Fiche de mathématiques

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Baccalauréat général

Epreuve de spécialité

Session 2022

Amérique du Sud Jour 1

Durée de l'épreuve : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1 : PROBABILITÉS

Partie A

Le système d'alarme d'une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l'alarme s'active avec une probabilité de 0,97 .
La probabilité qu'un danger se présente est de 0, 01 et la probabilité que l'alarme s'active est de 0, 01465 .
On note A l'événement « l'alarme s'active » et D l'événement « un danger se présente ». On note $\overline M$ l'événement contraire d'un événement M et P ( M ) la probabilité de l'événement M .

1. Représenter la situation par un arbre pondéré qui sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

2. a. Calculer la probabilité qu'un danger se présente et que l'alarme s'active.
${\white{wl}}$ b. En déduire la probabilité qu'un danger se présente sachant que l'alarme s'active.
Arrondir le résultat à 10 ^{- 3} .

3. Montrer que la probabilité que l'alarme s'active sachant qu'aucun danger ne s'est présenté est 0, 005 .

4. On considère qu'une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu'un danger se présente et qu'elle ne s'active pas ou bien lorsqu'aucun danger ne se présente et qu'elle s'active.
Montrer que la probabilité que l'alarme ne fonctionne pas normalement est inférieure à 0, 01 .

Partie B

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d'alarme. On prélève successivement et au hasard 5 systèmes d'alarme dans la production de l'usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
On note S l'événement « l'alarme ne fonctionne pas normalement » et on admet que P ( S ) = 0, 00525 .
On considère X la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d'alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les 5 systèmes d'alarme prélevés.
Les résultats seront arrondis à 10 ^{- 4} .

1. Donner la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X et préciser ses paramètres.
2. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d'alarme ne fonctionne pas normalement.
3. Calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme ne fonctionne pas normalement.

Partie C

Soit n un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard n systèmes d'alarme. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
Déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité d'avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à 0, 07 .

7 points

exercice 2 : Suites

Soit ( u _n ) la suite définie par u ₀ = 4 et, pour tout entier naturel n , $u_{n+1}=\dfrac 1 5 u_n^2\;.$

1. a. Calculer u ₁ et u ₂ .
${\white{wl}}$ b. Recopier et compléter la fonction ci-dessous écrite en langage Python.
Cette fonction est nommée suite_u et prend pour paramètre l'entier naturel p .
Elle renvoie la valeur du terme de rang p de la suite ( u _n ).
${\white{wwwww}}$

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 1 : image 1

2. a. Démontrer par récurrence que pour tout entier n , $0 < u_n \le 4 \;.$
${\white{wl}}$ b. Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
${\white{wl}}$ c. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

3. a. Justifier que la limite $\ell$ de la suite $(u_n)$ vérifie l'égalité $\ell = \dfrac 1 5 \ell ^2\;.$
${\white{wl}}$ b. En déduire la valeur de $\ell\;.$

4. Pour tout entier naturel n , on pose $v_n = \ln (u_n)$ et $w_n=v_n-\ln (5)\;.$
${\white{wl}}$ a. Montrer que pour tout entier naturel n , $v_{n+1}=2v_n - \ln(5)\;.$
${\white{wl}}$ b. Montrer que la suite $(w_n)$ est géométrique de raison 2.
${\white{wl}}$ c. Pour tout entier naturel n, donner l'expression de $w_n$ en fonction de n et montrer que $v_n=\ln\left(\dfrac 4 5 \right)\times 2 ^n + \ln (5)\;.$

5. Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty} v_n$ et retrouver $\lim\limits_{n\to +\infty} u_n\;.$

7 points

exercice 3 : Fonctions, fonction logarithme

Soit g la fonction définie sur l'intervalle $]0\;;\;+\infty[\;\; \text{ par } \;\; g(x)=1+x^2(1-2\ln (x))\,.$
La fonction g est dérivable sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ et on note g ' sa fonction dérivée.
On appelle $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

Partie A

1. Justifier que g( e ) est strictement négatif.

2. Justifier que $\lim\limits_{x\to + \infty} g(x)=-\infty \;.$

3. a. Montrer que, pour tout x appartenant à l'intervalle $]0\;;\;+\infty[$ , $g'(x)=-4x\,\ln(x)\;.$
${\white{wl}}$ b. Etudier le sens de variation de la fonction g sur l'intervalle $]0\;;\;+\infty[\,.$
${\white{wl}}$ c. Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution, notée $\alpha\,,$ sur l'intervalle $[1\;;\;+\infty[\,.$
${\white{wl}}$ d. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude 10^-2.

4. Déduire de ce qui précède le signe de la fonction g sur l'intervalle $[1\;;\;+\infty[\,.$

Partie B

1. On admet que, pour tout x appartenant à l'intervalle $[1\;;\alpha]\;,g''(x)=-4(\ln (x) +1)\;.$
${\white{w}}$ Justifier que la fonction g est concave sur l'intervalle $[1\;;\alpha]\,.$

2.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 1 : image 3

Sur cette figure, A et B sont les points de la courbe $\mathscr {C}$ d'abscisses respectives 1 et $\alpha\;.$
${\white{wl}}$ a. Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)\;.$
${\white{wl}}$ b. En déduire que pour tout x appartenant à l'intervalle $[1\;;\alpha]\;, g(x) \ge \dfrac{-2}{\alpha - 1}\,x+\dfrac{2\alpha}{\alpha - 1}\;.$

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que $AB=5\,\, AD = 3 \text{ et } AE=2\;.$
L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine A dans lequel les points B , D et E ont respectivement pour coordonnées (5 ; 0 ; 0) , (0 ; 3 ; 0) et (0 ; 0 ; 2).

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 1 : image 2

1. a. Donner, dans le repère considéré, les coordonnées des points H et G .
${\white{wl}}$ b. Donner une représentation paramétrique de la droite (GH ).

2. Soit M un point du segment [ GH ] tel que $\overrightarrow {HM} = k \overrightarrow {HG}$ avec k un nombre réel de l'intervalle [ 0 ; 1 ] .
${\white{wl}}$ a. Justifier que les coordonnées de M sont (5 k ; 3 ; 2) .
${\white{wl}}$ b. En déduire que $\overrightarrow {AM}.\overrightarrow {CM}=25k²-25k+4\;.$
${\white{wl}}$ c. Déterminer les valeurs de k pour lesquelles AMC est un triangle rectangle en M .

Dans toute la suite de l'exercice, on considère que le point M a pour coordonnées ( 1; 3 ; 2 ) .
On admet que le triangle AMC est rectangle en M .
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\dfrac 1 3 \times \text{ Aire de la base } \times h$ où h est la hauteur relative à la base.

3. On considère le point K de coordonnées ( 1 ; 3 ; 0 ) .
${\white{wl}}$ a. Déterminer une équation cartésienne du plan ( ACD ) .
${\white{wl}}$ b. Justifier que le point K est le projeté orthogonal du point M sur le plan ( ACD ) .
${\white{wl}}$ c. En déduire le volume du tétraèdre MACD .

4. On note P le projeté orthogonal du point D sur le plan ( AMC ) .
Calculer la distance DP ; en donner une valeur arrondie à 10 ^{- 1} .

Voir la correction

Bac général spécialité maths 2022 - Amérique du Sud jour 1

7 points

exercice 1 : Probabilités

Partie A

Le système d'alarme d'une entreprise fonctionne de telle sorte que, si un danger se présente, l'alarme s'active avec une probabilité de 0,97 .
La probabilité qu'un danger se présente est de 0, 01 et la probabilité que l'alarme s'active est de 0, 01465 .
On note A l'événement « l'alarme s'active » et D l'événement « un danger se présente ».

1. Représentons la situation par un arbre pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 1 : image 8

2. a) Calculons la probabilité qu'un danger se présente et que l'alarme s'active, soit $\overset{{\white{.}}}{P(D\cap A).}$

$P(D\cap A)=P(D) \times P_D(A) \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(D\cap A)}=0,01\times 0,97} \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(D\cap A)}=0,0097} \\ \\ \Longrightarrow\quad\boxed{P(D\cap A)=0,0097}$
Par conséquent, la probabilité qu'un danger se présente et que l'alarme s'active est égale à 0,0097.

2. b) Nous devons en déduire la probabilité qu'un danger se présente sachant que l'alarme s'active, soit $\overset{{\white{.}}}{P_A(D).}$

Nous savons que la probabilité que l'alarme s'active est de 0, 01465, soit que $\overset{{\white{.}}}{P(A)=0,01465.}$

$\text{Dès lors, }\;P_A(D)=\dfrac{P(D\cap A)}{P(A)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Dès lors, }\;P_A(D)}=\dfrac{0,0097}{0,01465}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Dès lors, }\;P_A(D)}\approx0,662} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_A(D)\approx0,662}$

Par conséquent, la probabilité qu'un danger se présente sachant que l'alarme s'active est environ égale à 0,662 (valeur arrondie au millième près).

3. Nous devons calculer la probabilité que l'alarme s'active sachant qu'aucun danger ne s'est présenté, soit $\overset{{\white{.}}}{P_{\overline{D}}(A).}$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{D}$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(A)=P(D\cap A)+P(\overline{D}\cap A) \quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{0,01465=0,0097+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(A)} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{0,01465=0,0097+0,99\times P_{\overline{D}}(A)} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{0,99\times P_{\overline{D}}(A)=0,01465-0,0097}$
$\\\phantom{WWWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{0,99\times P_{\overline{D}}(A)=0,00495} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWi}\quad\Longleftrightarrow\quad\overset{{\white{.}}}{ P_{\overline{D}}(A)=\dfrac{0,00495}{0,99}=0,005} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P_{\overline{D}}(A)=0,005}$

4. On considère qu'une alarme ne fonctionne pas normalement lorsqu'un danger se présente et qu'elle ne s'active pas ou bien lorsqu'aucun danger ne se présente et qu'elle s'active.

