Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Session Septembre 2008

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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
8 points

exercice 1

Dans un repère orthonormé (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 1 cm, on considère l'ensemble \mathcal{C} des points M(x,~ y) dont les coordonnées vérifient l'équation :
\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2 }{16} =  1.


1. L'ensemble \mathcal{C} est-il :
Une parabole ?Une hyperbole ?Une ellipse ?

2. On appelles S et S' les deux sommets de \mathcal{C}, S ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de S et S'.

3. On appelle F et F' les deux foyers de \mathcal{C}, F ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de F et F'.

4. Parmi les relations suivantes, quelle est celle que vérifient les points M de \mathcal{C} ?
MF+MF' = 6|MF-MF'| = 8|MF-MF'| = 10

5. Déterminer les coordonnées des points C1 et C2 de \mathcal{C} d'abscisse 7.

6. Sur une feuille de papier millimétré, placer le repère (O ; \vec{i},\vec{j}), les sommets S et S' ainsi que les foyers F et F' ; placer aussi les points trouvés à la question précédente. Tracer enfin la courbe \mathcal{C} (on pourra s'aider d'une symétrie).


12 points

exercice 2

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x) = \text{e}^x - 2x et \mathcal{C} sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unité graphique 2 cm.

1. On note f' la dérivée de la fonction f
    a) Calculer f'(x).
    b) Résoudre dans l'ensemble \mathbb{R} l'inéquation f'(x) > 0, puis en déduire le signe de f'(x) sur \mathbb{R}.

2. Déterminer la limite de f quand x tend vers - \infty.

3. Soit \Delta la droite d'équation y = -2x.
    a) Exprimer [f(x) - (- 2x)] en fonction de x.
    b) Déterminer la limite de [f(x) - (- 2x)] quand x tend vers - \infty.
    c) En déduire l'existence d'une asymptote oblique à la courbe \mathcal{C}.

4. Vérifier que, pour tout x > 0, f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 2 \right). En déduire la limite de f quand x tend vers + \infty.

5. Construire le tableau de variations de la fonction f

6. Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à \mathcal{C} en son point d'abscisse 0.

7. Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs seront arrondies au centième) :
x-3-2-100,7122,5
f(x)        

8. Dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}), tracer la droite \Delta, la tangente T puis la courbe \mathcal{C} représentant la fonction f.

9. Calculer \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x (on donnera la valeur exacte).

10. a) Hachurer la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation x = 1 et la courbe \mathcal{C}.
    b) Déduire de la question 9 la valeur exacte, en cm2, de l'aire de cette partie puis en donner une valeur arrondie au centième.




EXERCICE 1


\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{16}=1

1. L'ensemble \mathcal{C}

L'équation proposée est du type :\quad \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 \text{ avec }a=b=4

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'ensemble }\mathcal{C}\text{ est une }\textcolor{blue}{\text{hyperbole d'axe focal l'axe des abscisses}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


2. Coordonnées des sommets S et S'

Les coordonnées des sommets de l'hyperbole sont S(a,0) et S'(-a,0)

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les coordonnées des sommets sont  }\textcolor{blue}{S(4,0)}\textcolor{blue}{\text{ et }}\textcolor{blue}{S'(-4,0)}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


3. Coordonnées des foyers F et F'

Les coordonnées des foyers de l'hyperbole sont F(c,0) et F'(-c,0) avec c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les coordonnées des sommets sont }\textcolor{blue}{F(4\sqrt{2},0)}\textcolor{blue}{\text{ et }}\textcolor{blue}{F'(-4\sqrt{2},0)}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


4. Relation que vérifient les points M de \mathcal{C}

L'hyperbole d'équation \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 de foyers F et F' est l'ensemble des points du plan vérifiant \mid MF-MF'\mid=2a

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les points }M\textcolor{blue}{\text{ de }}\mathcal{C}\textcolor{blue}{\text{ vérifient la relation suivante : }}\textcolor{blue}{\mid MF-MF'\mid=8}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


5. Coordonnées des points C_1 et C_2 d'abscisse 7

\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{16}=1\Longleftrightarrox y=\pm\sqrt{x^2-16}

x=7\Longrightarrow y=\pm\sqrt{7^2-16}=\pm\sqrt{33}

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les points recherchés sont : }\textcolor{blue}{C_1(7\;;\;\sqrt{33})}\textcolor{blue}{\text{ et }}\textcolor{blue}{C_2(7\;;\;-\sqrt{33})}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


6. Représentation graphique
bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2008 - terminale : image 3

EXERCICE 2


f(x)=e^x-2x



1. La fonction f est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R.

a. Calcul de f'(x)

f'(x)=e^x-2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La dérivée de }f\text{ est définie sur }\textbf{ R }\text{ par  }\textcolor{blue}{f'(x)=e^x-2}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


b. Résolution de f'(x)>0 et signe de f'(x) sur \mathbb{\R}

f'(x)>0\Longleftrightarrow e^x-2>0\Longleftrightarrow e^x>2\Longleftrightarrow x>\ln 2

\boxed{\textcolor{blue}{f'(x)=0\text{ pour }x=\ln 2 } \;;\;\textcolor{blue}{f'(x)<0}\textcolor{blue}{\text{ pour }}\textcolor{blue}{x\in]-\infty,\ln 2[}\textcolor{blue}{\text{ et }\textcolor{blue}{f'(x)>0}\textcolor{blue}{\text{ pour }}\textcolor{blue}{x\in]\ln 2,+\infty[}}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}


2. Limite de f en -\infty

\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to -\infty}e^x-2x=\lim\limits_{X\to +\infty}e^{-X}+2X=\lim\limits_{X\to +\infty}\underbrace{\dfrac{1}{e^X}}_{\to 0}+2X=\lim\limits_{X\to +\infty}2X=+\infty\text{ en posant }X=-x

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La limite est donc : }\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}



3. Soit \Delta la droite d'équation y=-2x

a. Expression de [f(x)-(-2x)]

[f(x)-(-2x)]=f(x)+2x=e^x-\cancel{2x}+\cancel{2x}=e^x

\boxed{\textcolor{blue}{[f(x)-(-2x)]=e^x}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}



b. Limite de [f(x)-(-2x)] en -\infty

\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(-2x)]=\lim\limits_{x\to -\infty}e^x=\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{1}{e^X}=0\text{ en posant }X=-x

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La limite est donc : }\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(-2x)]=0}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}



c. Asymptote oblique à la courbe \mathcal{C}

On a :

\lim\limits_{x\to -\infty}[f(x)-(-2x)]=0

\boxed{\textcolor{blue}{\text{La courbe }\Mathcall{C}\textcolor{blue}{\text{ admet donc  la droite }}\Delta\textcolor{blue}{\text{ déquation }}\textcolor{blue}{y=-2x}\textcolor{blue}{\text{ pour asymptote oblique en} -\infty .}}}}



4. En mettant x en facteur, on obtient immédiatement : \forall x>0,f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-2\right) .

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }\textcolor{blue}{\forall x>0,f(x)=x\left(\dfrac{e^x}{x}-2\right)}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}

\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}x(\underbrace{\dfrac{e^x}{x}}_{\to +\infty}-2)=+\infty

\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}



5. Tableau de variations de f

\begin{array}{|c||ccccc||}\hline x&-\infty&&ln2&&+\infty \\\hline{f'(x)}& &-&0&+& \\\hline{f}&^{+\infty}&\searrow&_{2-2ln2}&\nearrow&^{+\infty}&\hline\end{array}



6. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0 est donné par f'(0)

f'(0)=e^0-2=1-2=-1

\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le coefficient directeur de la tangente T au point d'abscisse }0\textcolor{blue}{\text{ est égal à }}\textcolor{blue}{-1}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}



7. Tableau de valeurs

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \cellcolor{blue!25}x&\cellcolor{blue!25}-3&\cellcolor{blue!25}-2&\cellcolor{blue!25}-1&\cellcolor{blue!25}0&\cellcolor{blue!25}0,7&\cellcolor{blue!25}1&\cellcolor{blue!25}2&\cellcolor{blue!25}2,5\\ \hline \cellcolor{blue!25}f(x)& \color{red} 6,05 & \color{red}4,14 & \color{red}2,37 & \color{red}1 & \color{red}0,61 & \color{red}0,72 & \color{red}3,39 & \color{red}7,18\\ \hline \end{tabular}



8. Représentation graphique

bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2008 - terminale : image 1




9. Calcul de \displaystyle\int_0^1f(x)dx

\displaystyle\int_0^1f(x)\text{d}x=\int_0^1(e^x-2x)\text{d}x=\left[e^x-x^2]^1_0=(e-1)-(1-0)=e-2\approx 0,718

\boxed{\textcolor{blue}{\displaystyle\int_0^1f(x)dx=e-2}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}



10.a Représentation graphique
bac STI arts appliqués, Métropole Septembre 2008 - terminale : image 2


b. Valeur de l'aire hachurée :

Sur [0 ; 1], la fonction f ne prend que des valeurs positives, donc l'aire recherchée est égale à :

\displaystyle\int_0^1f(x)dx=e-2=0,718\text{ unité d'aire}

L'unité graphique étant de 2 cm, une unité d'aire sera donc telle que :

1\text{ unité d'aire }=2\times 2=4\text{ cm}^2

L'aire est donc égale à (e-2)\times 4=2,87\text{ cm}^2

\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'aire considérée est donc égale à }\textcolor{blue}{2,87\text{ cm}^2}\textcolor{blue}{\text{ .}}}}
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