Fiche de mathématiques

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Épreuve d'enseignement de spécialité

Session 2022

Amérique du Nord (2)

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1

Thème : probabilités, suites

Dans une région touristique, une société propose un service de location de vélos pour la journée.
La société dispose de deux points de location distincts, le point A et le point B. Les vélos peuvent être empruntés et restitués indifféremment dans l'un ou l'autre des deux points de location.
On admettra que le nombre total de vélos est constant et que tous les matins, à l'ouverture du service, chaque vélo se trouve au point A ou au point B.
D'après une étude statistique :

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ Si un vélo se trouve au point A un matin, la probabilité qu'il se trouve au point A le matin suivant est égale à 0,84 ;
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ Si un vélo se trouve au point B un matin la probabilité qu'il se trouve au point B le matin suivant est égale à 0,76.

À l'ouverture du service le premier matin, la société a disposé la moitié de ses vélos au point A, l'autre moitié au point B.
On considère un vélo de la société pris au hasard.
Pour tout entier naturel non nul n, on définit les évènements suivants :

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ A_n : "le vélo se trouve au point A le n ^ième matin"
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ B_n : "le vélo se trouve au point B le n ^ième matin"

Pour tout entier naturel non nul n, on note a_n la probabilité de l'évènement A_n et b_n la probabilité de l'événement B_n. Ainsi a₁ = 0,5 et b₁ = 0,5.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les deux premiers matins :

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 5

2. a. Calculer a₂.
$\white{wi}$ b. Le vélo se trouve au point A le deuxième matin. Calculer la probabilité qu'il se soit trouvé au point B le premier matin. La probabilité sera arrondie au millième.

3. a. Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui modélise la situation pour les n ^ième et n +1 ^ième matins.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 4

$\white{wi}$ b. Justifier que pour tout entier naturel non nul n , $a_{n+1}=0,6 \,a_n + 0,24.$

4. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n , $a_n=0,6 - 0,1 \times 0,6 ^{n-1} .$

5. Déterminer la limite de la suite (a_n ) et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice.

6. Déterminer le plus petit entier naturel n tel que $a_n\ge 0,599$ et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

7 points

exercice 2

Thème : fonctions, fonction exponentielle

Partie A

Soit p la fonction définie sur [-3 ; 4] par :

$p(x)=x^3-3x²+5x+1$

1. Déterminer les variations de la fonction p sur l'intervalle [-3 ; 4].
2. Justifier que l'équation $p(x)=0$ admet dans l'intervalle [-3 ; 4] une unique solution qui sera notée alpha

.
3. Déterminer une valeur approchée du réel alpha

au dixième près.
4. Donner le tableau de signes de la fonction p sur l'intervalle [-3 ; 4].

Partie B

Soit f la fonction définie sur [-3 ; 4] par :

$f(x)=\dfrac{\text e ^x}{1+x²}$

On note $\mathscr C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1. a. Déterminer la dérivée de le fonction f sur l'intervalle [-3 ; 4].
$\white {wi}$ b. Justifier que la courbe $\mathscr C_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

2. Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe $\mathscr C_f$ comme profil d'un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 2

$\white {wi}$ a. D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
$\white {wi}$ b. On admet que la fonction f '' , dérivée seconde de la fonction f , a pour expression pour tout réel x de l'intervalle [-3 ; 4] :

$f''(x)=\dfrac{ p(x)(x-1)\text e ^x}{(1+x²)^3}$

où p est la fonction définie dans la partie A.
En utilisant l'expression précédente de f '' , répondre à la question : "le toboggan assure-t-il de bonnes sensations ?". Justifier.

7 points

exercice 3

Thème : géométrie dans l'espace

Une exposition d'art contemporain a lieu dans une salle en forme de pavé droit de largeur 6 m, de longueur 8 m et de hauteur 4 m.
Elle est représentée par le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où 0B = 6 m, OD = 8 m et OE = 4 m.
On utilise le repère orthonormé $(O\,;\, \vec i , \vec j , \vec k)$ tel que $\vec i = \dfrac 1 6 \overrightarrow{OB}\,, \vec j = \dfrac 1 8 \overrightarrow{OD}\,, \vec k = \dfrac 1 4 \overrightarrow{OE}\,.$

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 3

Dans ce repère on a, en particulier C (6 ; 8 ;0) , F (6 ; 0 ; 4) et G (6 ; 8 ; 4).
Une des oeuvres exposées est un triangle de verre représenté par le triangle ART qui a pour sommets A (6 ; 0 ; 2) , R (6 ; 3 ; 4) et T (3 ; 0 ;4). Enfin, S est le point de coordonnées (3 ; 5/2 ; 0).

