Fiche de mathématiques

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Baccalauréat général

Epreuve de spécialité

Session 2022

Amérique du Sud Jour 2

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1 : Probabilités

Une entreprise fabrique des composants pour l'industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.
${\white{w}} \bullet$ La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1 ;
${\white{w}} \bullet$ 30 % des composants sont conçus sur la chaîne n°2 ;
${\white{w}} \bullet$ les composants restants sont conçus sur la chaîne n°3.
À l'issue du processus de fabrication, il apparaît que 1 % des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que 0,5 % des pièces issues de la chaîne n°2 et 4 % des pièces issues de la chaîne n°3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :
${\white{w}} \bullet$ C ₁ l'événement « le composant provient de la chaîne n°1 » ;
${\white{w}} \bullet$ C ₂ l'événement « le composant provient de la chaîne n°2 » ;
${\white{w}} \bullet$ C ₃ l'événement « le composant provient de la chaîne n°3 » ;
${\white{w}} \bullet$ D l'événement « le composant est défectueux » et $\overline D$ son événement contraire.

Dans tout l'exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à 10 ^-4si nécessaire.

Partie A

1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux.

3. Montrer que la probabilité de l'événement D est P ( D ) = 0, 0145 .

4. Calculer la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n°3.

Partie B

L'entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de n unités. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de n unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot. Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l'entreprise, on peut considérer que X suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0, 0145 .

1. Dans cette question, les lots possèdent 20 unités. On pose n = 20.
${\white{w}}$ a. Calculer la probabilité pour qu'un lot possède exactement trois composants défectueux.
${\white{w}}$ b. Calculer la probabilité pour qu'un lot ne possède aucun composant défectueux.
${\white{ww}}$ En déduire la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux.

2. Le directeur de l'entreprise souhaite que la probabilité de n'avoir aucun composant défectueux dans un lot de n composants soit supérieure à 0,85. Il propose de former des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Partie C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de 15 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°1, 12 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et 9 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Calculer le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise.

7 points

exercice 2 : Fonctions, fonction logarithme

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction f , définie sur $]0 \,;+\infty[$ , par :

${\white{wwwwww}} f(x)=3x-x\ln (x) -2\ln (x)\,.$

Partie A :

Etude d'une fonction auxiliaire g

Soit g la fonction définie sur $]0 \,;+\infty[$ par $g(x)=2(x-1)-x\ln(x)\,.$ On note $g\,'$ la fonction dérivée de $g\,.$
On admet que $\lim\limits _{x\to + \infty} g(x)=-\infty\,.$

1. Calculer $g(1) \text{ et } g(\text e)\,.$

2. Déterminer $\lim\limits_{x\to 0}g(x)\;$ en justifiant votre démarche.

3. Montrer que pour tout $x > 0 , g'(x)=1-\ln (x)\,.$ En déduire le tableau de variations de $g \text{ sur } ]0 \,;+\infty[\,.$

4. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet exactement deux solutions distinctes sur $]0 \,;+\infty[$ : 1 et $\alpha$ avec $\alpha$ appartenant à l'intervalle $[\text e \,; +\infty[\,.$ On donnera un encadrement de $\alpha$ à 0,01 près.

5. En déduire le tableau de signes de g sur $]0 \,;+\infty[\,.$

Partie B :

Etude de la fonction f

On considère dans cette partie la fonction f, définie sur $]0 \,;+\infty[\,,$ par

${\white{wwwwww}} f(x)=3x-x\ln (x) -2\ln (x)\,.$ On note $f\,'$ la fonction dérivée de $f\,.$
La représentation graphique $\mathcal C _f$ de cette fonction f est donnée dans le repère $(O\,; \overrightarrow i\;,\; \overrightarrow j )$ ci-dessous. On admet que : $\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty\,.$

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 2 : image 1

1. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en justifiant votre démarche.

2. a. Justifier que pour tout $x > 0,\; f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}\;.$
${\white{w}}$ b. En déduire le tableau de variations de f sur $]0 \,;+\infty[\,.$

3. On admet que, pour tout x > 0 , la dérivée seconde de $f$ notée $f''$ ,est définie par $f''(x)=\dfrac{2-x}{x²}\;.$ Etudier la convexité de $f$ et préciser les coordonnées du point d'inflexion de $\mathcal C _f\,.$

7 points

exercice 3 : Suites

La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 % chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite ( u _n ) où u _n représente l'effectif de la population au début de l'année 2020 + n .
On admet que pour tout entier naturel n , $u_n \ge 0$ .

