Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques 2022 Cameroun série C-E

Durée : 4 heures

Coefficient : 7 - 6

Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes.

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\overrightarrow{e_1}\,,\overrightarrow{e_2})\cdot$
On considère les points A, B, F et G d'affixes respectives : $\overset{{\white{.}}}{Z_A=1+\text i\sqrt 3 \;\;;\;\;Z_B=-1-\text i \sqrt 3\;\;;\;\;Z_F=4 \;\;\text{ et }\; Z_G=-4.}$

1. Résoudre dans C, l'équation $z²+2-2\text i \sqrt 3 = 0 \cdot$

2. Soit s la similitude directe d'expression complexe $z'=(1-\text i \sqrt 3)\,z\,\cdot$
$\white w$ a. Donner les éléments caractéristiques de s .
$\white w$ b. Quelles sont les images par s des points A et B ?

3. Soit $(\mathcal E)$ l'ellipse de foyers A et B et d'excentricité $e=\frac 1 2 \,\cdot$
$\white w$ a. Déterminer une équation de l'image $(\mathcal E')$ de $(\mathcal E)$ par la similitude s .
$\white w$ b. Construire $(\mathcal E')$ puis $(\mathcal E)$ dans le même repère.

4. Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A, B, F et G comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse $(\mathcal E')$ .
$\white{w}$ Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de $(\mathcal E')$ ?

5 points

exercice 2

Soit $(\vec i\,,\vec j\,,\vec k )$ une base d'un espace vectoriel E .
Soit f un endomorphisme de E .

1. Pour k appartenant à R , on considère l'ensemble E_k des vecteurs $\vec u$ de E tels que $f(\vec u)=k\vec u\,\cdot$
$\white w$ a. Démontrer que E_k est un sous-espace vectoriel de E .
$\white w$ b. On suppose que f vérifie l'égalité $f\circ f = 2\,f\,\cdot$
$\white{ww}$ Démontrer que $\vec u \in Im f \text{ si et seulement si } \vec u \in E_2\,\cdot$

2. On suppose ici qu'on a :

${\white{wwww}}f(\vec i+\vec j)=2\vec i+2\vec j$
${\white{wwww}}f(\vec i-\vec j)=2\vec i-2\vec j$
${\white{wwww}}f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0\,\cdot$

$\white w$ a. Démontrer que $f(\vec i)=2\vec i\;\;, f(\vec j)=2\vec j \;\text{ et } \; f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j \,\cdot$
$\white w$ b. Donner la matrice M de f dans la base $(\vec i\,,\vec j\,,\vec k )$ .
$\white w$ c. Démontrer que $f\circ f=2\,f\,\cdot$
$\white w$ d. Déterminer par une de ses bases, le noyau Ker f de f .
$\white w$ e. Déterminer l'image Im f de f . On précisera une de ses bases.

5 points

exercice 3

f est une fonction définie sur [0 ; 2

] par $f(x)=\text e ^{-x}\,\cos (x)\,\cdot$
$(\mathcal C_f)$ est la courbe de $f$ dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.

1. Démontrer que $f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0\,\cdot$

2. Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.

3. a. Démontrer qu'on a : $-\text e ^{-x} \le f(x) \le \text e^ {-x}\,\cdot$
$\white w$ b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(\mathcal C_f)$ avec les courbes d'équations $y=\text e ^{-x}$ et $y=-\text e ^{-x}\,\cdot$

4. Sur [0 ; 2

], tracer dans le même repère, les courbes d'équations $y=\text e ^{-x}$ et $y=-\text e ^{-x}$ puis la courbe $(\mathcal C_f)\,\cdot$

5. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par $(\mathcal C_f)$ et la courbe d'équation $y=\text e ^{-x}$ sur [0 ; 2

]. On pourra utiliser la question 1.

Partie B : Évaluation des compétences (15 points)

Situation :

Trois gisements de gaz A, B et C présentant chacun 100 milliards de m³ de quantité, ont été découverts dans un pays. L'inauguration a eu lieu une certaine année (année 0) prise comme origine des temps t (en années).
L'exploitation du gaz des gisements A et B avait commencé à la date t = 0 et celle du gisement C légèrement avant. Seulement, à la date t = 1 , la quantité totale du gaz extraite de chacun des gisements A et C était de 5,01 milliards de m³.

$-$ Pour le gisement A et à partir de la 2e année, la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³ par rapport à celle de l'année précédente.
$-$ Pour les gisements B et C, les ingénieurs pétrochimistes savent que si $q(t)$ est la quantité totale (en milliards de m³) de gaz extraite de chacun de ces gisements à la date $t$ , alors le taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement à cette date $t$ est $q'(t)$ (milliards de m³ par an).
${\white w}\bullet$ Au niveau du gisement B, ce taux est $\left(\dfrac{1}{2t+1}+0,02t\right)$ milliard de m³ par an.
${\white w}\bullet$ Au niveau du gisement C, ces taux (aux dates $t$ ) sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates. A la date $t=1$ ce taux était 5,01 milliards de m³ par an.

