Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

MÉTROPOLE (Jour 2) SESSION 2022

MATHÉMATIQUES

Jeudi 12 mai 2022

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1

Thème : probabilités

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 2 : image 10

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7 points

exercice 2

Thèmes : fonctions numériques et suites

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7 points

exercice 3

Thème : géométrie dans l'espace

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 2 : image 9

7 points

exercice 4

Thèmes : fonctions numériques, fonction exponentielle

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7 points

exercice 1

Thème : probabilités

Partie A

1. Arbre de probabilité pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 2 : image 17

2. Nous devons déterminer $p(M\cap T).$

$p(M\cap T)=p(M)\times p_M(T) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(M\cap T)}=0,7\times 0,97} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(M\cap T)}=0,679} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(M\cap T)=0,679}$
D'où la probabilité que le coyote soit malade et que son test soit positif est égale à 0,679.

3. Nous devons déterminer $p(T).$

Les événements $M$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers.
Selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$p(T)=p(M\cap T)+p(\overline{M}\cap T) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(S)}=0,679+p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}(T)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(S)}=0,679+0,3\times 0,05} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(S)}=0,694} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(T)=0,694}$

4. On appelle "valeur prédictive positive du test" la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.

Nous devons calculer la valeur prédictive positive du test, soit $p_T(M).$

$p_T(M)=\dfrac{p(M\cap T)}{p(T)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_T(M)}=\dfrac{0,679}{0,694}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_T(M)}\approx0,978} \\\\\Longrightarrow\boxed{p_T(M)\approx0,978}$
Par conséquent, la valeur prédictive positive du test est environ égale à 0,978 (valeur arrondie au millième).

5. a) Par analogie avec la question précédente, nous pouvons définir la "valeur prédictive négative du test" par la probabilité que le coyote ne soit pas malade sachant que son test est négatif.

Nous devons calculer la valeur prédictive négative du test, soit $p_{\overline{T}}(\overline{M}).$

$p_{\overline{T}}(\overline{M})=\dfrac{p(\overline{M}\cap {\overline{T}})}{p({\overline{T}})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_T(\overline{M})}=\dfrac{p(\overline{M})\times p_{\overline{M}}({\overline{T}})}{1-p(T)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_T(\overline{M})}=\dfrac{0,3\times 0,95}{1-0,694}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_T(\overline{M})}=\dfrac{0,285}{0,306}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p_T(\overline{M})}\approx0,931} \\\\\Longrightarrow\boxed{p_{\overline{T}}(\overline{M})\approx0,931}$
Par conséquent, la valeur prédictive négative du test est environ égale à 0,931 (valeur arrondie au millième).

5. b) La valeur prédictive positive est supérieure à la valeur prédictive négative du test.
Cela signifie que la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif est supérieure à la probabilité que le coyote ne soit effectivement pas malade sachant que son test est négatif.
Donc un test positif est plus convaincant qu'un test négatif.

Partie B

1. a) L'expérience peut être assimilée à un tirage avec remise de 5 coyotes, les tirages étant réalisés de manière identique et indépendante.
Lors de chaque tirage, deux issues sont possibles :
$\bullet{\white{ww}}$ le succès : le coyote a un test positif , dont la probabilité est p = 0,694
$\bullet{\white{ww}}$ l'échec : le coyote a un test négatif , dont la probabilité est 1 - p = 0,306.
D'où, la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,694.

1. b) Nous devons déterminer $p(X=1).$

$p(X=1)=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\times0,694^1\times(1-694)^{5-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=1)}=5\times0,694\times0,306^{4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=5)}\approx0,03} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=1)\approx0,03}$
D'où la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif est environ égale à 0,03 (valeur arrondie au centième près).

