Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général 2022

Épreuve d'enseignement de spécialité

Mathématiques

Polynésie Jour 1

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1

Thème : Fonctions, suite

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

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7 points

exercice 2

Thème : Probabilités

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7 points

exercice 3

Thème : Suites

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7 points

exercice 4

Thème : Géométrie dans le plan et dans l'espace

Voir la correction

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1)

7 points

exercice 1

Thème : Fonctions, suite

Question 1 - Réponse d : On considère la fonction g définie et dérivable sur ]0 ; +[ par $g(x)=\ln(x^2+x+1)$ .
Pour tout nombre réel x strictement positif, $\overset{{\white{.}}}{{\red{g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}}}.}$
En effet,

$g(x)=\ln(x^2+x+1)\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\dfrac{(x^2+x+1)'}{x^2+x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g(x)=\ln(x^2+x+1)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}}}$
La réponse correcte est la proposition d.

Question 2 - Réponse c : La fonction $\overset{{\white{.}}}{x\mapsto \ln(x)}$ admet pour primitive sur ]0 ; +[ la fonction : $\overset{{\white{.}}}{{\red{x\mapsto x\ln(x)-x}}.}$
Parmi les propositions de réponses, déterminons la fonction F définie sur ]0 ; + infini

[ telle que $\overset{{\white{.}}}{\boxed{F'(x) = \ln(x)}\,.}$

Proposition a :

$F(x)=\ln(x)\Longrightarrow F'(x)=\dfrac{1}{x}\,{\red{\neq\,\ln(x)}}$
Donc la proposition a ne convient pas.

Proposition b :

$F(x)=\dfrac{1}{x}\Longrightarrow F'(x)=\dfrac{-1}{x^2}\,{\red{\neq\,\ln(x)}}$
Donc la proposition b ne convient pas.

Proposition c :

$F(x)=x\ln(x)-x\Longrightarrow F'(x)=\left[\overset{}{x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'}\right ]-x' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)=x\ln(x)-x}\Longrightarrow F'(x)=\left[\overset{}{1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}}\right ]-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)=x\ln(x)-x}\Longrightarrow F'(x)=\ln(x)+1-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(x)=x\ln(x)-x}\Longrightarrow F'(x)=\ln(x)} \\\\\text{D'où }\;\boxed{{\red{F'(x)=\ln(x)}}}$
Donc la proposition c convient.
La réponse correcte est la proposition c.

Question 3 - Réponse a : On considère la suite $\overset{{\white{.}}}{(a_n)}$ définie pour tout n dans $\N$ par : $a_n=\dfrac{1-3^n}{1+2^n}.$
La limite de la suite $\overset{{\white{.}}}{(a_n)}$ est égale à $\overset{{\white{.}}}{{\red{-\infty}}.}$
En effet,

$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-3^n}{1+2^n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3^n\left(\dfrac{1}{3^n}-1\right)}{2^n\left(\dfrac{1}{2^n}+1\right)} \\\\\phantom{WWWWWw}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{3^n}{2^n}\times\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1} \\\\\phantom{WWWWWw}=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n\times\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}$

$\text{Or }\;\dfrac{3}{2}>1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n=+\infty} \\\\\phantom{\text{Or }\;}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{3^n}=0\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2^n}=0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}=-1} \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n\times\dfrac{\dfrac{1}{3^n}-1}{\dfrac{1}{2^n}+1}=-\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1-3^n}{1+2^n}=-\infty}$

Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=-\infty}$
La réponse correcte est la proposition a.

Question 4 - Réponse d : On considère une fonction f définie et dérivable sur [-2 ; 2].
Le tableau de variations de la fonction f' dérivée de la fonction f sur l'intervalle [-2 ; 2] est donné par :

La fonction f est $\overset{{\white{.}}}{{\red{\text{concave sur [-2 ; 0]}}}.}$
En effet, la fonction dérivée f' est décroissante sur [-2 ; 0].
Dès lors, la dérivée seconde f'' est négative sur [-2 ; 0].
Par conséquent, la fonction f est concave sur [-2 ; 0].
La réponse correcte est la proposition d.

