Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques C-E 1er tour Burkina Faso 2019

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Durée : 4 heures

Coefficient : 6

Les calculatrices ne sont pas autorisées

4 points

exercice 1

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4 points

exercice 2

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12 points

probleme

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Bac C-E 1er tour Burkina Faso 2019

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Les calculatrices ne sont pas autorisées.
4 points

exercice 1

1. a)  Rappel : Le nombre de combinaisons de p  éléments distincts parmi n  éléments distincts est : 
 
\boxed{\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}=\dfrac{n\,!}{p\,!\,(n-p)\,!}}.


card omegamaj est le nombre de combinaisons de 3 chevaux parmi 10. 
            \text{card }\Omega=\begin{pmatrix}10\\3\end{pmatrix}=\dfrac{10\,!}{3\,!\times7\,!}=\dfrac{10\times9\times8}{3\,!}=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=\dfrac{720}{6}=120 \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{card }\Omega=120}

1. b)  Soit l'événement A : "Parmi les trois chevaux, il y a au plus un étalon. "
"Au plus un étalon" correspond à "0 étalon" ou "un étalon".

Le nombre de groupements de 3 chevaux dont "0 étalon" est le nombre de combinaisons de 3 juments parmi les 6 juments : \begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}=\dfrac{6\,!}{3\,!\times3\,!}=\dfrac{\overset{^.}{6\times5\times4}}{3\,!}=\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=\dfrac{120}{6}=\boxed{20}

Le nombre de groupements de 3 chevaux dont "1 étalon" est le nombre de groupements composés de 1 étalon parmi les 4 étalons et 2 juments parmi les 6 juments. :   \begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=4\times\dfrac{6\,!}{2\,!\times4\,!}=4\times\dfrac{6\times5}{2\,!}=\dfrac{4\times6\times5}{2}=\boxed{60}

D'où, il y a 20 + 60 = 80 groupements de trois chevaux comportant au plus un étalon, soit card A = 80.
Etant donné que tous les animaux ont la même probabilité d'être vendus, 
P(A)=\dfrac{\text{card }A}{\text{card }\Omega}=\dfrac{80}{120}=\dfrac{2}{3}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(A)=\dfrac{2}{3}}}}

Soit l'événement B : "Parmi les trois chevaux, il y a au moins une jument. "
Alors l'événement contraire de B est  \overline{B}  : "Parmi les trois chevaux, il n'y a aucune jument. "
Puisque les événements B et  \overline{B}  sont contraires, nous avons :  P(B)=1-P(\overline{B}). 
Calculons  P(\overline{B}).
Le nombre de groupements de 3 chevaux sans jument est le nombre de combinaisons de 3 étalons parmi les 4 étalons :   \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}=\dfrac{\overset{^.}{4\,!}}{3\,!\times1\,!}=\boxed{4}\Longrightarrow\boxed{\text{card }\overline{B}=4}
Dès lors,  P(\overline{B})=\dfrac{\text{card }\overline{B}}{\text{card }\Omega}=\dfrac{4}{120}=\dfrac{1}{30}.
Par conséquent,  P(B)=1-P(\overline{B})=1-\dfrac{1}{30}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(B)=\dfrac{29}{30}}}}

2.  Le prix de vente le plus bas que puisse proposer l'éleveur sera obtenu en vendant 3 juments puisqu'une jument est vendue à un prix moindre qu'un étalon.
Or le prix de vente de 3 juments est égal à 3 multiplie 400 000 = 1 200 000 francs.
Il est donc impossible d'obtenir un prix de vente total qui soit moins de 1 200 000 francs.
Par conséquent,  \overset{^.}{\boxed{{\blue{P(C)=0}}}}

3.  Coût total de la scolarité des trois enfants : 800 000 + 400 000 + 80 000 = 1 280 000 francs.
Nous avons montré dans la question 2. que le prix de vente de 3 juments s'élève à 1 200 000 francs, ce qui est inférieur à 1 280 000 francs.
Donc la vente de trois juments ne couvre pas la scolarité totale des trois enfants.
Le prix de vente de 2 juments et 1 étalon est égal à 2 multiplie 400 000 + 500 000 = 1 300 000 francs.
Nous en déduisons que pour couvrir la scolarité totale des enfants, l'éleveur devra vendre trois chevaux dont au moins un étalon.
Soit l'événement D : "Parmi les trois chevaux, il y a au moins un étalon. "
Alors l'événement contraire de D est  \overline{D}  : "Parmi les trois chevaux, il n'y a aucun étalon. "
Puisque les événements D et  \overline{D}  sont contraires, nous avons :  P(D)=1-P(\overline{D}). 
Calculons  P(\overline{D}).
Le nombre de groupements de 3 chevaux sans étalon est égal à 20 (voir réponse 1. b).  
Dès lors,  P(\overline{D})=\dfrac{20}{120}\Longrightarrow{\blue{P(\overline{D})=\dfrac{1}{6}}} 
et  P(D)=1-P(\overline{D})=1-\dfrac{1}{6}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(D)=\dfrac{5}{6}}}}

Par conséquent, la probabilité que cet éleveur puisse payer la scolarité totale de ses enfants en prélevant trois chevaux au hasard est égale à  \overset{^.}{\dfrac{5}{6}}.

