Fiche de mathématiques
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Bac sciences expérimentales (série SVT et PC) - Maroc 2019 -

Rattrapage

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INSTRUCTIONS GENERALES


L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée.

Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient.
L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.

COEFFICIENT : 7

DURÉE : 3 HEURES



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Bac SVT-PC Maroc 2019 (Rattrapage)

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3 points

exercice 1

1. a)  \left\lbrace\begin{array}l A(1\ ;\,2\ ;\,2)\\B(3\,;\,-1\,;\,6)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3-1\\-1-2\\6-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}}
\left\lbrace\begin{array}l A(1\ ;\,2\ ;\,2)\\C(1\,;\,1\,;\,3)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1-1\\1-2\\3-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}}

\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix}-3&-1\\4&1\end{vmatrix}\vec{i}+\begin{vmatrix}4&1\\2&0\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}2&0\\-3&-1\end{vmatrix}\vec{k} \\\overset{}{\phantom{\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}}=(-3+4)\vec{i}+(0-2)\vec{j}+(-2+0)\vec{k}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}=\vec{i}-2\vec{j}-2\vec{k}}

1. b)  Le vecteur  \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}   étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{AB}   et  \overrightarrow{AC}   du plan (ABC), nous en déduisons que le vecteur  \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}   est normal au plan (ABC).
Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}   admet une équation cartésienne de la
forme  ax   + by   + cz   + d   = 0.
Puisque le vecteur  \overrightarrow{AB}\wedge \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\-2\\-2\end{pmatrix}   est normal au plan (ABC), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme x - 2y   - 2z   + d   = 0.

Or le point A(1 ; 2 ; 2) appartient au plan (ABC).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 1 - 2 multiplie 2 - 2 multiplie 2 + d = 0 , soit 1 - 4 - 4 + d   = 0  , soit d   = 7.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est  \boxed{x-2y-2z+7=0}.

2.  Par définition, la sphère de diamètre [EF] est l'ensemble des points M tels que  \overrightarrow{ME}.\overrightarrow{MF}=0.

\text{Or }\ EF=\sqrt{(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2+(z_F-z_E)^2} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ EF}=\sqrt{(-1-5)^2+(1-1)^2+(12-4)^2}} \\\overset{}{\phantom{\text{Or }\ EF}=\sqrt{36+0+64}=\sqrt{100}=10} \\\\\Longrightarrow EF=10.
Puisque la mesure du diamètre est 10, le rayon de la sphère (S) est R = 5.
Le centre omegamaj de la sphère est le milieu du diamètre [EF]. 
\text{D'où }\ (x_{\Omega}\,;\,y_{\Omega}\,;\,z_{\Omega})=\left(\dfrac{x_E+x_F}{2}\,;\,\dfrac{y_E+y_F}{2}\,;\,\dfrac{z_E+z_F}{2}\right) \\\overset{}{\phantom{\text{D'où }\ (x_{\Omega}\,;\,y_{\Omega}\,;\,z_{\Omega})}=\left(\dfrac{5-1}{2}\,;\,\dfrac{1+1}{2}\,;\,\dfrac{4+12}{2}\right)} \\\overset{}{\phantom{\text{D'où }\ (x_{\Omega}\,;\,y_{\Omega}\,;\,z_{\Omega})}=\left(2\,;\,1\,;\,8\right)}
Donc le centre de la sphère (S) est omegamaj(2 ; 1 ; 8).
Par conséquent, (S) est une sphère de centre omegamaj(2 ; 1 ; 8) et de rayon R = 5.

