Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter les quatre exercices. Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
4 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Une urne A contient quatre boules rouges et six boules noires.
Une urne B contient une boule rouge et neuf boules noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.
Partie A
Un joueur dispose d'un dé à six faces, parfaitement équilibré, numéroté de 1 à 6. Il le lance une fois : s'il obtient 1, il tire au hasard une boule de l'urne A, sinon il tire au hasard une boule de l'urne B.
1. Soit R l'événement " le joueur obtient une boule rouge ".
Montrer que p(R) = 0,15.
2. Si le joueur obtient une boule rouge, la probabilité qu'elle provienne de A est-elle supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de B ?
Partie B
Le joueur répète deux fois l'épreuve décrite dans la partie A, dans des conditions identiques et indépendantes (c'est-à-dire qu'à l'issue de la première épreuve, les urnes retrouvent leur composition initiale).
Soit un entier naturel non nul.
Lors de chacune des deux épreuves, le joueur gagne euros s'il obtient une boule rouge et perd deux euros s'il obtient une boule noire.
On désigne par G la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur en euros au terme des deux épreuves. La variable aléatoire G prend donc les valeurs et -4.
1. Déterminer la loi de probabilité de G.
2. Exprimer l'espérance E(G) de la variable aléatoire G en fonction de .
3. Pour quelles valeurs de a-t-on E(G) 0 ?
5 points
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
Partie A
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
1. Soit z un nombre complexe d'argument Proposition 1 : " z100 est un nombre réel ".
2. Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z différente de 1 du plan telle que Proposition 2 : " l'ensemble (E) est une droite parallèle à l'axe des réels ".
3. Soit r la rotation d'angle et dont le centre K a pour affixe Proposition 3 : " l'image du point O par la rotation r a pour affixe "
4. On considère l'équation (E) suivante : Proposition 4 : " l'équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1 ".
Partie B
On considère le cube ABCDEFGH d'arête 1, représenté ci-dessous.
Proposition 5 : " le vecteur est normal au plan (BDE)".
Proposition 6 : " les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires ".
5 points
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
1. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct , on considère la similitude directe d'écriture complexe .
Proposition 1 : " où est l'homothétie de rapport et de centre le point d'affixe -2 - 2i et où est la rotation de centre et d'angle ".
2. Pour tout entier naturel non nul :
Proposition 2 : " est divisible par 5 ".
Proposition 3 : " est divisible par 7 ".
3. Dans le plan muni d'un repère, est la droite d'équation .
Proposition 4 : " Les points de à coordonnées entières sont les points de coordonnées ( ; ) où
4. L'espace est rapporté à un repère orthonormal La surface ci-dessous a pour équation .
Proposition 5 : " la section de la surface et du plan d'équation , où est un réel, est une hyperbole ".
Proposition 6 : " le plan d'équation partage le solide délimité par et le plan d'équation en deux solides de même volume ".
Rappel : Soit V le volume du solide délimité par et les plans d'équations et où . V est donné par la formule V= où S(k) est l'aire de la section du solide par le plan d'équation où [a ; b].
6 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A - Démonstration de cours
Prérequis : définition d'une suite tendant vers .
" une suite tend vers si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d'un certain rang, supérieurs à A "
Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers .
Partie B
On considère la fonction définie sur l'intervalle [0 ; [ par .
La courbe (C) représentative de la fonction dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Ce graphique sera complété.
1. Etudier le sens de variation de la fonction sur l'intervalle [0 ; [.
2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0.
3. Tracer la droite (T) sur le graphique précédent.
Dans la suite de l'exercice, on admet que, sur l'intervalle [0 ; [, la courbe (C) est située au dessus de la droite (T).
Partie C
On considère la suite définie sur par :
et, pour tout entier naturel , .
1. Construire sur l'axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
2. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite et son comportement lorsque tend vers ?
3. a) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel , .
b) Montrer que la suite est croissante.
c) Montrer que la suite n'est pas majorée.
d) En déduire la limite de la suite .
