Fiche de mathématiques
> >

Baccalauréat Général 2022

Épreuve d'enseignement de spécialité

Mathématiques

Polynésie Jour 1

Partager :


Durée de l'épreuve : 4 heures



L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.


Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.


7 points

exercice 1

Thème : Fonctions, suite

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.


Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 3

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 7

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 6

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 5


7 points

exercice 2

Thème : Probabilités

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 8

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 2


7 points

exercice 3

Thème : Suites

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 4


7 points

exercice 4

Thème : Géométrie dans le plan et dans l'espace

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 1







Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1)

Partager :



7 points

exercice 1

Thème : Fonctions, suite

Question 1 - Réponse d :  On considère la fonction g  définie et dérivable sur ]0 ; +infini[ par  g(x)=\ln(x^2+x+1).
Pour tout nombre réel x  strictement positif,  \overset{{\white{.}}}{{\red{g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}}}.}
En effet,

g(x)=\ln(x^2+x+1)\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=\ln(x^2+x+1)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}}}
La réponse correcte est la  proposition d.

Question 2 - Réponse c :  La fonction  \overset{{\white{.}}}{x\mapsto \ln(x)}  admet pour primitive sur ]0 ; +infini[ la fonction :  \overset{{\white{.}}}{{\red{x\mapsto x\ln(x)-x}}.}
Parmi les propositions de réponses, déterminons la fonction F définie sur ]0 ; +infini[ telle que  \overset{{\white{.}}}{\boxed{F'(x) = \ln(x)}\,.} 

Proposition a :

F(x)=\ln(x)\Longrightarrow F'(x)=\dfrac{1}{x}\,{\red{\neq\,\ln(x)}}
Donc la proposition a  ne convient pas.

Proposition b :

F(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow F'(x)=\dfrac{-1}{x^2}\,{\red{\neq\,\ln(x)}}
Donc la proposition b  ne convient pas.

Proposition c :

F(x)=x\ln(x)-x\Longrightarrow F'(x)=\left[\overset{}{x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'}\right ]-x' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)=x\ln(x)-x}\Longrightarrow F'(x)=\left[\overset{}{1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}}\right ]-1}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)=x\ln(x)-x}\Longrightarrow F'(x)=\ln(x)+1-1}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)=x\ln(x)-x}\Longrightarrow F'(x)=\ln(x)}  \\\\\text{D'où }\;\boxed{{\red{F'(x)=\ln(x)}}}
Donc la proposition c  convient.
La réponse correcte est la  proposition c.

Question 3 - Réponse a :  On considère la suite  \overset{{\white{.}}}{(a_n)}  définie pour tout n dans  \N  par :  a_n=\dfrac{1-3^n}{1+2^n}.
La limite de la suite  \overset{{\white{.}}}{(a_n)}  est égale à  \overset{{\white{.}}}{{\red{-\infty}}.}
En effet,

\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-3^n}{1+2^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3^n\left(\dfrac{1}{3^n}-1\right)}{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)} \\\\\phantom{WWWWWw}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3^n}{2^n}\times\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1} \\\\\phantom{WWWWWw}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n\times\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}

\text{Or }\;\dfrac{3}{2}>1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty} \\\\\phantom{\text{Or }\;}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^n}=0\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2^n}=0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}=-1} \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n\times\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}=-\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-3^n}{1+2^n}=-\infty}

Par conséquent,   \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=-\infty}
La réponse correcte est la  proposition a.

Question 4 - Réponse d :  On considère une fonction f  définie et dérivable sur [-2 ; 2].
Le tableau de variations de la fonction f'  dérivée de la fonction f  sur l'intervalle [-2 ; 2] est donné par :

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 18

La fonction f  est  \overset{{\white{.}}}{{\red{\text{concave sur [-2 ; 0]}}}.}
En effet, la fonction dérivée f'  est décroissante sur [-2 ; 0].
Dès lors, la dérivée seconde f''  est négative sur [-2 ; 0].
Par conséquent, la fonction f  est concave sur [-2 ; 0].
La réponse correcte est la  proposition d.

Question 5 - Réponse c :  On donne ci-dessous la courbe représentative de la dérivée f'  d'une fonction f  définie sur l'intervalle [-2 ; 4].

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 16

Par lecture graphique de la courbe de f' , nous déduisons que f  admet un maximum en 1 sur [0 ; 2].


En effet,  f' (x ) > 0 sur l'intervalle [0 ; 1[, f' (x ) = 0 si x  = 1 et f' (x ) < 0 sur l'intervalle ]1 ; 2[.
D'où la fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1[ et strictement décroissante sur l'intervalle ]1 ; 2].
Par conséquent, la fonction f  admet un maximum en 1 sur [0 ; 2].
La réponse correcte est la  proposition c.

Question 6 - Réponse a :  Une action est cotée à 57 euros. Sa valeur augmente de 3% tous les mois.
La fonction python seuil() qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 euros est donnée dans la proposition a.


Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 15


En effet,

Dans la proposition b, la valeur initiale de v  est 57.
Puisque 57 n'est pas supérieur à 200, la boucle while  ne sera jamais exécutée.
La valeur contenue dans la variable m  est donc égale à 0.
Donc la proposition b  ne convient pas.

Dans la proposition c, la fonction python renvoie la valeur de l'action après 200 mois et non pas le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 euros.
Donc la proposition c  ne convient pas.

Dans la proposition d, la fonction python teste la valeur initiale de v .
Puisque cette valeur est inférieure à 200, la variable m  est incrémentée et contiendra la valeur 1.
Le programme s'arrête alors et renvoie la valeur 1.
Donc la proposition d  ne convient pas.

La réponse correcte est la  proposition a.

7 points

exercice 2

Thème : Probabilités

1.  Modélisons la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 14


Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P(M\cap T).}

P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T) \\\phantom{P(M\cap T)}=0,07\times 0,8 \\\phantom{P(M\cap T)}=0,056 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M\cap T)=0,056}

2.  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P(T).}

Les événements  \overset{{\white{.}}}{M}  et  \overline{M}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T) \\\phantom{P(T)}=0,056+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T) \\\phantom{P(T)}=0,056+0,93\times0,01 \\\phantom{P(T)}=0,056+0,0093 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,0653}
Par conséquent, la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif est égale à 0,0653.

3.  P_M(T)  représente la probabilité qu'une personne possède un test positif sachant qu'elle est malade.
P_T(M)  représente la probabilité qu'une personne soit malade sachant qu'elle possède un test positif.
Dans un contexte de dépistage de la maladie, il est donc préférable de connaître  P_M(T).

4.  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P_T(M).}

P_{_T}(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,056}{0,0653}\approx0,86 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{_T}(M)\approx0,86}
D'où, la probabilité que la personne choisie soit malade sachant qu'elle possède un test positif est environ égale à 0,86 (valeur arrondie au centième).

5. a)  Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le test est positif" dont la probabilité est p  = 0,0653 (voir question 2).
Echec : "le test est négatif" dont la probabilité est 1 - p  = 1 - 0,0653 = 0,9347.
La variable aléatoire X  compte le nombre d'individus ayant un test positif, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X  suit une loi binomiale de paramètres n  = 10 et p  = 0,0653.

5. b)  Nous devons déterminer  P(X=2).

P(X=2)=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\times0,0653^2\times(1-0,0653)^{10-2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}=\dfrac{10\times9}{2}\times0,0653^2\times0,9347^{8}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}\approx0,11.} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=2)\approx0,11}
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement 2 personnes présentant un test positif est environ égale à 0,11 (valeur arrondie au centième).

6.  Soit n  le nombre naturel non nul représentant la taille de la population du pays.
Soit Y  la variable aléatoire attribuant le nombre de personnes ayant un test positif.
La variable aléatoire Y  suit une loi binomiale de paramètres n  et p  = 0,0653.

Calculons d'abord  P(Y\ge 1).

L'événement contraire de l'événement "au moins une personne présente un test positif" est "personne ne présente de test positif".
Donc  P(Y\ge1)=1-P(Y=0).

\text{Or }\ P(Y=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times(0,0653)^0\times\left(1-0,0653\right)^{n-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(Y=0)}=1\times1\times0,9347^{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(Y=0)}=0,9347^{n}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y=0)=0,9347^{n}}\\\\\text{Dès lors, }\ \boxed{P(Y\ge1)=1-0,9347^n}

Nous devons déterminer n  tel que  P(Y\ge 1)\ge 0,99.

P(Y\ge 1)\ge 0,99\Longleftrightarrow 1-0,9347^n\ge0,99  \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow -0,9347^{n}\ge0,99-1 \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow -0,9347^{n}\ge-0,01\\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow 0,9347^{n}\le0,01\\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow \ln\left(0,9347^{n}\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow n\times\ln\left(0,9347\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,9347\right)}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,9347)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,9347\right)}\approx68,19

Le plus petit nombre naturel vérifiant l'inégalité est n  = 69.
Par conséquent, il faut tester au minimum 69 personnes dans ce pays pour que le probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif, soit supérieur à 99%.

7 points

exercice 3

Thème : Suites

Considérons la suite (un ) définie par :   \left\lbrace\begin{matrix}u_0=1{\white{wwwwwwwwww}}\\u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}{\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.

{\red{\text{1. a) }}}\;\bullet\phantom{x}\boxed{u_0=1} \\\\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}}\;\bullet\phantom{x}u_{1}=\dfrac{u_0}{1+u_0}=\dfrac{1}{1+1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=\dfrac{1}{2}} \\\\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}}\;\bullet\phantom{x}u_{2}=\dfrac{u_1}{1+u_1}=\dfrac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=\dfrac{1}{3}} \\\\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}}\;\bullet\phantom{x}u_{3}=\dfrac{u_2}{1+u_2}=\dfrac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_3=\dfrac{1}{4}}

1. b)  Script Python complété pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k  et renvoie la liste des premières valeurs de la suite (un ) de u0 à u k.

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 17


2.  On admet que, pour tout entier naturel n , un  est strictement positif.

Nous devons déterminer le sens de variation de la suite (un ).

u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n-u_n-u_n^2}{1+u_n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-u_n^2}{1+u_n}} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}-u_n^2<0\\\overset{{\phantom{.}}}{1+u_n>0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{-u_n^2}{1+u_n}<0 \\\\\phantom{wwWWWWxwww}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n<0}

Par conséquent, la suite (un ) est strictement décroissante.

3.  Nous savons que la suite (un ) est strictement décroissante.
De plus, elle est strictement positive et est donc minorée par 0.
Selon le théorème de convergence des suites monotones, la suite (un ) converge vers  \ell.

4.  Soit  \overset{{\white{.}}}{f:\R^+\longrightarrow\R^+:x\mapsto f(x)=\dfrac{x}{1+x}.}
La fonction f est continue sur  \R^+  comme quotient de deux fonctions continues sur  \R^+. 
De plus, pour tout nombre naturel n ,  u_{n+1}=f(u_n).

Nous savons que la suite (un ) converge vers  \ell.
Selon le théorème du point fixe,  \overset{{\white{.}}}{\ell}  vérifie la relation   \overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}

\ell= f(\ell)\quad\Longleftrightarrow \quad\ell=\dfrac{\ell}{1+\ell} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell(1+\ell)=\ell} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell+\ell^2=\ell} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell^2=\ell-\ell} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell^2=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell=0}

Nous en déduisons que  \boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}

5. a)  Nous pourrions conjecturer que pour tout nombre naturel n ,  u_n=\dfrac{1}{n+1}.

5. b)  Démontrons cette conjecture par récurrence.
Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que :  \overset{{\white{.}}}{u_0=\dfrac{1}{0+1}.}
C'est une évidence par définition de u0.

\left\lbrace\begin{matrix}u_0={\red{1}}\quad\text{(par définition de }u_0)\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{0+1}=\dfrac{1}{1}={\red{1}}\phantom{wwwwwwwww}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_0=\dfrac{1}{0+1}}

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{u_n=\dfrac{1}{n+1}} , alors  \overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}.}

En effet,

u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n} \\\\\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+1+1}{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+2}{n+1}}=\dfrac{1}{n+1}\times\dfrac{n+1}{n+2} \\\\\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{n+2} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}}
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{u_n=\dfrac{1}{n+1}.}

7 points

exercice 4

Thème : Géométrie dans le plan et dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé où l'on considère :
\bullet{\white{x}}les points A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; 0 ; -3), C(6 ;6 ; 1) et E(1 ; 2 ; 4);
\bullet{\white{x}}le plan  \mathscr{P}  d'équation cartésienne : 2x - y - z  + 4 = 0.

1. a)  Nous devons démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

Montrons que  \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0.

\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,-1\ ;\,0)\\B(1\ ;\,0\ ;\,-3)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-2\\0-(-1)\\-3-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}
\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,-1\ ;\,0)\\C(6\ ;\,6\ ;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-2\\6-(-1)\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}

\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)\times4+1\times7-3\times1  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwww}=-4+7-3}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwww}=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}}
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A.

1. b)  Nous devons calculer  \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}.

\left\lbrace\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}
\left\lbrace\begin{array}l B(1\ ;\,0\ ;\,-3)\\C(6\ ;\,6\ ;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}6-1\\6-0\\1-(-3)\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}5\\6\\4\end{pmatrix}

\text{D'où }\;\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1\times5-1\times6+3\times4 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXXXXXi}=5-6+12}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXXXXXi}=11} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=11}

Nous devons ensuite calculer les longueurs BA et BC.

BA=||\overrightarrow{BA}||=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{1+1+9}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{BA=\sqrt{11}} \\\\BC=||\overrightarrow{BC}||=\sqrt{5^2+6^2+4^2}=\sqrt{25+36+16}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{BC=\sqrt{77}}

1. c)  Nous devons calculer la mesure en degrés de l'angle  \widehat{ABC},  arrondie au degré.

\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=11\quad\Longleftrightarrow\quad BA\times BC\times\cos(\widehat{ABC})=11 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{11}\times \sqrt{77}\times\cos(\widehat{ABC})=11 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{11}\times \sqrt{11}\times\sqrt{7}\times\cos(\widehat{ABC})=11 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad 11\times\sqrt{7}\times\cos(\widehat{ABC})=11 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{7}\times\cos(\widehat{ABC})=1 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos(\widehat{ABC})=\dfrac{1}{\sqrt{7}}
Par conséquent,  \boxed{\widehat{ABC}\approx68^{\circ}}

2. a)  Une équation cartésienne du plan  \mathscr{P}  est 2x - y - z  + 4 = 0.
Donc un vecteur normal au plan  \mathscr{P}  est  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}.

Montrons que ce vecteur  \overrightarrow{n}  est orthogonal aux vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{AC}  non colinéaires du plan (ABC).

\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times(-1)+(-1)\times1+(-1)\times(-3) \\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}}=-2-1+3 \\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}} \\\\ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times4+(-1)\times7+(-1)\times1 \\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}}=8-7-1 \\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}}

Les vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{AC}  ne sont pas colinéaires car nous avons montré dans la question 1. a) qu'ils étaient orthogonaux.
Donc le vecteur  \overrightarrow{n}  est orthogonal aux vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{AC}  non colinéaires du plan (ABC).

Nous en déduisons que ce vecteur  \overrightarrow{n}  est orthogonal au plan (ABC).

Dès lors, les plans  \mathscr{P}  et (ABC) sont orthogonaux au même vecteur  \overrightarrow{n}.
Par conséquent, les plans  \mathscr{P}  et (ABC) sont parallèles.

2. b)  Nous savons que les plans  \mathscr{P}  et (ABC) sont parallèles.
Nous en déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 2x - y   - z   + d   = 0.
Or le point A(2 ; -1 ; 0) appartient au plan (ABC).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 2multiplie2 - (-1) - 0 + d   = 0  , soit d   = -5.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est  \boxed{2x-y-z-5=0}.

2. c) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite  \mathscr{D}  orthogonale au plan (ABC) et passant par le point E.

La droite  \mathscr{D}  est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{-1}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix} .

La droite  \mathscr{D}  passe par le point E({\blue{1}}\,;\,{\blue{2}}\,;\,{\blue{4}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite  \mathscr{D}  est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{2}}\times t\\y={\blue{2}}+{\red{(-1)}}\times t\\z={\blue{4}}+{\red{(-1)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{\mathscr{D}:\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

2. d)  Les coordonnées du point H sont les solutions du système composé par les équations de la droite  \mathscr{D}  et du plan (ABC), soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t \\z=4-t\\2x-y-z-5=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t \\z=4-t\\2(1+2t)-(2-t)-(4-t)-5=0 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t \\z=4-t\\2+4t-2+t-4+t-5=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t \\z=4-t\\6t-9=0 \end{array}

\left\lbrace\begin{matrix} x=1+2t\phantom{xxxx}\\y=2-t \phantom{wxxxv}\\z=4-t\phantom{wxxxx}\\t=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\phantom{wxxw}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=1+2\times\dfrac{3}{2}\\y=2-\dfrac{3}{2}\phantom{ww}\\\overset{{\white{.}}}{z=4-\dfrac{3}{2}\phantom{ww}}\\t=\dfrac{3}{2}\phantom{wwww}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=4\\y=\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{z=\dfrac{5}{2}}\\\overset{{\white{.}}}{t=\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.
D'où les coordonnées du point H sont  \boxed{\left(4\,;\,\dfrac{1}{2}\, ;\, \dfrac{5}{2}\right)}.

3.  Calculons l'aire du triangle ABC.

Nous avons montré dans la question 1. a) que le triangle ABC est rectangle en A.

Dès lors,  \text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}.

\boxed{AB=\sqrt{11}}\quad(\text{voir 1. b)} \\\\\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,-1\ ;\,0)\\C(6\,;\,6\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-2\\6-(-1)\\1-0\end{pmatrix}

{\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}}

{\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow AC=\sqrt{4^2+7^2+1^2}}

{\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow \boxed{AC=\sqrt{66}}}

\text{D'où :}\;\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{66}}{2} \\\\\phantom{xxxxxxxxxxxx}=\dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{11}\times\sqrt{6}}{2} \\\\\phantom{xxxxxxxxxxxx}=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}

Par conséquent,  \boxed{\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}}

Déterminons le volume de la pyramide ABCE.
Nous pouvons concevoir la pyramide ABCE comme suit :
{\white{xxx}}  la base est le triangle ABC
{\white{xxx}}  la hauteur est [HE].

Donc  \text{Volume}_{\text{pyramide ABCE}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{ABC}\times HE.

Or  \boxed{\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}} 

De plus,

\left\lbrace\begin{array}l H\left(4\ ;\,\dfrac{1}{2}\ ;\,\dfrac{5}{2}\right)\\E(1\ ;\,2\ ;\,4)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{HE}\begin{pmatrix}1-4\\2-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{4-\dfrac{5}{2}}\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{HE}\begin{pmatrix}-3\\\dfrac{3}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{3}{2}}\end{pmatrix}

\text{D'où }\; HE=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wiWWW}=\sqrt{9+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{54}{4}}=\sqrt{6\times\dfrac{9}{4}}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{HE=\dfrac{3}{2}\sqrt{6}}

Par conséquent,

\text{Volume}_{\text{pyramide ABCE}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{ABC}\times HE \\\\\phantom{{Volume}_{\text{pyramide ABCE}}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{11}{2}\sqrt{6}\times \dfrac{3}{2}\sqrt{6} =\dfrac{11}{4}\times 6=16,5 \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{pyramide ABCE}}=16,5\text{ unités de volume.}}

Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Hiphigenie
/
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !