Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques 2022 Cameroun série C-E

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Durée : 4 heures

Coefficient : 7 - 6


Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes.

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct  (O\,;\overrightarrow{e_1}\,,\overrightarrow{e_2})\cdot
On considère les points A, B, F  et G  d'affixes respectives :   \overset{{\white{.}}}{Z_A=1+\text i\sqrt 3 \;\;;\;\;Z_B=-1-\text i \sqrt 3\;\;;\;\;Z_F=4 \;\;\text{ et }\; Z_G=-4.}

1. Résoudre dans C, l'équation  z²+2-2\text i \sqrt 3 = 0 \cdot

2. Soit s  la similitude directe d'expression complexe  z'=(1-\text i \sqrt 3)\,z\,\cdot
\white w a. Donner les éléments caractéristiques de s .
\white w b. Quelles sont les images par s  des points A  et B ?

3. Soit   (\mathcal E) l'ellipse de foyers A  et B  et d'excentricité  e=\frac 1 2 \,\cdot
\white w a. Déterminer une équation de l'image   (\mathcal E') de   (\mathcal E)  par la similitude  s .
\white w b. Construire   (\mathcal E') puis   (\mathcal E)  dans le même repère.

4. Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A, B, F   et G comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse   (\mathcal E').
\white{w} Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de   (\mathcal E') ?

5 points

exercice 2

Soit   (\vec i\,,\vec j\,,\vec k )   une base d'un espace vectoriel E .
Soit   f  un endomorphisme de E .

1. Pour  k  appartenant à  R , on considère l'ensemble  Ek   des vecteurs  \vec u  de  E  tels que   f(\vec u)=k\vec u\,\cdot
\white w a. Démontrer que  Ek   est un sous-espace vectoriel de  E  .
\white w b. On suppose que  f  vérifie l'égalité  f\circ f = 2\,f\,\cdot
\white{ww} Démontrer que  \vec u \in Im f \text{ si et seulement si } \vec u \in E_2\,\cdot

2. On suppose ici qu'on a :

{\white{wwww}}f(\vec i+\vec j)=2\vec i+2\vec j
{\white{wwww}}f(\vec i-\vec j)=2\vec i-2\vec j
{\white{wwww}}f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0\,\cdot

\white w a. Démontrer que  f(\vec i)=2\vec i\;\;, f(\vec j)=2\vec j \;\text{ et } \; f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j \,\cdot
\white w b. Donner la matrice  M  de  f  dans la base   (\vec i\,,\vec j\,,\vec k )  .
\white w c. Démontrer que   f\circ f=2\,f\,\cdot
\white w d. Déterminer par une de ses bases, le noyau  Ker f  de  f .
\white w e. Déterminer l'image  Im f  de  f . On précisera une de ses bases.

5 points

exercice 3

f  est une fonction définie sur [0 ; 2pi] par  f(x)=\text e ^{-x}\,\cos (x)\,\cdot
(\mathcal C_f)   est la courbe de  f  dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.

1. Démontrer que   f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0\,\cdot

2. Etudier les variations de  f  et dresser son tableau de variations.

3. a. Démontrer qu'on a :   -\text e ^{-x} \le f(x) \le \text e^ {-x}\,\cdot
\white w b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de  (\mathcal C_f)  avec les courbes d'équations  y=\text e ^{-x}  et   y=-\text e ^{-x}\,\cdot

4. Sur [0 ; 2pi], tracer dans le même repère, les courbes d'équations  y=\text e ^{-x}  et   y=-\text e ^{-x}  puis la courbe  (\mathcal C_f)\,\cdot

5. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par  (\mathcal C_f)  et la courbe d'équation  y=\text e ^{-x}  sur [0 ; 2pi]. On pourra utiliser la question 1.

Partie B : Évaluation des compétences (15 points)

Situation :

Trois gisements de gaz A, B et C présentant chacun 100 milliards de m³ de quantité, ont été découverts dans un pays. L'inauguration a eu lieu une certaine année (année 0) prise comme origine des temps   t  (en années).
L'exploitation du gaz des gisements A et B avait commencé à la date   t = 0   et celle du gisement C légèrement avant. Seulement, à la date   t = 1   , la quantité totale du gaz extraite de chacun des gisements A et C était de 5,01 milliards de m³.

-  Pour le gisement A et à partir de la 2e année, la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³ par rapport à celle de l'année précédente.
-  Pour les gisements B et C, les ingénieurs pétrochimistes savent que si  q(t)  est la quantité totale (en milliards de m³) de gaz extraite de chacun de ces gisements à la date  t , alors le taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement à cette date  t  est  q'(t)  (milliards de m³ par an).
{\white w}\bullet   Au niveau du gisement B, ce taux est  \left(\dfrac{1}{2t+1}+0,02t\right)  milliard de m³ par an.
{\white w}\bullet   Au niveau du gisement C, ces taux (aux dates  t )   sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates. A la date  t=1  ce taux était 5,01 milliards de m³ par an.

Tâches :

1. En combien d'années le gisement A s'épuisera-t-il ?
2. Combien d'années d'extraction suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B ?
3. Après l'inauguration, combien d'années faudra-t-il à ce pays pour vider le gisement C de son contenu ?