1. a. Vérifier que le triangle ART est isocèle en A.
$\white {wi}$ b. Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AR}\cdot \overrightarrow{AT}.$
$\white {wi}$ c. En déduire une valeur approchée à 0,1 degré près de l'angle $\widehat{RAT}.$

2. a. Justifier que le vecteur $\vec n \, \begin{pmatrix} 2\\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ART ).

$\white{wi}$ b. En déduire une équation cartésienne du plan (ART ). 3. Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S. On admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART ).
$\white {wi}$ a. Soit deltamaj

la droite orthogonale au plan (ART ) et passant par le point S.
$\white {wwi}$ Justifier que le système ci-dessous est une représentation paramétrique de la droite deltamaj

:

$\left\lbrace\begin{matrix} x & = & 3+2k&\\ y & = & \frac 5 2 -2k\;,&\text{ avec } k\in \textbf R\\ z& = & 3k& \end{matrix}\right.$

$\white {wi}$ b. Soit L le point d'intersection de la droite deltamaj

avec le plan (ART ).
$\white {wwi}$ Démontrer que L a pour coordonnées (5 ; 1/2 ; 3).

4. L'artiste installe un rail représenté par le segment [DK ]où K est le milieu du segment [EH ] .
Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK ] et il oriente ce second rayon laser vers le point S.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 6

$\white {wi}$ a. Montrer que pour tout réel t de l'intervalle [0 ; 1], le point N de coordonnées (0 ; 8-4t ; 4t ) est un point du segment [DK ].
$\white {wi}$ b. Calculer les coordonnées exactes du point N tel que deux rayons laser représentés par les segments [SL ] et [SN ] soient perpendiculaires.

7 points

exercice 4

Thème : fonction logarithme népérien, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui comprend six questions. Les six questions sont indépendantes. Pour chacune des questions, une seule des quatre réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.

Question 1

Le réel a est défini par $a=\ln (9) + \ln \left( \dfrac{\sqrt 3}{3}\right) + \ln \left( \dfrac 1 9\right)$ est égal à :
a. ${\white w }1-\dfrac 1 2 \ln (3)$
b. ${\white w }\dfrac 1 2 \ln (3)$
c. ${\white w }3\ln (3) + \dfrac 1 2$
d. ${\white w }-\dfrac 1 2 \ln (3)$

Question 2

On note (E ) l'équation suivante $\ln x + \ln ( x-10) = \ln 3 + \ln 7$ d'inconnue le réel x.
a. ${\white w } 3$ est solution de (E ).
b. ${\white w } 5-\sqrt{46}$ est solution de (E ).
c. ${\white w }$ L'équation (E ) admet une unique solution réelle.
d. ${\white w }$ L'équation (E ) admet deux solutions réelles.

Question 3
La fonction f est définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par l'expression $f(x)=x²(-1+\ln x).$
On note $\mathscr C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère.
a. ${\white w }$ Pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + infini

[ , $f'(x)=2x+\dfrac 1 x$
b. ${\white w }$ La fonction f est croissante sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.
c. ${\white w }$ $f'(\sqrt{\text e})$ est différent de 0.
d. ${\white w }$ La droite d'équation $y=-\dfrac 1 2 \text e$ est tangente à la courbe $\mathscr C_f$ au point d'abscisse $\sqrt{\text e }.$

Question 4
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.
La probabilité de tirer exactement 2 jetons jaunes, arrondie au millième, est :
a. ${\white w }$ 0,683
b. ${\white w }$ 0,346
c. ${\white w }$ 0,230
d. ${\white w }$ 0,165

Question 5
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus. On tire successivement et avec remise 5 jetons du sac.
La probabilité de tirer au moins un jeton jaune, arrondie au millième, est :
a. ${\white w }$ 0,078
b. ${\white w }$ 0,259
c. ${\white w }$ 0,337
d. ${\white w }$ 0,922

Question 6
Un sac contient 20 jetons jaunes et 30 jetons bleus.
On réalise l'expérience aléatoire suivante : on tire successivement et avec remise cinq jetons du sac.
On note le nombre de jetons jaunes obtenus après ces cinq tirages.
Si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à :
a. ${\white w }$ 0,4
b. ${\white w }$ 1,2
c. ${\white w }$ 2
d. ${\white w }$ 2,5

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7 points

exercice 1

Thème : probabilités, suites

1. Arbre pondéré qui modélise la situation pour les deux premiers matins.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 13

2. a) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{a_2.}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{A_1}$ et $\overset{{\white{.}}}{B_1}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$a_2=P(A_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{xx}=P(A_1\cap A_2)+P(B_1\cap A_2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{xx}=P(A_1)\times P_{A_1}(A_2)+P(B_1)\times P_{B_1}(A_2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{xx}=0,5\times0,84+0,5\times0,24} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{xx}=0,42+0,12=0,54} \\\\\Longrightarrow\boxed{a_2=0,54}$
Par conséquent, la probabilité que le vélo se trouve au point A le deuxième matin est égale à 0,54.

