Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques C-E 1er tour Burkina Faso 2019

Durée : 4 heures

Coefficient : 6

Les calculatrices ne sont pas autorisées

4 points

exercice 1

Bac C-E 1er tour Burkina Faso 2019 : image 1

4 points

exercice 2

Bac C-E 1er tour Burkina Faso 2019 : image 5

12 points

probleme

Bac C-E 1er tour Burkina Faso 2019 : image 2

Bac C-E 1er tour Burkina Faso 2019 : image 3

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Bac C-E 1er tour Burkina Faso 2019

Les calculatrices ne sont pas autorisées. 4 points

exercice 1

1. a) Rappel : Le nombre de combinaisons de p éléments distincts parmi n éléments distincts est :
$\boxed{\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}=\dfrac{n\,!}{p\,!\,(n-p)\,!}}.$

card est le nombre de combinaisons de 3 chevaux parmi 10.
$\text{card }\Omega=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}=\dfrac{10\,!}{3\,!\times7\,!}=\dfrac{10\times9\times8}{3\,!}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\dfrac{720}{6}=120 \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{card }\Omega=120}$

1. b) Soit l'événement A : "Parmi les trois chevaux, il y a au plus un étalon. "
"Au plus un étalon" correspond à "0 étalon" ou "un étalon".

Le nombre de groupements de 3 chevaux dont "0 étalon" est le nombre de combinaisons de 3 juments parmi les 6 juments : $\begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}=\dfrac{6\,!}{3\,!\times3\,!}=\dfrac{\overset{^.}{6\times5\times4}}{3\,!}=\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=\dfrac{120}{6}=\boxed{20}$

Le nombre de groupements de 3 chevaux dont "1 étalon" est le nombre de groupements composés de 1 étalon parmi les 4 étalons et 2 juments parmi les 6 juments. : $\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=4\times\dfrac{6\,!}{2\,!\times4\,!}=4\times\dfrac{6\times5}{2\,!}=\dfrac{4\times6\times5}{2}=\boxed{60}$

D'où, il y a 20 + 60 = 80 groupements de trois chevaux comportant au plus un étalon, soit card A = 80.
Etant donné que tous les animaux ont la même probabilité d'être vendus, $P(A)=\dfrac{\text{card }A}{\text{card }\Omega}=\dfrac{80}{120}=\dfrac{2}{3}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(A)=\dfrac{2}{3}}}}$

Soit l'événement B : "Parmi les trois chevaux, il y a au moins une jument. "
Alors l'événement contraire de B est $\overline{B}$ : "Parmi les trois chevaux, il n'y a aucune jument. "
Puisque les événements B et $\overline{B}$ sont contraires, nous avons : $P(B)=1-P(\overline{B}).$
Calculons $P(\overline{B}).$
Le nombre de groupements de 3 chevaux sans jument est le nombre de combinaisons de 3 étalons parmi les 4 étalons : $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\dfrac{\overset{^.}{4\,!}}{3\,!\times1\,!}=\boxed{4}\Longrightarrow\boxed{\text{card }\overline{B}=4}$
Dès lors, $P(\overline{B})=\dfrac{\text{card }\overline{B}}{\text{card }\Omega}=\dfrac{4}{120}=\dfrac{1}{30}.$
Par conséquent, $P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{1}{30}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(B)=\dfrac{29}{30}}}}$

2. Le prix de vente le plus bas que puisse proposer l'éleveur sera obtenu en vendant 3 juments puisqu'une jument est vendue à un prix moindre qu'un étalon.
Or le prix de vente de 3 juments est égal à 3 multiplie

400 000 = 1 200 000 francs.
Il est donc impossible d'obtenir un prix de vente total qui soit moins de 1 200 000 francs.
Par conséquent, $\overset{^.}{\boxed{{\blue{P(C)=0}}}}$

3. Coût total de la scolarité des trois enfants : 800 000 + 400 000 + 80 000 = 1 280 000 francs.
Nous avons montré dans la question 2. que le prix de vente de 3 juments s'élève à 1 200 000 francs, ce qui est inférieur à 1 280 000 francs.
Donc la vente de trois juments ne couvre pas la scolarité totale des trois enfants.
Le prix de vente de 2 juments et 1 étalon est égal à 2 multiplie

400 000 + 500 000 = 1 300 000 francs.
Nous en déduisons que pour couvrir la scolarité totale des enfants, l'éleveur devra vendre trois chevaux dont au moins un étalon.
Soit l'événement D : "Parmi les trois chevaux, il y a au moins un étalon. "
Alors l'événement contraire de D est $\overline{D}$ : "Parmi les trois chevaux, il n'y a aucun étalon. "
Puisque les événements D et $\overline{D}$ sont contraires, nous avons : $P(D)=1-P(\overline{D}).$
Calculons $P(\overline{D}).$
Le nombre de groupements de 3 chevaux sans étalon est égal à 20 (voir réponse 1. b).
Dès lors, $P(\overline{D})=\dfrac{20}{120}\Longrightarrow{\blue{P(\overline{D})=\dfrac{1}{6}}}$
et $P(D)=1-P(\overline{D})=1-\dfrac{1}{6}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(D)=\dfrac{5}{6}}}}$

Par conséquent, la probabilité que cet éleveur puisse payer la scolarité totale de ses enfants en prélevant trois chevaux au hasard est égale à $\overset{^.}{\dfrac{5}{6}}.$

4. Les différents prix de vente des trois chevaux sont les suivants :
pour 3 juments : 3 multiplie

400 000 = 1 200 000 francs.
pour 2 juments et 1 étalon : 2 multiplie

400 000 + 500 000 = 1 300 000 francs.
pour 1 jument et 2 étalons : 400 000 + 2 multiplie

500 000 = 1 400 000 francs.
pour 3 étalons : 3 multiplie

500 000 = 1 500 000 francs.

Nous savons par la question 1b) qu'il y a 20 groupements possibles de 3 juments.
Donc $P(X=1\,200\,000)=\dfrac{\overset{^.}{20}}{120}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(X=1\,200\,000)=\dfrac{1}{6}}}}$
Nous savons par la question 1b) qu'il y a 60 groupements possibles de 2 juments et un étalon.
Donc $P(X=1\,300\,000)=\dfrac{\overset{^.}{60}}{120}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(X=1\,300\,000)=\dfrac{1}{2}}}}$
Le nombre de groupements de 3 chevaux dont une jument est le nombre de groupements composés de 2 étalons parmi les 4 étalons et 1 jument parmi les 6 juments. : $\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}=\dfrac{4\,!}{2\,!\times2\,!}\times6=\dfrac{4\times3}{2\,!}\times6=\dfrac{4\times3}{2}\times6=36.$
Donc $P(X=1\,400\,000)=\dfrac{\overset{^.}{36}}{120}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(X=1\,400\,000)=\dfrac{3}{10}}}}$
Nous savons par la réponse 1b) qu'il y a 4 groupements possibles de 3 étalons.
Donc $P(X=1\,500\,000)=\dfrac{\overset{^.}{4}}{120}\Longrightarrow\boxed{\blue{{P(X=1\,500\,000)=\dfrac{1}{30}}}}$

Ci-dessous, un tableau résumant la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&&&&\\ x_i&1\,200\,0000&1\,300\,0000&1\,400\,0000&1\,500\,0000\\&&&& \\\hline&&&&\\ P(X=x_i)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{3}{10}&\dfrac{1}{30}\\&&&&\\\hline \end{array}$

4 points

exercice 2

1. a) Le degré du polynôme P est n (n appartient

^*) et le degré du polynôme P' est au plus égal à (n -1).
Par conséquent, le degré du polynôme P' - 3P est n .

1. b) $P'(x)=3P(x)+2-x+3x^2\Longleftrightarrow P'(x)-3P(x)=2-x+3x^2$
Donc P' - 3P est un polynôme du deuxième degré et par suite, P est un polynôme du deuxième degré.
Dès lors, P (x ) est de la forme ax ² + bx + c (a different

0).

$P(x)=ax^2+bx+c\Longrightarrow P'(x)=2ax+b$

$\text{D'où }\ P'(x)-3P(x)=2-x+3x^2\Longleftrightarrow2ax+b-3(ax^2+bx+c)=2-x+3x^2 \\\phantom{\text{D'où }\ P'(x)=3P(x)+2-x+3x^2}\Longleftrightarrow2ax+b-3ax^2-3bx-3c=2-x+3x^2 \\\phantom{\text{D'où }\ P'(x)=3P(x)+2-x+3x^2}\Longleftrightarrow-3ax^2+(2a-3b)x+b-3c=3x^2-x+2$
Par identification des coefficients des termes de mêmes puissances de x , nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}-3a=3\\2a-3b=-1\\b-3c=2\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\2\times(-1)-3b=-1\\b-3c=2\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\-2-3b=-1\\b-3c=2\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\-3b=1\\b-3c=2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWW..}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\b=-\dfrac{1}{3}\\-\dfrac{1}{3}-3c=2\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\b=-\dfrac{1}{3}\\\\-3c=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\b=-\dfrac{1}{3}\\\\c=-\dfrac{7}{9}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, $\boxed{P(x)=-x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{7}{9}}$

1. c) Résoudre l'équation différentielle y' - 3y = 0. (1)

$y'-3y=0\Longleftrightarrow y'=3y$
L'ensemble des solutions de cette équation est l'ensemble des fonctions f définies par $\overset{^.}{\boxed{f(x) = k.\,\text{e}^{3x}\ \ \ \text{avec }k\in\R}}$

${\red{1.\ \text{d)}\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)\Longleftrightarrow f'-3f=0 \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow f'=3f \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow P'-f'=P'-3f \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow P'-f'=(3P+Q)-3f \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow (P-f)'=3(P-f)+Q \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow P-f\text{ est solution de l'équation }y'=3y+Q\ \ \ (2) \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\text{avec }Q(x)=3x^2-x+2. \\\text{Par conséquent, } \\\ {\blue{f\ \text{est solution de }(1)\Longleftrightarrow P-f\text{ est solution de l'équation }y'=3y+Q\ \ \ (2)}} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}{\blue{\text{avec }Q(x)=3x^2-x+2.}}$

1. e) La fonction f définie par $f(x) = k.\,\text{e}^{3x}\ \ \ \text{avec }k\in\R$ est solution de (1).
En utilisant la question 1.c), nous en déduisons que P - f est solution de l'équation y' = 3y + Q ,
soit que pour tout x réel, les fonctions y définies par $y(x)=-x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{7}{9}- k.\,\text{e}^{3x}$ sont les solutions de l'équation différentielle y' - 3y = 3x² - x + 2.

2. a) Soit omega

un nombre réel constant non nul.
Les solutions de l'équation différentielle y'' + omega

²y = 0 sont de la forme : y = a sin(x ) + b cos(x ) où a et b sont des nombres réels constants.
Dès lors, les solutions de l'équation différentielle ${y}''+\dfrac{1}{4}y=0\ (3)$ sont les fonctions f définies par $f(x)=a\sin\dfrac{x}{2}+b\cos\dfrac{x}{2}\ \ \ \ \ \ (a, b\in\R)$

2. b) Les solutions de l'équation (3) sont les fonctions f définies par $f(x)=a\sin\dfrac{x}{2}+b\cos\dfrac{x}{2}\ \ \ \ \ \ (a, b\in\R)$
$\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f(\pi)=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\sin0+b\cos0=0\\a\sin\dfrac{\pi}{2}+b\cos\dfrac{\pi}{2}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\times0+b\times1=0\\a\times1+b\times0=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=0\\a=\sqrt{3}\end{matrix}\right.$
Par conséquent, la solution f de l'équation (3) qui vérifie $f(0)=0$ et $f(\pi)=\sqrt{3}$ est la fonction f définie par $\boxed{f(x)=\sqrt{3}\sin\dfrac{x}{2}}$ .

12 points

probleme

Partie I $(\text{3,5 points})$

Soit (U_n ) la suite réelle définie par $\left\lbrace\begin{matrix}U_0\neq0,\ \ U_0\neq-\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U_{n+1}=2U_n^2+U_n\ \ \ \ (n\in\N)\end{matrix}\right.$

1. Montrons que pour tout entier naturel n , U_n different

0.
Nous savons que U₀ different

0.
Montrons par l'absurde que pour tout entier naturel n , U_n different

0.
Supposons que pour tout entier naturel n , U_n = 0.
Etant donné que $U_{n+1}=2U_n^2+U_n$ , ,nous en déduirions que $U_{n+1}=0.$
Dès lors, la suite (U_n ) serait une suite constante nulle.
Nous aurions alors U₀ = 0, ce qui est absurde.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , U_n 0.

De plus, $U_{n+1}=2U_n^2+U_n\Longrightarrow U_{n+1}-U_n=2U_n^2$
$\Longrightarrow U_{n+1}-U_n\ge0$
Or nous venons de montrer que U_n different

0.
D'où $\boxed{U_{n+1}-U_n>0}$
Par conséquent, la suite (U_n ) est strictement croissante.

2. Si la suite (U_n ) converge, alors posons $\overset{^.}{U=\lim\limits_{n\to+\infty}U_n}.$
Dans ce cas, U = 2U ² + U , soit 2U ² = 0, soit U = 0.
Par conséquent, si la suite (U_n ) converge, alors $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=0}$

3. Supposons que $U_0+2U_0^2>0.$

3. a) Dressons le tableau de signe de $U_0+2U_0^2.$

$\begin{matrix}\boxed{U_0+2U_0^2=U_0(1+2U_0)} \\\\ 1+2U_0<0\Longleftrightarrow 2U_0<-1 \\\phantom{1+2U_0<0} \Longleftrightarrow U_0<-\dfrac{1}{2} \\\\ 1+2U_0=0\Longleftrightarrow 2U_0=-1 \\\phantom{1+2U_0=0} \Longleftrightarrow U_0=-\dfrac{1}{2} \\\\ 1+2U_0>0\Longleftrightarrow 2U_0>-1 \\\phantom{1+2U_0>0} \Longleftrightarrow U_0>-\dfrac{1}{2}\end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ U_0&&&-\dfrac{1}{2}&&0&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&& \\U_0&-&-&-&-&0&+&+\\1+2U_0&-&-&0&+&+&+&+\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\U_0(1+2U_0)&{\red{+}}&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&{\red{+}}\\=U_0+2U_0^2&&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}$

Donc $\boxed{U_0+2U_0^2>0\Longleftrightarrow U_0<-\dfrac{1}{2}\ \ \text{ou }\ \ \ U_0>0}$

3. b) Supposons que la suite (U_n ) est majorée.
Nous avons montré que cette suite est strictement croissante.
Elle est donc convergente et sa limite est égale à 0 (voir question 2).
Or nous venons de montrer que $U_0>0.$
Dès lors, vu que la suite (U_n ) est strictement croissante, il est impossible qu'elle converge vers 0.
D'où cette suite n'est pas majorée.
Par conséquent, la suite (U_n ) diverge.

4. Supposons que $U_0+2U_0^2<0.$

4. a) En nous aidant du tableau de signes de la question 3.a), nous déduisons que $\overset{^.}{\boxed{U_0+2U_0^2<0\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}<U_0<0}}$

4. b) Montrons par récurrence que si $U_0+2U_0^2<0$ , alors pour tout n de

, on a : $-\dfrac{1}{2}<U_n<0.$

Initialisation : Montrons que $-\dfrac{1}{2}<U_0<0$ .
Évident par la question 4. a).
Hérédité : Si pour un nombre naturel n fixé, nous avons : $-\dfrac{1}{2}<U_n<0$ , alors montrons que ${\blue{-\dfrac{1}{2}<U_{n+1}<0}}$
Nous savons par définition de la suite (U_n ) que $U_{n+1}=2U_n^2+U_n.$
$\text{Or }\ -\dfrac{1}{2}<U_n<0\Longrightarrow 0<U_n^2<\dfrac{1}{4} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ 0<U_n<-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow 0<2U_n^2<\dfrac{1}{2}} \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}0<2U_n^2<\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{2}<U_n<0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ -\dfrac{1}{2}<2U_n^2+U_n<\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ (\text{par addition}) \\\phantom{\text{D'où }WWWWW..WW.}\Longrightarrow\ \ \ -\dfrac{1}{2}<U_{n+1}<\dfrac{1}{2} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où }.WWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\blue{-\dfrac{1}{2}<U_{n+1}}}}}$

$\text{De même }\ -\dfrac{1}{2}<U_n<0\Longrightarrow -1<2U_n<0 \\\phantom{\text{De même }\ \,0<U_n<-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow 0<2U_n+1<1 \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}2U_n+1>0\\ {\blue{-\dfrac{1}{2}}}<{\blue{U_n}}<{\blue{0}}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ {\blue{-\dfrac{1}{2}}}(2U_n+1)<{\blue{U_n}}(2U_n+1)<{\blue{0}} \\\phantom{\text{D'où }WWWWW..WW.}\Longrightarrow\ \ \ U_n(2U_n+1)<0 \\\overset{}{\phantom{\text{D'où }WWWWW..WW.}\Longrightarrow\ \ \ 2U_n^2+U_n<0} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où }.WWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\blue{U_{n+1}<0}}}}$
Par conséquent, la relation ${\blue{-\dfrac{1}{2}<U_{n+1}<0}}$ est démontré et l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous en déduisons par récurrence que si $U_0+2U_0^2<0$ , alors pour tout n de

, on a : $-\dfrac{1}{2}<U_n<0.$

4. c) Nous savons par la question 1. que la suite (U_n ) est strictement croissante.
De plus, nous venons de montrer que si $U_0+2U_0^2<0$ , alors la suite (U_n ) est bornée supérieurement par 0.
Nous en déduisons que la suite (U_n ) est convergente si $U_0+2U_0^2<0$ .

Partie II $(\text{3 points})$

Soit f l'application de $\mathcal{P}$ dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = 2z ² + z .

${\red{1.\ \text{a) }}}\ f(M)=M\Longleftrightarrow 2z^2+z=z \\\phantom{{\red{1.\ \text{a) }}}\ f(M)=M}\Longleftrightarrow 2z^2=0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{a) }}}\ f(M)=M}\Longleftrightarrow z^2=0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{a) }}}\ f(M)=M}\Longleftrightarrow z=0$
Par conséquent, le seul point invariant par f est l'origine O du repère.

${\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M\Longleftrightarrow f(f(M))=M \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow f(M')=M} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow 2z'\,^2+z'=z} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow 2(2z^2+z)^2+(2z^2+z)=z} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow 2(2z^2+z)^2+2z^2=0} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow (2z^2+z)^2+z^2=0\ \ \ \ \ \ (\text{en divisant par 2})}$
$\\\overset{^.}{\Longleftrightarrow [z(2z+1)]^2+z^2=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z^2(2z+1)^2+z^2=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z^2[(2z+1)^2+1]=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z^2=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ (2z+1)^2+1=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 4z^2+4z+2=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 2z^2+2z+1=0}$

Résolvons dans

l'équation 2z ² + 2z + 1 = 0.
Discriminant : deltamaj

= 2² - 4

1 = 4 - 8 = -4 = (2i)².
$\text{Racines : }z_1=\dfrac{-2-2\text{i}}{2\times2}=\dfrac{2(-1-\text{i})}{2\times2}=\dfrac{-1-\text{i}}{2}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i} \\\\\phantom{\text{Racines : }}z_2=\dfrac{-2+2\text{i}}{2\times2}=\dfrac{2(-1+\text{i})}{2\times2}=\dfrac{-1+\text{i}}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}$

$\text{D'où }(fof)(M)=M\Longleftrightarrow \left(z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ z=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\ \ \ \text{ou}\ \ \ z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right)$
Par conséquent, les points invariants par f of sont les points d'affixes $0,\ -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\ \ \ \text{et}\ \ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}$ .

2. Soient les points $A(\dfrac{1}{2}\text{i}),\ B(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i})\ \ \ \text{et}\ \ I(-\dfrac{1}{4}).$

2. a) Notons a' l'affixe du point f (A ).
$a'=2\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^2+\dfrac{1}{2}\text{i} \\\phantom{a'}=2\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\text{i} \\\Longrightarrow\boxed{a'=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}}$
Donc les coordonnées du point f (A ) sont $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$ .

Notons b' l'affixe du point f (B ).
$b'=2\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^2-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i} \\\overset{}{\phantom{a'}=2\times\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\text{i}-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}} \\\overset{}{\phantom{a'}=2\times\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}} \\\overset{}{\phantom{a'}=\text{i}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}} \\\overset{}{\Longrightarrow\boxed{b'=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}}}$
Donc les coordonnées du point f (B ) sont $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right)$ .

2. b) Soit z ₀ l'affixe du point M ₀.
$f(M)=f(M_0)\Longleftrightarrow2z^2+z=2z_0^2+z_0 \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow2z^2-2z_0^2+z-z_0=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow2(z^2-z_0^2)+z-z_0=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow2(z-z_0)(z+z_0)+(z-z_0)=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow(z-z_0)\,[2(z+z_0)+1]=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow(z-z_0)\,(2z+2z_0+1)=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow z-z_0=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 2z+2z_0+1=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow z=z_0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 2z=-2z_0-1} \\\text{D'où }\ \boxed{f(M)=f(M_0)\Longleftrightarrow z=z_0\ \ \ \text{ou}\ \ \ z=-z_0-\dfrac{1}{2}}$

z = z ₀ traduit le fait que M = M ₀.
$z=-z_0-\dfrac{1}{2}$ traduit le fait que M = S (M ₀ ) où S est un similitude directe du plan de rapport k = |-1| = 1 et d'angle theta

= arg(-1) =

.
Autrement dit S est une rotation d'angle

et de centre omegamaj

dont nous allons déterminer l'affixe omega

.
$\omega=-\omega-\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow2\omega=-\dfrac{1}{2} \\\overset{}{\phantom{\omega=-\omega-\dfrac{1}{2}}\Longleftrightarrow\omega=-\dfrac{1}{4}}$ .
Par conséquent, S est une rotation d'angle et de centre $\Omega$ d'affixe $-\dfrac{1}{4}$ .

Partie III $(\text{5,5 points})$

1. Soient $(\mathcal{H})$ l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient : $2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0$ et (P ) l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x et y vérifient : $2y^2+x=0.$

${\red{1.\ \text{a)} }}\ 2y^2+x=0\Longleftrightarrow 2y^2=-x \\\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2y^2+x=0}\Longleftrightarrow \boxed{y^2=-\dfrac{1}{2}x}$
Par conséquent, (P ) est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère, le foyer est $F\,(-\dfrac{1}{8}\,;\,0)$ et dont la directrice d admet comme équation $x=\dfrac{1}{8}.$

${\red{1.\ \text{b)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0\Longleftrightarrow x^2-y^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}=0 \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0}\Longleftrightarrow x^2+\dfrac{1}{2}x-y^2=-\dfrac{1}{4}} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0}\Longleftrightarrow (x^2+\dfrac{1}{2}x\,{\blue{+\dfrac{1}{16}}})-y^2=-\dfrac{1}{4}\,{\blue{+\dfrac{1}{16}}}} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0}\Longleftrightarrow (x+\dfrac{1}{4})^2-y^2=-\dfrac{3}{16}} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0}\Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{(x+\dfrac{1}{4})^2}{\dfrac{3}{16}}-\dfrac{y^2}{\dfrac{3}{16}}=-1}}$
Par conséquent, $(\mathcal{H})$ est une hyperbole équilatère dont les coordonnées des sommets sont $(-\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{\sqrt{3}}{4})$ et $(-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{4})$ . Les équations des deux asymptotes sont : $y=x+\dfrac{1}{4}$ et $y=-x-\dfrac{1}{4}$ .

$\text{\red{2. \text{a)}}}\ \text{ Soient }\ \ (\mathcal{H}_1):\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}<x<0\\2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \text{et}\ \ \ \ (P_1):\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}<x<0\\\overset{}{2y^2+x<0}\end{matrix}\right.$

Montrons que $(P_1)$ est inclus dans $(\mathcal{H}_1)$ .
Soit un point quelconque M(x ; y) appartenant à $(P_1)$ .
Montrons que M(x ; y) appartient à $(\mathcal{H}_1)$ .
$\text{D'une part, }x>-\dfrac{1}{2}\Longrightarrow x+\dfrac{1}{2}>0 \\\overset{}{\phantom{\text{D'une part, }x>-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow (x+\dfrac{1}{2})^2>0} \\\phantom{\text{D'une part, }x>-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow x^2+x+\dfrac{1}{4}>0 \\\phantom{\text{D'une part, }x>-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow {\blue{2x^2+2x+\dfrac{1}{2}>0}} \\\\\text{D'autre part, }2y^2+x<0\Longrightarrow{\blue{-2y^2-x>0}} \\\\\text{D'où}\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{2x^2+2x+\dfrac{1}{2}>0}}\\ {\blue{-2y^2-x>0}}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par addition}}{\Longrightarrow}\ \ \ 2x^2+2x+\dfrac{1}{2}-2y^2-x>0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \ \ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}>0$
Nous en déduisons que le point M(x ; y) appartient à $(\mathcal{H}_1)$ .
Par conséquent, $(P_1)$ est inclus dans $(\mathcal{H}_1)$ .

$\text{\red{2. \text{b)}}}\ \text{ Soient }\ \ (P_1):\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}<x<0\\\overset{}{2y^2+x<0}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \text{et}\ \ \ \ (E):||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2},\ \ \ \ \text{avec }K(-\dfrac{1}{2}\,;\,0).$

Montrons que $(P_1)$ est inclus dans $(E)$ .
Soit un point quelconque M(x ; y ) appartenant à $(P_1)$ .
Montrons que M(x ; y ) appartient à $(E)$ en montrant que $||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}$ .
$\text{Or }\ ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow||\overrightarrow{MK}||^2<\dfrac{1}{4} \\\phantom{\text{Or }\ ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}}\Longleftrightarrow(x+\dfrac{1}{2})^2+y^2<\dfrac{1}{4} \\\phantom{\text{Or }\ ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}}\Longleftrightarrow x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2<\dfrac{1}{4} \\\phantom{\text{Or }\ ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}}\Longleftrightarrow x^2+x+y^2<0$
Nous devons donc montrer que si M(x ; y ) appartient à $(P_1)$ , alors ${\blue{x^2+y^2+x<0}}$ . $M(x\,;\,y)\in(P_1)\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}<x<0 \\\overset{}{\phantom{M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow-1<2x<0} \\\overset{}{\phantom{M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\2x+1>0\end{matrix}\right.} \\\overset{}{\phantom{M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow x(2x+1)<0} \\\overset{}{\phantom{M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow \boxed{2x^2+x<0}} \\\\M(x\,;\,y)\in(P_1)\Longrightarrow\boxed{2y^2+x<0} \\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}2x^2+x<0\\2y^2+x<0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{par addition}}{\Longrightarrow}2x^2+2y^2+2x<0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{{\blue{x^2+y^2+x<0}}}$
Nous en déduisons que $||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}$ c'est-à-dire que le point M(x ; y) appartient à $(E)$ .
Par conséquent, $(P_1)$ est inclus dans $(E)$ .

$\text{\red{2. \text{c)}}}\ M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}<x<0\\2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}>0\end{matrix}\right.$

Soit M' = f (M ) dont les coordonnées sont (x' ; y' ).
Nous devons montrer que $\overset{^.}{-\dfrac{1}{2}<x'<0}$ .

$M'=f(M)\Longleftrightarrow x'+\text{i}y'=2(x+\text{i}y)^2+(x+\text{i}y) \\\phantom{M'=f(M)}\Longleftrightarrow x'+\text{i}y'=2(x^2+2\text{i}xy-y^2)+x+\text{i}y \\\phantom{M'=f(M)}\Longleftrightarrow x'+\text{i}y'=2x^2+4\text{i}xy-2y^2+x+\text{i}y \\\phantom{M'=f(M)}\Longleftrightarrow x'+\text{i}y'=(2x^2-2y^2+x)+\text{i}(4xy+y) \\\\\Longrightarrow \boxed{x'=2x^2-2y^2+x}$

$\text{D'une part, }M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)\Longrightarrow2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}>0 \\\phantom{\text{D'une part, }M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)}\Longrightarrow2x^2-2y^2+x>-\dfrac{1}{2} \\\phantom{\text{D'une part, }M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)}\Longrightarrow\boxed{x'>-\dfrac{1}{2}}$

$\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}<x<0 \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow-1<2x<0} \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\2x+1>0\end{matrix}\right.} \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow x(2x+1)<0} \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow 2x^2+x<0} \\\\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }}\text{et }\left\lbrace\begin{matrix}2x^2+x<0\\-2y^2\le0\end{matrix}\right.}\ \ \ \ \underset{\text{par addition}}{\Longrightarrow}2x^2-2y^2+x<0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{x'<0}$
D'où $\overset{^.}{-\dfrac{1}{2}<x'<0}$ .
Par conséquent, f (M ) est tel que son abscisse appartient à l'intervalle $]-\dfrac{1}{2}\,;\,0[.$

3. Soit pour tout entier naturel n , le point M_n dont les coordonnées sont (x_n ; y_n ).
Dès lors, l'affixe de M_n est $z_n=x_n+\text{i}y_n.$
Nous savons que $a_n=|z_n|=\sqrt{x_n^2+y_n^2}.$
Montrons que la suite (a_n ) est bornée.
$\forall n\in\N,\ -\dfrac{1}{2}<x_n<0\Longrightarrow\boxed{0<x_n^2<\dfrac{1}{4}}$
Selon l'énoncé, nous savons que pour tout entier naturel n , $f(M_n)\in(P_1)$ ,
soit que pour tout entier naturel non nul n , $M_n\in(P_1).$
$\forall n\in\N^*,\,\left\lbrace\begin{matrix}2y^2_n+x_n<0\\\overset{}{-\dfrac{1}{2}<x_n<0} \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2y^2_n<-x_n\\\overset{}{0<-x_n<\dfrac{1}{2}} \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\forall n\in\N^*,\,2y^2_n+x_n<0nn}\Longrightarrow 0\le 2y^2_n<\dfrac{1}{2} \\\overset{}{\phantom{\forall n\in\N^*,\,2y^2_n+x_n<0nn}\Longrightarrow \boxed{0\le y^2_n<\dfrac{1}{4}}}$
$\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}0<x_n^2<\dfrac{1}{4}\\\overset{}{0\le y_n^2<\dfrac{1}{4}}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ 0<x_n^2+y_n^2<\dfrac{1}{2} \\\phantom{WWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ 0<\sqrt{x_n^2+y_n^2}<\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{0<a_n<\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}$
Nous en déduisons que la suite (a_n ) est bornée.

