Fiche de mathématiques
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Bac ST2S Antilles Guyane 2018

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exercice 1

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exercice 2

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9 points

exercice 3

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Bac ST2S Antilles Guyane 2018

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5 points

exercice 1

1. (a)   61 % des prélèvements ont été effectués sur des eaux de source.

Donc  \boxed{P(S)=0,61}

1. (b)   Parmi les prélèvements effectués sur des eaux minérales, il a été constaté que 96,5 % étaient conformes.
Donc parmi les prélèvements effectués sur des eaux minérales, 3,5 % d'entre eux n'étaient pas conformes.

Par conséquent,  \boxed{P_M(\overline{C})=0,035}

2.   Arbre de probabilité représentant la situation :

Bac ST2S Antilles Guyane 2018 : image 14


3. (a)   L'événement  M\cap C  se traduit par : "le prélèvement a été effectué sur une eau minérale et était conforme".

P(M\cap C)=P(M)\times P_M(C) \\\phantom{P(M\cap C)}=0,37\times0,965 \\\phantom{P(M\cap C)}=0,35705 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M\cap C)\approx0,357\ \ (\text{arrondi au millième})}

3. (b)   La probabilité que le prélèvement choisi soit conforme et ait été effectué sur une eau rendue potable par traitements se détermine par  P(C\cap R) , soit par  P(R\cap C).

P(R\cap C)=P(R)\times P_R(C) \\\phantom{P(C\cap R)}=0,02\times0,961 \\\phantom{P(C\cap R)}=0,01922 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(R\cap C)\approx0,019\ \ (\text{arrondi au millième})}

D'où la probabilité que le prélèvement choisi soit conforme et ait été effectué sur une eau rendue potable par traitements est environ égale à 0,019.

4.  Nous devons déterminer P (C ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :

P(C)=P(M\cap C)+P(S\cap C)+P(R\cap C) \\\phantom{P(C)}\approx0,357+P(S)\times P_S(C)+0,019 \\\phantom{P(C)}\approx0,357+0,61\times 0,994+0,019 \\\phantom{P(R)}\approx0,357+0,60634+0,019 \\\phantom{P(R)}\approx0,98234 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)\approx0,982\ \ (\text{arrondi au millième})}

D'où la probabilité que le prélèvement choisi soit conforme est égale à environ 0,982.

5.   Nous devons déterminer  P_{\overline{C}}(M) .

P_{\overline{C}}(M)=\dfrac{P(M\cap \overline{C})}{P(\overline{C})} \\\\\phantom{P_{\overline{S}}(M)}=\dfrac{P(M)\times P_M(\overline{C})}{1-P(C)} \\\\\phantom{P_{\overline{S}}(M)}=\dfrac{0,37\times0,035}{1-0,982} \\\\\phantom{P_{\overline{S}}(M)}\approx0,719 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{C}}(M)\approx0,719}

Par conséquent, sachant qu'on choisit un prélèvement au hasard parmi les prélèvements non conformes de l'année 2014, la probabilité qu'il ait été effectué sur une eau minérale est environ égale à 0,719.

6 points

exercice 2

Partie A

1.   Le taux d'évolution, en pourcentage, des dépenses d'APA en établissement entre 2006 et 2015 est donné par :  

\dfrac{\text{valeur finale - valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times100=\dfrac{2339-1462}{1462}\times100\approx59,9863

Donc ce taux d'évolution des dépenses d'APA est environ de 60 % (arrondi à 0,1 %).

2.   Pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution entre deux années consécutives, nous pouvons saisir en C3 la formule  \boxed{\red{=(\text{C}\$2-\text{B}\$2)/\text{B}\$2}}.

Partie B

1.   Déterminons les coordonnées (xG  ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{0+1+2+3+4+5+6+7+8+9}{10}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{1462+1584+1718+1834+1950+2028+2106+2182+2257+2339}{10}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_G=4,5\\\\y_G=1946 \end{matrix}\right.

D'où les coordonnées du point G  sont (4,5 ; 1946).

Plaçons le point G sur le graphique.

Bac ST2S Antilles Guyane 2018 : image 16


2. (a)   L'équation réduite de la droite deltamaj de coefficient directeur 96 est de la forme y  = 96x  + p.
Déterminons la valeur de p .
Puisque le point G(4,5 ; 1946) appartient à cette droite, nous pouvons remplacer x par 4,5 et y par 1946.

\text{D'où }\ 1946=96\times4,5 + p\Longleftrightarrow1946=432+ p \\\phantom{\text{D'où }\ 1946=96\times4,5 + p}\Longleftrightarrow p=1946-432 \\\phantom{\text{D'où }\ 1946=96\times4,5 + p}\Longleftrightarrow\boxed{p=1514}

Par conséquent, l'équation réduite de la droite deltamaj est y  = 96x  + 1514.

