Fiche de mathématiques
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Bac ES-L Métropole 2018

Obligatoire et spécialité

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5 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

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4 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 3 Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de série L

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5 points

exercice 3 Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

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6 points

exercice 4 Commun à tous les candidats

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Bac ES-L Métropole 2018 - Obligatoire et spécialité

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5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A


1. a)   La variable aléatoire X  suit la loi normale d'espérance mu = 45 et d'écart type sigma = 12.

Puisque cette loi est continue, nous avons  \boxed{p(X=10)=0}

1. b)   La variable aléatoire X  suit la loi normale d'espérance mu = 45.

\text{D'où }\ p(X\ge45)=p(X\ge\mu)=0,5\Longrightarrow\boxed{p(X\ge45)=0,5}

1. c)   La variable aléatoire X  suit la loi normale d'espérance mu = 45 et d'écart type sigma = 12.

Nous utilisons la propriété suivante de la loi normale : p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,954.

p(21\le X\le69)=p(45-24\le X\le45+24)\\\phantom{p(21\le X\le69)}=p(45-2\times12\le X\le45+2\times12)\\\phantom{p(21\le X\le140)}=p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\\\phantom{p(21\le X\le69)}\approx0,954\\\\\Longrightarrow\boxed{p(21\le X\le69)\approx0,954}

1. d)   La courbe représentant la fonction densité de probabilité étant symétrique par rapport à mu = 45, nous avons :  p(21\le X\le45)=p(45\le X\le69)

p(21\le X\le69)=p(21\le X\le45)+p(45\le X\le69)\\ p(21\le X\le69)=p(21\le X\le45)+p(21\le X\le45)\\ p(21\le X\le69)=2\times p(21\le X\le45)\\\\ p(21\le X\le45)=\dfrac{1}{2}\times p(21\le X\le69)\\\\\phantom{p(21\le X\le45)}\approx\dfrac{1}{2}\times 0,954\\\\\phantom{p(21\le X\le45)}\approx0,477\\\\\Longrightarrow\boxed{p(21\le X\le45)\approx0,477}

2.   Nous devons déterminer  p(30\le X\le60)

A l'aide d'une calculatrice, nous obtenons :  \boxed{p(30\le X\le60)\approx0,789}

Par conséquent, la probabilité qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché est environ égale à 0,789 (arrondie au millième).

3.   Nous devons déterminer la valeur de a telle que  p(X\le a)=0,30.

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  \boxed{a\approx39\ \ \ \text{(arrondi à l'unité)}}

Par conséquent, la probabilité qu'un client passe moins de 39 minutes dans ce supermarché est égale à 0,3.

Partie B


1.   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I300  au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits dans cet échantillon de 300 clients pris au hasard.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=300\ge30 \\ p=0,89\Longrightarrow np=300\times0,89=267>5 \\n(1-p)= 300\times(1-0,89)= 300\times0,11=33>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I300  au seuil de 95% est :

 I_{300}=\left[0,89-1,96\sqrt{\dfrac{0,89 (1-0,89)}{300}};0,89+1,96\sqrt{\dfrac{0,89 (1-0,89)}{300}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{300}\approx[0,854;0,926]}

2.   Lors d'une enquête réalisée en 2018 auprès de 300 clients choisis au hasard, 286 ont déclaré être satisfaits.

La fréquence observée des clients satisfaits est  \boxed{f=\dfrac{286}{300}\approx0,953}

3.   Nous remarquons que  f\notin I_{300}.

Par conséquent au risque de se tromper de 5%, on ne peut pas affirmer que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018.

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A


1.   Réponse a.
La probabilité  p_{\overline{F}}(S)  est la probabilité que l'élève soit inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon.

2.   Réponse b.
En effet,  p_F(S)=\dfrac{p(S\cap F)}{p(F)}

                                      =\dfrac{p(S)\times p_S(F)}{p(F)}\\\\=\dfrac{0,3\times0,4}{0,47}=\dfrac{0,12}{0,47}\\\\\approx0,255

\Longrightarrow\boxed{p_F(S)\approx0,255}

Partie B


1.   Réponse b.
En effet, la tangente à la courbe Cg  au point d'abscisse 1 a une équation de la forme  y=g'(1)(x-1)+g(1).