Bac Cameroun 2022 série C-E

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PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (15 POINTS)

5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct  (O\,;\overrightarrow{e_1}\,,\overrightarrow{e_2}).
On considère les points A, B, F et G d'affixes respectives :  \overset{{\white{.}}}{Z_A=1+\text i\sqrt 3 \;\;;\;\;Z_B=-1-\text i \sqrt 3\;\;;\;\;Z_F=4 \;\;\text{ et }\; Z_G=-4.}

1.  Résoudre dans  \C , l'équation  z²+2-2\text i\sqrt 3 = 0.

z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0\quad\Longleftrightarrow\quad z²=-2+2\text{i}\sqrt {3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad z²=1+2\text{i}\sqrt {3}-3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad z²=1+2\text{i}\sqrt {3}+\left(\text{i}\sqrt {3}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad z²=\left(1+\text{i}\sqrt {3}\right)^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{z²+2-2\text{i}\sqrt {3} = 0}\quad\Longleftrightarrow\quad z=1+\text{i}\sqrt {3}\quad\text {ou}\quad z=-(1+\text{i}\sqrt {3})}

Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation  z²+2-2\text i\sqrt 3 = 0  est  \boxed{S=\lbrace1+\text{i}\sqrt {3}\,;\,-1-\text{i}\sqrt {3}\rbrace}\,.

2.  Soit s  la similitude directe d'expression complexe  z'=(1-\text i \sqrt 3)\,z\,.
2. a)  Nous devons donner les éléments caractéristiques de s .

Si s  est une similitude directe d'expression complexe  z'=az+b  avec  \overset{{\white{.}}}{a\in\C^*\setminus\lbrace1\rbrace}  et  \overset{{\white{.}}}{b\in\C} , alors s  est la similitude directe de centre d'affixe  \dfrac{b}{1-a} , de rapport  \overset{{\white{.}}}{|a|}  et d'angle  \overset{{\white{.}}}{\arg(a).}

_\bullet{\white{x}}Puisque s  est la similitude directe d'expression complexe  z'=(1-\text i \sqrt 3)\,z+0 , le centre de s  est O .

_\bullet{\white{x}}Déterminons le rapport de s .

{\white{xxx}}\left|\,1-\text i \sqrt 3\,\right|=\sqrt{1^2+(\sqrt 3)^2}=\sqrt{1+3}=2.
D'où le rapport de s  est égal à 2.

_\bullet{\white{x}}Déterminons l'angle  \theta  de s .

{\white{xxx}}\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{1}{2}\\\\\sin\theta=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \theta=-\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]
D'où l'angle de s  est égal à  -\dfrac{\pi}{3}.

Par conséquent, s  est la similitude directe de centre O , de rapport 2 et d'angle  \overset{{\white{.}}}{-\dfrac{\pi}{3}.}

2. b)  Nous devons déterminer les images par s  des points A  et B.

Soit  \overset{{\white{.}}}{A'=s(A)}  et notons  \overset{{\white{.}}}{Z_{A'}}  l'affixe de A' .

{\white{xxx}}Z_{A'}=(1-\text i \sqrt 3)\,Z_A \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=(1-\text i \sqrt 3)(1+\text i\sqrt 3)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=1+3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=Z_F} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{s(A)=F}

Soit  \overset{{\white{.}}}{B'=s(B)}  et notons  \overset{{\white{.}}}{Z_{B'}}  l'affixe de B' .

{\white{xxx}}Z_{B'}=(1-\text i \sqrt 3)\,Z_B \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=(1-\text i \sqrt 3)(-1-\text i \sqrt 3)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=-(1-\text i \sqrt 3)(1+\text i \sqrt 3)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=-(1+3)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=-4} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{Z_{A'}}=Z_G} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{s(B)=G}

3.  Soit  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}  l'ellipse de foyers A  et B  et d'excentricité  e=\dfrac 1 2 \,.

3. a)  Nous devons déterminer une équation de l'image  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}  de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}  par la similitude s .

Le milieu du segment [AB ] est le point O  car  \dfrac{Z_A+Z_B}{2}=\dfrac{1+\text i\sqrt 3-1-\text i\sqrt 3}{2}=0.
Dès lors, le centre de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}  est O .
Puisque s  est une similitude directe de centre O , le centre de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}  est également le point O .

D'où une équation de l'ellipse  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}  est de la forme  \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1.

\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}c=OF=4\\e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}c=4\\\dfrac{4}{a}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{{\blue{a=8}}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{{\red{a^2=64}}} \\\\c^2=a^2-b^2\quad\Longrightarrow\quad16=64-b^2\quad\Longrightarrow\quad \boxed{{\red{b^2=48}}} \quad\Longrightarrow\quad \boxed{{\blue{b=\sqrt{48}=4\sqrt{3}}}}

Par conséquent, une équation de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}  est :  \boxed{\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{48}=1}\,.

3. b)  Construisons  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}  puis  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}  dans le même repère.

Après avoir construit  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')} , la construction de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}  s'effectue aisément en sachant que  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E)}  est l'image de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}  par la similitude s -1 dont le centre est O , le rapport est  \dfrac{1}{2}  et l'angle est  \dfrac{\pi}{3}.

