Fiche de mathématiques

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Pondichéry 2018 Série S Obligatoire et Spécialité

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Correction

Bac S Obligatoire et spécialité Pondichéry 2018

6 points

exercice 1

Commun à tous les candidats

Partie A

1. Les diverses valeurs prises par T (arrondies à l'unité) durant l'exécution de l'algorithme sont reprises dans le tableau suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n&0&1&2&3&4\\\hline T&1000&824&679&560&463\\\hline \end{array}$

D'où au bout de 4 heures de refroidissement, la température du four est de 463°C (arrondie à l'unité).

2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n : $T_n=980\times0,82^n+20.$

Initialisation :
Montrons que l'égalité est vérifiée pour n = 0.

Nous savons que T ₀ = 1000.
$\text{Or si }n=0,\ \ \text{alors}\ \ 980\times0,82^0+20=980\times1+20\\\phantom{\text{Or si }n=0,\ \ \text{alors}\ \ 980\times0,82^0+20}=980+20\\\phantom{\text{Or si }n=0,\ \ \text{alors}\ \ 980\times0,82^0+20}=1000\\\phantom{\text{Or si }n=0,\ \ \text{alors}\ \ 980\times0,82^0+20}=T_0$
L'égalité est donc vraie pour n = 0.
Par conséquent, l'initialisation est vraie.

Hérédité :
Si nous supposons que pour un nombre naturel n fixé, l'égalité est vérifiée au rang n , alors montrons qu'elle est encore vérifiée au rang n +1.

Supposons que $T_n=980\times0,82^n+20.$
Montrons que $T_{n+1}=980\times0,82^{n+1}+20.$

En effet,

$T_{n+1}=0,82\times T_n+3,6\\\phantom{T_{n+1}}=0,82\times (980\times0,82^n+20)+3,6\\\phantom{T_{n+1}}= 0,82\times980\times0,82^n+0,82\times20+3,6\\\phantom{T_{n+1}}= 980\times0,82^n\times0,82+16,4+3,6\\\phantom{T_{n+1}}= 980\times0,82^{n+1}+20\\\\\Longrightarrow\boxed{T_{n+1}= 980\times0,82^{n+1}+20}$

Par conséquent, l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel n : $T_n=980\times0,82^n+20.$

3. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 70°C.

Nous devons donc résoudre dans l'ensemble

, l'inéquation T_n infegal

70.

$980\times0,82^n+20\le70\Longleftrightarrow980\times0,82^n\le70-20\\\phantom{980\times0,82^n+20\le70}\Longleftrightarrow980\times0,82^n\le50\\\\\phantom{980\times0,82^n+20\le70}\Longleftrightarrow0,82^n\le\dfrac{50}{980}\\\\\phantom{980\times0,82^n+20\le70}\Longleftrightarrow\ln(0,82^n)\le\ln\left(\dfrac{50}{980}\right)\\\\\phantom{980\times0,82^n+20\le70}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,82)\le\ln\left(\dfrac{50}{980}\right)\\\\\phantom{980\times0,82^n+20\le70}\Longleftrightarrow n\ {\red{\ge}}\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{50}{980}\right)}{\ln(0,82)}\ \ \ \ \ \ \text{(car }\ln(0,82) < 0)\\\\\text{Or }\ \ \ \dfrac{\ln\left(\dfrac{50}{980}\right)}{\ln(0,82)}\approx14,99$

D'où le plus petit entier naturel vérifiant l'inéquation T_n 70 est n = 15.

Par conséquent, le four peut être ouvert sans risque pour les céramiques au bout de 15 heures.

Partie B

$\text{Soit}\ \ f(t)=ae^{-\dfrac{t}{5}}+b.$

Nous admettons que $f'(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4.$

1. Calculons f' (t ).

$f'(t)=(ae^{-\dfrac{t}{5}}+b)'\\\\\phantom{f'(t)}=\left(ae^{-\dfrac{t}{5}}\right)'+b'\\\\\phantom{f'(t)}=a\times(-\dfrac{t}{5})'\left(e^{-\dfrac{t}{5}}\right)+0\\\\\phantom{f'(t)}=a\times(-\dfrac{1}{5})\left(e^{-\dfrac{t}{5}}\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(t)=-\dfrac{a}{5}e^{-\dfrac{t}{5}}}$

Nous obtenons alors :

$f'(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4\Longleftrightarrow-\dfrac{a}{5}e^{-\dfrac{t}{5}}+\dfrac{1}{5}(ae^{-\dfrac{t}{5}}+b)=4\\\\\phantom{f'(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4}\Longleftrightarrow-\dfrac{a}{5}e^{-\dfrac{t}{5}}+\dfrac{a}{5}e^{-\dfrac{t}{5}}+\dfrac{1}{5}b=4\\\\\phantom{f'(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4}\Longleftrightarrow\dfrac{b}{5}=4\\\\\phantom{f'(t)+\dfrac{1}{5}f(t)=4}\Longleftrightarrow\boxed{b=20}$

De plus,

$f(0)=1000\Longleftrightarrow ae^{-\frac{0}{5}}+b=1000\\\phantom{f(0)=1000}\Longleftrightarrow a\times1+b=1000\\\phantom{f(0)=1000}\Longleftrightarrow a+b=1000\\\\\text{Or }\ \ b=20\\\\\text{D'où }\ \ a+20=1000\Longrightarrow\boxed{a=980}$

Par conséquent, a = 980, b = 20 et

$\boxed{f(t)=980e^{-\dfrac{t}{5}}+20}$

${\red{\text{2. a.}}}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-\dfrac{t}{5})=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-\dfrac{t}{5}}=0\\\\\text{D'où }\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}(980e^{-\dfrac{t}{5}}+20)\\\phantom{\text{D'où }\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)}=980\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-\dfrac{t}{5}}+20\\\phantom{\text{D'où }\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)}=980\times0+20\\\phantom{\text{D'où }\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)}=20\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=20}$

b. Variations de la fonction f sur [0 ; + infini

[

Nous avons montré dans la question 1 que $f'(t)=-\dfrac{a}{5}e^{-\dfrac{t}{5}}$ avec a = 980.