Au début de l'année 2020, la population étudiée compte 2 000 individus, ainsi u ₀ = 2000 .

1. Justifier que la suite ( u _n ) vérifie la relation de récurrence :
${\white{wwwwww} }u_{n + 1 }= 0,9 u_n + 100\; .$

2. Calculer u ₁ , puis u ₂ .

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n : $1000 < u_{n + 1} \le u_n \,.$

4. La suite ( u _n ) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

5. On considère la suite ( v _n ) définie pour tout entier naturel n par $v_n = u_n - 1000 \,.$
${\white{w}}$ a. Montrer que la suite ( v _n ) est géométrique de raison 0,9 .
${\white{w}}$ b. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n = 1000 ( 1 + 0,9 n ) .$
${\white{w}}$ c. Déterminer la limite de la suite ( u _n ) . En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.

6. On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil S (avec S > 1000 ).
${\white{w}}$ a. Déterminer le plus petit entier n tel que $u_n \le 1020 .$
Justifier la réponse par un calcul.
${\white{w}}$ b. Dans le programme Python ci-après,
${\white{wwwwww} }$

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 2 : image 3

la variable n désigne le nombre d'années écoulées depuis 2020, la variable u désigne l'effectif de la population.
Recopier et compléter ce programme afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil S.

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O ; \overrightarrow i \,,\overrightarrow j \,,\overrightarrow k )\,,$ on considère les points A (0; 8; 6) , B (6; 4; 4) et C (2; 4; 0).

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 2 : image 2

1. a. Justifier que les points A , B et C ne sont pas alignés.
${\white{w}}$ b. Montrer que le vecteur $\overrightarrow n (1; 2; -1)$ est un vecteur normal au plan (ABC ).
${\white{w}}$ c. Déterminer une équation du plan (ABC ).

2. Soient D et E les points de coordonnées respectives ( 0; 0; 6 ) et ( 6; 6; 0 ) .
${\white{w}}$ a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( DE ) .
${\white{w}}$ b. Montrer que le milieu I du segment [ BC ] appartient à la droite ( DE ) .

3. On considère le triangle ABC .
${\white{w}}$ a. Déterminer la nature du triangle ABC .
${\white{w}}$ b. Calculer l'aire du triangle ABC en unité d'aire.
${\white{w}}$ c. Calculer $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC}\,$ .
${\white{w}}$ d. En déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie à 0,1 degré.

4. On considère le point H de coordonnées $\left(\dfrac 53 ; \dfrac{10}{3} ; -\dfrac 53 \right)\;.$
Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan ( ABC ) .
En déduire la distance du point O au plan ( ABC ) .

Voir la correction

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7 points

exercice 1 : Probabilités

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 2 : image 4

2. a) Calculons la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux, soit $\overset{{\white{.}}}{P(C_3\cap D).}$

$P(C_3\cap D)=P(C_3)\times P_{C_3}(D) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(C_3\cap D)}=0,2\times 0,04} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(C_3\cap D)}=0,008} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(C_3\cap D)=0,008}$
Par conséquent, la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux est égale à 0,008.

3. Calculons la probabilité de l'événement D.

Les événements $\overset{{\white{.}}}{C_1}$ , $\overset{{\white{.}}}{C_2}$ et $\overset{{\white{.}}}{C_3}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(D)=P(C_1\cap D)+P(C_2\cap D)+P(C_3\cap D) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(D)}=P(C_1)\times P_{C_1}(D)+P(C_2)\times P_{C_2}(D)+0,008}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(D)}=0,5\times 0,01+0,3\times 0,005+0,008} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(D)}=0,005+0,0015+0,008} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(D)}=0,0145} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D)=0,0145}$

4. Calculons la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n°3, soit $\overset{{\white{.}}}{P_{D}(C_3).}$

$P_{D}(C_3)=\dfrac{P(C_3\cap D)}{P(D)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}=\dfrac{0,008}{0,0145}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}\approx0,5517} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{D}(C_3)\approx0,5517}$

D'où la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n°3 est environ égale à 0,5517.

Partie B

L'entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de n unités.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de n unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.
Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l'entreprise, on peut considérer que X suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0, 0145 .
La probabilité de l'échec est : 1 - p = 1 - 0,0145 = 0,9855.

1. Dans cette question, les lots possèdent 20 unités. On pose n = 20.
Donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0, 0145 .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}20\\k\end{pmatrix}\times0,0145^k\times0,9855^{20-k}}$

1. a) Nous devons calculer la probabilité qu'un lot possède exactement trois composants défectueux, soit P (X = 3).

$P(X=3)=\begin{pmatrix}20\\3\end{pmatrix}\times0,0145^3\times0,9855^{20-3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=3)}=1140\times0,0145^3\times0,9855^{17}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}\approx0,0027} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=3)\approx0,0027}$
Par conséquent, la probabilité qu'un lot possède exactement trois composants défectueux est environ égale à 0,0027.

1. b) Nous devons calculer la probabilité qu'un lot ne possède aucun composant défectueux, soit P (X = 0).

$P(X=0)=\begin{pmatrix}20\\0\end{pmatrix}\times0,0145^0\times0,9855^{20-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)}=1\times1\times0,9855^{20}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)}\approx0,7467} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=0)\approx0,7467}$
D'où la probabilité qu'un lot ne possède aucun composant défectueux est environ égale à 0,7467.

Nous devons en déduire la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux, soit P (X supegal

1).

$P(X\ge1)=1-P(X=0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)}\approx1-0,7467} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)}\approx0,2533} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge1)\approx0,2533}$
Par conséquent, la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux est environ égale à 0,2533.

2. Le directeur de l'entreprise souhaite que la probabilité de n'avoir aucun composant défectueux dans un lot de n composants soit supérieure à 0,85.
Il propose de former des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ?

La probabilité qu'un lot de n composants ne possède aucun composant défectueux est égale à $\overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times0,0145^0\times0,9855^{n-0}=1\times1\times0,9855^{n}=0,9855^{n}.}$

Nous devons donc déterminer le plus grand entier n tel que $\overset{{\white{.}}}{0,9855^{n}>0,85.}$

$0,9855^{n}>0,85\Longleftrightarrow\ln(0,9855^{n})> \ln0,85 \\\phantom{0,9855^{n}>0,85}\Longleftrightarrow n\times\ln0,9855>\ln0,85 \\\\\phantom{0,9855^{n}>0,85}\Longleftrightarrow n< \dfrac{\ln0,85}{\ln0,9855}\\\phantom{WWWWWWW}\ \ \ \ (\text{Changement du sens de l'inéquation car }\ln0,9855<0) \\\\\text{Or } \dfrac{\ln0,85}{\ln0,9855}\approx11,1$

D'où le plus grand entier n vérifiant : $\overset{{\white{.}}}{0,9855^{n}>0,85}$ est n = 11.
Par conséquent, le directeur a raison de former des lots de 11 composants au maximum.

Partie C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de 15 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°1, 12 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et 9 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°3.

Nous devons déterminer le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise.

Le coût moyen de fabrication d'un composant se calcule en euro par :

$P(C_1)\times15+P(C_2)\times12+P(C_3)\times9 =0,5\times15+0,3\times12+0,2\times9 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(C_1)\times15+P(C_2)\times12+P(C_3)\times9}=12,9}$
Donc le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise est de 12,90 euros.

7 points

exercice 2 : Fonctions, fonction logarithme

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction f , définie sur $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[}$ par :

${\white{wwwwww}} f(x)=3x-x\ln (x) -2\ln (x)\,.$

Partie A

Etude d'une fonction auxiliaire g

Soit g la fonction définie sur $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[}$ par $\overset{{\white{.}}}{g(x)=2(x-1)-x\ln(x)\,.}$
On admet que $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits _{x\to + \infty} g(x)=-\infty\,.}$

${\red{1.\;}}\;g(1)=2(1-1)-1\ln(1)=0-0=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=0} \\\\\phantom{W.}g(\text{e})=2(\text{e}-1)-\text{e}\ln(\text{e})=2\text{e}-2-\text{e}=\text e -2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(\text e)=\text e -2}$

2. Nous devons déterminer $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0}g(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}2(x-1)=2\times(-1)=-2\phantom{WW.WW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to0^+}x\ln(x)=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(\overset{}{2(x-1)-x\ln(x)}\right)=-2-0=-2 \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-2}$