4.  Les différents prix de vente des trois chevaux sont les suivants :  
  pour 3 juments : 3 multiplie 400 000 = 1 200 000 francs.
  pour 2 juments et 1 étalon : 2 multiplie 400 000 + 500 000 = 1 300 000 francs.
  pour 1 jument et 2 étalons : 400 000 + 2 multiplie 500 000 = 1 400 000 francs.
  pour 3 étalons : 3 multiplie 500 000 = 1 500 000 francs.

Nous savons par la question 1b) qu'il y a 20 groupements possibles de 3 juments.
Donc  P(X=1\,200\,000)=\dfrac{\overset{^.}{20}}{120}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(X=1\,200\,000)=\dfrac{1}{6}}}}
Nous savons par la question 1b) qu'il y a 60 groupements possibles de 2 juments et un étalon.
Donc  P(X=1\,300\,000)=\dfrac{\overset{^.}{60}}{120}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(X=1\,300\,000)=\dfrac{1}{2}}}}
Le nombre de groupements de 3 chevaux dont une jument est le nombre de groupements composés de 2 étalons parmi les 4 étalons et 1 jument parmi les 6 juments. :   \begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}6\\1\end{pmatrix}=\dfrac{4\,!}{2\,!\times2\,!}\times6=\dfrac{4\times3}{2\,!}\times6=\dfrac{4\times3}{2}\times6=36.
Donc  P(X=1\,400\,000)=\dfrac{\overset{^.}{36}}{120}\Longrightarrow\boxed{{\blue{P(X=1\,400\,000)=\dfrac{3}{10}}}}
Nous savons par la réponse 1b) qu'il y a 4 groupements possibles de 3 étalons.
Donc  P(X=1\,500\,000)=\dfrac{\overset{^.}{4}}{120}\Longrightarrow\boxed{\blue{{P(X=1\,500\,000)=\dfrac{1}{30}}}}

Ci-dessous, un tableau résumant la loi de probabilité de la variable aléatoire X .

                        \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline&&&&\\ x_i&1\,200\,0000&1\,300\,0000&1\,400\,0000&1\,500\,0000\\&&&& \\\hline&&&&\\ P(X=x_i)&\dfrac{1}{6}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{3}{10}&\dfrac{1}{30}\\&&&&\\\hline \end{array}

4 points

exercice 2

1. a)  Le degré du polynôme P  est n  (n  appartient N*) et le degré du polynôme P'  est au plus égal à (n -1).
Par conséquent, le degré du polynôme P'  - 3P  est n .

1. b)   P'(x)=3P(x)+2-x+3x^2\Longleftrightarrow P'(x)-3P(x)=2-x+3x^2
Donc P'  - 3P  est un polynôme du deuxième degré et par suite, P  est un polynôme du deuxième degré.
Dès lors, P (x ) est de la forme ax 2 + bx  + c  (a  different 0).

P(x)=ax^2+bx+c\Longrightarrow P'(x)=2ax+b

\text{D'où }\ P'(x)-3P(x)=2-x+3x^2\Longleftrightarrow2ax+b-3(ax^2+bx+c)=2-x+3x^2 \\\phantom{\text{D'où }\ P'(x)=3P(x)+2-x+3x^2}\Longleftrightarrow2ax+b-3ax^2-3bx-3c=2-x+3x^2 \\\phantom{\text{D'où }\ P'(x)=3P(x)+2-x+3x^2}\Longleftrightarrow-3ax^2+(2a-3b)x+b-3c=3x^2-x+2
Par identification des coefficients des termes de mêmes puissances de x , nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}-3a=3\\2a-3b=-1\\b-3c=2\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\2\times(-1)-3b=-1\\b-3c=2\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\-2-3b=-1\\b-3c=2\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\-3b=1\\b-3c=2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWW..}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\b=-\dfrac{1}{3}\\-\dfrac{1}{3}-3c=2\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\b=-\dfrac{1}{3}\\\\-3c=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\b=-\dfrac{1}{3}\\\\c=-\dfrac{7}{9}\end{matrix}\right.

