Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1 : Probabilités

Une entreprise fabrique des composants pour l'industrie automobile. Ces composants sont conçus sur trois chaînes de montage numérotées de 1 à 3.
La moitié des composants est conçue sur la chaîne n°1 ;
30 % des composants sont conçus sur la chaîne n°2 ;
les composants restant sont conçus sur la chaîne n°3.
À l'issue du processus de fabrication, il apparaît que 1 % des pièces issues de la chaîne n°1 présentent un défaut, de même que 0,5 % des pièces issues de la chaîne n°2 et 4 % des pièces issues de la chaîne n°3.

On prélève au hasard un de ces composants. On note :
C ₁ l'événement « le composant provient de la chaîne n°1 » ;
C ₂ l'événement « le composant provient de la chaîne n°2 » ;
C ₃ l'événement « le composant provient de la chaîne n°3 » ;
D l'événement « le composant est défectueux » et son événement contraire.

Dans tout l'exercice, les calculs de probabilité seront donnés en valeur décimale exacte ou arrondie à 10 ^-4 si nécessaire.

Partie A

1. Représenter cette situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que le composant prélevé provienne de la chaîne n°3 et soit défectueux.

3. Montrer que la probabilité de l'événement D est P ( D ) = 0, 0145 .

4. Calculer la probabilité qu'un composant défectueux provienne de la chaîne n°3.

Partie B

L'entreprise décide de conditionner les composants produits en constituant des lots de n unités. On note ?X la variable aléatoire qui, à chaque lot de n unités, associe le nombre de composants défectueux de ce lot. Compte tenu des modes de production et de conditionnement de l'entreprise, on peut considérer que ?X suit la loi binomiale de paramètres n et p = 0, 0145 .

1. Dans cette question, les lots possèdent 20 unités. On pose n = 20.
a. Calculer la probabilité pour qu'un lot possède exactement trois composants défectueux.
b. Calculer la probabilité pour qu'un lot ne possède aucun composant défectueux.
En déduire la probabilité qu'un lot possède au moins un composant défectueux.

2. Le directeur de l'entreprise souhaite que la probabilité de n'avoir aucun composant défectueux dans un lot de n composants soit supérieure à 0,85. Il propose de former des lots de 11 composants au maximum. A-t-il raison ? Justifier la réponse.

Partie C

Les coûts de fabrication des composants de cette entreprise sont de 15 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°1, 12 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°2 et 9 euros s'ils proviennent de la chaîne de montage n°3.
Calculer le coût moyen de fabrication d'un composant pour cette entreprise.

7 points

exercice 2 : Fonctions, fonction logarithme

Le but de cet exercice est d'étudier la fonction f , définie sur , par :

Partie A :

Etude d'une fonction auxiliaire g

Soit g la fonction définie sur par On note la fonction dérivée de
On admet que

1. Calculer

2. Déterminer en justifiant votre démarche.

3. Monter que pour tout En déduire le tableau de variations de

4. Montrer que l'équation admet exactement deux solutions distinctes sur : 1 et avec appartenant à l'intervalle On donnera un encadrement de à 0,01 près.

5. En déduire le tableau de signes de g sur

Partie B :

Etude de la fonction f

On considère dans cette partie la fonction f, définie sur par

On note la fonction dérivée de
La représentation graphique de cette fonction f est donnée dans le repère ci-dessous. On admet que :

1. Déterminer la limite de en en justifiant votre démarche.

2. a. Justifier que pour tout
b. En déduire le tableau de variations de f sur

3. On admet que, tour tout x > 0 , la dérivée seconde de notée ,est définie par Etudier la convexité de et préciser les coordonnées du point d'inflexion de

7 points

exercice 3 : Suites

La population d'une espèce en voie de disparition est surveillée de près dans une réserve naturelle.
Les conditions climatiques ainsi que le braconnage font que cette population diminue de 10 % chaque année.
Afin de compenser ces pertes, on réintroduit dans la réserve 100 individus à la fin de chaque année.
On souhaite étudier l'évolution de l'effectif de cette population au cours du temps. Pour cela, on modélise l'effectif de la population de l'espèce par la suite ( u _n ) où u _n représente l'effectif de la population au début de l'année 2020 + n .
On admet que pour tout entier naturel n , .

Au début de l'année 2020, la population étudiée compte 2 000 individus, ainsi u ₀ = 2000 .

1. Justifier que la suite ( u _n ) vérifie la relation de récurrence :


2. Calculer u ₁ , puis u ₂ .

3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n :

4. La suite ( u _n ) est-elle convergente ? Justifier la réponse.

5. On considère la suite ( v _n ) définie pour tout entier naturel n par
a. Montrer que la suite ( v _n ) est géométrique de raison 0,9 .
b. En déduire que, pour tout entier naturel n,
c. Déterminer la limite de la suite ( u _n ) . En donner une interprétation dans le contexte de cet exercice.

6. On souhaite déterminer le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous d'un certain seuil S (avec S > 1000 ).
a. Déterminer le plus petit entier n tel que
Justifier la réponse par un calcul.
b. Dans le programme Python ci-après,

la variable n désigne le nombre d'années écoulées depuis 2020, la variable u désigne l'effectif de la population.
Recopier et compléter ce programme afin qu'il retourne le nombre d'années nécessaires pour que l'effectif de la population passe en dessous du seuil S.

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé on considère les points A (0; 8; 6) , B (6; 4; 4) et C (2; 4; 0).

1. a. Justifier que les points A , B , et C ne sont pas alignés.
b. Montrer que le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC ).
c. Déterminer une équation du plan (ABC ).

2. Soient D et E les points de coordonnées respectives ( 0; 0; 6 ) et ( 6; 6; 0 ) .
a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ( DE ) .
b. Montrer que le milieu I du segment [ BC ] appartient à la droite ( DE ) .

3. On considère le triangle ABC .
a. Déterminer la nature du triangle ABC .
b. Calculer l'aire du triangle ABC en unité d'aire.
c. Calculer .
d. En déduire une mesure de l'angle arrondie à 0,1 degré.

4. On considère le point H de coordonnées
Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur le plan ( ABC ) .
En déduire la distance du point O au plan ( ABC ) .