Bac Cameroun 2022 série C-E : image 1


4.  Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A, B, F  et G  comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E').} 
\white{w} Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')} ?

Parmi les cinq points O, A, B, F  et G, l'axe focal de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}  comprend les trois points O, F  et G .

Il y a  \overset{{\white{.}}}{A_3^2=3\times2=6}  façons différentes de choisir successivement deux points parmi les trois points de l'axe focal.
Il y a  \overset{{\white{.}}}{A_5^2=5\times4=20}  façons différentes de choisir successivement deux points parmi les cinq points O, A, B, F  et G .
Les choix de chaque point sont équiprobables.
Donc la probabilité que Aicha ait choisi deux points de l'axe focal de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal E')}  est égale à  \dfrac{6}{20}} , soit à  \boxed{\dfrac{3}{10}}\,.

5 points

exercice 2

Soit  (\vec i\,,\vec j\,,\vec k )  une base d'un espace vectoriel E .
Soit f  un endomorphisme de E .

1.  Pour k  appartenant à  \R , on considère l'ensemble Ek  des vecteurs  \vec u  de E  tels que  \overset{{\white{.}}}{f(\vec u)=k\vec u.}

1. a)  Démontrons que Ek  est un sous-espace vectoriel de E .

Pour démontrer que Ek  est un sous-espace vectoriel de E , nous vérifierons que  \vec 0\in E_k  et que,
pour tout couple  (\vec u,\vec v)\in E_k^2  et tout  \lambda\in \R , nous avons :  \left\lbrace\begin{matrix}\vec u + \vec v\in E_k\\\lambda \vec u\in E_k\phantom{ww}\end{matrix}\right.

_\bullet{\white{x}}Puisque f  est un endomorphisme de E , nous savons que  f(\vec 0)=\vec 0.
Or  \vec 0=k\,\vec 0.
D'où  \overset{{\white{.}}}{f(\vec 0)=k\vec 0.}
Par conséquent,  \boxed{\vec 0\in E_k}\,. 

_\bullet{\white{x}}Pour tout couple  (\vec u,\vec v)\in E_k^2 ,

f(\vec u+\vec v)=f(\vec u)+f(\vec v)\quad\text{car }f\text{ est une fonction linéaire} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u+\vec v)}=k\vec u+k\vec v\quad\text{par définition de }f} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u+\vec v)}=k(\vec u+\vec v)} \\\Longrightarrow\quad f(\vec u+\vec v)=k(\vec u+\vec v)
Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\vec u+\vec v\in E_k}\,.} 

_\bullet{\white{x}}Pour tout vecteur  \vec u\in E_k  et tout  \lambda\in \R ,

f(\lambda\vec u)=\lambda f(\vec u)\quad\text{car }f\text{est une fonction linéaire} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\lambda\vec u)}=\lambda (k\vec u)\quad\text{par définition de }f} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\lambda\vec u)}=k (\lambda\vec u)} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f(\lambda\vec u)=k (\lambda\vec u)}
Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lambda\vec u\in E_k}\,.} 

Nous en déduisons que Ek  est un sous-espace vectoriel de E .

1. b)  On suppose que f  vérifie l'égalité  \overset{{\white{.}}}{f\circ f = 2\,f.}
Démontrons que  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in  \text{Im} f}  si et seulement si  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2.}

_\bullet{\white{x}}Démontrons d'abord que si  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2,}  alors  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in  \text{Im} f.} 

\vec u \in E_2\quad\Longrightarrow\quad f(\vec u)=2\vec u \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u \in E_2}\quad\Longrightarrow\quad \vec u=\frac{1}{2}\,f(\vec u)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u \in E_2}\quad\Longrightarrow\quad \vec u=f(\frac{1}{2}\,\vec u)\quad\text{car }f\text{est une fonction linéaire}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u \in E_2}\quad\Longrightarrow\quad \vec u\in \text{Im} f}

D'où si  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2,}  alors  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in  \text{Im} f.} 

_\bullet{\white{x}}Démontrons ensuite que si  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in  \text{Im} f.} alors  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2.}  

\vec u\in \text{Im} f\quad\Longrightarrow\quad\exists\vec v\in E:\vec u=f(\vec v)

Nous en déduisons que :

{\white{xxx}} f(\vec u)=f(f(\vec v)) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u)}=(f\circ f)(\vec v)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u)}=(2f)(\vec v)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec u)}=2f(\vec v)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(\vec u)}=2\vec u} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\vec u\in E_2}

D'où si  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in  \text{Im} f,}  alors \overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2.}

Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\vec u \in  \text{Im} f} si et seulement si \overset{{\white{.}}}{\vec u \in E_2.}

2.  On suppose ici qu'on a :

{\white{wwww}}f(\vec i+\vec j)=2\vec i+2\vec j\quad(1) \\\overset{{\phantom{.}}}{f(\vec i-\vec j)=2\vec i-2\vec j\quad(2)} \\\overset{{\phantom{.}}}{f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0\quad\;\;\,(3)}

2. a)  Nous devons démontrer que  f(\vec i)=2\vec i\quad,\quad f(\vec j)=2\vec j{\white{xx}} et {\white{xx}} f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j.