3. Montrons que pour tout $\overset{{\white{.}}}{x > 0 , g'(x)=1-\ln (x)\,.}$

Pour tout x > 0,

${\white{www}}$ $g'(x)=2(x-1)'-[x\ln(x)]' \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2\times1-\left(\overset{}{x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'}\right)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2-\left(\overset{}{1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}}\right)} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2-\left(\overset{}{\ln(x)+1}\right)}$
${\white{www}}$ $\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=2-\ln(x)-1} \\ \overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=1-\ln(x)} \\ \\ \Longrightarrow\boxed{\forall\,x>0,\;g\,'(x)=1-\ln(x)}$

Nous devons en déduire le tableau de variations de g sur $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[.}$

Étudions le signe de g' (x ) sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

${\white{WWW}}\begin{matrix}1-\ln(x)=0\Longleftrightarrow \ln(x)=1\\\phantom{WWWx}\Longleftrightarrow x=\text e\\\\1-\ln(x)<0\Longleftrightarrow \ln(x)>1 \\\phantom{WWWx}\Longleftrightarrow x>\text e\\\\1-\ln(x)>0\Longleftrightarrow x<\text e\phantom{WW}\end{matrix}\phantom{WW}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{WW}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&\text e&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&|&&&&&&& 1-\ln(x)&|& + && 0 & &- &\\&|&&&&&&\\ \hline&|&&&&&&\\ g'(x)&|&+&&0&&-&\\&|&&& &&&\\ \hline \end{array}$

Dressons le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

${\white{WWWWW}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&\text e&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&||&&&&&&& g'(x)&||& + && 0 & &- &\\&||&&&&&&\\ \hline&||&&&\text e-2&&&\\ g(x)&||&\nearrow&&&&\searrow&\\&\phantom{xxx}||-2&&& &&&-\infty\\ \hline \end{array}$

4. Montrer que l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[}$ : 1 et $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ avec $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[\text e \,; +\infty[\,.}$

$\bullet{\white{x}}$ Sur l'intervalle ]0 ; e]
La fonction g est continue sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text e]}$ car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text e]}$ (voir question 3.)

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0}g(x)=-2<0\\g(\text e)=\text e-2>0\phantom{.}\\\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in\;]\,\lim\limits_{x\to0}g(x)\,;\,g(\text e)\,]}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet une unique solution appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text e].}$
Or 1 appartient à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text e]}$ et nous savons que g (1) = 0 (voir question 1. Partie A).
Donc 1 est l'unique solution de l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,\text e].}$

$\bullet{\white{x}}$ Sur l'intervalle [e ; +[
Montrons que l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet une unique solution, notée alpha

, sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[\text e \,; +\infty[\,.}$

La fonction g est continue sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[\text e \,; +\infty[}$ car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[\text e \,; +\infty[}$ (voir question 3.)

$\left\lbrace\begin{matrix}g(\text e)=\text e-2>0\phantom{.}\\\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in[\,g(\text e)\,;\,\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\,[}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet une unique solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[\text e \,; +\infty[\,.}$

$\bullet{\white{x}}$ Par conséquent, l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet exactement deux solutions distinctes sur $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[}$ : 1 et $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ avec $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[\text e \,; +\infty[\,.}$

5. Sur base du tableau de variations de g et de la question précédente, nous en déduisons le tableau de signes de g sur $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[\,.}$

${\white{WWWWW}}\begin{array} {|c|cccccccccc|} \hline &&&&&&&&&&& x &0&&&1&&&\alpha&&&+\infty\\ &&&&&&&&&& \\ \hline&||&&&&&&&&&& g(x)&||& -&&0&+ && 0 & &- &\\&||&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Partie B

Etude de la fonction f

On considère dans cette partie la fonction f , définie sur $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[\,,}$ par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=3x-x\ln (x) -2\ln (x)\,.}$
On admet que : $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to 0} f(x)=+\infty\,.}$

1. Nous devons déterminer $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)\,.}$

Pour tout x dans l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[\,,}$

$f(x)=3x-x\ln (x) -2\ln (x)\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{f(x)=x\left(\overset{}{3-\ln (x)}\right)-2\ln(x)}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x\left(\overset{}{3-\ln (x)}\right)=-\infty\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}2\ln(x)=+\infty\phantom{ww}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left[x\left(\overset{}{3-\ln (x)}\right)-2\ln(x)\right]=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWw}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

2. a) Nous devons justifier que pour tout $x > 0,\; f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}\;.$

