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Bac ES-L Métropole 2018

Obligatoire et spécialité

5 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

Bac ES-L (spé et non spé) Métropole 2018 : image 6

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4 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 3 Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

Bac ES-L (spé et non spé) Métropole 2018 : image 9

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5 points

exercice 3 Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

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6 points

exercice 4 Commun à tous les candidats

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Correction

Bac ES-L Métropole 2018 - Obligatoire et spécialité

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. a) La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance

= 45 et d'écart type sigma

= 12.

Puisque cette loi est continue, nous avons $\boxed{p(X=10)=0}$

1. b) La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance

= 45.

$\text{D'où }\ p(X\ge45)=p(X\ge\mu)=0,5\Longrightarrow\boxed{p(X\ge45)=0,5}$

1. c) La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance

= 45 et d'écart type sigma

= 12.

Nous utilisons la propriété suivante de la loi normale : $p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,954.$

$p(21\le X\le69)=p(45-24\le X\le45+24)\\\phantom{p(21\le X\le69)}=p(45-2\times12\le X\le45+2\times12)\\\phantom{p(21\le X\le140)}=p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\\\phantom{p(21\le X\le69)}\approx0,954\\\\\Longrightarrow\boxed{p(21\le X\le69)\approx0,954}$

1. d) La courbe représentant la fonction densité de probabilité étant symétrique par rapport à

= 45, nous avons : $p(21\le X\le45)=p(45\le X\le69)$

$p(21\le X\le69)=p(21\le X\le45)+p(45\le X\le69)\\ p(21\le X\le69)=p(21\le X\le45)+p(21\le X\le45)\\ p(21\le X\le69)=2\times p(21\le X\le45)\\\\ p(21\le X\le45)=\dfrac{1}{2}\times p(21\le X\le69)\\\\\phantom{p(21\le X\le45)}\approx\dfrac{1}{2}\times 0,954\\\\\phantom{p(21\le X\le45)}\approx0,477\\\\\Longrightarrow\boxed{p(21\le X\le45)\approx0,477}$

2. Nous devons déterminer $p(30\le X\le60)$

A l'aide d'une calculatrice, nous obtenons : $\boxed{p(30\le X\le60)\approx0,789}$

Par conséquent, la probabilité qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché est environ égale à 0,789 (arrondie au millième).

3. Nous devons déterminer la valeur de a telle que $p(X\le a)=0,30$ .

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $\boxed{a\approx39\ \ \ \text{(arrondi à l'unité)}}$

Par conséquent, la probabilité qu'un client passe moins de 39 minutes dans ce supermarché est égale à 0,3.

Partie B

1. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₃₀₀ au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits dans cet échantillon de 300 clients pris au hasard.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=300\ge30 \\ p=0,89\Longrightarrow np=300\times0,89=267>5 \\n(1-p)= 300\times(1-0,89)= 300\times0,11=33>5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₃₀₀ au seuil de 95% est :

$I_{300}=\left[0,89-1,96\sqrt{\dfrac{0,89 (1-0,89)}{300}};0,89+1,96\sqrt{\dfrac{0,89 (1-0,89)}{300}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{300}\approx[0,854;0,926]}$

2. Lors d'une enquête réalisée en 2018 auprès de 300 clients choisis au hasard, 286 ont déclaré être satisfaits.

La fréquence observée des clients satisfaits est $\boxed{f=\dfrac{286}{300}\approx0,953}$

3. Nous remarquons que $f\notin I_{300}.$

Par conséquent au risque de se tromper de 5%, on ne peut pas affirmer que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018.

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Réponse a.
La probabilité $p_{\overline{F}}(S)$ est la probabilité que l'élève soit inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon.

2. Réponse b.
En effet, $p_F(S)=\dfrac{p(S\cap F)}{p(F)}$

$=\dfrac{p(S)\times p_S(F)}{p(F)}\\\\=\dfrac{0,3\times0,4}{0,47}=\dfrac{0,12}{0,47}\\\\\approx0,255$

$\Longrightarrow\boxed{p_F(S)\approx0,255}$

Partie B

1. Réponse b.
En effet, la tangente à la courbe C_g au point d'abscisse 1 a une équation de la forme $y=g'(1)(x-1)+g(1).$

$\text{Or }\ g(x)=-x^3+3x^2-1\Longrightarrow g(1)=-1^3+3\times1^2-1\\\phantom{\text{Or }\ g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow g(1)=-1+3-1\\\phantom{\text{Or }\ g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow \boxed{g(1)=1} \\\\\phantom{\text{Or }\ }g(x)=-x^3+3x^2-1\Longrightarrow g'(x)=-3x^2+6x \\\phantom{\phantom{\text{Or }\ }g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow g'(1)=-3\times1^2+6\times1 \\\phantom{\phantom{\text{Or }\ }g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow g'(1)=-3+6 \\\phantom{\phantom{\text{Or }\ }g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow\boxed{g'(1)=3}$

D'où la tangente à la courbe C_g au point d'abscisse 1 a pour équation : $y=3(x-1)+1$ , soit $\boxed{y=3x-2}$

2. Réponse b.
En effet, la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [-1 ; a] est donnée par :

$m=\dfrac{1}{a-(-1)}\int\limits_1^ag(x)\,dx=\dfrac{1}{a+1}\int\limits_1^ag(x)\,dx$

Or une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle [-1 ; a] par $G(x)=-\dfrac{x^4}{4}+x^3-x$

$\text{D'où }\ m=\dfrac{1}{a+1}[G(x)]\limits_1^a \\\\\phantom{\text{D'où }\ m}=\dfrac{1}{a+1}[G(a)-G(1)] \\\\\phantom{\text{D'où }\ m}=\dfrac{1}{a+1}[(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a)-(-\dfrac{1^4}{4}+1^3-1)] \\\\\phantom{\text{D'où }\ m}=\dfrac{1}{a+1}[(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a)-(-\dfrac{1}{4}+1-1)] \\\\\phantom{\text{D'où }\ m}=\dfrac{1}{a+1}[-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}]$

$\text{Si }\ \boxed{a=1},\ \text{alors }\ m=\dfrac{1}{1+1}[-\dfrac{1}{4}+1-1+\dfrac{1}{4}] \\\\\phantom{\text{Si }\ \boxed{a=1},\ \text{alors }}\ m=0.$

Par conséquent, la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle [-1 ; a ] est nulle pour a = 1.

5 points

exercice 3 - Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de
spécialité et candidats de série L

1. a) Le 1^er janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 605 cm.
Une augmentation de 6% du niveau d'eau correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,06 = 1,06.
Après l'augmentation, le niveau d'eau est de $1,06\times605=641,3\ \text{cm.}$

Ensuite, survient une baisse de 15 cm.
641,3 - 15 = 626,3.

Donc, le 2 janvier 2018, à midi, le niveau du lac est de 626,3 cm.

1. b) Le niveau d'eau du lac à midi, en cm, n jours après le 1^er janvier 2018 est donné par u_n .
Une augmentation de 6% du niveau d'eau correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,06 = 1,06.
Après l'augmentation, le niveau d'eau en cm est de $1,06\times u_n$

Ensuite, survient une baisse de 15 cm.

Donc, n +1 jours après le 1^er janvier 2018, le niveau d'eau en cm sera : $\boxed{u_{n+1}=1,06u_n-15}$

2. $v_n=u_n-250\ \ \ (n\in\mathbb{N})$

2. a) Montrons que la suite (v_n ) est géométrique.

$v_{n+1}=u_{n+1}-250 \\\phantom{v_{n+1}}=(1,06u_n-15)-250 \\\phantom{v_{n+1}}=1,06u_n-265 \\\phantom{v_{n+1}}=1,06u_n-1,06\times250 \\\phantom{v_{n+1}}=1,06(u_n-250) \\\phantom{v_{n+1}}=1,06v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=1,06v_n}$

D'où la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 1,06 et dont le premier terme est $v_0=u_0-250=605-250=355.$

2. b) Le terme général de la suite (v_n ) est $v_n=v_0\times q^n$ , soit $v_n=355\times1,06^n.$

$\text{Dès lors }\ v_n=u_n-250\Longrightarrow u_n=v_n+250 \\\\\phantom{\text{Dès lors }\ v_n=u_n-250}\Longrightarrow\boxed{u_n=355\times1,06^n+250}$

3. a) Nous savons que $\lim\limits_{n\to+\infty}1,06^n=+\infty\ \ \ \text{car }\ 1,06>1$

$\text{Donc }\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(355\times1,06^n+250) \\\\\phantom{\text{Donc }\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=355\times\lim\limits_{n\to+\infty}(1,06^n)+250 \\\phantom{\text{Donc }\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}$

3. b) $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty$ se traduit par : pour tout nombre réel strictement positif A , il existe un rang N à partir duquel toutes les valeurs de u_n sont supérieures à A .
Si nous prenons le cas particulier où A = 1000, il existera un rang N tel que pour tout entier naturel n > N , nous aurons u_n > 1000.
Nous en déduisons qu'au bout d'un certain nombre de jours, le niveau du lac sera supérieur à 1000 cm. Il dépassera donc 10 m.
Par conséquent, l'équipe d'entretien devra ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau.

