Fiche de mathématiques
> >

Baccalauréat Général 2022

Épreuve d'enseignement de spécialité

Mathématiques

Centres étrangers Jour 2

Partager :


Durée de l'épreuve : 4 heures



L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.


Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.


7 points

exercice 1

Thème : Fonction exponentielle

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.


Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 7

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 4

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 2

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 1


7 points

exercice 2

Thème : Fonction logarithme et suite

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 5

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 6


7 points

exercice 3

Thème : Géométrie dans l'espace

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 10


7 points

exercice 4

Thème : Probabilités

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 8


Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 3






Bac général spécialité maths 2022 - Centres étrangers (2)

Partager :



7 points

exercice 1

Thème : Fonction exponentielle

Question 1 - Réponse c :  Soit f  la fonction définie sur  \overset{{\white{.}}}{\R}  par  \overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{x}{\text{e}^x}.}
On suppose que f  est dérivable sur  \overset{{\white{.}}}{\R}  et on note f'  sa fonction dérivée.


{\red{\overset{{\white{.}}}{f'(x)=(1-x)\text{e}^{-x}.}}}

En effet,

f'(x)=(x\times\text{e}^{-x})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=x'\times\text{e}^{-x}+x\times(\text{e}^{-x})'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+x\times(-x)'\,\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+x\times(-1)\times\text{e}^{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=(1-x)\times\text{e}^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;f'(x)=(1-x)\,\text{e}^{-x}}
La réponse correcte est la  proposition c.

Question 2 - Réponse d :  Soit f  une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle [-3 ; 1]. On donne ci-dessous une représentation graphique de sa fonction dérivée seconde f'' .

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 15


On peut affirmer que la fonction f'  admet un maximum en x  = -1.
En effet, sous réserve d'une erreur de lecture graphique, nous observons que la fonction f''  est positive sur l'intervalle [-3 ; -1], s'annule en x = -1 et est négative sur [-1 ; 1].
Dès lors, la fonction f'  est croissante sur l'intervalle [-3 ; -1] et est décroissante sur [-1 ; 1].
Par conséquent, la fonction f'  admet un maximum en x  = -1.
La réponse correcte est la  proposition d.

Question 3 - Réponse c :  On considère la fonction f  définie sur  \overset{{\white{.}}}{\R}  par  f(x)=x^3\,\text{e}^{-x^2}.
{\white{xxxxxxxxxx}}{\red{\overset{{\white{.}}}{F(x)=-\frac{1}{2}(x^2+1)\text{e}^{-x^2}.}}}

En effet, les fonctions F  proposées dans l'énoncé sont dérivables sur  \overset{{\white{.}}}{\R.} 
Parmi les propositions de F , déterminons celle pour laquelle F' = f. 

Proposition a :

F'(x)=-\dfrac{1}{6}\left[(x^3+1)\,\text{e}^{-x^2}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[(x^3+1)'\times\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(\text{e}^{-x^2})'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[3x^2\times\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[3x^2\,\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[(3x^2-2x^4-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=\dfrac{1}{6}\left[(2x^4-3x^2+2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=\dfrac{1}{6}x\,(2x^3-3x+2)\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{\neq\,f(x)}}}
Donc la proposition a  ne convient pas.

Proposition b :

F'(x)=-\dfrac{1}{4}\left(x^4\,\text{e}^{-x^2}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[(x^4)'\times\text{e}^{-x^2}+x^4\times\left(\text{e}^{-x^2}\right)'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[4x^3\times\text{e}^{-x^2}+x^4\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[4x^3\,\text{e}^{-x^2}+x^4\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[(4x^3-2x^5)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}x^3\left[(2-x^2)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=\dfrac{1}{2}x^3\,(x^2-2)\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{\neq\,f(x)}}}
Donc la proposition b  ne convient pas.

Proposition c :

F'(x)=-\dfrac{1}{2}\left[(x^2+1)\,\text{e}^{-x^2}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[(x^2+1)'\times\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(\text{e}^{-x^2})'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[2x\times\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[2x\,\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}(2x-2x^3-2x)\times\text{e}^{-x^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}(-2x^3)\times\text{e}^{-x^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=x^3\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{=\,f(x)}}}
Donc la proposition c  convient.

La réponse correcte est la  proposition c.