_\bullet{\white{x}}Additionnons membre à membre les égalités (1) et (2).

f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)=2\vec i+2\vec j+2\vec i-2\vec j \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)}=4\vec i} \\\\\text{Or }\,f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)=f(\vec i)+f(\vec j)+f(\vec i)-f(\vec j) \\\phantom{f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)=4\vec i}\quad\text{car }f\text{est une fonction linéaire} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)}=2\,f(\vec i)}

D'où  2\,f(\vec i)=4\vec i.
Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{f(\vec i)=2\vec i}}

_\bullet{\white{x}}Soustrayons membre à membre les égalités (1) et (2).

f(\vec i+\vec j)-f(\vec i-\vec j)=2\vec i+2\vec j-2\vec i+2\vec j \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec i-\vec j)+f(\vec i-\vec j)}=4\vec j} \\\\\text{Or }\,f(\vec i+\vec j)-f(\vec i-\vec j)=f(\vec i)+f(\vec j)-f(\vec i)+f(\vec j) \\\phantom{f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)=4\vec i}\quad\text{car }f\text{est une fonction linéaire} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,f(\vec i+\vec j)+f(\vec i-\vec j)}=2\,f(\vec j)}

D'où  2\,f(\vec j)=4\vec j.
Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{f(\vec j)=2\vec j}}

_\bullet{\white{x}}En utilisant la relation (3), nous obtenons :

f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0\quad\Longrightarrow\quad f(\vec i) -f(\vec j) +f(\vec k)=\vec 0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0}\quad\Longrightarrow\quad 2\,\vec i -2\,\vec j +f(\vec k)=\vec 0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0}\quad\Longrightarrow\quad  \boxed{f(\vec k)=-2\,\vec i +2\,\vec j}}

_\bullet{\white{x}}Par conséquent, \boxed{f(\vec i)=2\vec i\quad,\quad f(\vec j)=2\vec j\quad,\quad f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j}\,.

2. b)  Nous devons donner la matrice M  de f  dans la base  (\vec i\,,\vec j\,,\vec k ).

Nous savons par la question 2. a) que :  \left\lbrace\begin{matrix}f(\vec i)={\red{2}}\vec i+{\red{0}}\vec j +{\red{0}}\vec k\phantom{w}\\f(\vec j)={\blue{0}}\vec i+{\blue{2}}\vec j +{\blue{0}}\vec k\phantom{w}\\f(\vec k)=-2\vec i+2\vec j +0\vec k\end{matrix}\right.

Donc la matrice de la transformation linéaire f  est  \boxed{M=\begin{pmatrix}{\red{2}}&{\blue{0}}&-2\\ {\red{0}}&{\blue{2}}&2\\ {\red{0}}&{\blue{0}}&0\end{pmatrix}}

2. c)  Démontrer que  \overset{{\white{.}}}{f\circ f=2\,f}  revient à démontrer que  M\times M=2M.

M\times M=\begin{pmatrix}{\red{2}}&{\blue{0}}&-2\\ {\red{0}}&{\blue{2}}&2\\ {\red{0}}&{\blue{0}}&0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}{\red{2}}&{\blue{0}}&-2\\ {\red{0}}&{\blue{2}}&2\\ {\red{0}}&{\blue{0}}&0\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\times M}=\begin{pmatrix}2\times2+0\times0-2\times0&2\times0+0\times2-2\times0&2\times(-2)+0\times2-2\times0\\0\times2+2\times0+2\times0&0\times0+2\times2+2\times0&0\times(-2)+2\times2+2\times0\\0\times2+0\times0+0\times0&0\times0+0\times2+0\times0&0\times(-2)+0\times2+0\times0\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\times M}=\begin{pmatrix}4&0&-4\\0&4&4\\0&0&0\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\times M}=2\begin{pmatrix}2&0&-2\\0&2&2\\0&0&0\end{pmatrix}}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\times M}=2M} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{M\times M=2M}

D'où  \overset{{\white{.}}}{\boxed{f\circ f=2\,f}\,.}

2. d)  Nous devons déterminer par une de ses bases, le noyau Ker(f ) de f .

Soit un vecteur  \vec u\,(x\,;\,y\,;\,z) \in E.
Alors,

\vec u\in \text{Ker}(f)\quad\Longrightarrow\quad f(\vec u)=\vec 0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u\in Ker\,f}\quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}2&0&-2\\ 0&2&2\\ 0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u\in Ker\,f}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2x-2z=0\\2y+2z=0\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\vec u\in Ker\,f}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2x=2z\\2y=-2z\end{matrix}\right.} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\vec u\in Ker\,f}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=z\\y=-z\end{matrix}\right.}

Il s'ensuit que les coordonnées du vecteur  \vec u  sont  (z\;,\;-z\,;\,z). 
Autrement dit,  \vec u=z\vec i-z\vec j+z\vec k , soit  \boxed{\vec u=z\,(\vec i-\vec j+\vec k)}\,.
Par conséquent, Ker(f ) est la droite vectorielle dont une base est  (\vec i-\vec j+\vec k).

2. e)  Nous devons déterminer l'image Im(f ) de f .

_\bullet{\white{x}}Par le théorème du rang, nous savons que : dim(E) = dim(Im(f )) + dim(Ker(f )).
Or dim(E) = 3 et dim(Ker(f )) = 1.
Donc : dim(Im(f )) = 2.

