Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes.
Partie A : Évaluation des ressources (15 points)
5 points
exercice 1
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
On considère les points A, B, F et G d'affixes respectives :
1. Résoudre dans C, l'équation
2. Soit s la similitude directe d'expression complexe a. Donner les éléments caractéristiques de s . b. Quelles sont les images par s des points A et B ?
3. Soit l'ellipse de foyers A et B et
d'excentricité a. Déterminer une équation de l'image de
par la similitude s . b. Construire puis dans le même repère.
4. Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A, B, F et G comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse
. Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de ?
5 points
exercice 2
Soit une base d'un espace vectoriel E .
Soit f un endomorphisme de E .
1. Pour k appartenant à R , on considère l'ensemble Ek
des vecteurs de E tels que a. Démontrer que Ek est un sous-espace vectoriel de E .
b. On suppose que f vérifie l'égalité Démontrer que
2. On suppose ici qu'on a :
a. Démontrer que b. Donner la matrice M de f dans la base
. c. Démontrer que d. Déterminer par une de ses bases, le noyau Ker f de f . e. Déterminer l'image Im f de f . On précisera une de ses bases.
5 points
exercice 3
f est une fonction définie sur [0 ; 2] par est la courbe de dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité
et en ordonnée 4 cm pour unité.
1. Démontrer que
2. Etudier les variations de et dresser son tableau de variations.
3. a. Démontrer qu'on a : b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de
avec les courbes d'équations et
4. Sur [0 ; 2], tracer dans le même repère, les courbes d'équations et
puis la courbe
5. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par et la courbe d'équation
sur [0 ; 2]. On pourra utiliser la question1.
Partie B : Évaluation des compétences (15 points)
Situation :
Trois gisements de gaz A, B et C présentant chacun 100 milliards de m³ de quantité, ont été découverts dans un pays. L'inauguration a eu lieu
une certaine année (année 0) prise comme origine des temps t (en années).
L'exploitation du gaz des gisements A et B avait commencé à la date t = 0 et celle du gisement C légèrement
avant. Seulement, à la date t = 1 , la quantité totale du gaz extraite de chacun des gisements A et C
était de 5,01 milliards de m³.
Pour le gisement A et à partir de la 2e année, la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³
par rapport à celle de l'année précédente. Pour les gisements B et C, les ingénieurs pétrochimistes savent que si est la quantité
totale (en milliards de m³) de gaz extraite de chacun de ces gisements à la date , alors le taux d'extraction
ou de consommation de gaz du gisement à cette date est (milliards de m³ par an). Au niveau du gisement B, ce taux est milliard
de m³ par an.
Au niveau du gisement C, ces taux (aux dates ) sont proportionnels aux
quantités de gaz extraites à ces dates. A la date ce taux était 5,01 milliards de m³ par an.
Tâches :
1. En combien d'années le gisement A s'épuisera-t-il ?
2. Combien d'années d'extraction suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B ?
3. Après l'inauguration, combien d'années faudra-t-il à ce pays pour vider le gisement C de son contenu ?
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
On considère les points A, B, F et G d'affixes respectives :
1. Résoudre dans , l'équation
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation est
2. Soit s la similitude directe d'expression complexe . 2. a) Nous devons donner les éléments caractéristiques de s .
Si s est une similitude directe d'expression complexe avec et , alors s est la similitude directe
de centre d'affixe , de rapport et d'angle
Puisque s est la similitude directe d'expression complexe , le centre de s est O .
Déterminons le rapport de s .
D'où le rapport de s est égal à 2.
Déterminons l'angle de s .
D'où l'angle de s est égal à
Par conséquent, s est la similitude directe de centre O , de rapport 2 et d'angle
2. b) Nous devons déterminer les images par s des points A et B.
Soit et notons l'affixe de A' .
Soit et notons l'affixe de B' .
3. Soit l'ellipse de foyers A et B et d'excentricité
3. a) Nous devons déterminer une équation de l'image de par la similitude s .
