Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général 2022

Épreuve d'enseignement de spécialité

Mathématiques

Centres étrangers Jour 1

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1

Thème : Fonction logarithme

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Les six questions sont indépendantes.
Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. On considère la fonction f définie pour tout réel x par $f (x) = \ln (1+x²).$

Sur R, l'équation $f (x) = 2022$
$\white{wi}$ a. n'admet aucune solution.
$\white{wi}$ b. admet exactement une solution.
$\white{wi}$ c. admet exactement deux solutions.
$\white{wi}$ d. admet une infinité de solutions.

2. Soit la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par :
$g(x) = x \ln(x)- x²$
On note C_g sa courbe représentative dans un repère du plan.

$\white{wi}$ a. La fonction g est convexe sur ]0 ; + infini

[.
$\white{wi}$ b. La fonction g est concave sur ]0 ; + infini

[.
$\white{wi}$ c. La courbe C_g admet exactement un point d'inflexion sur ]0 ; + infini

[.
$\white{wi}$ d. La courbe Cg admet exactement deux points d'inflexion sur ]0 ; + infini

[.

3. On considère la fonction f définie sur ]-1 ; 1[ par $f (x) =\dfrac{x}{1-x²}$

Une primitive de la fonction f est la fonction g définie sur l'intervalle ]-1 ; 1[ par :

$\white{wi}$ a. $g(x)=-\frac 12\ln(1-x²)$
$\white{wi}$ b. $g(x)=\dfrac{1+x²}{(1-x²)^2}$
$\white{wi}$ c. $g(x)=\dfrac{x²}{2\left(x-\frac{x^3}{3}\right)}$
$\white{wi}$ d. $g(x)=\frac{x^2}{2}\ln(1-x^2)$

4. La fonction $x\mapsto \ln(-x²-x+6)$ est définie sur

$\white{wi}$ a. ]-3 ; 2[
$\white{wi}$ b. ]- infini

; 6]
$\white{wi}$ c. ]0 ; + infini

[
$\white{wi}$ d. ]2 ; + infini

[

5. On considère la fonction f définie sur ]0,5 ; + infini

[ par
$f (x) = x²-4x+3\ln(2x-1)$

Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est :

$\white{wi}$ a. $y = 4x -7$
$\white{wi}$ b. $y = 2x -4$
$\white{wi}$ c. $y = -3(x -1)+4$
$\white{wi}$ d. $y = 2x -1$

6. L'ensemble S des solutions dans R de l'inéquation $\ln(x +3) < 2\ln(x +1)$ est :

$\white{wi}$ a. S =]- infini

; -2[

]1 ; +

[
$\white{wi}$ b. S =]1 ; + infini

[
$\white{wi}$ c. S = vide

$\white{wi}$ d. S =]-1 ; 1[

7 points

exercice 2

Thème : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormé $(O; \vec i , \vec j ,\vec k)$ , on considère les points : A(2 ; 0 ; 3), B(0 ; 2 ; 1), C(-1 ; -1 ; 2) et D(3 ; -3 ; -1).

1. Calcul d'un angle

$\white{wi}$ a. Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB} \text{ et } \overrightarrow{AC}$ et en déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.
$\white{wi}$ b. Calculer les longueurs AB et AC.
$\white{wi}$ c. À l'aide du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ , déterminer la valeur du cosinus de l'angle $\widehat{BAC}$ puis donner une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au dixième de degré.

2. Calcul d'une aire

$\white{wi}$ a. Déterminer une équation du plan P passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB).
$\white{wi}$ b. Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
$\white{wi}$ c. En déduire les coordonnées du projeté orthogonal E du point C sur la droite (AB), c'est-à-dire du point d'intersection de la droite (AB) et du plan P .
$\white{wi}$ d. Calculer l'aire du triangle ABC.

3. Calcul d'un volume

$\white{wi}$ a. Soit le point F(1 ; -1 ; 3). Montrer que les points A, B, C et F sont coplanaires.
$\white{wi}$ b. Vérifier que la droite (FD) est orthogonale au plan (ABC).
$\white{wi}$ c. Sachant que le volume d'un tétraèdre est égal au tiers de l'aire de sa base multiplié par sa hauteur, calculer le volume du tétraèdre ABCD.

