L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.
7 points
exercice 1
Thème : Fonction exponentielle
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des
quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni
n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse
choisie. Aucune justification n'est demandée.
Bac général spécialité maths 2022 - Centres étrangers (2)
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7 points
exercice 1
Thème : Fonction exponentielle
Question 1 - Réponse c : Soit f la fonction définie sur par
On suppose que f est dérivable sur et on note f' sa fonction dérivée.
En effet,
La réponse correcte est la proposition c.
Question 2 - Réponse d :Soit f une fonction deux fois dérivable sur l'intervalle [-3 ; 1]. On donne ci-dessous une représentation graphique de sa fonction dérivée seconde f'' .
On peut affirmer que la fonction f' admet un maximum en x = -1.
En effet, sous réserve d'une erreur de lecture graphique, nous observons que la fonction f'' est positive sur l'intervalle [-3 ; -1], s'annule en x = -1 et est négative sur [-1 ; 1].
Dès lors, la fonction f' est croissante sur l'intervalle [-3 ; -1] et est décroissante sur [-1 ; 1].
Par conséquent, la fonction f' admet un maximum en x = -1. La réponse correcte est la proposition d.
Question 3 - Réponse c :On considère la fonction f définie sur par
En effet, les fonctions F proposées dans l'énoncé sont dérivables sur
Parmi les propositions de F , déterminons celle pour laquelle F' = f.
Proposition a :
Donc la proposition a ne convient pas.
Proposition b :
Donc la proposition b ne convient pas.
Proposition c :
Donc la proposition c convient.
La réponse correcte est la proposition c.
Question 4 - Réponse b :
Nous savons que
Dès lors, La réponse correcte est la proposition b.
Question 5 - Réponse c :On considère la fonction f définie sur par
La seule primitive F sur de la fonction f telle que F (0) = 1 est la fonction
En effet,
D'où une primitive sur de la fonction f est la fonction F définie par
Dans ce cas, les primitives de f sont les fonctions F définies par où k est une constante réelle.
Nous devons déterminer la primitive F telle que F (0) = 1.
Par conséquent, la primitive F sur de la fonction f telle que F (0) = 1 est la fonction
Question 6 - Réponse a :La courbe représentant la fonction f'' est la courbe a .
Ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur [-2 ; 4].
Sous réserve d'une erreur de lecture graphique, nous observons que la fonction f est concave sur l'intervalle [-2 ; 1], convexe sur l'intervalle [1 ; 4] et possède un point d'inflexion pour x = 1.
Dès lors, la fonction f'' est négative sur l'intervalle [-2 ; 1], positive sur [1 ; 4] et f'' (1) = 0. La réponse correcte est la proposition a.
7 points
exercice 2
Thème : Fonction logarithme et suite
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]0 ; +[ par
1. Nous devons déterminer la limite de f en 0 ainsi que sa limite en +.
2. a) Pour tout réel x strictement positif,
2. b) Tableau de signes de la dérivée f' (x ) et de variations de f sur
2. c) Nous savons que
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f sur l'intervalle ]0 ; 1].
Nous en déduisons que
Par conséquent, pour tout x ]0 ; 1[, f (x ) ]0 ; 1[.
3. a) Une équation de la tangente (T ) à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est de la forme :
Dès lors, une équation de la tangente (T ) à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est : soit
3. b) La convexité de la fonction f sur ]0 ; +[ dépend du signe de la dérivée seconde f'' sur ]0 ; +[.
Nous avons montré dans la question 2. a) que pour tout réel x strictement positif,
La fonction f' est dérivable sur ]0 ; +[.
Pour tout réel x strictement positif,
Or
Par conséquent, la fonction f est convexe sur l'intervalle ]0 ; +[.
3. c) Nous savons qu'une fonction est convexe sur ]0 ; +[ si sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
La fonction f étant convexe sur l'intervalle ]0 ; +[, sa courbe représentative est donc située au-dessus de la tangente (T ).
Par conséquent, pour tout réel x strictement positif,
4. On définit la suite (un ) par son premier terme u0 élément de l'intervalle ]0 ; 1[ et pour tout entier naturel n :
4. a) Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a :
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que :
C'est une évidence par définition de u0.
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,
4. b) Nous avons montré dans la question 3. c) que pour tout réel x strictement positif,
Or nous savons par la question 4. a) que pour tout entier naturel n ,
Nous en déduisons que pour tout entier naturel n , , soit
Par conséquent, la suite (un ) est croissante.