2. b) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_{A_2}(B_1).}$

$P_{A_2}(B_1)=\dfrac{P(B_1\cap A_2)}{P(A_2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXxXi}=\dfrac{P(B_1)\times P_{B_1}(A_2)}{a_2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}=\dfrac{0,5\times 0,24}{0,54}=\dfrac{0,12}{0,54}=\dfrac{2}{9}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{A_2}(B_1)=\dfrac{2}{9}\approx0,222}$

D'où, la probabilité que le vélo se soit trouvé au point B le premier matin sachant qu'il se trouve au point A le deuxième matin est environ égale à 0,222.

3. a) Arbre pondéré qui modélise la situation pour les n ^ième et (n +1)^ième matins.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 18

3. b) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{a_{n+1}.}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{A_{n}}$ et $\overset{{\white{.}}}{B_n}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons pour tout entier naturel non nul n :

$a_{n+1}=P(A_{n+1}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{xxxi}=P(A_n\cap A_{n+1})+P(Bn\cap A_{n+1})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{xxxi}=P(A_n)\times P_{A_n}(A_{n+1})+P(B_n)\times P_{B_n}(A_{n+1})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{xxix}=a_n\times0,84+(1-a_n)\times0,24} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{xxix}=a_n\times0,84+0,24-a_n\times0,24} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{xxxi}=a_n\times(0,84-0,24)+0,24} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{xxxi}=a_n\times0,6+0,24} \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=0,6\,a_n+0,24}$

4. Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n , $\overset{{\white{.}}}{a_n=0,6-0,1\times0,6^{n-1}.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 1.
Nous savons que $a_1=0,5.$
Or $0,6-0,1\times0,6^{1-1}=0,6-0,1\times0,6^{0}=0,6-0,1\times1=0,5.$
Dès lors $a_1=0,6-0,1\times0,6^{1-1}.$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel non nul n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel non nul n fixé, $\overset{{\white{.}}}{a_n=0,6-0,1\times0,6^{n-1}}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{a_{n+1}=0,6-0,1\times0,6^{n}.}$

En effet,

$a_{n+1}=0,6\,a_n+0,24 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_{n+1}}=0,6\times(0,6-0,1\times0,6^{n-1})+0,24} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_{n+1}}=0,36-0,1\times0,6\times0,6^{n-1}+0,24} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_{n+1}}=0,36+0,24-0,1\times(0,6\times0,6^{n-1})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{a_{n+1}}=0,6-0,1\times0,6^{n}} \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=0,6-0,1\times0,6^{n}}$
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n , $\overset{{\white{.}}}{a_n=0,6-0,1\times0,6^{n-1}.}$

${\red{5.\ }}\ \ 0<0,6<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,6^{n-1}=0 \\\\\phantom{WWWWWWx}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{-0,1\times0,6^{n-1}}\right)=0 \\\\\phantom{WWWWWWx}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{0,6-0,1\times0,6^{n-1}}\right)=0,6 \\\\\phantom{WWWWWWx}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=0,6}$

À très long terme, la probabilité que le vélo se trouve au point A est égale à 0,6.

6. Nous devons déterminer le plus petit entier naturel n tel que $a_n\ge 0,599.$

$a_n\ge0,599\Longleftrightarrow 0,6-0,1\times0,6^{n-1}\ge0,599 \\\phantom{a_n\ge0,599}\Longleftrightarrow -0,1\times0,6^{n-1}\ge0,599-0,6 \\\phantom{a_n\ge0,599}\Longleftrightarrow -0,1\times0,6^{n-1}\ge-0,001 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_n\ge0,599}\Longleftrightarrow 0,6^{n-1}\le\dfrac{-0,001}{-0,1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_n\ge0,599}\Longleftrightarrow 0,6^{n-1}\le0,01} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_n\ge0,599}\Longleftrightarrow \ln\left(0,6^{n-1}\right)\le\ln\left(0,01\right)} \\\phantom{a_n\ge0,599}\Longleftrightarrow (n-1)\times\ln\left(0,6\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{a_n\ge0,599}\Longleftrightarrow n-1\ge\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,6\right)} \\\phantom{wwwwwwww}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,6)<0) \\\phantom{a_n\ge0,599}\Longleftrightarrow n\ge1+\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,6\right)} \\\\\text{Or }\ 1+\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,6\right)}\approx10,02$
Le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité est donc n = 11.
Par conséquent, à partir du 11^ième jour, la probabilité que le vélo se trouve au point A est supérieure à 0,599.

