Fiche de mathématiques
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Bac STMG 2019

Antilles -Guyane

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Durée : 3 heures

Coefficient : 3



5 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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Bac STMG Antilles Guyane 2019

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5 points

exercice 1

Partie A


{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ a.\ }{\red{0,04.}}}
La variable aléatoire X  suit une loi normale d'espérance mu et d'écart-type sigma.
La courbe de densité de cette loi admet la droite d'équation x  = 24 comme axe de symétrie.
Dès lors, mu = 24 et par conséquent, P (X  supegal 24) = 0,5.

P(X\ge24)=P(24\le X\le 31)+P(X\ge31)\Longleftrightarrow P(X\ge31)=P(X\ge24)-P(24\le X\le 31) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}P(X\ge24)=0,5\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\\\\P(24\le X\le 31)=P(17\le X\le 24)\ \ \ (\text{par symétrie de la courbe de densité})\\\approx0,46\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ P(X\ge31)\approx0,5-0,46 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge31)\approx0,04}

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b.\ }{\red{\mu=24\ \text{et }\ \sigma=4.}}}
La courbe de densité de cette loi admet la droite d'équation x = 24 comme axe de symétrie.
Dès lors,  {\red{\mu=24.}}
Deux réponses proposées indiquent : mu = 24.

Proposition a  : mu = 24 et sigma = 0,1.
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  P(17\le X\le24)\approx0,5 .
Or selon l'énoncé,  P(17\le X\le24)\approx0,46.
La proposition a  ne convient donc pas.

Proposition b : mu = 24 et sigma = 4.
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : P(17\le X\le24)\approx0,46 , ce qui correspond à la donnée de l'énoncé.
La proposition b  est donc correcte.

Partie B


{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ d.\ }}{\red{\text{L'équation }f(x)=0,5\ \text{admet trois solutions.}}}
Soit la fonction f  définie et dérivable sur l'intervalle [1 ; 4]
dont la courbe Cf  est représentée dans le repère
ci-dessous
    
Bac STMG Antilles Guyane 2019 : image 17
      
Le maximum de la fonction f  sur l'intervalle [1 ; 4] n'est pas égal à 1 car graphiquement, nous lisons que f (4) = 5 > 1 (voir les coordonnées du point E).
La réponse a n'est donc pas correcte.

La fonction f  n'est pas négative sur l'intervalle [2 ; 3] car la courbe Cf  est au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle [2 ; 2,5].
La réponse b n'est donc pas correcte.

L'image de f  par 1 n'est pas égale à 2 car graphiquement, nous lisons que f (1) = -4 (voir les coordonnées du point D), ce qui signifie que l'image de 1 par f  est égale à -4.
La réponse c n'est donc pas correcte.

L'équation f (x ) = 0,5 admet trois solutions car la courbe Cf  coupe la droite d'équation y  = 0,5 en trois points dont les abscisses sont les solutions de l'équation f (x ) = 0,5.
La réponse d est correcte.


{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b.\ }}{\red{\text{[2 ; 3].}}}
Graphiquement, nous observons que la fonction f  semble être décroissante sur l'intervalle [2 ; 3], ce qui implique que f' (x ) infegal 0 pour tout réel x  appartenant à l'intervalle [2 ; 3].
Par conséquent, la réponse b est correcte.

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b.\ }}{\red{f'(x)=6x^2-30x+36.}}

f'(x)=(2x^3-15x^2+36x-27)' \\\phantom{f'(x)}=2\times(x^3)'-15\times(x^2)'+36\times x'-27' \\\phantom{f'(x)}=2\times(3x^2)-15\times(2x)+36\times 1-0 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=6x^2-30x+36}

5 points

exercice 2

Partie A


1.  Arbre pondéré complété :
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{\red{2.\ }}\ P(M\cap W)=P(M)\times P_M(W) \\\phantom{{\red{2.\ }}\ P(M\cap W)}=0,7\times0,75 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ P(M\cap W)}=0,525 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M\cap W)=0,525}
Par conséquent, la probabilité que la fiche choisie corresponde à une vente du midi et une formule Wok est égale à 0,525.

3.  Nous devons déterminer P (B ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(B)= P(M\cap B)+P(S\cap B)  \\\phantom{P(B)}=P(M)\times P_{M}(B)+P(S)\times P_{S}(B) \\\phantom{P(B)}=0,7\times 0,25+0,3\times 0,6 \\\phantom{P(B)}=0,355 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(B)=0,355}

4.  Nous devons déterminer  P_{B}(S).

P_{B}(S)=\dfrac{P(S\cap B)}{P(B)} \\\\\phantom{P_{B}(S)}=\dfrac{P(S)\times P_S(B)}{P(B)}\\\\\phantom{P_{F}(M)}=\dfrac{0,3\times0,6}{0,355}  \\\\\Longrightarrow\boxed{{P_{B}(S)}\approx0,507}
Par conséquent, sachant qu'on a prélevé une fiche correspondant à la formule Burger , la probabilité que la vente ait eu lieu le soir est environ égale à 0,507 (arrondi au millième près).

Partie B

Dans sa publicité, le gérant souhaite afficher que 9 clients sur 10 sont satisfaits des formules qu'il propose.
D'où p  = 0,9.
120 clients sont servis au cours d'une journée.
D'où n = 120.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % est donné par  I=[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]

\text{soit }\ I_{120}=[0,9-\dfrac{1}{\sqrt{120}}\,;0,9+\dfrac{1}{\sqrt{120}}] \\\\\Longrightarrow\boxed{I_{120}\approx[0,808\,;0,992]}
La fréquence observée des clients satisfaits est  \overset{.}{\boxed{f=\dfrac{94}{120}\approx0,783}}
Nous remarquons que  f\notin I_{120}.
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, l'argument publicitaire du gérant doit être remis en cause.

6 points

exercice 3

Voici un aperçu d'une feuille de calcul regroupant le nombre de naissances dans un département français de 2009 à 2016.

         \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}&\text{I}\\\hline 1&\text{Année} &2009&2010&2011&2012&2013&2014&2015&2016\\\hline \text{2}&\text{Rang de l'année }x_i&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline 3&\text{Nombre de naissances }y_i&8\,304&8\,111&8\,041&7\,833&7\,644&7\,466&7\,199&6\,927\\\hline 4&\text{Indice }&100&&&&&&&\\\hline\end{array}

Partie A

1.  Les calculs à effectuer sont les suivants :

\dfrac{8111 \  {\red{\times\ 100}}}{{\red{8304}}}\,\ ;\ \dfrac{8041 \  {\red{\times\ 100}}}{{\red{8304}}}\,\ ;\ \dfrac{7833 \  {\red{\times\ 100}}}{{\red{8304}}}\,\ ;\ \dfrac{7644\ \  {\red{\times\ 100}}}{{\red{8304}}}\,\ ;\ \text{etc}

soit   \dfrac{C3 \  {\red{\times\ B4}}}{{\red{B3}}}\,\ ;\ \dfrac{C4 \  {\red{\times\ B4}}}{{\red{B3}}}\,\ ;\ \dfrac{C5 \  {\red{\times\ B4}}}{{\red{B3}}}\,\ ;\ \dfrac{C6 \  {\red{\times\ B4}}}{{\red{B3}}}\,\ ;\ \text{etc}

Dans chaque formule, les cellules B3 et B4 doivent être "bloquées", d'où la nécessité d'écrire le sigle $ pour ces cellules dans la formule.
Dès lors, la formule à saisir dans la cellule C4 pour obtenir, par recopie vers la droite, les indices jusqu'en 2016 est  \boxed{=C3*\$B\$4/\$B\$3}
Réponse  \textcircled{3}

2.  Le taux d'évolution global en pourcentage arrondi au dixième du nombre de naissances entre 2009 et 2016 est donné par le calcul suivant :
\overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2016}-\text{Valeur en 2009}}{\text{Valeur en 2009}}\times100}=\dfrac{6\,927-8\,304}{8\,304}\times100\approx-16,6
Donc le taux d'évolution global en pourcentage du nombre de naissances entre 2009 et 2016 est environ de -16,6 % (valeur arrondie à 0,1 % près).

3.  En utilisant la réponse de l'exercice 2, nous déduisons que le coefficient multiplicateur global Cg  pour la période allant de l'année 2009 à l'année 2016 est Cg  = 1 - 0,166 = 0,834.
Puisque 7 années se sont écoulées entre 2009 et 2016, le coefficient multiplicateur annuel moyen est  \overset{.}{C_m=0,834^{\frac{1}{7}}\approx0,9744}  (valeur arrondie au dix-millième).
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à   C_m-1=-0,0256  (valeur arrondie au dix-millième).

Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen (en pourcentage) du nombre de naissances entre 2009 et 2016 est égal à -0,0256 multiplie 100 = -2,56 %, soit environ -2,6 % (arrondi au dixième près).

Partie B

1.  L'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = -191,82142 et b  = 8553,82142.
Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de y  en x  est y  = -191,82x  + 8553,82 (avec les coefficients réduits au centième).

2.  Dans la suite, nous choisirons la droite deltamaj d'équation y  = -192x  + 8 554 comme ajustement affine du nuage de points.

2. a.  Déterminons les coordonnées de deux points de la droite deltamaj.
Remplaçons x  par 0 dans l'équation de la droite deltamaj.
y  = -192 multiplie 0 + 8 554 = 8 554.
Remplaçons x  par 10 dans l'équation de la droite deltamaj.
y  = -192 multiplie 10 + 8 554 = 6 634.
Par conséquent, les points de coordonnées (0 ; 8 554) et (10 ; 6 634) appartient à la droite deltamaj que nous avons tracée ci-dessous sur le repère donné.

Bac STMG Antilles Guyane 2019 : image 16


2. b.  En 2020, le rang de l'année est égal à 12.

Solution graphique (approximative) :
Graphiquement, nous observons que le point de la droite deltamaj dont l'abscisse est 12 possède une ordonnée égale à environ 6250.
Donc, nous pouvons estimer graphiquement qu'en 2020, il y aura environ 6250 naissances dans le département concerné.

Solution algébrique :
Remplaçons x  par 12 dans l'équation de la droite deltamaj.
y  = -192 multiplie 12 + 8554 = 6250.
Par conséquent, d'après ce modèle, nous pouvons estimer qu'en 2020, il y aura environ 6250 naissances dans le département concerné.

4 points

exercice 4

1.  Une augmentation de 5,4 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,054 = 1,054.

\text{D'où }\ u_1=300\times1,054\Longrightarrow\boxed{u_1=316,2} \\\phantom{\text{D'où }\ }u_2=316,2\times1,054\Longrightarrow\boxed{u_2\approx333,27}

2.  La suite (un ) est une suite géométrique de raison q  = 1,054 et dont le premier terme est u 0 = 300.
Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{\boxed{u_n=300\times1,054^{n}}}

3. a.  Algorithme complété :

            \begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow2017\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow300\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }U<450\ \ \text{faire}\  \\N\longleftarrow {\red{N+1}}\\\ \ \ \ \ \ U\longleftarrow\,{\red{U\times1,054}} \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

3. b.  Tableau reprenant les premières valeurs contenues dans les variables U  et N .

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{N} &2017&2018&2019&2020&2021&2022&2023&2024&2025 \\\hline \text{U}&300&316,2&333,27&351,27&374,24&390,23&411,31&433,52&\cellcolor{red}{456,93>450} \\\hline \end{array}
D'où, après exécution de cet algorithme, la variable U  contient la valeur 456,93 et la variable N  contient la valeur 2025.
Par conséquent, en 2025, la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de 50 % par rapport à sa valeur de 2017 puisqu'elle aura dépassé 450 millions de tonnes.
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