\text{Or }\ g(x)=-x^3+3x^2-1\Longrightarrow g(1)=-1^3+3\times1^2-1\\\phantom{\text{Or }\ g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow g(1)=-1+3-1\\\phantom{\text{Or }\ g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow \boxed{g(1)=1} \\\\\phantom{\text{Or }\ }g(x)=-x^3+3x^2-1\Longrightarrow g'(x)=-3x^2+6x \\\phantom{\phantom{\text{Or }\ }g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow g'(1)=-3\times1^2+6\times1 \\\phantom{\phantom{\text{Or }\ }g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow g'(1)=-3+6 \\\phantom{\phantom{\text{Or }\ }g(x)=-x^3+3x^2-1}\Longrightarrow\boxed{g'(1)=3}

D'où la tangente à la courbe Cg  au point d'abscisse 1 a pour équation :  y=3(x-1)+1 , soit \boxed{y=3x-2}

2.   Réponse b.
En effet, la valeur moyenne de la fonction g  sur l'intervalle [-1 ; a] est donnée par :

 m=\dfrac{1}{a-(-1)}\int\limits_1^ag(x)\,dx=\dfrac{1}{a+1}\int\limits_1^ag(x)\,dx

Or une primitive de la fonction g  est la fonction G  définie sur l'intervalle [-1 ; a] par  G(x)=-\dfrac{x^4}{4}+x^3-x

\text{D'où }\ m=\dfrac{1}{a+1}[G(x)]\limits_1^a \\\\\phantom{\text{D'où }\ m}=\dfrac{1}{a+1}[G(a)-G(1)] \\\\\phantom{\text{D'où }\ m}=\dfrac{1}{a+1}[(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a)-(-\dfrac{1^4}{4}+1^3-1)] \\\\\phantom{\text{D'où }\ m}=\dfrac{1}{a+1}[(-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a)-(-\dfrac{1}{4}+1-1)] \\\\\phantom{\text{D'où }\ m}=\dfrac{1}{a+1}[-\dfrac{a^4}{4}+a^3-a+\dfrac{1}{4}]

\text{Si }\ \boxed{a=1},\ \text{alors }\ m=\dfrac{1}{1+1}[-\dfrac{1}{4}+1-1+\dfrac{1}{4}] \\\\\phantom{\text{Si }\ \boxed{a=1},\ \text{alors }}\ m=0.

Par conséquent, la valeur moyenne de la fonction g  sur l'intervalle [-1 ; a ] est nulle pour a  = 1.

5 points

exercice 3 - Candidats de série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de
                                 spécialité et candidats de série L

1. a)   Le 1er janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 605 cm.
Une augmentation de 6% du niveau d'eau correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,06 = 1,06.
Après l'augmentation, le niveau d'eau est de  1,06\times605=641,3\ \text{cm.}

Ensuite, survient une baisse de 15 cm.
641,3 - 15 = 626,3.

Donc, le 2 janvier 2018, à midi, le niveau du lac est de 626,3 cm.

1. b)   Le niveau d'eau du lac à midi, en cm, n  jours après le 1er janvier 2018 est donné par un .
Une augmentation de 6% du niveau d'eau correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,06 = 1,06.
Après l'augmentation, le niveau d'eau en cm est de  1,06\times u_n

Ensuite, survient une baisse de 15 cm.

Donc, n +1 jours après le 1er janvier 2018, le niveau d'eau en cm sera :  \boxed{u_{n+1}=1,06u_n-15}

2.   v_n=u_n-250\ \ \ (n\in\mathbb{N})

2. a)   Montrons que la suite (vn ) est géométrique.

v_{n+1}=u_{n+1}-250 \\\phantom{v_{n+1}}=(1,06u_n-15)-250 \\\phantom{v_{n+1}}=1,06u_n-265 \\\phantom{v_{n+1}}=1,06u_n-1,06\times250 \\\phantom{v_{n+1}}=1,06(u_n-250) \\\phantom{v_{n+1}}=1,06v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=1,06v_n}

D'où la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q  = 1,06 et dont le premier terme est  v_0=u_0-250=605-250=355.

2. b)   Le terme général de la suite (vn ) est  v_n=v_0\times q^n , soit  v_n=355\times1,06^n.

\text{Dès lors }\ v_n=u_n-250\Longrightarrow u_n=v_n+250 \\\\\phantom{\text{Dès lors }\ v_n=u_n-250}\Longrightarrow\boxed{u_n=355\times1,06^n+250}

3. a)   Nous savons que  \lim\limits_{n\to+\infty}1,06^n=+\infty\ \ \ \text{car }\ 1,06>1

\text{Donc }\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(355\times1,06^n+250) \\\\\phantom{\text{Donc }\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=355\times\lim\limits_{n\to+\infty}(1,06^n)+250 \\\phantom{\text{Donc }\lim\limits_{n\to+\infty}u_n}=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}

3. b)   \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty  se traduit par : pour tout nombre réel strictement positif A  , il existe un rang N  à partir duquel toutes les valeurs de un  sont supérieures à A .
Si nous prenons le cas particulier où A  = 1000, il existera un rang N tel que pour tout entier naturel n  > N , nous aurons un  > 1000.
Nous en déduisons qu'au bout d'un certain nombre de jours, le niveau du lac sera supérieur à 1000 cm. Il dépassera donc 10 m.
Par conséquent, l'équipe d'entretien devra ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau.