5 points
exercice 4 - Commun à tous les candidats
On considère une fonction dérivable sur l'intervalle ] ; [.
On donne le tableau de ses variations :
Soit la fonction définie sur ] ; [ par .
Partie A
1. En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe susceptible de représenter dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonnées).
2. a) Interpréter graphiquement .
b) Montrer que .
3. a) Soit un réel supérieur à 2.
Montrer que . En déduire que .
b) Déterminer la limite de en .
4. Étudier le sens de variation de la fonction sur l'intervalle ] ; [.
Partie B
On admet que pour tout réél , .
1. A l'aide d'une intégration par parties, exprimer en fonction du réel l'intégrale .
1. Soit A l'évènement "le chiffre sur le dé est 1" (et donc il tire une boule dans l'urne A).
Il y a 2 manières d'obtenir une boule rouge :
soit il obtient 1 au dé et il tire une des 4 boules rouges parmi les 10 boules de l'urne A :
soit il n'obtient pas 1 au dé et il tire la seule boule rouge parmi les 10 boules de l'urne B :
D'où :
2. On calcule : et donc Si la boule tirée est rouge, la probabilité qu'elle provienne de l'urne A n'est donc pas supérieure ou égale à la probabilité qu'elle provienne de l'urne B.
Partie B
1. si et seulement si les 2 boules tirées sont rouges, donc si et seulement si la 1ère boule est rouge mais pas la 2ème ou la 2ème mais pas la 1ère, donc :
si et seulement si les 2 boules tirées ne sont pas rouges, donc
2. Calcul de l'espérance mathématique
3.
exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie A
1.La proposition 1 est FAUSSE :
z est un nombre complexe d'argument , il s'écrit donc , donc Or donc n'est pas un nombre réel.
2.La proposition 2 est FAUSSE :
Soit M un point d'affixe . On note où et y sont des réels.
(E) est donc la droite d'équation , c'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire l'axe des imaginaires purs, et non l'axe des réels.
Autre méthode : Soit A le point d'affixe . On a : et .
Donc : M appartient à la médiatrice du segment [OA]. Or [OA] est inclus dans l'axe des abscisses donc sa médiatrice est parallèle à l'axe des ordonnées.
3.La proposition 3 est VRAIE :
La rotation r de centre K d'affixe et d'angle a pour écriture complexe : , donc : .
L'image du point O d'affixe 0 s'obtient en remplaçant z par 0 :
4.La proposition 4 est VRAIE :
(E) est un trinôme. On calcule : Donc et On a donc 2 solutions, avec
Partie B
5.La proposition 5 est VRAIE :
On considère le repère orthonormé . Dans ce repère, les coordonnées des points sont :
A(0 ; 0 ; 0) ; B(1 ; 0 ; 0) ; C(1 ; 1 ; 0) ; D(0 ; 1 ; 0) ; E(0 ; 0 ; 1) ; F(1 ; 0 ; 1) ; G(1 ; 1 ; 1) ; H(0 ; 1 ; 1)
Alors et donc :
donc et sont orthogonaux.
donc et sont orthogonaux.
Or et sont 2 vecteurs non colinéaires du plan (BDE), donc est normal au plan (BDE).
6.La proposition 6 est FAUSSE :
Dans le repère défini précédemment, on a et donc Les vecteurs et ne sont pas orthongonaux. Les droites (BE) et (ED) ne sont pas perpendiculaires.
exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1.La proposition 1 est VRAIE :
L'homothétie h de centre d'affixe -2 - 2i et de rapport a pour écriture complexe donc .
La rotation r de centre d'affixe -2 - 2i et d'angle a pour écriture complexe donc .
Donc si M' = h(M) et M'' = r(M') = rh(M), où M, M' et M'' sont les points d'affixes z, z' et z'' on a :
L'écriture de rh est donc bien
2.La proposition 2 est FAUSSE :
Pour n = 1 , . Donc n'est pas divisible par 5.