_\bullet{\white{x}}(\vec i\,,\vec j\,,\vec k )  une base de l'espace vectoriel E .
Donc  f(\vec i)\,,f(\vec j)\,,f(\vec k)  est une famille génératrice de Im(f ).
Mais nous savons que  \left\lbrace\begin{matrix}f(\vec i)=2\vec i\phantom{WWWWWWWWW}\\f(\vec j)=2\vec j\phantom{WWWWWWwWW}\\f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j=-f(\vec i)+f(\vec j)\end{matrix}\right.

Dès lors,  f(\vec i)\,,f(\vec j)  est une famille génératrice de Im(f ).
Autrement dit,  2\vec i\,,2\vec j  est une famille génératrice de Im(f ),
soit  \vec i\,,\vec j  est une famille génératrice de Im(f ).

_\bullet{\white{x}}Par conséquent, Im(f ) est le plan vectoriel dont une base est  (\vec i\,,\vec j).

5 points

exercice 3

f  est une fonction définie sur [0 ; 2pi] par  f(x)=\text e ^{-x}\,\cos (x).
(\mathcal C_f)  est la courbe de f  dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.

1.  Démontrons que  \overset{{\white{.}}}{f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0.}

\bullet {\white{x}}\boxed{f(x)=\text e ^{-x}\,\cos (x)} \\\\\bullet {\white{x}}f'(x)=(\text e ^{-x})'\times \cos (x)+\text e ^{-x}\times (\cos (x))' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwi}=-\text e ^{-x}\times \cos (x)+\text e ^{-x}\times (-\sin (x))} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwwi}=-\text e ^{-x}\times \cos (x)-\text e ^{-x}\times \sin (x)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x)}}

\\\\\bullet {\white{x}}f''(x)=-\left(\overset{}{\text e ^{-x}\cos (x)}\right)'-\left(\overset{}{\text e ^{-x}\sin (x)}\right)' \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\left(\overset{}{\text e ^{-x}\cos (x)}\right)'=-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x)\quad\quad\text{(voir ci-dessus)}\\\\\left(\overset{}{\text e ^{-x}\sin (x)}\right)'=(\text e ^{-x})'\times \sin (x)+\text e ^{-x}\times (\sin (x))'\phantom{WWWWW} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwi}=-\text e ^{-x}\times \sin (x)+\text e ^{-x}\times\cos(x)\phantom{WWWW}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwi}=-\text e ^{-x} \sin (x)+\text e ^{-x}\cos(x)\phantom{WWWW}}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\,f''(x)=-\left(\overset{}{-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x)}\right)-\left(\overset{}{-\text e ^{-x}\sin (x)+\text e ^{-x}\cos (x)}\right)
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=\text e ^{-x}\cos (x)+\text e ^{-x}\sin (x)+\text e ^{-x}\sin (x)-\text e ^{-x}\cos (x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}=2\text e ^{-x}\sin (x)} \\\Longrightarrow\quad\boxed{f''(x)=2\,\text e ^{-x}\sin (x)}

Nous en déduisons que :

\overset{{\white{.}}}{f''(x)+2f'(x)+2f(x)=2\,\text e ^{-x}\sin (x)+2(-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x))+2\,\text e ^{-x}\,\cos (x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)+2f(x)}=2\,\text e ^{-x}\sin (x)-2\text e ^{-x}\cos (x)-2\text e ^{-x}\sin (x)+2\,\text e ^{-x}\,\cos (x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)+2f(x)}=0}

Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0}\,.}

2.  Nous devons étudier les variations de f  et dresser son tableau de variations.

f'(x)=-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\text e ^{-x}\left(\overset{}{-\cos (x)-\sin (x)}\right)}

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur  \R , le signe de f'(x) est le signe de  \left(\overset{{\white{.}}}{-\cos (x)-\sin (x)}\right)

Résolvons l'équation  \overset{{\white{.}}}{-\cos (x)-\sin (x)=0}  dans l'intervalle [0 ; 2pi].

 -\cos (x)-\sin (x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin(x)=-\cos(x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{-\cos (x)-\sin (x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \tan(x)=-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{-\cos (x)-\sin (x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}{4}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{7\pi}{4}}

D'où, pour tout x  dans [0 ; 2pi],   \overset{{\white{.}}}{-\cos (x)-\sin (x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}{4}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{7\pi}{4}}.

La fonction  \overset{{\white{.}}}{x\mapsto-\cos (x)-\sin (x)} étant continue sur [0 ; 2pi], le signe de   -\cos (x)-\sin (x)  ne change pas pour x  appartenant à  [0\, ;\,\dfrac{3\pi}{4}].
Il en est de même pour x  appartenant aux intervalles  [\dfrac{3\pi}{4}\, ;\, \dfrac{7\pi}{4}]  et  [\dfrac{7\pi}{4}\, ;\, 2\pi].

