L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3
exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en
compte.
7 points
exercice 1 : Probabilités
Une entreprise fabrique des composants pour l'industrie automobile. Ces composants sont
conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3. La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1 ; 30 % des composants sont conçus sur la chaîne n°2 ; les composants restants sont conçus sur la chaîne n°3.
À l'issue du processus de fabrication, il apparaît que 1 % des pièces issues de la chaîne n°1
présentent un défaut, de même que 0,5 % des pièces issues de la chaîne n°2 et 4 % des pièces
issues de la chaîne n°3.
On prélève au hasard un de ces composants. On note : C1 l'événement « le composant provient de la chaîne n°1 » ; C2 l'événement « le composant provient de la chaîne n°2 » ; C3 l'événement « le composant provient de la chaîne n°3 » ; D l'événement « le composant est défectueux » et son événement contraire.
Dans tout l'exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou
arrondie à 10 -4 si nécessaire.
Partie A
1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit
défectueux.
3. Montrer que la probabilité de l'événement D est P ( D ) = 0, 0145 .
4. Calculer la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n°3.
Partie B
L'entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de n
unités. On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de n unités, associe le nombre de
composants défectueux de ce lot. Compte tenu des modes de production et de
conditionnement de l'entreprise, on peut considérer que X suit la loi binomiale de paramètres
n et p = 0, 0145 .
1. Dans cette question, les lots possèdent 20 unités. On pose n = 20. a. Calculer la probabilité pour qu'un lot possède exactement trois composants
défectueux. b. Calculer la probabilité pour qu'un lot ne possède aucun composant défectueux. En déduire la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux.
2. Le directeur de l'entreprise souhaite que la probabilité de n'avoir aucun composant
défectueux dans un lot de n composants soit supérieure à 0,85. Il propose de former
des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.
Partie C
Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de 15 euros s'ils proviennent
de la chaîne de montage n°1, 12 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et 9
euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Calculer le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise.
7 points
exercice 2 : Fonctions, fonction logarithme
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction f , définie sur , par :
Partie A :
Etude d'une fonction auxiliaire g
Soit g la fonction définie sur par On note la fonction dérivée
de On admet que
1. Calculer
2. Déterminer en justifiant votre démarche.
3. Montrer que pour tout En déduire le tableau de variations de
4. Montrer que l'équation admet exactement deux solutions distinctes sur :
1 et avec appartenant à l'intervalle On donnera un
encadrement de à 0,01 près.
5. En déduire le tableau de signes de g sur
Partie B :
Etude de la fonction f
On considère dans cette partie la fonction f, définie sur par
On note la fonction dérivée de
La représentation graphique de cette fonction f est donnée dans le repère ci-dessous. On admet que :
1. Déterminer la limite de en en justifiant votre démarche.
2. a. Justifier que pour tout b. En déduire le tableau de variations de f sur
3. On admet que, pour tout x > 0 , la dérivée seconde de notée ,est définie par
Etudier la convexité de et préciser les coordonnées du point d'inflexion de
7 points
exercice 3 : Suites
La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve
naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 %
chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque
année.
On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela,
on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite ( u n ) où u n représente l'effectif
de la population au début de l'année 2020 + n .
On admet que pour tout entier naturel n , .
Au début de l'année 2020, la population étudiée compte 2 000 individus, ainsi u0 = 2000 .
1. Justifier que la suite ( u n ) vérifie la relation de récurrence :
2. Calculer u1 , puis u2 .
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :
4. La suite ( u n ) est-elle convergente ? Justifier la réponse.
5. On considère la suite ( v n ) définie pour tout entier naturel n par a. Montrer que la suite ( v n ) est géométrique de raison 0,9 . b. En déduire que, pour tout entier naturel n, c. Déterminer la limite de la suite ( u n ) . En donner une interprétation dans le contexte
de cet exercice.
6. On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la
population passe en dessous d'un certain seuil S (avec S > 1000 ). a. Déterminer le plus petit entier n tel que
Justifier la réponse par un calcul. b. Dans le programme Python ci-après,
la variable n
désigne le nombre d'années écoulées depuis 2020,
la variable u désigne l'effectif de la population.
Recopier et compléter ce programme afin qu'il
retourne le nombre d'années nécessaires pour que
l'effectif de la population passe en dessous du
seuil S.
7 points
exercice 4 : Géométrie dans l'espace
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé on considère les points
A (0; 8; 6) , B (6; 4; 4) et C (2; 4; 0).
1. a. Justifier que les points A , B et C ne sont pas alignés. b. Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC ).
c. Déterminer une équation du plan (ABC ).
2. Soient D et E les points de coordonnées respectives ( 0; 0; 6 ) et ( 6; 6; 0 ) . a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( DE ) . b. Montrer que le milieu I du segment [ BC ] appartient à la droite ( DE ) .