La proposition 3 est VRAIE :
donc donc et donc donc D'où donc est divisible par 7.
3.La proposition 4 est VRAIE :
On cherche les solutions entières de l'équation (E) : .
(14 ; 28) est une solution particulière de (E).
solution de (E) Donc 11 divise 5(y - 28). Or 11 et 5 sont premiers entre eux, donc 11 divise y - 28, donc il existe un entier relatif k tel que , c'est-à-dire .
Dans ce cas, donc donc On vient de montrer que si est solution de (E), alors s'écrit (5k+14 ; 11k+28) avec k entier relatif.
Réciproquement, si s'écrit (5k+14 ; 11k+28) avec k entier relatif, on a : donc est solution de (E)
Conclusion : est solution de (E) il existe un entier relatif k tel que = (5k+14 ; 11k+28)
4.La proposition 5 est FAUSSE :
Soit un point de la section de la surface et du plan d'équation (avec réel).
Ses coordonnées vérifient : et et Or est l'équation d'une parabole (et non d'une hyperbole) dans le plan .
La proposition 6 est VRAIE :
On commence par chercher l'aire de la section du solide S par le plan d'équation où k est un réel positif. Cette section a pour équation ; il s'agit donc d'un cercle centré sur l'axe des côtes et de rayon . Son aire est donc donnée par .
Le volume du solide délimité par S et les plans d'équation et est donné par : Le volume du solide délimité par et les plans d'équation et est donné par :
.
Ces deux volumes sont donc bien égaux.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Partie A - Démonstration de cours
Soit (un) une suite croissante non majorée :
Soit un réel A. La suite est non majorée, donc il existe au moins un terme strictement supérieur à A, donc il existe un entier tel que . Or la suite est croissante, donc pour tout , .
On a donc trouvé un rang () à partir duquel tous les termes sont supérieurs à A, donc la suite tend vers .
Partie B
1. est définie et dérivable sur et sa dérivée vaut : (on utilise )
Or donc et d'où comme somme de termes positifs.
Donc est strictement croissante sur
2. La tangente (T) à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation : Or et donc l'équation de la tangente est
3.
Partie C
1. Cf. graphique B3.
2. A partir de ce graphique, on peut conjecturer que la suite est croissante et qu'elle tend vers .
3. a) Soit P(n) la propriété : . P(0) est vraie. La propriété est vraie au rang 0.
On suppose que pour n fixé, P(n) est vérifiée. Alors , or la fonction est croissante, donc , avec et donc . P(n+1) est vérifiée, donc la propriété est héréditaire
La propriété est vraie au rang 0 et héréditaire, elle est donc vraie pour tout .
Conclusion : pour tout entier ,
3. b) Sur , la courbe est située au-dessus de la tangente (T), donc : .
Or pour tout , donc donc . La suite est donc croissante.
3. c) Si la suite est majorée, alors c'est une suite croissante majorée, elle admet donc une limite réelle L. Or d'après la question C1, et la suite est strictement croissante donc .
Or donc par passage à la limite On a donc donc , or donc D'autre part, donc Donc l'égalité n'est pas possible, donc la limite L n'existe pas, donc la suite n'est pas majorée.
3. d) La suite est croissante et non majorée, elle tend donc vers :
exercice 4 - Commun à tous les candidats
Partie A
1. tend vers quand tend vers ; donc la courbe passe par O ; et donc la courbe passe par le point et y admet une tangente horizontale ; donc la courbe admet pour asymptote la droite d'équation au voisinage de . D'où l'allure de la courbe :
2. a). Or sur [0 ; 2], est positive, donc représente l'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe (C), l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
2. b) Sur [0 ; 2], on a : d'où
Or donc
3. a) Sur et donc a fortiori sur , on , donc Or d'où Or , avec et d'où
3. b) Pour tout , on a or donc
4.g est définie et dérivable sur et sa dérivée vaut puique g est la primitive de qui s'annule en .
Or on peut déduire le signe de d'après son tableau de variations. On en déduit le tableau de variations de g :
Partie B
1. On pose et , alors et , où et sont deux fonction définies et dérivables sur . On a alors :
2.
3. car
Publié par tom_pascal/Aurélien
le
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un entier naturel non nul.
et -4.
0 ?
.)
et dont le centre K a pour affixe 
 + \text{i} (1 + \sqrt{3}))
"
 z + 1 = 0.)
est normal au plan (BDE)".
)
, on considère la similitude directe 
d'écriture complexe z+4-2i)
.
où 
est l'homothétie de rapport 
et de centre le point 
d'affixe -2 - 2i et où 
est la rotation de centre 
".
non nul :
est divisible par 5 ".
)
est la droite d'équation 
.
; 
) où 
.)
ci-dessous a pour équation 
.
, où 
est un réel, est une hyperbole ".
partage le solide délimité par 
en deux solides de même volume ".
.
 = \ln(x+1)+\dfrac{1}{2}x^2)
.
)
définie sur 
par :
et, pour tout entier naturel )
.
.
; 
la fonction définie sur ]=\displaystyle \int_0^xf(t)dt)
.
)
susceptible de représenter )
.
 \le 2,5)
.
dt \ge x-2)
. En déduire que  \ge x-2)
.
, =(t-1)e^{-t}+1)
.
e^{-t}dt)
.
 = x(1-e^{-x}))
.
 = p(\text{A})p_{\text{A}}(\text{R}) = \dfrac{1}{6} \times \dfrac{4}{10} = \dfrac{1}{15})
 = \dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60})
 = p(\text{A} \cap \text{R}) + p(\bar{\text{A}} \cap \text{R}) = \dfrac{1}{15} + \dfrac{5}{60} = \dfrac{9}{60} = \dfrac{3}{20} = \boxed{0,15})
)
:  = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{R})}{p(\text{R})} = \dfrac{1/15}{0,15} \approx 0,44)
et donc  = p_{\text{R}}(\bar{\text{A}}) = 1 - p_{\text{R}}(\text{A}) \approx 0,56)
si et seulement si les 2 boules tirées sont rouges, donc  = p(\text{RR}) = p(\text{R})^2 = 0,15^2 = \boxed{0,0225})
si et seulement si la 1ère boule est rouge mais pas la 2ème ou la 2ème mais pas la 1ère, donc :
 = p((\text{R} \bar{\text{R}}) \cup (\bar{\text{R}} \text{R})) = 2p(\text{R})p(\bar{\text{R}}) = 2p(\text{R})(1 -p (\text{R})) \\ = 2 \times 0,15 \times 0,85 = \boxed{0,255})
si et seulement si les 2 boules tirées ne sont pas rouges, donc  = p(\bar{\text{R}} \bar{\text{R}}) = (1 - p(\text{R}))^2 = 0,85^2 = \boxed{0,7225})
 = 2xp(\text{G} = 2x) + (x-2)p(\text{G} = x-2) - 4p(\text{G} = -4)\\ = 0,0225 \times 2x + 0,255 \times (x-2) - 0,7225 \times 4\\ = \boxed{0,3x-3,4})
 \ge 0 \: \Longleftrightarrow \: 0,3x-3,4\ge0 \: \Longleftrightarrow \: 0,3x\ge3,4 \: \Longleftrightarrow \: \boxed{x\ge 11,33})
, il s'écrit donc 
, donc ^{100} = |z|^{100}e^{\text{i}\frac{100\pi}{3}})
![\dfrac{100\pi}{3} = \dfrac{-2\pi}{3}[2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{100\pi}{3} = \dfrac{-2\pi}{3}[2\pi])
donc 
n'est pas un nombre réel.
. On note 
où  \: \Longleftrightarrow \: |\frac{z}{1-z}| = 1 \: \Longleftrightarrow \: |z| = |1-z|\\ \: \Longleftrightarrow \: |x+iy| = |1-x-iy| \: \Longleftrightarrow \: x^2+y^2=(1-x)^2+y^2 \\ \: \Longleftrightarrow \: x^2 + y^2 = 1-2x+x^2+y^2 \: \Longleftrightarrow \: 0=1-2x \\ \: \Longleftrightarrow \: x = \frac{1}{2})
, c'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées, c'est-à-dire l'axe des imaginaires purs, et non l'axe des réels.
. On a : 
et 
.
M appartient à la médiatrice du segment [OA]. Or [OA] est inclus dans l'axe des abscisses donc sa médiatrice est parallèle à l'axe des ordonnées.
et d'angle 
a pour écriture complexe : )
, donc : )
.
} = 1 + \text{i}\sqrt3 - \text{i}(-1 - \text{i}\sqrt3) = 1 + \text{i}\sqrt3 + \text{i} - \sqrt3 = (1 - \sqrt3) + \text{i}(1 + \sqrt3))
: -4 = 4\left(\cos^2\left(\frac{\pi}{5}\right)-1\right) = -4\sin^2\left(\frac{\pi}{5}\right) < 0)
 - 2\text{i}\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)}{2} = -\left(\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \text{i} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\right) = e^{\text{i}\frac{\pi}{5}})
 + 2\text{i}\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)}{2} = -\cos\left(\frac{\pi}{5}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{4\pi}{5}\right) = e^{\text{i}\frac{4\pi}{5})
)
. Dans ce repère, les coordonnées des points sont :
 \, ; \, \overrightarrow{\text{BD}}(-1 ; 1 ; 0))
et )
donc :
 + 1 \times 1 + 1 \times 0 = -1 + 1 = 0)
donc 
sont orthogonaux.
 + 1 \times 0 + 1 \times 1 = -1 + 1 = 0)
donc 
sont orthogonaux.
)
donc  = -1 \neq 0)
ne sont pas orthongonaux. Les droites (BE) et (ED) ne sont pas perpendiculaires.
a pour écriture complexe )
donc  - 2 - 2\text{i})
.
)
donc (z + 2 + 2\text{i}) - 2 - 2\text{i})
.
h(M), où M, M' et M'' sont les points d'affixes z, z' et z'' on a :
(z' + 2 + 2\text{i}) - 2 - 2\text{i} = \dfrac{\sqrt2}{2}(1 - \text{i})\left(\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}(z + 2 + 2\text{i}) - 2 - 2\text{i}\right) + 2 + 2\text{i}\right) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(1 - \text{i})\left(\frac{3\sqrt2}{2}z + 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\text{i} - 2 - 2\text{i} + 2 + 2\text{i}\right) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{\sqrt2}{2}(1 - \text{i})\left(\frac{3\sqrt2}{2}z + 3\sqrt2+3\sqrt2\text{i}\right) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})z + \dfrac{\sqrt2}{2}(1 - \text{i})3\sqrt2(1 + \text{i}) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i}) z + 3(1 - \text{i})(1 + \text{i}) - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})z + 6 - 2 - 2\text{i}\\ = \dfrac{3}{2}(1 - \text{i})z + 4- 2\text{i})
z + 4 - 2\text{i})
![5^{6n+1}+2^{3n+1}=5^7+2^4\ \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 [5]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5^{6n+1}+2^{3n+1}=5^7+2^4\ \equiv 2^4 \equiv 16 \equiv 1 [5])
. Donc ![5^2 = 25\equiv 4[7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5^2 = 25\equiv 4[7])
donc ![5^6 = (5^2)^3\equiv 4^3 \equiv 4 \times 16 \equiv 4 \times 2 \equiv 8 \equiv 1[7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5^6 = (5^2)^3\equiv 4^3 \equiv 4 \times 16 \equiv 4 \times 2 \equiv 8 \equiv 1[7])
donc ![5^{6n} = (5^6)^n \equiv 1^n \equiv 1[7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5^{6n} = (5^6)^n \equiv 1^n \equiv 1[7])
et ![5^{6n+1} \equiv 5 \times 5^{6n} \equiv 5 \times 1 \equiv 5 [7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5^{6n+1} \equiv 5 \times 5^{6n} \equiv 5 \times 1 \equiv 5 [7])
![2^3 = 8 \equiv 1 [7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2^3 = 8 \equiv 1 [7])
donc ![2^{3n} \equiv 1^n \equiv 1 [7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2^{3n} \equiv 1^n \equiv 1 [7])
donc ![2^{3n+1} = 2 \times 2^{3n} \equiv 2 \times 1 \equiv 2 [7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?2^{3n+1} = 2 \times 2^{3n} \equiv 2 \times 1 \equiv 2 [7])
![5^{6n+1} + 2^{3n+1} \equiv 5 + 2 \equiv 7 \equiv 0 [7]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?5^{6n+1} + 2^{3n+1} \equiv 5 + 2 \equiv 7 \equiv 0 [7])
donc 
est divisible par 7.
.
)
solution de (E)  = 5(y - 28))
, c'est-à-dire 
.
 = 5 \times 11k)
donc 
donc 
-5(11k+28)=55k+154-55k-140=14)
donc 
il existe un entier relatif k tel que )
un point de la section de la surface 
(avec 
et 
est l'équation d'une parabole (et non d'une hyperbole) dans le plan 
où k est un réel positif. Cette section a pour équation 
; il s'agit donc d'un cercle centré sur l'axe des côtes et de rayon 
. Son aire est donc donnée par =\pi(\sqrt k)^2=k\pi)
.
et 
est donné par : ![\displaystyle \int_0^{\frac{9\sqrt2}{2}}k\pi \text{d}k = \left[\frac{k^2}{2}\pi \right]_0^{\frac{9\sqrt2}{2}}=\frac{81}{4}\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \int_0^{\frac{9\sqrt2}{2}}k\pi \text{d}k = \left[\frac{k^2}{2}\pi \right]_0^{\frac{9\sqrt2}{2}}=\frac{81}{4}\pi)
![\displaystyle \int_{\frac{9\sqrt2}{2}}^9 k\pi \text{d}k = \left[\frac{k^2}{2}\pi \right]_{\frac{9\sqrt2}{2}}^4=\frac{81}{2}\pi-\frac{81}{4}\pi=\frac{81}{4}\pi](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \int_{\frac{9\sqrt2}{2}}^9 k\pi \text{d}k = \left[\frac{k^2}{2}\pi \right]_{\frac{9\sqrt2}{2}}^4=\frac{81}{2}\pi-\frac{81}{4}\pi=\frac{81}{4}\pi)
.
tel que 
. Or la suite est croissante, donc pour tout 
, 
.
et sa dérivée vaut :  = \frac{1}{x+1}+x)
(on utilise '=\frac{u'}{u})
)
donc 
et 
d'où >0)
comme somme de termes positifs.
(x-0)+f(0))
=\ln1+0=0)
et =\frac{1}{1}+0=1)
donc l'équation de la tangente est 
. P(0) est vraie. La propriété est vraie au rang 0.
\ge f(1))
, avec =u_{n+1})
et =\ln2+\frac{1}{2}\approx 1,19\ge 1)
donc 
. P(n+1) est vérifiée, donc la propriété est héréditaire
.
\ge x)
.
donc \ge u_n)
. La suite est donc croissante.
et la suite est strictement croissante donc 
.
)
+\frac{1}{2}L^2\\ L-\frac{1}{2}L^2=\ln(1+L)\\ L(1-\frac{1}{2}L)=\ln(1+L))
donc 
, or 
donc <0)
donc >0)
=\ln(1+L))
n'est pas possible, donc la limite L n'existe pas, donc la suite n'est pas majorée.