4. c) La suite (un ) est croissante et est majorée par 1.
Selon le théorème de convergence des suites monotones, la suite (un ) est convergente.
7 points
exercice 3
Thème : Géométrie dans l'espace
L'espace est muni d'un repère orthonormé .
On considère les points A (3 ; -2 ; 2), B (6 ; 1 ; 5), C (6 ; -2 ; -1) et D (0 ; 4 : -1).
1. Nous devons démontrer que les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
Montrons qu'il n'existe pas de couple de réels (x ; y ) tel que
Dès lors,
Puisque x ne peut pas être égal simultanément à 2 et à -1, il n'existe pas de couple de réels (x ; y ) tel que
Par conséquent, les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.
2. a) Montrons que le triangle ABC est rectangle en montrant que les vecteurs et sont orthogonaux.
En effet, nous savons que
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A .
2. b) Montrons que la droite (AD ) est perpendiculaire au plan (ABC ).
Dès lors, le vecteur est orthogonal au vecteur
Dès lors, le vecteur est orthogonal au vecteur
Manifestement, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Donc nous venons de montrer que le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC ).
Nous en déduisons que le vecteur est orthogonal au plan (ABC ).
Par conséquent, la droite (AD ) est perpendiculaire au plan (ABC ).
2. c) Nous déduisons de la question précédente que le point A est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC ).
Nous pouvons concevoir le tétraèdre ABCD comme suit : la base est le triangle rectangle ABC la hauteur est AD.
Donc :
Calculons l'aire du triangle (ABC ) rectangle en A .
D'où
Par conséquent,
Calculons la hauteur AD du tétraèdre.
Par conséquent,
3. a) On considère le point H (5 ; 0 ; 1).
Montrons qu'il existe des réels et tels que :
De même,
Dès lors,
3. b) Nous devons démontrer que le point H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD ).
Montrons que le vecteur est orthogonal au plan (BCD ).
Dès lors, le vecteur est orthogonal au vecteur
Dès lors, le vecteur est orthogonal au vecteur
Manifestement, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Donc nous venons de montrer que le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BCD ).
Nous en déduisons que le vecteur est orthogonal au plan (BCD ).
De plus, le point H appartient au plan (BCD ) car
Par conséquent, le point H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD ).
3. c) La distance du point A au plan (BCD ) est la distance AH car nous avons montré que le point H est le projeté orthogonal du point A sur le plan (BCD ).
D'où la distance du point A au plan (BCD ) est égale à 3 unités de longueur.
4. Nous devons déterminer l'aire du triangle BCD .
Nous pouvons concevoir le tétraèdre ABCD comme suit : la base est le triangle BCD la hauteur est AH .
Dès lors,
7 points
exercice 4
Thème : Probabilités
1. Une partie consiste à tirer au hasard successivement et avec remise deux jetons de l'urne.
On considère que l'urne contient 2 jetons noirs et 3 jetons blancs.
Soient les événements : Bi : Le joueur tire un jeton blanc au i -ème tirage Ni : Le joueur tire un jeton noir au i -ème tirage
1. a) Modélisons la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
1. b) Nous devons déterminer la probabilité de perdre 9 euros sur une partie.
Un joueur perd 9 euros si les deux jetons tirés sont de couleur blanche.
Par conséquent, la probabilité de perdre 9 euros sur une partie est égale à
2. On considère maintenant que l'urne contient 3 jetons blancs et au moins deux jetons noirs.
On appellera N le nombre de jetons noirs.
L'urne contient donc (N + 3) jetons.
Modélisons la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
2. a) Soit X la variable aléatoire donnant le gain du jeu pour une partie.
Déterminons la loi de probabilité de cette variable X .
X peut prendre les valeurs : -9 , -1 et 5.
X = -9 si les deux jetons sont blancs.
X = -1 si les deux jetons sont noirs.
X = 5 si les deux jetons sont de couleurs différentes.
Tableau résumant la loi de probabilité de la variable X .
2. b) Résolvons l'inéquation pour x réel :
Le discriminant du trinôme est
Les racines sont :
Le coefficient de x2 est négatif.
Nous obtenons alors le tableau de signe suivant :
D'où
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de l'inéquation est
2. c) Le jeu est favorable au joueur si l'espérance E(X) est strictement positive.
Or N est un nombre entier naturel.