4. a) Algorithme complété :

$\begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow605\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }\ {\red{U\le1000}}\ \ \text{faire} \\\ \ |U\longleftarrow{\red{1,06\times U-15}} \\|N\longleftarrow N+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Fin de Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline \end{array}$

4. b) A la fin de l'algorithme, la variable N contient la plus petite valeur n telle que u_n > 1000.

Nous déterminerons cette valeur n en résolvant l'inéquation u_n > 1000.

$u_n>1000\Longleftrightarrow355\times1,06^n+250>1000\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow355\times1,06^n>1000-250 \\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow355\times1,06^n>750 \\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow1,06^n>\dfrac{750}{355} \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow1,06^n>\dfrac{150}{71} \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow\ln(1,06^n)>\ln(\dfrac{150}{71}) \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,06)>\ln(\dfrac{150}{71}) \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(\dfrac{150}{71})}{\ln(1,06)}\ \ \ \ \text{(Conservation du sens de l'inégalité car }\ln(1,06)>0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(\dfrac{150}{71})}{\ln(1,06)}\approx12,84$

Puisque n est un nombre entier, la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation est n = 13.

Par conséquent, à la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable N contient la valeur 13.

4. c) En utilisant le résultat fourni par l'algorithme, nous déduisons que les techniciens devront intervenir 13 jours après le 1^er janvier 2018.

Donc la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage est le 14 janvier 2018.

5 points

exercice 3 - Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Puisqu'il possède 5 sommets, le graphe est d'ordre 5.

2. a) La matrice d'adjacence de ce graphe est $M=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0\\0&0&0&1&0\\1&1&0&0&1\\0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0\end{pmatrix}$

2. b) $M^3=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&0&3&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}$

Le nombre de chaînes de longueur 3 pour aller de D à F est donné par le coefficient de la 3^ème ligne (correspondant à D) et de la 4^ème colonne (correspondant à F).
Ce coefficient est 3.

Il existe donc 3 parcours constitués de 3 arêtes.
Ces trajets sont D-A-B-F ; D-H-B-F et D-H-A-F.

3. Utilisons l'algorithme de Dijkstra.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline D&A&B&H&F&\text{Sommet sélectionné} \\\hline 0&\infty&\infty&\infty&\infty&D\\\hline&28_D&40_D&19_D&\infty&H\\\hline&28_D&35_H&&51_H&A\\\hline&&35_H&&51_H&B\\\hline&&&&49_B&F\\\hline \end{array}$

D'où le trajet pour lequel le temps de course est minimal est D-H-B-F.
Ce trajet dure 49 minutes.

Partie B

Graphe complété :

Bac ES-L (spé et non spé) Métropole 2018 : image 20

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

$f(x)=(2x+1)\,\text{e}^{-2x}+3\ \ \ \ \ (x\in[-2;4])$

${\red{1.\ }}\ f'(x)=[(2x+1)\,\text{e}^{-2x}+3]' \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=[(2x+1)\,\text{e}^{-2x}]'+3' \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=(2x+1)'\times\,\text{e}^{-2x}+(2x+1)\times\,[\text{e}^{-2x}]'+0 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=2\times\,\text{e}^{-2x}+(2x+1)\times\,(-2\text{e}^{-2x}) \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=2\,\text{e}^{-2x}-2(2x+1)\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=2\,\text{e}^{-2x}-4x\,\text{e}^{-2x}-2\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=-4x\,\text{e}^{-2x}\\\\ \Longrightarrow\boxed{f'(x)=-4x\,\text{e}^{-2x}}$

2. Signe de la dérivée f' (x ) et variations de f sur l'intervalle [-2 ; 4].

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-2&&&0&&4& \\\hline -4x&&+&&0&-&&\\\text{e}^{-2x}&&+&&+&+&&\\\hline f'(x)&&+&&0&-&&\\\hline &&&&4&&&&f(x)&&\nearrow&&&\searrow&&&&\approx-160,8&&&&&\approx3&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, f est strictement croissante sur l'intervalle [-2 ; 0]
f est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 4].

3. Montrons que l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [-2 ; 0].

La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [-2 ; 0].
f (-2) environegal

-160,8 < 0 et f (0) = 4 > 0.
Donc 0 est compris entre f (-2) et f (0).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution appartenant à l'intervalle [-2 ; 0].

Par la calculatrice, nous obtenons $\boxed{\alpha\approx-0,8}$

4. $f''(x)=(8x-4)\,\text{e}^{-2x}\ \ \ \ \ (x\in[-2;4])$

4. a) Puisque l'exponentielle est strictement positive, le signe de f" sera le signe de 8x - 4.

$\begin{matrix}8x-4=0\Longleftrightarrow8x=4\\\phantom{8x-4=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{8}\\\\\phantom{8x-4=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \begin{matrix}8x-4<0\Longleftrightarrow8x<4\\\phantom{8x-4<0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{4}{8}\\\\\phantom{8x-4<0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{2}\end{matrix}\ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \begin{matrix}8x-4>0\Longleftrightarrow8x>4\\\phantom{8x-4<0}\Longleftrightarrow x>\dfrac{4}{8}\\\\\phantom{8x-4<0}\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{2}\end{matrix}$

D'où le tableau de signes de f" sur l'intervalle [-2 ; 4]

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-2&&\frac{1}{2}&&4 \\\hline 8x-4&&-&0&+&\\\hline f''(x)&&-&0&+&\\\hline \end{array}$

Par conséquent,

$\begin{array}{|c|}\hline \text{ si }\ x\in[-2;\dfrac{1}{2}],\text{ alors }\ f''(x)<0\\\text{si }\ x\in[\dfrac{1}{2};4],\text{ alors }\ f''(x)>0\\\hline \end{array}$

4. b) Puisque f" (x ) > 0 lorsque $x\in[\dfrac{1}{2};4]$ , nous en déduisons que f est convexe sur l'intervalle $[\dfrac{1}{2};4].$

5. $g(x)=(2x+1)\,\text{e}^{-2x}\ \ \ \ (x\in[-2;4])$

5. a) Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur l'intervalle [-2 ; 4] par $G(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-2x}.$
En effet, montrons que G'(x) = g(x) sur l'intervalle [-2 ; 4].

$G'(x)=[(-x-1)\ \text{e}^{-2x}]'\\\phantom{F'(x)}=(-x-1)'\times\text{e}^{-2x}+(-x-1)\times[ \text{e}^{-2x}]' \\\phantom{F'(x)}=(-1)\times\text{e}^{-2x}+(-x-1)\times(-2\, \text{e}^{-2x}) \\\phantom{F'(x)}=-\text{e}^{-2x}+2x\, \text{e}^{-2x}+2\, \text{e}^{-2x} \\\phantom{F'(x)}=2x\, \text{e}^{-2x}+ \text{e}^{-2x} \\\phantom{F'(x)}=(2x+1)\, \text{e}^{-2x} \\\phantom{F'(x)}=g(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{G'(x)=g(x)\ \ \ \ (\text{avec }\ x\in[-2;4])}$

5. b) Nous savons que f (x ) = g (x ) + 3.

Dès lors, une primitive F de la fonction f sera définie par F (x ) = G (x ) + 3x, soit par $\boxed{F(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-2x}+3x}$

6. a) Domaine $\mathscr{D}$ hachuré :

Bac ES-L (spé et non spé) Métropole 2018 : image 18

6. b) L'aire $\mathscr{A}$ du domaine $\mathscr{D}$ est comprise entre les aires des deux rectangles ABCD et AEFD.

$\text{Or }\ \text{Aire}_{ABCD}=AD\times AB=1\times3\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{ABCD}=3} \\\\\phantom{\text{Or }}\ \text{Aire}_{AEFD}=AD\times AE=1\times4\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{AEFD}=4}$

Par conséquent, $\boxed{3\text{ u. a.}<\mathscr{A}<4\text{ u. a.}}$

6. c) Déterminons la valeur exacte de l'aire $\mathscr{A}$ et une valeur approchée au centième.

$\mathscr{A}=\int\limits_0^1f(x)\ dx\\\\\phantom{A}=[F(x)]\limits_0^1 \\\\\phantom{A}=F(1)-F(0) \\\\\phantom{A}=[(-1-1)\,\text{e}^{-2\times1}+3\times1]-[(0-1)\,\text{e}^{-2\times0}+3\times0] \\\\\phantom{A}=[-2\,\text{e}^{-2}+3]-[-\,\text{e}^{0}+0] \\\\\phantom{A}=-2\,\text{e}^{-2}+3+1 \\\\\phantom{A}=-2\,\text{e}^{-2}+4 \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=4-2\,\text{e}^{-2}\text{ u. a.}\approx0,73\text{ u. a.}}$

Publié par malou le 03-10-2018

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