Fiche de mathématiques
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Bac STMG Antilles Guyane 2018

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Durée : 3 heures

Coefficient : 3
5 points

exercice 1


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5 points

exercice 2


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7 points

exercice 3


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3 points

exercice 4


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Bac STMG Antilles Guyane 2018

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5 points

exercice 1

Partie A

1.   Arbre de probabilité représentant la situation :

Bac STMG Antilles Guyane 2018 : image 10


2.   La probabilité que la batterie provienne de l'atelier Bestphone et présente au moins un défaut se détermine par  p(B\cap D).

p(B\cap D)=p(B)\times p_B(D) \\\phantom{p(B\cap D)}=0,45\times0,04 \\\phantom{p(B\cap D)}=0,018 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B\cap D)=0,018}

D'où la probabilité que la batterie provienne de l'atelier Bestphone et présente au moins un défaut est égale à 0,018.

3.   Nous devons déterminer p (D ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

p(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D) \\\phantom{p(D)}=p(A)\times p_A(D)+0,018 \\\phantom{p(D)}=0,55\times0,06+0,018 \\\phantom{p(D)}=0,033+0,018 \\\phantom{p(D)}=0,051 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(D)=0,051}

4.   Déterminons la probabilité que la batterie provienne de l'atelier Arobase sachant qu'elle présente au moins un défaut, soit  p_D(A).

p_D(A)=\dfrac{p(A\cap D)}{p(D)} \\\\\phantom{p_D(A)}=\dfrac{p(A)\times p_A(D)}{p(D)} \\\\\phantom{p_D(A)}=\dfrac{0,55\times0,06}{0,051} \\\\\phantom{p_D(A)}=\dfrac{0,033}{0,051}=\dfrac{11}{17} \\\\\phantom{p_D(A)}\approx0,647\\\\\text{Or }\dfrac{2}{3}\approx0,667 \\\\\Longrightarrow\boxed{p_D(A)<\dfrac{2}{3}}

Donc l'affirmation est fausse.

Partie B

1.   Par la calculatrice, nous obtenons : \boxed{p(600\le X\le900)\approx0,95}

Nous pouvions également obtenir ce résultat en utilisant la propriété suivante de la loi normale : p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0,95.

En effet, la variable aléatoire X  suit la loi normale d'espérance mu = 750 et d'écart type sigma = 75.

p(600\le X\le900)=p(750-150\le X\le750+150)\\\phantom{p(600\le X\le900)}=p(750-2\times75\le X\le750+2\times75)\\\phantom{p(600\le X\le900)}=p(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\\\phantom{p(600\le X\le900)}\approx0,95\\\\\Longrightarrow\boxed{p(600\le X\le900)\approx0,95}

2.   15 heures = 15 multiplie 60 minutes = 900 minutes.

Nous devons déterminer  p(X\ge900).

Nous savons que  p(X\ge\mu)=0,5 , soit que  p(X\ge750)=0,5

\text{Donc }\ p(X\ge750)=p(750\le X\le900)+p(X\ge900) \\\\\phantom{\text{Donc  }}\ 0,5\approx{\blue{0,47724986}}+p(X\ge900)\ \ \ {\blue{(\text{par la calculatrice})}} \\\\\phantom{\text{Donc  }}\ p(X\ge900)\approx0,5-0,47724986 \\\phantom{\text{Donc }\ p(X\ge900)}\approx0,02275014 \\\\\Longrightarrow\boxed{ p(X\ge900)\approx0,02\ \ (\text{arrondi à }10^{-2}\ \text{près})}

Par conséquent, la probabilité qu'une batterie ait une autonomie supérieure à 15 heures est environ égale à 0,02 (arrondie au centième).

5 points

exercice 2

1.   Pour obtenir, par recopie vers la droite, les valeurs de la plage de cellules C3:H3, nous pouvons saisir en C3 la formule  \boxed{\red{=(\text{C}\$2-\text{B}\$2)/\text{B}\$2}}.

2.  Le taux d'évolution global, en pourcentage, de la part de la surface agricole couverte par l'agriculture entre 2010 et 2016 est donné par :  

\dfrac{\text{valeur finale - valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100=\dfrac{18,21-14,3}{14,3}\times100\approx27,34

Donc le taux d'évolution global de la part de la surface agricole couverte par l'agriculture entre 2010 et 2016 est environ de 27,34 % (arrondi à 0,01 %).

3.   Le coefficient multiplicateur global pendant les 6 années est Cg  = 1 + 0,2734 = 1,2734.
Le coefficient multiplicateur annuel moyen est  C_m=(C_g)^{\frac{1}{6}}.

C_m=1,2734^{\frac{1}{6}}\Longrightarrow\boxed{C_m\approx1,0411}

Ce coefficient multiplicateur correspond à un taux d'évolution annuel moyen de 1,0411 - 1 = 0,0411, soit 4,11 %.
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen de la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en Suède entre 2010 et 2016, est environ égal à 4,11 % (arrondi à 0,01 %).

4.  Le tableau nous indique que la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en 2016 est de 18,21 %.
Une augmentation annuelle de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur annuel de 1 + 0,04 = 1,04.
De plus, 9 années séparent 2016 de 2025.
Dès lors, en 2025, la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique sera de 18,21 multiplie 1,049 environegal 25,92 %.
Puisque un quart de la surface agricole totale équivaut à 25 %, l'objectif du gouvernement sera atteint.

5.   Un intervalle de fluctuation I500  au seuil de 95 % part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en 2016 est donnée par  I_{500}=\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\ ;\ p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right] où la taille de l'échantillon est n  = 500 et la part de la surface agricole couverte par l'agriculture biologique en 2016 est p  = 0,1821.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=500\ge30 \\ p=0,1821\Longrightarrow np=500\times0,1821=91,05\ge5 \\n(1-p)= 500\times(1-0,1821)= 500\times0,8179=408,95\ge5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I500  au seuil de 95% est :

 I_{500}=\left[0,1821-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,1821+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{500}\approx[0,137;0,227]

La fréquence observée est f  = 0,12.

Nous remarquons que   f\notin I_{500}.

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, l'affirmation de l'internaute doit être remise en question.

7 points

exercice 3

Partie A

1   L'équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = 12,134 et b  = 1419,6.

D'où une équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est  \boxed{y=12,134x+1419,6}

2. a.   Soit  {\mathscr{D}}:y=12,134x+1419,6.
Déterminons les coordonnées de deux points de la droite  {\mathscr{D}}.

\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow y=12,134\times0+1419,6 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=0\Longrightarrow}\ y=1419,6 \\ \phantom{\text{Par exemple, }}\ x=11\Longrightarrow y=12,134\times11+1419,6 \\\phantom{\text{Par exemple, }\ x=11\Longrightarrow}\ y=1553,074 \\\\\text{D'où }\ \boxed{A(0;1419,6)\in\mathscr{D}}\ \ \text{et }\ \boxed{B(11;1553,074)\in\mathscr{D}}

Bac STMG Antilles Guyane 2018 : image 9


2. b.  Le rang de l'année 2025 est 13.
Si x  = 13, alors y  = 12,134 multiplie 13 + 1419,6, soit y  = 1577,342.
Par conséquent, en admettant que cet ajustement sera valide jusqu'en 2025, le montant mensuel brut du SMIC en 2025 est estimé à 1577,34 euros.

Partie B


{\red{\text{1. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ a}}.}
Une augmentation de 1 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,01 = 1,01.
Le montant mensuel est modélisé par une suite géométrique (un ) de premier terme u 0 = 1480,27.
D'où  \boxed{u_n=1480,27\times1,01^n}

{\red{\text{2. }}{\blue{\mathbf{Réponse\ c}}.}
Le rang de l'année 2022 est n  = 5 car 2022 = 2017 + 5.

u_5=1480,27\times1,01^5=1555,778646861527\Longrightarrow\boxed{u_5\approx1555,78}

Partie C


Soit l'algorithme

            \begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow1\,480,27\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }U<1\,600\ \ \text{faire} \\N\longleftarrow N+1\\\ \ \ U\longleftarrow U\times1,01 \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

En exécutant cet algorithme à la calculatrice, nous obtenons les valeurs suivantes (les valeurs de U  sont arrondies au centième) :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline N&0&1&2&3&4&5&6&7&{\red{8}}\\\hline U&1480,27&1495,07&1510,02&1525,12&1540,37&1555,78&1571,34&1587,05&{\red{1602,92}}\\\hline \end{array}

L'instruction "Tant que U  < 1600" n'est plus vérifiée lorsque N  = 8.
Les valeurs obtenues après exécution de cet algorithme sont donc N  = 8 et U  environegal 1602,92.

Dans le contexte de l'exercice, cette valeur de N  correspond au rang de l'année au cours de laquelle le montant du SMIG sera supérieur à 1600 euros.
Par conséquent, en suivant ce modèle, le montant mensuel du SMIC sera supérieur à 1600 euros à partir de l'année 2025.

3 points

exercice 4

f(x)=-2x^2+90x-400\ \ \ \text{pour }\ x\in[15\,;\,30]

1.   Etudions le signe de la dérivée f'  sur l'intervalle [15 ; 30].

f'(x)=(-2x^2)'+(90x)'-400' \\\phantom{f'(x)}=-2\times(x^2)'+90\times x'+0 \\\phantom{f'(x)}=-2\times2x+90\times1 \\\phantom{f'(x)}=-4x+90 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-4x+90}

{\blue{f'(x)=0\Longleftrightarrow-4x+90=0\Longleftrightarrow-4x=-90\Longleftrightarrow x=\dfrac{-90}{-4}\Longleftrightarrow x=22,5}}\\\\ \begin{array}{ccc}f'(x)>0&\Longleftrightarrow&-4x+90>0\\\\\phantom{f'(x)>0}&\Longleftrightarrow&-4x>-90\\\\\phantom{f'(x)>0}&\Longleftrightarrow& x<\dfrac{-90}{-4}\\\\\phantom{f'(x)>0}&\Longleftrightarrow& x<22,5\end{array}\begin{array}{c}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{array} \begin{array}{ccc}f'(x)<0&\Longleftrightarrow&-4x+90<0\\\\\phantom{f'(x)>0}&\Longleftrightarrow&-4x<-90\\\\\phantom{f'(x)>0}&\Longleftrightarrow& x>\dfrac{-90}{-4}\\\\\phantom{f'(x)>0}&\Longleftrightarrow& x>22,5\end{array}

Tableau de signes de la dérivée f'  et variations de la fonction f  sur l'intervalle [15 ; 30] :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&15&&22,5&&30 \\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&612,5&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &500&&&&500\\ \hline \end{array} \\\\\\\text{N. B. : }\left\lbrace\begin{matrix}f(15)=-2\times15^2+90\times15-400=-450+1350-400=500\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\f(22,5)=-2\times22,5^2+90\times22,5-400=-1012.5+2025-400=612,5\\f(30)=-2\times30^2+90\times30-400=-1800+2700-400=500\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

Nous en déduisons que la fonction f  est croissante sur l'intervalle [15 ; 22,5]
                                                     la fonction f  est décroissante sur l'intervalle [22,5 ; 30].


2.   Le maximum de la fonction f  est f (22,5) = 612,5.

3.   Le bénéfice est maximal pour une production de 2 250 panneaux solaires.
Ce bénéfice maximal est alors égal à 61 250 euros.
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