Tâches :

1. En combien d'années le gisement A s'épuisera-t-il ?
2. Combien d'années d'extraction suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B ?
3. Après l'inauguration, combien d'années faudra-t-il à ce pays pour vider le gisement C de son contenu ?

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Bac Cameroun 2022 série C-E

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15 POINTS)

5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\overrightarrow{e_1}\,,\overrightarrow{e_2}).$
On considère les points A, B, F et G d'affixes respectives : $\overset{{\white{.}}}{Z_A=1+\text i\sqrt 3 \;\;;\;\;Z_B=-1-\text i \sqrt 3\;\;;\;\;Z_F=4 \;\;\text{ et }\; Z_G=-4.}$

1. Résoudre dans $\C$ , l'équation $z²+2-2\text i\sqrt 3 = 0.$

$z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0\quad\Longleftrightarrow\quad z²=-2+2\text{i}\sqrt {3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad z²=1+2\text{i}\sqrt {3}-3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad z²=1+2\text{i}\sqrt {3}+\left(\text{i}\sqrt {3}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad z²=\left(1+\text{i}\sqrt {3}\right)^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad z=1+\text{i}\sqrt {3}\quad\text {ou}\quad z=-(1+\text{i}\sqrt {3})}$

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation $z²+2-2\text i\sqrt 3 = 0$ est $\boxed{S=\lbrace1+\text{i}\sqrt {3}\,;\,-1-\text{i}\sqrt {3}\rbrace}\,.$

2. Soit s la similitude directe d'expression complexe $z'=(1-\text i \sqrt 3)\,z\,$ .
2. a) Nous devons donner les éléments caractéristiques de s .

Si s est une similitude directe d'expression complexe $z'=az+b$ avec $\overset{{\white{.}}}{a\in\C^*\setminus\lbrace1\rbrace}$ et $\overset{{\white{.}}}{b\in\C}$ , alors s est la similitude directe de centre d'affixe $\dfrac{b}{1-a}$ , de rapport $\overset{{\white{.}}}{|a|}$ et d'angle $\overset{{\white{.}}}{\arg(a).}$

$_\bullet{\white{x}}$ Puisque s est la similitude directe d'expression complexe $z'=(1-\text i \sqrt 3)\,z+0$ , le centre de s est O .

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons le rapport de s .

${\white{xxx}}\left|\,1-\text i \sqrt 3\,\right|=\sqrt{1^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt{1+3}=2.$
D'où le rapport de s est égal à 2.

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons l'angle $\theta$ de s .

${\white{xxx}}\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{1}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \theta=-\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]$
D'où l'angle de s est égal à $-\dfrac{\pi}{3}.$

Par conséquent, s est la similitude directe de centre O , de rapport 2 et d'angle $\overset{{\white{.}}}{-\dfrac{\pi}{3}.}$

2. b) Nous devons déterminer les images par s des points A et B.

Soit $\overset{{\white{.}}}{A'=s(A)}$ et notons $\overset{{\white{.}}}{Z_{A'}}$ l'affixe de A' .

${\white{xxx}}$ $Z_{A'}=(1-\text i \sqrt 3)\,Z_A \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=(1-\text i \sqrt 3)(1+\text i\sqrt 3)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=1+3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=Z_F} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{s(A)=F}$

Soit $\overset{{\white{.}}}{B'=s(B)}$ et notons $\overset{{\white{.}}}{Z_{B'}}$ l'affixe de B' .

${\white{xxx}}$ $Z_{B'}=(1-\text i \sqrt 3)\,Z_B \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=(1-\text i \sqrt 3)(-1-\text i \sqrt 3)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=-(1-\text i \sqrt 3)(1+\text i \sqrt 3)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=-(1+3)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=-4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=Z_G} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{s(B)=G}$

3. Soit $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}$ l'ellipse de foyers A et B et d'excentricité $e=\dfrac 1 2 \,.$

3. a) Nous devons déterminer une équation de l'image $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}$ par la similitude s .

Le milieu du segment [AB ] est le point O car $\dfrac{Z_A+Z_B}{2}=\dfrac{1+\text i\sqrt 3-1-\text i\sqrt 3}{2}=0.$
Dès lors, le centre de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}$ est O .
Puisque s est une similitude directe de centre O , le centre de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ est également le point O .

D'où une équation de l'ellipse $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ est de la forme $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.$

$\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}c=OF=4\\e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}c=4\\\dfrac{4}{a}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{{\blue{a=8}}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{{\red{a^2=64}}} \\\\c^2=a^2-b^2\quad\Longrightarrow\quad16=64-b^2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{{\red{b^2=48}}} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{{\blue{b=\sqrt{48}=4\sqrt{3}}}}$

Par conséquent, une équation de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ est : $\boxed{\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{48}=1}\,.$

3. b) Construisons $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ puis $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}$ dans le même repère.

Après avoir construit $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ , la construction de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}$ s'effectue aisément en sachant que $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}$ est l'image de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ par la similitude s ^-1 dont le centre est O , le rapport est $\dfrac{1}{2}$ et l'angle est $\dfrac{\pi}{3}.$

4. Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A, B, F et G comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E').}$
$\white{w}$ Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ ?