7 points

exercice 3

Thèmes : Fonction exponentielle et suite

Partie A :

Soit h la fonction définie sur R par $h(x)=e^x - x$

1. Déterminer les limites de h en - infini

et +

.
2. Étudier les variations de h et dresser son tableau de variation.
3. En déduire que : si a et b sont deux réels tels que 0 infegal

b alors h(a)-h(b) infegal

0.

Partie B :

Soit f la fonction définie sur R par ${\white w}f (x) = \text e ^x$
On note C_f sa courbe représentative dans un repère (O; vecti

).

1. Déterminer une équation de la tangente T à C_f au point d'abscisse 0.

Dans la suite de l'exercice on s'intéresse à l'écart entre T et C_f au voisinage de 0. Cet écart est défini comme la différence des ordonnées des points de T et C_f de même abscisse.
On s'intéresse aux points d'abscisse $\frac 1 n$ , avec n entier naturel non nul.
On considère alors la suite (u_n) définie pour tout entier naturel non nul n par :

$u_n=exp\left(\dfrac 1 n \right)-\dfrac 1 n -1$

2. Déterminer la limite de la suite (u_n).

3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel non nul n,
$u_{n+1}-u_n=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)$ où h est la fonction définie à la partie A.
$\white{wi}$ b. En déduire le sens de variation de la suite (u_n).

4. Le tableau ci-dessous donne des valeurs approchées à 10^-9 des premiers termes de la suite (u_n).

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (1) : image 1

Donner la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle l'écart entre T et C_f semble être inférieur à 10^-2.

7 points

exercice 4

Thème : Probabilités

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Au cours de la fabrication d'une paire de lunettes, la paire de verres doit subir deux traitements notés T1 et T2.

Partie A

On prélève au hasard une paire de verres dans la production. On désigne par A l'évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 ».
On désigne par B l'évènement : « la paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 ».
On note respectivement $\overline A$ et $\overline B$ les évènements contraires de A et B.
Une étude a montré que : - la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 notée $P(A)$ est égale à 0,1. - la probabilité qu'une paire de verres présente un défaut pour le traitement T2 notée $P(B)$ est égale à 0,2.
- la probabilité qu'une paire de verres ne présente aucun des deux défauts est 0,75.

1. Recopier et compléter le tableau suivant avec les probabilités correspondantes.

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (1) : image 2

2. a. Déterminer, en justifiant la réponse, la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2.
$\white{wi}$ b. Donner la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2.
$\white{wi}$ c. Les évènements A et B sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.

3. Calculer la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements.

4. Calculer la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2, sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1.

Partie B

On prélève, au hasard, un échantillon de 50 paires de verres dans la production. On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de ce type, associe le nombre de paires de verres qui présentent le défaut pour le traitement T1.

1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.

2. Donner l'expression permettant de calculer la probabilité d'avoir, dans un tel échantillon, exactement 10 paires de verres qui présentent ce défaut.
$\white w$ Effectuer ce calcul et arrondir le résultat à 10^-3.

3. En moyenne, combien de paires de verres ayant ce défaut peut-on trouver dans un échantillon de 50 paires ?

Voir la correction

Bac général spécialité maths 2022 Centres étrangers (1)

7 points

exercice 1

Thème : Fonction logarithme

Question 1 - Réponse c : On considère la fonction f définie pour tout réel x par $f(x)=\ln(1+x^2).$
Sur $\overset{{\white{.}}}{\R,}$ l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=2\,022}$ admet exactement deux solutions.
En effet,

$f(x)=2\,022\quad\Longleftrightarrow\quad\ln(1+x^2)=2\,022 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=2\,022}\quad\Longleftrightarrow\quad1+x^2=\text{e}^{2\,022}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=2\,022}\quad\Longleftrightarrow\quad x^ 2=\text{e}^{2\,022}-1>0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=2\,022}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\sqrt{\text{e}^{2\,022}-1}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{\text{e}^{2\,022}-1}}$

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{{\white{.}}}{f(x)=2\,022}$ est $\boxed{S=\left\lbrace-\sqrt{\text{e}^{2\,022}-1}\;;\;\sqrt{\text{e}^{2\,022}-1}\right\rbrace}\,.$
La réponse correcte est la proposition c.

Question 2 - Réponse c : Soit la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par $g(x)=x\ln(x)-x^2.$
On note $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
La courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}$ admet exactement un point d'inflexion sur ]0 ; +[.

En effet, la fonction g est deux fois dérivable sur ]0 ; + infini

[.

$g'(x)=[x\ln(x)]'-(x^2)'\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=x'\times\ln(x)+x\times[\ln(x)]'-2x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)=[x\ln(x)]'-(x^2)'}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-2x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)=[x\ln(x)]'-(x^2)'}\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\ln(x)+1-2x}$

$g'(x)=\ln(x)+1-2x\quad\Longrightarrow\quad g''(x)=\dfrac{1}{x}-2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)=\ln(x)+1-2x}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g''(x)=\dfrac{1-2x}{x}}}$

Puisque x > 0, la signe de la dérivée seconde est le signe de 1 - 2x .

$\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}1-2x<0\Longleftrightarrow 2x>1\phantom{ww}\\\phantom{wwwwww}\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{2}\\\\\bullet{\phantom{w}}1-2x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}1-2x>0\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{2}\phantom{www}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\dfrac{1}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\1-2x&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g''(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$
La dérivée seconde s'annule une seule fois en changeant de signe en $x=\frac{1}{2}.$
Par conséquent, la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}$ admet exactement un point d'inflexion sur ]0 ; + infini

[.
La réponse correcte est la proposition c.

Question 3 - Réponse a : On considère la fonction f définie sur ]-1 ; 1[ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{x}{1-x^2}.}$
Une primitive de la fonction f est la fonction g définie sur l'intervalle ]-1 ; 1[ par : $\overset{{\white{.}}}{g(x)=-\frac{1}{2}\ln(1-x^2).}$
En effet, la fonction g est dérivable sur l'intervalle ]-1 ; 1[.

$g'(x)=-\dfrac{1}{2}[\ln(1-x^2)]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{(1-x^2)'}{1-x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{-2x}{1-x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=\dfrac{x}{1-x^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]-1\,;\,1[,\;g'(x)=f(x)}$
D'où une primitive de la fonction f est la fonction g définie sur l'intervalle ]-1 ; 1[ par : $\overset{{\white{.}}}{g(x)=-\frac{1}{2}\ln(1-x^2).}$
La réponse correcte est la proposition a.

Question 4 - Réponse a : La fonction $\overset{{\white{.}}}{x\mapsto \ln(-x^2-x+6)}$ est définie sur ]-3 ; 2[.
En effet, la fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; + infini

[.
Dès lors, nous obtenons la condition : $\overset{{\white{.}}}{-x^2-x+6>0.}$
Résolvons cette inéquation.

$\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(-1)^2-4\times(-1)\times6=1+24=25>0 \\\\\underline{\text{Racines}}:x_1=\dfrac{1+\sqrt{25}}{2\times(-1)}=\dfrac{1+5}{-2}=-3 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\underline{\text{Racines}}:}x_2=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2\times(-1)}=\dfrac{1-5}{-2}=2} \\\\ {\white{xxx}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-3&&2&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\-x^2-x+6&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{-x^2-x+6>0\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x\in\,]-3\,;\,2[}\,.}$
Par conséquent, la fonction $\overset{{\white{.}}}{x\mapsto \ln(-x^2-x+6)}$ est définie sur ]-3 ; 2[.
La réponse correcte est la proposition a.

Question 5 - Réponse a : On considère la fonction f définie sur ]0,5 ; +[ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x^2-4x+3\ln(2x-1).}$
Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est : y = 4x - 7.
En effet, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est de la forme : $\overset{{\white{.}}}{y=f'(1)(x-1)+f(1).}$

La fonction f est dérivable sur ]0,5 ; + infini

[.