{\red{3.\ \text{a) }}}\ d(\Omega,(ABC))=\dfrac{|1\times x_{\Omega}-2\times y_{\Omega}-2\times z_{\Omega}+7|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}} \\\\\phantom{\red{3.\ \text{a) }}\ d(\Omega,(ABC))}= \dfrac{|1\times 2-2\times 1-2\times 8+7|}{\sqrt{1+4+4}}= \dfrac{|2-2-16+7|}{\sqrt{9}}=\dfrac{|-9|}{3}=\dfrac{9}{3}=3 \\\\\Longrightarrow\boxed{d(\Omega,(ABC))=3}

3. b)  La distance du centre omegamaj de la sphère au plan (ABC) est  d(\Omega,(ABC))=3  et le rayon de la sphère est R = 5.
Puisque  d(\Omega,(ABC))<R , le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (gammamaj) de rayon r.
Bac SVT-PC Maroc 2019 (Rattrapage) : image 6


La figure ci-dessus est donnée pro forma, sans repère .

Soit I le centre du cercle (gammamaj) et M un point de la sphère appartenant à (gammamaj).
Par Pythagore dans le triangle omegamajIM rectangle en I, nous avons :  

\Omega I^2+IM^2=\Omega M^2 \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}\Omega I=d(\Omega\,,\,(ABC))=3\\IM=r\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\Omega M = R = 5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }3^2+r^2=5^2\Longleftrightarrow 9+r^2=25\Longleftrightarrow r^2=16 \\\\\Longrightarrow\boxed{r=4}
Par conséquent, le plan (ABC) coupe la sphère (S) selon un cercle (gammamaj) de rayon r = 4.

3 points

exercice 2

1. a)  Nous devons résoudre dans C l'équation :  z^2-3z+3=0.

\text{Discriminant : }\Delta=(-3)^2-4\times1\times3=9-12=-3<0 \\\\\text{Racines :}\ z_1=\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}{\text{ et }\ }z_2=\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}
D'où l'ensemble des solutions de l'équation est  \boxed{S=\left\lbrace\dfrac{3-\text{i}\sqrt{3}}{2}\,;\,\dfrac{3+\text{i}\sqrt{3}}{2}\right\rbrace}.

1. b)  Soit  a=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}.
Alors  a=\sqrt{3}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}\text{i})\Longrightarrow\boxed{a=\sqrt{3}(\cos\dfrac{\pi}{6}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{6})}

2.  Soit  b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(1+\text{i}).
Alors  b^2=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2(1+\text{i})^2=\dfrac{2}{4}(1^2+2\text{i}+\text{i}^2)=\dfrac{1}{2}(1+2\text{i}-1)=\dfrac{1}{2}(2\text{i})=\text{i} \Longrightarrow\boxed{b^2=\text{i}}

3.  Soit  h=\cos\dfrac{\pi}{12}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{12}.
\text{Alors }\ h^4+1=(\cos\dfrac{\pi}{12}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{12})^4+1 \\\\\phantom{\text{Alors }\ h^4+1}=(\cos\dfrac{4\pi}{12}+\text{i}\sin\dfrac{4\pi}{12})+1\ \ \ (\text{par la formule de Moivre)} \\\\\phantom{\text{Alors }\ h^4+1}=\cos\dfrac{\pi}{3}+\text{i}\sin\dfrac{\pi}{3}+1 =\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}+1=\dfrac{3}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}=a \\\\\Longrightarrow\boxed{h^4+1=a}

4.  Rappel :

Soient M et omegamaj deux points distincts du plan d'affixes respectives z et omega.
On appelle M' l'image du point M par la rotation r de centre omegamaj et d'angle theta.
Notons z' l'affixe de M'.
L'écriture complexe de la rotation r de centre omegamaj d'affixe omega et d'angle theta est :  z'-\omega=e^{\text{i}\theta}(z-\omega).

4. a)  Soit c l'affixe du point C image du point B par la rotation R de centre O et d'angle  \dfrac{\pi}{2}.
En nous basant sur le rappel, nous obtenons : 
c-0=e^{\text{i}\frac{\pi}{2}}(b-0)\Longleftrightarrow c=e^{\text{i}\frac{\pi}{2}}b\Longleftrightarrow\boxed{c=\text{i}b}

4. b)  Déterminons la nature du triangle OBC.

Par la question précédente, nous déduisons que  \dfrac{c}{b}=\dfrac{\text{i}b}{b}=\text{i}.
Par conséquent, le triangle COB est un triangle rectangle isocèle direct en 0.

3 points

exercice 3

Les trois tirages sont indépendants puisque la boule tirée est remise dans l'urne après chaque tirage.
L'urne contient 6 boules dont une rouge, deux blanches et trois noires.
Les boules sont indiscernables au toucher.
La probabilité de tirer une boule rouge est égale à  \dfrac{1}{6}.
La probabilité de tirer une boule blanche est égale à  \dfrac{2}{6}  , soit  \dfrac{1}{3}.
  La probabilité de tirer une boule noire est égale à  \dfrac{3}{6}  , soit  \dfrac{1}{2}.

1.  Nous devons montrer que  p(A)=\dfrac{1}{6}.
Les trois boules sont de la même couleur si ce sont trois boules rouges ou trois boules blanches ou trois boules noires.
En utilisant l'indépendance des tirages, nous obtenons :  
p(A)=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3+\left(\dfrac{2}{6}\right)^3+\left(\dfrac{3}{6}\right)^3=\dfrac{1+8+27}{6^3}=\dfrac{36}{6^3}=\dfrac{6^2}{6^3}=\dfrac{1}{6}\Longrightarrow\boxed{p(A)=\dfrac{1}{6}}

Nous devons montrer que  p(B)=\dfrac{8}{27}.
Dans l'urne, 4 boules parmi les 6 ne sont pas blanches.
D'où la probabilité de tirer une boule qui ne soit pas blanche est égale à  \dfrac{4}{6}  , soit  \dfrac{2}{3}.
  Dès lors la probabilité de tirer trois boules dont aucune n'est blanche est égale à  \left(\dfrac{2}{3}\right)^3  , soit  \dfrac{8}{27}.
  Par conséquent,  \boxed{p(B)=\dfrac{8}{27}}

2.   Nous devons déterminer  p(C).
Si parmi les trois boules, il y a exactement deux boules blanches, la boule restante est donc rouge ou noire.
  Premier cas : parmi les trois boules, une boule est rouge et les deux autres sont blanches.
La probabilité que la première boule soit rouge et les deux autres soient blanches est égale à  \dfrac{1}{6}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2
Or la boule blanche peut occuper 3 positions dans le tirage.
D'où la probabilité de tirer une boule rouge et deux boules blanches est égale à  3\times\dfrac{1}{6}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 , soit  \dfrac{1}{18}.
  Second cas : parmi les trois boules, une boule est noire et les deux autres sont blanches.
La probabilité que la première boule soit noire et les deux autres soient blanches est égale à  \dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2
Or la boule noire peut occuper 3 positions dans le tirage.
D'où la probabilité de tirer une boule noire et deux boules blanches est égale à  3\times\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^2 , soit  \dfrac{1}{6}.
Dès lors, la probabilité qu'il y ait exactement deux boules blanches parmi les boules tirées est  \overset{.}{\dfrac{1}{18}}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}+\dfrac{3}{18}=\dfrac{4}{18}=\dfrac{2}{9}.
Par conséquent,  \boxed{p(C)=\dfrac{2}{9}}

11 points

probleme

Première partie

Soit f  la fonction numérique définie sur  \R^*  par  f(x)=2+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4}.

1. a)  Montrons que \boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2}.
\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x-2}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x}{x}=1\Longrightarrow{\blue{\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2=1}}\\\\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x-4)=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par composition }(X =\, x-4)}{\Longrightarrow}\ \ \ {\blue{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x-4}=0}}\\\\ \text{D'où }\lim\limits_{x\to-\infty}\left[2+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4}\right]=2+8\times1\times0=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=2}.
Nous en déduisons que la droite d'équation y  = 2 est une asymptote horizontale à la courbe (C) en -infini.