Dès lors,

x=0\in[0\, ;\,\dfrac{3\pi}{4}]\quad\Longrightarrow\quad  -\cos (x)-\sin (x) = -\cos (0)-\sin (0)  \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}=-1-0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWW}=-1<0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[0\, ;\,\dfrac{3\pi}{4}],\; -\cos (x)-\sin (x) <0}

x=\pi\in[\dfrac{3\pi}{4}\, ;\, \dfrac{7\pi}{4}]\quad\Longrightarrow\quad  -\cos (x)-\sin (x) = -\cos (\pi)-\sin (\pi)  \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWwWW}=-(-1)-0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWwWW}=1>0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[\dfrac{3\pi}{4}\, ;\, \dfrac{7\pi}{4}],\; -\cos (x)-\sin (x) >0}

x=2\pi\in[\dfrac{7\pi}{4}\, ;\, 2\pi]\quad\Longrightarrow\quad  -\cos (x)-\sin (x) = -\cos (2\pi)-\sin (2\pi)  \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWwWW}=-1-0 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWwWW}=-1<0

\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in[\dfrac{7\pi}{4}\, ;\, 2\pi],\; -\cos (x)-\sin (x) <0}

Nous pouvons dresser le tableau de signes de f'  et de variations de f .

Calculs préliminaires :

f(0)=\text e ^{0}\,\cos (0)=1\times1=1\\f(\frac{3\pi}{4})=\text e ^{-\frac{3\pi}{4}}\,\cos (\frac{3\pi}{4})=-\frac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{4}} \\f(\frac{7\pi}{4})=\text e ^{-\frac{7\pi}{4}}\,\cos (\frac{7\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\frac{7\pi}{4}} \\f(2\pi)=\text e ^{-2\pi}\,\cos (-2\pi)=\text e ^{-2\pi}\times1=\text e ^{-2\pi}

{\white{wwwww}}\\\\\begin{matrix} \begin{array}{|c|cccccccccc|}\hline &&&&&&&&&&\\ x&0&&&\dfrac{3\pi}{4}&&&\dfrac{7\pi}{4}&&&2\pi\\&&&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&&&\\-\cos(x)-\sin(x)&-&&-&0&+&&0&&-&-\\&&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&&\\f'(x)&-&&-&0&+&&0&&-&-\\&&&&&&&&&&  \\\hline&1&&&&&&\frac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\frac{7\pi}{4}}&&& \\f(x)&&&\searrow&&\nearrow&&&&\searrow&\\&\phantom{x}&&& -\frac{\sqrt{2}}{2}\text{e}^{-\frac{3\pi}{4}}&&&&&&\text{e}^{-2\pi}\\ \hline \end{array}\end{matrix}

3. a)  Démontrons que :   -\text e ^{-x} \le f(x) \le \text e^ {-x}.

En effet, pour tout  \overset{{\white{.}}}{x\in[0\;,\;2\pi],}

{\white{wwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}\text{e}^{-x}>0\phantom{WWW}\\\overset{{\white{.}}}{-1\le \cos(x)\le 1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad -\text{e}^{-x}\le \text{e}^{-x}\cos(x)\le \text{e}^{-x}

Par conséquent,   \boxed{-\text e ^{-x} \le f(x) \le \text e^ {-x}}\,.

3. b)  Nous devons déterminer les coordonnées des points d'intersection de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}  avec les courbes d'équations  \overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}  et  \overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}.}

_\bullet{\white{x}}Déterminons les coordonnées des éventuels points d'intersection de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}  avec la courbe d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}.}

Les abscisses de ces points d'intersection sont les solutions de l'équation :  f(x)=\text e ^{-x}.

f(x)=\text e ^{-x}\quad\Longleftrightarrow\quad  \text{e}^{-x}\cos(x)=\text e ^{-x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=\text e ^{-x}}\quad\Longleftrightarrow\quad  \cos(x)=1\quad\text{en divisant les deux membres par }\text{e}^{-x}\neq 0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=\text e ^{-x}}\quad\Longleftrightarrow\quad  x=0\quad\text{ou}\quad x=2\pi}

D'où les coordonnées des points d'intersection de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}  avec la courbe d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}  sont :  \overset{{\white{.}}}{(0\,;\,1)}  et  \overset{{\white{.}}}{(2\pi\,;\,\text{e}^{-2\pi})}.

_\bullet{\white{x}}Déterminons les coordonnées des éventuels points d'intersection de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}  avec la courbe d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}.}

Les abscisses de ces points d'intersection sont les solutions de l'équation :  f(x)=-\text e ^{-x}.

f(x)=-\text e ^{-x}\quad\Longleftrightarrow\quad  \text{e}^{-x}\cos(x)=-\text e ^{-x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{zf(x)=\text e ^{-x}}\quad\Longleftrightarrow\quad  \cos(x)=-1\quad\text{en divisant les deux membres par }\text{e}^{-x}\neq 0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{zf(x)=\text e ^{-x}}\quad\Longleftrightarrow\quad  x=\pi}

D'où les coordonnées du point d'intersection de  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}  avec la courbe d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}}  sont :  \overset{{\white{.}}}{(\pi\,;\,-\text{e}^{-\pi})}.

4.  Sur [0 ; 2pi], traçons dans le même repère, les courbes d'équations  \overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}  et  \overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}}  puis la courbe  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f).}

La courbe d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}  est représentée en vert.
La courbe d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=-\text e ^{-x}}  est représentée en bleu.
La courbe  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}  est représentée en rouge.

Bac Cameroun 2022 série C-E : image 3


5.  Calculons l'aire de la partie du plan délimitée par  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}  et la courbe d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}  sur [0 ; 2pi]. On pourra utiliser la question 1.