La probabilité que l'alarme ne fonctionne pas normalement se détermine par $\overset{{\white{.}}}{P(D\cap\overline{A})+P(\overline{D}\cap A).}$

Complétons l'arbre de probabilité.

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 1 : image 6

$\text{D'où }\;P(D\cap\overline{A})+P(\overline{D}\cap A)=P(D)\times P_D(\overline{A})+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(A) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWv}=0,01\times 0,03+0,99\times 0,005} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWv}=0,00525}$

Par conséquent, la probabilité que l'alarme ne fonctionne pas normalement est égale à 0,00525 et par suite, cette probabilité est inférieure à 0,01.

Partie B

Une usine fabrique en grande quantité des systèmes d'alarme. On prélève successivement et au hasard 5 systèmes d'alarme dans la production de l'usine. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
On note S l'événement « l'alarme ne fonctionne pas normalement » et on admet que P (S ) = 0, 00525 .
On considère X la variable aléatoire qui donne le nombre de systèmes d'alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les 5 systèmes d'alarme prélevés.

1. Lors de cette expérience, on répète 5 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « l'alarme ne fonctionne pas normalement » dont la probabilité est p = 0,00525.
Echec : « l'alarme fonctionne normalement » dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,00525 = 0,99475.
La variable aléatoire X compte le nombre de systèmes d'alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les 5 systèmes d'alarme prélevés, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(5\,;\,0,00525)}$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{P(X=k)=\begin{pmatrix}5\\k\end{pmatrix}\times0,00525^k\times0,99475^{5-k}}$

2. Nous devons calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d'alarme ne fonctionne pas normalement, soit P (X = 1).

$P(X=1)=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}\times0,00525^1\times0,99475^{5-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}=5\times0,00525\times0,99475^{4}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}\approx0,0257} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=1)\approx0,0257}$
Par conséquent, la probabilité que, dans le lot prélevé, un seul système d'alarme ne fonctionne pas normalement est environ égale à 0,0257.

3. Nous devons calculer la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme ne fonctionne pas normalement, soit P (X supegal

1).

$P(X\ge1)=1-P(X=0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}=1-\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}\times0,00525^0\times0,99475^{5-0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}=1-1\times1\times0,99475^{5}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(X=1)}=1-0,99475^{5}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}\approx0,0260} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(X\ge1)\approx0,0260}$
Par conséquent, la probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme ne fonctionne pas normalement est environ égale à 0,0260.

Partie C

Soit n un entier naturel non nul. On prélève successivement et au hasard n systèmes d'alarme. Ce prélèvement est assimilé à un tirage avec remise.
Nous devons déterminer le plus petit entier n tel que la probabilité d'avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à 0,07.

Lors de cette expérience, on répète n fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : « l'alarme ne fonctionne pas normalement » dont la probabilité est p = 0,00525.
Echec : « l'alarme fonctionne normalement » dont la probabilité est 1 - p = 1 - 0,00525 = 0,99475.
Soit la variable aléatoire Y comptant le nombre de systèmes d'alarme ne fonctionnant pas normalement parmi les n systèmes d'alarme prélevés, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire Y suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n\,;\,0,00525)}$ .
Cette loi est donnée par :

$\boxed{P(Y=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times0,00525^k\times0,99475^{n-k}}$

La probabilité que, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme ne fonctionne pas normalement correspond à P (Y supegal

1).

$P(Y\ge1)=1-P(Y=0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}=1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times0,00525^0\times0,99475^{n-0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}=1-1\times1\times0,99475^{n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(X=1)}=1-0,99475^{n}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(Y\ge1)=1-0,99475^{n}}$

Nous devons donc déterminer le plus petit entier n tel que $\overset{{\white{.}}}{1-0,99475^{n}\ge0,07.}$

$1-0,99475^{n}\ge0,07\Longleftrightarrow0,99475^{n}\le 1-0,07 \\\phantom{1-0,99475^{n}\ge0,07}\Longleftrightarrow0,99475^{n}\le 0,93 \\\phantom{1-0,99475^{n}\ge0,07}\Longleftrightarrow\ln(0,99475^{n})\le \ln0,93$

$\\\phantom{1-0,99475^{n}\ge0,07}\Longleftrightarrow n\times\ln0,99475\le \ln0,93 \\\\\phantom{1-0,99475^{n}\ge0,07}\Longleftrightarrow n> \dfrac{\ln0,93}{\ln0,99475}\\\phantom{WWWWWWW}\ \ \ \ (\text{Changement du sens de l'inéquation car }\ln0,99475<0) \\\\\text{Or } \dfrac{\ln0,93}{\ln0,99475}\approx13,8$

D'où le plus petit entier n vérifiant : $\overset{{\white{.}}}{1-0,99475^{n}\ge0,07}$ est n = 14.

