Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SESSION 2022

MATHÉMATIQUES

Mercredi 11 mai 2022

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1

Thèmes : fonction exponentielle, suites.

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 1 : image 5

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 1 : image 8

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7 points

exercice 2

Thème : géométrie dans l'espace

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7 points

exercice 3

Thème : probabilités

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7 points

exercice 4

Thème : fonctions numériques

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Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 1

7 points

exercice 1

Thèmes : fonction exponentielle, suites.

Partie A : Etude du premier protocole

1. Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 10] par : $f(t)=3t\,\text{e}^{-0,5t+1}.$

1. a) Il est admis dans l'énoncé que la fonction f est dérivable sur l'intervalle [0 ; 10].

Déterminons l'expression de f' (t ).

$f'(t)=(3t)'\times\text{e}^{-0,5t+1}+3t\times(\text{e}^{-0,5t+1})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(t)}=3\times\text{e}^{-0,5t+1}+3t\times(-0,5t+1)'\,\text{e}^{-0.5t+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(t)}=3\times\text{e}^{-0,5t+1}+3t\times(-0,5)\,\text{e}^{-0.5t+1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(t)}=3(1-0,5t)\,\text{e}^{-0,5t+1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(t)=3(-0,5t+1)\,\text{e}^{-0,5t+1}}$

1. b) L'exponentielle est strictement positive sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ et en particulier sur l'intervalle [0 ; 10].
Donc le signe de f' (t ) est le signe de (-0,5t +1).

Tableau de signes de la dérivée f' (t ) et de variations de f sur [0 ; 10].

${\white{xxxx}}$ $\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}-0,5t+1<0\Longleftrightarrow -t+2<0\\\phantom{wwwww.ww}\Longleftrightarrow t>2\\\\\bullet{\phantom{w}}-0,5t+1=0\Longleftrightarrow t=2\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}-0,5t+1>0\Longleftrightarrow t<2\phantom{www}\\\\\bullet{\phantom{w}}f(0)=3\times0\,\text{e}^{-0.5\times0+1}=0\phantom{ww}\\\\f(2)=3\times2\,\text{e}^{-0.5\times2+1}\phantom{ww}\\\;=6\,\text{e}^0=6\phantom{www,}\\\\f(10)=3\times10\,\text{e}^{-0.5\times10+1}\\\phantom{w}=30\,\text{e}^{-4}\approx0,55\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ t&0&&2&&10\\&&&&&\\\hline&&&&&\\-0,5t+1&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(t)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&6&&\\f(t)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&\approx0,55\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

1. c) Selon cette modélisation, la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera maximale au bout de 2 heures.
Cette quantité sera alors égale à 6 mg.

2. a) Montrons que l'équation f (t ) = 5 admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2].

Nous savons que :

${\white{xxx}}\bullet{\white{w}}$ la fonction f est continue sur [0 ; 2]
${\white{xxx}}\bullet{\white{w}}$ la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 2]
De plus, f ([0 ; 2]) = [0 ; 6].

D'après le théorème de la bijection, la fonction f réalise une bijection de [0 ; 2] dans [0 ; 6].
Or 5 appartient

[0 ; 6].
Nous en déduisons que l'équation f (t ) = 5 admet une unique solution dans l'intervalle [0 ; 2].

En utilisant le tableur de la calculatrice, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}f(1,02)\approx4,99<5\\f(1,03)\approx5,02>5\end{matrix}\right.$

Par conséquent, une valeur approchée de à 10^-2 près est $\boxed{\alpha\approx1,02}\,.$

On admet que l'équation f (t ) = 5 admet une unique solution beta

dans l'intervalle [2 ; 10] où $\boxed{\beta\approx3,46}\,.$

Nous obtenons ainsi le tableau de variation de f suivant :

${\white{xxx}}\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&&\\ t&0&&{\red{\alpha}}&&2&&{\red{\beta}}&&10\\&&&&&&&&&\\\hline&&&&&6&&&&\\f(t)&&\nearrow&{\red{5}}&\nearrow&&\searrow&{\red{5}}&\searrow&\\&0&&&&&&&&\approx0,55\\ \hline \end{array}$

2. b) On considère que ce traitement est efficace lorsque f (t ) supegal

5.

D'après le tableau de variation de f , nous savons que f (t ) supegal

5 si

.

Donc la durée d'efficacité du médicament est beta

.
Or $\beta-\alpha\approx3,46-1,02\quad\Longrightarrow\quad\beta-\alpha\approx2,44.$
Nous en déduisons que la durée d'efficacité du médicament est de 2,44 h.
Or 0,44 h = 0,44 multiplie

60 min = 26,4 min.

Par conséquent, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole est de 2h et 26min (à la minute près).

Partie B : Etude du deuxième protocole

1. La dose initiale (en mg) du médicament est $\overset{{\white{.}}}{u_0=2.}$
Une diminution de 30 % correspond au coefficient multiplicateur $1-\dfrac{30}{100}=1-0,3=0,7.$
Donc après la première heure suivant l'injection initiale, la quantité de médicament est de $\overset{{\white{.}}}{0,7u_0.}$
On injecte alors une dose de 1,8 mg.
D'où $\overset{{\white{.}}}{u_1=0,7u_0+1,8=0,7\times2+1,8=3,2.}$

Dès lors, la quantité u ₁ de médicament (en mg) présente dans le sang immédiatement après l'injection de la première heure est donnée par $\overset{{\white{.}}}{u_1=3,2.}$

2. Pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n}$ représente la quantité de médicament (en mg) présente dans le sang immédiatement après l'injection de la n -ème heure.
Après une heure, la quantité de médicament diminue de 30%.
Une diminution de 30 % correspond au coefficient multiplicateur $1-\dfrac{30}{100}=1-0,3=0,7.$
La quantité de médicament est alors donnée par $\overset{{\white{.}}}{0,7u_n.}$
On injecte alors une dose de 1,8 mg.
Par conséquent, la quantité u_n+1 de médicament (en mg) présente dans le sang immédiatement après l'injection de la (n +1)-ème heure est donnée par $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=0,7u_n+1,8.}$

3. a) Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : $\overset{{\white{.}}}{u_n\le u_{n+1}<6.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que : $\overset{{\white{.}}}{u_0\le u_{1}<6.}$
C'est une évidence puisque $\overset{{\white{.}}}{u_0=2\;\text{et}\;u_1=3,2\Longrightarrow u_0\le u_1<6.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n\le u_{n+1}<6}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}\le u_{n+2}<6.}$

En effet,

$u_n\le u_{n+1}<6\quad\Longleftrightarrow\quad{\red{0,7\times}}\, u_n\le {\red{0,7\times}}\, u_{n+1}<{\red{0,7\times}}\, 6 \\\\\phantom{u_n\le u_{n+1}<6}\quad\Longleftrightarrow\quad0,7u_n\le 0,7u_{n+1}<4,2 \\\\\phantom{u_n\le u_{n+1}<6}\quad\Longleftrightarrow\quad0,7u_n\,{\red{+1,8}}\le 0,7u_{n+1}\,{\red{+1,8}}<4,2\,{\red{+1,8}} \\\\\phantom{u_n\le u_{n+1}<6}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{u_{n+1}\le u_{n+2}<6}$
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n\le u_{n+1}<6.}$

3. b) Nous déduisons de la question précédente que la suite (u_n ) est croissante et majorée par 6.
Par suite, selon le théorème de convergence monotone, la suite (u_n ) est convergente.
Nous noterons $\ell$ la limite de cette suite.

3. c) Soit la fonction f définie sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ par : $f(x)=0,7x+1,8$ .
La fonction f est continue sur $\overset{{\white{.}}}{\R}$ .
La suite (u_n ) est définie par la relation de récurrence : $u_{n+1}=f(u_n).$
Nous savons que la suite (u_n ) est convergente vers $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ .
Selon le théorème du point fixe, nous déduisons que $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$

$\ell=f(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad\ell=0,7\ell+1,8 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad\ell-0,7\ell=1,8} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,3\ell=1,8} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=\dfrac{1,8}{0,3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\ell=f(\ell)}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\ell=6}}$

Cela signifie qu'à long terme, la quantité de médicament présente dans le sang du patient tend vers 6 mg.

4. On considère la suite (v_n ) définie pour tout entier naturel n par : $v_n=6-u_n.$

4. a) Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique.

$v_{n+1}=6-u_{n+1} \\\phantom{v_{n+1}}=6-(0,7u_n+1,8) \\\phantom{v_{n+1}}=6-0,7u_n-1,8 \\\phantom{v_{n+1}}=-0,7u_n+4,2 \\\phantom{v_{n+1}}=4,2-0,7u_n \\\phantom{v_{n+1}}=0,7(6-u_n) \\\phantom{v_{n+1}}=0,7\,v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,7\,v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=6-u_0=6-2\Longrightarrow\boxed{v_0=4}$

Par conséquent, la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,7 dont le premier terme est v₀ = 4.

4. b) Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}$ .
Donc, pour tout n supegal

0, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=4\times0,7^{n}}}$

$\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=6-u_n{\white{w}}\\v_n=4\times0,7^{n}\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}} 6-u_n=4\times0,7^{n} \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ u_n=6-4\times0,7^{n}}$

4. c) Nous recherchons le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation $\overset{{\white{.}}}{u_n\ge5,5.}$

$u_n\ge5,5\Longleftrightarrow 6-4\times0,7^{n}\ge5,5 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\ge5,5}\Longleftrightarrow 4\times0,7^{n}\le0,5 } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\ge5,5}\Longleftrightarrow 0,7^{n}\le\dfrac{0,5}{4} } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_n\ge5,5}\Longleftrightarrow 0,7^{n}\le0,125} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\ge5,5}\Longleftrightarrow \ln\left(0,7^{n}\right)\le\ln(0,125) } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_n\ge5,5}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,7)\le\ln(0,125) } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_n\ge5,5}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)} \quad(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,7)<0)}\\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)}\approx5,8$
Donc le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation est n = 6.

Par conséquent, en appliquant ce protocole, le nombre d'injections s'élève à 6.

7 points

exercice 2

Thème : géométrie dans l'espace

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $(O;\vec i,\vec j,\vec k ),$ on considère :

${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ le point A de coordonnées (-1 ; 1 ; 3),
${\white{w}} \bullet {\white{l}}$ la droite $\mathscr{D}$ dont une représentation paramétrique est : $\left\lbrace\begin{matrix}x=1+2t\phantom{xxxxxxx}\\y=2-t\quad,\quad t\in\R.\\z=2+2t\phantom{xxxxxxx}\end{matrix}\right.$

On admet que le point A n'appartient pas à la droite $\mathscr{D}.$

1. a) Nous devons donner les coordonnées d'un vecteur directeur $\vec u$ de la droite $\mathscr{D}.$

$\mathscr{D}:\left\lbrace\begin{matrix}x=1+{\red{2}}\,t\phantom{WWWWWW}\\y=2+{\red{(-1)}}\,t\quad,\quad t\in\R.\\z=2+{\red{2}}\,t\phantom{WWWWWW}\end{matrix}\right.$
D'où, un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ est $\vec u=\begin{pmatrix} {\red{2}}\\ {\red{-1}}\\ {\red{2}} \end{pmatrix}.$

1. b) Montrons que les coordonnées du point B vérifient les équations de la représentation paramétrique de $\mathscr{D}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x_B=1+2t\\y_B=2-t\\z_B=2+2t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}-1=1+2t\\3=2-t\\0=2+2t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2t=-2\\t=-1\\2t=-2\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}t=-1\\t=-1\\t=-1\end{matrix}\right.}$

Le système des trois équations d'inconnue t admet bien une solution.
Donc les coordonnées du point B vérifient les équations de la représentation paramétrique de $\mathscr{D}.$
Par conséquent, le point B appartient à la droite $\mathscr{D}.$

1. c) Nous devons calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\vec u.$

$\left\lbrace\begin{array}l A(-1\ ;\,1\ ;\,3))\\B(-1\,;\,3\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1+1\\3-1\\0-3\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0\\2\\-3\end{pmatrix}}$

$\boxed{\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}}$

$\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\vec u=0\times2+2\times(-1)+(-3)\times2\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\vec u}=0-2-6 \\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{AB}\cdot\vec u}=-8 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot\vec u=-8}$

2. a) Soit le plan $\mathscr{P}$ passant par A et orthogonal à la droite $\mathscr{D}$ .
Le vecteur $\vec u$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ qui est orthogonale au plan $\mathscr{P}$ .
Donc le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $\mathscr{P}.$

Soit M (x ; y ; z ) un point quelconque du plan $\mathscr{P}.$

$M\in\mathscr{P}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{u} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{xxxxx.}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0}$
$\\\\\text{Or }\bullet\left\lbrace\begin{matrix}A(-1\,;\,1\,;\,3)\\M(x\,;\,y\,;\,z)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AM}:\begin{pmatrix}x+1\\y-1\\z-3\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{Or }}\bullet\overrightarrow{u}:\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\\\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{u}=0\Longleftrightarrow2(x+1)-(y-1)+2(z-3)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{N}=0}\Longleftrightarrow2x+2-y+1+2z-6=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{N}=0}\Longleftrightarrow \boxed{2x-y+2z-3=0}}$
Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$ est $\boxed{2x-y+2z-3=0}\,.$

2. b) Les coordonnées du point H se calculent en résolvant le système composé par les équations paramétriques de la droite $\mathscr{D}$ et l'équation cartésienne du plan $\mathscr{P}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x=1+2t\phantom{wwwww}\\y=2-t\phantom{wwwww.}\\z=2+2t\phantom{wwwww}\\2x-y+2z-3=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1+2t\phantom{WWWWWWWWWWW}\\y=2-t\phantom{WWWWWWWWWWW}\\z=2+2t\phantom{WWWWWWWWWWW}\\2(1+2t)-(2-t)+2(2+2t)-3=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{xwwwwwwwwww.xx}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1+2t\phantom{WWWWWWWW}\\y=2-t\phantom{WWWWWWWW}\\z=2+2t\phantom{WWWWWWWW}\\2+4t-2+t+4+4t-3=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{xwwwwwwwwww.xx}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-t\\z=2+2t\\9t+1=0\end{matrix}\right.$

${\white{WWWWWWWWWW}}$ $\\\\\phantom{xwwwwwwwwww.xx}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1+2t\\y=2-t\\z=2+2t\\t=-\dfrac{1}{9}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{xwwwwwwwwww.xx}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=\dfrac{7}{9}\\\overset{{\white{.}}}{y=\dfrac{19}{9}}\\\overset{{\white{.}}}{z=\dfrac{16}{9}}\\\overset{{\white{.}}}{t=-\dfrac{1}{9}}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, le point H a pour coordonnées $\left(\dfrac{7}{9}\,;\,\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right).$

2. c) Nous devons calculer la longueur AH .

$AH=\sqrt{(x_H-x_A)^2+(y_H-y_A)^2+(z_H-z_A)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{AH}=\sqrt{\left(\dfrac{7}{9}+1\right)^2+\left(\dfrac{19}{9}-1\right)^2+\left(\dfrac{16}{9}-3\right)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{AH}=\sqrt{\left(\dfrac{16}{9}\right)^2+\left(\dfrac{10}{9}\right)^2+\left(-\dfrac{11}{9}\right)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{AH}=\sqrt{\dfrac{256}{81}+\dfrac{100}{81}+\dfrac{121}{81}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{AH}=\sqrt{\dfrac{477}{81}}=\sqrt{\dfrac{53}{9}}=\dfrac{\sqrt{53}}{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{AH=\dfrac{\sqrt{53}}{3}}$

3. a) Les points B et H appartiennent à la droite $\mathscr{D}$ .
Dès lors, le vecteur $\overrightarrow{HB}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ .
Or le vecteur $\overrightarrow{u}$ est également un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ .
Ces deux vecteurs sont donc colinéaires.
Par conséquent, il existe un nombre réel k tel que $\overrightarrow{HB}=k\overrightarrow{u}.$

3. b) Le point B appartient à la droite $\mathscr{D}.$
Le point H est le projeté orthogonal du point A sur la droite $\mathscr{D}.$
D'où le vecteur $\overrightarrow{HB}$ est le projeté orthogonal du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sur la droite $\mathscr{D}.$

Sachant que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathscr{D}$ , nous en déduisons que $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{u}$ .

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{HB}\cdot \overrightarrow{u}\\\overrightarrow{HB}=k\overrightarrow{u}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=k\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{u} \\\phantom{WWWWW.WWW}\quad\Longrightarrow\quad \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}=k||\overrightarrow{u}||^2 \\\\\phantom{WWWWW.WWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k=\dfrac{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||^2}}$

3. c) D'une part, nous avons montré dans la question 1. c) que $\overrightarrow{AB}\cdot\vec u=-8.$
D'autre part, $\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad||\vec u||^2=2^2+(-1)^2+2^2=9$

D'où $k=\dfrac{ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{u}}{||\overrightarrow{u}||^2}\Longrightarrow \boxed{k=\dfrac{-8}{9}}$

De plus,

$\overrightarrow{HB}=k \overrightarrow{u}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix}x_B-x_H\\y_B-y_H\\z_B-z_H\end{pmatrix} =k\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WW.WW}\quad\Longleftrightarrow\quad\begin{pmatrix}-1-x_H\\3-y_H\\0-z_H\end{pmatrix} =-\dfrac{8}{9}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WW.WW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}-1-x_H=-\dfrac{16}{9}\\3-y_H=\dfrac{8}{9}\\\overset{{\phantom{.}}}{-z_H=-\dfrac{16}{9}}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WW.WW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_H=-1+\dfrac{16}{9}\\y_H=3-\dfrac{8}{9}\\\overset{{\phantom{.}}}{z_H=\dfrac{16}{9}}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WW.WW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_H=\dfrac{7}{9}\\\overset{{\phantom{.}}}{y_H=\dfrac{19}{9}}\\\overset{{\phantom{.}}}{z_H=\dfrac{16}{9}}\end{matrix}\right.}$
Par conséquent, nous retrouvons les coordonnées du point H , soit $\left(\dfrac{7}{9}\,;\;\dfrac{19}{9}\,;\,\dfrac{16}{9}\right).$

4. Choisissons le triangle ACH comme base du tétraèdre ABCH .
La hauteur de ce tétraèdre est alors égale à HB .
Nous savons que le volume du tétraèdre est $\mathscr{V}_{ABCH}=\dfrac{8}{9}.$
De plus,

$\overrightarrow{HB}=k \overrightarrow{u}\Longrightarrow ||\overrightarrow{HB}||=|k|\times|| \overrightarrow{u}||\quad\text{avec }\;k=-\dfrac{8}{9}\;\text{ et }\;|| \overrightarrow{u}||^2=9\quad(\text{voir question 3.c)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\overrightarrow{HB}=k \overrightarrow{u}}\Longrightarrow HB=|-\dfrac{8}{9}|\times3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\overrightarrow{HB}=k \overrightarrow{u}}\Longrightarrow HB=\dfrac{8}{3}}$

Nous en déduisons que : $\mathscr{V}_{ABCH}=\dfrac{1}{3}\times\mathscr{A}_{ACH}\times HB\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{3}\times\mathscr{A}_{ACH}\times\dfrac{8}{3}$
soit que $\dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{9}\times\mathscr{A}_{ACH}.$

Par conséquent, $\boxed{\mathscr{A}_{ACH}=1}\,.$

7 points

exercice 3

Thème : probabilités

1. Le directeur d'une grande entreprise a proposé à l'ensemble de ses salariés un stage de formation à l'utilisation d'un nouveau logiciel.

1. a) Ce sage a été suivi par 25 % des salariés.
Donc $\overset{{\white{.}}}{\boxed{p(S)=0,25}\,.}$

1. b) Arbre pondéré complété à ce stade de l'énoncé.

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 1 : image 14

1. c) Nous devons déterminer $p(F\cap S).$

$p(F\cap S)=p(F)\times p_F(S) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(F\cap S)}=0,52\times 0,4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(F\cap S)}=0,208} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(F\cap S)=0,208}$
D'où la probabilité que la personne interrogée soit une femme ayant suivi le stage est égale à 0,208.

1. d) Nous devons déterminer $p_S(F).$

$p_S(F)=\dfrac{p(F\cap S)}{p(S)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_S(F)}=\dfrac{0,208}{0,25}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_S(F)}=0,832} \\\\\Longrightarrow\boxed{p_S(F)=0,832}$
Par conséquent, sachant que le personne interrogée a suivi un stage, la probabilité que ce soit une femme est égale à 0,832.

1. d) Déterminons $p_{\overline{F}}(S).$

Nous savons que $p_{\overline{F}}(S)=\dfrac{p(\overline{F}\cap S)}{p(\overline{F})}\quad\Longleftrightarrow\quad p_{\overline{F}}(S)=\dfrac{p(\overline{F}\cap S)}{0,48}.$
Or, selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$p(S)=p(F\cap S)+p(\overline{F}\cap S)\Longleftrightarrow0,25=0,208+p(\overline{F}\cap S) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(S)=p(F\cap S)+p(\overline{F}\cap S)}\Longleftrightarrow p(\overline{F}\cap S)}=0,25-0,208 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(S)=p(F\cap S)+p(\overline{F}\cap S)}\Longleftrightarrow \boxed{p(\overline{F}\cap S)=0,042}}$

Dès lors,

$p_{\overline{F}}(S)=\dfrac{p(\overline{F}\cap S)}{0,48}\quad\Longleftrightarrow\quad p_{\overline{F}}(S)=\dfrac{0,042}{0,48} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWxWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{p_{\overline{F}}(S)=0,0875}}$

Par conséquent, parmi les hommes salariés de l'entreprise, 8,75 % d'entre eux ont suivi le stage.
L'affirmation du directeur est correcte.

2. a) L'expérience peut être assimilée à un tirage avec remise de 20 salariés, les tirages étant réalisés de manière identique et indépendante.
Lors de chaque tirage, deux issues sont possibles :
$\bullet{\white{ww}}$ le succès : le salarié a suivi le stage , dont la probabilité est p = 0,25
$\bullet{\white{ww}}$ l'échec : le salarié n'a pas suivi le stage , dont la probabilité est 1 - p = 0,75.
D'où, la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0,25.

2. b) Nous devons déterminer $p(X=5).$

$p(X=5)=\begin{pmatrix}20\\5\end{pmatrix}\times0,25^5\times(1-0,25)^{20-5} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=5)}=15\,504\times0,25^5\times0,75^{15}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X=5)}\approx0,202} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=5)\approx0,202}$
D'où la probabilité que 5 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage est environ égale à 0,202 (valeur arrondie à 10^-3 près).

2. c) Lorsque l'on saisit proba(5) , le programme calcule $p(X\le 5).$

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons $p(X\le 5)\approx0,617.$
Dans le contexte de l'exercice, la valeur renvoyée par le programme représente la probabilité qu'au plus 5 salariés dans un échantillon de 20 ont effectué le stage, soit une probabilité environ égale à 0,617.

2. d) Nous devons déterminer $p(X\ge6).$

$p(X\ge6)=1-p(X<6) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X\ge6)}=1-p(X\le5)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X\ge6)}\approx1-0,617} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p(X\ge6)}\approx0,383} \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X\ge6)\approx0,383}$
Par conséquent, la probabilité qu'au moins 6 salariés dans un échantillon de 20 aient suivi le stage est environ égale à 0,383.

3. Les données de l'exercice peuvent être résumées dans ce tableau :

${\white{wwwwwww}}\begin{array}{|c|ccc|cccc|}\hline &&&&&&&\\ \text{pourcentage d'augmentation des salaires}&&5\%&&&2\%&&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&& \\ \text{proportion de salariés}&&25 \%=\dfrac{1}{4}&&&75 \%=\dfrac{3}{4}&& \\ &&&&&&& \\ \hline \end{array}$

Calculons le pourcentage moyen des salaires.

$\dfrac{1}{4}\times5\%+\dfrac{3}{4}\times2\%=1,25\%+1,50\%=2,75\%.$

Par conséquent, dans ces conditions, le pourcentage moyen d'augmentation des salaires de cette entreprise est de 2,75 %.

7 points

exercice 4

Thème : fonctions numériques

1. Réponse c : La courbe représentative de la fonction f définie sur $\R$ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1}}$ admet pour asymptote la droite d'équation $\overset{{\white{.}}}{{\red{y=-2}}.}$
En effet,

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ d'une part, l'ensemble de définition de f est $\R$ car $x^2+1\neq0$ pour tout x réel.
Donc, il n'existe pas d'asymptote verticale, ce qui exclut la proposition a. x = -2.

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ d'autre part, montrons que la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale.

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2x^2+3x-1}{x^2+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2(-2+\frac{3x}{x^2}-\frac{1}{x^2})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-2+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=\dfrac{-2+0-0}{1+0}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)}=-2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-2}$

D'où la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale d'équation y = -2.
La réponse correcte est la proposition c.

2. Réponse d : Soit f la fonction définie sur $\R$ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x\text{e}^{x^2}}.$
${\white{wwwwwwww}}$ La primitive F de f sur $\R$ qui vérifie F (0) = 1 est définie par $\overset{{\white{.}}}{{\red{F(x)=\frac{1}{2}\text{e}^{x^2}+\frac{1}{2}.}}}$
En effet,

$F'(x)=\frac{1}{2}\times(x^2)'\times\text{e}^{x^2}+0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=\frac{1}{2}\times2x\times\text{e}^{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=x\times\text{e}^{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=x\,\text{e}^{x^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=f(x)}$
Donc F est une primitive de f sur $\R$ .

De plus,
$\overset{{\white{.}}}{F(0)=\frac{1}{2}\text{e}^{0}+\frac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F(0)}=\frac{1}{2}\times1+\frac{1}{2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{F(0)=1}\,.$
La réponse correcte est la proposition d.

3. Réponse c : On donne ci-dessous la représentation graphique C_f' de la fonction dérivée f' d'une fonction f définie sur $\R$ . On peut affirmer que la fonction f est convexe sur [0 ; 2].

Bac général spécialité maths 2022 Métropole Jour 1 : image 15

En effet la convexité d'une fonction dépend du signe de la dérivée seconde, soit de la croissance de la dérivée première.
Graphiquement, nous observons que la dérivée première f' est croissante sur l'intervalle [0 ; 2].
Donc pour tout x dans l'intervalle [0 ; 2], f'' (x ) supegal

0.
Par conséquent, la fonction f est convexe sur l'intervalle [0 ; 2].
La réponse correcte est la proposition c.

4. Réponse a : Parmi les primitives de la fonction f définie sur $\R$ par $f(x)=3\text{e}^{-x^2}+2,$ toutes sont croissantes sur ${\red{\R}}.$

La croissance des primitives de la fonction f dépend du signe des dérivées de ces fonctions.
Or les dérivées de ces fonctions sont égales à f , par définition de primitive.
En outre, pour tout x réel, l'exponentielle est strictement positive et donc, $f(x) > 0.$
Par conséquent, toutes les primitives de la fonction f sont croissantes sur $\R.$
La réponse correcte est la proposition a.

5. Réponse d : La limite en + infini

de la fonction f définie sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[}$ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{2\ln x}{3x^2+1}}$ est égale à 0.

Nous savons que : $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}2\ln x=+\infty}$ et $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}(3x^2+1)=+\infty}$
Nous obtenons ainsi une forme indéterminée pour la limite du quotient.

Or $\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{2\ln x}{3x^2+1}=\dfrac{2\ln x}{x^2(3+\frac{1}{x^2})}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}\times\dfrac{2}{3+\frac{1}{x^2}}}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0\quad(\text{par croissances comparées)}\\\overset{{\phantom{.}}}{ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}=0\phantom{WWWWWWWWWWWW}}\end{matrix}\right\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}=0\\\overset{{\white{.}}}{ \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{3+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{2}{3}}\end{matrix}\right \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x^2}\times\dfrac{2}{3+\frac{1}{x^2}}=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}$
La réponse correcte est la proposition d.

6. Réponse c : L'équation $\text{e}^{2x}+\text{e}^x-12=0$ admet dans $\R$ une seule solution.

Posons $X=\text{e}^x.$
L'équation s'écrit alors : $X^2+X-12=0.$
Résolvons cette équation.

Le discriminant est $\Delta=1^2-4\times1\times(-12)=1+48=49>0.$
Les racines sont :

${\white{xx}}$ $\bullet{\phantom{x}}X_1=\dfrac{-1-\sqrt{49}}{2\times1}=\dfrac{-1-7}{2}=\dfrac{-8}{2}=-4 \\\\\bullet{\phantom{x}}X_2=\dfrac{-1+\sqrt{49}}{2\times1}=\dfrac{-1+7}{2}=\dfrac{6}{2}=3$

Dès lors nous obtenons : $\text{e}^x=-4$ ou $\text{e}^x=3.$

L'équation $\text{e}^x=-4$ n'admet pas de solution car l'exponentielle est strictement positive sur $\R.$
L'équation $\text{e}^x=3$ admet comme solution : $\boxed{x=\ln3}\,.$
D'où l'équation $\text{e}^{2x}+\text{e}^x-12=0$ admet dans $\R$ une seule solution.
La réponse correcte est la proposition c.

Publié par malou le 06-06-2022

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