Par conséquent,  \boxed{P(x)=-x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{7}{9}}

1. c)  Résoudre l'équation différentielle y'  - 3y  = 0.   (1)

y'-3y=0\Longleftrightarrow y'=3y
L'ensemble des solutions de cette équation est l'ensemble des fonctions f  définies par  \overset{^.}{\boxed{f(x) = k.\,\text{e}^{3x}\ \ \  \text{avec }k\in\R}}

{\red{1.\ \text{d)}\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)\Longleftrightarrow f'-3f=0 \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow f'=3f \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow P'-f'=P'-3f \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow P'-f'=(3P+Q)-3f \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow (P-f)'=3(P-f)+Q \\\phantom{{\red{1.\ d)\ }}\ f\ \text{est solution de }(1)}\Longleftrightarrow P-f\text{ est solution de l'équation }y'=3y+Q\ \ \ (2) \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\text{avec }Q(x)=3x^2-x+2. \\\text{Par conséquent, } \\\ {\blue{f\ \text{est solution de }(1)\Longleftrightarrow P-f\text{ est solution de l'équation }y'=3y+Q\ \ \ (2)}} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}{\blue{\text{avec }Q(x)=3x^2-x+2.}}

1. e)  La fonction f  définie par  f(x) = k.\,\text{e}^{3x}\ \ \  \text{avec }k\in\R  est solution de (1).
En utilisant la question 1.c), nous en déduisons que P  - f  est solution de l'équation y'  = 3y  + Q ,
soit que pour tout x  réel, les fonctions y  définies par  y(x)=-x^2-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{7}{9}- k.\,\text{e}^{3x}  sont les solutions de l'équation différentielle y'  - 3y  = 3x2 - x  + 2.

2. a)  Soit omega un nombre réel constant non nul.
Les solutions de l'équation différentielle y''  + omega2y  = 0 sont de la forme : y  = a  sin(omegax ) + b  cos(omegax )a  et b  sont des nombres réels constants.
Dès lors, les solutions de l'équation différentielle  {y}''+\dfrac{1}{4}y=0\ (3)   sont les fonctions f  définies par  f(x)=a\sin\dfrac{x}{2}+b\cos\dfrac{x}{2}\ \ \ \ \ \ (a, b\in\R)

2. b) Les solutions de l'équation (3) sont les fonctions f  définies par  f(x)=a\sin\dfrac{x}{2}+b\cos\dfrac{x}{2}\ \ \ \ \ \ (a, b\in\R)
\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f(\pi)=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\sin0+b\cos0=0\\a\sin\dfrac{\pi}{2}+b\cos\dfrac{\pi}{2}=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\times0+b\times1=0\\a\times1+b\times0=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=0\\a=\sqrt{3}\end{matrix}\right.
Par conséquent, la solution f  de l'équation (3) qui vérifie  f(0)=0  et  f(\pi)=\sqrt{3}  est la fonction f  définie par  \boxed{f(x)=\sqrt{3}\sin\dfrac{x}{2}}.

12 points

probleme

Partie I   (\text{3,5 points})

Soit (Un ) la suite réelle définie par  \left\lbrace\begin{matrix}U_0\neq0,\ \ U_0\neq-\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U_{n+1}=2U_n^2+U_n\ \ \ \ (n\in\N)\end{matrix}\right.

1.  Montrons que pour tout entier naturel n , Un  different 0.
Nous savons que U0 different 0.
Montrons par l'absurde que pour tout entier naturel n  , Un  different 0.
Supposons que pour tout entier naturel n  , Un = 0.
Etant donné que  U_{n+1}=2U_n^2+U_n , ,nous en déduirions que  U_{n+1}=0.
Dès lors, la suite (Un ) serait une suite constante nulle.
Nous aurions alors U0 = 0, ce qui est absurde.
Par conséquent, pour tout entier naturel n  , Un  different 0.

De plus,  U_{n+1}=2U_n^2+U_n\Longrightarrow U_{n+1}-U_n=2U_n^2
                                                               \Longrightarrow U_{n+1}-U_n\ge0
Or nous venons de montrer que Un  different 0.
D'où  \boxed{U_{n+1}-U_n>0}
Par conséquent, la suite (Un ) est strictement croissante.

2.  Si la suite (Un ) converge, alors posons  \overset{^.}{U=\lim\limits_{n\to+\infty}U_n}.  
Dans ce cas, U  = 2U 2 + U , soit 2U 2 = 0, soit U  = 0. 
Par conséquent, si la suite (Un ) converge, alors  \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=0}  

3.  Supposons que  U_0+2U_0^2>0.

3. a)  Dressons le tableau de signe de  U_0+2U_0^2.

\begin{matrix}\boxed{U_0+2U_0^2=U_0(1+2U_0)} \\\\ 1+2U_0<0\Longleftrightarrow 2U_0<-1 \\\phantom{1+2U_0<0} \Longleftrightarrow U_0<-\dfrac{1}{2} \\\\ 1+2U_0=0\Longleftrightarrow 2U_0=-1 \\\phantom{1+2U_0=0} \Longleftrightarrow U_0=-\dfrac{1}{2} \\\\ 1+2U_0>0\Longleftrightarrow 2U_0>-1 \\\phantom{1+2U_0>0} \Longleftrightarrow U_0>-\dfrac{1}{2}\end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ U_0&&&-\dfrac{1}{2}&&0&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&& \\U_0&-&-&-&-&0&+&+\\1+2U_0&-&-&0&+&+&+&+\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\U_0(1+2U_0)&{\red{+}}&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&{\red{+}}\\=U_0+2U_0^2&&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

Donc  \boxed{U_0+2U_0^2>0\Longleftrightarrow U_0<-\dfrac{1}{2}\ \ \text{ou }\ \ \ U_0>0}

3. b)  Supposons que la suite (Un ) est majorée.
Nous avons montré que cette suite est strictement croissante.
Elle est donc convergente et sa limite est égale à 0 (voir question 2).
Or nous venons de montrer que  U_0>0.
Dès lors, vu que la suite (Un ) est strictement croissante, il est impossible qu'elle converge vers 0.
D'où cette suite n'est pas majorée.
Par conséquent, la suite (Un ) diverge.

4.  Supposons que  U_0+2U_0^2<0.

4. a) En nous aidant du tableau de signes de la question 3.a), nous déduisons que  \overset{^.}{\boxed{U_0+2U_0^2<0\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{2}<U_0<0}}

4. b)  Montrons par récurrence que si  U_0+2U_0^2<0 , alors pour tout n  de N, on a :  -\dfrac{1}{2}<U_n<0.

Initialisation : Montrons que  -\dfrac{1}{2}<U_0<0.
Évident par la question 4. a).
Hérédité : Si pour un nombre naturel n fixé, nous avons :   -\dfrac{1}{2}<U_n<0 , alors montrons que  {\blue{-\dfrac{1}{2}<U_{n+1}<0}}  
Nous savons par définition de la suite (Un ) que  U_{n+1}=2U_n^2+U_n.
\text{Or }\ -\dfrac{1}{2}<U_n<0\Longrightarrow 0<U_n^2<\dfrac{1}{4} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ 0<U_n<-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow 0<2U_n^2<\dfrac{1}{2}} \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}0<2U_n^2<\dfrac{1}{2}\\-\dfrac{1}{2}<U_n<0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ -\dfrac{1}{2}<2U_n^2+U_n<\dfrac{1}{2}\ \ \ \ \ (\text{par addition}) \\\phantom{\text{D'où }WWWWW..WW.}\Longrightarrow\ \ \ -\dfrac{1}{2}<U_{n+1}<\dfrac{1}{2} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où }.WWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\blue{-\dfrac{1}{2}<U_{n+1}}}}}

\text{De même }\ -\dfrac{1}{2}<U_n<0\Longrightarrow -1<2U_n<0 \\\phantom{\text{De même  }\ \,0<U_n<-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow 0<2U_n+1<1 \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}2U_n+1>0\\ {\blue{-\dfrac{1}{2}}}<{\blue{U_n}}<{\blue{0}}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ {\blue{-\dfrac{1}{2}}}(2U_n+1)<{\blue{U_n}}(2U_n+1)<{\blue{0}} \\\phantom{\text{D'où }WWWWW..WW.}\Longrightarrow\ \ \ U_n(2U_n+1)<0 \\\overset{}{\phantom{\text{D'où }WWWWW..WW.}\Longrightarrow\ \ \ 2U_n^2+U_n<0} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où }.WWWWWWW.}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\blue{U_{n+1}<0}}}}
Par conséquent, la relation  {\blue{-\dfrac{1}{2}<U_{n+1}<0}}  est démontré et l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous en déduisons par récurrence que si  U_0+2U_0^2<0 , alors pour tout n  de N, on a :  -\dfrac{1}{2}<U_n<0.

4. c)  Nous savons par la question 1. que la suite (Un ) est strictement croissante.
De plus, nous venons de montrer que si  U_0+2U_0^2<0 , alors la suite (Un ) est bornée supérieurement par 0.
Nous en déduisons que la suite (Un ) est convergente si  U_0+2U_0^2<0 .

Partie II   (\text{3 points})

Soit f  l'application de  \mathcal{P}  dans lui-même qui à tout point M  d'affixe z  associe le point M'  d'affixe z'  = 2z 2 + z .

{\red{1.\ \text{a) }}}\ f(M)=M\Longleftrightarrow 2z^2+z=z \\\phantom{{\red{1.\ \text{a) }}}\ f(M)=M}\Longleftrightarrow 2z^2=0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{a) }}}\ f(M)=M}\Longleftrightarrow z^2=0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{a) }}}\ f(M)=M}\Longleftrightarrow z=0
Par conséquent, le seul point invariant par f  est l'origine O  du repère.

{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M\Longleftrightarrow f(f(M))=M \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow  f(M')=M} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow 2z'\,^2+z'=z} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow 2(2z^2+z)^2+(2z^2+z)=z} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow 2(2z^2+z)^2+2z^2=0} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ (fof)(M)=M}\Longleftrightarrow (2z^2+z)^2+z^2=0\ \ \ \ \ \ (\text{en divisant par 2})}
                                                   \\\overset{^.}{\Longleftrightarrow [z(2z+1)]^2+z^2=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z^2(2z+1)^2+z^2=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z^2[(2z+1)^2+1]=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z^2=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ (2z+1)^2+1=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 4z^2+4z+2=0} \\\overset{}{\Longleftrightarrow z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 2z^2+2z+1=0}

Résolvons dans C l'équation 2z 2 + 2z  + 1 = 0.
Discriminant : deltamaj = 22 - 4 multiplie 2 multiplie 1 = 4 - 8 = -4 = (2i)2. 
\text{Racines : }z_1=\dfrac{-2-2\text{i}}{2\times2}=\dfrac{2(-1-\text{i})}{2\times2}=\dfrac{-1-\text{i}}{2}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i} \\\\\phantom{\text{Racines : }}z_2=\dfrac{-2+2\text{i}}{2\times2}=\dfrac{2(-1+\text{i})}{2\times2}=\dfrac{-1+\text{i}}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}

\text{D'où }(fof)(M)=M\Longleftrightarrow \left(z=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ z=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\ \ \ \text{ou}\ \ \ z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}\right)
Par conséquent, les points invariants par f of  sont les points d'affixes  0,\ -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\ \ \ \text{et}\ \ -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}.

2.  Soient les points  A(\dfrac{1}{2}\text{i}),\ B(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i})\ \ \ \text{et}\ \ I(-\dfrac{1}{4}).

2. a)   Notons a'  l'affixe du point f (A ). 
a'=2\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^2+\dfrac{1}{2}\text{i} \\\phantom{a'}=2\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}\text{i} \\\Longrightarrow\boxed{a'=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}}
Donc les coordonnées du point f (A ) sont  \left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right).

Notons b'  l'affixe du point f (B ). 
b'=2\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\right)^2-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i} \\\overset{}{\phantom{a'}=2\times\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\text{i}-\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}} \\\overset{}{\phantom{a'}=2\times\left(\dfrac{1}{2}\text{i}\right)-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}} \\\overset{}{\phantom{a'}=\text{i}-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}} \\\overset{}{\Longrightarrow\boxed{b'=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i}}}
Donc les coordonnées du point f (B ) sont  \left(-\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2}\right).

2. b)  Soit z 0 l'affixe du point M 0.
f(M)=f(M_0)\Longleftrightarrow2z^2+z=2z_0^2+z_0 \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow2z^2-2z_0^2+z-z_0=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow2(z^2-z_0^2)+z-z_0=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow2(z-z_0)(z+z_0)+(z-z_0)=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow(z-z_0)\,[2(z+z_0)+1]=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow(z-z_0)\,(2z+2z_0+1)=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow z-z_0=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 2z+2z_0+1=0} \\\overset{}{\phantom{f(M)=f(M_0)}\Longleftrightarrow z=z_0\ \ \ \text{ou}\ \ \ 2z=-2z_0-1} \\\text{D'où }\ \boxed{f(M)=f(M_0)\Longleftrightarrow z=z_0\ \ \ \text{ou}\ \ \ z=-z_0-\dfrac{1}{2}}

  z  = z 0 traduit le fait que M  = M 0.
   z=-z_0-\dfrac{1}{2}  traduit le fait que M  = S (M 0 ) où S  est un similitude directe du plan de rapport k  = |-1| = 1 et d'angle theta = arg(-1) = pi.
Autrement dit S  est une rotation d'angle pi et de centre omegamaj dont nous allons déterminer l'affixe omega. 
\omega=-\omega-\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow2\omega=-\dfrac{1}{2} \\\overset{}{\phantom{\omega=-\omega-\dfrac{1}{2}}\Longleftrightarrow\omega=-\dfrac{1}{4}}.
Par conséquent, S  est une rotation d'angle pi et de centre  \Omega  d'affixe  -\dfrac{1}{4}.

Partie III   (\text{5,5 points})

1.  Soient  (\mathcal{H})  l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x  et y  vérifient :  2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0  et (P ) l'ensemble des points du plan dont les coordonnées x  et y  vérifient :  2y^2+x=0.

{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2y^2+x=0\Longleftrightarrow 2y^2=-x \\\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2y^2+x=0}\Longleftrightarrow \boxed{y^2=-\dfrac{1}{2}x}
Par conséquent, (P ) est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère, le foyer est  F\,(-\dfrac{1}{8}\,;\,0) et dont la directrice d  admet comme équation  x=\dfrac{1}{8}.

{\red{1.\ \text{b)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0\Longleftrightarrow x^2-y^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}=0 \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0}\Longleftrightarrow x^2+\dfrac{1}{2}x-y^2=-\dfrac{1}{4}} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0}\Longleftrightarrow (x^2+\dfrac{1}{2}x\,{\blue{+\dfrac{1}{16}}})-y^2=-\dfrac{1}{4}\,{\blue{+\dfrac{1}{16}}}} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0}\Longleftrightarrow (x+\dfrac{1}{4})^2-y^2=-\dfrac{3}{16}} \\\overset{}{\phantom{{\red{1.\ \text{a)} }}\ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}=0}\Longleftrightarrow \boxed{\dfrac{(x+\dfrac{1}{4})^2}{\dfrac{3}{16}}-\dfrac{y^2}{\dfrac{3}{16}}=-1}}
Par conséquent,  (\mathcal{H})  est une hyperbole équilatère dont les coordonnées des sommets sont  (-\dfrac{1}{4}\,;\,-\dfrac{\sqrt{3}}{4})  et  (-\dfrac{1}{4}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{4}) . Les équations des deux asymptotes sont :  y=x+\dfrac{1}{4}  et  y=-x-\dfrac{1}{4} .

\text{\red{2. \text{a)}}}\ \text{ Soient }\ \ (\mathcal{H}_1):\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}<x<0\\2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \text{et}\ \ \ \ (P_1):\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}<x<0\\\overset{}{2y^2+x<0}\end{matrix}\right.

Montrons que  (P_1)  est inclus dans  (\mathcal{H}_1) .
Soit un point quelconque M(x ; y) appartenant à  (P_1) . 
Montrons que M(x ; y) appartient à  (\mathcal{H}_1) . 
\text{D'une part, }x>-\dfrac{1}{2}\Longrightarrow x+\dfrac{1}{2}>0 \\\overset{}{\phantom{\text{D'une part, }x>-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow (x+\dfrac{1}{2})^2>0} \\\phantom{\text{D'une part, }x>-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow x^2+x+\dfrac{1}{4}>0 \\\phantom{\text{D'une part, }x>-\dfrac{1}{2}}\Longrightarrow {\blue{2x^2+2x+\dfrac{1}{2}>0}} \\\\\text{D'autre part, }2y^2+x<0\Longrightarrow{\blue{-2y^2-x>0}} \\\\\text{D'où}\left\lbrace\begin{matrix}{\blue{2x^2+2x+\dfrac{1}{2}>0}}\\ {\blue{-2y^2-x>0}}\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par addition}}{\Longrightarrow}\ \ \ 2x^2+2x+\dfrac{1}{2}-2y^2-x>0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \ \ \ 2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}>0
Nous en déduisons que le point M(x ; y) appartient à  (\mathcal{H}_1) . 
Par conséquent,  (P_1)  est inclus dans  (\mathcal{H}_1) .

\text{\red{2. \text{b)}}}\ \text{ Soient }\ \ (P_1):\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}<x<0\\\overset{}{2y^2+x<0}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \text{et}\ \ \ \ (E):||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2},\ \ \ \ \text{avec }K(-\dfrac{1}{2}\,;\,0).

