Bac C-E 1er tour Burkina Faso 2019
Les calculatrices ne sont pas autorisées.
4 points exercice 1
1. a) Rappel : Le nombre de combinaisons de
p éléments distincts parmi
n éléments distincts est :
card est le nombre de combinaisons de 3 chevaux parmi 10.
1. b) Soit l'événement A : "
Parmi les trois chevaux, il y a au plus un étalon. "
"Au plus un étalon" correspond à "0 étalon" ou "un étalon".
Le nombre de groupements de 3 chevaux dont "0 étalon" est le nombre de combinaisons de 3 juments parmi les 6 juments :
Le nombre de groupements de 3 chevaux dont "1 étalon" est le nombre de groupements composés de 1 étalon parmi les 4 étalons et 2 juments parmi les 6 juments. :
D'où, il y a 20 + 60 = 80 groupements de trois chevaux comportant au plus un étalon, soit
card A = 80.
Etant donné que tous les animaux ont la même probabilité d'être vendus,
Soit l'événement B : "
Parmi les trois chevaux, il y a au moins une jument. "
Alors l'événement contraire de B est
: "
Parmi les trois chevaux, il n'y a aucune jument. "
Puisque les événements B et
sont contraires, nous avons :
Calculons
Le nombre de groupements de 3 chevaux sans jument est le nombre de combinaisons de 3 étalons parmi les 4 étalons :
Dès lors,
Par conséquent,
2. Le prix de vente le plus bas que puisse proposer l'éleveur sera obtenu en vendant 3 juments puisqu'une jument est vendue à un prix moindre qu'un étalon.
Or le prix de vente de 3 juments est égal à 3
400 000 = 1 200 000 francs.
Il est donc impossible d'obtenir un prix de vente total qui soit moins de 1 200 000 francs.
Par conséquent,
3. Coût total de la scolarité des trois enfants : 800 000 + 400 000 + 80 000 =
1 280 000 francs.
Nous avons montré dans la question 2. que le prix de vente de 3 juments s'élève à 1 200 000 francs, ce qui est inférieur à 1 280 000 francs.
Donc la vente de trois juments ne couvre pas la scolarité totale des trois enfants.
Le prix de vente de 2 juments et 1 étalon est égal à 2
400 000 + 500 000 = 1 300 000 francs.
Nous en déduisons que pour couvrir la scolarité totale des enfants,
l'éleveur devra vendre trois chevaux dont au moins un étalon.
Soit l'événement D : "
Parmi les trois chevaux, il y a au moins un étalon. "
Alors l'événement contraire de D est
: "
Parmi les trois chevaux, il n'y a aucun étalon. "
Puisque les événements D et
sont contraires, nous avons :
Calculons
Le nombre de groupements de 3 chevaux sans étalon est égal à 20 (voir réponse 1. b).
Dès lors,
et
Par conséquent,
la probabilité que cet éleveur puisse payer la scolarité totale de ses enfants en prélevant trois chevaux au hasard est égale à
4. Les différents prix de vente des trois chevaux sont les suivants :
pour 3 juments : 3
400 000 = 1 200 000 francs.
pour 2 juments et 1 étalon : 2
400 000 + 500 000 = 1 300 000 francs.
pour 1 jument et 2 étalons : 400 000 + 2
500 000 = 1 400 000 francs.
pour 3 étalons : 3
500 000 = 1 500 000 francs.
Nous savons par la question 1b) qu'il y a 20 groupements possibles de 3 juments.
Donc
Nous savons par la question 1b) qu'il y a 60 groupements possibles de 2 juments et un étalon.
Donc
Le nombre de groupements de 3 chevaux dont une jument est le nombre de groupements composés de 2 étalons parmi les 4 étalons et 1 jument parmi les 6 juments. :
Donc
Nous savons par la réponse 1b) qu'il y a 4 groupements possibles de 3 étalons.
Donc
Ci-dessous, un tableau résumant la loi de probabilité de la variable aléatoire
X .
4 points exercice 2
1. a) Le degré du polynôme
P est
n (
n *) et le degré du polynôme
P' est au plus égal à (
n -1).
Par conséquent,
le degré du polynôme P' - 3P est n .
1. b)
Donc
P' - 3
P est un polynôme du deuxième degré et par suite,
P est un polynôme du deuxième degré.
Dès lors,
P (
x ) est de la forme
ax 2 +
bx +
c (
a 0).
Par identification des coefficients des termes de mêmes puissances de
x , nous obtenons :
Par conséquent,
1. c) Résoudre l'équation différentielle
y' - 3y = 0. (1)
L'ensemble des solutions de cette équation est l'ensemble des fonctions
f définies par
1. e) La fonction
f définie par
est solution de (1).
En utilisant la question 1.c), nous en déduisons que
P -
f est solution de l'équation
y' = 3
y +
Q ,
soit que
pour tout x réel, les fonctions y définies par sont les solutions de l'équation différentielle y' - 3y = 3x2 - x + 2.
2. a) Soit
un nombre réel constant non nul.
Les solutions de l'équation différentielle
y'' +
2y = 0 sont de la forme :
y = a sin(x ) + b cos(x ) où
a et
b sont des nombres réels constants.
Dès lors,
les solutions de l'équation différentielle sont les fonctions f définies par
2. b) Les solutions de l'équation (3) sont les fonctions
f définies par
Par conséquent,
la solution f de l'équation (3) qui vérifie et est la fonction f définie par .