Donc E(X) > 0 si et seulement si N est un nombre entier vérifiant la relation : 4 N 26.
Par conséquent, pour que le jeu soit favorable au joueur, l'urne doit contenir entre 4 et 26 jetons noirs (4 et 26 étant inclus).
2. d) Nous devons déterminer le nombre de jetons noirs permettant d'obtenir un gain maximal.
Nous cherchons donc le nombre entier N tel que est maximal.
Considérons la fonction f définie sur [0 ; +[ par
Etudions les variations de f sur [0 ; +[.
La fonction f est dérivable sur [0 ; +[.
Nous savons que car x [0 ; +[.
Le signe de f' (x ) est donc le signe de -36x + 252.
Nous en déduisons que la fonction f possède un maximum pour x = 7.
Or nous observons que et que 7 [4 ; 26].
Par conséquent, le gain moyen du joueur est maximal si l'urne possède 7 jetons noirs.
3. Soit Y la variable aléatoire attribuant le nombre de joueurs ayant gagné 5 euros.
L'expérience peut être assimilées à une répétition de 10 parties de jeu indépendantes et identiques.
Chaque partie n'a que deux issues possibles : le succès : le joueur gagne 5 euros l'échecs : le joueur ne gagne pas 5 euros
La probabilité de gagner 5 euros est :
D'où la variable aléatoire Y suit le loi binomiale de paramètres n = 10 et
Nous devons déterminer
Par conséquent, la probabilité d'avoir au moins un joueur gagnant 5 euros est environ égale à 0,996.
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Publié par malou
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par =\dfrac{x}{\text{e}^x}.})
=(1-x)\text{e}^{-x}.}}})
=(x\times\text{e}^{-x})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=x'\times\text{e}^{-x}+x\times(\text{e}^{-x})'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+x\times(-x)'\,\text{e}^{-x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+x\times(-1)\times\text{e}^{-x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=(1-x)\times\text{e}^{-x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;f'(x)=(1-x)\,\text{e}^{-x}})
=x^3\,\text{e}^{-x^2}.)
=-\frac{1}{2}(x^2+1)\text{e}^{-x^2}.}}})
![F'(x)=-\dfrac{1}{6}\left[(x^3+1)\,\text{e}^{-x^2}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[(x^3+1)'\times\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(\text{e}^{-x^2})'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[3x^2\times\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[3x^2\,\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[(3x^2-2x^4-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=\dfrac{1}{6}\left[(2x^4-3x^2+2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=\dfrac{1}{6}x\,(2x^3-3x+2)\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{\neq\,f(x)}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F'(x)=-\dfrac{1}{6}\left[(x^3+1)\,\text{e}^{-x^2}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[(x^3+1)'\times\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(\text{e}^{-x^2})'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[3x^2\times\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[3x^2\,\text{e}^{-x^2}+(x^3+1)\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{6}\left[(3x^2-2x^4-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=\dfrac{1}{6}\left[(2x^4-3x^2+2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=\dfrac{1}{6}x\,(2x^3-3x+2)\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{\neq\,f(x)}}})
![F'(x)=-\dfrac{1}{4}\left(x^4\,\text{e}^{-x^2}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[(x^4)'\times\text{e}^{-x^2}+x^4\times\left(\text{e}^{-x^2}\right)'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[4x^3\times\text{e}^{-x^2}+x^4\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[4x^3\,\text{e}^{-x^2}+x^4\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[(4x^3-2x^5)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}x^3\left[(2-x^2)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=\dfrac{1}{2}x^3\,(x^2-2)\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{\neq\,f(x)}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F'(x)=-\dfrac{1}{4}\left(x^4\,\text{e}^{-x^2}\right)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[(x^4)'\times\text{e}^{-x^2}+x^4\times\left(\text{e}^{-x^2}\right)'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[4x^3\times\text{e}^{-x^2}+x^4\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[4x^3\,\text{e}^{-x^2}+x^4\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{4}\left[(4x^3-2x^5)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}x^3\left[(2-x^2)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=\dfrac{1}{2}x^3\,(x^2-2)\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{\neq\,f(x)}}})
![F'(x)=-\dfrac{1}{2}\left[(x^2+1)\,\text{e}^{-x^2}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[(x^2+1)'\times\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(\text{e}^{-x^2})'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[2x\times\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[2x\,\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}(2x-2x^3-2x)\times\text{e}^{-x^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}(-2x^3)\times\text{e}^{-x^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=x^3\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{=\,f(x)}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F'(x)=-\dfrac{1}{2}\left[(x^2+1)\,\text{e}^{-x^2}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[(x^2+1)'\times\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(\text{e}^{-x^2})'\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[2x\times\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(-x^2)'\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}\left[2x\,\text{e}^{-x^2}+(x^2+1)\times(-2x)\times\text{e}^{-x^2}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}(2x-2x^3-2x)\times\text{e}^{-x^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-\dfrac{1}{2}(-2x^3)\times\text{e}^{-x^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=x^3\,\text{e}^{-x^2}\,{\red{=\,f(x)}}})
}{\text{e}^x\left(1-\dfrac{1}{\text{e}^x}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,x\in\R,\;\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{\text{e}^x}}{1-\dfrac{1}{\text{e}^x}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,x\in\R,\;\dfrac{\text{e}^x+1}{\text{e}^x-1}}=\dfrac{1+\text{e}^{-x}}{1-\text{e}^{-x}}})
=\text{e}^{2x+1}.})
=\text{e}^{2x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\dfrac{1}{2}\times2\,\text{e}^{2x+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\dfrac{1}{2}\times\left(\text{e}^{2x+1}\right)'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\left(\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x+1}\right)'})
=\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x+1}.)
=\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2x+1}+k)
où k est une constante réelle.=1\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,\text{e}^{2\times0+1}+k=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\,\text{e}+k=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(0)=1}\quad\Longleftrightarrow\quad k=-\dfrac{1}{2}\,\text{e}+1})
[ par =x\ln(x)+1.})
![\bullet{\white{xx}}\lim\limits_{x\to0^+}x\ln(x)=0\quad(\text{par les croissances comparées)}\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}[x\ln(x)+1]=1 \\\\\phantom{xxxx}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1} \\\\\\\bullet{\white{xx}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln(x)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}[x\ln(x)+1]=+\infty \\\\\phantom{xxxx}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet{\white{xx}}\lim\limits_{x\to0^+}x\ln(x)=0\quad(\text{par les croissances comparées)}\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}[x\ln(x)+1]=1 \\\\\phantom{xxxx}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1} \\\\\\\bullet{\white{xx}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln(x)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}[x\ln(x)+1]=+\infty \\\\\phantom{xxxx}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty})
![f'(x)=\left[\overset{}{x\ln(x)+1}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\left[\overset{}{x\ln(x)}\right]'+0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=x'\times\ln(x)+x\times[\ln(x)]'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\ln(x)+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,]0\,;\,+\infty[,\;f'(x)=1+\ln(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=\left[\overset{}{x\ln(x)+1}\right]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\left[\overset{}{x\ln(x)}\right]'+0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=x'\times\ln(x)+x\times[\ln(x)]'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\ln(x)+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,]0\,;\,+\infty[,\;f'(x)=1+\ln(x)})
![\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.})
<0\Longleftrightarrow \ln(x)<-1\phantom{ww}\\\phantom{wwwww}\Longleftrightarrow x<\text{e}^{-1}\\\\\bullet{\phantom{w}}1+\ln(x)=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{-1}\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}1+\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>\text{e}^{-1}\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}f(\text{e}^{-1})=\text{e}^{-1}\ln(\text{e}^{-1})+1\phantom{xxxxx}\\=-\text{e}^{-1}+1\phantom{x}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{-1}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&||&&&&\\f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline&\;||1&&&&+\infty\\f(x)&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&1-\text{e}^{-1}&&\\ \hline \end{array}\end{matrix} )
=1\times\ln(1)+1=1\times0+1\quad\Longrightarrow\quad f(1) =1 \\\overset{{\white{.}}}{\bullet{\phantom{w}}\text{e}^{-1}\approx0,37<1} \\\overset{{\white{.}}}{\bullet{\phantom{w}}1-\text{e}^{-1}\approx0,63>0})
&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline&\phantom{xx}||(1)&&&&1\\f(x)&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&1-\text{e}^{-1}\approx0,63&&\\ \hline \end{array}\end{matrix} )
![f(]0\,;\,1[)=]1-\text{e}^{-1}\,;\,1[\quad\text{où }\;1-\text{e}^{-1}\approx0,63.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(]0\,;\,1[)=]1-\text{e}^{-1}\,;\,1[\quad\text{où }\;1-\text{e}^{-1}\approx0,63.)
]0 ; 1[, f (x ) (x-1)+f(1).})
=1+\ln(x)\quad\Longrightarrow\quad f'(1)=1+\ln(1)=1+0 \\{\phantom{\bullet\;f'(x)=1+\ln(x)}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f'(1)=1} \\\\\bullet\;\boxed{f(1)=1}\quad(\text{voir question 2 c}))
+1,})
soit 
=1+\ln(x).)
![f''(x)=[1+\ln(x)]'=0+\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f''(x)=\dfrac{1}{x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f''(x)=[1+\ln(x)]'=0+\dfrac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f''(x)=\dfrac{1}{x}})
>0})
\ge x.)
.)
, alors 
![0<u_n<1\quad\Longrightarrow\quad u_n\in\;]0\,;\,1[ \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad f(u_n)\in\;]0\,;\,1[\quad(\text{voir question 2. c avec }x=u_n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad 0<f(u_n)<1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad 0<u_{n+1}<1} \\\\ \text{D'où }\;\boxed{0<u_n<1\quad\Longrightarrow\quad 0<u_{n+1}<1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0<u_n<1\quad\Longrightarrow\quad u_n\in\;]0\,;\,1[ \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad f(u_n)\in\;]0\,;\,1[\quad(\text{voir question 2. c avec }x=u_n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad 0<f(u_n)<1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<u_n<1}\quad\Longrightarrow\quad 0<u_{n+1}<1} \\\\ \text{D'où }\;\boxed{0<u_n<1\quad\Longrightarrow\quad 0<u_{n+1}<1})
\ge u_n)
, soit 
,)
.
\\B(6\ ;\,1\ ;\,5)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}6-3\\1-(-2)\\5-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\3\\3\end{pmatrix})
\\C(6\ ;\,-2\ ;\,-1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-3\\-2-(-2)\\-1-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}3\\0\\-3\end{pmatrix})
\\D(0\ ;\,4\ ;\,-1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}0-3\\4-(-2)\\-1-2\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix})
\\\boxed{x=2}\quad\phantom{Wwx}(2)\\x-y=-1\quad\phantom{w}(3)\end{matrix}\right.} \\\\ (1)+(3) : 2x=-2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x=-1})
et 
sont orthogonaux.
 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=9+0-9} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}})
\times3+6\times3-3\times3\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=-9+18-9\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=0})
est orthogonal au vecteur 
\times3+6\times0-3\times(-3)\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=-9+0+9\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC}=0})
la base est le triangle rectangle ABC 
^2}=\sqrt{18}=\sqrt{9\times2} \\\phantom{WWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AC=3\sqrt{2}})
^2+6^2+(-3)^2}=\sqrt{9+36+9}=\sqrt{54}=\sqrt{9\times6} \\\phantom{WWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AD=3\sqrt{6}})
et 
tels que : 
\\ H(5\ ;\,0\ ;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}5-6\\0-1\\1-5\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{BH}\begin{pmatrix}-1\\-1\\-4\end{pmatrix})
est orthogonal au plan (BCD ).
-1\times(-6)\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}}=0-6+6\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0})
+2\times3-1\times(-6)\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BD}}=-12+6+6\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BD}=0})
et 
ne sont pas colinéaires.
^2} \\\phantom{wwwwxww\quad\Longrightarrow\quad AH}=\sqrt{4+4+1}=\sqrt{9}=3 \\\\\phantom{wwwwxww}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AH=3})
})
=p(B_1)\times p_{B_1}(B_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B_1\cap B_2)}=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{3}{5}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(B_1\cap B_2)}=\dfrac{9}{25}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(B_1\cap B_2)=\dfrac{9}{25}})
X = -9 si les deux jetons sont blancs.=p(B_1\cap B_2)=p(B_1)\times p_{B_1}(B_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=9)=p(B_1\cap B_2)}=\dfrac{3}{N+3}\times \dfrac{3}{N+3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=9)=p(B_1\cap B_2)}=\dfrac{9}{(N+3)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=-9)=\dfrac{9}{(N+3)^2}})
=p(N_1\cap N_2)=p(N_1)\times p_{N_1}(N_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1)=p(N_1\cap N_2)}=\dfrac{N}{N+3}\times \dfrac{N}{N+3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1)=p(N_1\cap N_2)}=\dfrac{N^2}{(N+3)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=-1)=\dfrac{N^2}{(N+3)^2}})
=p(B_1\cap N_2)+p(N_1\cap B_2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1}=p(B_1)\times p_{B_1}(N_2)+p(N_1)\times p_{N_1}(B_2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1}=\dfrac{3}{N+3}\times \dfrac{N}{N+3}+\dfrac{N}{N+3}\times \dfrac{3}{N+3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=-1}=\dfrac{3N}{(N+3)^2}+\dfrac{3N}{(N+3)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(X=-1}=\dfrac{6N}{(N+3)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=5)=\dfrac{6N}{(N+3)^2}})
&&\dfrac{9}{(N+3)^2}&&&\dfrac{N^2}{(N+3)^2}&&&\dfrac{6N}{(N+3)^2}&&\\&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix} )
\times(-81)=900-324=576>0.)
}=\dfrac{-30-24}{-2}=27 \\\\\bullet{\phantom{x}}x_2=\dfrac{-30+\sqrt{576}}{2\times(-1)}=\dfrac{-30+24}{-2}=3)
![-x^2+30x-81>0\Longleftrightarrow x\in\,]3\,;\,27[\,.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?-x^2+30x-81>0\Longleftrightarrow x\in\,]3\,;\,27[\,.)
![\overset{{\white{.}}}{S=]3\,;\,27[.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{S=]3\,;\,27[.})
=x_1\times P(X=x_1)+x_2\times P(X=x_2)+x_3\times P(X=x_3) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;E(X)}=(-9)\times \dfrac{9}{(N+3)^2}+(-1)\times \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+5\times \dfrac{6N}{(N+3)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;E(X)}= \dfrac{-81}{(N+3)^2}- \dfrac{N^2}{(N+3)^2}+ \dfrac{30N}{(N+3)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;E(X)}= \dfrac{-81-N^2+30N}{(N+3)^2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)= \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}})
![\text{D'où }\;E(X)>0\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;E(X)>0\quad}\Longleftrightarrow\quad -N^2+30N-81>0\quad\text{ car }(N+3)^2>0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;E(X)>0\quad}\Longleftrightarrow\quad N\in\;]3\,;\,27[\quad\text{ (voir exercice 2. b) }}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{D'où }\;E(X)>0\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{-N^2+30N-81}{(N+3)^2}>0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;E(X)>0\quad}\Longleftrightarrow\quad -N^2+30N-81>0\quad\text{ car }(N+3)^2>0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;E(X)>0\quad}\Longleftrightarrow\quad N\in\;]3\,;\,27[\quad\text{ (voir exercice 2. b) }})
N ^2})
est maximal.=\dfrac{-x^2+30x-81}{(x+3)^2}.)
![f'(x)=\dfrac{(-x^2+30x-81)'\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times[(x+3)^2]'}{((x+3)^2)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times2(x+3)'(x+3)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times2\times1\times(x+3)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)(-x^2+30x-81)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(x+3)[(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)]}{(x+3)^4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)}{(x+3)^3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162}{(x+3)^3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=\dfrac{(-x^2+30x-81)'\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times[(x+3)^2]'}{((x+3)^2)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times2(x+3)'(x+3)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)\times(x+3)^2-(-x^2+30x-81)\times2\times1\times(x+3)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)^2-2(x+3)(-x^2+30x-81)}{(x+3)^4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(x+3)[(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)]}{(x+3)^4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-2x+30)(x+3)-2(-x^2+30x-81)}{(x+3)^3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-2x^2-6x+30x+90+2x^2-60x+162}{(x+3)^3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-36x+252}{(x+3)^3}})
^3>0)
car x &&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f&&\nearrow&&\searrow&\\&&&\text{Maximum}&&\\ \hline \end{array}\end{matrix} )
=E(X))
et que 7 
le succès : le joueur gagne 5 euros=\dfrac{6\times7}{(7+3)^2}\quad(\text{voir exercice 2. a) avec N = 7}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p=p(X=5)}=\dfrac{42}{100}} \\\\\Longrightarrow\boxed{p=\dfrac{21}{50}})
.)
=1-p(Y=0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}=1-\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{21}{50}\right)^0\times\left(1-\dfrac{21}{50}\right)^{10-0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}=1-1\times1\times\left(\dfrac{29}{50}\right)^{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}=1-\left(\dfrac{29}{50}\right)^{10}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}\approx1-0,004} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)}\approx0,996} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(Y\ge1)\approx0,996})
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