Par conséquent, il faut prélever au minimum 14 systèmes d'alarme pour que la probabilité d'avoir, dans le lot prélevé, au moins un système d'alarme qui ne fonctionne pas normalement soit supérieure à 0, 07.

7 points

exercice 2 : Suites

Soit (u_n ) la suite définie par u ₀ = 4 et, pour tout entier naturel n , $u_{n+1}=\dfrac 1 5 u_n^2\;.$

1. a) $\bullet{\white{w}}\boxed{u_0=4}$

$\bullet{\white{w}}u_{1}=\dfrac 1 5 \,u_0^2=\dfrac 1 5 \times4^2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_1=\dfrac{16}{5}=3,2} \\\\\bullet{\white{w}}u_{2}=\dfrac 1 5 \,u_1^2=\dfrac 1 5 \times\left(\dfrac {16}{ 5}\right)^2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_2=\dfrac{256}{125}=2,048}$

1. b) Fonction écrite en langage Python renvoyant la valeur du terme de rang p de la suite (u_n ).

${\white{wwww}}$ ${\blue{\text{d}}}{\blue{\text{e}}}{\blue{\text{f}}}\text{ suite}\_\text{u(p}) : \\\phantom{Wi}\text{u=}{\red{4}} \\\phantom{Wi}{\blue{\text{for }}}\text{i }{\blue{\text{in}}}\text{ range}(1,{\red{\text{p}}}): \\\phantom{W>i}\text{u=}{\red{\text{u}*\text{u/}5}} \\\phantom{Wi}{\blue{\text{return }}}\text{u }$

2. a) Nous devons démontrer par récurrence que pour tout entier n , $\overset{{\white{.}}}{0 < u_n \le 4 \;.}$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que $\overset{{\white{.}}}{0 < u_0 \le 4 \;.}$
C'est une évidence car $\overset{{\white{.}}}{u_0=4\quad\Longrightarrow\quad0<u_0\le4.}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{0 < u_n \le 4 }$ , alors $\overset{{\white{.}}}{0 < u_{n+1} \le 4 \;.}$
En effet,

$\forall\,n\in\N,\;0<u_n\le4\quad\Longrightarrow\quad0<u_n^2\le16 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,n\in\N,\;0<u_n\le4}\quad\Longrightarrow\quad0<\dfrac{1}{5}\,u_n^2\le\dfrac{16}{5}\le4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall\,n\in\N,\;0<u_n\le4}\quad\Longrightarrow\quad0<u_{n+1}\le4}$
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que   $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall n\in\N\text{ ; }0 < u_n \le 4 }}\;.$

2. b) Nous devons démontrer que la suite (u_n ) est décroissante.

Pour tout entier naturel n ,

$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{5}u_n^2-u_n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}-u_n}=u_n\left(\dfrac{1}{5}u_n-1\right)} \\\\\text{Or }0<u_n\le4\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}u_n>0\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{5}u_n\le\dfrac{4}{5}}\end{matrix}\right. \\\\\\\phantom{\text{Or }0<u_n\le4}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}u_n>0\phantom{WWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{5}u_n-1\le\dfrac{4}{5}-1<0}\end{matrix}\right. \\\\\\\phantom{\text{Or }0<u_n\le4}\quad\Longrightarrow\quad u_n\left(\dfrac{1}{5}u_n-1\right)<0 \\\\\\\text{D'où }\;\boxed{\forall\,n\in\N,\;u_{n+1}-u_n<0}\,.$

Par conséquent, la suite (u_n ) est décroissante.

2. c) Nous devons en déduire que la suite (u_n ) est convergente.

La suite (u_n ) est décroissante et est minorée par 0.
Selon le théorème de la convergence monotone, la suite (u_n ) est convergente.

3. a) Notons $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ la limite de la suite (u_n ).
Soit la fonction f définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{5}\,x^2.$
La fonction f est continue sur $\R$ (fonction polynôme).
Nous savons que la suite (u_n ) est convergente.

Selon le théorème du point fixe, nous en déduisons que la limite $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie la relation : $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$
Par conséquent, la limite $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie la relation : $\overset{{\white{.}}}{\ell=\dfrac{1}{5}\,\ell^2.}$

3. b) Résolvons l'équation    $\overset{{\white{.}}}{\ell=\dfrac{1}{5}\,\ell^2.}$
${\white{xxxx}}$ $\ell=\dfrac{1}{5}\,\ell^2\quad\Longleftrightarrow\quad 5\ell=\ell^2 \\\phantom{\ell=\dfrac{1}{5}\,\ell^2}\quad\Longleftrightarrow\quad \ell^2-5\ell=0 \\\phantom{\ell=\dfrac{1}{5}\,\ell^2}\quad\Longleftrightarrow\quad \ell(\ell-5)=0 \\\phantom{\ell=\dfrac{1}{5}\,\ell^2}\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=0\quad\text{ou}\quad\ell-5=0 \\\phantom{\ell=\dfrac{1}{5}\,\ell^2}\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=0\quad\text{ou}\quad\ell=5$

Or $\overset{{\white{.}}}{\forall n\in\N\text{ ; }0 < u_n \le 4 \quad\Longrightarrow\quad0\le\ell\le4.}$
Dès lors, la valeur    $\overset{{\white{.}}}{\ell=5}$ est à rejeter.

