Bac Mathématiques 2022 Cameroun série C-E
Durée : 4 heures
Coefficient : 7 - 6
Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes.
Partie A : Évaluation des ressources (15 points)
5 points exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
\cdot)
On considère les points
A, B, F et
G d'affixes respectives :
1. Résoudre dans
C, l'équation
2. Soit
s la similitude directe d'expression complexe
a. Donner les élèments caractéristiques de
s .
b. Quelles sont les images par
s des points
A et
B ?
3. Soit
)
l'ellipse de foyers
A et
B et
d'excentricité
a. Déterminer une équation de l'image
)
de
)
par la similitude
s .
b. Construire
)
puis
)
dans le même repère.
4. Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points
O, A, B, F et
G comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse
)
.

Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de
)
?
5 points exercice 2
Soit
 )
une base d'un espace vectoriel
E .
Soit
f un endomorphisme de
E .
1. Pour
k appartenant à
R , on considère l'ensemble
Ek
des vecteurs

de
E tels que
a. Démontrer que
Ek est un sous-espace vectoriel de
E .
b. On suppose que
f vérifie l'égalité

Démontrer que
2. On suppose ici qu'on a :
a. Démontrer que
b. Donner la matrice
M de
f dans la base
 )
.
c. Démontrer que
d. Déterminer par une de ses bases, le noyau
Ker f de
f .
e. Déterminer l'image
Im f de
f . On précisera une de ses bases.
5 points exercice 3
f est une fonction définie sur [0 ; 2

] par
)
est la courbe de

dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité
et en ordonnée 4 cm pour unité.
1. Démontrer que
2. Etudier les variations de

et dresser son tableau de variations.
3. a. Démontrer qu'on a :
b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de
)
avec les courbes d'équations

et
4. Sur [0 ; 2

], tracer dans le même repère, les courbes d'équations

et

puis la courbe
5. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par
)
et la courbe d'équation

sur [0 ; 2

].
On pourra utiliser la question 1.
Partie B : Évaluation des compétences (15 points)
Situation :
Trois gisements de gaz A, B et C présentant chacun 100 milliards de m³ de quantité, ont été découverts dans un pays. L'inauguration a eu lieu
une certaine année (année 0) prise comme origine des temps
t (en années).
L'exploitation du gaz des gisements A et B avait commencé à la date
t = 0 et celle du gisement C légèrement
avant. Seulement, à la date
t = 1 , la quantité totale du gaz extraite de chacun des gisements A et C
était de 5,01 milliards de m³.

Pour le gisement A et à partir de la 2e année, la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³
par rapport à celle de l'année précédente.

Pour les gisements B et C, les ingénieurs pétrochimistes savent que si
)
est la quantité
totale (en milliards de m³) de gaz extraite de chacun de ces gisements à la date

, alors le taux d'extraction
ou de consommation de gaz du gisement à cette date

est
)
(milliards de m³ par an).

Au niveau du gisement B, ce taux est
)
milliard
de m³ par an.

Au niveau du gisement C, ces taux (aux dates

) sont proportionnels aux
quantités de gaz extraites à ces dates. A la date

ce taux était 5,01 milliards de m³ par an.
Tâches :
1. En combien d'années le gisement A s'épuisera-t-il ?
2. Combien d'années d'extraction suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B ?
3. Après l'inauguration, combien d'années faudra-t-il à ce pays pour vider le gisement C de son contenu ?