Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Session Septembre 2008

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.

8 points

exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 1 cm, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x,~ y)$ dont les coordonnées vérifient l'équation : $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2 }{16} = 1$ .

1. L'ensemble $\mathcal{C}$ est-il :

Une parabole ?

Une hyperbole ?

Une ellipse ?

2. On appelles S et S' les deux sommets de $\mathcal{C}$ , S ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de S et S'.

3. On appelle F et F' les deux foyers de $\mathcal{C}$ , F ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de F et F'.

4. Parmi les relations suivantes, quelle est celle que vérifient les points $M$ de $\mathcal{C}$ ?

MF+MF' = 6

|MF-MF'| = 8

|MF-MF'| = 10

5. Déterminer les coordonnées des points C₁ et C₂ de $\mathcal{C}$ d'abscisse 7.

6. Sur une feuille de papier millimétré, placer le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , les sommets S et S' ainsi que les foyers F et F' ; placer aussi les points trouvés à la question précédente. Tracer enfin la courbe $\mathcal{C}$ (on pourra s'aider d'une symétrie).

12 points

exercice 2

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \text{e}^x - 2x$ et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unité graphique 2 cm.

1. On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$
    a) Calculer $f'(x)$ .
    b) Résoudre dans l'ensemble $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x) > 0$ , puis en déduire le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $- \infty$ .

3. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = -2x$ .
    a) Exprimer $[f(x) - (- 2x)]$ en fonction de $x$ .
    b) Déterminer la limite de $[f(x) - (- 2x)]$ quand $x$ tend vers $- \infty$ .
    c) En déduire l'existence d'une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$ .

4. Vérifier que, pour tout $x > 0, f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 2 \right)$ . En déduire la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$ .

5. Construire le tableau de variations de la fonction $f$

6. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 0.

7. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs seront arrondies au centième) :

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	0	0,7	1	2	2,5
$f(x)$

8. Dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ , tracer la droite $\Delta$ , la tangente T puis la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ .

9. Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ (on donnera la valeur exacte).

10. a) Hachurer la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 1$ et la courbe $\mathcal{C}$ .
b) Déduire de la question 9 la valeur exacte, en cm², de l'aire de cette partie puis en donner une valeur arrondie au centième.

Correction

EXERCICE 1

$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{16}=1$
1. L'ensemble $\mathcal{C}$

L'équation proposée est du type $:\quad \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \text{ avec }a=b=4$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'ensemble }\mathcal{C}\text{ est une }\textcolor{blue}{\text{hyperbole d'axe focal l'axe des abscisses}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

2. Coordonnées des sommets $S$ et $S'$

Les coordonnées des sommets de l'hyperbole sont $S(a,0)$ et $S'(-a,0)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les coordonnées des sommets sont }\textcolor{blue}{S(4,0)}\textcolor{blue}{\text{ et }}\textcolor{blue}{S'(-4,0)}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

3. Coordonnées des foyers $F$ et $F'$

Les coordonnées des foyers de l'hyperbole sont $F(c,0)$ et $F'(-c,0)$ avec $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les coordonnées des sommets sont }\textcolor{blue}{F(4\sqrt{2},0)}\textcolor{blue}{\text{ et }}\textcolor{blue}{F'(-4\sqrt{2},0)}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

4. Relation que vérifient les points $M$ de $\mathcal{C}$

L'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ de foyers $F$ et $F'$ est l'ensemble des points du plan vérifiant $\mid MF-MF'\mid=2a$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les points }M\textcolor{blue}{\text{ de }}\mathcal{C}\textcolor{blue}{\text{ vérifient la relation suivante : }}\textcolor{blue}{\mid MF-MF'\mid=8}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

5. Coordonnées des points $C_1$ et $C_2$ d'abscisse $7$

$\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{16}=1\Longleftrightarrox y=\pm\sqrt{x^2-16}$

$x=7\Longrightarrow y=\pm\sqrt{7^2-16}=\pm\sqrt{33}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les points recherchés sont : }\textcolor{blue}{C_1(7\;;\;\sqrt{33})}\textcolor{blue}{\text{ et }}\textcolor{blue}{C_2(7\;;\;-\sqrt{33})}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

6. Représentation graphique

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2008 - terminale : image 3

EXERCICE 2

$f(x)=e^x-2x$

1. La fonction $f$ est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R.

a. Calcul de $f'(x)$

$f'(x)=e^x-2$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La dérivée de }f\text{ est définie sur }\textbf{ R }\text{ par }\textcolor{blue}{f'(x)=e^x-2}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

b. Résolution de $f'(x)>0$ et signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{\R}$

$f'(x)>0\Longleftrightarrow e^x-2>0\Longleftrightarrow e^x>2\Longleftrightarrow x>\ln 2$

$\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=0\text{ pour }x=\ln 2 } \;;\;\textcolor{blue}{f'(x)<0}\textcolor{blue}{\text{ pour }}\textcolor{blue}{x\in]-\infty,\ln 2[}\textcolor{blue}{\text{ et }\textcolor{blue}{f'(x)>0}\textcolor{blue}{\text{ pour }}\textcolor{blue}{x\in]\ln 2,+\infty[}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

2. Limite de $f$ en $-\infty$

$\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}e^x-2x=\lim\limits_{X\to +\infty}e^{-X}+2X=\lim\limits_{X\to +\infty}\underbrace{\dfrac{1}{e^X}}_{\to 0}+2X=\lim\limits_{X\to +\infty}2X=+\infty\text{ en posant }X=-x$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La limite est donc : }\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

3. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=-2x$

a. Expression de $[f(x)-(-2x)]$

$[f(x)-(-2x)]=f(x)+2x=e^x-\cancel{2x}+\cancel{2x}=e^x$

$\boxed{\textcolor{blue}{[f(x)-(-2x)]=e^x}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

b. Limite de $[f(x)-(-2x)]$ en $-\infty$

$\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(-2x)]=\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{1}{e^X}=0\text{ en posant }X=-x$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La limite est donc : }\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(-2x)]=0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

c. Asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$

On a :

$\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(-2x)]=0$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe }\Mathcall{C}\textcolor{blue}{\text{ admet donc la droite }}\Delta\textcolor{blue}{\text{ déquation }}\textcolor{blue}{y=-2x}\textcolor{blue}{\text{ pour asymptote oblique en} -\infty .}}}}$

4. En mettant $x$ en facteur, on obtient immédiatement : $\forall x>0,f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-2\right)$ .

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }\textcolor{blue}{\forall x>0,f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-2\right)}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}x(\underbrace{\dfrac{e^x}{x}}_{\to +\infty}-2)=+\infty$

$\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

5. Tableau de variations de $f$

$\begin{array}{|c||ccccc||}\hline x&-\infty&&ln2&&+\infty \\\hline{f'(x)}& &-&0&+& \\\hline{f}&^{+\infty}&\searrow&_{2-2ln2}&\nearrow&^{+\infty}&\hline\end{array}$

6. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$ est donné par $f'(0)$

$f'(0)=e^0-2=1-2=-1$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse }0\textcolor{blue}{\text{ est égal à }}\textcolor{blue}{-1}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

7. Tableau de valeurs

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \cellcolor{blue!25}x&\cellcolor{blue!25}-3&\cellcolor{blue!25}-2&\cellcolor{blue!25}-1&\cellcolor{blue!25}0&\cellcolor{blue!25}0,7&\cellcolor{blue!25}1&\cellcolor{blue!25}2&\cellcolor{blue!25}2,5\\ \hline \cellcolor{blue!25}f(x)& \color{red} 6,05 & \color{red}4,14 & \color{red}2,37 & \color{red}1 & \color{red}0,61 & \color{red}0,72 & \color{red}3,39 & \color{red}7,18\\ \hline \end{tabular}$

8. Représentation graphique

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2008 - terminale : image 1

9. Calcul de $\displaystyle\int_0^1f(x)dx$

$\displaystyle\int_0^1f(x)\text{d}x=\int_0^1(e^x-2x)\text{d}x=\left[e^x-x^2]^1_0=(e-1)-(1-0)=e-2\approx 0,718$

$\boxed{\textcolor{blue}{\displaystyle\int_0^1f(x)dx=e-2}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

10.a Représentation graphique

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2008 - terminale : image 2

b. Valeur de l'aire hachurée :

Sur [0 ; 1], la fonction $f$ ne prend que des valeurs positives, donc l'aire recherchée est égale à :

$\displaystyle\int_0^1f(x)dx=e-2=0,718\text{ unité d'aire}$

L'unité graphique étant de 2 cm, une unité d'aire sera donc telle que :

$1\text{ unité d'aire }=2\times 2=4\text{ cm}^2$

L'aire est donc égale à $(e-2)\times 4=2,87\text{ cm}^2$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'aire considérée est donc égale à }\textcolor{blue}{2,87\text{ cm}^2}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}$

Publié par TP/Jedoniezh le 13-02-2016

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