Donc, $\boxed{\ell=0}\,.$

4. Pour tout entier naturel n , on pose $\overset{{\white{.}}}{v_n = \ln (u_n)}$ et $\overset{{\white{.}}}{w_n=v_n-\ln (5)\;.}$

4. a) Montrons que pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{v_{n+1}=2v_n - \ln(5)\,.}$

$v_{n+1}=\ln(u_{n+1}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=\ln\left(\dfrac{1}{5}\,u_n^2\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=\ln\left(\dfrac{1}{5}\right)+\ln(u_n^2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=-\ln(5)+2\,\ln(u_n)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=-\ln(5)+2v_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;v_{n+1}=2v_n-\ln(5)}$

4. b) Montrons que la suite (w_n ) est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel n ,

$w_{n+1}=v_{n+1}-\ln(5) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{w_{n+1}}=2v_n-\ln(5)-\ln(5)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{w_{n+1}}=2v_n-2\ln(5)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{w_{n+1}}=2[v_n-\ln(5)]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{w_{n+1}}=2w_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N, \ w_{n+1}=2w_n} \\\\\underline{ \text{Remarque}}:w_0=v_0-\ln(5)=\ln(u_0)-\ln(5)=\ln(4)-\ln(5) \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWv}\Longrightarrow\boxed{w_0=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)}}$
Par conséquent, la suite (w_n ) est une suite géométrique de raison q = 2 dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{w_0=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right).}$

4. c) Le terme général de la suite (w_n ) est $\overset{{\white{.}}}{w_n=w_0\times q^n} .$
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{\boxed{w_n=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n}}$
Dès lors,

$\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}w_n=v_n-\ln(5){\white{w}}\\w_n=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}} v_n-\ln(5)=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n \\ {\phantom{WWWWWWwWWWWWWWW}}\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ v_n=\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n+\ln(5)}$

5. Nous devons calculer $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to +\infty} v_n}$ et retrouver $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to +\infty} u_n\;.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)<0\quad\text{car }\dfrac{4}{5}<1{\white{w}}\\\lim\limits_{n\to+\infty} 2^n=+\infty\quad\text{car }2>1\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} \ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n=-\infty \\ {\phantom{WWWWWWwWWWWWW}}\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty} \left[\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)\times 2^n+\ln(5)\right]=-\infty \\\\ {\phantom{WWWWwWWWWWWWW}}\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=-\infty}$

Or $v_n=\ln(u_n)\quad\Longrightarrow\quad u_n=\text{e} ^{v_n}.$

Nous en déduisons que :

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=-\infty\\\lim\limits_{N\to-\infty}\text{e}^N=0\end{matrix}\right.\quad\underset{(N=v_n)}{\Longrightarrow}\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e} ^{v_n}=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}$

7 points

exercice 3 : FONCTIONS, FONCTION LOGARITHME

Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\;;\;+\infty[\;\; \text{ par } \;\; g(x)=1+x^2(1-2\ln (x))\,.}$
La fonction g est dérivable sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\;;\;+\infty[}$ et on note g' sa fonction dérivée.
On appelle $\mathscr C$ la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthonormé du plan.

Partie A

1. Montrons que $g(\text{e})<0.$

$g(\text{e})=1+\text{e}^2(1-2\ln (\text{e})) \\\phantom{g(\text{e})}=1+\text{e}^2(1-2\times1) \\\phantom{g(\text{e})}=1-\text{e}^2 \\\\\text{Or }\text{e}>2\quad\Longrightarrow\quad\text{e}^2>4 \\\phantom{WWxW}\quad\Longrightarrow\quad-\text{e}^2<-4 \\\phantom{WWxW}\quad\Longrightarrow\quad1-\text{e}^2<1-4<0 \\\phantom{WWxW}\quad\Longrightarrow\quad1-\text{e}^2<0 \\\\\text{D'où }\;\boxed{g(\text{e})<0}\,.$

2. Montrons que $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to + \infty} g(x)=-\infty \;.}$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}-2\ln(x)=-\infty \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}(1-2\ln(x))=-\infty} \\\\\text{Donc }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^2=+\infty\phantom{WWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}(1-2\ln(x))=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}x^2(1-2\ln(x))=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}[1-x^2(1-2\ln(x))]=-\infty \\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty}$

3. a) Déterminons l'expression de g' (x ) pour tout x appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