Question 4 - Réponse b :  \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}={\red{1.}}

\forall\,x\in\R,\;\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}=\dfrac{\text{e}^x\left(1+\dfrac{1}{\text{e}^x}\right)}{\text{e}^x\left(1-\dfrac{1}{\text{e}^x}\right)}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,x\in\R,\;\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{\text{e}^x}}{1-\dfrac{1}{\text{e}^x}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,x\in\R,\;\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}}=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}}

Nous savons que  \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0.
Dès lors,  \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}=\dfrac{1+0}{1-0}=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}=1}
La réponse correcte est la  proposition b.

Question 5 - Réponse c :  On considère la fonction f  définie sur  \overset{{\white{.}}}{\R}  par  \overset{{\white{.}}}{f(x)=\text{e}^{2x+1}.}
La seule primitive F  sur  \overset{{\white{.}}}{\R}  de la fonction f  telle que F (0) = 1 est la fonction  {\red{\overset{{\white{.}}}{x\mapsto\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\,\text{e}+1.}}}

En effet,

f(x)=\text{e}^{2x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\dfrac{1}{2}\times2\,\text{e}^{2x+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\dfrac{1}{2}\times\left(\text{e}^{2x+1}\right)'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\left(\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x+1}\right)'}
D'où une primitive sur  \overset{{\white{.}}}{\R}  de la fonction f  est la fonction F  définie par  F(x)=\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x+1}.
Dans ce cas, les primitives de f  sont les fonctions F  définies par  F(x)=\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x+1}+k  où k  est une constante réelle.
Nous devons déterminer la primitive F  telle que F (0) = 1.

F(0)=1\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2\times0+1}+k=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,\text{e}+k=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad k=-\dfrac{1}{2}\,\text{e}+1}
Par conséquent, la primitive F  sur  \overset{{\white{.}}}{\R}  de la fonction f  telle que F (0) = 1 est la fonction  {\red{\overset{{\white{.}}}{x\mapsto\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x+1}-\dfrac{1}{2}\,\text{e}+1.}}}

Question 6 - Réponse a :  La courbe représentant la fonction f''  est la courbe a .

Ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction f  définie et deux fois dérivable sur [-2 ; 4].

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 14


Sous réserve d'une erreur de lecture graphique, nous observons que la fonction f  est concave sur l'intervalle [-2 ; 1], convexe sur l'intervalle [1 ; 4] et possède un point d'inflexion pour x  = 1.
Dès lors, la fonction f''  est négative sur l'intervalle [-2 ; 1], positive sur [1 ; 4] et f'' (1) = 0.
La réponse correcte est la  proposition a.

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 11


7 points

exercice 2

Thème : Fonction logarithme et suite

Soit f  la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +infini[ par  \overset{{\white{.}}}{f(x)=x\ln(x)+1.}

1.  Nous devons déterminer la limite de f  en 0 ainsi que sa limite en +infini.

\bullet{\white{xx}}\lim\limits_{x\to0^+}x\ln(x)=0\quad(\text{par les croissances comparées)}\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}[x\ln(x)+1]=1 \\\\\phantom{xxxx}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1} \\\\\\\bullet{\white{xx}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln(x)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}[x\ln(x)+1]=+\infty \\\\\phantom{xxxx}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}

2. a)  Pour tout réel x  strictement positif,

f'(x)=\left[\overset{}{x\ln(x)+1}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\left[\overset{}{x\ln(x)}\right]'+0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=x'\times\ln(x)+x\times[\ln(x)]'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\ln(x)+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,]0\,;\,+\infty[,\;f'(x)=1+\ln(x)}

2. b)  Tableau de signes de la dérivée f' (x ) et de variations de f  sur  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.} 

\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}1+\ln(x)<0\Longleftrightarrow \ln(x)<-1\phantom{ww}\\\phantom{wwwww}\Longleftrightarrow x<\text{e}^{-1}\\\\\bullet{\phantom{w}}1+\ln(x)=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{-1}\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}1+\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>\text{e}^{-1}\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}f(\text{e}^{-1})=\text{e}^{-1}\ln(\text{e}^{-1})+1\phantom{xxxxx}\\=-\text{e}^{-1}+1\phantom{x}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-1}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&||&&&&\\f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline&\;||1&&&&+\infty\\f(x)&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&1-\text{e}^{-1}&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

2. c)   Nous savons que  

\bullet{\phantom{w}}f(1)=1\times\ln(1)+1=1\times0+1\quad\Longrightarrow\quad f(1) =1 \\\overset{{\white{.}}}{\bullet{\phantom{w}}\text{e}^{-1}\approx0,37<1} \\\overset{{\white{.}}}{\bullet{\phantom{w}}1-\text{e}^{-1}\approx0,63>0}

Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f  sur l'intervalle ]0 ; 1].

{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-1}\approx0,37&&1\\&&&&&\\\hline&||&&&&\\f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline&\phantom{xx}||(1)&&&&1\\f(x)&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&1-\text{e}^{-1}\approx0,63&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons que  f(]0\,;\,1[)=]1-\text{e}^{-1}\,;\,1[\quad\text{où }\;1-\text{e}^{-1}\approx0,63.

Par conséquent, pour tout x appartient ]0 ; 1[, f (x ) appartient ]0 ; 1[.

3. a)  Une équation de la tangente (T ) à la courbe représentative de f  au point d'abscisse 1 est de la forme :  \overset{{\white{.}}}{y=f'(1)(x-1)+f(1).}

\bullet\;f'(x)=1+\ln(x)\quad\Longrightarrow\quad f'(1)=1+\ln(1)=1+0 \\{\phantom{\bullet\;f'(x)=1+\ln(x)}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f'(1)=1} \\\\\bullet\;\boxed{f(1)=1}\quad(\text{voir question 2 c})

Dès lors, une équation de la tangente (T ) à la courbe représentative de f  au point d'abscisse 1 est :  \overset{{\white{.}}}{y=1(x-1)+1,}  soit  \overset{{\white{.}}}{\boxed{y=x}\,.}

3. b)  La convexité de la fonction f  sur ]0 ; +infini[ dépend du signe de la dérivée seconde f''  sur ]0 ; +infini[.

Nous avons montré dans la question 2. a) que pour tout réel x  strictement positif,  f'(x)=1+\ln(x).
La fonction f'  est dérivable sur ]0 ; +infini[.
Pour tout réel x  strictement positif,  f''(x)=[1+\ln(x)]'=0+\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f''(x)=\dfrac{1}{x}}
Or  x>0\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{x}>0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f''(x)>0}
Par conséquent, la fonction f  est convexe sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

3. c)  Nous savons qu'une fonction est convexe sur ]0 ; +infini[ si sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction f  étant convexe sur l'intervalle ]0 ; +infini[, sa courbe représentative est donc située au-dessus de la tangente (T ).
Par conséquent, pour tout réel x  strictement positif,  f(x)\ge x.

4.  On définit la suite (un ) par son premier terme u0 élément de l'intervalle ]0 ; 1[ et pour tout entier naturel n :  u_{n+1}=f(u_n).

4. a)  Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a :  \overset{{\white{.}}}{0<u_n<1.}

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que :  \overset{{\white{.}}}{0<u_0<1.}
C'est une évidence par définition de u0.
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{0<u_n<1} , alors  \overset{{\white{.}}}{0<u_{n+1}<1.}

En effet,

0<u_n<1\quad\Longrightarrow\quad u_n\in\;]0\,;\,1[ \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad f(u_n)\in\;]0\,;\,1[\quad(\text{voir question 2. c avec }x=u_n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad 0<f(u_n)<1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad 0<u_{n+1}<1} \\\\ \text{D'où }\;\boxed{0<u_n<1\quad\Longrightarrow\quad 0<u_{n+1}<1}
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{0<u_n<1.}

4. b)  Nous avons montré dans la question 3. c) que pour tout réel x  strictement positif,  f(x)\ge x.
Or nous savons par la question 4. a) que pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{u_n>0.}

Nous en déduisons que pour tout entier naturel n ,  f(u_n)\ge u_n , soit  u_{n+1}\ge u_n. 
Par conséquent, la suite (un ) est croissante.

4. c)  La suite (un ) est croissante et est majorée par 1.
Selon le théorème de convergence des suites monotones, la suite (un ) est convergente.