7 points

exercice 2

Thème : fonctions, fonction exponentielle

Partie A

Soit p la fonction définie sur [-3 ; 4] par : $p(x)=x^3-3x^2+5x+1.$

1. La fonction p est dérivable sur l'intervalle [-3 ; 4] (fonction polynôme).
Pour tout réel x de [-3 ; 4], $p'(x)=3x^2-6x+5.$
Etudions le signe de p' (x ) sur l'intervalle [-3 ; 4].
Le discriminant du trinôme du second degré $3x^2-6x+5$ est : $\Delta=(-6)^2-4\times3\times5=36-60=-24<0.$
Pour tout x dans l'intervalle [-3 ; 4], le trinôme est alors du signe du coefficient principal.
Donc pour tout x dans [-3 ; 4], p' (x ) > 0.
Par conséquent, la fonction p est strictement croissante sur l'intervalle [-3 ; 4].

2. Nous savons que :
$\bullet{\white{w}}$ la fonction p est continue sur [-3 ; 4] (car dérivable sur [-3 ; 4]),
$\bullet{\white{w}}$ la fonction p est strictement croissante sur [-3 ; 4].

De plus p ([-3 ; 4]) = [-68 ; 37].

D'après le théorème de la bijection, la fonction p réalise une bijection de [3 ; 4] dans [-68 ; 37].

Or 0 appartient

[-68 ; 37].

Nous en déduisons que l'équation $\overset{{\white{.}}}{p(x)=0}$ admet une unique solution alpha

dans [3 ; 4].

3. Par la calculatrice, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}p(-0,2)=-0,128<0\\p(-0,1)=0,469>0\end{matrix}\right.$
Donc une valeur approchée du réel au dixième près est -0,2.

4. En nous basant sur la croissance de la fonction p dans l'intervalle [3 ; 4] et compte tenu de l'existence d'une unique solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{p(x)=0}$ dans [3 ; 4], nous obtenons le tableau de signes de la fonction p .

${\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-3&&\alpha\approx-0,2&&4\\&&&&&\\\hline&&&&&\\p(x)&(-68)&-&0&+&(+37)\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Partie B

Soit f la fonction définie sur [-3 ; 4] par : $f(x)=\dfrac{\text{e}^x}{1+x^2}$

1. a) La fonction f est dérivable sur l'intervalle [-3 ; 4] (quotient de deux fonctions dérivables sur [-3 ; 4] et dont le dénominateur est non nul).
Pour tout réel x de [-3 ; 4],

$f'(x)=\dfrac{(\text{e}^x)'\times(1+x^2)-\text{e}^x\times(1+x^2)'}{(1+x^2)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^x\times(1+x^2)-\text{e}^x\times2x}{(1+x^2)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^x\times(1+x^2-2x)}{(1+x^2)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{\text{e}^x\times(1-x)^2}{(1+x^2)^2}}$

$\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{(1-x)^2\,\text{e}^x}{(1+x^2)^2}}$

1. b) $f'(x)=\dfrac{(1-x)^2\,\text{e}^x}{(1+x^2)^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(1)=0}$
Par conséquent, la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C_f}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.

2. Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C_f}$ comme profil d'un toboggan. Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 15

2. a) Graphiquement, nous pouvons observer que la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C_f}$ possède un premier point d'inflexion pour une abscisse dans le voisinage de 0 et un second point d'inflexion pour une abscisse dans le voisinage de 1.
Donc le toboggan semble assurer de bonnes sensations.

2. b) On admet que la fonction f'' , dérivée seconde de la fonction f , a pour expression pour tout réel x de l'intervalle [-3 ; 4] : $f''(x)=\dfrac{p(x)(x-1)\text{e}^x}{(1+x^2)^3}$ où p est la fonction définie dans la partie A.

Étudions le signe de f'' (x ) dans l'intervalle [-3 ; 4].