Parmi les cinq points O, A, B, F et G, l'axe focal de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ comprend les trois points O, F et G .

Il y a $\overset{{\white{.}}}{A_3^2=3\times2=6}$ façons différentes de choisir successivement deux points parmi les trois points de l'axe focal.
Il y a $\overset{{\white{.}}}{A_5^2=5\times4=20}$ façons différentes de choisir successivement deux points parmi les cinq points O, A, B, F et G .
Les choix de chaque point sont équiprobables.
Donc la probabilité que Aicha ait choisi deux points de l'axe focal de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}$ est égale à $\dfrac{6}{20}}$ , soit à $\boxed{\dfrac{3}{10}}\,.$

5 points

exercice 2

Soit $(\vec i\,,\vec j\,,\vec k )$ une base d'un espace vectoriel E .
Soit f un endomorphisme de E .

1. Pour k appartenant à $\R$ , on considère l'ensemble E_k des vecteurs $\vec u$ de E tels que $\overset{{\white{.}}}{f(\vec u)=k\vec u.}$

1. a) Démontrons que E_k est un sous-espace vectoriel de E .

Pour démontrer que E_k est un sous-espace vectoriel de E , nous vérifierons que $\vec 0\in E_k$ et que,
pour tout couple $(\vec u,\vec v)\in E_k^2$ et tout $\lambda\in \R$ , nous avons : $\left\lbrace\begin{matrix}\vec u + \vec v\in E_k\\\lambda \vec u\in E_k\phantom{ww}\end{matrix}\right.$

$_\bullet{\white{x}}$ Puisque f est un endomorphisme de E , nous savons que $f(\vec 0)=\vec 0.$
Or $\vec 0=k\,\vec 0.$
D'où $\overset{{\white{.}}}{f(\vec 0)=k\vec 0.}$
Par conséquent, $\boxed{\vec 0\in E_k}\,.$

$_\bullet{\white{x}}$ Pour tout couple $(\vec u,\vec v)\in E_k^2$ ,

$f(\vec u+\vec v)=f(\vec u)+f(\vec v)\quad\text{car }f\text{ est une fonction linéaire} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u+\vec v)}=k\vec u+k\vec v\quad\text{par définition de }f} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u+\vec v)}=k(\vec u+\vec v)} \\\Longrightarrow\quad f(\vec u+\vec v)=k(\vec u+\vec v)$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\vec u+\vec v\in E_k}\,.}$

$_\bullet{\white{x}}$ Pour tout vecteur $\vec u\in E_k$ et tout $\lambda\in \R$ ,

$f(\lambda\vec u)=\lambda f(\vec u)\quad\text{car }f\text{est une fonction linéaire} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\lambda\vec u)}=\lambda (k\vec u)\quad\text{par définition de }f} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\lambda\vec u)}=k (\lambda\vec u)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(\lambda\vec u)=k (\lambda\vec u)}$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\lambda\vec u\in E_k}\,.}$

Nous en déduisons que E_k est un sous-espace vectoriel de E .

1. b) On suppose que f vérifie l'égalité $\overset{{\white{.}}}{f\circ f = 2\,f.}$
Démontrons que $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in \text{Im} f}$ si et seulement si $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2.}$

$_\bullet{\white{x}}$ Démontrons d'abord que si $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2,}$ alors $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in \text{Im} f.}$

$\vec u \in E_2\quad\Longrightarrow\quad f(\vec u)=2\vec u \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u \in E_2}\quad\Longrightarrow\quad \vec u=\frac{1}{2}\,f(\vec u)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u \in E_2}\quad\Longrightarrow\quad \vec u=f(\frac{1}{2}\,\vec u)\quad\text{car }f\text{est une fonction linéaire}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u \in E_2}\quad\Longrightarrow\quad \vec u\in \text{Im} f}$

D'où si $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2,}$ alors $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in \text{Im} f.}$

$_\bullet{\white{x}}$ Démontrons ensuite que si $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in \text{Im} f.}$ alors $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2.}$

$\vec u\in \text{Im} f\quad\Longrightarrow\quad\exists\vec v\in E:\vec u=f(\vec v)$

Nous en déduisons que :

${\white{xxx}}$ $f(\vec u)=f(f(\vec v)) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u)}=(f\circ f)(\vec v)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u)}=(2f)(\vec v)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u)}=2f(\vec v)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(\vec u)}=2\vec u} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\vec u\in E_2}$

D'où si $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in \text{Im} f,}$ alors $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2.}$

Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in \text{Im} f}$ si et seulement si $\overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2.}$

2. On suppose ici qu'on a :

${\white{wwww}}$ $f(\vec i+\vec j)=2\vec i+2\vec j\quad(1) \\\overset{{\phantom{.}}}{f(\vec i-\vec j)=2\vec i-2\vec j\quad(2)} \\\overset{{\phantom{.}}}{f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0\quad\;\;\,(3)}$

2. a) Nous devons démontrer que $f(\vec i)=2\vec i\quad,\quad f(\vec j)=2\vec j{\white{xx}}$ et ${\white{xx}} f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j.$

$_\bullet{\white{x}}$ Additionnons membre à membre les égalités (1) et (2).