Puisque la courbe d'équation  y=\text e ^{-x}  est située au-dessus de  (\mathcal C_f)  sur [0 ; 2pi], l'aire demandée se calcule par :  \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx.

Or  \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx-\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx.

_\bullet{\white{x}}Calculons  \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx.

\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx=\left[\overset{}{-\text{e}^{-x}}\right]_{0}^{2\pi}=(-\text{e}^{-2\pi})-(-\text{e}^{0})=-\text{e}^{-2\pi}+1 \\\\\Longrightarrow \boxed{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx=1-\text{e}^{-2\pi}}

_\bullet{\white{x}}Calculons  \displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx.

En utilisant la question 1, nous obtenons :

f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad 2f(x)=-f''(x)-2f'(x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)=-\dfrac{1}{2}f''(x)-f'(x)}

\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx=-\dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f''(x)\,dx-\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f'(x)\,dx \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=-\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{f'(x)}\right]_{0}^{2\pi}-\left[\overset{}{f(x)}\right]_{0}^{2\pi} \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=-\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{-\text e ^{-x}\cos (x)-\text e ^{-x}\sin (x)}\right]_{0}^{2\pi}-\left[\overset{}{\text e ^{-x}\cos (x)}\right]_{0}^{2\pi}

{\white{.}}\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-x}\cos (x)}+\text e ^{-x}\sin (x)-2\,\text e ^{-x}\cos (x)\right]_{0}^{2\pi} \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-x}\sin (x)-\text e ^{-x}\cos (x)}\right]_{0}^{2\pi} \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-x}\left(\overset{}{\sin (x)-\cos (x)}\right)}\right]_{0}^{2\pi}

\\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-2\pi}\left(\overset{}{\sin (2\pi)-\cos (2\pi)}\right)}-\overset{}{\text e ^{0}\left(\overset{}{\sin (0)-\cos (0)}\right)}\right] \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left[\overset{}{\text e ^{-2\pi}\left(\overset{}{0-1}\right)}-\overset{}{1\times\left(\overset{}{0-1}\right)}\right] \\\phantom{\text{D'où }\,\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,\left(\overset{}{-\text e ^{-2\pi}}+1\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\,\left(\overset{}{1-\text e ^{-2\pi}}\right)}

Nous en déduisons que :

\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx=\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \text{e}^{-x}\,dx-\displaystyle \int_{0}^{2\pi} f(x)\,dx \\\phantom{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx}=(1-\text{e}^{-2\pi})- \dfrac{1}{2}\,(1-\text e ^{-2\pi})\\\phantom{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx}=\dfrac{1}{2}\,(1-\text e ^{-2\pi}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left(\overset{}{\text{e}^{-x}-f(x)}\right)\,dx=\dfrac{1}{2}\,(1-\text e ^{-2\pi})}

Or dans le repère, l'unité de longueur mesure 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 8 cm2.
\overset{{\white{.}}}{8\times\dfrac{1}{2}\,(1-\text e ^{-2\pi})=4\,(1-\text e ^{-2\pi}).}
Par conséquent, l'aire de la partie du plan délimitée par  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C_f)}  et la courbe d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=\text e ^{-x}}  sur [0 ; 2pi] est égale à \overset{{\white{.}}}{\boxed{4\,(1-\text e ^{-2\pi})\;\text{cm}^2}\,.}

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (15 POINTS)

1.  Nous devons déterminer en combien d'années le gisement A s'épuisera.

Considérons la suite  (u_n)_{n\in\N^*}  telle que  \overset{{\white{.}}}{u_n}  représente, en m3, la quantité de gaz extraite du gisement A au temps t  = n .
Nous savons que  \overset{{\white{.}}}{u_1=5,01}  et que la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m3 par rapport à celle de l'année précédente.

Dès lors, avant que le gisement ne soit épuisé, nous obtenons :  u_{n+1}=u_n+0,75.

La suite  \overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N^*}}   est une suite arithmétique de raison r  = 0,75 dont le premier terme est  \overset{{\white{.}}}{u_1=5,01.} 

La quantité totale  \overset{{\white{.}}}{S_n}  de gaz extraite au bout de n années (avant épuisement du gisement) est la somme de ces n termes.

S_n = \text{nombre de termes} \times \dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2} \\\\\Longrightarrow S_n=n\times\dfrac{u_1+u_n}{2}

\text{Or }\,u_n=u_1+(n-1)\times r \\\phantom{\text{Or }\,u_n}=5,01+(n-1)\times0,75 \\\phantom{\text{Or }\,u_n}=5,01+0,75n-0,75 \\\phantom{\text{Or }\,u_n}=4,26+0,75n \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{u_n=4,26+0,75n}

Nous en déduisons que

S_n=n\times\dfrac{5,01+4,26+0,75n}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_n}=n\times\dfrac{9,27+0,75n}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_n}=n\times(4,635+0,375n)} \\\\\Longrightarrow\boxed{S_n=0,375n^2+4,635n}

Donc la quantité totale  \overset{{\white{.}}}{S_n}  de gaz extraite au bout de n années (avant épuisement du gisement) s'exprime par  0,375n^2+4,635n. 
Nous devons déterminer en combien d'années le gisement A s'épuisera, ce qui revient à déterminer le plus petit nombre naturel n  tel que  0,375n^2+4,635n\ge 100 , soit tel que  0,375n^2+4,635n-100\ge 0

Résolvons l'inéquation  0,375n^2+4,635n-100\ge 0

Discriminant :

\Delta=4,635^2-4\times0,375\times(-100) \\\phantom{\Delta}=21,483225+150 \\\phantom{\Delta}=171,483225>0

Racines :

n_1=\dfrac{-4,635-\sqrt{171,483225}}{0,75}\approx-23,64 \\\\n_2=\dfrac{-4,635+\sqrt{171,483225}}{0,75}\approx11,28

Tableau de signe du trinôme  0,375n^2+4,635n-100 dans  \R. :

\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline&&&&&&&&&& n&&&\approx-23,64&&0&&\approx11,28&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&& \\ 0,375n^2+4,635n-100&&+&0&-&-&-&0&+& \\ &&&&&&&&& \\ \hline \end{array}

Nous en déduisons que le plus petit nombre naturel n  vérifiant l'inéquation  \overset{{\white{.}}}{0,375n^2+4,635n-100\ge 0}  est n  = 12.

Par conséquent, le gisement A s'épuisera en 12 ans.

2.  Si  \overset{{\white{.}}}{q(t)}  est la quantité totale (en milliards de m3) de gaz extraite du gisement B à la date t , alors le taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement à cette date t  est  \overset{{\white{.}}}{q'(t)=\left(\dfrac{1}{2t+1}+0,02t\right)}  (milliards de m3 par an).

L'ensemble des primitives q  de la fonction q'  est défini par  q(t)=\dfrac{1}{2}\,\ln(2t+1)+0,02\times\dfrac{t^2}{2}+k\quad(k\in\R) ,
soit par  q(t)=\dfrac{1}{2}\,\ln(2t+1)+0,01t^2+k\quad(k\in\R)

Or nous savons que  q(0)=0.

q(0)=0\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{2}\,\ln(1)+0+k=0\quad\Longrightarrow\quad \boxed{k=0}

Donc la quantité totale (en milliards de m3) de gaz extraite du gisement B à la date t  est donnée par  q(t)=\dfrac{1}{2}\,\ln(2t+1)+0,01t^2.

Nous devons calculer le nombre d'années d'extraction qui suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B.
Pour ce faire, déterminons un encadrement de la valeur t  vérifiant l'équation  q(t)=100.

_\bullet{\white{x}}La fonction q  est continue sur ]0 ; +infini[ (somme de deux fonctions continues sur ]0 ; +infini[)

_\bullet{\white{x}}La fonction q  est strictement croissante sur ]0 ; +infini[.
En effet,

\forall\,t\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad\left\lbrace\begin{matrix}2t+1>0\\0,02t>0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2t+1}+0,02t>0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\boxed{g'(t)>0} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\Longrightarrow\boxed{\text{g est strictement croissante sur }]0\,;\,+\infty[}

_\bullet{\white{x}}\left\lbrace\begin{matrix}f(98)\approx98,6816<100\\f(99)\approx100,6567>100\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad f(98)<100<f(99)

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation  q(t)=100  admet une seule solution dans l'intervalle [98 ; 99].

Par conséquent, le gisement B sera épuisé à la 99ième année.

3.  Au niveau du gisement C, les taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement (aux dates t ) sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates.
A la date t = 1, ce taux était 5,01 milliards de m3 par an et la quantité totale du gaz extraite du gisement était également de 5,01 milliards de m3.

Donc à tout temps t ,  \dfrac{q'(t)}{q(t)}=\dfrac{q'(1)}{q(1)}=\dfrac{5,01}{5,01}=1\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{q'(t)}{q(t)}=1 \quad\Longrightarrow\quad\boxed{q'(t)=q(t)}\,.

Les solutions de l'équation  q'(t)=q(t)  sont les fonctions de la forme  q(t)=C\, \text{e}^t  où C est une constante.

\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}q(t)=C\, \text{e}^t\\q(1)=5,01\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad C\times\text{e}^1=5,01 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWiWWWw}\quad\Longrightarrow\quad C\times\text{e}=5,01} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWiWWWw}\quad\Longrightarrow\quad C=\dfrac{5,01}{\text{e}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWiWWWw}\quad\Longrightarrow\quad C=5,01\,\text{e}^{-1}}

D'où  q(t)=5,01\,\text{e}^{-1}\, \text{e}^t\quad\Longrightarrow\quad\boxed{q(t)=5,01\,\text{e}^{t-1}}

Le gisement sera vidé au temps t  tel que  q(t)=100.

q(t)=100\quad\Longleftrightarrow\quad 5,01\,\text{e}^{t-1}=100 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{q(t)=100}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{t-1}=\dfrac{100}{5,01}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{q(t)=100}\quad\Longleftrightarrow\quad t-1=\ln\left(\dfrac{100}{5,01}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{q(t)=100}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{t=1+\ln\left(\dfrac{100}{5,01}\right)\approx3,99}}

Par conséquent, après l'inauguration, il faudra 4 ans à ce pays pour vider le gisement C de son contenu.
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