$\text{Donc }\ f'(t)=-\dfrac{980}{5}e^{-\dfrac{t}{5}},\text{ soit }\ \boxed{f'(t)=-196e^{-\dfrac{t}{5}}}$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur [0 ; + infini

[, nous en déduisons que f' (t ) < 0 sur [0 ; + infini

[.

Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur [0 ; +[.

Tableau de variations de f :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline t&0&&&&+\infty \\\hline f'(t)&&&-&&\\\hline &1000&&&&\\ f(t)&&&\searrow&& \\ &&&&&20 \\ \hline \end{array}$

c. La porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques dès que sa température est inférieure à 70°C.

Résolvons l'inéquation f (t ) infegal

70.

$980e^{-\dfrac{t}{5}}+20\le70\Longleftrightarrow980e^{-\dfrac{t}{5}}\le70-20\\\phantom{980e^{-\dfrac{t}{5}}+20\le70}\Longleftrightarrow980e^{-\dfrac{t}{5}}\le50\\\\\phantom{980e^{-\dfrac{t}{5}}+20\le70}\Longleftrightarrow e^{-\dfrac{t}{5}}\le\dfrac{50}{980}\\\\\phantom{980e^{-\dfrac{t}{5}}+20\le70}\Longleftrightarrow\ln(e^{-\dfrac{t}{5}})\le\ln\left(\dfrac{50}{980}\right)\\\\\phantom{980e^{-\dfrac{t}{5}}+20\le70}\Longleftrightarrow-\dfrac{t}{5}\le\ln\left(\dfrac{50}{980}\right)\\\\\phantom{980e^{-\dfrac{t}{5}}+20\le70}\Longleftrightarrow t\ \ge\ -5\ln\left(\dfrac{50}{980}\right)\\\\\text{Or }\ \ \ -5\ln\left(\dfrac{50}{980}\right)\approx14,8776$

Donc la porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques après 14,8776 heures.

Or 14,8776 heures = 14,8776 multiplie

60 minutes = 892,676 minutes.

Par conséquent, la porte du four peut être ouverte sans risque pour les céramiques après 893 minutes.

3. a. La température moyenne du four (en degré Celsius) du four entre les deux instants t ₁ et t ₂ est donnée par $\dfrac{1}{t_2-t_1}\int\limits_{t_1}^{t_2}f(t)\,dt$

Donc la température moyenne theta

du four sur les 15 premières heures de refroidissement sera donnée par $\dfrac{1}{15-0}\int\limits_{0}^{15}f(t)\,dt$ , soit par $\theta=\dfrac{1}{15}\int\limits_{0}^{15}f(t)\,dt$

Or $\dfrac{1}{15}\int\limits_{0}^{15}f(t)\,dt$ représente l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction f , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 15.

En utilisant le graphique ci-dessous, nous pouvons évaluer cette aire par environ 50 carreaux de 100 u.a. par carreau.

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$\text{D'où }\ \ \int\limits_{0}^{15}f(t)\,dt\approx50\times100\ u.a.\\\phantom{\text{D'où }\ \ \int\limits_{0}^{15}f(t)\,dt}\approx5000\ u.a.\\\\\Longrightarrow\theta=\dfrac{1}{15}\int\limits_{0}^{15}f(t)\,dt\\\Longrightarrow\theta\approx\dfrac{1}{15}\times5000\\\\\Longrightarrow\boxed{\theta\approx333}$

Par conséquent, nous pouvons estimer la température moyenne du four sur les 15 premières heures de à 333 °C.

b. Calcul de la valeur exacte de theta

.

Une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0 ; + infini

[ est la fonction F définie par $F(t)=980\times(-5e^{-\dfrac{t}{5}})+20t$

soit par $F(t)=-4900e^{-\dfrac{t}{5}}+20t.$

$\theta=\dfrac{1}{15}\int\limits_{0}^{15}f(t)\,dt\\\\\phantom{\theta}=\dfrac{1}{15}[F(t)]\limits_{0}^{15}\\\\\phantom{\theta}=\dfrac{1}{15}[F(15)-F(0)]\\\\\phantom{\theta}=\dfrac{1}{15}[(-4900e^{-\dfrac{15}{5}}+20\times15)-(-4900e^{0}+20\times0)]\\\\\phantom{\theta}=\dfrac{1}{15}[-4900e^{-3}+300+4900]\\\\\phantom{\theta}=\dfrac{1}{15}[-4900e^{-3}+5200]\\\\\phantom{\theta}=\dfrac{5}{15}[-980e^{-3}+1040]\\\\\phantom{\theta}=\dfrac{1}{3}[-980e^{-3}+1040]\\\\\Longrightarrow\boxed{\theta=\dfrac{1}{3}(1040-980e^{-3})\approx330\ \text{°C}}$

4. a. Pour tout réel t positif, nous avons :