Montrons que  (P_1)  est inclus dans  (E) .
Soit un point quelconque M(x  ; y ) appartenant à  (P_1) . 
Montrons que M(x  ; y ) appartient à  (E) en montrant que  ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}. 
\text{Or }\ ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow||\overrightarrow{MK}||^2<\dfrac{1}{4} \\\phantom{\text{Or }\ ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}}\Longleftrightarrow(x+\dfrac{1}{2})^2+y^2<\dfrac{1}{4} \\\phantom{\text{Or }\ ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}}\Longleftrightarrow x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2<\dfrac{1}{4} \\\phantom{\text{Or }\ ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2}}\Longleftrightarrow x^2+x+y^2<0
Nous devons donc montrer que si M(x  ; y ) appartient à  (P_1) , alors  {\blue{x^2+y^2+x<0}} . M(x\,;\,y)\in(P_1)\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}<x<0 \\\overset{}{\phantom{M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow-1<2x<0} \\\overset{}{\phantom{M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\2x+1>0\end{matrix}\right.} \\\overset{}{\phantom{M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow x(2x+1)<0} \\\overset{}{\phantom{M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow \boxed{2x^2+x<0}} \\\\M(x\,;\,y)\in(P_1)\Longrightarrow\boxed{2y^2+x<0} \\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}2x^2+x<0\\2y^2+x<0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \underset{\text{par addition}}{\Longrightarrow}2x^2+2y^2+2x<0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{{\blue{x^2+y^2+x<0}}}
Nous en déduisons que  ||\overrightarrow{MK}||<\dfrac{1}{2} c'est-à-dire que le point M(x ; y) appartient à  (E) . 
Par conséquent,  (P_1)  est inclus dans  (E) .

\text{\red{2. \text{c)}}}\ M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{2}<x<0\\2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}>0\end{matrix}\right.

Soit M'  = f (M ) dont les coordonnées sont (x'  ; y' ).
Nous devons montrer que  \overset{^.}{-\dfrac{1}{2}<x'<0} .

M'=f(M)\Longleftrightarrow x'+\text{i}y'=2(x+\text{i}y)^2+(x+\text{i}y) \\\phantom{M'=f(M)}\Longleftrightarrow x'+\text{i}y'=2(x^2+2\text{i}xy-y^2)+x+\text{i}y \\\phantom{M'=f(M)}\Longleftrightarrow x'+\text{i}y'=2x^2+4\text{i}xy-2y^2+x+\text{i}y \\\phantom{M'=f(M)}\Longleftrightarrow x'+\text{i}y'=(2x^2-2y^2+x)+\text{i}(4xy+y) \\\\\Longrightarrow \boxed{x'=2x^2-2y^2+x}

\text{D'une part, }M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)\Longrightarrow2x^2-2y^2+x+\dfrac{1}{2}>0 \\\phantom{\text{D'une part, }M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)}\Longrightarrow2x^2-2y^2+x>-\dfrac{1}{2} \\\phantom{\text{D'une part, }M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)}\Longrightarrow\boxed{x'>-\dfrac{1}{2}}

\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(\mathcal{H}_1)\Longrightarrow-\dfrac{1}{2}<x<0 \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow-1<2x<0} \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\2x+1>0\end{matrix}\right.} \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow x(2x+1)<0} \\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }M(x\,;\,y)\in(E)}\Longrightarrow 2x^2+x<0} \\\\\overset{}{\phantom{\text{D'autre part, }}\text{et }\left\lbrace\begin{matrix}2x^2+x<0\\-2y^2\le0\end{matrix}\right.}\ \ \ \ \underset{\text{par addition}}{\Longrightarrow}2x^2-2y^2+x<0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{x'<0}
D'où  \overset{^.}{-\dfrac{1}{2}<x'<0} .
Par conséquent, f (M ) est tel que son abscisse appartient à l'intervalle  ]-\dfrac{1}{2}\,;\,0[.

3.  Soit pour tout entier naturel n , le point Mn  dont les coordonnées sont (xn  ; yn ).
Dès lors, l'affixe de Mn  est z_n=x_n+\text{i}y_n.
Nous savons que a_n=|z_n|=\sqrt{x_n^2+y_n^2}.
Montrons que la suite (an ) est bornée.
\forall n\in\N,\ -\dfrac{1}{2}<x_n<0\Longrightarrow\boxed{0<x_n^2<\dfrac{1}{4}}
Selon l'énoncé, nous savons que pour tout entier naturel n ,  f(M_n)\in(P_1) ,
soit que pour tout entier naturel non nul n ,  M_n\in(P_1).  
\forall n\in\N^*,\,\left\lbrace\begin{matrix}2y^2_n+x_n<0\\\overset{}{-\dfrac{1}{2}<x_n<0} \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2y^2_n<-x_n\\\overset{}{0<-x_n<\dfrac{1}{2}} \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\forall n\in\N^*,\,2y^2_n+x_n<0nn}\Longrightarrow 0\le 2y^2_n<\dfrac{1}{2} \\\overset{}{\phantom{\forall n\in\N^*,\,2y^2_n+x_n<0nn}\Longrightarrow \boxed{0\le y^2_n<\dfrac{1}{4}}}
\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}0<x_n^2<\dfrac{1}{4}\\\overset{}{0\le y_n^2<\dfrac{1}{4}}\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ 0<x_n^2+y_n^2<\dfrac{1}{2} \\\phantom{WWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ 0<\sqrt{x_n^2+y_n^2}<\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\\overset{}{\phantom{WWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{0<a_n<\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}
Nous en déduisons que la suite (an ) est bornée.