$f'(x)=2x-4+3\times\dfrac{(2x-1)'}{2x-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=2x-4+3\times\dfrac{2}{2x-1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=2x-4+\dfrac{6}{2x-1}} \\\\\bullet\;f'(x)=2x-4+\dfrac{6}{2x-1}\quad\Longrightarrow\quad f'(1)=2-4+6 \\\phantom{\bullet\;f'(x)=2x-4+\dfrac{6}{2x-1}}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(1)=4} \\\\\bullet\;f(x)=x^2-4x+3\ln(2x-1)\quad\Longrightarrow\quad f(1)=1-4+3\ln(1)=1-4+3\times0 \\\phantom{\bullet\;f(x)=x^2-4x+3\ln(2x-1)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(1)=-3}$
Dès lors, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est : $\overset{{\white{.}}}{y=4(x-1)-3,}$ soit $\overset{{\white{.}}}{y=4x-7.}$
La réponse correcte est la proposition a.

Question 6 - Réponse b : L'ensemble S des solutions dans $\overset{{\white{.}}}{\R}$ de l'inéquation $\overset{{\white{.}}}{\ln(x+3)<2\ln(x+1)}$ est $\overset{{\white{.}}}{S=]1\,;\,+\infty[.}$
En effet,
$\bullet{\white{x}}$ ln(x + 3) est défini si x + 3 > 0, soit si x > -3.
$\bullet{\white{x}}$ ln(x + 1) est défini si x + 1 > 0, soit si x > -1.
L'inéquation ne sera définie que lorsque les deux conditions sont réalisées soit si x > -1, soit si x ]-1 ; +[.

$\ln(x+3)<2\ln(x+1)\quad\Longrightarrow\quad\ln(x+3)<\ln(x+1)^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ln(x+3)<2\ln(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad x+3<(x+1)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ln(x+3)<2\ln(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad x+3<x^2+2x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ln(x+3)<2\ln(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad x^2+x-2>0}$

Résolvons l'inéquation $x^2+x-2>0$ dans l'intervalle ]-1 ; + infini

[.

Le discriminant du trinôme est $\Delta=1^2-4\times1\times(-2)=1+8=9>0.$
Les racines sont :

${\white{xx}}$ $\bullet{\phantom{x}}x_1=\dfrac{-1-\sqrt{9}}{2\times1}=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2 \\\\\bullet{\phantom{x}}x_2=\dfrac{-1+\sqrt{9}}{2\times1}=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1$
Le coefficient de x ² est positif.
Nous obtenons alors le tableau de signe suivant :

${\white{wwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-2&&1&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\x^2+x-2&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

D'où $x^2+x-2>0\Longleftrightarrow x\in\,]-\infty\,;\,-2[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[.$
Or l'inéquation est définie sur l'intervalle ]-1 ; + infini

[.
Par conséquent, l'ensemble S des solutions de l'inéquation $\overset{{\white{.}}}{\ln(x+3)<2\ln(x+1)}$ est $\overset{{\white{.}}}{S=]1\,;\,+\infty[.}$
La réponse correcte est la proposition b.

7 points

exercice 2

Thème : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j,\vec k ),$ on considère les points :
A (2 ; 0 ; 3), B (0 ; 2 ; 1), C (-1 ; -1 ; 2) et D (3 ; -3 : -1).

1. Calcul d'un angle

1. a) Nous devons calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}.$

$\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,0\ ;\,3)\\B(0\,;\,2\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0-2\\2-0\\1-3\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,0\ ;\,3)\\C(-1\,;\,-1\,;\,2)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1-2\\-1-0\\2-3\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\end{pmatrix}}$

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont manifestement pas proportionnelles.

En effet, $\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{x_{\underset{}{\overrightarrow{AB}}}}{x_{\overrightarrow{AC}}}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}\\\\\dfrac{y_{\underset{}{\overrightarrow{AB}}}}{y_{\overrightarrow{AC}}}=\dfrac{2}{-1}=-2\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{x_{\underset{}{\overrightarrow{AB}}}}{x_{\overrightarrow{AC}}}\neq\dfrac{y_{\underset{}{\overrightarrow{AB}}}}{y_{\overrightarrow{AC}}}}$

Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.
Par conséquent, les points A , B et C ne sont pas alignés.