7 points

exercice 3

Thème : Géométrie dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé  (O;\vec i,\vec j,\vec k ), .
On considère les points A (3 ; -2 ; 2), B (6 ; 1 ; 5), C (6 ; -2 ; -1) et D (0 ; 4 : -1).

1.  Nous devons démontrer que les points A, B, C  et D  ne sont pas coplanaires.

Montrons qu'il n'existe pas de couple de réels (x ; y ) tel que  \overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}.

\left\lbrace\begin{array}l A(3\ ;\,-2\ ;\,2)\\B(6\ ;\,1\ ;\,5)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6-3\\1-(-2)\\5-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}
\left\lbrace\begin{array}l A(3\ ;\,-2\ ;\,2)\\C(6\ ;\,-2\ ;\,-1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-3\\-2-(-2)\\-1-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}
\left\lbrace\begin{array}l A(3\ ;\,-2\ ;\,2)\\D(0\ ;\,4\ ;\,-1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0-3\\4-(-2)\\-1-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}
Dès lors,

\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-3=3x+3y\quad\phantom{w}\\6=3x\phantom{Wwww}\\-3=3x-3y\quad\phantom{w}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x+y=-1\quad\phantom{x}(1)\\\boxed{x=2}\quad\phantom{Wwx}(2)\\x-y=-1\quad\phantom{w}(3)\end{matrix}\right.} \\\\ (1)+(3) : 2x=-2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=-1}
Puisque x  ne peut pas être égal simultanément à 2 et à -1, il n'existe pas de couple de réels (x ; y ) tel que  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{AD}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}.}
Par conséquent, les points A, B, C  et D  ne sont pas coplanaires.

2. a)  Montrons que le triangle ABC  est rectangle en montrant que les vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{AC}  sont orthogonaux.

En effet, nous savons que  \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}.
\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\times3+3\times0+3\times(-3) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=9+0-9} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}}

Par conséquent, le triangle ABC  est rectangle en A .

2. b)  Montrons que la droite (AD ) est perpendiculaire au plan (ABC ).

\boxed{\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}}\quad\text{et}\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}}

\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=(-3)\times3+6\times3-3\times3\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=-9+18-9\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=0}
Dès lors, le vecteur  \overrightarrow{AD}  est orthogonal au vecteur  \overrightarrow{AB}.

\boxed{\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}}\quad\text{et}\quad\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}}

\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=(-3)\times3+6\times0-3\times(-3)\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=-9+0+9\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=0}
Dès lors, le vecteur  \overrightarrow{AD}  est orthogonal au vecteur  \overrightarrow{AC}.

Manifestement, les vecteurs  \overrightarrow{AB} et  \overrightarrow{AC} ne sont pas colinéaires.

Donc nous venons de montrer que le vecteur  \overrightarrow{AD}  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC ).
Nous en déduisons que le vecteur  \overrightarrow{AD}  est orthogonal au plan (ABC ).
Par conséquent, la droite (AD ) est perpendiculaire au plan (ABC ).

2. c)  Nous déduisons de la question précédente que le point A  est le projeté orthogonal du point D  sur le plan (ABC ).

Nous pouvons concevoir le tétraèdre ABCD  comme suit :
{\white{xxx}}  la base est le triangle rectangle ABC 
{\white{xxx}}  la hauteur est AD.

Donc :  \text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{ABC}\times AD.

Calculons l'aire du triangle (ABC ) rectangle en A .

\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}.

\text{Or :}\;\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AB=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{27}=\sqrt{9\times3} \\\phantom{WWWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AB=3\sqrt{3}}

\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AC=\sqrt{3^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{18}=\sqrt{9\times2} \\\phantom{WWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AC=3\sqrt{2}}

D'où  \text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}\times 3\sqrt{2}}{2}

Par conséquent,  \boxed{\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{9\sqrt{6}}{2}}

Calculons la hauteur AD  du tétraèdre.

\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AD=\sqrt{(-3)^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{9+36+9}=\sqrt{54}=\sqrt{9\times6} \\\phantom{WWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AD=3\sqrt{6}}

Par conséquent,

\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{ABC}\times AD \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{9\sqrt{6}}{2}\times 3\sqrt{6} =27\\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}=27}

3. a)  On considère le point H (5 ; 0 ; 1).