12 points probleme
Partie I
Soit (
Un ) la suite réelle définie par
1. Montrons que pour tout entier naturel
n ,
Un 0.
Nous savons que
U0 0.
Montrons par l'absurde que pour tout entier naturel
n ,
Un 0.
Supposons que pour tout entier naturel
n ,
Un = 0.
Etant donné que
, ,nous en déduirions que
Dès lors, la suite (
Un ) serait une suite constante nulle.
Nous aurions alors
U0 = 0, ce qui est absurde.
Par conséquent,
pour tout entier naturel n , Un 0.
De plus,
Or nous venons de montrer que
Un 0.
D'où
Par conséquent,
la suite (Un ) est strictement croissante.
2. Si la suite (
Un ) converge, alors posons
Dans ce cas,
U = 2
U 2 +
U , soit 2
U 2 = 0, soit
U = 0.
Par conséquent,
si la suite (Un ) converge, alors
3. Supposons que
3. a) Dressons le tableau de signe de
Donc
3. b) Supposons que la suite (
Un ) est majorée.
Nous avons montré que cette suite est strictement croissante.
Elle est donc convergente et sa limite est égale à 0 (voir question 2).
Or nous venons de montrer que
Dès lors, vu que la suite (
Un ) est strictement croissante, il est impossible qu'elle converge vers 0.
D'où cette suite n'est pas majorée.
Par conséquent,
la suite (Un ) diverge.
4. Supposons que
4. a) En nous aidant du tableau de signes de la question 3.a), nous déduisons que
4. b) Montrons par récurrence que si
, alors pour tout
n de
, on a :
Initialisation : Montrons que
.
Évident par la question 4. a).
Hérédité : Si pour un nombre naturel n fixé, nous avons :
, alors montrons que
Nous savons par définition de la suite (
Un ) que
Par conséquent, la relation
est démontré et l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous en déduisons par récurrence que si
, alors pour tout
n de
, on a :
4. c) Nous savons par la question 1. que la suite (
Un ) est strictement croissante.
De plus, nous venons de montrer que si
, alors la suite (
Un ) est bornée supérieurement par 0.
Nous en déduisons que
la suite (Un ) est convergente si .
Partie II
Soit
f l'application de
dans lui-même qui à tout point
M d'affixe
z associe le point
M' d'affixe
z' = 2
z 2 +
z .
Par conséquent,
le seul point invariant par f est l'origine O du repère.
Résolvons dans
l'équation 2
z 2 + 2
z + 1 = 0.
Discriminant :
= 2
2 - 4
2
1 = 4 - 8 = -4 = (2i)
2.
Par conséquent,
les points invariants par f of sont les points d'affixes .
2. Soient les points
2. a) Notons
a' l'affixe du point
f (
A ).
Donc
les coordonnées du point f (A ) sont .
Notons
b' l'affixe du point
f (
B ).
Donc
les coordonnées du point f (B ) sont .
2. b) Soit
z 0 l'affixe du point
M 0.
z =
z 0 traduit le fait que
M =
M 0.
traduit le fait que
M =
S (
M 0 ) où
S est un similitude directe du plan de rapport
k = |-1| = 1 et d'angle
= arg(-1) =
.
Autrement dit
S est une rotation d'angle
et de centre
dont nous allons déterminer l'affixe
.
.
Par conséquent,
S est une rotation d'angle et de centre d'affixe .
Partie III
1. Soient
l'ensemble des points du plan dont les coordonnées
x et
y vérifient :
et (
P ) l'ensemble des points du plan dont les coordonnées
x et
y vérifient :
Par conséquent,
(P ) est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère, le foyer est et dont la directrice d admet comme équation
Par conséquent,
est une hyperbole équilatère dont les coordonnées des sommets sont et . Les équations des deux asymptotes sont : et .
Montrons que
est inclus dans
.
Soit un point quelconque M(x ; y) appartenant à
.
Montrons que M(x ; y) appartient à
.
Nous en déduisons que le point M(x ; y) appartient à
.
Par conséquent,
est inclus dans .
Montrons que
est inclus dans
.
Soit un point quelconque M(
x ;
y ) appartenant à
.
Montrons que M(
x ;
y ) appartient à
en montrant que
.
Nous devons donc montrer que si M(
x ;
y ) appartient à
, alors
.
Nous en déduisons que
c'est-à-dire que le point M(x ; y) appartient à
.
Par conséquent,
est inclus dans .
Soit
M' =
f (
M ) dont les coordonnées sont (
x' ;
y' ).
Nous devons montrer que
.
D'où
.
Par conséquent,
f (M ) est tel que son abscisse appartient à l'intervalle
3. Soit pour tout entier naturel
n , le point
Mn dont les coordonnées sont (
xn ;
yn ).
Dès lors, l'affixe de
Mn est
Nous savons que
Montrons que la suite (
an ) est bornée.
Selon l'énoncé, nous savons que pour tout entier naturel
n ,
,
soit que pour tout entier naturel
non nul n ,
Nous en déduisons que
la suite (an ) est bornée.
Montrons que la suite (
an ) est strictement décroissante.
Pour tout entier naturel
n , montrons que
, soit que
.
Montrons donc que
, soit que
.
En utilisant l'exercice 2, nous savons que :
Dès lors,
Or nous savons par la question 2.b) que
Par conséquent,
la suite (an ) est strictement décroissante.
Étant bornée et strictement décroissante, nous en déduisons
la suite (an ) converge.