$g'(x)=1'+[x^2(1-2\ln (x))]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=0+(x^2)'\times(1-2\ln (x))+x^2\times (1-2\ln (x))'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x\times(1-2\ln (x))+x^2\times (0-\dfrac{2}{x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x-4x\ln (x)-\dfrac{2x^2}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x-4x\ln (x)-2x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=-4x\ln (x)}$

D'où pour tout x appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[,}$ $\boxed{g'(x)=-4x\ln(x)}$

3. b) Étudions le signe de g' (x ) sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

${\white{WWW}}\begin{matrix}x>0\quad\Longleftrightarrow\quad-4x<0\\\\\ln(x)=0\Longleftrightarrow x=1\phantom{WW}\\\\\ln(x)<0\Longleftrightarrow 0<x<1\\\\\ln(x)>0\Longleftrightarrow x>1\phantom{WW}\end{matrix}\phantom{WW}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\phantom{WW}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&1&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&|&&&&&&& -4x&|& - && - & &- &\\ \ln(x)&|& - && 0 & &+ &\\&|&&&&&&\\ \hline&|&&&&&&\\ g'(x)&|&+&&0&&-&\\&|&&& &&&\\ \hline \end{array}$

Dressons le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

Calculs préliminaires :

$g(1)=1+1^2(1-2\ln (1))\\\phantom{g(1)}=1+1(1-0)\\\phantom{g(1)}=2\\\\g(x)=1+x^2(1-2\ln (x))\\\phantom{g(x)}=1+x^2-2x^2\ln(x)\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x^2=0\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to0^+}x^2\ln(x)=0\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to0^+}[1+x^2-2x^2\ln(x)]=1+0-0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=1}$

D'où le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

${\white{WWWW}}$ $\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &0&&&1&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&|&&&&&&\\ g'(x)&|&+&&0&&-&\\&|&&& &&&\\ \hline&|&&&2&&&\\ g(x)&|&\nearrow&&&&\searrow&\\&\phantom{i}|1&&& &&&-\infty\\ \hline \end{array}$

3. c) Montrons que l'équation g (x )=0 admet une unique solution, notée alpha

, sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\;+\infty[\,.}$

La fonction g est continue sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\;+\infty[}$ car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\;+\infty[}$ (voir question 3. b..)

$\left\lbrace\begin{matrix}g(1)=2>0\phantom{ww}\\\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\in[\,g(1)\,;\,\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\,[}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $\overset{{\white{.}}}{g(x)=0}$ admet une unique solution notée $\overset{{\white{.}}}{\alpha}$ appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\;+\infty[\,.}$ .

3. d) Par la calculatrice, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}g(1,89)\approx0,02>0\\g(1,90)\approx-0,02<0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{1,89<\alpha<1,90}\,.$

4. Déterminons le signe de la fonction g sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\;+\infty[\,.}$

Sur base du tableau de la question 3. b), nous obtenons :

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &1&&&\alpha&&& +\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&2&&&&&&\\ g(x)&&\searrow&&g(\alpha)=0 &&\searrow&\\&&&&&&&-\infty\\ \hline \end{array}$

Dès lors, la fonction g est positive sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\;\alpha]}$
${\white{WWWWWWWW}}$ et est négative sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[\alpha\,;\,+\infty[\,.}$

Partie B

1. On admet que, pour tout x appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\alpha]\;,g''(x)=-4(\ln (x) +1)\;.}$
Montrons que la fonction g est concave sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\alpha]}$ en montrant que $\overset{{\white{.}}}{g''(x)>0}$ sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\alpha]\,.}$

Pour tout x appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\alpha]\;,}$

$x\ge1\quad\Longrightarrow\quad\ln(x)\ge0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\ge1}\quad\Longrightarrow\quad\ln(x)+1>0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\ge1}\quad\Longrightarrow\quad-4(\ln(x)+1)<0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\ge1}\quad\Longrightarrow\quad g\,''(x)<0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[1\,;\,\alpha],\;g\,''(x)<0}\,.$
Par conséquent, la fonction g est concave sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\alpha]\,.}$

2. Sur la figure ci-dessous, A et B sont les points de la courbe $\mathscr {C}$ d'abscisses respectives 1 et alpha

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 1 : image 7

2. a) Nous devons déterminer l'équation réduite de la droite (AB ).

Nous savons par les calculs précédents que g (1) = 2 et g ( alpha

) = 0.
Donc les coordonnées des points A et B sont respectivement (1 ; 2) et ( alpha

; 0).

L'équation réduite de la droite (AB ) est de la forme : $\overset{{\white{.}}}{y=ax+b.}$

Calcul du coefficient directeur a de la droite (AB )

$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a}=\dfrac{0-2}{\alpha-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a}=\dfrac{-2}{\alpha-1}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{a=\dfrac{-2}{\alpha-1}}$

L'équation réduite de la droite (AB ) est donc de la forme : $y=\dfrac{-2}{\alpha-1}x+b.$

Calcul de l'ordonnée à l'origine b de la droite (AB )

$B(\alpha\,;\,0)\in(AB)\quad\Longrightarrow\quad0=\dfrac{-2}{\alpha-1}\times\alpha+b \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{B(\alpha\,;\,0)\in(AB)}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b=\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}}}$

Par conséquent, l'équation réduite de la droite (AB ) est $\boxed{y=\dfrac{-2}{\alpha-1}x+\dfrac{2\alpha}{\alpha-1}}$

2. b) Nous savons que la fonction g est concave sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\alpha]\,.}$

Dès lors, sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\alpha]\,,}$ la courbe $\mathscr {C}$ est située au-dessus de toutes les cordes reliant deux de ses points.
Nous en déduisons que pour tout x appartenant à l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1\;;\alpha]\,,} g(x) \ge \dfrac{-2}{\alpha - 1}\,x+\dfrac{2\alpha}{\alpha - 1}\;.$

7 points

exercice 4 : Géométrie dans l'espace

Dans la figure ci-dessous, ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle tel que $\overset{{\white{.}}}{AB=5,\, AD = 3 \text{ et } AE=2\;.}$
L'espace est muni d'un repère orthonormé d'origine A dans lequel les points B , D et E ont respectivement pour coordonnées (5 ; 0 ; 0) , (0 ; 3 ; 0) et (0 ; 0 ; 2).

Bac général spécialité maths 2022 Amérique du Sud jour 1 : image 4

1. a) Les coordonnées des points H et G sont respectivement (0 ; 3 ; 2) et (5 ; 3 ; 2).

1. b) Nous devons donner une représentation paramétrique de la droite (GH ).

La droite (GH ) est dirigée par le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{HG}\begin{pmatrix}5-0\\3-3\\2-2\end{pmatrix}}$ , soit par le vecteur $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\overrightarrow{HG}\begin{pmatrix}{\red{5}}\\ {\red{0}}\\ {\red{0}}\end{pmatrix}}}$ .
La droite (GH ) passe par le point $\overset{{\white{.}}}{H({\blue{0}}\,;\,{\blue{3}}\,;\,{\blue{2}}).}$
D'où une représentation paramétrique de la droite (GH ) est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{5}}\times t\\y={\blue{3}}+{\red{0}}\times t\\z={\blue{2}}+{\red{0}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$
soit $\boxed{(GH) :\left\lbrace\begin{array}l x=5t\\y=3\\z=2 \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. Soit M un point du segment [GH ] tel que $\overrightarrow {HM} = k \overrightarrow {HG}$ avec k un nombre réel de l'intervalle [ 0 ; 1 ] .

2. a) Montrons que les coordonnées de M sont (5k ; 3 ; 2) .

$\overrightarrow {HM} = k \overrightarrow {HG}\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{pmatrix}x_M-0\\y_M-3\\z_M-2\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}5\\0\\0\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x_M=5k\\y_M-3=0\\z_M-2=0\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x_M=5k\\y_M=3\\z_M=2\end{matrix}\right.}}$
D'où les coordonnées de M sont (5k ; 3 ; 2) .

2. b) Nous devons en déduire que $\overrightarrow {AM}\cdot\overrightarrow {CM}=25k²-25k+4\;.$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{AM}\ \begin{pmatrix}5k-0\\3-0\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5k\\3\\2\end{pmatrix}\phantom{Wx}\\\overrightarrow{CM}\ \begin{pmatrix}5k-5\\3-3\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5k-5\\0\\2\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM}=5k\times(5k-5)+3\times0+2\times2\\=25k^2-25k+4\phantom{Wx}\end{matrix} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM}=25k^2-25k+4}$

2. c) Déterminons les valeurs de k pour lesquelles AMC est un triangle rectangle en M .

Le triangle AMC est rectangle en M si et seulement si $\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{CM}$ , soit si et seulement si $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CM}=0$ , soit si et seulement si $25k²-25k+4=0.$

Résolvons dans $\R$ l'équation $25k²-25k+4=0.$

Discriminant : $\Delta=(-25)^2-4\times25\times4=625-400=225>0.$

Racines : $k_1=\dfrac{25-\sqrt{225}}{2\times25}=\dfrac{25-15}{50}=\dfrac{10}{50}=\dfrac{1}{5}$

${\white{WWWW}}$ $k_2=\dfrac{25+\sqrt{225}}{2\times25}=\dfrac{25+15}{50}=\dfrac{40}{50}=\dfrac{4}{5}$
Par conséquent, les valeurs de k pour lesquelles AMC est un triangle rectangle en M sont $\overset{{\white{.}}}{k=\dfrac{1}{5}}$ et $\overset{{\white{.}}}{k=\dfrac{4}{5}.}$

Dans toute la suite de l'exercice, on considère que le point M a pour coordonnées ( 1; 3 ; 2 ) .
On admet que le triangle AMC est rectangle en M .