$f'(x)=(3x)'-[x\ln (x)]' -2[\ln (x)]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=3-[x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'] -2\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=3-[1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}] -\dfrac{2}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=3-[\ln(x)+1] -\dfrac{2}{x}}$
${\white{xxxx.}}$ $\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=3-\ln(x)-1 -\dfrac{2}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=2-\dfrac{2}{x}-\ln(x) } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x-2-x\ln(x)}{x} } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{2(x-1)-x\ln(x)}{x} }$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x)}{x} } \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x>0,\;f'(x)=\dfrac{g(x)}{x} }$

2. b) Puisque x > 0, le signe de f' (x ) est le signe de g (x ) étudié dans la partie A.
Nous obtenons ainsi le tableau de signe de f' (x ) et le tableau de variations de f sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0 \,;+\infty[\,.}$

${\white{WWWWW}}\begin{array} {|c|ccccccccccc|} \hline &&&&&&&&&&&& x &0&&&1&&&&\alpha&&&+\infty\\ &&&&&&&&&&& \\ \hline&||&&&&&&&&&&& g(x)&||& -&&0&&+ && 0 & &- &\\&||&&&&&&&&&& \\ \hline &||&&&&&&&&&&\\ f'(x)&||& -&&0&&+ && 0 & &- &\\&||&&&&&&&&&&\\ \hline\end{array}$

${\white{WWWWW}}\begin{array} {|c|ccccccccccc|} \hline &&&&&&&&&&&& x &0&&&1&&&&\alpha&&&+\infty\\ &&&&&&&&&&& \\ \hline&||&&&&&&&&&&& f'(x)&||& -&&0&&+ && 0 & &- &\\&||&&&&&&&&&&\\ \hline &\phantom{xxxx}||+\infty&&&&&&&f(\alpha)&&&\\ f&||& \searrow&&&&\nearrow && & &\searrow &\\&||&&&3&&&&&&&-\infty\\ \hline\end{array}$

3. On admet que, pour tout x > 0 , la dérivée seconde de f notée f'' , est définie par $f''(x)=\dfrac{2-x}{x²}\;.$

Déterminons la convexité de f en étudiant le signe de f'' (x ).

Puisque $x^2>0,$ le signe de f'' (x ) est le signe de 2 - x .

${\white{WWW}}\begin{matrix}2-x=0\Longleftrightarrow x=2\\\\2-x<0\Longleftrightarrow x>2\\\\2-x>0\Longleftrightarrow x<2\phantom{WW}\\\\f(2)=6-2\ln (2) -2\ln (2)\\\phantom{ww}=6-4\ln(2)\phantom{WWWi}\end{matrix}\phantom{WW}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{WW}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&2&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&|&&&&&&& 2-x&|& + && 0 & &- &\\&|&&&&&&\\ \hline&|&&&&&&\\ f''(x)&|&+&&0&&-&\\&|&&& &&&\\ \hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction f est convexe sur l'intervalle ]0 ; 2] et concave sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[2 \,;+\infty[\,.}$

La courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathcal C _f}$ admet un point d'inflexion de coordonnées (2 ; 6 - 4ln(2)).

7 points

exercice 3 : Suites

1. Pour tout entier naturel n , u_n représente l'effectif de la population au début de l'année 2020 + n .
La population diminue de 10 % chaque année.
Après cette diminution, il reste alors 90 % de la population, c'est-à-dire $\overset{{\white{.}}}{0,9u_n.}$
On réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , l'effectif de la population au début de l'année 2020 + (n + 1) est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{u_{n+1}=0,9u_n+100}\,.}$

2. Calculons u ₁ , puis u ₂ .

$\bullet{\white{x}}\boxed{u_0=2\,000} \\\\\bullet{\white{x}}u_1=0,9u_0+100=0,9\times2\,000+100=1\,900\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=1\,900} \\\\\bullet{\white{x}}u_2=0,9u_1+100=0,9\times1\,900+100=1\,810\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=1\,810}$

3. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n : $\overset{{\white{.}}}{1000 < u_{n + 1} \le u_n \,.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{1000 < u_1 \le u_0 \;.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}u_1=1\,900\\u_0=2000\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad1\,000<u_1\le u_0.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{1000 < u_{n + 1} \le u_n }$ , alors $\overset{{\white{.}}}{1000 < u_{n + 2} \le u_{n + 1} \,.}$
En effet,

$\forall\,n\in\N,\;1000 < u_{n + 1} \le u_n\quad\Longrightarrow\quad0,9\times1000 < 0,9\,u_{n + 1} \le 0,9\,u_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad900 < 0,9\,u_{n + 1} \le 0,9\,u_n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad900 +100< 0,9\,u_{n + 1}+100 \le 0,9\,u_n+100} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad1000 < 0,9\,u_{n + 1}+100 \le 0,9\,u_n}+100 \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad1000<u_{n+2}\le u_{n+1}}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{ ; }1000 < u_{n + 1} \le u_n }}\;.$

4. Sur base de la question 3., nous déduisons que la suite (u_n ) est décroissante et est minorée par 1000.
Selon le théorème de la convergence monotone, la suite (u_n ) est convergente.