1. b)  Montrons que \boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty}.
f(x)=2+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4}\Longleftrightarrow f(x)=2+\dfrac{8(x-2)^2}{x^2}\,\text{e}^{x-4}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0}8(x-2)^2=8\times4=32\\\lim\limits_{x\to0}x^2=0^+\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ {\blue{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{8(x-2)^2}{x^2}=+\infty}} \\\\ {\blue{\lim\limits_{x\to0}\text{e}^{x-4}=\text{e}^{-4}}}\\\\ \text{D'où }\lim\limits_{x\to0}\left[2+\dfrac{8(x-2)^2}{x^2}\text{e}^{x-4}\right]=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0}f(x)=+\infty}.
Nous en déduisons que la droite d'équation x  = 0 est une asymptote verticale à la courbe (C).

2. a)  Nous devons calculer \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}.
\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x-2}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=1\Longrightarrow{\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2=1}}\\\\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(x-4)=+\infty \\\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{par composition }(X =\, x-4)}{\Longrightarrow}\ \ \ {\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{x-4}=+\infty}} \\\\ \text{D'où }\lim\limits_{x\to+\infty}\left[2+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4}\right]=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.

2. b)  Calculons \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}.
f(x)=2+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4}\Longrightarrow \dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{2}{x}+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\dfrac{\text{e}^{x-4}}{x} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x-4}}{x}=+\infty\ \ \ (\text{par les croissances comparées})\end{matrix}\right.\\\\ \text{D'où }\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{2}{x}+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\dfrac{\text{e}^{x-4}}{x} \right]=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}.

Puisque  \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty  et  \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty , la courbe (C) admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de +infini.

3. a)  Déterminons l'expression de la dérivée f' (x ).

f'(x)=\left[2+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4}\right]' \\\phantom{f'(x)}=0+8\times\left[\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4}\right]' \\\phantom{f'(x)}=8\times\left[\left(\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\right)'\times\text{e}^{x-4}+\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\times\left(\text{e}^{x-4}\right)'\right] \\\phantom{f'(x)}=8\times\left[2\left(\dfrac{x-2}{x}\right)'\left(\dfrac{x-2}{x}\right)\times\text{e}^{x-4}+\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\times(x-4)'\,\text{e}^{x-4}\right] \\\phantom{f'(x)}=8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)\times\text{e}^{x-4}\times\left[2\left(\dfrac{x-2}{x}\right)'+\left(\dfrac{x-2}{x}\right)\times(x-4)'\right]

\\\\\text{Or }\left(\dfrac{x-2}{x}\right)'=\dfrac{(x-2)'\times x-(x-2)\times x'}{x^2}=\dfrac{1\times x-(x-2)\times 1}{x^2}=\dfrac{x-(x-2)}{x^2} =\dfrac{2}{x^2} \\\\\text{Donc }f'(x)=8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)\times\text{e}^{x-4}\times\left[2\times\dfrac{2}{x^2}+\left(\dfrac{x-2}{x}\right)\times1\right] \\\\\phantom{\text{Donc }f'(x)}=8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)\times\text{e}^{x-4}\times\left[\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{x-2}{x}\right] \\\\\phantom{\text{Donc }f'(x)}=8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)\times\text{e}^{x-4}\times\left(\dfrac{4+x(x-2)}{x^2}\right) \\\\\phantom{\text{Donc }f'(x)}=8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)\times\text{e}^{x-4}\times\left(\dfrac{4+x^2-2x}{x^2}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{8(x-2)(x^2-2x+4)\,\text{e}^{x-4}}{x^3}}

3. b)  Etudions le signe de  x^2-2x+4 . 
\text{Discriminant : }\Delta=(-2)^2-4\times1\times4=4-16=-12<0.
Puisque le discriminant du trinôme  x^2-2x+4  est négatif, ce trinôme est du signe du coefficient de x 2 pour tout x  réel.
Par conséquent, pour tout x  de R, x 2 - 2x  + 4 > 0.

3. c)  Etudions le signe de f' (x ) et les variations de f .
Nous avons montré que pour tout x  de R, x 2 - 2x  + 4 > 0.
De plus, l'exponentielle est strictement positive pour tout x  réel.
D'où le signe de la dérivée f' (x ) est le signe du quotient  \dfrac{x-2}{x^3}.

\begin{matrix}x-2<0\Longleftrightarrow x<2\\x-2=0\Longleftrightarrow x=2\\x-2>0\Longleftrightarrow x>2\\\\x^3<0 \Longleftrightarrow x<0\\x^3=0 \Longleftrightarrow x=0\\x^3>0 \Longleftrightarrow x>0\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&0&&2&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline x-2&&-&-&-&0&+&\\x^3&&-&0&+&+&+&\\\hline&&&&&&&\\f'(x)&&+&||||&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&(+\infty)&&&&+\infty \\ f(x)&&\nearrow&||||&\searrow&&\nearrow& \\ &(2)&&&&2&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}
Nous en déduisons que la fonction f  est strictement décroissante sur ]0 ; 2] et strictement croissante sur chacun des intervalles ]-infini ; 0[ et [2 ; +infini[.

3. d)  Le tableau de variations de la fonction f  a été dressé à la question précédente.

4.  Représentation de la courbe (C) dans le repère  (O,\vec{i},\vec{j}).

Bac SVT-PC Maroc 2019 (Rattrapage) : image 5


5. a)  Soient les fonction H et h définies sur l'intervalle [2 ; 4] par  H(x)=\dfrac{1}{x}\,\text{e}^{x-4}  et  \dfrac{x-1}{x^2}\,\text{e}^{x-4}.
La fonction H  est dérivable sur l'intervalle [2 ; 4] comme produit de deux fonctions dérivables sur [2 ; 4].
H'(x)=\left(\dfrac{1}{x}\right)'\times \text{e}^{x-4}+\dfrac{1}{x}\times (\text{e}^{x-4})'\\\\\phantom{H'(x)}=\left(\dfrac{-1}{x^2}\right)\times \text{e}^{x-4}+\dfrac{1}{x}\times (x-4)'\text{e}^{x-4}=\left(\dfrac{-1}{x^2}\right)\times \text{e}^{x-4}+\dfrac{1}{x}\times 1\times\text{e}^{x-4} \\\\\phantom{H'(x)}=\left(\dfrac{-1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right)\times \text{e}^{x-4}=\left(\dfrac{-1+x}{x^2}\right)\times \text{e}^{x-4}=\left(\dfrac{x-1}{x^2}\right)\times \text{e}^{x-4}=h(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{H'(x)=h(x)}

Par conséquent, la fonction H  est une primitive de la fonction h  sur [2 ; 4].

{\red{5.\ \text{b) }}}\ f(x)=2+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4} \\\phantom{{\red{5.\ \text{b) }}}\ f(x)}=2+8\times\dfrac{(x-2)^2}{x^2}\,\text{e}^{x-4} \\\overset{}{\phantom{{\red{5.\ \text{b) }}}\ f(x)}=2+8\times\left(\dfrac{x^2-4x+4}{x^2}\right)\,\text{e}^{x-4}} \\\overset{}{\phantom{{\red{5.\ \text{b) }}}\ f(x)}=2+8\times\left(\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{4x-4}{x^2}\right)\,\text{e}^{x-4}} \\\overset{}{\phantom{{\red{5.\ \text{b) }}}\ f(x)}=2+8\times\left(1-\dfrac{4(x-1)}{x^2}\right)\,\text{e}^{x-4}} \\\overset{}{\Longrightarrow\boxed{f(x)=2+8\,\text{e}^{x-4}-32\dfrac{(x-1)}{x^2}\,\text{e}^{x-4}}}

{\red{5.\ \text{c) }}}\int\limits_2^4\text{e}^{x-4}\,dx=\left[\overset{}{\text{e}^{x-4}}\right]\limits_2^4=\text{e}^{4-4}-\text{e}^{2-4}=\text{e}^{0}-\text{e}^{-2}\Longrightarrow\boxed{\int\limits_2^4\text{e}^{x-4}\,dx=1-\text{e}^{-2}}

5. d)  La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [2 ; 4].
Dès lors, l'aire du domaine plan limité par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x  = 2 et x  = 4 est donnée par  \int\limits_2^4f(x)\,dx.