3. On considère le point K de coordonnées ( 1 ; 3 ; 0 ) .
3. a) Nous devons déterminer une équation cartésienne du plan ( ACD ) .

Nous avons : A(0 ; 0 ; 0), C(5 ; 3 ; 0) et D(0 ; 3 ; 0).
Puisque les cotes de ces trois points sont nulles, ces points appartiennent au plan d'équation : z = 0.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan ( ACD ) est : $\overset{{\white{.}}}{\boxed{z=0}\,.}$

3. b) Justifions que le point K est le projeté orthogonal du point M sur le plan (ACD ) .

$\bullet{\white{x}}$ Montrons que le point K appartient au plan (ACD ).

Les coordonnées du point K sont ( 1 ; 3 ; 0 ).
Ce point K appartient donc au plan (ACD ) dont l'équation est z = 0.

$\bullet{\white{x}}$ Montrons que $\overrightarrow{MK}$ est un vecteur normal au plan (ACD ).

Montrons que $\overrightarrow{MK}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ACD ).

Les vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ ne sont manifestement pas colinéaires.
De plus,

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{MK}\ \begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AC}\ \begin{pmatrix}5\\3\\0\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{AC}=0\times5+0\times3-2\times0\\=0\phantom{wwwwww}\end{matrix} \\\phantom{WWWWWwW}\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{AC}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{MK}\ \begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AD}\ \begin{pmatrix}0\\3\\0\end{pmatrix}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\begin{matrix}\\\overrightarrow{MK}.\overrightarrow{AD}=0\times0+0\times3-2\times0\\=0\phantom{wwwwww}\end{matrix} \\\phantom{WWWWWwW}\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{MK}\perp\overrightarrow{AD}}$

Le vecteur $\overrightarrow{MK}$ est orthogonal à deux vecteurs $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AD}$ non colinéaires du plan (ACD ).
Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{MK}$ est un vecteur normal au plan (ACD ).

$\bullet{\white{x}}$ En conclusion, le point K est le projeté orthogonal du point M sur le plan (ACD ) .

3. c) Nous devons en déduire le volume $\overset{{\white{.}}}{\mathscr V_{MACD}}$ du tétraèdre MACD .

Rappelons que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule $\dfrac 1 3 \times \text{ Aire de la base } \times h$ où h est la hauteur relative à la base.

Nous obtenons : $\mathscr V_{MACD}=\dfrac 1 3 \times \text{ Aire de}\,ACD \times MK.$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\text{ Aire de}\,ACD=\dfrac{AD\times DC}{2}=\dfrac{3\times 5}{2}=\dfrac{15}{2}\\\\MK=AE=2\phantom{WWWWWWWWWW}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\;\mathscr V_{MACD}=\dfrac 1 3 \times \dfrac{15}{2} \times 2=5 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathscr V_{MACD}=5\text{ unités de volume}}$

4. On note P le projeté orthogonal du point D sur le plan (AMC ) .
Nous devons calculer la distance DP (en donner une valeur arrondie à 10 ^-1) .

Nous savons que le volume $\overset{{\white{.}}}{\mathscr V_{MACD}}$ du tétraèdre MACD est égal à 5 unités de volume.
Considérons maintenant que ce tétraèdre MACD possède le point D comme sommet, le triangle AMC comme base et par suite, DP comme hauteur.

$\mathscr V_{MACD}=5\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac 1 3 \times \text{ Aire de}\,AMC \times DP=5 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\text{ Aire de}\,AMC \times DP=15}$

De plus il est admis dans l'énoncé que le triangle AMC est rectangle en M .

$\text{D'où }\, \text{ Aire de}\,AMC=\dfrac 1 2 \times AM\times MC \\\\\phantom{WWWW}\quad\text{avec }\left\lbrace\begin{matrix} AM=\sqrt{(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2+(z_M-z_A)^2}\\=\sqrt{(1-0)^2+(3-0)^2+(2-0)^2}{\white{xxxx}}\\=\sqrt{14}{\white{WWWWWWWWWWwWWx}}\\\\ MC=\sqrt{(x_M-x_C)^2+(y_M-y_C)^2+(z_M-z_C)^2}\\=\sqrt{(1-5)^2+(3-3)^2+(2-0)^2}{\phantom{xxxx}}\\=\sqrt{20}{\white{WWWWWWWWWWwWWx}} \end{matrix}\right.$

$\text{Donc }\, \text{ Aire de}\,AMC=\dfrac 1 2 \times\sqrt{14}\times \sqrt{20}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{280}=\dfrac{1}{2}\times2\,\sqrt{70}=\sqrt{70}$

Nous obtenons alors,

$\mathscr V_{MACD}=5\quad\Longleftrightarrow\quad\text{ Aire de}\,AMC \times DP=15 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\sqrt{70}\times DP=15} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad DP=\dfrac{15}{\sqrt{70}}\approx1,8}$

Par conséquent, $\boxed{DP\approx1,8}\,.$

Publié par malou le 14-04-2023

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