5. On considère la suite (v_n ) définie pour tout entier naturel n par $\overset{{\white{.}}}{v_n = u_n - 1000 \,.}$

5. a) Montrons que la suite (v_n ) est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel n ,

$v_{n+1}=u_{n+1}-1000 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=0,9u_{n}+100-1000} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n-900} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n-0,9\times1000} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=0,9(u_n-1000)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{w_{n+1}}=0,9\,v_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N, \ v_{n+1}=0,9\,v_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:v_0=u_0-1000=2000-1000=1000 \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWv}\Longrightarrow\boxed{v_0=1000}}$
Par conséquent, la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,9 dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{v_0=1\,000.}$

5. b) Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^n} .$
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=1\,000\times 0,9^n}}$
Dès lors,

$\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}v_n=u_n-1000{\white{w}}\\v_n=1\,000\times 0,9^n\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}} u_n-1000=1000\times 0,9^n \\ {\phantom{WWWWWWwWWWWWWWW}}\Longrightarrow\forall\ n\in\N,\ u_n=1000+1000\times0,9^n \\\\ {\phantom{WWWWWWwWWWWWWWW}}\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ u_n=1000(1+0,9^n)}$

5. c) Déterminons la limite de la suite (u_n ) .

$\\\lim\limits_{n\to+\infty} 0,9^n=0\quad\text{car }0<0,9<1 \\\\\text{Donc }\,\lim\limits_{n\to+\infty} (1+0,9^n)=1\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} 1000(1+0,9^n)=1000 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=1000}$

Par conséquent, à très long terme, l'effectif de la population sera proche de 1000 individus.

6. On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil S (avec S > 1000 ).

6. a) Déterminons le plus petit entier n tel que $\overset{{\white{.}}}{u_n \le 1020 .}$

$u_n \le 1020 \Longleftrightarrow 1000\,(1+0,9^n) \le 1020 . \\\phantom{u_n \le 1020}\Longleftrightarrow1+0,9^n \le 1,02 \\\phantom{u_n \le 1020}\Longleftrightarrow0,9^n \le 0,02 \\\phantom{u_n \le 1020}\Longleftrightarrow\ln(0,9^{n})\le \ln0,02$

$\\\phantom{u_n \le 1020}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,9)\le \ln0,02 \\\\\phantom{u_n \le 1020}\Longleftrightarrow n\ge \dfrac{\ln0,02}{\ln0,9}\\\phantom{WWWWWWW}\ \ \ \ (\text{Changement du sens de l'inéquation car }\ln0,9<0) \\\\\text{Or } \dfrac{\ln0,02}{\ln0,9}\approx37,1$

D'où le plus petit entier n vérifiant : $\overset{{\white{.}}}{u_n \le 1020}$ est n = 38.

6. b) Complétons le programme Python afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil S.

${\white{WWWWW}}\begin{array} {|c|c|} \hline 1\phantom{x}{\blue{\text{d}}}{\blue{\text{e}}}{\blue{\text{f}}}\text{ population(S)} :\phantom{Wwx} \\2\phantom{x}\phantom{Wi}\text{n = 0}\phantom{Wwwwwwwww} \\3\phantom{x}\phantom{Wi}\text{u = 2000}\phantom{Wwwwwww} \\4\phantom{Wwww}\phantom{Wwww}\phantom{Wwxxxwx} \\5\phantom{x}\phantom{Wi}{\blue{\text{while }}}{\red{\text{u}>{1020}}}:\phantom{Wxi} \\6\phantom{x}\phantom{Wwww}\text{u = }{\red{\text{0,9}*{\text{u}+100}}}\\ \hline\end{array}$

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O ; \overrightarrow i \,,\overrightarrow j \,,\overrightarrow k )\,,$ on considère les points A (0; 8; 6) , B (6; 4; 4) et C (2; 4; 0).

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 2 : image 5

1. a) Justifions que les points A, B et C ne sont pas alignés.