$d(t)=f(t)-f(t+1)\\\\\phantom{d(t)}=(980e^{-\dfrac{t}{5}}+20)-(980e^{-\dfrac{t+1}{5}}+20)\\\\\phantom{d(t)}=980e^{-\dfrac{t}{5}}+20-980e^{-\dfrac{t}{5}}e^{-\dfrac{1}{5}}-20\\\\\phantom{d(t)}=980e^{-\dfrac{t}{5}}-980e^{-\dfrac{t}{5}}e^{-\dfrac{1}{5}}\\\\\phantom{d(t)}=980e^{-\dfrac{t}{5}}(1-e^{-\dfrac{1}{5}})\\\\\Longrightarrow\boxed{d(t)=980\left(1-e^{-\dfrac{1}{5}}\right)e^{-\dfrac{t}{5}}}$

${\red{\text{b.}}}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-\dfrac{t}{5})=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}e^x=0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-\dfrac{t}{5}}=0\\\\\text{D'où }\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}d(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}\left[980\left(1-e^{-\dfrac{1}{5}}\right)e^{-\dfrac{t}{5}}\right]\\\phantom{\text{D'où }\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)}=980\left(1-e^{-\dfrac{1}{5}}\right)\times\lim\limits_{t\to+\infty}e^{-\dfrac{t}{5}}\\\phantom{\text{D'où }\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)}=980\left(1-e^{-\dfrac{1}{5}}\right)\times0\\\phantom{\text{D'où }\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)}=0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}d(t)=0}$

Nous pouvons en déduire qu'à long terme, la température du four tend à se stabiliser puisque l'abaissement de la température du four au cours d'une heure tend vers 0.
Nous connaissions déjà cette conclusion puisque nous avons montré dans la question 2a qu'à long terme, la température du four se rapprochait de 20 °C.

4 points

exercice 2

Commun à tous les candidats

1. a. $j=-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

La forme trigonométrique générale de j est $j=r(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)$ où

$r=|j|=\sqrt{(-\dfrac{1}{2})^2+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}\\\\\phantom{r=|j|}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}\\\\\phantom{r=|j|}=\sqrt{1}\\\\\Longrightarrow\boxed{r=1}$

D'où $j=1\times(\cos\theta+\text{i}\sin\theta)$ , soit $j=\cos\theta+\text{i}\sin\theta$

$\text{Or }\ \ \left\lbrace\begin{array}l j=\cos\theta+\text{i}\sin\theta\\j=-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l \cos\theta=-\dfrac{1}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{array}\ \ \Longrightarrow\boxed{\theta=\dfrac{2\pi}{3}[2\pi]}$

Par conséquent, la forme trigonométrique de j est $\boxed{j=\cos(\dfrac{2\pi}{3})+\text{i}\sin(\dfrac{2\pi}{3})}$

La forme exponentielle de j est $\boxed{j=e^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}}$

Formes algébriques de a' , b' et c' :

$\begin{array}la'=ja\\\phantom{a'}=-4j\\\phantom{a'}=-4(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{a'=2 - 2\text{i}\sqrt{3}} \end{array}\begin{array}l|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l b'=jb\\\phantom{a'}=2j\\\phantom{a'}=2(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{b'=-1+\text{i}\sqrt{3}}\end{array}\begin{array}l|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l c'=jc\\\phantom{a'}=4j\\\phantom{a'}=4(-\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{c'=-2+2\text{i}\sqrt{3}}\end{array}$

Formes exponentielles de a' , b' et c' :

$\begin{array}la'=ja\\\phantom{a'}=-4j\\\phantom{a'}=-4e^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\\\phantom{a'}=4e^{\text{i}\pi}e^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\\\phantom{a'}=4e^{\text{i}(\pi+\frac{2\pi}{3})}\\\\\Longrightarrow\boxed{a'=4e^{\frac{5\text{i}\pi}{3}}} \end{array}\begin{array}l|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l b'=jb\\\phantom{a'}=2j\\\phantom{a'}=2e^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\\\\\Longrightarrow\boxed{b'=2e^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}}\end{array}\begin{array}l|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{array}\begin{array}l c'=jc\\\phantom{a'}=4j\\\phantom{a'}=4e^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}\\\\\Longrightarrow\boxed{c'=4e^{\frac{2\text{i}\pi}{3}}}\end{array}$

b. Placement des points A' , B' et C' sur le graphique.

Bac S Obligatoire et spécialité Pondichéry 2018 : image 20

2. Pour montrer que les trois points A' , B' et C' sont alignés, montrons que les vecteurs $\overrightarrow{A'B'}\ \ \text{et}\ \ \overrightarrow{B'C'}$ sont colinéaires.

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{A'B'}$ est $z_{\overrightarrow{A'B'}}=b'-a'$
                                                                                $\phantom{z_{\overrightarrow{A'B'}}}=2j-(-4j)\\\phantom{z_{\overrightarrow{A'B'}}}=2j+4j\\\phantom{z_{\overrightarrow{A'B'}}}=6j$

L'affixe du vecteur $\overrightarrow{B'C'}$ est $z_{\overrightarrow{B'C'}}=c'-b'$
                                                                                $\phantom{z_{\overrightarrow{A'B'}}}=4j-2j\\\phantom{z_{\overrightarrow{A'B'}}}=2j$

D'où $\overrightarrow{A'B'}=3\overrightarrow{B'C'}.$

Nous en déduisons que les vecteurs $\overrightarrow{A'B'}\ \ \text{et}\ \ \overrightarrow{B'C'}$ sont colinéaires et par conséquent que les trois points A' , B' et C' sont alignés.

3. Démontrons que le triangle MNP est isocèle.

L'affixe du point M  est $z_M=\dfrac{a'+c}{2}$
                                                              $=\dfrac{2 - 2\text{i}\sqrt{3}+4}{2}\\\\=\dfrac{6 - 2\text{i}\sqrt{3}}{2}\\\\=\dfrac{2(3- \text{i}\sqrt{3})}{2}\\\\=3- \text{i}\sqrt{3}$

$\Longrightarrow\boxed{z_M=3- \text{i}\sqrt{3}}$

L'affixe du point N est $z_N=\dfrac{c'+c}{2}$
                                                              $=\dfrac{-2+2\text{i}\sqrt{3}+4}{2}\\\\=\dfrac{2 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2}\\\\=\dfrac{2(1+\text{i}\sqrt{3})}{2}\\\\=1+\text{i}\sqrt{3}$

$\Longrightarrow\boxed{z_N=1+\text{i}\sqrt{3}}$

L'affixe du point P est $z_P=\dfrac{c'+a}{2}$
                                                              $=\dfrac{-2+2\text{i}\sqrt{3}+(-4)}{2}\\\\=\dfrac{-6 + 2\text{i}\sqrt{3}}{2}\\\\=\dfrac{2(-3+\text{i}\sqrt{3})}{2}\\\\=-3+\text{i}\sqrt{3}$

$\Longrightarrow\boxed{z_P=-3+\text{i}\sqrt{3}}$

$\text{Or }\ \ MN=|z_N-z_M|\\\phantom{\text{Or }\ \ MN}=|(1+\text{i}\sqrt{3})-(3- \text{i}\sqrt{3})|\\\phantom{\text{Or }\ \ MN}=|1+\text{i}\sqrt{3}-3+ \text{i}\sqrt{3})|\\\phantom{\text{Or }\ \ MN}=|-2+2\text{i}\sqrt{3}|\\\phantom{\text{Or }\ \ MN}=\sqrt{(-2)^2+(2\sqrt{3})^2}\\\phantom{\text{Or }\ \ MN}=\sqrt{4+12}\\\phantom{\text{Or }\ \ MN}=\sqrt{16}\\\phantom{\text{Or }\ \ MN}=4\\\\\Longrightarrow\boxed{MN=4}\\\\\text{et }\ \ PN=|z_N-z_P|\\\phantom{\text{et }\ \ PN}=|(1+\text{i}\sqrt{3})-(-3+ \text{i}\sqrt{3})|\\\phantom{\text{et }\ \ PN}=|1+\text{i}\sqrt{3}+3- \text{i}\sqrt{3})|\\\phantom{\text{et }\ \ PN}=|4|\\\phantom{\text{et }\ \ PN}=4\\\\\Longrightarrow\boxed{PN=4}$

D'où MN = PN.

Par conséquent, le triangle MNP est isocèle en N.

5 points

exercice 3

Commun à tous les candidats

Partie A

1. La variable aléatoire X_U suit la loi normale de moyenne _U = 0,58 et d'écart type _U = 0,21.

a. Par la calculatrice, nous obtenons :

$P(X_U<0,2)+P(0,2\le X_U\le0,58)=P(X_U\le0,58)\\\\P(X_U<0,2)=P(X_U\le0,58)-P(0,2\le X_U\le0,58)\\\\P(X_U<0,2)=0,5-P(0,2\le X_U\le0,58)\\\\\phantom{P(X_U<0,2)}\approx0,5-0,46481516\\\\\phantom{P(X_U<0,2)}\approx0,03518464\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X_U<0,2)\approx0,035\ \ \ \text{(arrondi au millième)}}\\\\\text{et }\ \ \boxed{P(0,5\le X_U<0,8)\approx0,501\ \ \ \text{(arrondi au millième)}}$

b. Les cristaux de sucre dont la taille est inférieure à 0,2 mm se trouvent dans le récipient à fond étanche à la fin du calibrage.

Selon la question précédente, $P(X_U<0,2)\approx0,035.$

Donc la masse de sucre récupérée dans le récipient à fond étanche peut être estimée à 0,035 1800 g, soit 63 grammes.

La taille X_U des cristaux récupérés dans le tamis 2 vérifie la double inégalité 0,5 infegal

X_U < 0,8.

Selon la question précédente, $P(0,5\le X_U<0,8)\approx0,501.$

Donc la masse de sucre récupérée dans le tamis 2 peut être estimée à 0,501 1800 g, soit environ 902 grammes.

2. La variable aléatoire X_V suit la loi normale de moyenne _V = 0,65 et d'écart type _V

Si nous posons $Z=\dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}$ , alors Z suit la loi normale centrée réduite.

Puisque 40 % des cristaux se retrouvent dans le tamis 2, nous avons :

$P(0,5\le X_V<0,8)=0,4\Longleftrightarrow P(0,5-0,65\le X_V-0,65<0,8-0,65)=0,4\\\\\phantom{P(0,5\le X_V<0,8)=0,4}\Longleftrightarrow P(-0,15\le X_V-0,65<0,15)=0,4\\\\\phantom{P(0,5\le X_V<0,8)=0,4}\Longleftrightarrow P(\dfrac{-0,15}{\sigma_V}\le \dfrac{X_V-0,65}{\sigma_V}<\dfrac{0,15}{\sigma_V})=0,4$

Par la calculatrice, nous obtenons : $\dfrac{-0,15}{\sigma_V}\approx-0,524\ \ \text{et }\ \ \dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx0,524.$

$\text{D'où }\ \ \dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx0,524\Longleftrightarrow\dfrac{0,15}{0,524}\approx\sigma_V\\\\\phantom{\text{D'où }\ \ \dfrac{0,15}{\sigma_V}\approx0,524}\Longleftrightarrow\boxed{\sigma_V\approx0,286}$

Par conséquent, l'écart type _V de la variable aléatoire X_V est environ égal à 0,286.

