1. a)Rappel : Le nombre de combinaisons de p éléments distincts parmi n éléments distincts est :
card est le nombre de combinaisons de 3 chevaux parmi 10.
1. b) Soit l'événement A : "Parmi les trois chevaux, il y a au plus un étalon. "
"Au plus un étalon" correspond à "0 étalon" ou "un étalon".
Le nombre de groupements de 3 chevaux dont "0 étalon" est le nombre de combinaisons de 3 juments parmi les 6 juments :
Le nombre de groupements de 3 chevaux dont "1 étalon" est le nombre de groupements composés de 1 étalon parmi les 4 étalons et 2 juments parmi les 6 juments. :
D'où, il y a 20 + 60 = 80 groupements de trois chevaux comportant au plus un étalon, soit card A = 80.
Etant donné que tous les animaux ont la même probabilité d'être vendus,
Soit l'événement B : "Parmi les trois chevaux, il y a au moins une jument. "
Alors l'événement contraire de B est : "Parmi les trois chevaux, il n'y a aucune jument. "
Puisque les événements B et sont contraires, nous avons :
Calculons Le nombre de groupements de 3 chevaux sans jument est le nombre de combinaisons de 3 étalons parmi les 4 étalons :
Dès lors,
Par conséquent,
2. Le prix de vente le plus bas que puisse proposer l'éleveur sera obtenu en vendant 3 juments puisqu'une jument est vendue à un prix moindre qu'un étalon.
Or le prix de vente de 3 juments est égal à 3 400 000 = 1 200 000 francs.
Il est donc impossible d'obtenir un prix de vente total qui soit moins de 1 200 000 francs.
Par conséquent,
3. Coût total de la scolarité des trois enfants : 800 000 + 400 000 + 80 000 = 1 280 000 francs.
Nous avons montré dans la question 2. que le prix de vente de 3 juments s'élève à 1 200 000 francs, ce qui est inférieur à 1 280 000 francs.
Donc la vente de trois juments ne couvre pas la scolarité totale des trois enfants.
Le prix de vente de 2 juments et 1 étalon est égal à 2 400 000 + 500 000 = 1 300 000 francs.
Nous en déduisons que pour couvrir la scolarité totale des enfants, l'éleveur devra vendre trois chevaux dont au moins un étalon.
Soit l'événement D : "Parmi les trois chevaux, il y a au moins un étalon. "
Alors l'événement contraire de D est : "Parmi les trois chevaux, il n'y a aucun étalon. "
Puisque les événements D et sont contraires, nous avons :
Calculons Le nombre de groupements de 3 chevaux sans étalon est égal à 20 (voir réponse 1. b).
Dès lors, et
Par conséquent, la probabilité que cet éleveur puisse payer la scolarité totale de ses enfants en prélevant trois chevaux au hasard est égale à
4. Les différents prix de vente des trois chevaux sont les suivants : pour 3 juments : 3 400 000 = 1 200 000 francs. pour 2 juments et 1 étalon : 2 400 000 + 500 000 = 1 300 000 francs. pour 1 jument et 2 étalons : 400 000 + 2 500 000 = 1 400 000 francs. pour 3 étalons : 3 500 000 = 1 500 000 francs.
Nous savons par la question 1b) qu'il y a 20 groupements possibles de 3 juments.
Donc
Nous savons par la question 1b) qu'il y a 60 groupements possibles de 2 juments et un étalon.
Donc
Le nombre de groupements de 3 chevaux dont une jument est le nombre de groupements composés de 2 étalons parmi les 4 étalons et 1 jument parmi les 6 juments. :
Donc
Nous savons par la réponse 1b) qu'il y a 4 groupements possibles de 3 étalons.
Donc
Ci-dessous, un tableau résumant la loi de probabilité de la variable aléatoire X .
4 points
exercice 2
1. a) Le degré du polynôme P est n (n*) et le degré du polynôme P' est au plus égal à (n -1).
Par conséquent, le degré du polynôme P' - 3P est n .
1. b)
Donc P' - 3P est un polynôme du deuxième degré et par suite, P est un polynôme du deuxième degré.
Dès lors, P (x ) est de la forme ax2 + bx + c (a 0).
Par identification des coefficients des termes de mêmes puissances de x , nous obtenons :
L'ensemble des solutions de cette équation est l'ensemble des fonctions f définies par
1. e) La fonction f définie par est solution de (1).
En utilisant la question 1.c), nous en déduisons que P - f est solution de l'équation y' = 3y + Q ,
soit que pour tout x réel, les fonctions y définies par sont les solutions de l'équation différentielle y' - 3y = 3x2 - x + 2.
2. a) Soit un nombre réel constant non nul.
Les solutions de l'équation différentielle y'' + 2y = 0 sont de la forme : y = a sin(x ) + b cos(x ) où a et b sont des nombres réels constants.
Dès lors, les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions f définies par
2. b) Les solutions de l'équation (3) sont les fonctions f définies par
Par conséquent, la solution f de l'équation (3) qui vérifie et est la fonction f définie par .
12 points
probleme
Partie I
Soit (Un ) la suite réelle définie par
1. Montrons que pour tout entier naturel n , Un 0.
Nous savons que U0 0.
Montrons par l'absurde que pour tout entier naturel n , Un 0.
Supposons que pour tout entier naturel n , Un = 0.
Etant donné que , ,nous en déduirions que
Dès lors, la suite (Un ) serait une suite constante nulle.
Nous aurions alors U0 = 0, ce qui est absurde.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , Un 0.
De plus,
Or nous venons de montrer que Un 0.
D'où
Par conséquent, la suite (Un ) est strictement croissante.
2. Si la suite (Un ) converge, alors posons
Dans ce cas, U = 2U2 + U , soit 2U2 = 0, soit U = 0.
Par conséquent, si la suite (Un ) converge, alors
3. Supposons que
3. a) Dressons le tableau de signe de
Donc
3. b) Supposons que la suite (Un ) est majorée.
Nous avons montré que cette suite est strictement croissante.
Elle est donc convergente et sa limite est égale à 0 (voir question 2).
Or nous venons de montrer que
Dès lors, vu que la suite (Un ) est strictement croissante, il est impossible qu'elle converge vers 0.
D'où cette suite n'est pas majorée.
Par conséquent, la suite (Un ) diverge.
4. Supposons que
4. a) En nous aidant du tableau de signes de la question 3.a), nous déduisons que
4. b) Montrons par récurrence que si , alors pour tout n de , on a :
Initialisation : Montrons que .
Évident par la question 4. a). Hérédité : Si pour un nombre naturel n fixé, nous avons : , alors montrons que
Nous savons par définition de la suite (Un ) que
Par conséquent, la relation est démontré et l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous en déduisons par récurrence que si , alors pour tout n de , on a :
4. c) Nous savons par la question 1. que la suite (Un ) est strictement croissante.
De plus, nous venons de montrer que si , alors la suite (Un ) est bornée supérieurement par 0.
Nous en déduisons que la suite (Un ) est convergente si .
Partie II
Soit f l'application de dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = 2z2 + z .
Par conséquent, le seul point invariant par f est l'origine O du repère.
Par conséquent, les points invariants par f of sont les points d'affixes .
2. Soient les points
2. a) Notons a' l'affixe du point f (A ).
Donc les coordonnées du point f (A ) sont .
Notons b' l'affixe du point f (B ).
Donc les coordonnées du point f (B ) sont .
2. b) Soit z0 l'affixe du point M0.
z = z0 traduit le fait que M = M0. traduit le fait que M = S (M0 ) où S est un similitude directe du plan de rapport k = |-1| = 1 et d'angle = arg(-1) = .
Autrement dit S est une rotation d'angle et de centre dont nous allons déterminer l'affixe . .
Par conséquent, S est une rotation d'angle et de centre d'affixe .
Partie III
1. Soient l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient : et (P ) l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient :
Par conséquent, (P ) est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère, le foyer est et dont la directrice d admet comme équation
Par conséquent, est une hyperbole équilatère dont les coordonnées des sommets sont et . Les équations des deux asymptotes sont : et .
Montrons que est inclus dans .
Soit un point quelconque M(x ; y) appartenant à .
Montrons que M(x ; y) appartient à .
Nous en déduisons que le point M(x ; y) appartient à .
Par conséquent, est inclus dans .
Montrons que est inclus dans .
Soit un point quelconque M(x ; y ) appartenant à .
Montrons que M(x ; y ) appartient à en montrant que .
Nous devons donc montrer que si M(x ; y ) appartient à , alors .
Nous en déduisons que c'est-à-dire que le point M(x ; y) appartient à .
Par conséquent, est inclus dans .
Soit M' = f (M ) dont les coordonnées sont (x' ; y' ).
Nous devons montrer que .
D'où .
Par conséquent, f (M ) est tel que son abscisse appartient à l'intervalle
3. Soit pour tout entier naturel n , le point Mn dont les coordonnées sont (xn ; yn ).
Dès lors, l'affixe de Mn est
Nous savons que
Montrons que la suite (an ) est bornée.
Selon l'énoncé, nous savons que pour tout entier naturel n , ,
soit que pour tout entier naturel non nuln ,
Nous en déduisons que la suite (an ) est bornée.
Montrons que la suite (an ) est strictement décroissante.
Pour tout entier naturel n , montrons que , soit que .
Montrons donc que , soit que .
En utilisant l'exercice 2, nous savons que :
Dès lors,
Or nous savons par la question 2.b) que
Par conséquent, la suite (an ) est strictement décroissante.
Étant bornée et strictement décroissante, nous en déduisons la suite (an ) converge.
Publié par malou
le
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