\int\limits_2^4f(x)\,dx=\int\limits_2^4\left(2+8\,\text{e}^{x-4}-32\dfrac{(x-1)}{x^2}\,\text{e}^{x-4}\right)\,dx \\\overset{}{\phantom{\int\limits_2^4f(x)\,dx}=\int\limits_2^42\,dx+8\int\limits_2^4\,\text{e}^{x-4}\,dx-32\int\limits_2^4\dfrac{(x-1)}{x^2}\,\text{e}^{x-4}\,dx} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\int\limits_2^42\,dx=\left[\overset{}{2x}\right]\limits_2^4=2\times4-2\times2=4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\int\limits_2^4\,\text{e}^{x-4}\,dx=1-\text{e}^{-2}\ \ \ (\text{voir question5. c)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\int\limits_2^4\dfrac{(x-1)}{x^2}\,\text{e}^{x-4}\,dx=\left[\dfrac{1}{x}\,\text{e}^{x-4} \right]\limits_2^4\ \ \ (\text{voir question5. a)} \\\phantom{WWWWWW}\overset{}{=\dfrac{1}{4}\,\text{e}^{4-4}-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2-4}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}}\,\text{e}^{-2}\end{matrix}\right.

\text{D'où }\ \int\limits_2^4f(x)\,dx=\int\limits_2^42\,dx+8\int\limits_2^4\,\text{e}^{x-4}\,dx-32\int\limits_2^4\dfrac{(x-1)}{x^2}\,\text{e}^{x-4}\,dx \\\phantom{\text{D'où }\ \int\limits_2^4f(x)\,dx}=4+8(1-\text{e}^{-2})-32(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-2}) \\\phantom{\text{D'où }\ \int\limits_2^4f(x)\,dx}=4+8-8\text{e}^{-2}-8+16\,\text{e}^{-2} \\\phantom{\text{D'où }\ \int\limits_2^4f(x)\,dx}=4+8\text{e}^{-2}

Par conséquent, l'aire du domaine plan limité par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations x  = 2 et x  = 4 est égale à  \overset{.}{(4+8\text{e}^{-2})}\,\text{cm}^2\approx5,1\,\text{cm}^2.

Deuxième partie

1.  Soit g  la fonction numérique définie sur [2 ; 4]  par  g(x)=8(x-2)\,\text{e}^{x-4}-x^2.

{\red{1.\ \text{a) }}}\ g(4)=8(4-2)\,\text{e}^{4-4}-4^2=8\times2\times1-16=16-16=0\Longrightarrow\boxed{g(4)=0}

{\red{1.\ \text{b) }}}\ -(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}+x^2(\text{e}^{x-4}-1)=-(x^2-8x+16)\,\text{e}^{x-4}+x^2\,\text{e}^{x-4}-x^2 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ -(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}+x^2(\text{e}^{x-4}-1)}=-x^2\,\text{e}^{x-4}+8x\,\text{e}^{x-4}-16\,\text{e}^{x-4}+x^2\,\text{e}^{x-4}-x^2 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ -(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}+x^2(\text{e}^{x-4}-1)}=8x\,\text{e}^{x-4}-16\,\text{e}^{x-4}-x^2 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ -(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}+x^2(\text{e}^{x-4}-1)}=8(x-2)\,\text{e}^{x-4}-x^2 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b) }}}\ -(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}+x^2(\text{e}^{x-4}-1)}=g(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\, x\in[2\,;\,4]\ g(x)=-(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}+x^2(\text{e}^{x-4}-1)}

{\red{1.\ \text{c) }}}\ x\in[2\,;\,4]\Longrightarrow x\le4 \\\phantom{{\red{1.\ \text{c) }}}\ x\in[2\,;\,4]}\Longrightarrow x-4\le4-4 \\\phantom{{\red{1.\ \text{c) }}}\ x\in[2\,;\,4]}\Longrightarrow x-4\le0 \\\phantom{{\red{1.\ \text{c) }}}\ x\in[2\,;\,4]}\Longrightarrow \text{e}^{x-4}\le\text{e}^{0} \\\phantom{{\red{1.\ \text{c) }}}\ x\in[2\,;\,4]}\Longrightarrow \text{e}^{x-4}\le1 \\\phantom{{\red{1.\ \text{c) }}}\ x\in[2\,;\,4]}\Longrightarrow\text{e}^{x-4}-1\le0

D'où  \boxed{\forall\,x\in[2\,;\,4]:\text{e}^{x-4}-1\le0}

Par conséquent,  
\forall\ x\in[2\,;\,4], \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}(x-4)^2\ge 0\\\text{e}^{x-4}>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-(x-4)^2\le0\\\text{e}^{x-4}>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{-(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}\le0} \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}x^2>0\\\text{e}^{x-4}-1\le0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{x^2(\text{e}^{x-4}-1)\le0} \\\\\text{D'où }-(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}+x^2(\text{e}^{x-4}-1)\le0
Nous en déduisons que pour tout x  de l'intervalle [2 ; 4] : g (x ) infegal 0.

{\red{2.\ \text{a) }}}\  \left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)g(x)=\left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)\times\left[\overset{}{8(x-2)\,\text{e}^{x-4}-x^2}\right] \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ \left(\dfrac{x-2}{x}\right)g(x)}=\left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)\times\overset{}{8(x-2)\,\text{e}^{x-4}-\left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)\times x^2} \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ \left(\dfrac{x-2}{x}\right)g(x)}=\left(\dfrac{8(x-2)^2}{x^2}\right)\,\text{e}^{x-4}-(x-2) \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ \left(\dfrac{x-2}{x}\right)g(x)}=\left(\dfrac{8(x-2)^2}{x^2}\right)\,\text{e}^{x-4}-x+2 \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ \left(\dfrac{x-2}{x}\right)g(x)}=\left(2+8\left(\dfrac{x-2}{x}\right)^2\text{e}^{x-4}\right)-x \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ \left(\dfrac{x-2}{x}\right)g(x)}=f(x)-x
Par conséquent, pour tout x  de l'intervalle [2 ; 4] :  \boxed{f(x)-x=\left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)g(x)}

2. b)  Pour tout x  de l'intervalle [2 ; 4], x  supegal 2 implique x  - 2 supegal 0.

\forall\ x\in[2\,;\,4], \left\lbrace\begin{matrix}x-2\ge0\\x^2>0\\g(x)\le0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)g(x)\le0 \\\phantom{WWWWWWW...WWW}\Longrightarrow\ \ \ f(x)-x\le0 \\\\\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\forall\ x\in[2\,;\,4]\,,\ f(x)\le x}

3.  Soit (un ) la suite numérique définie par : u 0 = 3 et un +1 = f (un ) pour tout n  de N.

3. a)  Montrons par récurrence que 2 infegal un  infegal 4 pour tout n  de N.

Initialisation : Montrons que 2 infegal u0 infegal 4.
Evident car u 0 = 3.
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité : Supposons que pour une valeur de n  fixée, 2 infegal un  infegal 4.
Montrons que 2 infegal u n +1 infegal 4.
Nous avons montré dans la Partie 1 - question 3. c) que la fonction f  est strictement croissante sur [2 ; +infini[.
Par conséquent, la fonction f  est strictement croissante sur [2 ; 4].
Dès lors,  2\le u_n\le4\Longrightarrow f(2)\le f(u_n)\le f(4).
\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}f(2)=2+8\left(\dfrac{2-2}{2}\right)^2\text{e}^{2-4}=2+0=2\Longrightarrow {\blue{f(2)=2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\ {\blue{f(u_n)=u_{n+1}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\f(4)=2+8\left(\dfrac{4-2}{4}\right)^2\text{e}^{4-4}=2+8\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\text{e}^{0}=2+8\left(\dfrac{1}{4}\right)=4\Longrightarrow {\blue{f(4)=4}}\end{matrix}\right.

D'où,  2\le u_n\le4\Longrightarrow 2\le u_{n+1}\le 4.
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que 2 infegal un  infegal 4 pour tout n  de N.

3. b)  Nous avons montré dans la question 2. b) que pour tout x  de l'intervalle [2 ; 4], f (x ) infegal x .
Dans la question précédente, nous avons également montré que un  appartient à l'intervalle [2 ; 4].
Nous en déduisons que  pour tout n  de N,  f(u_n)\le u_n , soit que  \boxed{u_{n+1}\le u_n}.
Par conséquent, la suite (un ) est décroissante.

De plus, la suite (un ) est minorée par 2 car 2 infegal un  infegal 4 pour tout n  de N.
Nous en déduisons donc que cette la suite (un ) converge.

3. c)  Nous savons par la question précédente que la suite (un ) est convergente.
La fonction f est continue sur l'intervalle [2 ; 4].
Donc la limite de la suite est solution de l'équation f (x ) = x .

Par la question 2. a), nous savons que pour tout x  de l'intervalle [2 ; 4] :  f(x)-x=\left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)g(x).
Dès lors,
f(x)=x\Longleftrightarrow f(x)-x=0\Longleftrightarrow \left(\dfrac{x-2}{x^2}\right)g(x)=0 \\\\\phantom{f(x)=x}\Longleftrightarrow \dfrac{x-2}{x^2}=0\ \ \text{ ou }\ \ g(x)=0 \\\overset{}{\phantom{f(x)=x}\Longleftrightarrow \boxed{x=2}\ \ \text{ ou }\ \ \boxed{g(x)=0}}

Résolvons l'équation  g(x)=0  dans l'intervalle [2 ; 4].
Nous savons par la question 1. a) que g (4) = 0, soit que 4 est une solution de l'équation  g(x)=0 .
Montrons que x = 4 est l'unique solution de l'équation  g(x)=0  dans l'intervalle [2 ; 4] en montrant qu'il n'existe pas de solution dans l'intervalle [2 ; 4[.
En nous aidant de la question 1. c), nous avons :

x\in[2\,;\,4[\,\Longleftrightarrow x<4 \\\phantom{x\in[2\,;\,4[}\Longrightarrow x-4<4-4 \\\phantom{x\in[2\,;\,4[}\Longrightarrow x-4<0 \\\phantom{x\in[2\,;\,4[}\Longrightarrow \text{e}^{x-4}<\text{e}^{0} \\\phantom{x\in[2\,;\,4[}\Longrightarrow \text{e}^{x-4}<1 \\\phantom{x\in[2\,;\,4[}\Longrightarrow \text{e}^{x-4}-1<0
Par conséquent,  
\forall\ x\in[2\,;\,4[, \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}(x-4)^2> 0\\\text{e}^{x-4}>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-(x-4)^2<0\\\text{e}^{x-4}>0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{-(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}<0} \\\\ \left\lbrace\begin{matrix}x^2>0\\\text{e}^{x-4}-1<0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{x^2(\text{e}^{x-4}-1)<0} \\\\\text{D'où }-(x-4)^2\,\text{e}^{x-4}+x^2(\text{e}^{x-4}-1)<0,\ \text{soit }\ \boxed{g(x)<0}
Donc l'équation  g(x)=0  ne possède pas de solution dans l'intervalle [2 ; 4[.
Nous déduisons alors que x = 4 est l'unique solution de l'équation  g(x)=0  dans l'intervalle [2 ; 4].
En conclusion, nous savons que l'équation f(x) = x admet deux solutions dans l'intervalle [2 ; 4] : x = 2 ou x = 4.
Cela signifie que la limite de la suite (un ) ne peut être égale qu'à 2 ou à 4.
Or nous savons que la suite (un ) est décroissante et que u 0 = 3.
D'où nous obtenons :  \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2} .
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