Partie B

1. Arbre pondéré représentant la situation :

Bac S Obligatoire et spécialité Pondichéry 2018 : image 17

a. Nous devons déterminer P (E ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

$P(E)=P(U\cap E)+P(V\cap E)\\\phantom{P(E)}=P(U)\times P_U(E)+P(V)\times P_{V}(E)\\\phantom{P(E)}=0,3\times0,03+0,7\times0,05\\\phantom{P(E)}=0,044\\\\\Longrightarrow P(E)=0,044$

Par conséquent, la probabilité que le paquet prélevé porte le label "extra fin" est égale à 0,044.

b. Nous devons déterminer P_E (U ).

$P_E(U)=\dfrac{P(E\cap U)}{P(E)}\\\\\phantom{P_E(U)}=\dfrac{P(U)\times P_U(E)}{0,044}\\\\\phantom{P_E(U)}=\dfrac{0,3\times0,03}{0,044}\\\\\phantom{P_E(U)}=\dfrac{0,009}{0,044}\\\\\phantom{P_E(U)}=\dfrac{9}{44}\\\\\Longrightarrow\boxed{P_E(U)=\dfrac{9}{44}\approx0,205}$

Donc, sachant qu'un paquet porte le label "extra fin", la probabilité que le sucre qu'il contient provienne de l'exploitation U est égale à $\dfrac{9}{44}$ , soit environ 0,205.

2. Nous devons déterminer les valeurs de P(U) et de P(V) de telle sorte que parmi les paquets portant le label "extra fin", 30 % d'entre eux contiennent du sucre provenant de l'exploitation U.

Nous savons donc que $P_E(U)=0,3.$

Si nous posons x = P(U ), alors P (V ) = 1 - x . L'arbre pondéré représentant la situation devient alors :

Bac S Obligatoire et spécialité Pondichéry 2018 : image 18

$P_E(U)=0,3\Longleftrightarrow\dfrac{P(E\cap U)}{P(E)}=0,3\\\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow\dfrac{P(U)\times P_U(E)}{P(U\cap E)+P(V\cap E)}=0,3\\\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow\dfrac{P(U)\times P_U(E)}{P(U)\times P_U(E)+P(V)\times P_{V}(E)}=0,3\\\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow\dfrac{x\times0,03}{x\times0,03+(1-x)\times0,05}=0,3\\\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow\dfrac{0,03x}{0,03x+0,05-0,05x}=0,3\\\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow\dfrac{0,03x}{0,05-0,02x}=0,3\\\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow0,03x=0,3(0,05-0,02x)\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow0,03x=0,015-0,006x\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow0,03x+0,006x=0,015\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow0,036x=0,015\\\\\phantom{P_E(U)=0,3}\Longleftrightarrow x=\dfrac{0,015}{0,036}=\dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}\\\\\Longrightarrow\boxed{x=\dfrac{5}{12}\approx0,417}$

D'où $P(U)=\dfrac{5}{12}\approx0,417\ \ \text{et }\ \ P(V)=1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}\approx0,583.$

Par conséquent, l'entreprise devra s'approvisionner de la manière suivante :

41,7 % d'approvisionnement auprès de l'exploitation U
58,3 % d'approvisionnement auprès de l'exploitation V.

Partie C

1. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₅₀ au seuil de 95 % de la proportion de paquets portant le label "extra fin" contenant du sucre en provenance de l'exploitation U.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=150\ge30 \\ p=0,3\Longrightarrow np=150\times0,3=45\ge5 \\n(1-p)= 150\times(1-0,3)= 150\times0,7=105\ge5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₅₀ au seuil de 95% est :

$I_{150}=\left[0,3-1,96\sqrt{\dfrac{0,3 (1-0,3)}{ 150}};0,3-1,96\sqrt{\dfrac{0,3 (1-0,3)}{ 150}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{150}\approx[0,226;0,374]$

La fréquence observée est $f=\dfrac{30}{150}=0,2$

Nous remarquons que $f\notin I_{150}.$

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, l'annonce de l'entreprise doit être remise en question.

2. Déterminons un intervalle de confiance I₁₅₀ au seuil de 95 % de la nouvelle proportion de paquets portant le label "extra fin" contenant du sucre en provenance de l'exploitation U.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=150\ge30 \\ f=0,42\Longrightarrow nf=150\times0,42=63\ge5 \\n(1-f)= 150\times(1-0,42)= 150\times0,58=87\ge5 \end{array}$

Donc un intervalle de confiance I₁₅₀ au seuil de 95% est :

$I_{150}=\left[0,42-\dfrac{1}{\sqrt{150}};0,42+\dfrac{1}{\sqrt{150}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{150}\approx[0,338;0,502]$

5 points

exercice 4

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Déterminons une représentation paramétrique de la droite (CD).

La droite (CD) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{CD}$ ou par un vecteur multiple de $\overrightarrow{CD}.$

$\left\lbrace\begin{array}l C(0;3;2)\\D(4;3;-2)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4-0\\3-3 \\-2-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}}$

Nous pouvons alors choisir comme vecteur directeur de la droite (CD) le vecteur $\boxed{\dfrac{1}{4}\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}{\red{1}}\\ {\red{0}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix}}$

La droite (CD) passe par le point $C({\blue{0}} ; {\blue{3}}; {\blue{2}}).$

D'où une représentation paramétrique de la droite (CD) est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{1}}\times t\\y={\blue{3}}+{\red{0}}\times t\\z={\blue{2}}+{\red{(-1)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{(CD):\left\lbrace\begin{array}l x=t\\y=3\\z=2-t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. a. Les coordonnées du point M appartenant à la droite (CD) sont de la forme (t ; 3 ; 2-t ).

