Fiche de mathématiques
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Bac Burkina Faso 2022

Mathématiques Série G2

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1er tour
Durée : 2 heures
Coefficient : 3


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8 points

exercice 1

Une entreprise étudie l'évolution du pourcentage de femmes parmi ses employés . Le tableau suivant donne , pour les années indiquées , l'évolution du pourcentage de femmes dans l'entreprise :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Année }&2016&2017&2018&2019&2020&2021\\  \hline \text{ Rang }(x) & 1&2&3&4&5&6 \\ \hline \text{ Pourcentage}(y) &6&8,5&9,5&11&12&13\\ \hline   \end{array}


1) Représenter le nuage de points (x,y) dans un repère orthogonal .
Echelle :
1cm pour 1 rang sur l'axe des abscisses et
1cm pour 2\% sur l'axe des ordonnées .

2) Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique .

3) On note G_1 le point moyen partiel des trois premiers points et G_2 celui des trois derniers .
a) Calculer les coordonnées de G_1 et G_2 puis tracer la droite (G_1G_2) .
b) Déterminer l'équation de la droite (G_1G_2) sous la forme y=mx+pm et p seront donnés sous forme de fraction irréductible .

4-a) Déterminer graphiquement une estimation du pourcentage de femmes parmi les employés en 2023 .
b) Par un calcul , déterminer l'année où le pourcentage de femmes atteindra 24\% .

12 points

probleme

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie par f(x)=(x^2-2x+1)e^{x} et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) . (unité graphique 1cm) .

1-a) Préciser l'ensemble de définiton de f .
b) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition , en déduire que la courbe (C) admet une asymptote dont on précisera une équation .

2-a) Calculer f'(x) et étudier son signe .
b) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation .

3)Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0 .

4) Déterminer les coordonnées des points d'intersection de (C) avec les axes de coordonnées .

5-a) Tracer la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère (O,\vec{i},\vec{j}) .
b) A l'aide de la représentation graphique de f , donner suivant les valeurs du réel m , le nombre de solutions de l'équation f(x)=m .

6) Vérifier que la fonction numérique F définie sur \R par : F(x)=(x^2-4x+5)e^{x} est une primitive de f sur \R .

7) Calculer l'aire A de la partie E des points M(x,y) du plan tels que : \begin{cases} 0\leq x \leq 1\\0\leq y \leq f(x) \end{cases} .

On rappelle que \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2e^{x}=0 \text{ ; }\lim_{x\to-\infty}xe^x=0 .

On donne f(2)\approx 7,4 \enskip\text{ ; }\enskip f(-2)=1,2 \enskip\text{ ; }\enskip f(-3)=0,8 \enskip\text{ ; }\enskip f(1,5)=1,1 \enskip\text{ ; }\enskip\dfrac{4}{e}=1,5 .







exercice 1

1) Voi la figure à la fin pour le nuage de points (x,y) :

2) Les coordonnées du point moyen G(\bar{x},\bar{y}) sont tels que \bar{x}\text{ et }\bar{y} sont respectivement les moyennes des x_i \text{ et }y_i .

On a :

 \bar{x}=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}x_i=\dfrac{1}{6}(1+2+3+4+5+6) =\dfrac{21}{6}=3,5

\bar{y}=\dfrac{1}{6}\displaystyle\sum_{i=1}^{6}y_i=\dfrac{1}{6}(6+8,5+9,5+11+12+13) =\dfrac{60}{6}=10

\boxed{ \text{ Le point moyen }G\text{ de cette série statistique a pour coordonnées } G(3,5;10) }


3-a)

Calcul des coordonnées du point moyen G_1(\bar{x_1};\bar{y_1})[/tex[tex] :

On a : \begin{cases} \bar{x_1}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_i=\dfrac{1}{3}(1+2+3) =\dfrac{6}{3}=2  			\\   \bar{y_1}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}y_i=\dfrac{1}{3}(6+8,5+9,5) =\dfrac{24}{3}=8 			\end{cases}

Donc :

\boxed{G_1(2;8)\text{ est le point moyen des trois premiers points }}


Calcul des coordonnées du point moyen G_2(\bar{x_2};\bar{y_2}):

On a : \begin{cases} \bar{x_2}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}x_i=\dfrac{1}{3}(4+5+6) =\dfrac{15}{3}=5  			\\   \bar{y_2}=\dfrac{1}{3}\displaystyle\sum_{i=1}^{3}y_i=\dfrac{1}{3}(11+12+13) =\dfrac{36}{3}=12 \end{cases}

Donc :

\boxed{G_2(5;12)\text{ est le point moyen des trois derniers points }}


b) Notons (G_1G_2)\text{ : }y=mx+p une équation cartésienne de la droite (G_1G_2) .

