Fiche de mathématiques
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Sujet Mathématiques Bac 2016 STI2D et STL spécialité SPCL Métropole

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CORRECTION DE L'ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES SERIE STI2D et STL - BAC 2016

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exercice 1



1. |2+2i| = \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}

Donc 2+2i=2\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{i}{\sqrt{2}}\right)=2\sqrt{2}e^{i\pi/4}
Réponse d

2. e^{i \pi/5}\times e^{i 2\pi/15} = e^{i \left(\pi/5+2\pi/15\right)}=e^{i \pi/3} = \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i
Réponse a

3. On a donc z_A=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 1+\sqrt{3}i et z_B=\dfrac{5}{2}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{5\sqrt{3}}{4}+i\dfrac{5}{4}.

Donc \overrightarrow{OA}\left(1;\sqrt{3}\right) et \overrightarrow{OB}\left(-\dfrac{5\sqrt{3}}{4};\dfrac{5}{4}\right).

Par conséquent \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-\dfrac{5\sqrt{3}}{4}+\dfrac{5\sqrt{3}}{4}=0

Réponse b

4.
e^{i \theta}+\dfrac{1}{e^{i\theta}}&=e^{i\theta}+e^{-i\theta} \\ &=\cos \theta+ i\sin \theta + \cos \theta - i\sin \theta \\ &=2\cos \theta
Réponse a



exercice 2

Partie A

1.a Le taux de chlore dans l'eau était le 31 mai de 1,25 mg/L.
La quantité de chlore dans la piscine est donc de 1,25 \times \numprint{600000} = \numprint{750000} mg =750 g.
Donc u_0=750.

La concentration était inférieure au 2 mg/L requis. Le responsable ne pouvait pas donner accès à la piscine le 31 mai.

b. Le 1^{\text{er}} juin il reste 75\% de la quantité de chlore précédente, soit 0,75 \times 750 = 562,5 g auxquels on ajoute 570 g soit un total de \numprint{1132,5} g. Donc u_1=\numprint{1132,5}.

c. Chaque jour, on ne conserve que 75\% de la quantité de chlore de la veille soit 0,75u_n et on y ajoute 570 g. Donc u_{n+1}=0,75u_n+570

d.u_0=750\quad u_1=1132,50\quad u_2=1419,375

\dfrac{u_1}{u_0}=1,51\quad\text{ et } \quad \dfrac{u_2}{u_1}\approx 1,25\quad\text{.} La suite n'est donc pas géométrique.

2.a. Cet algorithme affiche le terme u_N de la suite \left(u_n\right) et donc la quantité de chlore dans la piscine le N-ième jour.

b.
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La concentration minimum pour réouvrir la piscine est de 2 mg/L. Cela correspond donc à une quantité de 2\times \numprint{600000}=\numprint{1200000} mg =\numprint{1200} g. La piscine pourra donc ouvrir le 2^{\text{ème}} jour.

c.. On a u_15\approx \numprint{2259,554}.
Il y a donc \numprint{2259,554}g de chlore dans la piscine le 15^{\text{ème}} jour après l'ajout de chlore.

Partie B

1.a.d_0=u_1-u_0=382,5, d_1=u_2-u_1=286,875, d_2=u_3-u_2=\numprint{215,15625}

b. \dfrac{d_1}{d_0}=0,75 et \dfrac{d_2}{d_1}=0,75.

La suite \left(d_n\right) semble donc être géométrique.

2.
  u_{n+1}-u_n&=0,75u_n+570-u_n \\ &=-0,25u_n+570

3.a. On a, pour tout entier naturel n, d_{n+1}=0,75d_n.
Par conséquent \left(d_n\right) est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme
d_0=382,5.
Donc, pour tout entier naturel n, on a d_{n+1}=382,5\times 0,75^n.

b. Pour tout entier naturel n on a d_{n+1}=u_{n+1}-u_{n}=-0,25u_n+570
Donc 0,25u_n=570-d_n
soit u_n=4 \left(570-382,5\times 0,75^n\right) = \numprint{2280}-\numprint{1530}\times 0,75^n.

c. 0<0,75<1 donc \lim\limits_{n \to +\infty} 0,75^n=0.
Par conséquent \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\numprint{2280}
Cela signifie que sur le long terme il y aura \numprint{2280} g de chlore dans la piscine.



exercice 3

1. D'après le tableau, quand l'intensité acoustique est multipliée par 10 le niveau sonore augmente de 10 dB.

2.a.
 f(10x)&=\dfrac{10}{\ln(10)}\times \ln(10x)+120 \\ &=\dfrac{10(\ln (10)+\ln(x)}{\ln(10)}+120 \\ &=10+\dfrac{10\ln(x)}{\ln(10)}+120 \\ &=10+f(x)

La conjecture est donc vérifiée.

b. f\left(2\times 10^{-5}\right) \approx 73
Le niveau sonore de deux motos est d'environ 73 dB.

3. On veut résoudre cette inéquation :
 f(x)>85 &\ssi \dfrac{10}{\ln(10)}\times \ln(x) +120 >85 \\ &\ssi \dfrac{10}{\ln(10)} \times \ln(x) > -35 \\ &\ssi \ln x > \dfrac{-35 \ln(10)}{10} \\ &\ssi x > e^{\frac{-35\ln(10)}{10}}\\ &\text{ or } e^{\frac{-35\ln(10)}{10}} \approx 3,16 \times 10^{-4}

Si l'intensité acoustique dépasse 3,16 \times 10^{-4} W/m^2 alors le port d'un casque est conseillé.



exercice 4

Partie A - Sur la route

1. Si le tablier commence aussitôt à descendre alors le temps minimum d'attente est de 2 minutes.
Si le tablier vient de se mettre en position haute alors le temps maximum d'attente est de
8+2=10 minutes.

2. E(D)=\dfrac{10+2}{2}=6.

Le temps moyen d'attente est de 6 minutes.

3. P(D\leqslant 5)=P(2\leqslant D \leqslant 5) = \dfrac{5-2}{10-2}=0,375.

Partie B - Sur l'eau

1. E(T)=\dfrac{1}{\lambda}=20.
Le temps moyen entre le passage de deux bateau est de 20 heures.

2.a. Pour tout x\in [0;+\infty[, F'(x)=-(-0,05)e^{-0,05x}=f(x).
Donc F est une primitive de f sur [0;+\infty[.

b.
Pour tout t\in [0;+\infty[
 P(T\leqslant t) &= \int_0^t f(x)\mathrm{d}x  &=F(t)-F(0)  &=-e^{-0,05t}-(-1)  &=1-e^{-0,05t}



3.a. P(T \leqslant 12) = 1-e^{-0,05 \times 12} \approx 0,45

b. P(T \geqslant 24) = 1-P(T < 24) = 1-\left(1-e^{-0,05\times 24}\right)=e^{-1,2} \approx 0,30

c.
  P(12 \leqslant T \leqslant 24) &= P(T \leqslant 24) - P(T <12) \\ &=1-e^{-1,2}-\left(1-e^{-0,6}\right) \\ & \approx 0,25
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