3. On considère le triangle ABC . a. Déterminer la nature du triangle ABC . b. Calculer l'aire du triangle ABC en unité d'aire.
c. Calculer .
d. En déduire une mesure de l'angle arrondie à 0,1 degré.
4. On considère le point H de coordonnées
Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan ( ABC ) .
En déduire la distance du point O au plan ( ABC ) .
Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 2
Partager :
7 points
exercice 1 : Probabilités
Une entreprise fabrique des composants pour l'industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3. La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1 ; 30 % des composants sont conçus sur la chaîne n°2 ; les composants restants sont conçus sur la chaîne n°3.
À l'issue du processus de fabrication, il apparaît que 1 % des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que 0,5 % des pièces issues de la chaîne n°2 et 4 % des pièces issues de la chaîne n°3.
Partie A
1. Représentons la situation par un arbre pondéré.
2. a) Calculons la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux, soit
Par conséquent, la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux est égale à 0,008.
3. Calculons la probabilité de l'événement D.
Les événements , et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
4. Calculons la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n°3, soit
D'où la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n°3 est environ égale à 0,5517.
Partie B
L'entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de n unités.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque lot de n unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot.
Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l'entreprise, on peut considérer que X suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0, 0145 .
La probabilité de l'échec est : 1 - p = 1 - 0,0145 = 0,9855.
1. Dans cette question, les lots possèdent 20 unités. On pose n = 20.
Donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 20 et p = 0, 0145 .
Cette loi est donnée par :
1. a) Nous devons calculer la probabilité qu'un lot possède exactement trois composants défectueux, soit P (X = 3).
Par conséquent, la probabilité qu'un lot possède exactement trois composants défectueux est environ égale à 0,0027.
1. b) Nous devons calculer la probabilité qu'un lot ne possède aucun composant défectueux, soit P (X = 0).
D'où la probabilité qu'un lot ne possède aucun composant défectueux est environ égale à 0,7467.
Nous devons en déduire la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux, soit P (X 1).
Par conséquent, la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux est environ égale à 0,2533.
2. Le directeur de l'entreprise souhaite que la probabilité de n'avoir aucun composant défectueux dans un lot de n composants soit supérieure à 0,85.
Il propose de former des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ?
La probabilité qu'un lot de n composants ne possède aucun composant défectueux est égale à
Nous devons donc déterminer le plus grand entier n tel que
D'où le plus grand entier n vérifiant : est n = 11.
Par conséquent, le directeur a raison de former des lots de 11 composants au maximum.
Partie C
Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de 15 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°1, 12 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°2
et 9 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Nous devons déterminer le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise.
Le coût moyen de fabrication d'un composant se calcule en euro par :
Donc le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise est de 12,90 euros.
7 points
exercice 2 : Fonctions, fonction logarithme
Le but de cet exercice est d'étudier la fonction f , définie sur par :
Partie A
Etude d'une fonction auxiliaire g
Soit g la fonction définie sur par
On admet que
2. Nous devons déterminer
3. Montrons que pour tout
Pour tout x > 0,
Nous devons en déduire le tableau de variations de g sur
Étudions le signe de g' (x ) sur l'intervalle
Dressons le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle
4. Montrer que l'équation admet exactement deux solutions distinctes sur : 1 et avec appartenant à l'intervalle
Sur l'intervalle ]0 ; e]
La fonction g est continue sur l'intervalle car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement croissante sur l'intervalle (voir question 3.)
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution appartenant à l'intervalle
Or 1 appartient à l'intervalle et nous savons que g (1) = 0 (voir question 1. Partie A).
Donc 1 est l'unique solution de l'équation dans l'intervalle
Sur l'intervalle [e ; +[
Montrons que l'équation admet une unique solution, notée , sur l'intervalle
La fonction g est continue sur l'intervalle car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle (voir question 3.)
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution notée appartenant à l'intervalle
Par conséquent, l'équation admet exactement deux solutions distinctes sur : 1 et avec appartenant à l'intervalle
5. Sur base du tableau de variations de g et de la question précédente, nous en déduisons le tableau de signes de g sur
Partie B
Etude de la fonction f
On considère dans cette partie la fonction f , définie sur par
On admet que :
1. Nous devons déterminer
Pour tout x dans l'intervalle
2. a) Nous devons justifier que pour tout
2. b) Puisque x > 0, le signe de f' (x ) est le signe de g (x ) étudié dans la partie A.
Nous obtenons ainsi le tableau de signe de f' (x ) et le tableau de variations de f sur l'intervalle
3. On admet que, pour tout x > 0 , la dérivée seconde de f notée f'' , est définie par
Déterminons la convexité de f en étudiant le signe de f'' (x ).
Puisque le signe de f'' (x ) est le signe de 2 - x .
Par conséquent, la fonction f est convexe sur l'intervalle ]0 ; 2] et concave sur l'intervalle
La courbe admet un point d'inflexion de coordonnées (2 ; 6 - 4ln(2)).
7 points
exercice 3 : Suites
1. Pour tout entier naturel n , un représente l'effectif de la population au début de l'année 2020 + n .
La population diminue de 10 % chaque année.
Après cette diminution, il reste alors 90 % de la population, c'est-à-dire
On réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , l'effectif de la population au début de l'année 2020 + (n + 1) est
2. Calculons u1 , puis u2 .
3. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n :
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que
4. Sur base de la question 3., nous déduisons que la suite (un ) est décroissante et est minorée par 1000.
Selon le théorème de la convergence monotone, la suite (un ) est convergente.
5. On considère la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par
5. a) Montrons que la suite (vn ) est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel n ,
Par conséquent, la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 0,9 dont le premier terme est
5. b) Le terme général de la suite (vn ) est
Donc, pour tout entier naturel n ,
Dès lors,
5. c) Déterminons la limite de la suite (un ) .
Par conséquent, à très long terme, l'effectif de la population sera proche de 1000 individus.
6. On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil S (avec S > 1000 ).
6. a) Déterminons le plus petit entier n tel que
D'où le plus petit entier n vérifiant : est n = 38.
6. b) Complétons le programme Python afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil S.
7 points
exercice 4 : Géométrie dans l'espace
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé on considère les points A (0; 8; 6) , B (6; 4; 4) et C (2; 4; 0).
1. a) Justifions que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Les coordonnées des vecteurs et ne sont pas proportionnelles.
Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.
1. b) Montrons que le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC ).
Montrons que est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC ).
Les vecteurs et ne sont manifestement pas colinéaires.
De plus,
Le vecteur est orthogonal à deux vecteurs et non colinéaires du plan (ABC ).
Par conséquent, le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC ).
1. c) Déterminons une équation du plan (ABC ).
Nous savons que tout plan de vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = 0.
Puisque le vecteur est normal au plan (ABC ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme : x + 2y - z + d = 0.
Or le point C (2 ; 4 ; 0) appartient au plan (ABC ). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 2 + 8 + 0 + d = 0 , soit d = -10.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC ) est
2. Soient D et E les points de coordonnées respectives ( 0 ; 0 ; 6 ) et ( 6 ; 6 ; 0 ) .
2. a) Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite (DE ) .
La droite (DE ) est dirigée par le vecteur , soit par le vecteur .
La droite (DE ) passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite (DE ) est donnée par :
soit
2. b) Montrons que le milieu I du segment [BC ] appartient à la droite (DE ) .
Les coordonnées du point I sont données par :
D'où les coordonnées du point I sont (4 ; 4 ; 2).
Le point I appartient à la droite (DE ) s'il existe un réel t tel que les coordonnées de I vérifient les équations paramétriques de (DE ).
Déterminons donc s'il existe un réel t tel que :
D'où il existe un réel t tel que les coordonnées de I vérifient les équations paramétriques de (DE ).
Par conséquent, le milieu I du segment [BC ] appartient à la droite (DE ) .
3. On considère le triangle ABC .
3. a) Déterminons la nature du triangle (ABC ).
Le triangle (ABC ) estisocèle en A car .
Le triangle (ABC ) n'est pas rectangle car la réciproque du théorème de Pythagore n'est pas vérifiée dans le cas de ce triangle (ABC ).
En effet,
Par conséquent, le triangle (ABC ) est isocèle en A et n'est pas rectangle.
3. b) Nous devons calculer l'aire du triangle (ABC ) en unité d'aire.
Considérons le triangle (ABC ) comme ayant [BC ] comme base et [AI ] issue de A .
Nous savons que
Or (voir question 3. a)
3. c) Nous devons calculer
3. d) Nous devons en déduire une mesure de l'angle arrondie à 0,1 degré.
4. On considère le point H de coordonnées
Montrons que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC ) .
Nous allons montrer que le point H appartient au plan (ABC ) et que le vecteur est orthogonal au plan (ABC ).
Montrons que les coordonnées du point H vérifient l'équation du plan (ABC ).
Nous avons : Le point H appartient au plan (ABC ) car
Montrons que le vecteur est orthogonal au plan (ABC ).
Les vecteurs et sont donc colinéaires.
Or le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC ).
D'où le vecteur est orthogonal au plan (ABC ).
Par conséquent, le point H est le projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC ) .
Nous en déduisons que la distance du point O au plan (ABC ) est égale à OH .
D'où la distance du point O au plan (ABC ) est égale à
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Hiphigenie / malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !