Fiche de mathématiques

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Epreuve de mathématiques

Baccalauréat Liban 2018

Série ES-L

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Pour les ES ayant suivi l'enseignement de spécialité, l'exercice 2 est le suivant :

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Correction

Eléments de correction

6 points

exercice 1

1.a $P(M)=\dfrac{1}{500}\quad P_M(S)=0,98\quad P_{\overline M}(\overline S )=0,98$
1.b

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1.c $P(S)=P(M\cap S)+P(\overline M \cap S)= \dfrac{1}{500}\times 0,98+\dfrac{499}{500}\times 0,02=0,02192$
1.d $P_S(M)=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0,98\times \frac{1}{500} }{ 0,02192}\approx0,089$
Sachant que le portique a sonné, la probabilité que la personne porte une arme est très petite.

2.a Une même expérience, à deux issues, est répétée 80 fois de manière indépendante.
X suit donc une loi binomiale de paramètre n=80 et p=0,02192

2.b $E(x)=np=80\times 0,02192=1,7536$
Sur un groupe de 80 personnes, on a une moyenne de 1,75 personnes susceptibles de faire sonner le portique.

2.c $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,02192)^{80}\approx 0,830$ à $10^{-3}$ près

à la calculatrice, $P(X\le 5)\approx 0,992$

2.d On a $P(X\le 2)\approx 0,744\quad \text{ et}\quad P(X\le 3)\approx 0,901$
donc 3 est le plus petit entier tel que $P(X\le n)> 0,9$

5 points

exercice 2 (enseignement obligatoire ES)

1.a Maya dépense le quart de 20 euros soit 5 euros. Il lui reste 15 euros auxquels elle ajoute 20 euros.
A la fin du 1er mois, Maya possède donc 20-5+20=35 euros

1.b Le 2e mois, elle dépense $\frac1 4\times 35$ Donc $u_2=35-\frac 1 4 \times 35 + 20=46,25$ euros

2. $u_{n+1}=0,75u_n+20$

2.a
$\begin{array} {|c|cccccccccccccccccc|} \text{Valeur de } U &20 & & 35 & & 46,25 & & 54,69& & 61,02 & & 65,76 & & 69,32 & & 71,99 & & & \\ \text{Valeur de }N & 0 & & 1 & & 02& & 3 & & 4 & & 5& & 6 & & 7 & & & \\ \text{condition } U<70&vrai & &vrai & & vrai& & vrai& & vrai& &vrai & &vrai & & faux& & & \end{array}$

2.a L'algorithme affiche 7. Ce qui signifie qu'au 7e mois, Maya aura plus de 70 euros dans sa tirelire.

3.a Pour tout n de N, $v_{n+1}=u_{n+1}-80=0,75u_n+20-80=0,75u_n-60=0,75(u_n-80)=0,75v_n$

(v) est donc une suite géométrique de raison 0,75.
3.b Son premier terme est : $v_0=u_0-80=-60$

3.c $v_n=(-60)\times 0,75^n$ d'où $u_n=v_n+80=80-60\times 0,75^n$

3.d Au 1er juin 2019, n=12, et $u_{12}=78,10$ euros.

3.e $0<0,75<1$ donc la suite (v) tend vers 0

3.f On en déduit que la suite (u) tend vers 80. Maya, à terme , n'aura pas plus de 80 euros dans sa tirelire. 5 points

exercice 2 : ÉLÈVES DE ES AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

1. La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :

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2. a. La matrice de transition du graphe probabiliste est $\boxed{M=\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\0,45 & 0,55\end{pmatrix}}$ .

2. b. Calcul de l'état probabiliste P ₂.

$P_2=P_0\times M^2\ \ \text{avec }P_0=(0,1\ \ \ \ \ 0,9)\\\\\text{Or }M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,45&0,55\end{pmatrix}\Longrightarrow M^2=\begin{pmatrix}0,625&0,375\\0,5625&0,4375\end{pmatrix}\\\\\text{D'où }P_2=(0,1\ \ \ \ \ 0,9)\times\begin{pmatrix}0,625&0,375\\0,5625&0,4375\end{pmatrix}\\\\\phantom{\text{D'où }P_3}=(0,1\times0,625+0,9\times0,5625\ \ \ \ 0,1\times0,375+0,9\times0,4375)\\\\\phantom{\text{D'où }P_3}=(0,56875\ \ \ \ 0,43125)\\\\\Longrightarrow\boxed{P_2=(0,5685\ \ \ 0,43125)}$

Par conséquent, au 1^er janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

3. a. Nous savons que pour tout entier naturel n , P_n+1 = P_n multiplie

M.

$\text{D'où }(e_{n+1}\ \ \ \ \ g_{n+1})=(e_n\ \ \ \ \ g_n)\times\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,45&0,55\end{pmatrix}\\\\\phantom{\text{D'où }(e_{n+1}\ \ \ \ \ g_{n+1})}=(e_n\times0,7+g_n\times0,45\ \ \ \ e_n\times0,3+g_n\times0,55)\\\\\phantom{\text{D'où }(e_{n+1}\ \ \ \ \ g_{n+1})}=(0,7e_n+0,45g_n\ \ \ \ 0,3 e_n+0,55g_n)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n}$

${\red{\text{3. b. }}}\text{Nous savons que }\ \ e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n\\\\\text{Or }\ e_n+g_n=1\Longrightarrow g_n=1-e_n\\\\\text{D'où }\ e_{n+1}=0,7e_n+0,45(1-e_n)\\\\\phantom{\text{D'où }\ e_{n+1}}=0,7e_n+0,45-0,45e_n\\\\\phantom{\text{D'où }\ e_{n+1}}=0,25e_n+0,45\\\\\Longrightarrow\boxed{e_{n+1}=0,25e_n+0,45}$

4. a. Algorithme complété :

$E\longleftarrow0,1\\G\longleftarrow0,9\\\text{Pour I allant de 1 à }N\\\phantom{Pour I}E\longleftarrow{\red{0,25}}\times E+{\red{0,45}}\\\phantom{Pour I}G\longleftarrow{\red{1-E}}\\\text{Fin Pour}\\\text{Afficher E et G}$

4. b. Déterminons l'affichage de cet algorithme pour N = 3.

$I=1\Longrightarrow E=0,25\times0,1+0,45\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,475\\\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,475\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,525\\\\\ I=2\Longrightarrow E=0,25\times0,475+0,45\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,56875\\\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,56875\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,43125\\\\I=3\Longrightarrow E=0,25\times0,56875+0,45\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,5921875\\\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,5921875\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,4078125$

D'où pour N = 3, les valeurs demandées sont E 0,59 et G 0,41 (arrondies au centième).

4. c. L'état stable du système (e g ) est la solution du système $\left\lbrace\begin{matrix}e=0,25e+0,45\\g=1-e\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}e=0,25e+0,45\\g=1-e\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e-0,25e=0,45\\g=1-e\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0,75e=0,45\\g=1-e\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=\dfrac{0,45}{0,75}\\g=1-e\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=1-e\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=1-0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=0,4\end{matrix}\right.$

Par conséquent, l'état stable du système est P = (0,6 0,4).

Interprétation :
A très long terme, la part de marché de l'opérateur EfficaceRéseau sera de 60 % et la part de l'opérateur GenialPhone sera de 40 %.

4 points

exercice 3

1. réponse C $f\;'(4)=0,5$
Il suffit de lire un vecteur directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4.

2. réponse D f est convexe sur [2 ;5].

3. réponse C On compte le nombre de carreaux compris entre la courbe, l'axe des abscisses , les droites d'équation $x=0$ et $x= 5$ , et on évalue la valeur moyenne. La seule valeur cohérente possible est 2,9.

4. réponse B D'après le graphique, $\mu=650.$
$P(649\le X \le 651)=1-P(X\le 649)-P(X\ge 651)= 1-2P(X\le 649)=0,6826\approx 0,683$

]

5 points

exercice 4

1.a Pour tout x de [1 ; 25], $f'(x)=\dfrac{x(1-\frac 1 x)-(x+2-\ln (x)) }{x^2}=\dfrac {-3+\ln (x)}{x^2}$

1.b Pour x dans [1 ; 25] ; $-3+\ln (x) > 0$ pour $\ln(x) > 3$ soit $x > e^3$ . L'ensemble des solutions est $]e^3\;;\;25]$

1.c $\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x & 1 & & e^3& & 25 & \\ \hline {f'(x)} & & - & 0 & + & & \\ \hline {f} &^3 & \searrow & _{f(e^3)} & \nearrow & ^{f(25)}& \\ \hline \end{array}$
avec $f(e^3)\approx 0,9502$ et $f(25)\approx 0,9512$

1.d $1,5\in [f(e^3)\;;\;3]$ et $1,5\notin [f(e^3)\;;\;f(25]$
$f$ est dérivable, strictement décroissante sur $[1 \;;\;e^3]$ , d'après le théorème des valeurs intermédiares, l'équation $f(x)=1,5$ admet donc une unique solution, notée $\alpha$

1.e $f(2,32)\approx 1,499< 1,5$ et $f(2,31)\approx 1,503$ donc $2,31<\alpha<2,32$

2.a Le coût moyen est minimal pour $x=e^3\approx 20,086$ soit 2009 pièces.
Le coût moyen d'une pièce est alors égal à 0,95 euro.

2.b Au delà de 232 pièces, le coût moyen sera inférieur à 1,50 euros.

2.c Le coût moyen ne peut pas être égal à 0,50 euro (puisque le minimum possible est $f(e^3) > 0,5$ )

Publié par malou le 24-06-2018

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