Question 5 - Réponse c : On donne ci-dessous la courbe représentative de la dérivée f' d'une fonction f définie sur l'intervalle [-2 ; 4].

Par lecture graphique de la courbe de f' , nous déduisons que f admet un maximum en 1 sur [0 ; 2].

En effet, f' (x ) > 0 sur l'intervalle [0 ; 1[, f' (x ) = 0 si x = 1 et f' (x ) < 0 sur l'intervalle ]1 ; 2[.
D'où la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1[ et strictement décroissante sur l'intervalle ]1 ; 2].
Par conséquent, la fonction f admet un maximum en 1 sur [0 ; 2].
La réponse correcte est la proposition c.

Question 6 - Réponse a : Une action est cotée à 57 euros. Sa valeur augmente de 3% tous les mois.
La fonction python seuil() qui renvoie le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 euros est donnée dans la proposition a.

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 15

En effet,

Dans la proposition b, la valeur initiale de v est 57.
Puisque 57 n'est pas supérieur à 200, la boucle while ne sera jamais exécutée.
La valeur contenue dans la variable m est donc égale à 0.
Donc la proposition b ne convient pas.

Dans la proposition c, la fonction python renvoie la valeur de l'action après 200 mois et non pas le nombre de mois à attendre pour que sa valeur dépasse 200 euros.
Donc la proposition c ne convient pas.

Dans la proposition d, la fonction python teste la valeur initiale de v .
Puisque cette valeur est inférieure à 200, la variable m est incrémentée et contiendra la valeur 1.
Le programme s'arrête alors et renvoie la valeur 1.
Donc la proposition d ne convient pas.

La réponse correcte est la proposition a.

7 points

exercice 2

Thème : Probabilités

1. Modélisons la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 14

Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(M\cap T).}$

$P(M\cap T)=P(M)\times P_M(T) \\\phantom{P(M\cap T)}=0,07\times 0,8 \\\phantom{P(M\cap T)}=0,056 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M\cap T)=0,056}$

2. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P(T).}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{M}$ et $\overline{M}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(T)=P(M\cap T)+P(\overline{M}\cap T) \\\phantom{P(T)}=0,056+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(T) \\\phantom{P(T)}=0,056+0,93\times0,01 \\\phantom{P(T)}=0,056+0,0093 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T)=0,0653}$
Par conséquent, la probabilité que le test de la personne choisie au hasard soit positif est égale à 0,0653.

3. $P_M(T)$ représente la probabilité qu'une personne possède un test positif sachant qu'elle est malade.
$P_T(M)$ représente la probabilité qu'une personne soit malade sachant qu'elle possède un test positif.
Dans un contexte de dépistage de la maladie, il est donc préférable de connaître $P_M(T).$

4. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_T(M).}$

$P_{_T}(M)=\dfrac{P(M\cap T)}{P(T)}=\dfrac{0,056}{0,0653}\approx0,86 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{_T}(M)\approx0,86}$
D'où, la probabilité que la personne choisie soit malade sachant qu'elle possède un test positif est environ égale à 0,86 (valeur arrondie au centième).

5. a) Lors de cette expérience, on répète 10 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le test est positif" dont la probabilité est p = 0,0653 (voir question 2).
Echec : "le test est négatif" dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,0653 = 0,9347.
La variable aléatoire X compte le nombre d'individus ayant un test positif, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,0653.

5. b) Nous devons déterminer $P(X=2).$

$P(X=2)=\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}\times0,0653^2\times(1-0,0653)^{10-2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}=\dfrac{10\times9}{2}\times0,0653^2\times0,9347^{8}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}\approx0,11.} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=2)\approx0,11}$
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait dans l'échantillon exactement 2 personnes présentant un test positif est environ égale à 0,11 (valeur arrondie au centième).

6. Soit n le nombre naturel non nul représentant la taille de la population du pays.
Soit Y la variable aléatoire attribuant le nombre de personnes ayant un test positif.
La variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0,0653.