L'exponentielle et (1 + x²)³ sont strictement positifs dans l'intervalle [-3 ; 4].
Le signe de f'' (x ) est donc le signe de p (x )(x - 1) sachant que le signe de p (x ) a été étudié dans la question 4 - Partie A.

$\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}x-1<0\quad\Longleftrightarrow\quad x<1\\x-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=1 \\x-1>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>1 \end{matrix}\right.\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-3&&\alpha&&1&&4\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\x-1&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\p(x)&&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f''(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

La fonction f'' s'annule deux fois en changeant de signes.
La courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C_f}$ possède donc deux points d'inflexion.
Par conséquent, le toboggan assure de bonnes sensations.

7 points

exercice 3

Thème : géométrie dans l'espace

Soit le parallélépipède rectangle OBCDEFGH où 0B = 6 m, OD = 8 m et OE = 4 m.
On utilise le repère orthonormé $(O\,;\, \vec i , \vec j , \vec k)$ tel que $\overset{{\white{.}}}{\vec i = \dfrac 1 6 \overrightarrow{OB}\,, \vec j = \dfrac 1 8 \overrightarrow{OD}\,, \vec k = \dfrac 1 4 \overrightarrow{OE}\,.}$

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 16

Dans ce repère, on a, en particulier C (6 ; 8 ;0) , F (6 ; 0 ; 4) , G (6 ; 8 ; 4) , A (6 ; 0 ; 2) , R (6 ; 3 ; 4) , T (3 ; 0 ; 4) et enfin $\overset{{\white{.}}}{S(3\,;\dfrac{5}{2}\,;0).}$

1. a) Nous devons montrer que le triangle ART est isocèle en A .

$\left\lbrace\begin{array}l A(6\ ;\,0\ ;\,2)\\R(6\ ;\,3\ ;\,4)\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AR}\begin{pmatrix}6-6\\3-0\\4-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AR}\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}$
${\white{WWwWWWWW}}$ $\quad\Longrightarrow\quad AR=\sqrt{0^2+3^2+2^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AR=\sqrt{13}}$

$\left\lbrace\begin{array}l A(6\ ;\,0\ ;\,2)\\T(3\ ;\,0\ ;\,4)\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AT}\begin{pmatrix}3-6\\0-0\\4-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{AT}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}$
${\white{WWwWWWWW}}$ $\quad\Longrightarrow\quad AT=\sqrt{(-3)^2+0^2+2^2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AT=\sqrt{13}}$

Nous en déduisons que AR = AT .
Par conséquent, le triangle ART est isocèle en A .

1. b) Nous devons calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AR}\cdot \overrightarrow{AT}.$

$\overrightarrow{AR}\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AT}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix} \\\\\text{D'où }\;\overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AT}=0\times(-3)+3\times0+2\times2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwiwww}=0+0+4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwiwwww}=4} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AT}=4}$

1. c) Nous devons en déduire une valeur approchée à 0,1 degré près de l'angle $\widehat{RAT}.$

Nous savons que $\overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AT}=||\overrightarrow{AR}||\times||\overrightarrow{AT}||\times\cos\left(\widehat{RAT}\right).$

$\text{D'où }\;\cos\left(\widehat{RAT}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AR}\cdot\overrightarrow{AT}}{||\overrightarrow{AR}||\times||\overrightarrow{AT}||} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWWwW}=\dfrac{4}{\sqrt{13}\times\sqrt{13}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWWWWWwW}=\dfrac{4}{13}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\widehat{RAT}\approx72,1^{\circ}}$

2. a) Nous devons démontrer que le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}}$ est un vecteur normal au plan (ART ).

Considérons les vecteurs suivants : $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}}$ et $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{AR}\begin{pmatrix}0\\3\\2\end{pmatrix}}$

$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AR}=2\times0-2\times3+3\times2\\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AR}}=0-6+6\\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AR}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AR}=0}$
D'où le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AR}.$

Considérons maintenant les vecteurs suivants : $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}}$ et $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{AT}\begin{pmatrix}-3\\0\\2\end{pmatrix}}$

$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AT}=2\times(-3)-2\times0+3\times2\\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AT}}=-6-0+6\\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AT}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AT}=0}$
D'où le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AT}.$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{AR}$ et $\overrightarrow{AT}$ ne sont pas colinéaires.

Donc nous venons de montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ART ).
Nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (ART )
Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ART ).

2. b) Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (ART ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ART ) est de la forme $\overset{{\white{.}}}{2x-2y+3z+d=0.}$

Or le point A (6 ; 0 ; 2) appartient au plan (ART ).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où $\overset{{\white{.}}}{2\times6-2\times0+3\times2+d=0,}$ soit d = -18.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ART ) est $\boxed{2x-2y+3z-18=0}.$

3. Un rayon laser dirigé vers le triangle ART est émis du plancher à partir du point S . On admet que ce rayon est orthogonal au plan (ART ).