$\left\lbrace\begin{array}l B(4\ ;-1\ ;\ 0)\\M(t\ ;\ 3\ ;\ 2-t)\end{array}\Longrightarrow BM=\sqrt{(t-4)^2+(3+1)^2+(2-t-0)^2}$

$\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow BM=\sqrt{(t-4)^2+16+(2-t)^2}$

$\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow BM=\sqrt{t^2-8t+16+16+4-4t+t^2}\\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{BM=\sqrt{2t^2-12t+36}}$

La distance BM sera minimale lorsque le trinôme du second degré 2t ² - 12t + 36 sera minimal.
Le trinôme du second degré 2t ² - 12t + 36 est de la forme ax² + bx + c avec a = 2 > 0.

Il admet donc un minimum pour $t=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-12}{4}=3.$

Puisque les coordonnées du point M sont de la forme (t ; 3 ; 2-t ), nous en déduisons que les coordonnées du point M tel que la distance BM soit minimale sont (3 ; 3 ; -1).

b. Montrons que le produit scalaire $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CD}=0.$

$\left\lbrace\begin{array}l B(4;-1;0)\\H(3;3;-1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}3-4\\3+1 \\-1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l C(0;3;2)\\D(4;3;-2)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4-0\\3-3 \\-2-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}}$

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CD}\ \ &\ (-1)\times4+4\times0+(-1)\times(-4) \\ &\ -4+0+4\\ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{CD}=0}$

D'où les vecteurs $\overrightarrow{BH}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux.

Puisque les droites (BH ) et (CD ) sont sécantes en H , nous en déduisons que ces droites (BH ) et (CD ) sont perpendiculaires.

c. $\ \ \text{Aire}_{\ triangle\ BCD}=\dfrac{1}{2}\times CD\times BH$

$\text{Or }\ \ \overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}\Longrightarrow CD=\sqrt{4^2+0^2+(-4)^2}\\\phantom{\text{Or }\ \ \overrightarrow{CD}\overrightarrow{CD}}\ \ \ \ \ \Longrightarrow CD=\sqrt{16+0+16}\\\phantom{\text{Or }\ \ \overrightarrow{CD}\Longrightarrow }\ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{CD=\sqrt{32}}\\\\\text{et }\ \ \overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}\Longrightarrow BH=\sqrt{(-1)^2+4^2+(-1)^2}\\\phantom{\text{et }\ \ \overrightarrow{CD}\overrightarrow{CD}}\ \ \ \ \ \Longrightarrow BH=\sqrt{1+16+1}\\\phantom{\text{Or }\ \ \overrightarrow{CD}\Longrightarrow }\ \ \ \Longrightarrow\boxed{BH=\sqrt{18}}$

$\text{D'où }\ \ \text{Aire}_{\ triangle\ BCD}=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{32}\times\sqrt{18}\\\\\phantom{\text{D'où }\ \ \text{Aire}_{\ triangle\ BCD}}=\dfrac{1}{2}\times \sqrt{576}\\\\\phantom{\text{D'où }\ \ \text{Aire}_{\ triangle\ BCD}}=\dfrac{1}{2}\times 24\\\\\Longrightarrow\boxed{\ \text{Aire}_{\ triangle\ BCD}=12\ \text{cm}^2}$

3. a. Montrons que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ du plan (BCD) .

$\left\lbrace\begin{array}l B(4;-1;0)\\C(0;3;2)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0-4\\3+1 \\2-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}-4\\4\\2\end{pmatrix}}$

$\boxed{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}4\\0\\-4\end{pmatrix}}\ \ \text{(voir question 1.)}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas colinéaires.

De plus,

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{BC}\ \ &\ 2\times(-4)+1\times4+2\times2\\\ \ &\ -8+4+4\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{BC}}$

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{CD}\ \ &\ 2\times4+1\times0+2\times(-4)\\\ \ &\ 8+0-8\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{CD}}$

Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{n}$ étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CD}$ du plan (BCD) , nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (BCD) .

b. Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan (BCD) , nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (BCD) est de la forme 2x + y + 2z + d = 0.

Or le point B (4 ; -1 ; 0) appartient au plan (BCD) . Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 24 - 1 + 20 + d = 0 , soit 8 - 1 + 0 + d = 0 soit d=-7

Par conséquent, une équation cartésienne du plan (BCD) est : $2x + y + 2z - 7 = 0.$

c. La droite deltamaj

passe par le point A(2;1;4) et est orthogonale au plan (BCD) .

Donc cette droite deltamaj

passe par le point $A({\blue{2}};{\blue{1}};{\blue{4}})$ et est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{1}}\\ {\red{2}}\end{pmatrix}$ .

Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite deltamaj

est :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{2}}+{\red{2}}\times t\\y={\blue{1}}+{\red{1}}\times t\\z={\blue{4}}+{\red{2}}\times t \end{array}$

soit $\boxed{\Delta:\left\lbrace\begin{array}l x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

d. Les coordonnées du point I sont les solutions du système composé par les équations de la droite deltamaj

et du plan (BCD) , soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\\2x+y+2z-7=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\\ 2(2+2t)+(1+t)+2(4+2t)-7=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\\9t+6=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=2+2t\\y=1+t\\z=4+2t\\\\t=-\dfrac{6}{9}=-\dfrac{2}{3} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2+2\times(-\dfrac{2}{3})\\\\y=1-\dfrac{2}{3}\\z=4+2\times(-\dfrac{2}{3})\\\\t=-\dfrac{2}{3} \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{2}{3}\\\\y=\dfrac{1}{3}\\\\z=\dfrac{8}{3}\\\\t=-\dfrac{2}{3} \end{array}$

D'où les coordonnées du point I sont $\boxed{I(\dfrac{2}{3} ; \dfrac{1}{3} ; \dfrac{8}{3})}.$

4. Le volume du tétraèdre ABCD est donné par $V=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire}_{\ triangle\ BCD}\times AI.$

Or par la question 2c, nous savons que $\text{Aire}_{\ triangle\ BCD}=12$

$\text{et }\ \ AI=\sqrt{(x_I-x_A)^2+(y_I-y_A)^2+(z_I-z_A)^2}\\\\\phantom{\text{et }\ \ AI}=\sqrt{(\dfrac{2}{3}-2)^2+(\dfrac{1}{3}-1)^2+(\dfrac{8}{3}-4)^2}\\\\\phantom{\text{et }\ \ AI}=\sqrt{(-\dfrac{4}{3})^2+(-\dfrac{2}{3})^2+(-\dfrac{4}{3})^2}\\\\\phantom{\text{et }\ \ AI}=\sqrt{\dfrac{16}{9}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{16}{9}}\\\\\phantom{\text{et }\ \ AI}=\sqrt{4}\\\\\Longrightarrow\boxed{AI=2}$

D'où $V=\dfrac{1}{3}\times12\times 2\Longrightarrow\boxed{V=8}$

Par conséquent, le volume du tétraèdre ABCD est égal à 8 cm³.

5 points

exercice 4

Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A : Cryptage

1. La lettre N est représentée par le nombre entier x = 13.

$\text{D'où }\ \ y\equiv13(13+13)\ [33]\\\phantom{\text{D'où }\ \ y}\equiv338\ [33]\\\\\text{Or }\ \ 338=10\times33+8\\\\\text{Donc }\ \ \boxed{y\equiv8\ [33]}$

Par conséquent, Bob code la lettre "N" avec le nombre 8.

2. La lettre O est représentée par le nombre entier x = 14.

$\text{D'où }\ \ y\equiv14(14+13)\ [33]\\\phantom{\text{D'où }\ \ y}\equiv378\ [33]\\\\\text{Or }\ \ 378=11\times33+15\\\\\text{Donc }\ \ \boxed{y\equiv15\ [33]}$

Par conséquent, la lettre "O" est codée avec le nombre 15.

Partie B : Décryptage

${\red{\text{1. }}}\ \ (x+23)^2\equiv4\ [33]\Longleftrightarrow x^2+46x+529\equiv4\ [33]\\\phantom{{\red{\text{1. }}}\ \ (x+23)^2\equiv4\ [33]}\Longleftrightarrow x^2+{\red{13}}x+{\red{1}}\equiv4\ [33]\ \ \ \text{(car }46=1\times33+{\red{13}}\ \text{et }529=16\times33+{\red{1}})\\\phantom{{\red{\text{1. }}}\ \ (x+23)^2\equiv4\ [33]}\Longleftrightarrow x^2+13x\equiv3\ [33]\\\phantom{{\red{\text{1. }}}\ \ (x+23)^2\equiv4\ [33]}\Longleftrightarrow x(x+13)\equiv3\ [33]\\\\\text{D'où }\ \ \boxed{x(x+13)\equiv3\ [33]\Longleftrightarrow(x+23)^2\equiv4\ [33]}$

2. a. Soit (x + 23)² congru

4 [33].

Dans ce cas, 33 divise (x + 23)² - 4.

Puisque 3 et 11 sont deux diviseurs de 33, nous en déduisons que 3 et 11 divisent également (x + 23)² - 4.

Par conséquent, le système $\left\lbrace\begin{matrix}(x+23)^2\equiv4\ [3]\\ (x+23)^2\equiv4\ [11]\end{matrix}\right.$ est vérifié.

${\red{\text{b. }}}\ \ \text{Si }\ \left\lbrace\begin{matrix}(x+23)^2\equiv4\ [3]\\ (x+23)^2\equiv4\ [11]\end{matrix}\right.\text{, alors il existe }k,\ k'\in\mathbb{Z}\text{ tels que }\left\lbrace\begin{matrix}(x+23)^2=4+3k\\ (x+23)^2=4+11k'\end{matrix}\right.\\\\\Longrightarrow4+3k=4+11k'\\\\\Longrightarrow3k=11k'$

Or le théorème de Gauss s'énonce comme suit : "Si a, b et c des nombres entiers tels que a et b sont premiers entre eux et a divise bc, alors a divise c."

3 et 11 sont premiers entre eux et 3 divise 11k' .

Par le théorème de Gauss, nous déduisons que 3 divise k' , soit qu'il existe un nombre entier p tel que k' = 3p .