1. c) Nous devons déterminer $p(X\ge4).$

$p(X\ge4)=p(X=4)+p(X=5) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X\ge4)}=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\times0,694^4\times(1-694)^{5-4}+\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\times0,694^5\times(1-694)^{5-5}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(X\ge4)}=5\times0,694^4\times0,306+1\times0,694^5\times1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X\ge4)}\approx0,516} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X\ge4)\approx0,516}$
L'affirmation du vétérinaire est vraie car $0,516>\dfrac{1}{2}.$

2. Soit n un nombre entier naturel non nul.
Nous notons Y la variable aléatoire qui à un échantillon de n coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
La variable aléatoire Y suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0,694.

Nous devons déterminer le plus petit entier naturel n tel que $p(Y\ge1)>0,99.$

$p(Y\ge1)>0,99\quad\Longleftrightarrow\quad 1-p(Y=0)>0,99 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)>0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times0,694^0\times(1-694)^{n-0}>0,99} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)>0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-1\times1\times0,306^{n}>0,99} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)>0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad 1-0,306^{n}>0,99} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)>0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,306^{n}<0,01} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)>0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(0,306^{n})<\ln0,01} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)>0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln0,306<\ln0,01} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{p(Y\ge1)>0,99}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\dfrac{\ln0,01}{\ln0,306}}\\\phantom{WWWWWWWWWWW}(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln0,306<0) \\\\\text{Or }\;\dfrac{\ln0,01}{\ln0,306}\approx3,89.$
Le plus petit entier naturel n vérifiant cette inégalité est n = 4.

Par conséquent, les vétérinaires devront capturer au moins quatre coyotes pour que la probabilité qu'au moins un d'entre eux présente un test positif soit supérieure à 0,99.

7 points

exercice 2

Thèmes : fonctions numériques et suites

On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction dérivée f' d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur $\R$

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 2 : image 13

On admet que f' admet un maximum en $-\frac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(-\frac{1}{2}\,;\,0).$

Question 1 - Réponse b : La fonction f admet un maximum en $-\frac{1}{2}.$
Nous observons graphiquement que la fonction dérivée f' est strictement positive sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}[$ et est strictement négative sur l'intervalle $]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty[.$
Donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-\dfrac{1}{2}[$ et est strictement décroissante sur l'intervalle $]-\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty[.$
Par conséquent, la fonction f admet un maximum en $-\frac{1}{2}.$
La réponse correcte est la proposition b.

Question 2 - Réponse a : La fonction f est convexe sur $]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}[.$
Nous observons graphiquement que la fonction dérivée f' est strictement croissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}[.$
Par conséquent, la fonction f est convexe sur $]-\infty\,;\,-\frac{3}{2}[.$
La réponse correcte est la proposition a.

Question 3 - Réponse c : La dérivée seconde f'' de la fonction f vérifie $f''(-\frac{3}{2})=0.$
L'énoncé nous indique que la fonction f' admet un maximum en $-\frac{3}{2}$ et que la fonction f est deux fois dérivable sur $\R.$
Par conséquent, la dérivée seconde f'' vérifie $f''(-\frac{3}{2})=0.$
La réponse correcte est la proposition c.

Question 4 - Réponse b : On considère trois suites (u_n ), (v_n ) et (w_n ).
On sait que pour tout entier naturel n , on a : u_n v_n w_n et de plus : $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}$ et $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=3.}$
On peut affirmer alors que si la suite (u_n ) est croissante, alors la suite (v_n ) est minorée par u₀ .
En effet, si la suite (u_n ) est croissante, alors pour tout entier naturel n , nous avons : u₀ infegal

u_n .
Or nous savons que pour tout entier naturel n , u_n infegal

v_n .
Donc pour tout entier naturel n , nous avons : u₀ infegal

u_n

v_n .
Dès lors, la suite (v_n ) est minorée par u₀ .
La réponse correcte est la proposition b.

Question 5 - Réponse b : On considère une suite (u_n ) telle que, pour tout entier naturel n non nul : $u_n\le u_{n+1}\le \frac{1}{n}.$
On peut affirmer alors que la suite (u_n ) converge.
En effet, pour tout entier naturel n non nul, nous savons que : $u_n\le u_{n+1}\le \frac{1}{n}\le1.$
Nous en déduisons que la suite (u_n ) est croissante et majorée par 1.
Par conséquent, cette suite (u_n ) converge.
La réponse correcte est la proposition b.

Question 6 - Réponse b : On considère (u_n ) une suite réelle telle que, pour tout entier naturel n : $n<u_n<n+1.$
On peut affirmer que la suite (u_n ) est croissante.
En effet, pour tout entier naturel n , nous savons que : $n<u_n<n+1.$
Dès lors, $n+1<u_{n+1}<n+2.$
Donc, pour tout entier naturel n , $u_n<n+1<u_{n+1}$ , soit $u_n<u_{n+1}.$
Par conséquent, la suite (u_n ) est croissante.
La réponse correcte est la proposition b.

7 points

exercice 3

Thème : géométrie dans l'espace

On considère un cube ABCDEFGH et on appelle K le milieu du segment [BC ].
On se place dans le repère $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$ et on considère le tétraèdre EFGK .

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 2 : image 16

1. Précisons les coordonnées des points E , F , G et K .

$E(0\,;\,0\,;\,1),\quad F(1\,;\,0\,;\,1),\quad G(1\,;\,1\,;\,1),\quad K(1\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,0).$

2. Nous devons montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est orthogonal au plan (EGK ).

$\left\lbrace\begin{array}l E(0\ ;\,0\ ;\,1)\\G(1\,;\,1\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}1-0\\1-0\\1-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

$\boxed{\vec n\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}}$

$\text{D'où }\;\overrightarrow{EG}\cdot\vec n=1\times2+1\times(-2)+0\times1\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{EG}\cdot\vec u}=2-2+0 \\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{EG}\cdot\vec u}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EG}\cdot\vec n=0}$
Dès lors, le vecteur $\vec n$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{EG}.$

$\left\lbrace\begin{array}l E(0\ ;\,0\ ;\,1)\\K(1\,;\,\frac{1}{2}\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{EK}\begin{pmatrix}1-0\\\frac{1}{2}-0\\0-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EK}\begin{pmatrix}1\\\frac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}}$

$\boxed{\vec n\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}}$

$\text{D'où }\;\overrightarrow{EK}\cdot\vec n=1\times2+\frac{1}{2}\times(-2)+(-1)\times1\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{EK}\cdot\vec u}=2-1-1 \\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{EK}\cdot\vec u}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EK}\cdot\vec n=0}$
Dès lors, le vecteur $\vec n$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{EK}.$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{EG}$ et $\overrightarrow{EK}$ ne sont pas colinéaires.

Nous venons de montrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (EGK ).
Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (EGK ).

3. Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$ est normal au plan (EGK ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (EGK ) est de la forme 2x - 2y + z + d = 0.

Or le point E(0 ; 0 ; 1) appartient au plan (EGK ).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 2 multiplie

0 - 2

0 + 1 + d = 0 , soit d = -1.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (EGK ) est $\boxed{2x-2y+z-1=0}.$

4. Déterminons une représentation paramétrique de la droite (d ) orthogonale au plan (EGK ) passant par F .

La droite (d ) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{-2}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}$ car la droite d est orthogonale au plan (EGK ) et le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal à ce plan (EGK ).

La droite (d ) passe par le point $F({\blue{1}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{1}}).$

D'où une représentation paramétrique de la droite (d ) est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{2}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{(-2)}}\times t\\z={\blue{1}}+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{d:\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-2t\\z=1+t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

5. Les coordonnées du point L sont les solutions du système composé par les équations de la droite d et du plan (EGK ), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-2t \\z=1+t\\2x-2y+z-1=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-2t \\z=1+t\\2(1+2t)-2(-2t)+(1+t)-1=0 \end{array}$

$\quad\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=-2t \\z=1+t\\2+4t+4t+1+t-1=0\end{array}\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1+2t\\y=-2t \phantom{w}\\z=1+t\phantom{w}\\9t+2=0\end{matrix}\right.$

$\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=1+2t\\y=-2t \phantom{wv}\\z=1+t\phantom{w}\\t=-\dfrac{2}{9}\phantom{ww}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=1-\dfrac{4}{9}\\y=\dfrac{4}{9}\phantom{ww}\\z=1-\dfrac{2}{9}\\t=-\dfrac{2}{9}\phantom{w}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=\dfrac{5}{9}\\\overset{{\white{.}}}{y=\dfrac{4}{9}}\\\overset{{\white{.}}}{z=\dfrac{7}{9}}\\\overset{{\white{.}}}{t=-\dfrac{2}{9} }\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées du point L sont $\boxed{\left(\dfrac{5}{9}\,;\,\dfrac{4}{9}\, ;\, \dfrac{7}{9}\right)}.$

6. Calculons la longueur LF .

$\left\lbrace\begin{matrix}L\ \left(\dfrac{5}{9}\,;\,\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{7}{9}\right)\\F\ (1\,;\,0\,;\,1)\quad\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ LF=\sqrt{\left(1-\dfrac{5}{9}\right)^2+\left(0-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(1-\dfrac{7}{9}\right)^2} \\\phantom{WWWWWWWWWWW}=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{2}{9}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}} \\\phantom{WWWWWWWWWWW}=\sqrt{\dfrac{36}{81}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3} \\\\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow \boxed{LF=\dfrac{2}{3}}$

7. Le triangle EFG est rectangle en F .

Dès lors, $\text{Aire}_{EFG}=\dfrac{FE\times FG}{2}=\dfrac{1\times1}{2}=\dfrac{1}{2}.$

La hauteur du tétraèdre EFGK issue de K est égale à BF .

Dans ce cas,

$\text{Volume}_{\text{tétraèdre EFGK}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{EFG}\times BF=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2}\times 1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{tétraèdre EFGK}}=\dfrac{1}{6}}$

8. Nous devons déterminer l'aire du triangle EGK .
Nous pouvons concevoir le tétraèdre EFGK comme suit :
${\white{xxx}}$ la base est le triangle EGK
${\white{xxx}}$ la hauteur est LF (par définition du point L ).

Dès lors,

$\text{Volume}_{\text{tétraèdre EFGK}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{EGK}\times LF\Longleftrightarrow\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire}_{EGK}\times\dfrac{2}{3} \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{tétraèdre EFGK}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BGI}\times FL}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{9}\times\text{Aire}_{EGK} \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{tétraèdre EFGK}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BGI}\times FL}\Longleftrightarrow\dfrac{3}{18}=\dfrac{4}{18}\times\text{Aire}_{EGK} \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{tétraèdre EFGK}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BGI}\times FL}\Longleftrightarrow3=4\times\text{Aire}_{EGK} \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{pyramide FBGI}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{BGI}\times FL}\Longleftrightarrow\text{Aire}_{EGK}=\dfrac{3}{4} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{EGK}=\dfrac{3}{4}\ (\text{u.a.})}$

9. Nous pouvons concevoir le tétraèdre FPMN comme suit :
${\white{xxx}}$ la base est le triangle PMN
${\white{xxx}}$ la hauteur est LF (car le triangle PMN est inclus dans le plan (EGK ) et par suite, les hauteurs des tétraèdres EFGK et FPMN sont égales).

Nous utiliserons ensuite le théorème des milieux : Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Le point P est le milieu du segment [EG ], le point M est le milieu du segment [EK ] et le point N est le milieu du segment [GK ].
Par le théorème des milieux, nous en déduisons que les longueurs des côtés du triangle PMN sont les moitiés des longueurs des côtés du triangle EGK .
Dès lors, l'aire du triangle PMN est égale au quart de l'aire du triangle EGK.

Nous obtenons alors : $\text{Aire}_{PMN}=\dfrac{1}{4}\times\text{Aire}_{EGK}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{16}.$

D'où

$\text{Volume}_{\text{tétraèdre FPMN}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{PMN}\times LF=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3}{16}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{24} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{tétraèdre FPMN}}=\dfrac{1}{24}}$

7 points

exercice 4

Thèmes : fonctions numériques, fonction exponentielle

Partie A : études de deux fonctions

On considère les deux fonctions f et g définies sur l'intervalle [0 ; + infini

[ par :

$f(x)=0,06(-x^2+13,7x)$ et $g(x)=(-0,15x+2,2)\,\text{e}^{0,2x}-2,2$
On admet que les fonctions f et g sont dérivables.

1. On donne le tableau de variations complet de la fonction f sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

$\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&6,85&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&f(6,85)&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&-\infty\\ \hline \end{array}$

1. a) Justifions que $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}0,06x(-x+13,7) \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}0,06x=+\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}(-x+13,7)=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}0,06x(-x+13,7)=-\infty \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

1. b) Il est admis dans l'énoncé que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

Déterminons l'expression de f' (x ).

$f'(x)=0,06\times(-x^2+13,7x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(t)}=0,06\times(-2x+13,7)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=0,06\,(-2x+13,7)}$

Le signe de f' (x ) est le signe de (-2x + 13,7).

Tableau de signes de la dérivée f' (x ) et de variations de f sur [0 ; + infini

[.

${\white{xxxx}}$ $\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}-2x+13,7<0\Longleftrightarrow 2x>13,7\phantom{ww}\\\phantom{wwwwwwwww}\Longleftrightarrow x>6,85\\\\\bullet{\phantom{w}}-2x+13,7=0\Longleftrightarrow x=6,85\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}-2x+13,7>0\Longleftrightarrow x<6,85\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}f(6,85)=0,06(-6,85^2+13,7\times6,85)\\=2,81535\phantom{wwwww}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&6,85&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\-2x+13,7&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&2,81535&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Nous en déduisons que f est croissante sur [0 ; 6,85] et décroissante sur [6,85, +[.

1. c) Nous devons résoudre l'équation f (x ) = 0.

$f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad0,06(-x^2+13,7x)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad -x^2+13,7x=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x(-x+13,7)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad -x+13,7=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=13,7}$
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation f (x ) = 0 est $\boxed{S=\lbrace0\,;\,13,7\rbrace}\,.$

2. a) Nous devons calculer : $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-0,15x+2,2)=-\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}0,2x=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{0,2x}=+\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}(-0,15x+2,2)\,\text{e}^{0,2x}=-\infty \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}$

2. b) Il est admis dans l'énoncé que la fonction g est dérivable sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

$g'(x)=[(-0,15x+2,2)\,\text{e}^{0,2x}]'-(2,2)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=(-0,15x+2,2)'\times\text{e}^{0,2x}+(-0,15x+2,2)\times(\text{e}^{0,2x})'-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=(-0,15)\times\text{e}^{0,2x}+(-0,15x+2,2)\times(0,2x)'\times\text{e}^{0,2x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=(-0,15)\times\text{e}^{0,2x}+(-0,15x+2,2)\times0,2\times\text{e}^{0,2x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=(-0,15-0,03x+0,44)\times\text{e}^{0,2x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=(-0,03x+0,29)\times\text{e}^{0,2x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in[0\,;\,+\infty[,\;g'(x)=(-0,03x+0,29)\,\text{e}^{0,2x}}$

2. c) L'exponentielle est strictement positive sur $\overset{{\white{}}}{\R}$ et en particulier sur l'intervalle [0 ; + infini

[.
Donc le signe de g' (x ) est le signe de (-0,03x + 0,29).

Tableau de signes de la dérivée g' (x ) et de variations de f sur [0 ; + infini

[.

Calculs préliminaires :

$\bullet{\phantom{w}}-0,03x+0,29<0\Longleftrightarrow 0,03x>0,29\\\phantom{wWWwwwwwwwvww}\Longleftrightarrow \overset{{\white{.}}}{x>\dfrac{0,29}{0,03}}\\\phantom{wwwwWWxwwwvww}\Longleftrightarrow\overset{{\phantom{.}}}{ x>\dfrac{29}{3}}\\\\\bullet{\phantom{w}}-0,03x+0,29=0\Longleftrightarrow \overset{{\phantom{.}}}{ x>\dfrac{29}{3}}\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}-0,03x+0,29>0\Longleftrightarrow \overset{{\phantom{.}}}{ x<\dfrac{29}{3}}\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}g\left(0\right)=(-0,15\times0+2,2)\,\text{e}^{0,2\times0}-2,2\\\phantom{www}=2,2-2,2=0\\\\\bullet{\phantom{w}}g\left(\dfrac{29}{3}\right)=(-0,15\times\frac{29}{3}+2,2)\,\text{e}^{0,2\times\frac{29}{3}}-2,2\\\phantom{www}=0,75\,\text{e}^{\frac{29}{15}}-2,2\approx2,984$

Tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle [0 ; + infini

[. :

${\white{xxxxxx}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\dfrac{29}{3}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\-0,03x+0,29&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&\approx2,984&&\\g(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&-\infty\\ \hline \end{array}$

Dès lors, la fonction g admet un maximum égal à environ 2,98 (valeur arrondie au centième).

2. d) Montrons que l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution non nulle.

$\bullet {\white{l}}$ Sur l'intervalle $[0\,;\,\dfrac{29}{3}]$ :
Les valeurs de g(x) croissent de 0 à environ 2,98.
D'où l'équation g (x ) = 0 admet comme unique solution : x = 0.

$\bullet {\white{l}}$ Sur l'intervalle $[\dfrac{29}{3}\,;\,+\infty[,$ :
Nous savons que :
${\white{xxx}}\bullet{\white{w}}$ la fonction g est continue sur $[\dfrac{29}{3}\,;\,+\infty[$ (car g est dérivable)
${\white{xxx}}\bullet{\white{w}}$ la fonction g est strictement décroissante sur $[\dfrac{29}{3}\,;\,+\infty[,$
De plus, $g\left([\dfrac{29}{3}\,;\,+\infty[\right)=\;]-\infty\,;\,2,984].$

D'après le théorème de la bijection, la fonction g réalise une bijection de $[\dfrac{29}{3}\,;\,+\infty[$ dans ]- infini

; 2,984].
Or 0 appartient

; 2,984].
Nous en déduisons que l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution non nulle dans l'intervalle $[\dfrac{29}{3}\,;\,+\infty[.$

Nous pouvons dès lors conclure par : l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution non nulle dans l'intervalle [0 ; +[.

En utilisant le tableur de la calculatrice, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}g(13,72)\approx0,008>0\\g(13,73)\approx-0,01<0\end{matrix}\right.$

Par conséquent, une valeur approchée de à 10^-2 près est $\boxed{\alpha\approx13,72}\,.$

Partie B : trajectoires d'une balle de golf

On donne ci-dessous les représentations graphiques de f et g sur l'intervalle [0 : 13,7].

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 2 : image 14

1. Première modélisation

1. a) Nous avons montré dans la question 1. b) partie A que la fonction f admet un maximum égal à 2,81535, soit environ 2,815.
Puisque l'unité exprime une dizaine de yards, la hauteur maximale atteinte par la balle au cours de sa trajectoire est de 28,15 yards.

${\red{\text{1. b) }}}\;f'(x)=0,06\,(-2x+13,7)\quad\Longrightarrow\quad f'(0)=0,06\times13,7 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;f'(x)=0,06\,(-2x+13,7)}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f'(0)=0,822}}$

Le schéma ci-dessous illustre les angles de décollage et d'atterrissage associés à la courbe C_f .

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 2 : image 15

1. c) f' (0) représente le coefficient directeur de la tangente à C_f au point d'abscisse 0.
Il est rappelé dans l'énoncé que ce coefficient directeur est égal à tan (d ).
D'où tan (d ) = 0,822.
En utilisant l'extrait de la feuille de calcul donné dans l'énoncé, nous obtenons : d 39,42°.

1. d) La fonction f est une fonction trinôme du second degré.
La courbe représentative de f est une parabole symétrique par rapport à la droite d'équation y = 6,85.
D'où, en vertu de cette symétrie, les angles de décollage et d'atterrissage sont égaux.

2. Seconde modélisation

2. a) Nous avons montré dans la question 2. c) partie A que la fonction g admet un maximum égal à environ 2,984.
Puisque l'unité exprime une dizaine de yards, la hauteur maximale atteinte par la balle au cours de sa trajectoire est de 29,84 yards.

On précise que $g'(0)=0,29$ et $g'(13,7)\approx-1,87.$

Le schéma ci-dessous illustre les angles de décollage et d'atterrissage associés à la courbe C_g .

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 2 : image 12

2. b) g' (0) représente le coefficient directeur de la tangente à C_g au point d'abscisse 0.
Il est rappelé dans l'énoncé que ce coefficient directeur est égal à tan (d ).
D'où tan (a )= 0,29.
En utilisant l'extrait de la feuille de calcul donné dans l'énoncé, nous obtenons : d 16,17°.

2. c) g' (13,7) représente le coefficient directeur de la tangente à C_g au point d'abscisse 13,7.
Il est rappelé dans l'énoncé que l'opposé de ce coefficient directeur est égal à tan (a ).
D'où tan d = 1,87.
Or tan(62°) environegal

1,88.
Donc 62 est une valeur approchée, arrondie à l'unité près, d'une mesure en degré de l'angle d'atterrissage de la balle.

Partie C : interrogation des modèles

Ci-dessous un tableau reprenant les résultats moyens d'un grand nombre d'observations des performances de joueurs professionnels ainsi que les valeurs proposées par les deux modélisations.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &\text{Angle de} &\text{Hauteur }&\text{Angle d'}&\text{Distance horizontale}\\&\text{décollage}&\text{maximale}&\text{atterrissage}&\text{en yard au point}\\&\text{en degré}&\text{en yard}&\text{en degré}&\text{de chute}\\\hline \text{Observations}&\red{24}&\red{32}&\red{52}&\red{137}\\\hline \text{Premier modèle}&39,42\red{\,>24}&28,15\red{\,<32}&39,42\red{\,<52}&137\\\hline \text{Second modèle}&16,17\red{\,<24}&29,84\red{\,<32}&62\red{\,>52}&137\\\hline\end{array}$

Aucun des deux modèles étudiés précédemment ne correspond avec précision aux données des observations.
La seule donnée cohérente entre les modèles et les observations est la distance horizontale de 137 yards entre le point de décollage et le point d'atterrissage de la balle.
L'angle de décollage observé de 24° est inférieur à l'angle proposé par le premier modèle et est supérieur à l'angle proposé par le second modèle.
La hauteur maximale de la balle observée de 32 yards est supérieure aux valeurs proposées par les deux modèles.
L'angle d'atterrissage observé de 52° est supérieur à l'angle proposé par le premier modèle et est inférieur à l'angle proposé par le second modèle.

Néanmoins, en admettant une tolérance - toute relative - entre les observations et les modèles, nous pouvons considérer que le second modèle semble plus adapté que le premier modèle pour décrire la frappe de la balle par un joueur professionnel.

Publié par malou le 18-06-2022

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