Fiche de mathématiques
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Epreuve de mathématiques

Baccalauréat Liban 2018

Série ES-L

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Pour les ES ayant suivi l'enseignement de spécialité, l'exercice 2 est le suivant :


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Eléments de correction

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6 points

exercice 1

1.a  P(M)=\dfrac{1}{500}\quad P_M(S)=0,98\quad P_{\overline M}(\overline S )=0,98
1.b
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1.c  P(S)=P(M\cap S)+P(\overline M \cap S)=  \dfrac{1}{500}\times 0,98+\dfrac{499}{500}\times 0,02=0,02192
1.d  P_S(M)=\dfrac{P(M\cap S)}{P(S)}=\dfrac{0,98\times \frac{1}{500} }{ 0,02192}\approx0,089
Sachant que le portique a sonné, la probabilité que la personne porte une arme est très petite.

2.a   Une même expérience, à deux issues, est répétée 80 fois de manière indépendante.
X suit donc une loi binomiale de paramètre n=80 et p=0,02192

2.b  E(x)=np=80\times 0,02192=1,7536
Sur un groupe de 80 personnes, on a une moyenne de 1,75 personnes susceptibles de faire sonner le portique.

2.c   P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,02192)^{80}\approx 0,830 à 10^{-3} près

à la calculatrice, P(X\le 5)\approx 0,992

2.d  On a P(X\le 2)\approx 0,744\quad \text{ et}\quad   P(X\le 3)\approx 0,901
donc 3 est le plus petit entier tel que P(X\le n)> 0,9

5 points

exercice 2 (enseignement obligatoire ES)


1.a Maya dépense le quart de 20 euros soit 5 euros. Il lui reste 15 euros auxquels elle ajoute 20 euros.
A la fin du 1er mois, Maya possède donc 20-5+20=35 euros

1.b Le 2e mois, elle dépense \frac1 4\times 35 Donc u_2=35-\frac 1 4 \times 35 + 20=46,25 euros

2.  u_{n+1}=0,75u_n+20

2.a  
\begin{array} {|c|cccccccccccccccccc|} \text{Valeur de } U &20 & & 35 & & 46,25 & & 54,69& & 61,02 & & 65,76 & & 69,32 & & 71,99 & & & \\ \text{Valeur de }N & 0 & & 1 & & 02& & 3 & & 4 & & 5& & 6 & & 7 & & & \\ \text{condition } U<70&vrai & &vrai & & vrai& & vrai& & vrai& &vrai & &vrai & & faux& & & \end{array}


2.a  L'algorithme affiche 7. Ce qui signifie qu'au 7e mois, Maya aura plus de 70 euros dans sa tirelire.

3.a Pour tout n de N, v_{n+1}=u_{n+1}-80=0,75u_n+20-80=0,75u_n-60=0,75(u_n-80)=0,75v_n


(v) est donc une suite géométrique de raison 0,75.
3.b   Son premier terme est : v_0=u_0-80=-60

3.c  v_n=(-60)\times 0,75^n d'où u_n=v_n+80=80-60\times 0,75^n

3.d   Au 1er juin 2019, n=12, et u_{12}=78,10 euros.

3.e  0<0,75<1 donc la suite (v) tend vers 0

3.f  On en déduit que la suite (u) tend vers 80. Maya, à terme , n'aura pas plus de 80 euros dans sa tirelire. 5 points

exercice 2 : ÉLÈVES DE ES AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

1.   La situation peut être représentée par le graphe probabiliste suivant :

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2. a.  La matrice de transition du graphe probabiliste est  \boxed{M=\begin{pmatrix}0,7 & 0,3\\0,45 & 0,55\end{pmatrix}}.

2. b.   Calcul de l'état probabiliste P 2.

P_2=P_0\times M^2\ \ \text{avec }P_0=(0,1\ \ \ \ \ 0,9)\\\\\text{Or  }M=\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,45&0,55\end{pmatrix}\Longrightarrow M^2=\begin{pmatrix}0,625&0,375\\0,5625&0,4375\end{pmatrix}\\\\\text{D'où  }P_2=(0,1\ \ \ \ \ 0,9)\times\begin{pmatrix}0,625&0,375\\0,5625&0,4375\end{pmatrix}\\\\\phantom{\text{D'où  }P_3}=(0,1\times0,625+0,9\times0,5625\ \ \ \ 0,1\times0,375+0,9\times0,4375)\\\\\phantom{\text{D'où  }P_3}=(0,56875\ \ \ \ 0,43125)\\\\\Longrightarrow\boxed{P_2=(0,5685\ \ \ 0,43125)}

Par conséquent, au 1er janvier 2020, environ 57 % des clients ont un contrat avec l'opérateur EfficaceRéseau.

3. a.  Nous savons que pour tout entier naturel n ,  Pn+1 = Pn multiplie M.

\text{D'où  }(e_{n+1}\ \ \ \ \ g_{n+1})=(e_n\ \ \ \ \ g_n)\times\begin{pmatrix}0,7&0,3\\0,45&0,55\end{pmatrix}\\\\\phantom{\text{D'où  }(e_{n+1}\ \ \ \ \ g_{n+1})}=(e_n\times0,7+g_n\times0,45\ \ \ \ e_n\times0,3+g_n\times0,55)\\\\\phantom{\text{D'où  }(e_{n+1}\ \ \ \ \ g_{n+1})}=(0,7e_n+0,45g_n\ \ \ \ 0,3 e_n+0,55g_n)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n}


{\red{\text{3. b. }}}\text{Nous savons que }\ \ e_{n+1}=0,7e_n+0,45g_n\\\\\text{Or }\ e_n+g_n=1\Longrightarrow g_n=1-e_n\\\\\text{D'où }\ e_{n+1}=0,7e_n+0,45(1-e_n)\\\\\phantom{\text{D'où }\ e_{n+1}}=0,7e_n+0,45-0,45e_n\\\\\phantom{\text{D'où }\ e_{n+1}}=0,25e_n+0,45\\\\\Longrightarrow\boxed{e_{n+1}=0,25e_n+0,45}

4. a.  Algorithme complété :

E\longleftarrow0,1\\G\longleftarrow0,9\\\text{Pour I allant de 1 à }N\\\phantom{Pour I}E\longleftarrow{\red{0,25}}\times E+{\red{0,45}}\\\phantom{Pour I}G\longleftarrow{\red{1-E}}\\\text{Fin Pour}\\\text{Afficher E et G}

4. b.   Déterminons l'affichage de cet algorithme pour N  = 3.

I=1\Longrightarrow E=0,25\times0,1+0,45\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,475\\\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,475\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,525\\\\\ I=2\Longrightarrow E=0,25\times0,475+0,45\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,56875\\\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,56875\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,43125\\\\I=3\Longrightarrow E=0,25\times0,56875+0,45\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,5921875\\\phantom{I=1\Longrightarrow }\ G=1-0,5921875\\\phantom{I=1\Longrightarrow E}=0,4078125

D'où pour N  = 3, les valeurs demandées sont E  environegal 0,59 et G  environegal 0,41 (arrondies au centième).

4. c.  L'état stable du système (e     g ) est la solution du système  \left\lbrace\begin{matrix}e=0,25e+0,45\\g=1-e\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix}e=0,25e+0,45\\g=1-e\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e-0,25e=0,45\\g=1-e\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0,75e=0,45\\g=1-e\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=\dfrac{0,45}{0,75}\\g=1-e\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=1-e\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=1-0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}e=0,6\\g=0,4\end{matrix}\right.

Par conséquent, l'état stable du système est P = (0,6     0,4).

Interprétation :
A très long terme, la part de marché de l'opérateur EfficaceRéseau  sera de 60 % et la part de l'opérateur GenialPhone  sera de 40 %.

4 points

exercice 3


1.   réponse C f\;'(4)=0,5
Il suffit de lire un vecteur directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4.

2.   réponse D f est convexe sur [2 ;5].

3.   réponse C On compte le nombre de carreaux compris entre la courbe, l'axe des abscisses , les droites d'équation x=0 et x= 5, et on évalue la valeur moyenne. La seule valeur cohérente possible est 2,9.

4.   réponse B D'après le graphique, \mu=650.
P(649\le X \le 651)=1-P(X\le 649)-P(X\ge 651)= 1-2P(X\le 649)=0,6826\approx 0,683

]

5 points

exercice 4


1.a   Pour tout x de [1 ; 25],  f'(x)=\dfrac{x(1-\frac 1 x)-(x+2-\ln (x)) }{x^2}=\dfrac {-3+\ln (x)}{x^2}


1.b   Pour x dans [1 ; 25] ; -3+\ln (x) > 0 pour \ln(x) > 3 soit x > e^3. L'ensemble des solutions est ]e^3\;;\;25]

1.c  
\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x & 1 & & e^3& & 25 & \\ \hline  {f'(x)} & & - & 0 & + & & \\ \hline  {f} &^3 & \searrow & _{f(e^3)} & \nearrow & ^{f(25)}& \\ \hline \end{array}

avec f(e^3)\approx 0,9502 et f(25)\approx 0,9512

1.d   1,5\in [f(e^3)\;;\;3] et 1,5\notin [f(e^3)\;;\;f(25]
f est dérivable, strictement décroissante sur [1 \;;\;e^3], d'après le théorème des valeurs intermédiares, l'équation f(x)=1,5 admet donc une unique solution, notée \alpha

1.e   f(2,32)\approx 1,499< 1,5 et f(2,31)\approx 1,503 donc 2,31<\alpha<2,32

2.a   Le coût moyen est minimal pour x=e^3\approx 20,086 soit 2009 pièces.
Le coût moyen d'une pièce est alors égal à 0,95 euro.

2.b   Au delà de 232 pièces, le coût moyen sera inférieur à 1,50 euros.

2.c   Le coût moyen ne peut pas être égal à 0,50 euro (puisque le minimum possible est f(e^3) > 0,5)
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