4. a)  Algorithme complété :

            \begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow605\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }\ {\red{U\le1000}}\ \ \text{faire} \\\ \ |U\longleftarrow{\red{1,06\times U-15}} \\|N\longleftarrow N+1\ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\text{Fin de Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline \end{array}

4. b)   A la fin de l'algorithme, la variable N  contient la plus petite valeur n  telle que un  > 1000.

Nous déterminerons cette valeur n  en résolvant l'inéquation un  > 1000.

u_n>1000\Longleftrightarrow355\times1,06^n+250>1000\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow355\times1,06^n>1000-250 \\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow355\times1,06^n>750 \\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow1,06^n>\dfrac{750}{355} \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow1,06^n>\dfrac{150}{71} \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow\ln(1,06^n)>\ln(\dfrac{150}{71}) \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,06)>\ln(\dfrac{150}{71}) \\\\\phantom{u_n<2000}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(\dfrac{150}{71})}{\ln(1,06)}\ \ \ \ \text{(Conservation du sens de l'inégalité car }\ln(1,06)>0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(\dfrac{150}{71})}{\ln(1,06)}\approx12,84

Puisque n  est un nombre entier, la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation est n  = 13.

Par conséquent, à la fin de l'exécution de l'algorithme, la variable N contient la valeur 13.

4. c)   En utilisant le résultat fourni par l'algorithme, nous déduisons que les techniciens devront intervenir 13 jours après le 1er janvier 2018.

Donc la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage est le 14 janvier 2018.

5 points

exercice 3 - Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A


1.   Puisqu'il possède 5 sommets, le graphe est d'ordre 5.

2. a)   La matrice d'adjacence de ce graphe est  M=\begin{pmatrix} 0&1&0&1&0\\0&0&0&1&0\\1&1&0&0&1\\0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0\end{pmatrix}

2. b)   M^3=\begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&0&3&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}

Le nombre de chaînes de longueur 3 pour aller de D à F est donné par le coefficient de la 3ème ligne (correspondant à D) et de la 4ème colonne (correspondant à F).
Ce coefficient est 3.

Il existe donc 3 parcours constitués de 3 arêtes.
Ces trajets sont D-A-B-F ; D-H-B-F et D-H-A-F.

3.   Utilisons l'algorithme de Dijkstra.

                         \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline D&A&B&H&F&\text{Sommet sélectionné} \\\hline 0&\infty&\infty&\infty&\infty&D\\\hline&28_D&40_D&19_D&\infty&H\\\hline&28_D&35_H&&51_H&A\\\hline&&35_H&&51_H&B\\\hline&&&&49_B&F\\\hline \end{array}

D'où le trajet pour lequel le temps de course est minimal est D-H-B-F.
Ce trajet dure 49 minutes.


Partie B


Graphe complété :

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6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

f(x)=(2x+1)\,\text{e}^{-2x}+3\ \ \ \ \ (x\in[-2;4])

{\red{1.\ }}\ f'(x)=[(2x+1)\,\text{e}^{-2x}+3]' \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=[(2x+1)\,\text{e}^{-2x}]'+3' \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=(2x+1)'\times\,\text{e}^{-2x}+(2x+1)\times\,[\text{e}^{-2x}]'+0 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=2\times\,\text{e}^{-2x}+(2x+1)\times\,(-2\text{e}^{-2x}) \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=2\,\text{e}^{-2x}-2(2x+1)\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=2\,\text{e}^{-2x}-4x\,\text{e}^{-2x}-2\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ f'(x)}=-4x\,\text{e}^{-2x}\\\\ \Longrightarrow\boxed{f'(x)=-4x\,\text{e}^{-2x}}

2.   Signe de la dérivée f' (x ) et variations de f  sur l'intervalle [-2 ; 4].

                 \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-2&&&0&&4& \\\hline -4x&&+&&0&-&&\\\text{e}^{-2x}&&+&&+&+&&\\\hline f'(x)&&+&&0&-&&\\\hline &&&&4&&&&f(x)&&\nearrow&&&\searrow&&&&\approx-160,8&&&&&\approx3&\\\hline \end{array}

Par conséquent, f  est strictement croissante sur l'intervalle [-2 ; 0]
                                     f  est strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 4].

