Notons zA l'affixe du point A , soit
Une écriture exponentielle de zA est de la forme Déterminons le module r .
Déterminons un argument .
D'où
La fonction f définie sur l'intervalle [a ; 2] par est continue et positive. L'aire grisée a une valeur strictement comprise entre 0,5 et 1 unité d'aire se traduit par :
D'où la seule valeur de a qui convient parmi les valeurs proposées dans l'énoncé est : a = 0,5.
L'équation différentielle est de la forme
La solution générale de cette équation est de la forme
D'où la solution générale de l'équation proposée est
Nous en déduisons que
Par conséquent,
Une primitive de f sur ]0 ; +[ est une fonction F dérivable sur ]0 ; +[ telle que pour tout x dans ]0 ; +[,
Vérifions la relation pour chaque fonction F proposée dans l'énoncé.
Proposition a :
D'où, la proposition a n'est pas correcte.
Proposition b :
D'où, la proposition b n'est pas correcte.
Proposition c :
D'où, la proposition c n'est pas correcte.
Proposition d :
Par conséquent, la proposition d est correcte.
6 points
exercice 2
Partie A
1. Une diminution de 2% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,02 = 0,98.
0,98 280 = 274,4.
Donc au bout d'une semaine, il restera 274,4 litres d'eau dans l'aquarium.
2. Au bout de 2 semaines, il restera 0,98 274,4 = 268,912 litres d'eau dans l'aquarium.
Or une diminution de 4% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,04 = 0,96.
0,96 280 = 268,8.
Donc si le volume initial diminuait de 4%, il resterait 268,8 litres d'eau dans le bassin.
Puisque 268,912 268,8, il est faux de dire qu'au bout de deux semaines, exactement 4% du volume d'eau initial se seront évaporés.
3. Le volume d'eau dans l'aquarium au bout de n semaines deviendra insuffisant s'il devient inférieur à 240 litres.
Nous recherchons donc le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation
Puisque n est un nombre entier, la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation est n = 8.
Par conséquent, au bout de 8 semaines, le volume d'eau dans l'aquarium deviendra insuffisant.
Partie B
1. Après son installation, un lundi matin, le volume d'eau initial en litres est u0 = 280.
Une diminution de 2% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,02 = 0,98.
Après cette diminution, le volume d'eau est de
Ensuite on ajoute, en une seule fois, 5 litres d'eau.
274,4+5=279,4.
Donc après une semaine, le volume d'eau, en litres, dans l'aquarium est : u1 = 279,4.
Après une nouvelle diminution de 2 %, le volume d'eau est de
Ensuite on ajoute, en une seule fois, 5 litres d'eau.
273,812 + 5 = 278,812.
Donc après deux semaines, le volume d'eau, en litres, dans l'aquarium est : u2 = 278,812.
2. Le volume d'eau dans l'aquarium, en litres, n semaines après son installation, immédiatement après l'ajout hebdomadaire des 5 litres d'eau se note un .
Une diminution de 2% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 - 0,02 = 0,98.
Après cette diminution, le volume d'eau, en litres, est de
Ensuite on ajoute, en une seule fois, 5 litres d'eau.
D'où, le volume d'eau dans l'aquarium, en litres, (n +1) semaines après son installation, immédiatement après l'ajout hebdomadaire des 5 litres d'eau est de
Par conséquent,
3. Montrons que la suite (un ) n'est pas géométrique.
Par conséquent, la suite (un ) n'est pas géométrique.
4. a. Algorithme complété :
4. b. Voici le tableau des diverses valeurs de un obtenues par la calculatrice.
D'où
Par conséquent, 6 semaines après son installation immédiatement après l'ajout hebdomadaire des 5 litres d'eau, le volume d'eau dans l'aquarium est de 276,58 litres (à 10-2 près).
5. Soit
Il est admis que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0,98.
5. a. Le premier terme de la suite (vn ) est
5. b. Le terme général de la suite (vn ) est , soit
5. c. Pour tout entier naturel n ,
5. d. Pour tout entier naturel n ,
Par conséquent, la préconisation concernant le volume d'eau dans l'aquarium est respectée puisque cet aquarium contiendra en permanence au minimum 240 litres d'eau.
6 points
exercice 3
Partie A
Partie B
2. c. Puisque f' (x ) est strictement négative sur l'intervalle [0,1 ; 20], la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle [0,1 ; 20].
3. Puisque 3 [0,1 ; 20], le niveau sonore émis par la machine à 3 mètres de l'ouvrier se détermine par f (3).
Donc le niveau sonore émis par la machine à 3 mètres de l'ouvrier est environ de 86,35 dB.
Ce niveau sonore est dans l'intervalle [85 ; 90[ de risque faible.
Par conséquent, l'ouvrier devra porter des protections individuelles contre le bruit.
4. Nous devons résoudre l'équation f (x ) < 90.
Donc à une distance de la machine supérieure à 1,91 mètre, un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé.
Partie C
1. Par une lecture graphique, nous observons que pour un bruit de puissance P égale à 0,06 W, la source sonore doit se situer entre 2,9 mètres et 5,4 mètres de la personne pour que le niveau sonore soit compris entre 85 et 90 dB.
2. Par une lecture graphique, nous observons que pour une source sonore située à une distance D de 8 m, la puissance de cette source doit se situer entre 0,011 W et 0,036 W pour obtenir un niveau sonore compris entre 74,9 dB et 79,8 dB.
4 points
exercice 4
Partie A
1. Par la calculatrice, nous obtenons :
Nous pouvions également obtenir ce résultat en utilisant la propriété suivante de la loi normale :
En effet, la variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance = 3000 et d'écart type = 750.
2. Nous devons déterminer P(X > 2500).
Nous savons que , soit que
3. a. Tableau complété :
3. b. Nous devons déterminer la valeur de a telle que .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
Par conséquent, au moins 90% des portes blindées classiques ont un prix de vente inférieur à 3961 euros.
3. c. Une augmentation de 15 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,15 = 1,15.
1,15 3961 = 4555,15.
Donc le prix de vente maximal à l'euro près pouvant être envisagé par l'industriel pour une porte du modèle "SECUR" s'élève à 4555 euros.
Partie B
1. La fréquence observée est
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de confiance sont remplies.
En effet,
Donc un intervalle de confiance I984 au seuil de 95% est :
2. 20% = 0,2.
Puisque 0,2 n'appartient pas à l'intervalle I984, l'industriel n'a pas intérêt à réaliser son projet.
Publié par malou
le
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