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n \ge 1$ .
    b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
    c) Montrer que la suite $(u_n)$ n'est pas majorée.
    d) En déduire la limite de la suite $(u_n)$ .

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère une fonction $f$ dérivable sur l'intervalle ] $-\infty$ ; $+\infty$ [.
On donne le tableau de ses variations :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Liban 2008 - terminale : image 4

Soit $g$ la fonction définie sur ] $-\infty$ ; $+\infty$ [ par $g(x)=\displaystyle \int_0^xf(t)dt$ .

Partie A

1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe $(C)$ susceptible de représenter $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées).

2. a) Interpréter graphiquement $g(2)$ .
b) Montrer que $0 \le g(2) \le 2,5$ .

3. a) Soit $x$ un réel supérieur à 2.
Montrer que $\displaystyle \int_2^xf(t)dt \ge x-2$ . En déduire que $g(x) \ge x-2$ .
b) Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$ .

4. Étudier le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle ] $-\infty$ ; $+\infty$ [.

Partie B

On admet que pour tout réél $t$ , $f(t)=(t-1)e^{-t}+1$ .

1. A l'aide d'une intégration par parties, exprimer en fonction du réel $x$ l'intégrale $\displaystyle \int_0^x(t-1)e^{-t}dt$ .

2. En déduire que pour tout réel $x$ , $g(x) = x(1-e^{-x})$ .

3. Déterminer la limite de la fonction $g$ en $-\infty$ .

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Soit A l'évènement "le chiffre sur le dé est 1" (et donc il tire une boule dans l'urne A).
Il y a 2 manières d'obtenir une boule rouge :
soit il obtient 1 au dé et il tire une des 4 boules rouges parmi les 10 boules de l'urne A :
$p(\text{A} \cap \text{R}) = p(\text{A})p_{\text{A}}(\text{R}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4}{10} = \dfrac{1}{15}$
soit il n'obtient pas 1 au dé et il tire la seule boule rouge parmi les 10 boules de l'urne B :
$p(\bar{\text{A}} \cap \text{R}) = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60}$
D'où : $p(\text{R}) = p(\text{A} \cap \text{R}) + p(\bar{\text{A}} \cap \text{R}) = \dfrac{1}{15} + \dfrac{5}{60} = \dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20} = \boxed{0,15}$

2. On calcule $p_{\text{R}}(\text{A})$ : $p_{\text{R}}(\text{A}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{R})}{p(\text{R})} = \dfrac{1/15}{0,15} \approx 0,44$ et donc $p_{\text{R}}(\text{B}) = p_{\text{R}}(\bar{\text{A}}) = 1 - p_{\text{R}}(\text{A}) \approx 0,56$
Si la boule tirée est rouge, la probabilité qu'elle provienne de l'urne A n'est donc pas supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de l'urne B.

Partie B

1. $\text{G} = 2x$ si et seulement si les 2 boules tirées sont rouges, donc $p(\text{G} = 2x) = p(\text{RR}) = p(\text{R})^2 = 0,15^2 = \boxed{0,0225}$
$\text{G} = x - 2$ si et seulement si la 1^ère boule est rouge mais pas la 2^ème ou la 2^ème mais pas la 1^ère, donc :
$p(\text{G} = x-2) = p((\text{R} \bar{\text{R}}) \cup (\bar{\text{R}} \text{R})) = 2p(\text{R})p(\bar{\text{R}}) = 2p(\text{R})(1 -p (\text{R})) \\ = 2 \times 0,15 \times 0,85 = \boxed{0,255}$
$\text{G} = -4$ si et seulement si les 2 boules tirées ne sont pas rouges, donc $p(\text{G} = -4) = p(\bar{\text{R}} \bar{\text{R}}) = (1 - p(\text{R}))^2 = 0,85^2 = \boxed{0,7225}$

2. Calcul de l'espérance mathématique
$E(\text{G}) = 2xp(\text{G} = 2x) + (x-2)p(\text{G} = x-2) - 4p(\text{G} = -4)\\ = 0,0225 \times 2x + 0,255 \times (x-2) - 0,7225 \times 4\\ = \boxed{0,3x-3,4}$

3. $E(\text{G}) \ge 0 \: \Longleftrightarrow \: 0,3x-3,4\ge0 \: \Longleftrightarrow \: 0,3x\ge3,4 \: \Longleftrightarrow \: \boxed{x\ge 11,33}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. La proposition 1 est FAUSSE :
z est un nombre complexe d'argument $\dfrac{\pi}{3}$ , il s'écrit donc $z = |z|e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ , donc $z^{100} = \left(|z|e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)^{100} = |z|^{100}e^{\text{i}\frac{100\pi}{3}}$
Or $\dfrac{100\pi}{3} = \dfrac{-2\pi}{3}[2\pi]$ donc $z^{100} = |z|^{100}e^{-\text{i} \frac{2\pi}{3}}$ n'est pas un nombre réel.

2. La proposition 2 est FAUSSE :
Soit M un point d'affixe $z \neq 1$ . On note $z = x + \text{i}y$ où $x$ et y sont des réels.
$M \in (E) \: \Longleftrightarrow \: |\frac{z}{1-z}| = 1 \: \Longleftrightarrow \: |z| = |1-z|\\ \: \Longleftrightarrow \: |x+iy| = |1-x-iy| \: \Longleftrightarrow \: x^2+y^2=(1-x)^2+y^2 \\ \: \Longleftrightarrow \: x^2 + y^2 = 1-2x+x^2+y^2 \: \Longleftrightarrow \: 0=1-2x \\ \: \Longleftrightarrow \: x = \frac{1}{2}$
(E) est donc la droite d'équation $x = \frac{1}{2}$ , c'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire l'axe des imaginaires purs, et non l'axe des réels.

Autre méthode : Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = 1$ . On a : $|z| = |z - 0| = \text{OM}$ et $|1 - z| = |z_{\text{A}} - z| = \text{AM}$ .
Donc : $\left|\dfrac{z}{z-1} \right| = 1 \, \Longleftrightarrow \, |z| = |z-1| \, \Longleftrightarrow \, \text{OM} = \text{AM} \: \Longleftrightarrow \:$ M appartient à la médiatrice du segment [OA]. Or [OA] est inclus dans l'axe des abscisses donc sa médiatrice est parallèle à l'axe des ordonnées.

3. La proposition 3 est VRAIE :
La rotation r de centre K d'affixe $1 + \text{i}\sqrt3$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ a pour écriture complexe : $z' - 1 - \text{i}\sqrt{3} = e^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}\left(z - 1 - \text{i}\sqrt{3}\right)$ , donc : $z' = 1 + \text{i}\sqrt{3} - \text{i}(z - 1 - \text{i}\sqrt3)$ .
L'image du point O d'affixe 0 s'obtient en remplaçant z par 0 :
$z_{r(O)} = 1 + \text{i}\sqrt3 - \text{i}(-1 - \text{i}\sqrt3) = 1 + \text{i}\sqrt3 + \text{i} - \sqrt3 = (1 - \sqrt3) + \text{i}(1 + \sqrt3)$

4. La proposition 4 est VRAIE :
(E) est un trinôme. On calcule $\Delta$ : $\Delta = b^2-4ac = 4 \cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)-4 = 4\left(\cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)-1\right) = -4\sin^2\left(\frac{\pi}{5}\right) < 0$
Donc $z_1 = \frac{-b - \text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-2\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) - 2\text{i}\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)}{2} = -\left(\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \text{i} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\right) = e^{\text{i}\frac{\pi}{5}}$
et $\normalsize z_2 = \frac{-b + \text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a} = \frac{-2\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + 2\text{i}\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)}{2} = -\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) = e^{\text{i}\frac{4\pi}{5}$
On a donc 2 solutions, avec $|z_1| = |z_2| = 1$

Partie B

5. La proposition 5 est VRAIE :
On considère le repère orthonormé $(A,\overrightarrow{\text{AB}},\overrightarrow{\text{AD}},\overrightarrow{\text{AE}})$ . Dans ce repère, les coordonnées des points sont :
A(0 ; 0 ; 0) ; B(1 ; 0 ; 0) ; C(1 ; 1 ; 0) ; D(0 ; 1 ; 0) ; E(0 ; 0 ; 1) ; F(1 ; 0 ; 1) ; G(1 ; 1 ; 1) ; H(0 ; 1 ; 1)
Alors $\overrightarrow{\text{AG}}(1 ; 1 ; 1) \, ; \, \overrightarrow{\text{BD}}(-1 ; 1 ; 0)$ et $\overrightarrow{\text{BE}}(-1 ; 0 ; 1)$ donc :
$\overrightarrow{\text{AG}} \cdot \overrightarrow{\text{BD}} = 1 \times (-1) + 1 \times 1 + 1 \times 0 = -1 + 1 = 0$ donc $\overrightarrow{\text{AG}}$ et $\overrightarrow{\text{BD}}$ sont orthogonaux.
$\overrightarrow{\text{AG}} \cdot \overrightarrow{\text{BE}} = 1 \times (-1) + 1 \times 0 + 1 \times 1 = -1 + 1 = 0$ donc $\overrightarrow{\text{AG}}$ et $\overrightarrow{\text{BE}}$ sont orthogonaux.
Or $\overrightarrow{\text{BD}}$ et $\overrightarrow{\text{BE}}$ sont 2 vecteurs non colinéaires du plan (BDE), donc $\overrightarrow{\text{AG}}$ est normal au plan (BDE).

6. La proposition 6 est FAUSSE :
Dans le repère défini précédemment, on a $\overrightarrow{\text{BE}}(-1 ; 0 ; 1)$ et $\overrightarrow{\text{ED}}(0 ; 1 ; -1)$ donc $\overrightarrow{\text{BE}} \cdot \overrightarrow{\text{ED}} = -1 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times (-1) = -1 \neq 0$
Les vecteurs $\overrightarrow{\text{BE}}$ et $\overrightarrow{\text{ED}}$ ne sont pas orthongonaux. Les droites (BE) et (ED) ne sont pas perpendiculaires.

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. La proposition 1 est VRAIE :
L'homothétie h de centre d'affixe -2 - 2i et de rapport $\dfrac{3\sqrt2}{2}$ a pour écriture complexe $z' + 2 + 2\text{i} = \dfrac{3\sqrt2}{2}(z + 2 + 2\text{i})$ donc $z' = \frac{3\sqrt2}{2}(z + 2 + 2\text{i}) - 2 - 2\text{i}$ .
La rotation r de centre d'affixe -2 - 2i et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}$ a pour écriture complexe $z' + 2 + 2\text{i} = e^{\text{i} \frac{\pi}{4}}(z + 2 + 2\text{i})$ donc $z' = \frac{\sqrt2}{2}(1 - \text{i})(z + 2 + 2\text{i}) - 2 - 2\text{i}$ .
Donc si M' = h(M) et M'' = r(M') = r $\circ$ h(M), où M, M' et M'' sont les points d'affixes z, z' et z'' on a :
$z'' = \dfrac{\sqrt2}{2}(1 - \text{i})(z' + 2 + 2\text{i}) - 2 - 2\text{i} = \dfrac{\sqrt2}{2}(1 - \text{i})\left(\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}(z + 2 + 2\text{i}) - 2 - 2\text{i}\right) + 2 + 2\text{i}\right) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 - \text{i})\left(\frac{3\sqrt2}{2}z + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\text{i} - 2 - 2\text{i} + 2 + 2\text{i}\right) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{\sqrt2}{2}(1 - \text{i})\left(\frac{3\sqrt2}{2}z + 3\sqrt2+3\sqrt2\text{i}\right) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})z + \dfrac{\sqrt2}{2}(1 - \text{i})3\sqrt2(1 + \text{i}) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i}) z + 3(1 - \text{i})(1 + \text{i}) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})z + 6 - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})z + 4- 2\text{i}$
L'écriture de r $\circ$ h est donc bien $z \mapsto \frac{3}{2}(1-\text{i})z + 4 - 2\text{i}$

2. La proposition 2 est FAUSSE :
Pour n = 1 , $5^{6n+1}+2^{3n+1}=5^7+2^4\ \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 [5]$ . Donc $5^{6n+1}+2^{3n+1}$ n'est pas divisible par 5.

La proposition 3 est VRAIE :
$5^2 = 25\equiv 4[7]$ donc $5^6 = (5^2)^3\equiv 4^3 \equiv 4 \times 16 \equiv 4 \times 2 \equiv 8 \equiv 1[7]$ donc $5^{6n} = (5^6)^n \equiv 1^n \equiv 1[7]$ et $5^{6n+1} \equiv 5 \times 5^{6n} \equiv 5 \times 1 \equiv 5 [7]$
$2^3 = 8 \equiv 1 [7]$ donc $2^{3n} \equiv 1^n \equiv 1 [7]$ donc $2^{3n+1} = 2 \times 2^{3n} \equiv 2 \times 1 \equiv 2 [7]$
D'où $5^{6n+1} + 2^{3n+1} \equiv 5 + 2 \equiv 7 \equiv 0 [7]$ donc $5^{6n+1} + 2^{3n+1}$ est divisible par 7.

3. La proposition 4 est VRAIE :
On cherche les solutions entières de l'équation (E) : $11x - 5y = 14$ .
(14 ; 28) est une solution particulière de (E).
$(x \, ; \, y)$ solution de (E) $\Longleftrightarrow \: 11x - 5y = 14 \: \Longleftrightarrow \: 11x - 5y = 11 \times 14 - 5 \times 28 \: \Longleftrightarrow \: 11(x - 14) = 5(y - 28)$
Donc 11 divise 5(y - 28). Or 11 et 5 sont premiers entre eux, donc 11 divise y - 28, donc il existe un entier relatif k tel que $y - 28 = 11k$ , c'est-à-dire $y = 11k + 28$ .
Dans ce cas, $11(x - 14) = 5 \times 11k$ donc $x - 14 = 5k$ donc $x = 5k + 14$
On vient de montrer que si $(x \, ; \, y)$ est solution de (E), alors $(x \, ; \, y)$ s'écrit (5k+14 ; 11k+28) avec k entier relatif.
Réciproquement, si $(x \, ; \, y)$ s'écrit (5k+14 ; 11k+28) avec k entier relatif, on a : $11x-5y = 11(5k+14)-5(11k+28)=55k+154-55k-140=14$ donc $(x \, ; \, y)$ est solution de (E)
Conclusion : $(x \, ; \, y)$ est solution de (E) $\Longleftrightarrow$ il existe un entier relatif k tel que $(x \, ; \, y)$ = (5k+14 ; 11k+28)

4. La proposition 5 est FAUSSE :
Soit $\text{M}(x \, , \, y \, , \, z)$ un point de la section de la surface $\Sigma$ et du plan d'équation $x = \lambda$ (avec $\lambda$ réel).
Ses coordonnées vérifient : $z=x^2+y^2$ et $x=\lambda \: \Longleftrightarrow \: z=\lambda^2+y^2$ et $x=\lambda$
Or $z=\lambda^2+y^2$ est l'équation d'une parabole (et non d'une hyperbole) dans le plan $x=\lambda$ .

La proposition 6 est VRAIE :
On commence par chercher l'aire de la section du solide S par le plan d'équation $z=k$ où k est un réel positif. Cette section a pour équation $x^2+y^2=k$ ; il s'agit donc d'un cercle centré sur l'axe des côtes et de rayon $\sqrt k$ . Son aire est donc donnée par $S(k)=\pi(\sqrt k)^2=k\pi$ .
Le volume du solide délimité par S et les plans d'équation $z=0$ et $z=\frac{9\sqrt2}{2}$ est donné par : $\displaystyle \int_0^{\frac{9\sqrt2}{2}}k\pi \text{d}k = \left[\frac{k^2}{2}\pi \right]_0^{\frac{9\sqrt2}{2}}=\frac{81}{4}\pi$
Le volume du solide délimité par et les plans d'équation et $z=9$ est donné par :
$\displaystyle \int_{\frac{9\sqrt2}{2}}^9 k\pi \text{d}k = \left[\frac{k^2}{2}\pi \right]_{\frac{9\sqrt2}{2}}^4=\frac{81}{2}\pi-\frac{81}{4}\pi=\frac{81}{4}\pi$ .
Ces deux volumes sont donc bien égaux.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A - Démonstration de cours