Montrons qu'il existe des réels  \overset{{\white{.}}}{\alpha}  et  \overset{{\white{.}}}{\beta}  tels que :  \overrightarrow{BH}=\alpha\,\overrightarrow{BC}+\beta\,\overrightarrow{BD}.

\left\lbrace\begin{array}l B(6\ ;\,1\ ;\,5)\\ H(5\ ;\,0\ ;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}5-6\\0-1\\1-5\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}
De même,  \overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}.

Dès lors,
\overrightarrow{BH}=\alpha\,\overrightarrow{BC}+\beta\,\overrightarrow{BD}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix}=\alpha\,\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}+\beta\,\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWx}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-1=-6\beta\quad\phantom{wwxxxx}\\-1=-3\alpha+3\beta\quad\phantom{Wx}\\-4=-6\alpha-6\beta\quad\phantom{wwxx}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWx}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\beta=\dfrac{1}{6}\quad\phantom{wwxxxx}\\-1=-3\alpha+\dfrac{3}{6}\quad\phantom{Wx}\\-4=-6\alpha-\dfrac{6}{6}\quad\phantom{wwxx}\end{matrix}\right.}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWx}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\beta=\dfrac{1}{6}\quad\phantom{wwxxxx}\\-1=-3\alpha+\dfrac{1}{2}\quad\phantom{Wx}\\-4=-6\alpha-1\quad\phantom{wwxx}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWx}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\beta=\dfrac{1}{6}\quad\phantom{wwxxxx}\\3\alpha=\dfrac{3}{2}\quad\phantom{Wxxx}\\6\alpha=3\quad\phantom{wwxx}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWx}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\beta=\dfrac{1}{6}\quad\phantom{wwxx}\\\overset{{\phantom{.}}}{\alpha=\dfrac{1}{2}}\quad\phantom{Wxxx}\end{matrix}\right.} \\\\\text{D'où }\;\boxed{\overrightarrow{BH}=\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{6}\,\overrightarrow{BD}}

3. b)  Nous devons démontrer que le point H  est le projeté orthogonal du point A  sur le plan (BCD ).

Montrons que le vecteur  \overrightarrow{AH}  est orthogonal au plan (BCD ).

\boxed{\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}\quad\text{et}\quad\boxed{\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0\\-3\\-6\end{pmatrix}}

\text{D'où }\;\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=2\times0+2\times(-3)-1\times(-6)\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}}=0-6+6\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0}
Dès lors, le vecteur  \overrightarrow{AH}  est orthogonal au vecteur  \overrightarrow{BC}.

\boxed{\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}}\quad\text{et}\quad\boxed{\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-6\\3\\-6\end{pmatrix}}

\text{D'où }\;\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BD}=2\times(-6)+2\times3-1\times(-6)\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BD}}=-12+6+6\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BD}=0}
Dès lors, le vecteur  \overrightarrow{AH}  est orthogonal au vecteur  \overrightarrow{BD}.

Manifestement, les vecteurs  \overrightarrow{BC} et  \overrightarrow{BD} ne sont pas colinéaires.

Donc nous venons de montrer que le vecteur  \overrightarrow{AH}  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD ).
Nous en déduisons que le vecteur  \overrightarrow{AH}  est orthogonal au plan (BCD ).

De plus, le point H  appartient au plan (BCD ) car  \overrightarrow{BH}=\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{BC}+\dfrac{1}{6}\,\overrightarrow{BD}.

Par conséquent, le point H  est le projeté orthogonal du point A  sur le plan (BCD ).

3. c)  La distance du point A  au plan (BCD ) est la distance AH  car nous avons montré que le point H  est le projeté orthogonal du point A  sur le plan (BCD ).

\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AH=\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2} \\\phantom{wwwwxww\quad\Longrightarrow\quad AH}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3 \\\\\phantom{wwwwxww}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AH=3}
D'où la distance du point A  au plan (BCD ) est égale à 3 unités de longueur.

4.  Nous devons déterminer l'aire du triangle BCD .
Nous pouvons concevoir le tétraèdre ABCD  comme suit :
{\white{xxx}}  la base est le triangle BCD 
{\white{xxx}}  la hauteur est AH .

