Fiche de mathématiques
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Baccalauréat ES (spé et non spé)
Baccalauréat L
Session Juin 2015

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Durée de l'épreuve : 3 heures
ES : Coefficient 5 (non spé) / Coefficient 7 (spé)

L : Coefficent 4 (spé)
Calculatrices électroniques autorisées


6 points

exercice 1 Commun à tous les candidats


Cet exercice en 3 parties fera appel à vos connaissances sur les probabilités afin d'étudier la répartition des clients d'une société de téléphonie dans le cadre d'une étude de son service marketing concernant le comportement de sa clientèle.

Sujet de Maths pour les Bac ES (spé et non spé) et L 2015 : image 1


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5 points

exercice 2 Commun aux élèves de ES non spé et L spé



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5 points

exercice 2 Uniquement pour les éleves de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité



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6 points

exercice 3 Commun à tous les candidats



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3 points

exercice 4 Commun à tous les candidats



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exercice 1 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS



Partie A
1. Les informations de l'énoncé permettent de construire l'arbre suivant :
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2. La probabilité recherchée est p(F\cap R}=p(F)\times p_F(R) (où p_F(R) est la probabilité que la personne reparte sans rien acheter sachant que c'est une femme). Ainsi, p(F\cap R)=0,42\times0,65=0,273.

3. D'après la formule des probabilités totales :
p(R)=p(F)\times p_F(R)+p(\overline{F})\times p_{\overline{F}}(R)=0,42\times0,65+0,58\times0,45=0,534.



Partie B


1. La probabilité recherchée est p(X\ge36)\approx0,885. On l'obtient à l'aide de la calculatrice.

2. La probabilité recherchée est p_{X\ge36}(X\le60)=\cfrac{p(36\le X\le60)}{p(X\ge36)}\approx\cfrac{0,7699}{0,8849}\approx0,870.


Partie C


1. L'hypothèse du gérant est p=0,3. Avec n=1500, l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est
I=\left[p-1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}};p+1,96\cfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right]

Or, 0,276\le p-1,96\cfrac{\sqrt{0,3\times0,7}}{\sqrt{1500}}\le0,277 et 0,323\le p+1,96\cfrac{\sqrt{0,3\times0,7}}{\sqrt{1500}}\le0,324 donc [0,277;0,323]\subset I\subset[0,276;0,324], ce qui donne une approximation de l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%.

2. On vérifie que
n\ge30
np=450\ge5
n(1-p)=1050\ge5.

Alors, comme la fréquence f=\cfrac{430}{1500}\in I, l'hypothèse formulée par le gérant est vérifiée.





exercice 2 - COMMUN AUX CANDIDATS ES NON SPÉ ET L SPÉ


1. u_3=2000\times1,008^2\approx2032,13. Ainsi, le coût total de forage des 30 premiers mètres est
u_1+u_2+u_3=2000+2016+2032,13=6048,13
au centime près.

2. a. Soit n un entier naturel non nul.
u_{n+1}=2000\times1,008^n=2000\times1,008^{n-1}\times1,008=1,008\times u_n

donc la suite (u_n) est une suite géométrique de raison 1,008.

2. b. On a u_{n+1}=1,008\times u_n=(1+\frac{0,8}{100})u_n donc le pourcentage d'augmentation du coût du forage de la n+1-ième dizaine de mètres par rapport à celui de la n-ième dizaine de mètres est 0,8%.

3. a. On donne les résultats arrondis au centième. Pour calculer en revanche, il ne faut pas se contenter de ces arrondis (sinon on commet une erreur de 0,01 sur la dernière valeur de u et des erreurs sur S)
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Valeur de }i&\times&2&3&4&5\\ \hline \text{Valeur de }u&2000&2016&2032,13&2048,39&2064,77\\ \hline \text{Valeur de }S&2000&4016&6048,13&8096,51&10161,29\\ \hline \end{array}


4. a. Il s'agit donc de résoudre l'inéquation suivante :
\begin{array}{rcl} S_n\le125000&\Longleftrightarrow&250000\times1,008^n\le375000\\\\ &\Longleftrightarrow&1,008^n\le\cfrac{375}{250}\\\\ &\Longleftrightarrow&n\ln(1,008)\le\ln\left(\cfrac{3}{2}\right)\qquad\text{(par croissance et bijectivité de ln)}\\\\ &\Longleftrightarrow&n\le\cfrac{\ln\frac{3}{2}}{\ln1,008}\approx50,89 \end{array}

donc la profondeur maximale est 50\times10=500 mètres.

4. b. On modifie l'algorithme en remplaçant la boucle "Pour", par une boucle "Tant que" :
\begin{array}{l} \text{INITIALISATION}\\ u\text{ prend la valeur }2000\\ S\text{ prend la valeur }2000\\ n\text{ prend la valeur }1\\\\ \text{TRAITEMENT}\\ \text{Tant que }S\le125000\\ \qquad u\text{ prend la valeur }u\times1,008\\ \qquad S\text{ prend la valeur }S+u\\ \qquad n\text{ prend la valeur }n+1\\\\ \text{SORTIE}\\ \text{Afficher }(n-1)\times10 \end{array}

On renvoie (n-1)\times10 car dans le dernier passage de la boucle, on augmente n de 1 alors que ce passage correspond à un S trop grand. Il faut donc revenir à la profondeur précédente.





exercice 2 - CANDIDATS AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ


Partie A


1. a. La chaîne A-B-G-H-F-C-E-D passe par tous les sommets, donc le graphe est connexe.

1. b. On calcule les degrés des sommets du graphe :
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Sommet}&A&B&C&D&E&F&G&H\\ \hline \text{Degré}&2&4&2&2&4&4&2&4\\ \hline \end{array}

Tous les sommets sont de degré pair. Alors, par le théorème d'Euler, il existe un cycle eulérien, qui est une chaîne eulérienne.

2. Le nombre de chemins de longueur 3 reliant E à B est le coefficient (2,5) de la matrice M^3. On lit donc qu'il y a 5 chemins de longueur 3 reliant E à B.


Partie B


1. a. Nous avons vu à la question 1.b de la partie précédente que le graphe admet un cycle eulérien. L'itinéraire proposé existe donc. Pour déterminer un cycle eulérien, on applique l'algorithme d'Euler.
On obtient, par exemple, le cycle eulérien A-D-E-C-F-E-H-F-B-G-H-B-A.

1. b. Nous avons vu à la question 2 de la partie précédente qu'il y a 5 chemins de trois jours reliant E à B.

2. On utilise l'algorithme de Dijkstra :
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|l|} \hline A&B&C&D&E&F&G&H&\rightarrow\text{sommet sélectionné (poids)}\\ \hline 0&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&\infty&\rightarrow A(0)\\ \hline \cdot&12(A)&\infty&14(A)&\infty&\infty&\infty&\infty&\rightarrow B(12)\\ \hline \cdot&\cdot&\infty&14(A)&\infty&21(B)&28(B)&33(B)&\rightarrow D(14)\\ \hline \cdot&\cdot&\infty&\cdot&24(D)&21(B)&28(B)&33(B)&\rightarrow F(21)\\ \hline \cdot&\cdot&31(F)&\cdot&24(D)&\cdot&28(B)&32(F)&\rightarrow E(24)\\ \hline \cdot&\cdot&31(F)&\cdot&\cdot&\cdot&28(B)&32(F)&\rightarrow C(31)\\ \hline \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&28(B)&32(F)&\rightarrow G(28)\\ \hline \cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&\cdot&32(F)&\rightarrow H(32)\\ \hline \end{array}

Ainsi, la distance minimale est 32 km. L'itinéraire correspondant est A-B-F-H.





exercice 3 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS


Partie A


1. a. f'(3) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse -3. Cette tangente est horizontale : le coefficient directeur est donc nul. Ainsi,  f'(3)=0.

1. b. On lit graphiquement f(0)=2. La tangente à la courbe au point  B(0,f(0)) passe par B et le point de coordonnées (1,-1). Le coefficient directeur de cette droite est \cfrac{-1-2}{1-0}=-3. Ainsi, f'(0)=-3.

2. a. f est dérivable et
\forall x\in[-4;3],\qquad f'(x)=0+(1+0)e^{-x}+(x+b)(-1\times e^{-x})=(1-x-b)e^{-x}.


2. b. Comme f'(0)=-3, b vérifie (1-b)e^{0}=-3, soit  1-b=-3.
Comme f(0)=2, a,b vérifient a+be^{0}=2 soit a+b=2.
On a donc obtenu le système :
\left\lbrace\begin{array}{rcl}a+b&=&2\\1-b&=&-3\end{array}\right.


2. c. La deuxième équation donne b=4. En reportant cette valeur dans la première équation, on obtient a=-2.
Ainsi, \forall x\in[-4;3],\ f(x)=-2+(x+4)e^{-x}.


Partie B


1. D'après le calcul effectué à la question 2.a de la partie précédente, pour tout  -4\le x\le3,\ f'(x)=(-x-3)e^{-x}.
Ainsi, f'(x)\ge0\Longleftrightarrow -(x+3)e^{-x}\ge0\underset{\exp>0}{\Longleftrightarrow}x+3\le0 \Longleftrightarrow x\le-3.
On peut donc dresser le tableau de variation de f sur [-4;3].
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2. f est continue sur [-3;3]. On vérifie que f(3)<0<f(-3). Alors, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe \alpha \in[-3;3] tel que f(\alpha)=0. Comme f est strictement monotone, un tel \alpha est unique (raisonner par l'absurde pour le prouver : si \beta>\alpha sont deux réels, alors f(\beta)>f(\alpha) donc ces deux nombres ne peuvent pas être simultanément nuls).
À l'aide d'un tableau de valeurs sur la calculatrice, on obtient \alpha\approx0,895 donc, une valeur approchée de \alpha à 0,01 près par défaut est 0,89.

3. a. Comme f est continue sur [-3;0], l'aire délimitée par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=-3 et x=0 est exactement \displaystyle \int_{-3}^0f(x)\text{d}x.

3. b. D'après la capture d'écran donnée par l'énoncé, F:x\mapsto-2x+(-x-5)e^{-x} admet f comme dérivée. C'est donc une primitive de f.
Ainsi, \displaystyle\int_{-3}^0f(x)\text{d}x=F(0)-F(-3)=-5-(6-2e^3)=-11+2e^3\approx29,17.





exercice 4 - COMMUN À TOUS LES CANDIDATS


Pour se faire une idée du résultat, on trace la courbe représentative de f à l'aide de la calculatrice.
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La fonction semble être concave. Démontrons-le. f est deux fois dérivable et, pour tout réel x>0, f'(x)=3-(3\times1\times\ln(x)+3\times x\times\frac{1}{x})=-3\ln(x) et f''(x)=\frac{-3}{x}.
Ainsi, \forall x>0,\ f''(x)<0 donc f est concave, donc la courbe représentative de f est en-dessous de toutes ses tangentes.

Autre méthode : si l'on a pas pensé à utiliser la concavité. La tangente à \mathcal{C}_f au point d'abscisse 1 a pour équation y=f'(1)(x-1)+f(1) soit y=f(1)=3. Montrons que \forall x>0,\ f(x)\le3\Longleftrightarrow\forall x>0,\ x-x\ln(x)-1\le0.
Posons g:x\mapsto x-x\ln(x)-1. Alors g est dérivable sur \mathbb{R}_+ et \forall x>0,\ g'(x)=1-\ln(x)+x\times\frac{1}{x}=-\ln(x). On peut donc tracer le tableau de variation de g :
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(Les valeurs limites en 0 et +\infty sont données à titre indicatif, mais ne sont pas nécessaire pour conclure) D'après l'étude des variations, g admet un maximum en 1. Ce maximum vaut g(1)=0. Ainsi, on a montré que \forall x>0,\ g(x)\le0, ce qu'il fallait démontrer.



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