Montrons que la suite (an ) est strictement décroissante.
Pour tout entier naturel n , montrons que  a_{n}>a_{n+1} , soit que  \sqrt{x_n^2+y_n^2}>\sqrt{x_{n+1}^2+y_{n+1}^2}.
Montrons donc que x_n^2+y_n^2>x_{n+1}^2+y_{n+1}^2 , soit que  \boxed{(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)>0}.

(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)=(x_n^2-x_{n+1}^2)+(y_n^2-y_{n+1}^2) \\\overset{}{\phantom{(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)}=(x_n-x_{n+1})(x_n+x_{n+1})+(y_n-y_{n+1})(y_n+y_{n+1})}
En utilisant l'exercice 2, nous savons que :  
M_{n+1}=f(M_n)\Longleftrightarrow x_{n+1}+\text{i}y_{n+1}=(2x_{n}^2-2y_{n}^2+x_{n})+\text{i}(4x_{n}y_{n}+y_{n}) \\\\\phantom{M_{n+1}=f(M_n)}\Longrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_{n+1}=2x_{n}^2-2y_{n}^2+x_{n}\\y_{n+1}=4x_{n}y_{n}+y_{n}\end{matrix}\right.}
Dès lors,

(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)\\\overset{}{=(x_n-x_{n+1})(x_n+x_{n+1})+(y_n-y_{n+1})(y_n+y_{n+1})} \\\overset{}{=(x_n-(2x_{n}^2-2y_{n}^2+x_{n}))(x_n+(2x_{n}^2-2y_{n}^2+x_{n}))+(y_n-(4x_{n}y_{n}+y_{n}))(y_n+(4x_{n}y_{n}+y_{n}))} \\\overset{}{=(-2x_{n}^2+2y_{n}^2)(2x_{n}^2-2y_{n}^2+2x_{n})-4x_{n}y_{n}(4x_{n}y_{n}+2y_{n})} \\\overset{}{=4[(y_{n}^2-x_{n}^2)(x_{n}^2-y_{n}^2+x_{n})-x_{n}y_{n}(4x_{n}y_{n}+2y_{n}]} 
\\\overset{^.}{=4(x_{n}^2y_{n}^2-y_n^4+x_ny_n^2-x_n^4+x_n^2y_n^2-x_n^3-4x_n^2y_n^2-2x_ny_n^2)} \\\overset{}{=4(-x_n^4-y_n^4-2x_n^2y_n^2-x_ny_n^2-x_n^3)} \\\overset{}{=4[-(x_n^4+y_n^4+2x_n^2y_n^2)-x_n(y_n^2+x_n^2)]} \\\overset{}{=4[-(x_n^2+y_n^2)^2-x_n(y_n^2+x_n^2)]} \\\overset{}{=4(x_n^2+y_n^2)[-(x_n^2+y_n^2)-x_n]} \\\overset{}{=-4(x_n^2+y_n^2)(x_n^2+y_n^2+x_n)} 

Or nous savons par la question 2.b) que  {\blue{x_n^2+y_n^2+x_n<0}}

\text{Dès lors, }\ \left\lbrace\begin{matrix} \overset{}{-4<0}\\\overset{}{x_n^2+y_n^2>0}\\\overset{}{x_n^2+y_n^2+x_n<0}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow{\blue{-4(x_n^2+y_n^2)(x_n^2+y_n^2+x_n)>0}} \\\\\text{D'où }\ (x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)=-4(x_n^2+y_n^2)(x_n^2+y_n^2+x_n)>0 \\\\\Longrightarrow\boxed{(x_n^2+y_n^2)-(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)>0}
Par conséquent, la suite (an ) est strictement décroissante.
Étant bornée et strictement décroissante, nous en déduisons la suite (an ) converge.
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