3. a) Soit deltamaj

la droite orthogonale au plan (ART ) et passant par le point S .

Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ .

La droite $\Delta$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{-2}}\\ {\red{3}}\end{pmatrix}$ .

La droite $\Delta$ passe par le point $S({\blue{3}}\,;\,{\blue{\dfrac{5}{2}}}\,;\,{\blue{0}}).$

D'où une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{3}}+{\red{2}}\times k\\y={\blue{\dfrac{5}{2}}}+{\red{(-2)}}\times k\\z={\blue{0}}+{\red{3}}\times k \end{array}\ \ \ (k\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{\Delta:\left\lbrace\begin{array}l x=3+2k\\y=\frac{5}{2}-2k\\z=3k \end{array}\ \ \ (k\in\mathbb{R})}$

3. b) Les coordonnées du point L sont les solutions du système composé par les équations de la droite $\Delta$ et du plan (ART ), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=3+2k\\y=\frac{5}{2}-2k\\z=3k\\2x-2y+3z-18=0\end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=3+2k\\y=\frac{5}{2}-2k\\z=3k\\2(3+2k)-2(\frac{5}{2}-2k)+3\times3k-18=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=3+2k\\y=\frac{5}{2}-2k\\z=3k\\6+4k-5+4k+9k-18=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=3+2k\\y=\frac{5}{2}-2k\\z=3k\\17k-17=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{matrix} x=3+2k\\y=\frac{5}{2}-2k\\z=3k\phantom{wiw}\\k=1\phantom{wwiw}\end{matrix}\right.\quad \left\lbrace\begin{matrix} x=3+2\times1\phantom{ww}\\y=\frac{5}{2}-2\times1\phantom{wx}\\z=3\times1\phantom{wwiww}\\k=1\phantom{wwwwwww}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=5\\y=\frac{1}{2}\\z=3\\\overset{{\white{.}}}{k=1}\end{matrix}\right.$

D'où les coordonnées du point L sont $\boxed{\left(5\,;\,\dfrac{1}{2}\, ;\, 3\right)}.$

4. L'artiste installe un rail représenté par le segment [DK ] où K est le milieu du segment [EH ] .
Sur ce rail, il positionne une source lumineuse laser en un point N du segment [DK ] et il oriente ce second rayon laser vers le point S .

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Nord (2) : image 14

4. a) Nous devons montrer que pour tout réel t de l'intervalle [0 ; 1], le point N de coordonnées (0 ; 8-4t ; 4t ) est un point du segment [DK ].

$\left\lbrace\begin{array}l D(0\ ;\,8\ ;\,0)\\K(0\ ;\,4\ ;\,4)\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{DK}\begin{pmatrix}0-0\\4-8\\4-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{DK}\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}$

$\left\lbrace\begin{array}l D(0\ ;\,8\ ;\,0)\\N(0\ ;\,8-4t\ ;\,4t)\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{DN}\begin{pmatrix}0-0\\8-4t-8\\4t-0\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{DN}\begin{pmatrix}0\\-4t\\4t\end{pmatrix}$

Dès lors, $\overrightarrow{DN}=t\,\overrightarrow{DK}.$

Nous en déduisons que les points D , K et N sont alignés.

De plus, nous savons que t appartient

[0 ; 1].

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ Si t = 0, alors $\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{0}.$
${\white{wiww}}$ Dans ce cas, les points D et N sont confondus.

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ Si t = 1, alors $\overrightarrow{DN}=\overrightarrow{DK}.$
${\white{wiww}}$ Dans ce cas, les points N et K sont confondus.

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ Si t appartient

]0 ; 1[, alors le point N se situe entre D et K .

Par conséquent, pour tout réel t de l'intervalle [0 ; 1], le point N est un point du segment [DK ].

4. b) Les vecteurs $\overrightarrow{SL}$ et $\overrightarrow{SN}$ sont orthogonaux.

$\left\lbrace\begin{array}l S(3\ ;\,\dfrac{5}{2}\ ;\,0)\\\overset{{\white{.}}}{L(5\ ;\,\dfrac{1}{2}\ ;\,3)}\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{SL}\begin{pmatrix}5-3\\\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{2}\\\overset{{\white{.}}}{3-0}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{SL}\begin{pmatrix}2\\-2\\3\end{pmatrix}$

$\left\lbrace\begin{array}l S(3\ ;\,\dfrac{5}{2}\ ;\,0)\\\overset{{\white{.}}}{N(0\ ;\,8-4t\ ;\,4t)}\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{SN}\begin{pmatrix}0-3\\8-4t-\dfrac{5}{2}\\\overset{{\white{.}}}{4t-0}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{SN}\begin{pmatrix}-3\\\dfrac{11}{2}-4t\\\overset{{\phantom{.}}}{4t}\end{pmatrix}$

D'où,

$\overrightarrow{SL}\perp\overrightarrow{SN}\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{SL}\cdot\overrightarrow{SN}=0 \\\phantom{WWwiW}\quad\Longleftrightarrow\quad2\times(-3)-2\times\left(\dfrac{11}{2}-4t\right)+3\times4t=0 \\\phantom{WWwiW}\quad\Longleftrightarrow\quad-6-11+8t+12t=0 \\\phantom{WWwiW}\quad\Longleftrightarrow\quad-17+20t=0 \\\phantom{WWwiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{t=\dfrac{17}{20}}$
Par conséquent, les coordonnées du point N sont $(0\,;\,8-4\times\dfrac{17}{20}\,;\,4\times\dfrac{17}{20})$ , soit $(0\,;\,8-\dfrac{17}{5}\,;\,\dfrac{17}{5})$ , soit $\boxed{N(0\,;\,\dfrac{23}{5}\,;\,\dfrac{17}{5})}\,.$

7 points

exercice 4

Thème : fonction logarithme népérien, probabilités

Question 1 - Réponse d

$a=\ln (9) + \ln \left( \dfrac{\sqrt 3}{3}\right) + \ln \left( \dfrac 1 9\right) \\\phantom{a}=\ln(9)+\ln(\sqrt 3)-\ln(3)-\ln(9) \\\phantom{a}=\ln(\sqrt 3)-\ln(3) \\\phantom{a}=\dfrac{1}{2}\ln(3)-\ln(3) \\\phantom{a}=-\dfrac{1}{2}\ln(3) \\\\\Longrightarrow\boxed{a=-\dfrac{1}{2}\ln(3)}$
La proposition correcte est donc la réponse d.

Question 2 - Réponse c

On note (E ) l'équation suivante : $\overset{{\white{.}}}{\ln x + \ln ( x-10) = \ln 3 + \ln 7}$ d'inconnue le réel x .

Conditions sur x

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}x>0.$
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}x-10>0$ , soit $x>10.$
Les deux conditions étant réalisées simultanément, elles se résument par : $\boxed{x>10}\,.$

$\ln x + \ln ( x-10) = \ln 3 + \ln 7\quad\Longleftrightarrow\quad\ln x( x-10) = \ln 3 \times7 \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad\ln x( x-10) = \ln 21 \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x( x-10) = 21 \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-10x = 21 \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2-10x -21=0$

Résolvons l'équation du second degré : $x^2-10x -21=0.$

$\underline{\text{Discriminant}} :\Delta=(-10)^2-4\times1\times(-21)=100+84=184>0. \\\\\underline{\text{Racines}} :x_1=\dfrac{10-\sqrt{184}}{2}=\dfrac{10-2\sqrt{46}}{2}=\dfrac{2(5-\sqrt{46})}{2}=5-\sqrt{46} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWwW}\;x_1\text{ est à rejeter car }{\red{5-\sqrt{46}<10}}} \\\\\phantom{WWwW}\;x_2=\dfrac{10+\sqrt{184}}{2}=\dfrac{10+2\sqrt{46}}{2}=\dfrac{2(5+\sqrt{46})}{2}=5+\sqrt{46}\approx11,7\;{\red{>10}}$

Donc l'équation (E ) admet une unique solution réelle : $x=5+\sqrt{46}.$
La proposition correcte est donc la réponse c.

Question 3 - Réponse d

La fonction f est définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par l'expression $f(x)=x²(-1+\ln x).$

La fonction f est dérivable sur ]0 ; + infini

[ (produit de deux fonctions dérivables sur ]0 ; + infini

[)

$f'(x)=(x^2)'\times(-1+\ln x)+x^2\times(-1+\ln x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=2x\times(-1+\ln x)+x^2\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=2x\,(-1+\ln x)+x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=-2x+2x\ln x+x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=-x+2x\ln x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=x\,(-1+2\ln x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=x\,(-1+2\ln x)}$

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ La proposition a est manifestement inexacte.

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ La proposition b est inexacte.

En effet, $f'(1)=1\times\,(-1+2\ln 1)=-1<0.$
Donc f' (x ) n'est pas positive sur tout l'intervalle ]0 ; + infini

[.
Par conséquent, la fonction f n'est pas croissante sur l'intervalle ]0 ; + infini

[

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ La proposition c est inexacte.

En effet,

$f'(\sqrt{\text{e}})=\sqrt{\text{e}}\,[-1+2\ln (\sqrt{\text{e}})] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(\sqrt{\text{e}})}=\sqrt{\text{e}}\,[-1+2\times\dfrac{1}{2}]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(\sqrt{\text{e}})}=\sqrt{\text{e}}\,(-1+1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(\sqrt{\text{e}})}=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(\sqrt{\text{e}})=0}$

${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ La proposition d est correcte (par déduction des précédentes qui sont inexactes).

Montrons que cette proposition est correcte.
Une équation de la tangente à la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C_f}$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est de la forme : $\overset{{\white{.}}}{y=f'(\sqrt{\text{e}})(x-\sqrt{\text{e}})+f(\sqrt{\text{e}}).}$

$\text{Or }\;\bullet\; \boxed{f\,'(\sqrt{\text{e}})=0} \\\\\phantom{\text{Or }\;}\bullet\;f(x)=x²(-1+\ln x)\quad\Longrightarrow\quad f(\sqrt{\text{e}})=(\sqrt{\text{e}})^2[-1+\ln(\sqrt{\text{e}})] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW)}\quad\Longrightarrow\quad f(\sqrt{\text{e}})=\text{e}[-1+\dfrac{1}{2}]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(\sqrt{\text{e}})=-\dfrac{1}{2}\text{e}}}$
Dès lors, une équation de la tangente à la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr C_f}$ au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est : $\overset{{\white{.}}}{y=0\,(x-\sqrt{\text{e}})-\dfrac{1}{2}\,\text{e},}$
soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=-\dfrac{1}{2}\,\text{e}}}\,.$
La proposition correcte est donc la réponse d.

Question 4 - Réponse b

Lors de cette expérience, on répète 5 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le jeton tiré est jaune" dont la probabilité est $p=\dfrac{20}{50}=0,4.$
Echec : "le jeton tiré est bleu" dont la probabilité est $1-p=1-0,4=0,6.$
La variable aléatoire X compte le nombre de jetons jaunes tirés, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n,p)}$ de paramètres n = 5 et p = 0,4.

Nous devons déterminer $P(X=2).$

$P(X=2)=\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}\times0,4^2\times(1-0,4)^{5-2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}=10\times0,16\times0,6^{3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}=0,3456.} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=2)\approx0,346}$
Par conséquent, la probabilité de tirer exactement 2 jetons jaunes est environ égale à 0,346 (valeur arrondie au millième).
La proposition correcte est donc la réponse b.

Question 5 - Réponse d

Lors de cette expérience, on répète 5 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le jeton tiré est jaune" dont la probabilité est $p=\dfrac{20}{50}=0,4.$
Echec : "le jeton tiré est bleu" dont la probabilité est $1-p=1-0,4=0,6.$
La variable aléatoire X compte le nombre de jetons jaunes tirés, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n,p)}$ de paramètres n = 5 et p = 0,4.

Nous devons déterminer $P(X\ge1).$

$P(X\ge1)=1-P(X<1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge1)}=1-P(X=0)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge1)}=1-\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\times0,4^0\times(1-0,4)^{5-0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\ge1)}=1-1\times1\times0,6^{5}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(X\ge1)}=1-0,07776.} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(X\ge1)}=0,92224.} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge1)\approx0,922}$
Par conséquent, la probabilité de tirer au moins un jeton jaune est environ égale à 0,922 (valeur arrondie au millième).
La proposition correcte est donc la réponse d.

Question 6 - Réponse c

Lors de cette expérience, on répète 5 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le jeton tiré est jaune" dont la probabilité est $p=\dfrac{20}{50}=0,4.$
Echec : "le jeton tiré est bleu" dont la probabilité est $1-p=1-0,4=0,6.$
La variable aléatoire X compte le nombre de jetons jaunes tirés, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n,p)}$ de paramètres n = 5 et p = 0,4.

Nous devons déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X .

$E(X)=n\,p=5\times0,4=2.$
Par conséquent, si on répète cette expérience aléatoire un très grand nombre de fois alors, en moyenne, le nombre de jetons jaunes est égal à 2.
La proposition correcte est donc la réponse c.

Publié par malou le 25-08-2022

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