Dès lors,

\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BCD}\times AH\Longleftrightarrow27=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire}_{BCD}\times3 \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BCD}\times AH}\Longleftrightarrow27=\text{Aire}_{BCD} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{BCD}=27\ (\text{u.a.})}

7 points

exercice 4

Thème : Probabilités

1.  Une partie consiste à tirer au hasard successivement et avec remise deux jetons de l'urne.
On considère que l'urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.

Soient les événements :
  Bi  : Le joueur tire un jeton blanc au i -ème tirage
  Ni  : Le joueur tire un jeton noir au i -ème tirage

1. a)  Modélisons la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 12


1. b)  Nous devons déterminer la probabilité de perdre 9 euros sur une partie.

Un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche.

p(B_1\cap B_2)=p(B_1)\times p_{B_1}(B_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B_1\cap B_2)}=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B_1\cap B_2)}=\dfrac{9}{25}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B_1\cap B_2)=\dfrac{9}{25}}
Par conséquent, la probabilité de perdre 9 euros sur une partie est égale à  \dfrac{9}{25}.

2.  On considère maintenant que l'urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs.
On appellera N  le nombre de jetons noirs.
L'urne contient donc (N  + 3) jetons.

Modélisons la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (2) : image 13


2. a)  Soit X  la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.

Déterminons la loi de probabilité de cette variable X .

X  peut prendre les valeurs : -9 , -1 et 5.

\bullet{\white{x}}X  = -9 si les deux jetons sont blancs.

p(X=-9)=p(B_1\cap B_2)=p(B_1)\times p_{B_1}(B_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=9)=p(B_1\cap B_2)}=\dfrac{3}{N+3}\times \dfrac{3}{N+3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=9)=p(B_1\cap B_2)}=\dfrac{9}{(N+3)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=-9)=\dfrac{9}{(N+3)^2}}

\bullet{\white{x}}X  = -1 si les deux jetons sont noirs.

p(X=-1)=p(N_1\cap N_2)=p(N_1)\times p_{N_1}(N_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1)=p(N_1\cap N_2)}=\dfrac{N}{N+3}\times \dfrac{N}{N+3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1)=p(N_1\cap N_2)}=\dfrac{N^2}{(N+3)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=-1)=\dfrac{N^2}{(N+3)^2}}

\bullet{\white{x}}X  = 5 si les deux jetons sont de couleurs différentes.

p(X=5)=p(B_1\cap N_2)+p(N_1\cap B_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1}=p(B_1)\times p_{B_1}(N_2)+p(N_1)\times p_{N_1}(B_2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1}=\dfrac{3}{N+3}\times \dfrac{N}{N+3}+\dfrac{N}{N+3}\times \dfrac{3}{N+3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1}=\dfrac{3N}{(N+3)^2}+\dfrac{3N}{(N+3)^2}}  \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(X=-1}=\dfrac{6N}{(N+3)^2}}  \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=5)=\dfrac{6N}{(N+3)^2}}

Tableau résumant la loi de probabilité de la variable X .

{\white{w}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccc|ccc|cccc|}\hline &&&&&&&&&&\\ x_i&&-9&&&-1&&&5&&\\&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&\\p(X=x_i)&&\dfrac{9}{(N+3)^2}&&&\dfrac{N^2}{(N+3)^2}&&&\dfrac{6N}{(N+3)^2}&&\\&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}


2. b)  Résolvons l'inéquation pour x  réel :  -x^2+30x-81>0.

Le discriminant du trinôme est  \Delta=30^2-4\times(-1)\times(-81)=900-324=576>0.
Les racines sont :

{\white{xx}}\bullet{\phantom{x}}x_1=\dfrac{-30-\sqrt{576}}{2\times(-1)}=\dfrac{-30-24}{-2}=27 \\\\\bullet{\phantom{x}}x_2=\dfrac{-30+\sqrt{576}}{2\times(-1)}=\dfrac{-30+24}{-2}=3
Le coefficient de x 2 est négatif.
Nous obtenons alors le tableau de signe suivant :

{\white{wwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&3&&27&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\-x^2+30x-81&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}

D'où  -x^2+30x-81>0\Longleftrightarrow x\in\,]3\,;\,27[\,.
Par conséquent, l'ensemble S  des solutions de l'inéquation est  \overset{{\white{.}}}{S=]3\,;\,27[.}

2. c)  Le jeu est favorable au joueur si l'espérance E(X)  est strictement positive.