1. b) Nous devons calculer les longueurs AB et AC .

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AB=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12}=\sqrt{4\times3} \\\phantom{WWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AB=2\sqrt{3}}$

$\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AC=\sqrt{(-3)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{9+1+1} \\\phantom{WWxWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AC=\sqrt{11}}$

1. c) Calculons le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ de deux manières différentes.

D'une part, en utilisant les coordonnées des vecteurs,

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)\times(-3)+2\times(-1)+(-2)\times(-1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=6-2+2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=6} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6}$

D'autre part, en utilisant les longueurs des vecteurs,

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos(\widehat{BAC}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=2\sqrt{3}\times \sqrt{11}\times \cos(\widehat{BAC})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}=2\sqrt{33}\times \cos(\widehat{BAC})} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt{33}\times \cos(\widehat{BAC})}$

En identifiant les résultats, nous obtenons : $2\sqrt{33}\times \cos(\widehat{BAC})=6.$

D'où, $\cos(\widehat{BAC})=\dfrac{6}{2\sqrt{33}}=\dfrac{3}{\sqrt{33}}=\dfrac{3\sqrt{33}}{33}=\dfrac{\sqrt{33}}{11}$

Par conséquent, une valeur approchée au dixième près de la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ est $\boxed{\widehat{BAC}\approx58,5^{\circ}}\,.$

2. Calcul d'une aire

2. a) Nous devons déterminer une équation du plan P passant par le point C et perpendiculaire à la droite (AB ).
Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}$ est normal au plan P , nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan P est de la forme -2x + 2y - 2z + d = 0.

Or le point C(-1 ; -1 ; 2) appartient au plan P .
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où -2 multiplie

(-1) + 2

(-1) - 2

2 + d = 0 , soit 2 - 2 - 4 + d = 0 , soit d = 4.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan P est $\overset{{\white{.}}}{-2x+2y-2z+4=0}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{-x+y-z+2=0}\,}$

2. b) Déterminons une représentation paramétrique de la droite (AB ).

La droite (AB ) est dirigée par le vecteur $\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}$ ou encore par le vecteur $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\,\begin{pmatrix}{\red{-1}}\\ {\red{1}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix}.$

La droite (AB ) passe par le point $A({\blue{2}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{3}}).$

D'où une représentation paramétrique de la droite (AB ) est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{2}}+{\red{(-1)}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{1}}\times t\\z={\blue{3}}+{\red{(-1)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{(AB):\left\lbrace\begin{array}l x=2-t\\y=t\\z=3-t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. c) Les coordonnées du point E sont les solutions du système composé par les équations de la droite (AB ) et du plan (P ), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=2-t\\y=t \\z=3-t\\-x+y-z+2=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=2-t\\y=t \\z=3-t\\-(2-t)+t-(3-t)+2=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=2-t\\y=t \\z=3-t\\-2+t+t-3+t+2=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l x=2-t\\y=t \\z=3-t\\3t-3=0 \end{array}$

$\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=2-t\phantom{x}\\y=t \phantom{wvvv}\\z=3-t\phantom{w}\\t=1\phantom{wxxw}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=2-1\\y=1\phantom{ww}\\z=3-1\\t=1\phantom{ww}\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=1\\y=1\\z=2\\t=1\end{matrix}\right.$
D'où les coordonnées du point E sont $\boxed{\left(1\,;\,1\, ;\, 2\right)}.$

2. d) Calculons l'aire du triangle (ABC ).

Si nous prenons [AB ] comme base du triangle, alors la hauteur relative à cette base est [CE ] (par définition du point E ).

Dès lors, $\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times CE}{2}.$

$\boxed{AB=2\sqrt{3}}\quad(\text{voir 1. b)} \\\\\left\lbrace\begin{array}l C(-1\ ;\,-1\ ;\,2)\\E(1\,;\,1\,;\,2)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}1-(-1)\\1-(-1)\\2-2\end{pmatrix}$

${\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow\overrightarrow{CE}\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}$

${\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow CE=\sqrt{2^2+2^2+0}=\sqrt{8}}$

${\white{WWWWWWWw}}\Longrightarrow \boxed{CE=2\sqrt{2}}}$

D'où $\text{Aire}_{ABC}=\dfrac{AB\times CE}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}\times 2\sqrt{2}}{2}$

Par conséquent, $\boxed{\text{Aire}_{ABC}=2\sqrt{6}}$

3. Calcul d'un volume

3. a) Soit le point F (1 ; -1 ; 3).
Montrons que les points A , B , C et F sont coplanaires en montrant que les vecteurs $\overrightarrow{AF},\;\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont coplanaires.

Montrons donc qu'il existe des réels x et y tels que $\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}.$

$\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,0\ ;\,3)\\ F(1\ ;\,-1\ ;\,3)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}1-2\\-1-0\\3-3\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}\quad\text{et}\quad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\end{pmatrix}\quad(\text{voir question 1.a})$

Dès lors,

$\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWx}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-1=-2x-3y\quad(1)\\-1=2x-y\quad\phantom{Wx}(2)\\0=-2x-y\quad\phantom{w}(3)\end{matrix}\right.} \\\\ (1)+(2) : -2=-4y\quad\Longrightarrow\quad\boxed{y=\dfrac{1}{2}}$
Remplaçons y par sa valeur dans l'équation (3).

$0=-2x-\dfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad 2x=-\dfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{x=-\dfrac{1}{4}}$

Nous en déduisons que $\boxed{\overrightarrow{AF}=-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}$
Par conséquent, les points A , B , C et F sont coplanaires.

3. b) Montrons que la droite (FD ) est orthogonale au plan (ABC ).

$\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,-1\ ;\,3)\\D(3\,;\,-3\,;\,-1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FD}\begin{pmatrix}3-1\\-3+1\\-1-3\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FD}\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}}$

$\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix}}$

$\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times(-2)-2\times2-4\times(-2)\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=-4-4+8\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}=0}$
Dès lors, le vecteur $\overrightarrow{FD}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AB}.$

$\boxed{\overrightarrow{FD}\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}}\quad\text{et}\quad\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\end{pmatrix}}$

$\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times(-3)-2\times(-1)-4\times(-1)\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=-6+2+4\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AC}=0}$
Dès lors, le vecteur $\overrightarrow{FD}$ est orthogonal au vecteur $\overrightarrow{AC}.$

Nous savons par la question 1. a) que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Donc nous venons de montrer que le vecteur $\overrightarrow{FD}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC ).
Nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{FD}$ est orthogonal au plan (ABC ).
Par conséquent, la droite (FD ) est orthogonale au plan (ABC ).

3. c) Nous pouvons concevoir le tétraèdre ABCD comme suit :
${\white{xxx}}$ la base est le triangle ABC
${\white{xxx}}$ la hauteur est FD.

Donc $\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{ABC}\times FD.$

Or $\boxed{\text{Aire}_{ABC}=2\sqrt{6}}$ (voir question 2.d)

De plus,

$\overrightarrow{FD}\begin{pmatrix}2\\-2\\-4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad FD=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-4)^2} \\\phantom{wwwwWWWWWWW}=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}=\sqrt{4\times6} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{FD=2\sqrt{6}}}$

Par conséquent,

$\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{ABC}\times FD \\\\\phantom{\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}}=\dfrac{1}{3}\times 2\sqrt{6}\times 2\sqrt{6} =\dfrac{1}{3}\times 4\times6=8 \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABCD}}=8}$

7 points

exercice 3

Thèmes : Fonctions exponentielle et suite

Partie A

Soit h la fonction définie sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ par : $h(x)=\text{e}^x-x.$

${\red{1.\;}}\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\phantom{xxxx}\\\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^x-x)=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWxWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty}$

Nous savons que $h(x)=\text{e}^x-x\quad\Longrightarrow\quad \boxed{h(x)=\text{e}^x\left(1-\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)}\quad(\text{car }\forall\,x\in\R,\;\text{e}^x\neq0).$
Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\phantom{xWWWWWWxxx}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\;(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\phantom{xx}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)=1\;\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWvxWW}\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x\left(1-\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWvxWW}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty}$

2. La fonction h est dérivable sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ comme somme de deux fonctions dérivables sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ .

$\forall\;x\in\R,\;h'(x)=\text{e}^x-1.$

Tableau de signes de la dérivée h' (x ) et de variations de h sur $\overset{{\white{.}}}{\R.}$

$\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-1<0\Longleftrightarrow \text{e}^x<1\phantom{ww}\\\phantom{wwwww}\Longleftrightarrow x<0\\\\\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-1=0\Longleftrightarrow x=0\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}\text{e}^x-1>0\Longleftrightarrow x>0\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}h(0)=\text{e}^0-0=1-0=1\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\h'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&+\infty\\h(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&1&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. La fonction h est croissante sur [0 ; + infini

[.

$\text{Donc \;}\forall\,a,\;b\in\R, \ 0\le a\le b\quad\Longrightarrow\quad h(a)\le h(b) \\\\\text{soit \;}\boxed{\forall\,a,\;b\in\R, \ 0\le a\le b\quad\Longrightarrow\quad h(a)- h(b)\le0}\,.$

Partie B

Soit f la fonction définie sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ par : $f(x)=\text{e}^x.$

1. Nous devons déterminer une équation de la tangente T à C_f au point d'abscisse 0.

Une équation de la tangente T est de la forme : $\overset{{\white{.}}}{y=f'(0)(x-0) + f(0)}$ , soit de la forme $y=f'(0)x + f(0)$ .

$\text{Or }\;f'(x)=\text{e}^{x}\quad\Longrightarrow\quad f'(0)=\text{e}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=\text{e}^{x}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f'(0)=1}} \\\\\phantom{\text{Or }\;}f(x)=\text{e}^{x}\quad\Longrightarrow\quad f(0)=\text{e}^{0}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f(x)=\text{e}^{x}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f(0)=1}}$

Par conséquent, une équation de la tangente T à C_f au point d'abscisse 0 est $\boxed{y=x+1}\,.$

Soit la suite (u_n ) définie pour tout entier naturel non nul n par : $\overset{{\white{.}}}{u_n=\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1.}$

2. Nous devons déterminer la limite de la suite (u_n ).

$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)=\exp(0)=\text{e}^0=1 \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{n\to+\infty}\left[\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1\right]=1-0-1=0 \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}$

3. a) Pour tout entier naturel non nul n ,

$u_{n+1}-u_{n}=\left[\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}-1\right]-\left[\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}-1\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\left[\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}\right]-1-\left[\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\right]+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=\left[\exp\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{1}{n+1}\right]-\left[\exp\left(\dfrac{1}{n}\right)-\dfrac{1}{n}\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_{n}}=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N^*,\;u_{n+1}-u_{n}=h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)}$

3. b) Pour tout entier naturel non nul n ,

$0<n<n+1\quad\Longrightarrow\quad0<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<n<n+1}\quad\Longrightarrow\quad h\left(\dfrac{1}{n+1}\right)-h\left(\dfrac{1}{n}\right)<0\quad(\text{voir question 3. Partie A.})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<n<n+1}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}-u_{n}<0}}$

Par conséquent, la suite (u_n ) est décroissante.

4. Selon le tableau, les valeurs de u_n semblent être inférieures à 10^-2 à partir de n = 8.
En effet, d'une part la suite (u_n ) est décroissante,
et d'autre part, $u_7\approx0,0107>10^{-2}$ et $u_8\approx0,008<10^{-2}$ .
Par conséquent, la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle l'écart entre T et C_f semble être inférieur à 10^-2 est n = 8.

7 points

exercice 4

Thème : Probabilités

Partie A

1. Tableau complété.

$\bullet\phantom{x}P(\overline{A})=1-P(A)=1-0,1=0,9\quad\Longrightarrow\quad {\red{P(\overline{A})=0,9.}} \\\overset{{\white{.}}}{ \bullet\phantom{x}P(\overline{B})=1-P(B)=1-0,2=0,8\quad\Longrightarrow\quad {\red{P(\overline{B})=0,8.}}} \\\overset{{\white{.}}}{ \bullet\phantom{x}P(\overline{A}\cap B)=0,9-0,75=0,15\quad\Longrightarrow\quad {\red{P(\overline{A}\cap B)=0,15.}}} \\\overset{{\white{.}}}{ \bullet\phantom{x}P(A\cap \overline{B})=0,8-0,75=0,05\quad\Longrightarrow\quad {\red{P(A\cap \overline{B})=0,05.}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{ \bullet\phantom{x}P(A\cap B)=0,1-0,05=0,05\quad\Longrightarrow\quad {\red{P(A\cap B)=0,05.}}}$

${\white{xxxxxxx}}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline &&&\\&A\;&\overline{A}&\text{Total}\\&&&\\\hline &&&\\B&\quad {\red{ 0,05}}\quad &\quad {\red{0,15}}\quad &\quad 0,2\quad\\&&& \\\hline &&&\\ \overline{B}&\quad {\red{0,05}}\quad &\quad 0,75\quad &\quad {\red{0,8}}\quad\\&&& \\\hline &&&\\\text{Total}&\quad 0,1\quad &\quad {\red{0,9}}\quad &\quad 1\quad \\&&&\\\hline\end{array}$

2. a) Nous devons calculer $P(A\cup B).$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(A\cup B)}=0,1+0,2-0,05} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(A\cup B)}=0,25} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cup B)=0,25}$
D'où, la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour au moins un des deux traitements T1 ou T2 est égale à 0,25.

2. b) D'après le tableau de la question 1, nous savons que : $P(A\cap B)=0,05.$
Donc la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente deux défauts, un pour chaque traitement T1 et T2 est égale à 0,05.

2. c) $\overset{{\white{.}}}{P(A\cap B)=0,05}$ et $\overset{{\white{.}}}{P(A)\times P(B)=0,1\times 0,2=0,02.}$
Nous remarquons que $\overset{{\white{.}}}{P(A\cap B)\neq P(A)\times P(B).}$
Dès lors, les événements A et B ne sont pas indépendants.

3. $P(A\cap \overline{B})+P(\overline{A}\cap B)=0,05+0,15\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(A\cap \overline{B})+P(\overline{A}\cap B)=0,2}$
Par conséquent, la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour un seul des deux traitements est égale à 0,2.

4. Nous devons calculer $P_A(B).$

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_A(B)}=\dfrac{0,05}{0,1}=0,5} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_A(B)=0,5}$

D'où, la probabilité qu'une paire de verres, prélevée au hasard dans la production, présente un défaut pour le traitement T2 sachant que cette paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 est égale à 0,5.

Partie B

1. L'expérience peut être assimilée à un tirage avec remise de 50 paires de verres, les tirages étant réalisés de manière identique et indépendante.
Lors de chaque tirage, deux issues sont possibles :
$\bullet{\white{ww}}$ le succès : la paire de verres présente un défaut pour le traitement T1 , dont la probabilité est p = 0,1
$\bullet{\white{ww}}$ l'échec : la paire de verres ne présente pas de défaut pour le traitement T1 , dont la probabilité est 1 - p = 0,9.
D'où, la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,1.

2. Nous devons déterminer $P(X=10).$

$P(X=10)=\begin{pmatrix}50\\10\end{pmatrix}\times0,1^{10}\times(1-0,1)^{50-10} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=10)}=\begin{pmatrix}50\\10\end{pmatrix}\times0,1^{10}\times0,9^{40}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=10)}\approx0,015} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=10)\approx0,015}$
Par conséquent, la probabilité que dans un échantillon de 50 paires de verres, prélevées au hasard dans la production, exactement 10 paires de verres présentent ce défaut est environ égale à 0,015 (valeur arrondie au millième près).

3. Calculons l'espérance de la variable aléatoire X .

$E(X)=n\times p \\\phantom {E(X)}= 50\times0,1 \\\phantom {E(X)}=5. \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=5}$

Par conséquent, en moyenne, nous pouvons trouver 5 paires de verres ayant ce défaut dans un échantillon de 50 paires.

Merci à Hiphigenie et Malou pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche.

Publié par malou le 23-11-2024

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