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\ \begin{pmatrix}6-0\\4-8\\4-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}\\\\\overrightarrow{AC}\ \begin{pmatrix}2-0\\4-8\\0-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\,\left\lbrace\begin{matrix}x_{\overrightarrow{AB}}=6\\x_{\overrightarrow{AC}}=2\\y_{\overrightarrow{AB}}=-4\\y_{\overrightarrow{AC}}=-4\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{x_{\overrightarrow{AB}}}{x_{\overrightarrow{AC}}}\neq\dfrac{y_{\overrightarrow{AB}}}{y_{\overrightarrow{AC}}}}$

Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas proportionnelles.
Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.

1. b) Montrons que le vecteur $\overrightarrow{n}\ \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC ).

Montrons que $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC ).

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont manifestement pas colinéaires.
De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{n}\ \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AB}\ \begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=1\times6+2\times(-4)-1\times(-2)\\=0\phantom{wwwwwwwwwwww}\end{matrix} \\\phantom{WWWWWwW}\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{n}\ \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AC}\ \begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times2+2\times(-4)-1\times(-6)\\=0\phantom{wwwwwwwwwwww}\end{matrix} \\\phantom{WWWWWwW}\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}}$

Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ non colinéaires du plan (ABC ).
Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC ).

1. c) Déterminons une équation du plan (ABC ).
Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme : ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme : x + 2y - z + d = 0.

Or le point C (2 ; 4 ; 0) appartient au plan (ABC ).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 2 + 8 + 0 + d = 0 , soit d = -10.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC ) est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{x+2y-z-10=0}\,.}$

2. Soient D et E les points de coordonnées respectives ( 0 ; 0 ; 6 ) et ( 6 ; 6 ; 0 ) .

2. a) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite (DE ) .

La droite (DE ) est dirigée par le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}6-0\\6-0\\0-6\end{pmatrix}}$ , soit par le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}{\red{6}}\\ {\red{6}}\\ {\red{-6}}\end{pmatrix}}}$ .
La droite (DE ) passe par le point $\overset{{\white{.}}}{D({\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{6}}).}$
D'où une représentation paramétrique de la droite (DE ) est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{6}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{6}}\times t\\z={\blue{6}}{\red{\,-\,6}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$
soit $\boxed{(DE) :\left\lbrace\begin{array}l x=6t\\y=6t\\z=6-6t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. b) Montrons que le milieu I du segment [BC ] appartient à la droite (DE ) .

Les coordonnées du point I sont données par : $\overset{{\white{.}}}{\left(\dfrac{x_B+x_C}{2}\,;\,\dfrac{y_B+y_C}{2}\,;\,\dfrac{z_B+z_C}{2}\right)=\left(\dfrac{6+2}{2}\,;\,\dfrac{4+4}{2}\,;\,\dfrac{4+0}{2}\right)=(4\,;\,4\,;\,2).}$
D'où les coordonnées du point I sont (4 ; 4 ; 2).

Le point I appartient à la droite (DE ) s'il existe un réel t tel que les coordonnées de I vérifient les équations paramétriques de (DE ).

Déterminons donc s'il existe un réel t tel que : $\left\lbrace\begin{array}l 6t=4\\6t=4\\6-6t=2 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l 6t=4\\6t=4\\6-6t=2 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l 6t=4\\6t=4\\6t=4 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}}$

D'où il existe un réel t tel que les coordonnées de I vérifient les équations paramétriques de (DE ).

Par conséquent, le milieu I du segment [BC ] appartient à la droite (DE ) .

3. On considère le triangle ABC .

3. a) Déterminons la nature du triangle (ABC ).

$\overrightarrow{AB}\ \begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AB^2=6^2+(-4)^2+(-2)^2=36+16+4=56 \\\phantom{WWWW x}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{AB^2=56} \\\\\overrightarrow{AC}\ \begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad AC^2=2^2+(-4)^2+(-6)^2=4+16+36=56 \\\phantom{WWWW x}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{AC^2=56} \\\\\overrightarrow{BC}\ \begin{pmatrix}-4\\0\\-4\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad BC^2=(-4)^2+0^2+(-4)^2=16+0+16=32 \\\phantom{WWWW x}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{BC^2=32}$

${\white{w}} \bullet$ Le triangle (ABC ) est isocèle en A car $AB^2=AC^2=56\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AB=AC}$ .

${\white{w}} \bullet$ Le triangle (ABC ) n'est pas rectangle car la réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée dans le cas de ce triangle (ABC ).

En effet, $\left\lbrace\begin{matrix}AB^2+AC^2\neq BC^2\\AB^2+BC^2\neq AC^2\\AC^2+BC^2\neq AB^2\end{matrix}\right.$

${\white{w}} \bullet$ Par conséquent, le triangle (ABC ) est isocèle en A et n'est pas rectangle.

3. b) Nous devons calculer l'aire $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{A}}$ du triangle (ABC ) en unité d'aire.

Considérons le triangle (ABC ) comme ayant [BC ] comme base et [AI ] issue de A .

Nous savons que $\mathscr{A}=\dfrac{BC\times AI}{2}.$

Or $BC=\sqrt{32}$ (voir question 3. a)

$\text{et }\;AI=\sqrt{(4- 0)^2+(4-8 )^2+(2-6)^2} \\\phantom{XXX}=\sqrt{16+16+16} \\\phantom{XXX}=\sqrt{48}$

$\text{Donc }\;\mathscr{A}=\dfrac{\sqrt{32}\times \sqrt{48}}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXX}=\dfrac{4\sqrt{2}\times 4\sqrt{3}}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXX}=\dfrac{16\sqrt{6}}{2}=8\sqrt{6}}$

$\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr{A}=8\sqrt{ 6} }$

3. c) Nous devons calculer $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\, .$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AB}\ \begin{pmatrix}6\\-4\\-2\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AC}\ \begin{pmatrix}2\\-4\\-6\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=6\times2-4\times(-4)-2\times(-6)\end{matrix} \\\phantom{WWWWWwW}\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=40}$

3. d) Nous devons en déduire une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ arrondie à 0,1 degré.

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos(\widehat{BAC})\quad\Longleftrightarrow\quad 40=\sqrt{56}\times\sqrt{56}\times\cos(\widehat{BAC}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 40=56\times\cos(\widehat{BAC})}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos(\widehat{BAC})=\dfrac{40}{56}=\dfrac{5}{7}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\widehat{BAC}\approx44,4\,^{\circ}}$

4. On considère le point H de coordonnées $\left(\dfrac 53 ; \dfrac{10}{3} ; -\dfrac 53 \right)\;.$

Montrons que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC ) .
Nous allons montrer que le point H appartient au plan (ABC ) et que le vecteur $\overrightarrow{OH}$ est orthogonal au plan (ABC ).

${\white{w}} \bullet$ Montrons que les coordonnées du point H vérifient l'équation du plan (ABC ).

Nous avons : $\left\lbrace\begin{matrix}H\left(\dfrac 53 ; \dfrac{10}{3} ; -\dfrac 53 \right)\phantom{XXXXXX}\\\\ (ABC):x+2y-z-10=0\end{matrix}\right.$
Le point H appartient au plan (ABC ) car $\dfrac 53 +\dfrac{20}{3}+\dfrac 53-10=\dfrac{30}{3}-10=0.$

${\white{w}} \bullet$ Montrons que le vecteur $\overrightarrow{OH}$ est orthogonal au plan (ABC ).

$\overrightarrow{OH}:\begin{pmatrix}\dfrac 53\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{10}{3}}\\\overset{{\white{.}}}{-\dfrac 53}\end{pmatrix}=\dfrac 53\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{OH}=\dfrac 53\overrightarrow{n}}$
Les vecteurs $\overrightarrow{OH}$ et $\overrightarrow{n}$ sont donc colinéaires.

Or le vecteur $\overrightarrow{n}\ \begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC ).
D'où le vecteur $\overrightarrow{OH}$ est orthogonal au plan (ABC ).

${\white{w}} \bullet$ Par conséquent, le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC ) .

Nous en déduisons que la distance du point O au plan (ABC ) est égale à OH .

$OH=\sqrt{\left(\dfrac{5}{3}\right)^2+\left(\dfrac{10}{3}\right)^2+\left(\dfrac{5}{3}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{OH}=\sqrt{\dfrac{25}{9}+\dfrac{100}{9}+\dfrac{25}{9}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{OH}=\sqrt{\dfrac{150}{9}}=\sqrt{\dfrac{25\times6}{9}}=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{OH=\dfrac{5\sqrt{6}}{3}}$
D'où la distance du point O au plan (ABC ) est égale à $\dfrac{5\sqrt{6}}{3}.$

Publié par malou le 14-04-2023

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