\text{Or }\;E(X)=x_1\times P(X=x_1)+x_2\times P(X=x_2)+x_3\times P(X=x_3) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;E(X)}=(-9)\times \dfrac{9}{(N+3)^2}+(-1)\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;E(X)}= \dfrac{-81}{(N+3)^2}- \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+ \dfrac{30N}{(N+3)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;E(X)}= \dfrac{-81-N^2+30N}{(N+3)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)= \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}}

\text{D'où }\;E(X)>0\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;E(X)>0\quad}\Longleftrightarrow\quad -N^2+30N-81>0\quad\text{ car }(N+3)^2>0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;E(X)>0\quad}\Longleftrightarrow\quad N\in\;]3\,;\,27[\quad\text{ (voir exercice 2. b) }}

Or N  est un nombre entier naturel.

Donc E(X)  > 0 si et seulement si N  est un nombre entier vérifiant la relation : 4 infegal N  infegal 26.

Par conséquent, pour que le jeu soit favorable au joueur, l'urne doit contenir entre 4 et 26 jetons noirs (4 et 26 étant inclus).

2. d)  Nous devons déterminer le nombre de jetons noirs permettant d'obtenir un gain maximal.

Nous cherchons donc le nombre entier N  tel que  \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}  est maximal.

Considérons la fonction f  définie sur [0 ; +infini[ par  f(x)=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}.
Etudions les variations de f  sur [0 ; +infini[.

La fonction f  est dérivable sur [0 ; +infini[.

f'(x)=\dfrac{(-x^2+30x-81)'\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times[(x+3)^2]'}{((x+3)^2)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times2(x+3)'(x+3)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times2\times1\times(x+3)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)(-x^2+30x-81)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(x+3)[(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)]}{(x+3)^4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)}{(x+3)^3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162}{(x+3)^3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}}

Nous savons que  (x+3)^3>0  car x  appartient [0 ; +infini[.

Le signe de f' (x ) est donc le signe de -36x  + 252.

\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}-36x+252<0\Longleftrightarrow 36x>252\phantom{ww}\\\phantom{wwwwwww}\Longleftrightarrow x>7\\\\\bullet{\phantom{w}}-36x+252=0\Longleftrightarrow x=7\phantom{wwwww}\\\\\bullet{\phantom{w}}-36x+252>0\Longleftrightarrow x<7\phantom{wwwww}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&7&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\-36x+252&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&&&\text{Maximum}&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}
Nous en déduisons que la fonction f  possède un maximum pour x  = 7.

Or nous observons que  f(x)=E(X)  et que 7 appartient [4 ; 26].
Par conséquent, le gain moyen du joueur est maximal si l'urne possède 7 jetons noirs.

3.  Soit Y  la variable aléatoire attribuant le nombre de joueurs ayant gagné 5 euros.
L'expérience peut être assimilées à une répétition de 10 parties de jeu indépendantes et identiques.
Chaque partie n'a que deux issues possibles :
\bullet{\white{xx}}le succès : le joueur gagne 5 euros
\bullet{\white{xx}}l'échecs : le joueur ne gagne pas 5 euros
La probabilité de gagner 5 euros est :

p=p(X=5)=\dfrac{6\times7}{(7+3)^2}\quad(\text{voir exercice 2. a) avec N = 7}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p=p(X=5)}=\dfrac{42}{100}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p=\dfrac{21}{50}}

D'où la variable aléatoire Y  suit le loi binomiale de paramètres n = 10 et  p =\dfrac{21}{50}.

Nous devons déterminer  p(Y\ge1).

p(Y\ge1)=1-p(Y=0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}=1-\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{21}{50}\right)^0\times\left(1-\dfrac{21}{50}\right)^{10-0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}=1-1\times1\times\left(\dfrac{29}{50}\right)^{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}=1-\left(\dfrac{29}{50}\right)^{10}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}\approx1-0,004} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}\approx0,996} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(Y\ge1)\approx0,996}

Par conséquent, la probabilité d'avoir au moins un joueur gagnant 5 euros est environ égale à 0,996.
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Hiphigenie
/
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !