Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Centres étrangers (1)

SESSION 2021

MATHÉMATIQUES

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses seront valorisées.

5 points

exercice 1 commun à tous les candidats

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est exacte. Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de la question et la réponse correspondante. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

1. On considère la fonction définie sur R par $f(x)=x\,\text e ^{-2x}.$ On note f '' la dérivée seconde de la fonction f .
Quel que soit le réel x, f '' ( x ) est égal à :
${\white{ww}$ a. $(1-2x)\text e ^{-2x}$
${\white{ww}$ b. $4(x-1)\text e ^{-2x}$
${\white{ww}$ c. $4\text e ^{-2x}$
${\white{ww}$ d. $(x+2)\text e ^{-2x}$

2. Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.
Le nombre de combinaisons possibles est :
${\white{ww}$ a. 1728
${\white{ww}$ b. 1320
${\white{ww}$ c. 220
${\white{ww}$ d. 33

3. On donne ci-dessous la représentation graphique de f ' fonction dérivée d'une fonction f définie sur [0 ; 7].

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (1) : image 1

Le tableau de variation de f sur l'intervalle [0 ; 7] est :

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (1) : image 2

4. Une entreprise fabrique des cartes à puces. Chaque puce peut présenter deux défauts notés A et B.
Une étude statistique montre que 2,8% des puces ont le défaut A, 2,2% des puces ont le défaut B et, heureusement, 95,4% des puces n'ont aucun des deux défauts.

La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est :
${\white{ww}$ a. 0,05
${\white{ww}$ b. 0,004
${\white{ww}$ c. 0,046
${\white{ww}$ d. On ne peut pas le savoir

5. On se donne une fonction f , supposée dérivable sur R, et on note f ' sa fonction dérivée.
On note ci-dessous le tableau de variation de f :

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (1) : image 4

D'après ce tableau de variation :
${\white{ww}$ a. f ' est positive sur R
${\white{ww}$ b. f ' est positive sur ]- infini

; -1]
${\white{ww}$ c. f ' est négative sur R
${\white{ww}$ d. f ' est positive sur [-1 ; + infini

[

5 points

exercice 2 commun à tous les candidats

Dans tout cet exercice, les probabilités seront arrondies, si nécessaire, à 10^-3.
D'après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent 17 % de la population française. Parmi ces utilisateurs réguliers, 32 % sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans.
${\white{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}}$ (Source : TNS-Sofres)

Partie A :
On interroge une personne au hasard et on note :
${\white{ww}\bullet{\white{w}}$ R l'événement : « La personne interrogée utilise régulièrement les transports en commun ».
${\white{ww}\bullet{\white{w}}$ J l'événement : « La personne interrogée est âgée de 18 à 24 ans ».

1. Représenter la situation à l'aide de cet arbre pondéré, que vous recopierez sur votre copie, en y reportant les données de l'énoncé.

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (1) : image 3

2. Calculer la probabilité P(R inter

J).
3. D'après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11 % de la population française.
Montrer que la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n'utilisant pas régulièrement les transports en commun est 0,056 à 10^-3 près.
4. En déduire la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun.

Partie B :
Lors d'un recensement sur la population française, un recenseur interroge au hasard 50 personnes en une journée sur leur pratique des transports en commun. La population française est suffisamment importante pour assimiler ce recensement à un tirage avec remise.

Soit X la variable aléatoire dénombrant les personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées.

1. Déterminer, en justifiant, la loi de X et préciser ses paramètres.
2. Calculer P(X = 5 ) et interpréter le résultat.
3. Le recenseur indique qu'il y a plus de 95 % de chance pour que, parmi les 50 personnes interrogées, moins de 13 d'entre elles utilisent régulièrement les transports en commun.
Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier votre réponse.
4. Quel est le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi les 50 personnes interrogées ?

5 points

exercice 3 commun à tous les candidats

En mai 2020, une entreprise fait le choix de développer le télétravail afin de s'inscrire dans une démarche écoresponsable.
Elle propose alors à ses 5 000 collaborateurs en France de choisir entre le télétravail et le travail au sein des locaux de l'entreprise.
En mai 2020, seuls 200 d'entre eux ont choisi le télétravail.
Chaque mois, depuis la mise en place de cette mesure, les dirigeants de l'entreprise constatent que 85 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, et que, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
On modélise le nombre de collaborateurs de cette entreprise en télétravail par la suite (a_n ).
Le terme a_n désigne ainsi une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le n-ième mois après le mois de mai 2020. Ainsi a₀ = 200.

Partie A :
1. Calculer a₁.
2. Justifier que pour tout entier naturel n,
$a_{n+1}=0,85 \; a_n + 450$
3. On considère la suite (v_n ) définie pour tout entier naturel n par :
$v_n=a_n - 3000$
${\white{ww}}$ a. Démontrer que la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison 0,85.
${\white{ww}}$ b. Exprimer v_n en fonction de n pour tout entier naturel n.
${\white{ww}}$ c. En déduire que, pour tout entier naturel n ,
$a_n=-2800\times 0,85^n + 3000$
4. Déterminer le nombre de mois au bout duquel le nombre de télétravailleurs sera strictement supérieur à 2 500, après la mise en place de cette mesure dans l'entreprise.

Partie B :
Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite (u_n ) définie par u₀= 1 et, pour tout entier naturel n ,
$u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}$
où u_n désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de n mois après le mois de mai 2020.

1. Démontrer que la fonction f définie pour tout x appartient

[0 ; +

[ par $f(x)=\frac {5x+4}{x+2}$ est strictement croissante sur [0 ; + infini

[.
2. ${\white{v}}$ a. démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ,
$0\le u_n \le u_{n+1} \le 4$
${\white{ww}}$ b. Justifier que la suite (u_n ) est convergente.
3. On admet que pour tout entier naturel n,
$0\le 4-u_n\le 3\times \left(\dfrac 1 2 \right) ^n$
En déduire la limite de la suite (u_n ) et l'interpréter dans le contexte de la modélisation.

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.

Exercice A - Géométrie dans l'espace

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points suivants :
A(2 ; -1 ; 0) ; B(3 ;-1 ; 2) ; C(0 ; 4 ; 1) et S(0 ; 1 ; 4)
1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
2. a. Montrer que le vecteur $\overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (ABC).
${\white{vl}$ b. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
${\white{vl}$ c. Montrer que les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.
3. Soit (d ) la droite orthogonale au plan (ABC) passant par S. Elle coupe le plan (ABC) en H.
${\white{vl}$ a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d ).
${\white{vl}$ b. Montrer que les coordonnées du point H sont H (2 ; 2 ; 3).
4. On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est V $=\dfrac{\text{ Aire de la base } \times \text{ hauteur }}{3}.$
Calculer le volume du tétraèdre SABC.
5. a. Calculer la longueur SA.
${\white{vl}$ b. On indique que SB $=\sqrt{17}$
${\white{vlvl}$ En déduire une mesure de l'angle $\widehat{ASB}$ approchée au dixième de degré.

Exercice B - Équations différentielles
Partie A :
Soit g la fonction définie sur R par :
$g(x)=2\text e^ {\frac{-1}{3} x}+\dfrac 2 3 x - 2$

1. On admet que la fonction g est dérivable sur R et on note g ' sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel x :
$g'(x)=\dfrac{-2}{3}\text e^ {\frac{-1}{3} x} + \dfrac 2 3$

2. En déduire le sens de variations de la fonction g sur R.
3. déterminer le signe de g(x ), pour tout x réel.

Partie B :
1. On considère l'équation différentielle
(E) : $3y'+y=0$
Résoudre l'équation différentielle (E).
2. Déterminer la solution particulière dont la courbe représentative, dans un repère du plan, passe par le point M ( 0 ; 2).
3. Soit f la fonction définie sur R par :
$f(x)=2\,\text e^ {\frac{-1}{3} x$
et C_f sa courbe représentative.
${\white{vl}$ a. Montrer que la tangente ( deltamaj

₀) à la courbe C_f au point M ( 0 ; 2) admet une équation de la forme :
$y=-\dfrac 2 3 x + 2$
${\white{vl}$ b. Etudier sur R, la position de cette courbe C_f par rapport à la tangente ( deltamaj

₀).

Partie C :
1. Soit A le point de la courbe C_f d'abscisse a, a réel quelconque.
Montrer que la tangente ( deltamaj

_a ) à la courbe C_f au point A coupe l'axe des abscisses en un point P d'abscisse a + 3.
2. Expliquer la construction de la tangente ( deltamaj

_-2 ) à la courbe C_f au point B d'abscisse -2.

Correction

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (1)

5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. On considère la fonction définie sur R par $f(x)=x\,\text e ^{-2x}.$
On note f'' la dérivée seconde de la fonction f .
Quel que soit le réel x , f'' (x ) est égal à $\overset{{\white{.}}}{{\red{4(x-1)\,\text{e}^{-2x}}}.}$

En effet,
$\overset{{\white{.}}}{f'(x)=x'\times\text e ^{-2x}+x\times(\text e ^{-2x})'} \\\phantom{f'(x)}=1\times\text e ^{-2x}+x\times(-2x)'\,\text e ^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=\text e ^{-2x}+x\times(-2)\,\text e ^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=\text e ^{-2x}-2x\,\text e ^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=(1-2x)\,\text e ^{-2x} \\\\f''(x)=(1-2x)'\times\text e ^{-2x}+(1-2x)\times(\text e ^{-2x})' \\\phantom{f''(x)}=(-2)\times\text e ^{-2x}+(1-2x)\times(-2x)'\,\text e ^{-2x} \\\phantom{f''(x)}=-2\,\text e ^{-2x}+(1-2x)\times(-2)\,\text e ^{-2x} \\\phantom{f''(x)}=-2\,\text e ^{-2x}+(-2+4x)\,\text e ^{-2x} \\\phantom{f''(x)}=(-2-2+4x)\,\text e ^{-2x} \\\phantom{f''(x)}=(4x-4)\,\text e ^{-2x} \\\phantom{f''(x)}=4(x-1)\,\text e ^{-2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=4(x-1)\,\text e ^{-2x}}$
Par conséquent, l'affirmation b. est correcte.

2. Un élève de première générale choisit trois spécialités parmi les douze proposées.
Le nombre de combinaisons possibles est 220.

En effet, le nombre de combinaisons possibles est le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 12.

$\begin{pmatrix}12\\3\end{pmatrix}=\dfrac{12!}{3!\,(12-3)!}=\dfrac{12!}{3!\,9!} \\\\\phantom{www.}=\dfrac{12\times11\times10\times9!}{3\times2\times1\times\,9!}=\dfrac{12\times11\times10}{3\times2}=\dfrac{12\times11\times10}{6} \\\\\phantom{www.}=2\times11\times10 \\\\\phantom{www.}=\boxed{220}$
Par conséquent, l'affirmation c. est correcte.

3. On donne ci-dessous la représentation graphique de f' fonction dérivée d'une fonction f définie sur [0 ; 7].

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (1) : image 9

Le tableau de variation de f sur l'intervalle [0 ; 7] est : ${\red{\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&0&&2&&5&&7 \\\hline&&&&&&&& f(x)&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}}}$
En effet,
$\bullet{\white{w}}\forall\ x\in[0\,;\,2],\ f'(x)\le0\Longrightarrow{\blue{\text{f est décroissante sur }[0\,;\,2].}} \\\bullet{\white{w}}\forall\ x\in[2\,;\,5],\ f'(x)\ge0\Longrightarrow{\blue{\text{f est croissante sur }[2\,;\,5].}} \\\bullet{\white{w}}\forall\ x\in[5\,;\,7],\ f'(x)\le0\Longrightarrow{\blue{\text{f est décroissante sur }[5\,;\,7]}}.$
Par conséquent, l'affirmation b. est correcte.

4. La probabilité qu'une puce prélevée au hasard ait les deux défauts est 0,004.

Soient les événements A : "la puce présente le défaut A" et B : "la puce présente le défaut B".
Nous savons que P(A) = 0,028 et P(B) = 0,022.
De plus "95,4% des puces ne présentent aucun défaut" signifie que "4,6% des puces présentent au moins un défaut", soit que P(A B) = 0,046.

$\text{Or }\,P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\Longleftrightarrow P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\Longleftrightarrow P(A\cap B)=0,028+0,022-0,046} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}\Longleftrightarrow \boxed{P(A\cap B)=0,004}}$
Par conséquent, l'affirmation b. est correcte.

5. On se donne une fonction f , supposée dérivable sur

, et on note f' sa fonction dérivée.
On note ci-dessous le tableau de variation de f :

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-\infty&&-1&&+\infty \\\hline&&&0&&& f(x)&&\nearrow&&\searrow&&&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}$

D'après ce tableau de variations, f' est positive sur $\overset{{\white{.}}}{{\red{]-\infty\,;\,-1]}}}.$

En effet, la fonction f étant croissante sur ]- infini

; -1], sa dérivée f' est positive sur cet intervalle ]- infini

; -1].
Par conséquent, l'affirmation b. est correcte.

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A :

1. D'après une étude, les utilisateurs réguliers de transports en commun représentent 17 % de la population française.
Parmi ces utilisateurs réguliers, 32 % sont des jeunes âgés de 18 à 24 ans.

Arbre pondéré reprenant les données de l'énoncé.

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (1) : image 10

2. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(R\cap J).}$

$P(R\cap J)=P(R)\times P_R(J) \\\phantom{P(R\cap J)}=0,17\times 0,32 \\\phantom{P(R\cap J)}=0,0544 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(R\cap J)=0,0544}$

3. D'après cette même étude, les jeunes de 18 à 24 ans représentent 11 % de la population française.
D'où P(J) = 0,11.

Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(\overline{R}\cap J).}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{R}$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(J)=P(R\cap J)+P(\overline{R}\cap J)\Longleftrightarrow 0,11=0,0544+P(\overline{R}\cap J) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(J)=P(R\cap J)+P(\overline{R}\cap J)}\Longleftrightarrow P(\overline{R}\cap J)=0,11-0,0544} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(J)=P(R\cap J)+P(\overline{R}\cap J)}\Longleftrightarrow P(\overline{R}\cap J)=0,0556} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(\overline{R}\cap J)\approx0,056\ (\text{valeur arrondie à }10^{-3}\text{ près}).}$
D'où, la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans n'utilisant pas régulièrement les transports en commun est 0,056 à 10^-3 près.

4. Déterminons la probabilité que la personne interrogée soit un jeune de 18 à 24 ans sachant qu'elle n'utilise pas régulièrement les transports en commun.

$P_{\overline{R}}(J)=\dfrac{P(\overline{R}\cap J)}{P(\overline{R})}=\dfrac{0,056}{1-P(R)}=\dfrac{0,056}{1-0,17}=\dfrac{0,056}{0,83}\approx0,0675 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{R}}(J)\approx0,0675}$
Par conséquent, nous en déduisons que la proportion de jeunes de 18 à 24 ans parmi les utilisateurs non réguliers des transports en commun est environ égale à 6,75 %.

Partie B :

1. Lors de cette expérience, on répète 50 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "la personne utilise régulièrement les transports en commun" dont la probabilité est p = 0,17.
Echec : "la personne n'utilise pas régulièrement les transports en commun" dont la probabilité
est 1 - p = 1 - 0,17 = 0,83.
La variable aléatoire X compte le nombre de personnes utilisant régulièrement les transports en commun, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre p = 0,17 et n = 50.

2. Nous devons déterminer $P(X=5).$

$P(X=5)=\begin{pmatrix}50\\5\end{pmatrix}\times0,17^5\times(1-0,17)^{50-5} \\\phantom{P(X=5)}=\begin{pmatrix}50\\5\end{pmatrix}\times0,17^5\times0,83^{45} \\\phantom{p(X=5)}\approx0,0686816 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=5)\approx0,069}$
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement 5 personnes utilisant régulièrement les transports en commun est environ égale à 0,069 (valeur arrondie au millième).

3. Selon le recenseur, $P(X<13)>0,95.$

Par la calculatrice, nous obtenons : $P(X<13)=P(X\le12)\approx0,9286.$
Donc l'affirmation du recenseur est fausse car 0,9286 < 0,95.

4. L'espérance $\overset{{\white{.}}}{E(X)=n\times p=50\times0,17\Longrightarrow\boxed{E(X)=8,5}\,.}$
Donc nous pouvons estimer que le nombre moyen de personnes utilisant régulièrement les transports en commun parmi 50 personnes interrogées s'élève à 8,5.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A :

${\red{1.\ }}\ a_1=0,85\times a_0+450 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ a_1}=0,85\times 200+450 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ a_1}=170+450 \\\phantom{{\red{1.\ }}\ a_1}=620 \\\\\Longrightarrow\boxed{a_1=620}$

2. Pour tout entier naturel n , a_n désigne une estimation du nombre de collaborateurs en télétravail le n -ième mois après le mois de mai 2020.
Chaque mois, les dirigeants de l'entreprise constatent que 85 % de ceux qui avaient choisi le télétravail le mois précédent choisissent de continuer, soit $\overset{{\white{.}}}{0,85\times a_n.}$
De plus, chaque mois, 450 collaborateurs supplémentaires choisissent le télétravail.
Par conséquent, le (n +1)-ième mois après le mois de mai 2020, le nombre a _n +1 de collaborateurs en télétravail est $\boxed{a_{n+1}=0,85\,a_n+450}\,.$

3. On considère la suite (v_n ) définie pour tout entier naturel n par : $v_n=a_n - 3000.$

3. a) Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique. $v_{n+1}=a_{n+1}-3000 \\\phantom{v_{n+1}}=(0,85\,a_{n}+450)-3000 \\\phantom{v_{n+1}}=0,85\,a_{n}-2550\\\phantom{v_{n+1}}=0,85\,a_{n}-0,85\times3000 \\\phantom{v_{n+1}}=0,85\,(a_{n}-3000) \\\phantom{v_{n+1}}=0,85\,v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,85\,v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=a_0-3000=200-3000\Longrightarrow\boxed{a_0=-2800}$
Par conséquent, la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,85 dont le premier terme est v ₀ = -2800.

3. b) Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout n supegal

0, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=-2800\times0,85^{n}}}$

${\red{3.\ \text{c) }}}\ \forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=a_n-3000{\white{ww}}\\v_n=-2800\times0,85^{n}\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}} a_n-3000=-2800\times0,85^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ a_n=-2800\times0,85^{n}+3000}$

4. Nous devons déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité $\overset{{\white{.}}}{a_n>2500.}$

$a_n>2500\Longleftrightarrow -2800\times0,85^{n}+3000>2500 \\\phantom{a_n>2500}\Longleftrightarrow -2800\times0,85^{n}>-500 \\\phantom{a_n>2500}\Longleftrightarrow 2800\times0,85^{n}<500 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_n>2500}\Longleftrightarrow 0,85^{n}<\dfrac{500}{2800}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_n>2500}\Longleftrightarrow 0,85^{n}<\dfrac{5}{28}} \\\phantom{a_n>2500}\Longleftrightarrow \ln(0,85^{n})<\ln\left(\dfrac{5}{28}\right) \\\phantom{a_n>2500}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,85)<\ln\left(\dfrac{5}{28}\right) \\\phantom{a_n>2500}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)}{\ln(0,85)}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,85)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{5}{28}\right)}{\ln(0,85)}\approx10,6$
Le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité est n = 11.
Par conséquent, en s'appuyant sur ce modèle, le nombre de télétravailleurs dépassera 2500 pour la première fois 11 mois après la mise en place de cette mesure de l'entreprise.

Partie B :

Afin d'évaluer l'impact de cette mesure sur son personnel, les dirigeants de l'entreprise sont parvenus à modéliser le nombre de collaborateurs satisfaits par ce dispositif à l'aide de la suite (u_n ) définie par u ₀ = 1 et, pour tout entier naturel n ,

$u_{n+1}=\dfrac{5u_n+4}{u_n+2}$ où u_n désigne le nombre de milliers de collaborateurs satisfaits par cette nouvelle mesure au bout de n mois après le mois de mai 2020.

1. Soit f la fonction définie par $f(x)=\dfrac{5x+4}{x+2}{\white{www}}(\,x\in[0\,;\,+\infty[\,).$
f est dérivable sur [0 ; + infini

[ (fraction rationnelle).

$\text{D'où }\ f'(x)=\dfrac{(5x+4)'(x+2)-(5x+4)(x+2)'}{(x+2)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\ f'(x)}=\dfrac{5\times(x+2)-(5x+4)\times1}{(x+2)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\ f'(x)}=\dfrac{5x+10-5x-4}{(x+2)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\ f'(x)}=\dfrac{6}{(x+2)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in[0\,;\,+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{6}{(x+2)^2}\ {\red{>0}}}$
Nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +[.

2. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{0\le u_n \le u_{n+1} \le 4.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{0\le u_0\le u_1\le4}$
C'est une évidence puisque $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}u_0=1{\white{wwwwwwwwwww}}\\u_1=\dfrac{5u_0+4}{u_0+2}=\dfrac{5+4}{1+2}=3\end{matrix}\right.}$
et $\overset{{\white{.}}}{0\le1\le3\le4\Longrightarrow\boxed{0\le u_0\le u_1\le4}}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{0\le u_n \le u_{n+1} \le 4}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{0\le u_{n+1} \le u_{n+2} \le 4.}$

En effet,

$0\le u_n \le u_{n+1} \le 4\Longrightarrow f(0)\le f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(4) \\ {\white{wwwwwwwwwwwwwwww}}(\text{car }f\text{ est strictement croissante sur }[0\,;\,+\infty[) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0\le u_n \le u_{n+1} \le 4}\Longrightarrow \dfrac{0+4}{0+2}\le \dfrac{5u_n+4}{u_n+2}\le\dfrac{5u_{n+1}+4} {u_{n+1}+2}\le \dfrac{20+4}{4+2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0\le u_n \le u_{n+1} \le 4}\Longrightarrow 2\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{0\le u_n \le u_{n+1} \le 4}\Longrightarrow 0\le2\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{0\le u_n \le u_{n+1} \le 4}\Longrightarrow \boxed{0\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 4}}$

Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{0\le u_n \le u_{n+1} \le 4.}$

2. b) De la questions 2.a), nous pouvons déduire que la suite (u_n ) est croissante et majorée par 4.
D'où la suite (u_n ) est convergente.

3. On admet que pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{0\le 4-u_n\le 3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n.}$

$0<\dfrac{1}{2}<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0 \\\phantom{0<\dfrac{1}{2}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0 \\\\ \text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}0\le 4-u_n\le 3\times \left(\dfrac 1 2 \right) ^n\\\lim\limits_{n\to+\infty}3\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0\end{matrix}\right. \underset{\text{par le théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\phantom{xxx}\lim\limits_{n\to+\infty}(4-u_n)=0 \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\phantom{xxx}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=4}$
Donc à très long terme, parmi les 5000 collaborateurs, 4000 d'entre eux seront satisfaits par ce dispositif.

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.

exercice A - Geométrie dans l'espace

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points suivants :
A(2 ; -1 ; 0) ; B(3 ;-1 ; 2) ; C(0 ; 4 ; 1) et S(0 ; 1 ; 4).
1. Montrons que le triangle ABC est rectangle en A.

$\left\lbrace\begin{matrix}A\,(2\,;\,-1\,;\,0)\\B\,(3\,;\,-1\,;\,2)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix} 3-2\\ -1+1\\ 2-0 \end{pmatrix} {\white{ww}}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}} \\\\\text{et }\left\lbrace\begin{matrix}A\,(2\,;\,-1\,;\,0)\\C\,(0\,;\,4\,;\,1)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix} 0-2\\ 4+1\\ 1-0 \end{pmatrix} {\white{ww}}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix} -2\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}} \\\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=1\times(-2)+0\times5+2\times1 \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-2+0+2 \\\phantom{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}}\\ {\white{wwwwwwwwww}}$
D'où les droites (AB) et (AC) sont orthogonales.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A.

2. a) Afin de montrer que le vecteur $\overrightarrow n \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (ABC), nous allons montrer que le vecteur $\overrightarrow n$ est orthogonal aux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan (ABC)

$\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\ \text{et }\ \overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}. \\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\,.\overrightarrow{n}=1\times2+0\times1+2\times(-1) \\\phantom{\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\,.\overrightarrow{n}}=2+0-2 \\\phantom{\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\,.\overrightarrow{n}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{n}}\\ {\white{wwwwwwwwww}} \\\\ \overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix} -2\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}\ \text{et }\ \overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}. \\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\,.\overrightarrow{n}=(-2)\times2+5\times1+1\times(-1) \\\phantom{\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\,.\overrightarrow{n}}=-4+5-1 \\\phantom{\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\,.\overrightarrow{n}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{n}}\\ {\white{wwwwwwwwww}}$
Le vecteur $\overrightarrow n$ est donc orthogonal aux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan (ABC)
Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow n$ est orthogonal au plan (ABC).

2. b) Nous savons que tout plan dont une équation cartésienne est de la forme ax + by + cz + d = 0 admet un vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}.$
Puisque nous avons montré dans la question précédente que $\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1 \end{pmatrix}$ est un vecteur orthogonal au plan (ABC), une équation cartésienne de (ABC) est de la forme $\overset{{\white{.}}}{2x+y-z+d=0.}$
Or le point A(2 ; -1 ; 0) appartient à ce plan.
Ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
D'où $2\times2-1-0+d=0\Longleftrightarrow4-1+d=0\Longleftrightarrow \boxed{d=-3}$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est $\boxed{2x+y-z-3=0}\,.$

2. c) Vérifions si le point S(0 ; 1 ; 4) appartient au plan (ABC) c'est-à-dire si les coordonnées du point S vérifient l'équation du plan (ABC).
$2x_S+y_S-z_S-3=2\times0+1-4-3=-6\Longrightarrow\boxed{2x_S+y_S-z_S-3{\red{}\neq0}}$
Les coordonnées du point S ne vérifient pas l'équation du plan (ABC).
Par conséquent, les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

3. Soit (d ) la droite orthogonale au plan (ABC) passant par S.
Elle coupe le plan (ABC) en H.

3. a) Déterminons une représentation paramétrique de la droite (d ).
La droite (d ) est orthogonale au plan (ABC) et est donc dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{1}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix}$ .
La droite (d ) passe par le point $\overset{{\white{.}}}{S({\blue{0}}\,;\,{\blue{1}}\,;\,{\blue{4}}).}$
D'où une représentation paramétrique de la droite (d ) est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{2}}\times t\\y={\blue{1}}+{\red{1}}\times t\\z={\blue{4}}+{\red{(-1)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$
soit $\boxed{(d):\left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=1+t\\z=4-t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

3. b) Les coordonnées du point H sont les solutions du système composé par les équations de la droite (d ) et du plan (ABC), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=1+t\\z=4-t\\2x+y-z-3=0 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=1+t\\z=4-t\\ 2\times2t+(1+t)-(4-t)-3=0 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=1+t\\z=4-t\\4t+1+t-4+t-3=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=1+t\\z=4-t\\6t-6=0 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=2t\\y=1+t\\z=4-t\\t=1 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=2\times1\\y=1+1\\z=4-1\\t=1 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=2\\z=3\\t=1 \end{array}$

D'où les coordonnées du point H sont $\boxed{H(2\,;\,2\, ;\, 3)}.$

4. On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est : $\overset{{\white{.}}}{\text{V} =\dfrac{\text{ Aire de la base } \times \text{ hauteur }}{3}.}$

$\bullet{\white{w}}$ Prenons le triangle rectangle ABC comme base du tétraèdre.

$\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}.$

$\text{Or }\ \overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\ (\text{voir question 1.})\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w} AB=\sqrt{1^2+0^2+2^2} \\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\boxed{AB=\sqrt{5}}$

$\overrightarrow{AC}\,\begin{pmatrix} -2\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}\ (\text{voir question 1.})\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w} AC=\sqrt{(-2)^2+5^2+1^2} \\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwww}\Longrightarrow\boxed{AC=\sqrt{30}}$

$\text{D'où, }\text{ Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2} \\\phantom{\text{D'où, }\text{ Aire}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{30}}{2} \\\phantom{\text{D'où, }\text{ Aire}_{ABC}}=\dfrac{\sqrt{5}\times \sqrt{5}\times \sqrt{6}}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{ Aire}_{ABC}=\dfrac{5 \sqrt{6}}{2}}$

$\bullet{\white{w}}$ SH est la hauteur du tétraèdre.

$\overrightarrow{SH}:\,\begin{pmatrix} x_H-x_S\\ y_H-y_S\\ z_H-z_S \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-0\\ 2-1\\ 3-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\1\\ -1 \end{pmatrix} \\\\\overset{{\white{.}}}{\Longrightarrow SH}=\sqrt{2^2+1^2+(-1)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Longrightarrow SH}=\sqrt{6}} \\\\\Longrightarrow\boxed{SH=\sqrt{6}}$

$\bullet{\white{w}}$ D'où le volume du tétraèdre SABC est :

$\text{V} =\dfrac{\text{ Aire de la base } \times \text{ hauteur }}{3} =\dfrac{\dfrac{5 \sqrt{6}}{2}\times \sqrt{6}}{3}=\dfrac{\dfrac{5 }{2}\times 6}{3}=\dfrac{15}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{V=5}$

${\red{5.\ \text{a) }}}\overrightarrow{SA}:\,\begin{pmatrix} x_A-x_S\\ y_A-y_S\\ z_A-z_S \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-0\\ -1-1\\ 0-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ -4 \end{pmatrix} \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\red{5.\ \text{a) }}}\Longrightarrow SA}=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{5.\ \text{a) }}}\Longrightarrow SA}=\sqrt{24}} \\\\\Longrightarrow\boxed{SA=\sqrt{24}=2\sqrt{6}}$

5. b) On indique que SB = $\sqrt{17}.$

Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{SA}.\,\overrightarrow{SB}$ de deux manières différentes.

$\bullet\ \text{ D'une part, }\overrightarrow{SA}:\,\begin{pmatrix} 2\\ -2\\ -4 \end{pmatrix}\ \text{voir question 5. a) }\\\\\phantom{\bullet\ \text{ D'une part, }}\overrightarrow{SB}:\,\begin{pmatrix} x_B-x_S\\ y_B-y_S\\ z_B-z_S \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-0\\ -1-1\\ 2-4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\-2\\ -2 \end{pmatrix} \\\\\phantom{\bullet\ \text{ D'une part, }}\Longrightarrow\overrightarrow{SA}\,.\overrightarrow{SB}=2\times3-2\times(-2)-4\times(-2) \\\phantom{wwwwwwwww\Longrightarrow\overrightarrow{SA}\,.\overrightarrow{SB}}=6+4+8\\\phantom{\Longrightarrow wwwwwwwww.\overrightarrow{SA}\,.\overrightarrow{SB}}=18 \\\\\phantom{\bullet\ \text{ D'une part, }}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{SA}.\,\overrightarrow{SB}=18}$

$\bullet\ \text{ D'autre part, }SA=2\sqrt{6}\ (\text{voir question 5. a)})\\\\\phantom{\bullet\ \text{ D'autre part, }}SB=\sqrt{17}\ (\text{voir énoncé})\\\\\phantom{\bullet\ \text{ D'une part, }}\Longrightarrow\overrightarrow{SA}\,.\overrightarrow{SB}=SA\times SB\times\cos(\widehat{ASB})\\\phantom{wwwwwwwww\Longrightarrow\overrightarrow{SA}\,.\overrightarrow{SB}}=2\sqrt{6}\times\sqrt{17}\times\cos(\widehat{ASB})\\\phantom{\Longrightarrow wwwwwwwww.\overrightarrow{SA}\,.\overrightarrow{SB}}=2\sqrt{102}\times\cos(\widehat{ASB})\\\\\phantom{\bullet\ \text{ D'une part, }}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{SA}.\,\overrightarrow{SB}=2\sqrt{102}\times\cos(\widehat{ASB})}$

Par identification des deux résultats, nous obtenons : $18=2\sqrt{102}\times\cos(\widehat{ASB}).$

D'où $\overset{{\white{.}}}{\cos(\widehat{ASB})=\dfrac{18}{2\sqrt{102}}=\dfrac{9}{\sqrt{102}}\Longrightarrow\boxed{\widehat{ASB}\approx27,0^{\,\text{o}}}}$

exercice B - Équations différentielles

Partie A :

Soit g la fonction définie sur

par : $g(x)=2\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}x - 2.$

1. Déterminons l'expression de g' (x ).

$g'(x)=\left(2\text{e}^{\frac{-1}{3}x}\right)'+\left(\dfrac{2}{3}x\right)' - 2\,' \\\phantom{g'(x)}=2\times\left(\dfrac{-1}{3}x\right)'\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}-0 \\\phantom{g'(x)}=2\times\left(\dfrac{-1}{3}\right)\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=\dfrac{-2}{3}\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}}$

2. Etudions le signe de la dérivée g' (x ) et les variations de la fonction g sur

.

$g'(x)=\dfrac{-2}{3}\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}\Longleftrightarrow g'(x)=\dfrac{2}{3}\,\left(-\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+1\right).$

Puisque $\dfrac{2}{3}>0$ , le signe de g' (x ) est le signe de $\left(-\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+1\right).$

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}-\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+1<0\Longleftrightarrow -\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}<-1\\\phantom{.2x-1<0}\Longleftrightarrow \text{e}^{\frac{-1}{3}x}>1\\\phantom{ww.2x-1<0}\Longleftrightarrow\dfrac{-1}{3}x>\ln(1)\\\\\phantom{ww2x-1.}\Longleftrightarrow \dfrac{-1}{3}x>0\\\phantom{ww2x-1.}\Longleftrightarrow x<0\\\\-\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+1=0\Longleftrightarrow x=0\\\\-\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+1>0\Longleftrightarrow x>0\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline-\,\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+1&&-&0&+&\\\hline&&&&&\\g'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction g sur

.

$\underline{\text{Calcul préliminaire}}:g(0)=2\text{e}^{0}+\dfrac{2}{3}\times0 - 2=2+0-2=0 \\\\\\ {\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline &&&&& \\g(x)&&\searrow&&\nearrow& \\ &&&0&& \\ \hline \end{array}\end{matrix}$

D'où, la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}$
${\white{wwwwwwwwwww.w}}$ strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

3. A l'aide du tableau de variations de la fonction g , nous déduisons que g (x ) > 0 pour tout x différent de 0 et g(0) = 0.

Partie B :

1. Nous devons résoudre l'équation différentielle $(E):3y'+y=0.$
La solution générale d'une équation différentielle de la forme $\overset{{\white{.}}}{y'=ay+b}$ est $y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).$
$\text{Or }\ (E)\Longleftrightarrow 3y'=-y\Longleftrightarrow \boxed{y'=-\dfrac{1}{3}y}.$
Dans ce cas, $a=-\dfrac{1}{3}$ et b = 0.
D'où la solution générale de l'équation (E ) est de la forme $f(x)=k\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}-0$
soit $\boxed{f(x)=k\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\ \ \ \ \ (k\in\R)}$

2. Déterminons la solution de (E ) vérifiant la condition $\overset{{\white{.}}}{f(0)=2}$ en remplaçant x par 0 et f (x ) par 2 dans la solution générale de (E ).

$k\,\text{e}^{-\frac{1}{3}\times0}=2\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}=2,\\\phantom{k\,\text{e}^{-\frac{1}{3}\times0}=2}\Longleftrightarrow k\times1=2 \\\phantom{k\,\text{e}^{-\frac{1}{3}\times0}=0}\Longleftrightarrow{\red{ k=2}}$
Par conséquent, pour tout réel x , $\overset{{\white{.}}}{\boxed{ f(x)=2\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}}}.$

3. a) Déterminons une équation de la tangente ( deltamaj

₀) à la courbe C_f au point M ( 0 ; 2).

Une telle équation est de la forme $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ , soit $\boxed{y=f'(0)x+f(0)}\,.$

$f(x)=2\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\Longrightarrow f'(x)=2\times \left(\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=2\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\Longrightarrow f'(x)}=2\times(-\dfrac{1}{3}x)'\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=2\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\Longrightarrow f'(x)}=2\times(-\dfrac{1}{3})\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=2\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\Longrightarrow f'(x)}=-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}} \\\\\text{D'où }\ \left\lbrace\begin{matrix}f(x)=2\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\\ f'(x)=-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}x}\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \left\lbrace\begin{matrix}f(0)=2\,\text{e}^{0}\\ f'(0)=-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{0}\end{matrix}\right.\ \Longrightarrow\ \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=2\\ f'(0)=-\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.}$
Par conséquent, une équation de la tangente (₀) à la courbe C_f au point M ( 0 ; 2) est $\boxed{y=-\dfrac{2}{3}x+2}\,.$

3. b) La position de la courbe C_f par rapport à la tangente ( deltamaj

₀) se déduit du signe de la différence $f(x)-(-\dfrac{2}{3}x+2).$

Or $f(x)-(-\dfrac{2}{3}x+2) = f(x)+\dfrac{2}{3}x-2=2\text{e}^{\frac{-1}{3}x}+\dfrac{2}{3}x - 2=g(x)$ pour lequel le signe positif a été déterminé dans la Partie A, 3.
Nous en déduisons que $f(x)-(-\dfrac{2}{3}x+2)\ge0$ pour tout réel x .
Par conséquent, en tout point, la courbe C_f est au-dessus de la tangente (₀).

Graphique représentant la situation.

Bac général spécialité maths 2021 centres étrangers (1) : image 12

Partie C :

1. Une équation de la tangente ( deltamaj

_a) à la courbe C_f au point A d'abscisse a est de la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ , soit $\boxed{y=-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x-a)+2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}}\,.$

L'abscisse du point d'intersection de ( deltamaj

_a) avec l'axe des abscisses est la solution de l'équation $-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x-a)+2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}=0.$

$-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x-a)+2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}=0\Longleftrightarrow 2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}\left(-\dfrac{1}{3}(x-a)+1\right)=0 \\\phantom{-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x-a)+2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}=0}\Longleftrightarrow-\dfrac{1}{3}(x-a)+1=0\ (\text{en divisant les deux membres par }2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}\ne0) \\\\\phantom{-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x-a)+2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}=0}\Longleftrightarrow-\dfrac{1}{3}(x-a)=-1 \\\phantom{-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x-a)+2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}=0}\Longleftrightarrow x-a=3 \\\phantom{-\dfrac{2}{3}\,\text{e}^{-\frac{1}{3}a}(x-a)+2\text{e}^{\frac{-1}{3}a}=0}\Longleftrightarrow \boxed{x=a+3}$

Par conséquent, la tangente (_a) à la courbe C_f au point A coupe l'axe des abscisses en un point P
d'abscisse a +3.

2. Nous savons par la question précédente que l'abscisse du point d'intersection C de la tangente ( deltamaj

_-2) à la courbe C_f au point B d'abscisse -2 est égale à -2 + 3 = 1.
Les coordonnées de ce point C sont donc (1 ; 0).
Nous pouvons ainsi construire la tangente (_-2) à la courbe C_f au point B d'abscisse -2 en traçant la droite (BC).

Publié par malou le 05-08-2021

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