$f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)=2\vec i+2\vec j+2\vec i-2\vec j \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)}=4\vec i} \\\\\text{Or }\,f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)=f(\vec i)+f(\vec j)+f(\vec i)-f(\vec j) \\\phantom{f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)=4\vec i}\quad\text{car }f\text{est une fonction linéaire} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)}=2\,f(\vec i)}$

D'où $2\,f(\vec i)=4\vec i.$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f(\vec i)=2\vec i}}$

$_\bullet{\white{x}}$ Soustrayons membre à membre les égalités (1) et (2).

$f(\vec i+\vec j)-f(\vec i-\vec j)=2\vec i+2\vec j-2\vec i+2\vec j \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec i-\vec j)+f(\vec i-\vec j)}=4\vec j} \\\\\text{Or }\,f(\vec i+\vec j)-f(\vec i-\vec j)=f(\vec i)+f(\vec j)-f(\vec i)+f(\vec j) \\\phantom{f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)=4\vec i}\quad\text{car }f\text{est une fonction linéaire} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)}=2\,f(\vec j)}$

D'où $2\,f(\vec j)=4\vec j.$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f(\vec j)=2\vec j}}$

$_\bullet{\white{x}}$ En utilisant la relation (3), nous obtenons :

$f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0\quad\Longrightarrow\quad f(\vec i) -f(\vec j) +f(\vec k)=\vec 0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0}\quad\Longrightarrow\quad 2\,\vec i -2\,\vec j +f(\vec k)=\vec 0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(\vec k)=-2\,\vec i +2\,\vec j}}$

$_\bullet{\white{x}}$ Par conséquent, $\boxed{f(\vec i)=2\vec i\quad,\quad f(\vec j)=2\vec j\quad,\quad f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j}\,.$

2. b) Nous devons donner la matrice M de f dans la base $(\vec i\,,\vec j\,,\vec k ).$

Nous savons par la question 2. a) que : $\left\lbrace\begin{matrix}f(\vec i)={\red{2}}\vec i+{\red{0}}\vec j +{\red{0}}\vec k\phantom{w}\\f(\vec j)={\blue{0}}\vec i+{\blue{2}}\vec j +{\blue{0}}\vec k\phantom{w}\\f(\vec k)=-2\vec i+2\vec j +0\vec k\end{matrix}\right.$

Donc la matrice de la transformation linéaire f est $\boxed{M=\begin{pmatrix}{\red{2}}&{\blue{0}}&-2\\ {\red{0}}&{\blue{2}}&2\\ {\red{0}}&{\blue{0}}&0\end{pmatrix}}$

2. c) Démontrer que $\overset{{\white{.}}}{f\circ f=2\,f}$ revient à démontrer que $M\times M=2M.$

$M\times M=\begin{pmatrix}{\red{2}}&{\blue{0}}&-2\\ {\red{0}}&{\blue{2}}&2\\ {\red{0}}&{\blue{0}}&0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}{\red{2}}&{\blue{0}}&-2\\ {\red{0}}&{\blue{2}}&2\\ {\red{0}}&{\blue{0}}&0\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\times M}=\begin{pmatrix}2\times2+0\times0-2\times0&2\times0+0\times2-2\times0&2\times(-2)+0\times2-2\times0\\0\times2+2\times0+2\times0&0\times0+2\times2+2\times0&0\times(-2)+2\times2+2\times0\\0\times2+0\times0+0\times0&0\times0+0\times2+0\times0&0\times(-2)+0\times2+0\times0\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\times M}=\begin{pmatrix}4&0&-4\\0&4&4\\0&0&0\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\times M}=2\begin{pmatrix}2&0&-2\\0&2&2\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\times M}=2M} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{M\times M=2M}$

D'où $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f\circ f=2\,f}\,.}$

2. d) Nous devons déterminer par une de ses bases, le noyau Ker(f ) de f .

Soit un vecteur $\vec u\,(x\,;\,y\,;\,z) \in E.$
Alors,

$\vec u\in \text{Ker}(f)\quad\Longrightarrow\quad f(\vec u)=\vec 0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u\in Ker\,f}\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}2&0&-2\\ 0&2&2\\ 0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u\in Ker\,f}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2x-2z=0\\2y+2z=0\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u\in Ker\,f}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2x=2z\\2y=-2z\end{matrix}\right.} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\vec u\in Ker\,f}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=z\\y=-z\end{matrix}\right.}$

Il s'ensuit que les coordonnées du vecteur $\vec u$ sont $(z\;,\;-z\,;\,z).$
Autrement dit, $\vec u=z\vec i-z\vec j+z\vec k$ , soit $\boxed{\vec u=z\,(\vec i-\vec j+\vec k)}\,.$
Par conséquent, Ker(f ) est la droite vectorielle dont une base est $(\vec i-\vec j+\vec k).$

2. e) Nous devons déterminer l'image Im(f ) de f .

$_\bullet{\white{x}}$ Par le théorème du rang, nous savons que : dim(E) = dim(Im(f )) + dim(Ker(f )).
Or dim(E) = 3 et dim(Ker(f )) = 1.
Donc : dim(Im(f )) = 2.

$_\bullet{\white{x}}$ $(\vec i\,,\vec j\,,\vec k )$ une base de l'espace vectoriel E .
Donc $f(\vec i)\,,f(\vec j)\,,f(\vec k)$ est une famille génératrice de Im(f ).
Mais nous savons que $\left\lbrace\begin{matrix}f(\vec i)=2\vec i\phantom{WWWWWWWWW}\\f(\vec j)=2\vec j\phantom{WWWWWWwWW}\\f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j=-f(\vec i)+f(\vec j)\end{matrix}\right.$

Dès lors, $f(\vec i)\,,f(\vec j)$ est une famille génératrice de Im(f ).
Autrement dit, $2\vec i\,,2\vec j$ est une famille génératrice de Im(f ),
soit $\vec i\,,\vec j$ est une famille génératrice de Im(f ).

$_\bullet{\white{x}}$ Par conséquent, Im(f ) est le plan vectoriel dont une base est $(\vec i\,,\vec j).$

5 points

exercice 3

f est une fonction définie sur [0 ; 2

] par $f(x)=\text e ^{-x}\,\cos (x).$
$(\mathcal C_f)$ est la courbe de f dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.

1. Démontrons que $\overset{{\white{.}}}{f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0.}$

$\bullet {\white{x}}\boxed{f(x)=\text e ^{-x}\,\cos (x)} \\\\\bullet {\white{x}}f'(x)=(\text e ^{-x})'\times \cos (x)+\text e ^{-x}\times (\cos (x))' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwi}=-\text e ^{-x}\times \cos (x)+\text e ^{-x}\times (-\sin (x))} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwwi}=-\text e ^{-x}\times \cos (x)-\text e ^{-x}\times \sin (x)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x)}}$

$\\\\\bullet {\white{x}}f''(x)=-\left(\overset{}{\text e ^{-x}\cos (x)}\right)'-\left(\overset{}{\text e ^{-x}\sin (x)}\right)' \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\left(\overset{}{\text e ^{-x}\cos (x)}\right)'=-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x)\quad\quad\text{(voir ci-dessus)}\\\\\left(\overset{}{\text e ^{-x}\sin (x)}\right)'=(\text e ^{-x})'\times \sin (x)+\text e ^{-x}\times (\sin (x))'\phantom{WWWWW} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwi}=-\text e ^{-x}\times \sin (x)+\text e ^{-x}\times\cos(x)\phantom{WWWW}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwi}=-\text e ^{-x} \sin (x)+\text e ^{-x}\cos(x)\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\,f''(x)=-\left(\overset{}{-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x)}\right)-\left(\overset{}{-\text e ^{-x}\sin (x)+\text e ^{-x}\cos (x)}\right)$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=\text e ^{-x}\cos (x)+\text e ^{-x}\sin (x)+\text e ^{-x}\sin (x)-\text e ^{-x}\cos (x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=2\text e ^{-x}\sin (x)} \\\Longrightarrow\quad\boxed{f''(x)=2\,\text e ^{-x}\sin (x)}$

Nous en déduisons que :

$\overset{{\white{.}}}{f''(x)+2f'(x)+2f(x)=2\,\text e ^{-x}\sin (x)+2(-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x))+2\,\text e ^{-x}\,\cos (x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)+2f(x)}=2\,\text e ^{-x}\sin (x)-2\text e ^{-x}\cos (x)-2\text e ^{-x}\sin (x)+2\,\text e ^{-x}\,\cos (x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)+2f(x)}=0}$

Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0}\,.}$

2. Nous devons étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.

$f'(x)=-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\text e ^{-x}\left(\overset{}{-\cos (x)-\sin (x)}\right)}$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur $\R$ , le signe de f'(x) est le signe de $\left(\overset{{\white{.}}}{-\cos (x)-\sin (x)}\right)$

Résolvons l'équation $\overset{{\white{.}}}{-\cos (x)-\sin (x)=0}$ dans l'intervalle [0 ; 2

].

$-\cos (x)-\sin (x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin(x)=-\cos(x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{-\cos (x)-\sin (x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \tan(x)=-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{-\cos (x)-\sin (x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}{4}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{7\pi}{4}}$

D'où, pour tout x dans [0 ; 2

], $\overset{{\white{.}}}{-\cos (x)-\sin (x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}{4}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{7\pi}{4}}.$

La fonction $\overset{{\white{.}}}{x\mapsto-\cos (x)-\sin (x)}$ étant continue sur [0 ; 2

], le signe de $-\cos (x)-\sin (x)$ ne change pas pour x appartenant à $[0\, ;\,\dfrac{3\pi}{4}].$
Il en est de même pour x appartenant aux intervalles $[\dfrac{3\pi}{4}\, ;\, \dfrac{7\pi}{4}]$ et $[\dfrac{7\pi}{4}\, ;\, 2\pi].$

Dès lors,

$x=0\in[0\, ;\,\dfrac{3\pi}{4}]\quad\Longrightarrow\quad -\cos (x)-\sin (x) = -\cos (0)-\sin (0) \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}=-1-0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}=-1<0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0\, ;\,\dfrac{3\pi}{4}],\; -\cos (x)-\sin (x) <0}$

$x=\pi\in[\dfrac{3\pi}{4}\, ;\, \dfrac{7\pi}{4}]\quad\Longrightarrow\quad -\cos (x)-\sin (x) = -\cos (\pi)-\sin (\pi) \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWwWW}=-(-1)-0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWwWW}=1>0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[\dfrac{3\pi}{4}\, ;\, \dfrac{7\pi}{4}],\; -\cos (x)-\sin (x) >0}$

$x=2\pi\in[\dfrac{7\pi}{4}\, ;\, 2\pi]\quad\Longrightarrow\quad -\cos (x)-\sin (x) = -\cos (2\pi)-\sin (2\pi) \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWwWW}=-1-0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWwWW}=-1<0$

$\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[\dfrac{7\pi}{4}\, ;\, 2\pi],\; -\cos (x)-\sin (x) <0}$

Nous pouvons dresser le tableau de signes de f' et de variations de f .

Calculs préliminaires :

$f(0)=\text e ^{0}\,\cos (0)=1\times1=1\\f(\frac{3\pi}{4})=\text e ^{-\frac{3\pi}{4}}\,\cos (\frac{3\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{4}} \\f(\frac{7\pi}{4})=\text e ^{-\frac{7\pi}{4}}\,\cos (\frac{7\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\frac{7\pi}{4}} \\f(2\pi)=\text e ^{-2\pi}\,\cos (-2\pi)=\text e ^{-2\pi}\times1=\text e ^{-2\pi}$

${\white{wwwww}}$ $\\\\\begin{matrix} \begin{array}{|c|cccccccccc|}\hline &&&&&&&&&&\\ x&0&&&\dfrac{3\pi}{4}&&&\dfrac{7\pi}{4}&&&2\pi\\&&&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&&&\\-\cos(x)-\sin(x)&-&&-&0&+&&0&&-&-\\&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&\\f'(x)&-&&-&0&+&&0&&-&-\\&&&&&&&&&& \\\hline&1&&&&&&\frac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\frac{7\pi}{4}}&&& \\f(x)&&&\searrow&&\nearrow&&&&\searrow&\\&\phantom{x}&&& -\frac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{4}}&&&&&&\text{e}^{-2\pi}\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. a) Démontrons que : $-\text e ^{-x} \le f(x) \le \text e^ {-x}.$

En effet, pour tout $\overset{{\white{.}}}{x\in[0\;,\;2\pi],}$

${\white{wwwww}}$ $\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{-x}>0\phantom{WWW}\\\overset{{\white{.}}}{-1\le \cos(x)\le 1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad -\text{e}^{-x}\le \text{e}^{-x}\cos(x)\le \text{e}^{-x}$

Par conséquent, $\boxed{-\text e ^{-x} \le f(x) \le \text e^ {-x}}\,.$

3. b) Nous devons déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}$ avec les courbes d'équations $\overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}$ et $\overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}.}$

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons les coordonnées des éventuels points d'intersection de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}$ avec la courbe d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}.}$

Les abscisses de ces points d'intersection sont les solutions de l'équation : $f(x)=\text e ^{-x}.$

$f(x)=\text e ^{-x}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{-x}\cos(x)=\text e ^{-x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=\text e ^{-x}}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos(x)=1\quad\text{en divisant les deux membres par }\text{e}^{-x}\neq 0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=\text e ^{-x}}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=2\pi}$

D'où les coordonnées des points d'intersection de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}$ avec la courbe d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}$ sont : $\overset{{\white{.}}}{(0\,;\,1)}$ et $\overset{{\white{.}}}{(2\pi\,;\,\text{e}^{-2\pi})}.$

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons les coordonnées des éventuels points d'intersection de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}$ avec la courbe d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}.}$

Les abscisses de ces points d'intersection sont les solutions de l'équation : $f(x)=-\text e ^{-x}.$

$f(x)=-\text e ^{-x}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{-x}\cos(x)=-\text e ^{-x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{zf(x)=\text e ^{-x}}\quad\Longleftrightarrow\quad \cos(x)=-1\quad\text{en divisant les deux membres par }\text{e}^{-x}\neq 0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{zf(x)=\text e ^{-x}}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\pi}$

D'où les coordonnées du point d'intersection de $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}$ avec la courbe d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}}$ sont : $\overset{{\white{.}}}{(\pi\,;\,-\text{e}^{-\pi})}.$

4. Sur [0 ; 2

], traçons dans le même repère, les courbes d'équations $\overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}$ et $\overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}}$ puis la courbe $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f).}$

La courbe d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}$ est représentée en vert.
La courbe d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}}$ est représentée en bleu.
La courbe $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}$ est représentée en rouge.

5. Calculons l'aire de la partie du plan délimitée par $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}$ et la courbe d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}$ sur [0 ; 2

]. On pourra utiliser la question 1.

Puisque la courbe d'équation $y=\text e ^{-x}$ est située au-dessus de $(\mathcal C_f)$ sur [0 ; 2

], l'aire demandée se calcule par : $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx.$

Or $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx-\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx.$

$_\bullet{\white{x}}$ Calculons $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx.$

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx=\left[\overset{}{-\text{e}^{-x}}\right]_{0}^{2\pi}=(-\text{e}^{-2\pi})-(-\text{e}^{0})=-\text{e}^{-2\pi}+1 \\\\\Longrightarrow \boxed{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx=1-\text{e}^{-2\pi}}$

$_\bullet{\white{x}}$ Calculons $\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx.$

En utilisant la question 1, nous obtenons :

$f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2f(x)=-f''(x)-2f'(x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=-\dfrac{1}{2}f''(x)-f'(x)}$

$\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx=-\dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f''(x)\,dx-\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f'(x)\,dx \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=-\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{f'(x)}\right]_{0}^{2\pi}-\left[\overset{}{f(x)}\right]_{0}^{2\pi} \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=-\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x)}\right]_{0}^{2\pi}-\left[\overset{}{\text e ^{-x}\cos (x)}\right]_{0}^{2\pi}$

${\white{.}}\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-x}\cos (x)}+\text e ^{-x}\sin (x)-2\,\text e ^{-x}\cos (x)\right]_{0}^{2\pi} \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-x}\sin (x)-\text e ^{-x}\cos (x)}\right]_{0}^{2\pi} \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-x}\left(\overset{}{\sin (x)-\cos (x)}\right)}\right]_{0}^{2\pi}$

$\\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-2\pi}\left(\overset{}{\sin (2\pi)-\cos (2\pi)}\right)}-\overset{}{\text e ^{0}\left(\overset{}{\sin (0)-\cos (0)}\right)}\right] \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-2\pi}\left(\overset{}{0-1}\right)}-\overset{}{1\times\left(\overset{}{0-1}\right)}\right] \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left(\overset{}{-\text e ^{-2\pi}}+1\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\,\left(\overset{}{1-\text e ^{-2\pi}}\right)}$

Nous en déduisons que :

$\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx-\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx \\\phantom{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx}=(1-\text{e}^{-2\pi})- \dfrac{1}{2}\,(1-\text e ^{-2\pi})\\\phantom{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,(1-\text e ^{-2\pi}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx=\dfrac{1}{2}\,(1-\text e ^{-2\pi})}$

Or dans le repère, l'unité de longueur mesure 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 8 cm².
$\overset{{\white{.}}}{8\times\dfrac{1}{2}\,(1-\text e ^{-2\pi})=4\,(1-\text e ^{-2\pi}).}$
Par conséquent, l'aire de la partie du plan délimitée par $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}$ et la courbe d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}$ sur [0 ; 2] est égale à $\overset{{\white{.}}}{\boxed{4\,(1-\text e ^{-2\pi})\;\text{cm}^2}\,.}$

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (15 POINTS)

1. Nous devons déterminer en combien d'années le gisement A s'épuisera.

Considérons la suite $(u_n)_{n\in\N^*}$ telle que $\overset{{\white{.}}}{u_n}$ représente, en m³, la quantité de gaz extraite du gisement A au temps t = n .
Nous savons que $\overset{{\white{.}}}{u_1=5,01}$ et que la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³ par rapport à celle de l'année précédente.

Dès lors, avant que le gisement ne soit épuisé, nous obtenons : $u_{n+1}=u_n+0,75.$

La suite $\overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N^*}}$ est une suite arithmétique de raison r = 0,75 dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{u_1=5,01.}$

La quantité totale $\overset{{\white{.}}}{S_n}$ de gaz extraite au bout de n années (avant épuisement du gisement) est la somme de ces n termes.

$S_n = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2} \\\\\Longrightarrow S_n=n\times\dfrac{u_1+u_n}{2}$

$\text{Or }\,u_n=u_1+(n-1)\times r \\\phantom{\text{Or }\,u_n}=5,01+(n-1)\times0,75 \\\phantom{\text{Or }\,u_n}=5,01+0,75n-0,75 \\\phantom{\text{Or }\,u_n}=4,26+0,75n \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_n=4,26+0,75n}$

Nous en déduisons que

$S_n=n\times\dfrac{5,01+4,26+0,75n}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_n}=n\times\dfrac{9,27+0,75n}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_n}=n\times(4,635+0,375n)} \\\\\Longrightarrow\boxed{S_n=0,375n^2+4,635n}$

Donc la quantité totale $\overset{{\white{.}}}{S_n}$ de gaz extraite au bout de n années (avant épuisement du gisement) s'exprime par $0,375n^2+4,635n.$
Nous devons déterminer en combien d'années le gisement A s'épuisera, ce qui revient à déterminer le plus petit nombre naturel n tel que $0,375n^2+4,635n\ge 100$ , soit tel que $0,375n^2+4,635n-100\ge 0$

Résolvons l'inéquation $0,375n^2+4,635n-100\ge 0$

Discriminant :

$\Delta=4,635^2-4\times0,375\times(-100) \\\phantom{\Delta}=21,483225+150 \\\phantom{\Delta}=171,483225>0$

Racines :

$n_1=\dfrac{-4,635-\sqrt{171,483225}}{0,75}\approx-23,64 \\\\n_2=\dfrac{-4,635+\sqrt{171,483225}}{0,75}\approx11,28$

Tableau de signe du trinôme $0,375n^2+4,635n-100$ dans $\R.$ :

$\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline&&&&&&&&&& n&&&\approx-23,64&&0&&\approx11,28&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&& \\ 0,375n^2+4,635n-100&&+&0&-&-&-&0&+& \\ &&&&&&&&& \\ \hline \end{array}$

Nous en déduisons que le plus petit nombre naturel n vérifiant l'inéquation $\overset{{\white{.}}}{0,375n^2+4,635n-100\ge 0}$ est n = 12.

Par conséquent, le gisement A s'épuisera en 12 ans.

2. Si $\overset{{\white{.}}}{q(t)}$ est la quantité totale (en milliards de m³) de gaz extraite du gisement B à la date t , alors le taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement à cette date t est $\overset{{\white{.}}}{q'(t)=\left(\dfrac{1}{2t+1}+0,02t\right)}$ (milliards de m³ par an).

L'ensemble des primitives q de la fonction q' est défini par $q(t)=\dfrac{1}{2}\,\ln(2t+1)+0,02\times\dfrac{t^2}{2}+k\quad(k\in\R)$ ,
soit par $q(t)=\dfrac{1}{2}\,\ln(2t+1)+0,01t^2+k\quad(k\in\R)$

Or nous savons que $q(0)=0.$

$q(0)=0\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{2}\,\ln(1)+0+k=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k=0}$

Donc la quantité totale (en milliards de m³) de gaz extraite du gisement B à la date t est donnée par $q(t)=\dfrac{1}{2}\,\ln(2t+1)+0,01t^2.$

Nous devons calculer le nombre d'années d'extraction qui suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B.
Pour ce faire, déterminons un encadrement de la valeur t vérifiant l'équation $q(t)=100.$

$_\bullet{\white{x}}$ La fonction q est continue sur ]0 ; + infini

[ (somme de deux fonctions continues sur ]0 ; + infini

[)

$_\bullet{\white{x}}$ La fonction q est strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.
En effet,

$\forall\,t\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad\left\lbrace\begin{matrix}2t+1>0\\0,02t>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2t+1}+0,02t>0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\boxed{g'(t)>0} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\boxed{\text{g est strictement croissante sur }]0\,;\,+\infty[}$

$_\bullet{\white{x}}$ $\left\lbrace\begin{matrix}f(98)\approx98,6816<100\\f(99)\approx100,6567>100\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad f(98)<100<f(99)$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $q(t)=100$ admet une seule solution dans l'intervalle [98 ; 99].

Par conséquent, le gisement B sera épuisé à la 99^ième année.

3. Au niveau du gisement C, les taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement (aux dates t ) sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates.
A la date t = 1, ce taux était 5,01 milliards de m³ par an et la quantité totale du gaz extraite du gisement était également de 5,01 milliards de m³.

Donc à tout temps t , $\dfrac{q'(t)}{q(t)}=\dfrac{q'(1)}{q(1)}=\dfrac{5,01}{5,01}=1\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{q'(t)}{q(t)}=1 \quad\Longrightarrow\quad\boxed{q'(t)=q(t)}\,.$

Les solutions de l'équation $q'(t)=q(t)$ sont les fonctions de la forme $q(t)=C\, \text{e}^t$ où C est une constante.

$\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}q(t)=C\, \text{e}^t\\q(1)=5,01\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad C\times\text{e}^1=5,01 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWiWWWw}\quad\Longrightarrow\quad C\times\text{e}=5,01} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWiWWWw}\quad\Longrightarrow\quad C=\dfrac{5,01}{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWiWWWw}\quad\Longrightarrow\quad C=5,01\,\text{e}^{-1}}$

D'où $q(t)=5,01\,\text{e}^{-1}\, \text{e}^t\quad\Longrightarrow\quad\boxed{q(t)=5,01\,\text{e}^{t-1}}$

Le gisement sera vidé au temps t tel que $q(t)=100$ .

$q(t)=100\quad\Longleftrightarrow\quad 5,01\,\text{e}^{t-1}=100 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{q(t)=100}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{t-1}=\dfrac{100}{5,01}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{q(t)=100}\quad\Longleftrightarrow\quad t-1=\ln\left(\dfrac{100}{5,01}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{q(t)=100}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t=1+\ln\left(\dfrac{100}{5,01}\right)\approx3,99}}$

Par conséquent, après l'inauguration, il faudra 4 ans à ce pays pour vider le gisement C de son contenu.

Publié par malou le 18-01-2023

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