$\text{D'où }\ \ (x+23)^2=4+11k'\Longleftrightarrow(x+23)^2=4+11\times3p\\\phantom{\text{D'où }\ \ (x+23)^2=4+11k'}\Longleftrightarrow(x+23)^2=4+33p\\\phantom{\text{D'où }\ \ (x+23)^2=4+11k'}\Longleftrightarrow\boxed{(x+23)^2\equiv4\ [33]}$

Par conséquent, $\text{si }\ \left\lbrace\begin{matrix}(x+23)^2\equiv4\ [3]\\ (x+23)^2\equiv4\ [11]\end{matrix}\right.\text{, alors }\ (x+23)^2\equiv4\ [33]$

${\red{\text{c. }}}\ \ x(x+13)\equiv 3\ [33]\Longleftrightarrow (x+23)^2\equiv 4\ [33] \ \ \ \ \ \text{(par la question 1)}\\\\ \phantom{{\red{\text{c. }}}\ \ x(x+13)\equiv 3\ [33]}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}(x+23)^2\equiv 4\ [3]\\ (x+23)^2\equiv 4\ [11]\end{matrix} \ \ \ \ \ \text{(par la question 2.a.)}$

$\phantom{{\red{\text{c. }}}\ \ x(x+13)\equiv 3\ [33]}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} (x+23)^2\equiv 1\ [3]\\ (x+23)^2\equiv 4\ [11]\end{matrix} \ \ \ \ \ \text{(car }4\equiv1\ [3])$

D'où $\boxed{ x(x+13)\equiv 3\ [33]\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} (x+23)^2\equiv 1\ [3]\\ (x+23)^2\equiv 4\ [11]\end{matrix}}$

3. a. Déterminons les nombres entiers naturels a tels que 0 infegal

a < 3 et a² congru

1 [3].

$a=0\Longrightarrow a^2=0\\\phantom{a=0}\Longrightarrow a^2\equiv0\ [3]\\\\ {\red{a=1}}\Longrightarrow a^2=1\\\phantom{a=0}\Longrightarrow {\red{a^2\equiv1\ [3]}}\\\\ {\red{a=2}}\Longrightarrow a^2=4\\\phantom{a=0}\Longrightarrow{\red{a^2\equiv1\ [3]}}$

Donc les nombres a demandés sont a = 1 et a = 2.

b. Soit le tableau de congruence suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|>{\columncolor{green}}c|c|c|c|c|c|c|>{\columncolor{green}}c|c|}\hline b&0&1&{\red{2}}&3&4&5&6&7&8&{\red{9}}&10 \\\hline b^2&0&1&4&9&16&25&36&49&64&81&100 \\\hline \text{congruences modulo 11 }&0&1&{\red{4}}&9&5&3&3&5&9&{\red{4}}&1\\\hline \end{array}$

Les nombres b demandés sont b = 2 et b = 9.

${\red{4. a. }\ \ }x(x+13)\equiv 3\ [33]\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} (x+23)^2\equiv 1\ [3]\\ (x+23)^2\equiv 4\ [11]\end{matrix}$

$\underset{\text{(par la question {\red{3.a.}})}}{\Longleftrightarrow} \left\lbrace\begin{matrix} x+23\equiv {\red{1}}\ [3]\\ (x+23)^2\equiv 4\ [11]\end{matrix}\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x+23\equiv {\red{2}}\ [3]\\ (x+23)^2\equiv 4\ [11]\end{matrix}$

$\\\\\underset{\text{(par la question {\red{3.b.}})}}{\Longleftrightarrow} \left\lbrace\begin{matrix} x+23\equiv 1\ [3]\\ x+23\equiv {\red{2}}\ [11]\end{matrix}\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x+23\equiv 1\ [3]\\ x+23\equiv {\red{9}}\ [11]\end{matrix}\\\\\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x+23\equiv 2\ [3]\\ x+23\equiv {\red{2}}\ [11]\end{matrix}\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x+23\equiv 2\ [3]\\ x+23\equiv {\red{9}}\ [11]\end{matrix}$

$\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x\equiv-22\ [3]\\ x\equiv -21\ [11]\end{matrix}\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x\equiv-22\ [3]\\ x\equiv -14\ [11]\end{matrix}\\\\\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x\equiv -21\ [3]\\ x\equiv-21\ [11]\end{matrix}\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x\equiv-21\ [3]\\ x\equiv -14\ [11]\end{matrix}$

$\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x\equiv2\ [3]\\ x\equiv 1\ [11]\end{matrix}\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x\equiv2\ [3]\\ x\equiv8\ [11]\end{matrix}\\\\\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x\equiv 0\ [3]\\ x\equiv1\ [11]\end{matrix}\ \ \text{ ou }\ \left\lbrace\begin{matrix} x\equiv0\ [3]\\ x\equiv 8\ [11]\end{matrix}$

b. L'unique solution x du système $\left\lbrace\begin{matrix} x\equiv2\ [3]\\ x\equiv 1\ [11]\end{matrix}$ telle que 0 infegal

x < 33 est x = 23.

L'unique solution x du système $\left\lbrace\begin{matrix} x\equiv2\ [3]\\ x\equiv 8\ [11]\end{matrix}$ telle que 0 infegal

x < 33 est x = 8.

L'unique solution x du système $\left\lbrace\begin{matrix} x\equiv0\ [3]\\ x\equiv 1\ [11]\end{matrix}$ telle que 0 infegal

x < 33 est x = 12.

L'unique solution x du système $\left\lbrace\begin{matrix} x\equiv0\ [3]\\ x\equiv 8\ [11]\end{matrix}$ telle que 0 infegal

x < 33 est x = 30.

5. Algorithme complété :

Pour x allant de 0 à 32
      Si le reste de la division de x (x +13) par 33 est égal à 3 alors
                Afficher x
      Fin Si
Fin Pour

6. Pour connaître la première lettre du message envoyé par Bob, Alice doit déterminer le nombre entier x tel que x(x + 13) congru

3 [33] sachant que 0 infegal

x < 26.

En utilisant les solutions de l'exercice 4. b, nous déduisons qu'il existe trois valeurs possibles pour x.
Ces valeurs sont x = 8, x = 12 et x = 23.

Par conséquent, Alice ne peut pas connaître la première lettre du message envoyé par Bob.
Donc le "chiffre de RABIN" n'est pas utilisable pour décoder un message lettre par lettre.

Publié par malou le 10-08-2018

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