Montrons que la suite (a_n ) est strictement décroissante.
Pour tout entier naturel n , montrons que $a_{n}>a_{n+1}$ , soit que $\sqrt{x_n^2+y_n^2}>\sqrt{x_{n+1}^2+y_{n+1}^2}$ .
Montrons donc que $x_n^2+y_n^2>x_{n+1}^2+y_{n+1}^2$ , soit que $\boxed{(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)>0}$ .

$(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)=(x_n^2-x_{n+1}^2)+(y_n^2-y_{n+1}^2) \\\overset{}{\phantom{(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)}=(x_n-x_{n+1})(x_n+x_{n+1})+(y_n-y_{n+1})(y_n+y_{n+1})}$
En utilisant l'exercice 2, nous savons que :
$M_{n+1}=f(M_n)\Longleftrightarrow x_{n+1}+\text{i}y_{n+1}=(2x_{n}^2-2y_{n}^2+x_{n})+\text{i}(4x_{n}y_{n}+y_{n}) \\\\\phantom{M_{n+1}=f(M_n)}\Longrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_{n+1}=2x_{n}^2-2y_{n}^2+x_{n}\\y_{n+1}=4x_{n}y_{n}+y_{n}\end{matrix}\right.}$
Dès lors,

$(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)\\\overset{}{=(x_n-x_{n+1})(x_n+x_{n+1})+(y_n-y_{n+1})(y_n+y_{n+1})} \\\overset{}{=(x_n-(2x_{n}^2-2y_{n}^2+x_{n}))(x_n+(2x_{n}^2-2y_{n}^2+x_{n}))+(y_n-(4x_{n}y_{n}+y_{n}))(y_n+(4x_{n}y_{n}+y_{n}))} \\\overset{}{=(-2x_{n}^2+2y_{n}^2)(2x_{n}^2-2y_{n}^2+2x_{n})-4x_{n}y_{n}(4x_{n}y_{n}+2y_{n})} \\\overset{}{=4[(y_{n}^2-x_{n}^2)(x_{n}^2-y_{n}^2+x_{n})-x_{n}y_{n}(4x_{n}y_{n}+2y_{n}]}$
$\\\overset{^.}{=4(x_{n}^2y_{n}^2-y_n^4+x_ny_n^2-x_n^4+x_n^2y_n^2-x_n^3-4x_n^2y_n^2-2x_ny_n^2)} \\\overset{}{=4(-x_n^4-y_n^4-2x_n^2y_n^2-x_ny_n^2-x_n^3)} \\\overset{}{=4[-(x_n^4+y_n^4+2x_n^2y_n^2)-x_n(y_n^2+x_n^2)]} \\\overset{}{=4[-(x_n^2+y_n^2)^2-x_n(y_n^2+x_n^2)]} \\\overset{}{=4(x_n^2+y_n^2)[-(x_n^2+y_n^2)-x_n]} \\\overset{}{=-4(x_n^2+y_n^2)(x_n^2+y_n^2+x_n)}$

Or nous savons par la question 2.b) que ${\blue{x_n^2+y_n^2+x_n<0}}$

$\text{Dès lors, }\ \left\lbrace\begin{matrix} \overset{}{-4<0}\\\overset{}{x_n^2+y_n^2>0}\\\overset{}{x_n^2+y_n^2+x_n<0}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow{\blue{-4(x_n^2+y_n^2)(x_n^2+y_n^2+x_n)>0}} \\\\\text{D'où }\ (x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)=-4(x_n^2+y_n^2)(x_n^2+y_n^2+x_n)>0 \\\\\Longrightarrow\boxed{(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)>0}$
Par conséquent, la suite (a_n ) est strictement décroissante.
Étant bornée et strictement décroissante, nous en déduisons la suite (a_n ) converge.

Publié par malou le 14-02-2021

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