=0)
donc la courbe passe par O ; =1+e^{-2})
et =0)
donc la courbe passe par le point )
et y admet une tangente horizontale ; =1)
donc la courbe admet pour asymptote la droite d'équation 
au voisinage de 
 = \displaystyle \int_0^2 f(t) \text{d}t)
. Or sur [0 ; 2], 
.
\le 1+e^{-2})
d'où
![\displaystyle \int_0^2 0 \text{d}t \le \displaystyle \int_0^2 f(t) \text{d}t \le \displaystyle \int_0^2 (1+e^{-2}) \text{d}t \\ \left[0 \right]_0^2 \le g(2) \le [(1+e^{-2})t]_0^2 \\ 0 \le g(2) \le 2(1+e^{-2})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \int_0^2 0 \text{d}t \le \displaystyle \int_0^2 f(t) \text{d}t \le \displaystyle \int_0^2 (1+e^{-2}) \text{d}t \\ \left[0 \right]_0^2 \le g(2) \le [(1+e^{-2})t]_0^2 \\ 0 \le g(2) \le 2(1+e^{-2}))
\approx 2,27 \le 2,5)
donc \le 2,5})
et donc a fortiori sur ![[2,x]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[2,x])
, on \ge 1)
, donc  \text{dt} \ge \displaystyle \int_2^x 1 \text{d}t)
![\displaystyle \int_2^x 1 \text{d}t = [t]_2^x=x-2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \int_2^x 1 \text{d}t = [t]_2^x=x-2)
d'où  \text{d}t \ge x-2})
 = \displaystyle \int_0^x f(t) \text{d}t = \displaystyle \int_0^2 f(t) \text{d}t + \displaystyle \int_2^x f(t) \text{d}t)
, avec  \text{d}t \ge 0)
et  \text{d}t \ge x-2)
d'où \ge x-2})
, on a \ge x-2)
or =+\infty)
donc =+\infty})
et sa dérivée vaut =f(x))
puique g est la primitive de  = f(x)& &-&0&+& \\ \hline \hspace{1pt}&&&&&+\infty\\ g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\ \hspace{1pt}&&&0&&\\ \hline \end{array})
 = t-1)
et  = e^{-t})
, alors  = 1)
et  = -e^{-t})
, où 
et 
sont deux fonction définies et dérivables sur ![\displaystyle \int_0^x (t-1)e^{-t} \text{d}t = \displaystyle \int_0^x u(t)v'(t) \text{d}t = [u(t)v(t)]_0^x - \displaystyle \int_0^xu'(t)v(t)dt\\ \hspace{75pt} = [-(t-1)e^{-t}]_0^x + \displaystyle \int_0^xe^{-t}dt = -(x-1)e^{-x}+(0-1)e^0+[-e^{-t}]_0^x\\ \hspace{75pt} = (1-x)e^{-x}-1-e^{-x}+1 = \boxed{-xe^{-x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \int_0^x (t-1)e^{-t} \text{d}t = \displaystyle \int_0^x u(t)v'(t) \text{d}t = [u(t)v(t)]_0^x - \displaystyle \int_0^xu'(t)v(t)dt\\ \hspace{75pt} = [-(t-1)e^{-t}]_0^x + \displaystyle \int_0^xe^{-t}dt = -(x-1)e^{-x}+(0-1)e^0+[-e^{-t}]_0^x\\ \hspace{75pt} = (1-x)e^{-x}-1-e^{-x}+1 = \boxed{-xe^{-x}})
 = \displaystyle \int_0^xf(t) \text{d}t = \displaystyle \int_0^x \left((t-1)e^{-t}+1\right) \text{d}t = \displaystyle \int_0^x(t-1)e^{-t} \text{d}t + \displaystyle \int_0^x 1 \text{d}t = -xe^{-x} + x = \boxed{x(1-e^{-x})})
 = \displaystyle \lim_{x\to-\infty}x(1-e^{-x})=\boxed{+\infty})
car =\displaystyle \lim_{X\to+\infty}(1-e^X)=-\infty)
Publié par tom_pascal/Aurélien
le
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