On a alors : m=\dfrac{\bar{y_2}-\bar{y_1}}{\bar{x_2}-\bar{x_1}}=\dfrac{12-8}{5-2}=\dfrac{4}{3}

On remplace m par sa valeur dans l'équation : (G_1G_2)\text{ : }y=\dfrac{4}{3}x+b

On sait que G_1 est un point de (G_1G_2) , on a donc :

\begin{matrix}\bar{y_1}=\dfrac{4}{3}\bar{x_1}+p &\iff& 8=\dfrac{4}{3}\times 2 +p\\&\iff& p=8-\dfrac{8}{3}\\&\iff& p= \dfrac{16}{3}  \end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\begin{matrix} \text{L'équation cartésienne de la droite }(G_1G_2) \text{ s'écrit : }y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3}\end{matrix}}


4-a) Pour déterminer graphiquement cette estimation , il faut construire la droite (G_1G_2).

L'année 2023 correspond au rang x=8 , et d'après le graphique , l'image de ce rang par la droite (G_1G_2) est y=16\%

Donc :

\boxed{\text{Le pourcentage de femmes parmi les employés en }2023\text{ est estimé à }16\%}


b) Par calcul , on a :

\begin{matrix}y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{16}{3}&\iff& y-\dfrac{16}{3}=\dfrac{4}{3}x\\&\iff& x=\dfrac{3}{4}\left(y-\dfrac{16}{3}\right)\end{matrix}

Alors , si y=24\% , le rang est x=\dfrac{3}{4}\left(24-\dfrac{16}{3}\right)=\dfrac{3\times 24}{4}-\dfrac{16}{4}=18-4=14

Enfin , le rang x=14 correspond à l'année 2029 .

Conclusion :
\boxed{\text{Le pourcentage de femmes atteindra }24\%\text{ en }2029 }


Figure :

Bac Burkina Faso 2022 série G2 - 1er tour : image 2


probleme



1-a) La fonction f est un produit d'une fonction polynomiale et de la fonction exponentielle , donc , elle est définie dans \R

\boxed{D_f=\R=]-\infty;+\infty[}


b) En -\infty :

On a , pour tout réel x \text{ : }f(x)=(x^2-2x+1)e^{x}=x^2e^x-2xe^x+e^x

Or , on nous donne : \displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2e^{x}=0 \text{ et }\lim_{x\to-\infty}xe^x=0

De plus , on sait que \displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0

Donc : \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2e^x-2xe^x+e^x=0

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=0}


Interprétation graphique :
\boxed{\text{L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe }(C) \text{ au voisinage de }-\infty }


En +\infty :

Puisque \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2-2x+1=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty\enskip\text{ et }\enskip\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty

Alors \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^2-2x+1)e^{x}=+\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}


Remarque :

 Cliquez pour afficher


2-a) Pour tout x \text{ de }\R\text{ : }

\begin{matrix}f'(x)&=& \left[(x^2-2x+1)e^{x}\right]'\\&=&(x^2-2x+1)'e^x+(x^2-2x+1)\left(e^x\right)'\\&=& (2x-2)e^x+(x^2-2x+1)e^x\\&=& (x^2-1)e^x\end{matrix}

\boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'(x)=(x^2-1)e^x}


Puisque e^x>0 \text{ pour tout }x\in\R , alors le signe de f'(x) est celui de x^2-1 .

Or, on sait que x^2-1 admet deux racines -1\text{ et }1 , alors sont tableau de signe est :

\begin{tabvar}{|C|CCCCCCC|}\hline  x&-\infty& &-1&&1&&+\infty\\\hline x^2-1&&+&\barre{0}&-&\barre{0}&+&\\\hline\end{tabvar}


D'où le signe de f'(x) \text{ : }

\boxed{\begin{matrix} \forall x\in]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[&\text{ : }&f'(x)\geq 0 \\\forall x\in[-1;1]&\text{ : }&f'(x)\leq 0 \end{matrix}}


b) On a , d'après ce qui précède :

\boxed{\begin{matrix} f\text{ est croissante sur }]-\infty;-1]\cup[1;+\infty[\\f\text{ est décroissante sur }[-1;1]\end{matrix}}


D'autre part , on a :

f(-1)=((-1)^2-2(-1)+1)e^{-1}=\dfrac{1+2+1}{e}=\dfrac{4}{e}
f(1)=(1^2-2\times 1+1)e^1=0\times e = 0

Ce qui permet de dresser le tableau de variations de la fonction f :

\begin{array}{|c|rccccccc|} \hline x     & -\infty        &   &           &  -1  &         &    1    &      & +\infty \\ \hline f'(x) &   &   & +         &\barre{0}        &-        &\barre{0}&+     &                                    \\ \hline       &   &   &          & \dfrac{4}{e}    &         &         &        & +\infty                                    \\  f       &   &   &  \nearrow  &               &\searrow  &         & \nearrow &                                 \\	       & 0  &  &           &		    &          &    0   &         & \\  \hline \end{array}


3) Une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse 0 est par définition :

(T)\text{ : }y=f'(0)(x-0)+f(0)

Or , on a :

f(0)=(0^2-2\times 0+1)e^{0}=1\times 1=1
f'(0)=(0^2-1)e^0=-1\times 1 = -1

Donc , l'équation de la tangente (T) est :

\begin{matrix}(T)\text{ : }y=f'(0)(x-0)+f(0)&\iff&(T)\text{ : }y=-1\times x +1&\iff& \boxed{(T)\text{ : }y=-x+1 }\end{matrix}

4)

Intersection de (C) avec l'axe des abscisses (O,\vec{i})\text{ : }
Pour trouver les points d'intersection , on résoud l'équation f(x)=0\text{ : }

\begin{matrix}f(x)=0&\iff&(x^2-2x+1)e^{x}=0\\&\iff& x^2-2x+1=0&\text{ (En effet , }e^x>0\text{ pour tout réel }x\text{) }\\&\iff&(x-1)^2=0\\&\iff& x-1=0\\&\iff& x=1\end{matrix}

\boxed{(C)\text{ coupe l'axe des abscisses }(O,\vec{i})\text{ au point qu'on note }I(1;0)}


Intersection de (C) avec l'axe des ordonnées (O,\vec{j})\text{ : }
Pour trouver le point d'intersection , on calcule l'image de x=0 par f .

On a vu en 2-b) que f(0)=1

\boxed{(C)\text{ coupe l'axe des ordonnées }(O,\vec{j})\text{ au point qu'on note }J(0;1)}


5-a) La représentation graphique de (C) \text{ et }(T) \text{ : }

Bac Burkina Faso 2022 série G2 - 1er tour : image 3


b) Le nombre de solutions de l'équation f(x)=m correspond graphiquement au nombre de points d'intersection de la courbe (C) avec la droite horizontale d'équation y=m :

Distinguons les cas suivants :

m>\dfrac{4}{e} \text{ : } La droite horizontale coupe la courbe (C) une seule fois .
m=\dfrac{4}{e} \text{ : } La droite horizontale coupe la courbe (C) deux fois .
0<m<\dfrac{4}{e} \text{ : } La droite horizontale coupe la courbe (C) trois fois .
m=0 \text{ : } La droite horizontale coupe la courbe (C) une seule fois .
m<0 \text{ : } La droite horizontale ne coupe pas la courbe (C) .

Donc :

\boxed{\text{Le nombre de solutions de l'équation }f(x)=m\text{ est :}\\\begin{cases} 1 &\text{ si }m>\dfrac{4}{e}\text{ ou si }m=0\\ 2 &\text{ si }m=\dfrac{4}{e}\\ 3 &\text{ si }\dfrac{4}{e}>m>0\\ 0 &\text{ si } 0>m\end{cases}}


6) Montrons que la fonction F est une primitive de la fonction f sur \R \text{ : }

\begin{matrix}F'(x)&=&\left[(x^2-4x+5)e^{x}\right]'&=& (x^2-4x+5)'e^x+(x^2-4x+5)\left(e^x\right)'\\&=& (2x-4)e^x+(x^2-4x+5)e^x &=& (2x-4+x^2-4x+5)e^x \\&=& (x^2-2x+1)e^x &=& f(x) \end{matrix}

\boxed{ F \text{ est bien une primitive de la fonction } f \text{ sur }\R }


7) L'aire A de la partie E des points M(x,y) du plan tels que \begin{cases} 0\leq x \leq 1\\0\leq y \leq f(x) \end{cases} est en unité d'aire : A=\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)|\text{ d}x .

Et puisque f(x)\geq 0 \text{ pour tout réel }x \text{ , alors : } A=\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\text{ d}x

Calculons cette intégrale :

\begin{matrix} A&=&\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\text{ d}x&=&\left[F(x)\right]_{0}^{1} \\&=& F(1)-F(0) &=& (1-4+5)e^1-(0-0+5)e^0 \\&=& 2e-5\end{matrix}

Conclusion :

\boxed{\text{ L'aire de la partie }E\text{ est en unité d'aire (UA) : }A=2e-5 }
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