Soit (u_n) une suite croissante non majorée :
Soit un réel A. La suite est non majorée, donc il existe au moins un terme strictement supérieur à A, donc il existe un entier $n_0$ tel que $u_{n_0} > A$ . Or la suite est croissante, donc pour tout $n>n_0$ , $u_n \ge u_{n_0}>A$ .
On a donc trouvé un rang ( $n_0$ ) à partir duquel tous les termes sont supérieurs à A, donc la suite tend vers $+\infty$ .

Partie B

1. $f$ est définie et dérivable sur $[0,+\infty[$ et sa dérivée vaut : $f'(x) = \frac{1}{x+1}+x$ (on utilise $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ )
Or $x\ge 0$ donc $1+x\ge 1>0$ et $\frac{1}{1+x}>0$ d'où $f'(x)>0$ comme somme de termes positifs.
Donc $f$ est strictement croissante sur $[0,+\infty[$

2. La tangente (T) à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation : $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
Or $f(0)=\ln1+0=0$ et $f'(0)=\frac{1}{1}+0=1$ donc l'équation de la tangente est $\boxed{y=x}$

3.

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Liban 2008 - terminale : image 6

Partie C

1. Cf. graphique B3.

2. A partir de ce graphique, on peut conjecturer que la suite est croissante et qu'elle tend vers $+\infty$ .

3. a) Soit P(n) la propriété : $u_n\ge 1$
$u_0=1\ge 1$ . P(0) est vraie. La propriété est vraie au rang 0.
On suppose que pour n fixé, P(n) est vérifiée. Alors $u_n\ge 1$ , or la fonction $f$ est croissante, donc $f(u_n)\ge f(1)$ , avec $f(u_n)=u_{n+1}$ et $f(1)=\ln2+\frac{1}{2}\approx 1,19\ge 1$ donc $u_{n+1}\ge 1$ . P(n+1) est vérifiée, donc la propriété est héréditaire
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout $n\ge 0$ .
Conclusion : pour tout entier $n\ge 0$ , $u_n\ge 1$

3. b) Sur $[0,+\infty[$ , la courbe est située au-dessus de la tangente (T), donc : $f(x)\ge x$ .
Or pour tout $n\ge 0$ , $u_n\ge 1$ donc $u_n\in[0;+\infty[$ donc $u_{n+1}=f(u_n)\ge u_n$ . La suite est donc croissante.

3. c) Si la suite est majorée, alors c'est une suite croissante majorée, elle admet donc une limite réelle L. Or d'après la question C1, $u_3>2$ et la suite est strictement croissante donc $L>2$ .
Or $u_{n+1}=f(u_n)$ donc par passage à la limite $L=f(L)$
$L=\ln(1+L)+\frac{1}{2}L^2\\ L-\frac{1}{2}L^2=\ln(1+L)\\ L(1-\frac{1}{2}L)=\ln(1+L)$
On a $L>2$ donc $-\frac{1}{2}L<-1$ donc $1-\frac{1}{2}L<0$ , or $L>0$ donc $L(1-\frac{1}{2}L)<0$
D'autre part, $1+L>1$ donc $\ln(1+L)>0$
Donc l'égalité $L(1-\frac{1}{2}L)=\ln(1+L)$ n'est pas possible, donc la limite L n'existe pas, donc la suite n'est pas majorée.

3. d) La suite est croissante et non majorée, elle tend donc vers $+\infty$ : $\boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty}$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. $f$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ; $f(0)=0$ donc la courbe passe par O ; $f(2)=1+e^{-2}$ et $f'(2)=0$ donc la courbe passe par le point $(2;1+e^{-2})$ et y admet une tangente horizontale ; $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1$ donc la courbe admet pour asymptote la droite d'équation $y=1$ au voisinage de $+\infty$ . D'où l'allure de la courbe :

sujet du bac scientifique, obligatoire et spécialité, Liban 2008 - terminale : image 5

2. a) $g(2) = \displaystyle \int_0^2 f(t) \text{d}t$ . Or sur [0 ; 2], $f$ est positive, donc $g(2)$ représente l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe (C), l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x=2$ .

2. b) Sur [0 ; 2], on a : $0\le f(x)\le 1+e^{-2}$ d'où
$\displaystyle \int_0^2 0 \text{d}t \le \displaystyle \int_0^2 f(t) \text{d}t \le \displaystyle \int_0^2 (1+e^{-2}) \text{d}t \\ \left[0 \right]_0^2 \le g(2) \le [(1+e^{-2})t]_0^2 \\ 0 \le g(2) \le 2(1+e^{-2})$
Or $2(1+e^{-2})\approx 2,27 \le 2,5$ donc $\boxed{0\le g(2)\le 2,5}$

3. a) Sur $[2,+\infty[$ et donc a fortiori sur $[2,x]$ , on $f(t)\ge 1$ , donc $\displaystyle \int_2^x f(t) \text{dt} \ge \displaystyle \int_2^x 1 \text{d}t$
Or $\displaystyle \int_2^x 1 \text{d}t = [t]_2^x=x-2$ d'où $\boxed{\displaystyle \int_2^x f(t) \text{d}t \ge x-2}$
Or $g(x) = \displaystyle \int_0^x f(t) \text{d}t = \displaystyle \int_0^2 f(t) \text{d}t + \displaystyle \int_2^x f(t) \text{d}t$ , avec $\displaystyle \int_0^2 f(t) \text{d}t \ge 0$ et $\displaystyle \int_2^x f(t) \text{d}t \ge x-2$ d'où $\boxed{g(x)\ge x-2}$

3. b) Pour tout $x\ge 2$ , on a $g(x)\ge x-2$ or $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}(x-2)=+\infty$ donc $\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}$

4. g est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et sa dérivée vaut $g'(x)=f(x)$ puique g est la primitive de $f$ qui s'annule en $x$ .
Or on peut déduire le signe de $f$ d'après son tableau de variations. On en déduit le tableau de variations de g :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&0&&+\infty \\ \hline g'(x) = f(x)& &-&0&+& \\ \hline \hspace{1pt}&&&&&+\infty\\ g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&&&0&&\\ \hline \end{array}$

Partie B

1. On pose $u(t) = t-1$ et $v'(t) = e^{-t}$ , alors $u'(t) = 1$ et $v(t) = -e^{-t}$ , où $u$ et $v$ sont deux fonction définies et dérivables sur $\mathbb{R}$ . On a alors :
$\displaystyle \int_0^x (t-1)e^{-t} \text{d}t = \displaystyle \int_0^x u(t)v'(t) \text{d}t = [u(t)v(t)]_0^x - \displaystyle \int_0^xu'(t)v(t)dt\\ \hspace{75pt} = [-(t-1)e^{-t}]_0^x + \displaystyle \int_0^xe^{-t}dt = -(x-1)e^{-x}+(0-1)e^0+[-e^{-t}]_0^x\\ \hspace{75pt} = (1-x)e^{-x}-1-e^{-x}+1 = \boxed{-xe^{-x}}$

2. $g(x) = \displaystyle \int_0^xf(t) \text{d}t = \displaystyle \int_0^x \left((t-1)e^{-t}+1\right) \text{d}t = \displaystyle \int_0^x(t-1)e^{-t} \text{d}t + \displaystyle \int_0^x 1 \text{d}t = -xe^{-x} + x = \boxed{x(1-e^{-x})}$

3. $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}g(x) = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}x(1-e^{-x})=\boxed{+\infty}$ car $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}(1-e^{-x})=\displaystyle \lim_{X\to+\infty}(1-e^X)=-\infty$

Publié par tom_pascal/Aurélien le 25-06-2008

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