2. (b)   2018 = 2006 + 12.
Le rang de l'année 2018 est donc égal à 12.
Dans l'équation de deltamaj, remplaçons x  par 12 pour déterminer les dépenses y .

y = 96\times12+1514\Longrightarrow\boxed{y=2666}
Donc nous pouvons estimer les dépenses d'APA en établissement durant l'année 2018 à environ 2666 millions d'euros, soit environ 2,666 milliards d'euros.

2. (c)   La représentation de la droite deltamaj a été donnée dans la réponse à la question 1.
Nous avons utilisé le point de coordonnées (0 ; 1514) et le point G (4,5 ; 1946).

2. (d)   Dans le graphique repris dans la réponse à la question 1, nous observons que le point de la droite deltamaj dont l'ordonnée est 2800 possède une abscisse égale à environ 13,4.
Le premier rang entier de l'année supérieur à 13,4 est 14.
2006 + 14 = 2020.
Par conséquent, nous déduisons que les dépenses d'APA en établissement dépasseront 2,8 milliards d'euros à partir de l'année 2020.

9 points

exercice 3

Partie A

Bac ST2S Antilles Guyane 2018 : image 15


1.   Tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 650]

                  \begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline t&0&&120&&260&&400&&585&&650 \\\hline &&&139&&&&110&&&&94 \\ f(t)&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&\nearrow& \\ &94&&&&98&&&&90&& \\ \hline \end{array}

2.   Nous observons sur le graphique que la pression artérielle est supérieure à 130 mmHg sur
l'intervalle [80 ; 160].


3. (a)   La pression systolique mesurée et déterminée par la valeur maximale de la pression artérielle est égale à 139 mmHg (avec la précision permise par le graphique).

3. (b)   La pression diastolique mesurée et déterminée par la valeur minimale de la pression artérielle est égale à 90 mmHg (avec la précision permise par le graphique).

3. (c)   Puisque la pression diastolique est égale à 90 mmHg, ce patient est en hypertension.

4.   650 millisecondes = 0,650 seconde.
Sur une durée de 0,650 s, nous comptons 1 battement de coeur.

Donc sur une durée de 60 s, nous comptons  \dfrac{60}{0,650}\approx92   battements de coeurs.

Puisque 92 est inférieur à 100, le patient ne souffre pas de tachycardie.

Partie B


1.   \boxed{u_0=60}

u_1=\dfrac{u_0}{2}=\dfrac{60}{2}\Longrightarrow\boxed{u_1=30} \\\\u_2=\dfrac{u_1}{2}=\dfrac{30}{2}\Longrightarrow\boxed{u_2=15} \\\\u_3=\dfrac{u_2}{2}=\dfrac{15}{2}\Longrightarrow\boxed{u_3=7,5}


2.   un +1  s'obtient en divisant un  par 2, ce qui revient à multiplier un  par 0,5.

Par conséquent,  \boxed{u_{n+1}=0,5\times u_n}

Dès lors, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 0,5 dont le premier terme est u 0 = 60.

3. (a)   u_n=u_0\times q^n\Longrightarrow\boxed{u_n=60\times 0,5^n}

3. (b)   Nous devons calculer u 5.

u_5=60\times 0,5^5\Longrightarrow\boxed{u_5=1,875}

D'où l'activité radioactive de cet échantillon après 5 demi-vies est 1,875 MBq.

4.   Déterminons le plus petit entier n  à partir duquel un  < 0,25.

u_n<0,25\Longleftrightarrow60\times 0,5^n<0,25 \\\phantom{u_n<0,25}\Longleftrightarrow0,5^n<\dfrac{0,25}{60} \\\phantom{u_n<0,25}\Longleftrightarrow\ln(0,5^n)<\ln\left(\dfrac{0,25}{60}\right) \\\phantom{u_n<0,25}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,5)<\ln\left(\dfrac{0,25}{60}\right) \\\phantom{u_n<0,25}\Longleftrightarrow n\ {\red{>}}\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{0,25}{60}\right)}{\ln(0,5)}\\\frac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Changement du sens de l'inégalité car }\ln(0,5)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{0,25}{60}\right)}{\ln(0,5)}\approx7,9

Par conséquent, le plus petit entier n  à partir duquel un  < 0,25 est n  = 8.

5.   Nous venons de montrer dans la question 4 que pour être certain que l'activité radioactive de cet échantillon soit strictement inférieure à 0,25 MBq, il faut au minimum 8 demi-vies.
Or la durée d'une demi-vie est de 3 jours.
3 multiplie 8 = 24.
Donc il faudra 24 jours au bout desquels nous serons certains que l'activité radioactive de cet échantillon est strictement inférieure à 0,25 MBq.

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