Calculons d'abord $P(Y\ge 1).$

L'événement contraire de l'événement "au moins une personne présente un test positif" est "personne ne présente de test positif".
Donc $P(Y\ge1)=1-P(Y=0).$

$\text{Or }\ P(Y=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times(0,0653)^0\times\left(1-0,0653\right)^{n-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(Y=0)}=1\times1\times0,9347^{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(Y=0)}=0,9347^{n}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y=0)=0,9347^{n}}\\\\\text{Dès lors, }\ \boxed{P(Y\ge1)=1-0,9347^n}$

Nous devons déterminer n tel que $P(Y\ge 1)\ge 0,99.$

$P(Y\ge 1)\ge 0,99\Longleftrightarrow 1-0,9347^n\ge0,99 \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow -0,9347^{n}\ge0,99-1 \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow -0,9347^{n}\ge-0,01\\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow 0,9347^{n}\le0,01\\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow \ln\left(0,9347^{n}\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow n\times\ln\left(0,9347\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,9347\right)}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,9347)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,9347\right)}\approx68,19$

Le plus petit nombre naturel vérifiant l'inégalité est n = 69.
Par conséquent, il faut tester au minimum 69 personnes dans ce pays pour que le probabilité qu'au moins l'une d'entre elles ait un test positif, soit supérieur à 99%.

7 points

exercice 3

Thème : Suites

Considérons la suite (u_n ) définie par : $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=1{\white{wwwwwwwwww}}\\u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}{\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.$

${\red{\text{1. a) }}}\;\bullet\phantom{x}\boxed{u_0=1} \\\\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}}\;\bullet\phantom{x}u_{1}=\dfrac{u_0}{1+u_0}=\dfrac{1}{1+1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=\dfrac{1}{2}} \\\\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}}\;\bullet\phantom{x}u_{2}=\dfrac{u_1}{1+u_1}=\dfrac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=\dfrac{1}{3}} \\\\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}}\;\bullet\phantom{x}u_{3}=\dfrac{u_2}{1+u_2}=\dfrac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_3=\dfrac{1}{4}}$

1. b) Script Python complété pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel k et renvoie la liste des premières valeurs de la suite (u_n ) de u₀ à u _k.

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (1) : image 17

2. On admet que, pour tout entier naturel n , u_n est strictement positif.

Nous devons déterminer le sens de variation de la suite (u_n ).

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n}{1+u_n}-u_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n-u_n(1+u_n)}{1+u_n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{u_n-u_n-u_n^2}{1+u_n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-u_n^2}{1+u_n}} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}-u_n^2<0\\\overset{{\phantom{.}}}{1+u_n>0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{-u_n^2}{1+u_n}<0 \\\\\phantom{wwWWWWxwww}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n<0}$

Par conséquent, la suite (u_n ) est strictement décroissante.

3. Nous savons que la suite (u_n ) est strictement décroissante.
De plus, elle est strictement positive et est donc minorée par 0.
Selon le théorème de convergence des suites monotones, la suite (u_n ) converge vers $\ell.$

4. Soit $\overset{{\white{.}}}{f:\R^+\longrightarrow\R^+:x\mapsto f(x)=\dfrac{x}{1+x}.}$
La fonction f est continue sur $\R^+$ comme quotient de deux fonctions continues sur $\R^+.$
De plus, pour tout nombre naturel n , $u_{n+1}=f(u_n).$

Nous savons que la suite (u_n ) converge vers $\ell.$
Selon le théorème du point fixe, $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$

$\ell= f(\ell)\quad\Longleftrightarrow \quad\ell=\dfrac{\ell}{1+\ell} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell(1+\ell)=\ell} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell+\ell^2=\ell} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell^2=\ell-\ell} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell^2=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell= f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow \quad\ell=0}$

Nous en déduisons que $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}$

5. a) Nous pourrions conjecturer que pour tout nombre naturel n , $u_n=\dfrac{1}{n+1}.$

5. b) Démontrons cette conjecture par récurrence.
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{u_0=\dfrac{1}{0+1}.}$
C'est une évidence par définition de u₀.

$\left\lbrace\begin{matrix}u_0={\red{1}}\quad\text{(par définition de }u_0)\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{0+1}=\dfrac{1}{1}={\red{1}}\phantom{wwwwwwwww}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_0=\dfrac{1}{0+1}}$

Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n=\dfrac{1}{n+1}}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}.}$

En effet,

$u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n} \\\\\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{1+\dfrac{1}{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+1+1}{n+1}}=\dfrac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{n+2}{n+1}}=\dfrac{1}{n+1}\times\dfrac{n+1}{n+2} \\\\\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{n+2} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{n+2}}$
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n=\dfrac{1}{n+1}.}$

7 points

exercice 4

Thème : Géométrie dans le plan et dans l'espace

L'espace est rapporté à un repère orthonormé où l'on considère :
$\bullet{\white{x}}$ les points A(2 ; -1 ; 0), B(1 ; 0 ; -3), C(6 ;6 ; 1) et E(1 ; 2 ; 4);
$\bullet{\white{x}}$ le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : 2x - y - z + 4 = 0.

1. a) Nous devons démontrer que le triangle ABC est rectangle en A.

Montrons que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0.$

$\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,-1\ ;\,0)\\B(1\ ;\,0\ ;\,-3)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1-2\\0-(-1)\\-3-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}$
$\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,-1\ ;\,0)\\C(6\ ;\,6\ ;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-2\\6-(-1)\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}$

$\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)\times4+1\times7-3\times1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwww}=-4+7-3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwww}=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}}$
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en A.

1. b) Nous devons calculer $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}.$

$\left\lbrace\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\-3\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{BA}\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}$
$\left\lbrace\begin{array}l B(1\ ;\,0\ ;\,-3)\\C(6\ ;\,6\ ;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}6-1\\6-0\\1-(-3)\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}5\\6\\4\end{pmatrix}$

$\text{D'où }\;\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1\times5-1\times6+3\times4 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXXXXXi}=5-6+12} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXXXXXi}=11} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=11}$

Nous devons ensuite calculer les longueurs BA et BC.

$BA=||\overrightarrow{BA}||=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{1+1+9}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{BA=\sqrt{11}} \\\\BC=||\overrightarrow{BC}||=\sqrt{5^2+6^2+4^2}=\sqrt{25+36+16}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{BC=\sqrt{77}}$

1. c) Nous devons calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{ABC},$ arrondie au degré.

$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=11\quad\Longleftrightarrow\quad BA\times BC\times\cos(\widehat{ABC})=11 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{11}\times \sqrt{77}\times\cos(\widehat{ABC})=11 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{11}\times \sqrt{11}\times\sqrt{7}\times\cos(\widehat{ABC})=11 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad 11\times\sqrt{7}\times\cos(\widehat{ABC})=11 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{7}\times\cos(\widehat{ABC})=1 \\\\\phantom{wwwwiwwww}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos(\widehat{ABC})=\dfrac{1}{\sqrt{7}}$
Par conséquent, $\boxed{\widehat{ABC}\approx68^{\circ}}$

2. a) Une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est 2x - y - z + 4 = 0.
Donc un vecteur normal au plan $\mathscr{P}$ est $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\-1\end{pmatrix}.$

Montrons que ce vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires du plan (ABC).

$\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times(-1)+(-1)\times1+(-1)\times(-3) \\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}}=-2-1+3 \\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}} \\\\ \overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times4+(-1)\times7+(-1)\times1 \\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}}=8-7-1 \\\phantom{\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}}$

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires car nous avons montré dans la question 1. a) qu'ils étaient orthogonaux.
Donc le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires du plan (ABC).

Nous en déduisons que ce vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan (ABC).

Dès lors, les plans $\mathscr{P}$ et (ABC) sont orthogonaux au même vecteur $\overrightarrow{n}.$
Par conséquent, les plans $\mathscr{P}$ et (ABC) sont parallèles.

2. b) Nous savons que les plans $\mathscr{P}$ et (ABC) sont parallèles.
Nous en déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 2x - y - z + d = 0.
Or le point A(2 ; -1 ; 0) appartient au plan (ABC).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 2 multiplie

2 - (-1) - 0 + d = 0 , soit d = -5.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est $\boxed{2x-y-z-5=0}.$

2. c) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ orthogonale au plan (ABC) et passant par le point E.

La droite $\mathscr{D}$ est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{2}}\\ {\red{-1}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix}$ .

La droite $\mathscr{D}$ passe par le point $E({\blue{1}}\,;\,{\blue{2}}\,;\,{\blue{4}}).$

D'où une représentation paramétrique de la droite $\mathscr{D}$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{2}}\times t\\y={\blue{2}}+{\red{(-1)}}\times t\\z={\blue{4}}+{\red{(-1)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{\mathscr{D}:\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t\\z=4-t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. d) Les coordonnées du point H sont les solutions du système composé par les équations de la droite $\mathscr{D}$ et du plan (ABC), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t \\z=4-t\\2x-y-z-5=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t \\z=4-t\\2(1+2t)-(2-t)-(4-t)-5=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t \\z=4-t\\2+4t-2+t-4+t-5=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=1+2t\\y=2-t \\z=4-t\\6t-9=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{matrix} x=1+2t\phantom{xxxx}\\y=2-t \phantom{wxxxv}\\z=4-t\phantom{wxxxx}\\t=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\phantom{wxxw}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=1+2\times\dfrac{3}{2}\\y=2-\dfrac{3}{2}\phantom{ww}\\\overset{{\white{.}}}{z=4-\dfrac{3}{2}\phantom{ww}}\\t=\dfrac{3}{2}\phantom{wwww}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=4\\y=\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{z=\dfrac{5}{2}}\\\overset{{\white{.}}}{t=\dfrac{3}{2}}\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées du point H sont $\boxed{\left(4\,;\,\dfrac{1}{2}\, ;\, \dfrac{5}{2}\right)}.$

3. Calculons l'aire du triangle ABC.

Nous avons montré dans la question 1. a) que le triangle ABC est rectangle en A.

Dès lors, $\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}.$

$\boxed{AB=\sqrt{11}}\quad(\text{voir 1. b)} \\\\\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,-1\ ;\,0)\\C(6\,;\,6\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}6-2\\6-(-1)\\1-0\end{pmatrix}$

${\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4\\7\\1\end{pmatrix}}$

${\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow AC=\sqrt{4^2+7^2+1^2}}$

${\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow \boxed{AC=\sqrt{66}}}$

$\text{D'où :}\;\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{66}}{2} \\\\\phantom{xxxxxxxxxxxx}=\dfrac{\sqrt{11}\times \sqrt{11}\times\sqrt{6}}{2} \\\\\phantom{xxxxxxxxxxxx}=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}$

Par conséquent, $\boxed{\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}}$

Déterminons le volume de la pyramide ABCE.
Nous pouvons concevoir la pyramide ABCE comme suit :
${\white{xxx}}$ la base est le triangle ABC
${\white{xxx}}$ la hauteur est [HE].

Donc $\text{Volume}_{\text{pyramide ABCE}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{ABC}\times HE.$

Or $\boxed{\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{11\sqrt{6}}{2}}$

De plus,

$\left\lbrace\begin{array}l H\left(4\ ;\,\dfrac{1}{2}\ ;\,\dfrac{5}{2}\right)\\E(1\ ;\,2\ ;\,4)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{HE}\begin{pmatrix}1-4\\2-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{4-\dfrac{5}{2}}\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{HE}\begin{pmatrix}-3\\\dfrac{3}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{3}{2}}\end{pmatrix}$

$\text{D'où }\; HE=\sqrt{(-3)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wiWWW}=\sqrt{9+\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{27}{2}}=\sqrt{\dfrac{54}{4}}=\sqrt{6\times\dfrac{9}{4}}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{HE=\dfrac{3}{2}\sqrt{6}}$

Par conséquent,

$\text{Volume}_{\text{pyramide ABCE}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{ABC}\times HE \\\\\phantom{{Volume}_{\text{pyramide ABCE}}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{11}{2}\sqrt{6}\times \dfrac{3}{2}\sqrt{6} =\dfrac{11}{4}\times 6=16,5 \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{pyramide ABCE}}=16,5\text{ unités de volume.}}$

Publié par malou le 27-07-2022

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