Baccalauréat ES (spé et non spé)
Baccalauréat L
Session Juin 2015
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Durée de l'épreuve : 3 heures
ES : Coefficient 5 (non spé) / Coefficient 7 (spé) L : Coefficent 4 (spé)
Calculatrices électroniques autorisées
6 points
exercice 1 Commun à tous les candidats
Cet exercice en 3 parties fera appel à vos connaissances sur les probabilités afin d'étudier la répartition des clients d'une société de téléphonie dans le cadre d'une étude de son service marketing concernant le comportement de sa clientèle.
5 points
exercice 2 Commun aux élèves de ES non spé et L spé
5 points
exercice 2 Uniquement pour les éleves de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité
Partie A 1. Les informations de l'énoncé permettent de construire l'arbre suivant :
2. La probabilité recherchée est (où est la probabilité
que la personne reparte sans rien acheter sachant que c'est une femme). Ainsi,
3. D'après la formule des probabilités totales :
Partie B
1. La probabilité recherchée est On l'obtient à l'aide de la calculatrice.
2. La probabilité recherchée est
Partie C
1. L'hypothèse du gérant est Avec l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est
Or, et
donc ce qui donne une approximation de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
2. On vérifie que
Alors, comme la fréquence l'hypothèse formulée par le gérant est vérifiée.
exercice 2 - COMMUN AUX CANDIDATS ES NON SPÉ ET L SPÉ
1. Ainsi, le coût total de forage des 30 premiers mètres est
€
au centime près.
2. a. Soit un entier naturel non nul.
donc la suite est une suite géométrique de raison
2. b. On a donc le pourcentage d'augmentation du
coût du forage de la n+1-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres est 0,8%.
3. a. On donne les résultats arrondis au centième. Pour calculer en revanche, il ne faut pas se contenter de ces arrondis
(sinon on commet une erreur de 0,01 sur la dernière valeur de u et des erreurs sur S)
4. a. Il s'agit donc de résoudre l'inéquation suivante :
donc la profondeur maximale est mètres.
4. b. On modifie l'algorithme en remplaçant la boucle "Pour", par une boucle "Tant que" :
On renvoie car dans le dernier passage de la boucle, on augmente de 1 alors que ce passage
correspond à un trop grand. Il faut donc revenir à la profondeur précédente.
exercice 2 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ
Partie A
1. a. La chaîne A-B-G-H-F-C-E-D passe par tous les sommets, donc le graphe est connexe.
1. b. On calcule les degrés des sommets du graphe :
Tous les sommets sont de degré pair. Alors, par le théorème d'Euler, il existe un cycle eulérien, qui est une chaîne eulérienne.
2. Le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B est le coefficient de la matrice On
lit donc qu'il y a 5 chemins de longueur 3 reliant E à B.
Partie B
1. a. Nous avons vu à la question 1.b de la partie précédente que le graphe admet un cycle eulérien. L'itinéraire
proposé existe donc. Pour déterminer un cycle eulérien, on applique l'algorithme d'Euler.
On obtient, par exemple, le cycle eulérien A-D-E-C-F-E-H-F-B-G-H-B-A.
1. b. Nous avons vu à la question 2 de la partie précédente qu'il y a 5 chemins de trois jours
reliant E à B.
2. On utilise l'algorithme de Dijkstra :
Ainsi, la distance minimale est 32 km. L'itinéraire correspondant est A-B-F-H.
exercice 3 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Partie A
1. a. est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point
d'abscisse -3. Cette tangente est horizontale : le coefficient directeur est donc nul. Ainsi,
1. b. On lit graphiquement La tangente à la courbe au point passe par et le point de coordonnées Le coefficient
directeur de cette droite est Ainsi,
2. a. est dérivable et
2. b. Comme vérifie soit
Comme vérifient soit
On a donc obtenu le système :
2. c. La deuxième équation donne En reportant cette valeur dans la
première équation, on obtient
Ainsi,
Partie B
1. D'après le calcul effectué à la question 2.a de la partie précédente, pour tout
Ainsi,
On peut donc dresser le tableau de variation de sur
2. est continue sur . On vérifie que
Alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe tel que Comme est strictement monotone, un tel
est unique (raisonner par l'absurde pour le prouver : si sont
deux réels, alors donc ces deux nombres ne peuvent pas être simultanément
nuls).
À l'aide d'un tableau de valeurs sur la calculatrice, on obtient donc,
une valeur approchée de à 0,01 près par défaut est 0,89.
3. a. Comme est continue sur l'aire délimitée par la courbe,
l'axe des abscisses et les droites d'équation et est exactement
3. b. D'après la capture d'écran donnée par l'énoncé,
admet comme dérivée. C'est donc une primitive de
Ainsi,
exercice 4 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
Pour se faire une idée du résultat, on trace la courbe représentative de à l'aide de
la calculatrice.
La fonction semble être concave. Démontrons-le. est deux fois dérivable et, pour tout
réel , et
Ainsi, donc est concave, donc la courbe représentative
de est en-dessous de toutes ses tangentes.
Autre méthode : si l'on a pas pensé à utiliser la concavité. La tangente à au point
d'abscisse 1 a pour équation soit Montrons que
Posons Alors est dérivable sur
et On peut donc tracer le tableau
de variation de :
(Les valeurs limites en 0 et sont données à titre indicatif, mais ne sont pas nécessaire
pour conclure) D'après l'étude des variations, admet un maximum en 1. Ce maximum
vaut Ainsi, on a montré que ce qu'il fallait démontrer.
Publié par Tom_Pascal
le
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\times p_F(R))
(où )
est la probabilité
que la personne reparte sans rien acheter sachant que c'est une femme). Ainsi, =0,42\times0,65=0,273.)
=p(F)\times p_F(R)+p(\overline{F})\times p_{\overline{F}}(R)=0,42\times0,65+0,58\times0,45=0,534.)
\approx0,885.)
On l'obtient à l'aide de la calculatrice.
=\cfrac{p(36\le X\le60)}{p(X\ge36)}\approx\cfrac{0,7699}{0,8849}\approx0,870.)
Avec 
l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est
![I=\left[p-1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I=\left[p-1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right])
et 
donc ![[0,277;0,323]\subset I\subset[0,276;0,324],](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[0,277;0,323]\subset I\subset[0,276;0,324],)
ce qui donne une approximation de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.
=1050\ge5.)
l'hypothèse formulée par le gérant est vérifiée.
Ainsi, le coût total de forage des 30 premiers mètres est
€
un entier naturel non nul.
)
est une suite géométrique de raison 
u_n)
donc le pourcentage d'augmentation du
coût du forage de la n+1-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres est 0,8%.
\le\ln\left(\cfrac{3}{2}\right)\qquad\text{(par croissance et bijectivité de ln)}\\\\ &\Longleftrightarrow&n\le\cfrac{\ln\frac{3}{2}}{\ln1,008}\approx50,89 \end{array})
mètres.
\times10 \end{array})
\times10)
car dans le dernier passage de la boucle, on augmente 
trop grand. Il faut donc revenir à la profondeur précédente.
)
de la matrice 
On
lit donc qu'il y a 5 chemins de longueur 3 reliant E à B.
}\\ \hline 0&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&\rightarrow A(0)\\ \hline \cdot&12(A)&\infty&14(A)&\infty&\infty&\infty&\infty&\rightarrow B(12)\\ \hline \cdot&\cdot&\infty&14(A)&\infty&21(B)&28(B)&33(B)&\rightarrow D(14)\\ \hline \cdot&\cdot&\infty&\cdot&24(D)&21(B)&28(B)&33(B)&\rightarrow F(21)\\ \hline \cdot&\cdot&31(F)&\cdot&24(D)&\cdot&28(B)&32(F)&\rightarrow E(24)\\ \hline \cdot&\cdot&31(F)&\cdot&\cdot&\cdot&28(B)&32(F)&\rightarrow C(31)\\ \hline \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&28(B)&32(F)&\rightarrow G(28)\\ \hline \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&32(F)&\rightarrow H(32)\\ \hline \end{array} )
)
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point
d'abscisse -3. Cette tangente est horizontale : le coefficient directeur est donc nul. Ainsi, =0.)
=2.)
La tangente à la courbe au point ))
passe par 
et le point de coordonnées .)
Le coefficient
directeur de cette droite est 
Ainsi, =-3.)
est dérivable et
![\forall x\in[-4;3],\qquad f'(x)=0+(1+0)e^{-x}+(x+b)(-1\times e^{-x})=(1-x-b)e^{-x}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in[-4;3],\qquad f'(x)=0+(1+0)e^{-x}+(x+b)(-1\times e^{-x})=(1-x-b)e^{-x}.)
=-3,)
vérifie e^{0}=-3,)
soit 
=2,)
vérifient 
soit 
En reportant cette valeur dans la
première équation, on obtient 
![\forall x\in[-4;3],\ f(x)=-2+(x+4)e^{-x}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in[-4;3],\ f(x)=-2+(x+4)e^{-x}.)
=(-x-3)e^{-x}.)
\ge0\Longleftrightarrow -(x+3)e^{-x}\ge0\underset{\exp>0}{\Longleftrightarrow}x+3\le0 \Longleftrightarrow x\le-3.)
![[-4;3].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-4;3].)
![[-3;3]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-3;3])
. On vérifie que
<0<f(-3).)
Alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe ![\alpha \in[-3;3]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha \in[-3;3])
tel que =0.)
Comme 
est unique (raisonner par l'absurde pour le prouver : si 
sont
deux réels, alors >f(\alpha))
donc ces deux nombres ne peuvent pas être simultanément
nuls).
donc,
une valeur approchée de ![[-3;0],](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-3;0],)
l'aire délimitée par la courbe,
l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
est exactement \text{d}x.)
e^{-x})
admet 
\text{d}x=F(0)-F(-3)=-5-(6-2e^3)=-11+2e^3\approx29,17.)
, =3-(3\times1\times\ln(x)+3\times x\times\frac{1}{x})=-3\ln(x))
et
=\frac{-3}{x}.)
<0)
donc 
au point
d'abscisse 1 a pour équation (x-1)+f(1))
soit =3.)
Montrons que
\le3\Longleftrightarrow\forall x>0,\ x-x\ln(x)-1\le0.)
-1.)
Alors 
est dérivable sur 
et =1-\ln(x)+x\times\frac{1}{x}=-\ln(x).)
On peut donc tracer le tableau
de variation de 
sont données à titre indicatif, mais ne sont pas nécessaire
pour conclure) D'après l'étude des variations, =0.)
Ainsi, on a montré que \le0,)
ce qu'il fallait démontrer.
Voir la correction
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