Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques 2022 Cameroun série C-E

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Durée : 4 heures

Coefficient : 7 - 6


Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes.

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct  (O\,;\overrightarrow{e_1}\,,\overrightarrow{e_2})\cdot
On considère les points A, B, F  et G  d'affixes respectives :   Z_A=1+\text i\sqrt 3 \;\;;\;\;Z_B=-1-\text i \sqrt 3 \;\;\text{ et } Z_G=-4\,\cdot

1. Résoudre dans C, l'équation  z²+2-2\text i \sqrt 3 = 0 \cdot

2. Soit s  la similitude directe d'expression complexe  z'=(1-\text i \sqrt 3)\,z\,\cdot
\white w a. Donner les élèments caractéristiques de s .
\white w b. Quelles sont les images par s  des points A  et B ?

3. Soit   (\mathcal E) l'ellipse de foyers A  et B  et d'excentricité  e=\frac 1 2 \,\cdot
\white w a. Déterminer une équation de l'image   (\mathcal E') de   (\mathcal E)  par la similitude  s .
\white w b. Construire   (\mathcal E') puis   (\mathcal E)  dans le même repère.

4. Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A, B, F   et G comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse   (\mathcal E').
\white{w} Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de   (\mathcal E') ?

5 points

exercice 2

Soit   (\vec i\,,\vec j\,,\vec k )   une base d'un espace vectoriel E .
Soit   f  un endomorphisme de E .

1. Pour  k  appartenant à  R , on considère l'ensemble  Ek   des vecteurs  \vec u  de  E  tels que   f(\vec u)=k\vec u\,\cdot
\white w a. Démontrer que  Ek   est un sous-espace vectoriel de  E  .
\white w b. On suppose que  f  vérifie l'égalité  f\circ f = 2\,f\,\cdot
\white{ww} Démontrer que  \vec u \in Im f \text{ si et seulement si } \vec u \in E_2\,\cdot

2. On suppose ici qu'on a :

{\white{wwww}}f(\vec i+\vec j)=2\vec i+2\vec j
{\white{wwww}}f(\vec i-\vec j)=2\vec i-2\vec j
{\white{wwww}}f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0\,\cdot

\white w a. Démontrer que  f(\vec i)=2\vec i\;\;, f(\vec j)=2\vec j \;\text{ et } \; f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j \,\cdot
\white w b. Donner la matrice  M  de  f  dans la base   (\vec i\,,\vec j\,,\vec k )  .
\white w c. Démontrer que   f\circ f=2\,f\,\cdot
\white w d. Déterminer par une de ses bases, le noyau  Ker f  de  f .
\white w e. Déterminer l'image  Im f  de  f . On précisera une de ses bases.

5 points

exercice 3

f  est une fonction définie sur [0 ; 2pi] par  f(x)=\text e ^{-x}\,\cos (x)\,\cdot
(\mathcal C_f)   est la courbe de  f  dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.

1. Démontrer que   f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0\,\cdot

2. Etudier les variations de  f  et dresser son tableau de variations.

3. a. Démontrer qu'on a :   -\text e ^{-x} \le f(x) \le \text e^ {-x}\,\cdot
\white w b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de  (\mathcal C_f)  avec les courbes d'équations  y=\text e ^{-x}  et   y=-\text e ^{-x}\,\cdot

4. Sur [0 ; 2pi], tracer dans le même repère, les courbes d'équations  y=\text e ^{-x}  et   y=-\text e ^{-x}  puis la courbe  (\mathcal C_f)\,\cdot

5. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par  (\mathcal C_f)  et la courbe d'équation  y=\text e ^{-x}  sur [0 ; 2pi]. On pourra utiliser la question 1.

Partie B : Évaluation des compétences (15 points)

Situation :

Trois gisements de gaz A, B et C présentant chacun 100 milliards de m³ de quantité, ont été découverts dans un pays. L'inauguration a eu lieu une certaine année (année 0) prise comme origine des temps   t  (en années).
L'exploitation du gaz des gisements A et B avait commencé à la date   t = 0   et celle du gisement C légèrement avant. Seulement, à la date   t = 1   , la quantité totale du gaz extraite de chacun des gisements A et C était de 5,01 milliards de m³.

-  Pour le gisement A et à partir de la 2e année, la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³ par rapport à celle de l'année précédente.
-  Pour les gisements B et C, les ingénieurs pétrochimistes savent que si  q(t)  est la quantité totale (en milliards de m³) de gaz extraite de chacun de ces gisements à la date  t , alors le taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement à cette date  t  est  q'(t)  (milliards de m³ par an).
{\white w}\bullet   Au niveau du gisement B, ce taux est  \left(\dfrac{1}{2t+1}+0,02t\right)  milliard de m³ par an.
{\white w}\bullet   Au niveau du gisement C, ces taux (aux dates  t )   sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates. A la date  t=1  ce taux était 5,01 milliards de m³ par an.

Tâches :

1. En combien d'années le gisement A s'épuisera-t-il ?
2. Combien d'années d'extraction suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B ?
3. Après l'inauguration, combien d'années faudra-t-il à ce pays pour vider le gisement C de son contenu ?
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