3.   Montrons que l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution sur l'intervalle [-2 ; 0].

La fonction f  est continue et strictement croissante sur l'intervalle [-2 ; 0].
f (-2) environegal -160,8 < 0 et f (0) = 4 > 0.
Donc 0 est compris entre f (-2) et f (0).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution alpha appartenant à l'intervalle [-2 ; 0].

Par la calculatrice, nous obtenons  \boxed{\alpha\approx-0,8}

4.   f''(x)=(8x-4)\,\text{e}^{-2x}\ \ \ \ \ (x\in[-2;4])

4. a)   Puisque l'exponentielle est strictement positive, le signe de f"  sera le signe de 8x - 4.

\begin{matrix}8x-4=0\Longleftrightarrow8x=4\\\phantom{8x-4=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{4}{8}\\\\\phantom{8x-4=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \begin{matrix}8x-4<0\Longleftrightarrow8x<4\\\phantom{8x-4<0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{4}{8}\\\\\phantom{8x-4<0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{2}\end{matrix}\ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \  \begin{matrix}8x-4>0\Longleftrightarrow8x>4\\\phantom{8x-4<0}\Longleftrightarrow x>\dfrac{4}{8}\\\\\phantom{8x-4<0}\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{2}\end{matrix}

D'où le tableau de signes de f"  sur l'intervalle [-2 ; 4]

                                     \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-2&&\frac{1}{2}&&4 \\\hline 8x-4&&-&0&+&\\\hline f''(x)&&-&0&+&\\\hline \end{array}

Par conséquent,

\begin{array}{|c|}\hline \text{ si }\ x\in[-2;\dfrac{1}{2}],\text{ alors }\ f''(x)<0\\\text{si }\ x\in[\dfrac{1}{2};4],\text{ alors }\ f''(x)>0\\\hline \end{array}

4. b)  Puisque f" (x ) > 0  lorsque  x\in[\dfrac{1}{2};4] , nous en déduisons que f  est convexe sur l'intervalle  [\dfrac{1}{2};4].

5.   g(x)=(2x+1)\,\text{e}^{-2x}\ \ \ \ (x\in[-2;4])

5. a)   Une primitive de la fonction g  est la fonction G  définie sur l'intervalle [-2 ; 4] par  G(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-2x}.
En effet, montrons que G'(x) = g(x) sur l'intervalle [-2 ; 4].

G'(x)=[(-x-1)\ \text{e}^{-2x}]'\\\phantom{F'(x)}=(-x-1)'\times\text{e}^{-2x}+(-x-1)\times[ \text{e}^{-2x}]' \\\phantom{F'(x)}=(-1)\times\text{e}^{-2x}+(-x-1)\times(-2\, \text{e}^{-2x}) \\\phantom{F'(x)}=-\text{e}^{-2x}+2x\, \text{e}^{-2x}+2\, \text{e}^{-2x} \\\phantom{F'(x)}=2x\, \text{e}^{-2x}+ \text{e}^{-2x} \\\phantom{F'(x)}=(2x+1)\, \text{e}^{-2x} \\\phantom{F'(x)}=g(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{G'(x)=g(x)\ \ \ \ (\text{avec }\ x\in[-2;4])}

5. b)   Nous savons que f (x ) = g (x ) + 3.

Dès lors, une primitive F  de la fonction f  sera définie par F (x ) = G (x ) + 3x, soit par \boxed{F(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-2x}+3x}

6. a)   Domaine  \mathscr{D}  hachuré :

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6. b)   L'aire  \mathscr{A}  du domaine  \mathscr{D}  est comprise entre les aires des deux rectangles ABCD et AEFD.

\text{Or }\ \text{Aire}_{ABCD}=AD\times AB=1\times3\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{ABCD}=3} \\\\\phantom{\text{Or }}\ \text{Aire}_{AEFD}=AD\times AE=1\times4\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{AEFD}=4}

Par conséquent,   \boxed{3\text{ u. a.}<\mathscr{A}<4\text{ u. a.}}

6. c)   Déterminons la valeur exacte de l'aire  \mathscr{A}  et une valeur approchée au centième.

\mathscr{A}=\int\limits_0^1f(x)\ dx\\\\\phantom{A}=[F(x)]\limits_0^1 \\\\\phantom{A}=F(1)-F(0) \\\\\phantom{A}=[(-1-1)\,\text{e}^{-2\times1}+3\times1]-[(0-1)\,\text{e}^{-2\times0}+3\times0] \\\\\phantom{A}=[-2\,\text{e}^{-2}+3]-[-\,\text{e}^{0}+0] \\\\\phantom{A}=-2\,\text{e}^{-2}+3+1 \\\\\phantom{A}=-2\,\text{e}^{-2}+4 \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=4-2\,\text{e}^{-2}\text{ u. a.}\approx0,73\text{ u. a.}}
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