Le milieu du segment [AB ] est le point O car
Dès lors, le centre de est O .
Puisque s est une similitude directe de centre O , le centre de est également le point O .
D'où une équation de l'ellipse est de la forme
Par conséquent, une équation de est :
3. b) Construisons puis dans le même repère.
Après avoir construit , la construction de s'effectue aisément en sachant que est l'image de par la similitude s-1 dont le centre est O , le rapport est et l'angle est
4. Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A, B, F et G comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de ?
Parmi les cinq points O, A, B, F et G, l'axe focal de comprend les trois points O, F et G .
Il y a façons différentes de choisir successivement deux points parmi les trois points de l'axe focal.
Il y a façons différentes de choisir successivement deux points parmi les cinq points O, A, B, F et G .
Les choix de chaque point sont équiprobables.
Donc la probabilité que Aicha ait choisi deux points de l'axe focal de est égale à , soit à
5 points
exercice 2
Soit une base d'un espace vectoriel E .
Soit f un endomorphisme de E .
1. Pour k appartenant à , on considère l'ensemble Ek des vecteurs de E tels que
1. a) Démontrons que Ek est un sous-espace vectoriel de E .
Pour démontrer que Ek est un sous-espace vectoriel de E , nous vérifierons que et que,
pour tout couple et tout , nous avons :
Puisque f est un endomorphisme de E , nous savons que
Or
D'où
Par conséquent,
Pour tout couple ,
Par conséquent,
Pour tout vecteur et tout ,
Par conséquent,
Nous en déduisons que Ek est un sous-espace vectoriel de E .
1. b) On suppose que f vérifie l'égalité
Démontrons que si et seulement si
Démontrons d'abord que si alors
D'où si alors
Démontrons ensuite que si alors
Nous en déduisons que :
D'où si alors
Par conséquent, si et seulement si
2. On suppose ici qu'on a :
2. a) Nous devons démontrer que et
Additionnons membre à membre les égalités (1) et (2).
D'où
Par conséquent,
Soustrayons membre à membre les égalités (1) et (2).
D'où
Par conséquent,
En utilisant la relation (3), nous obtenons :
Par conséquent,
2. b) Nous devons donner la matrice M de f dans la base
Nous savons par la question 2. a) que :
Donc la matrice de la transformation linéaire f est
2. c) Démontrer que revient à démontrer que
D'où
2. d) Nous devons déterminer par une de ses bases, le noyau Ker(f ) de f .
Soit un vecteur
Alors,
Il s'ensuit que les coordonnées du vecteur sont
Autrement dit, , soit
Par conséquent, Ker(f ) est la droite vectorielle dont une base est
2. e) Nous devons déterminer l'image Im(f ) de f .
Par le théorème du rang, nous savons que : dim(E) = dim(Im(f )) + dim(Ker(f )).
Or dim(E) = 3 et dim(Ker(f )) = 1.
Donc : dim(Im(f )) = 2.
une base de l'espace vectoriel E .
Donc est une famille génératrice de Im(f ).
Mais nous savons que
Dès lors, est une famille génératrice de Im(f ).
Autrement dit, est une famille génératrice de Im(f ),
soit est une famille génératrice de Im(f ).
Par conséquent, Im(f ) est le plan vectoriel dont une base est
5 points
exercice 3
f est une fonction définie sur [0 ; 2] par est la courbe de f dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.
1. Démontrons que
Nous en déduisons que :
Par conséquent,
2. Nous devons étudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur , le signe de f'(x) est le signe de
Résolvons l'équation dans l'intervalle [0 ; 2].
D'où, pour tout x dans [0 ; 2],
La fonction étant continue sur [0 ; 2],
le signe de ne change pas pour x appartenant à
Il en est de même pour x appartenant aux intervalles et
Dès lors,
Nous pouvons dresser le tableau de signes de f' et de variations de f .
Calculs préliminaires :
3. a) Démontrons que :
En effet, pour tout
Par conséquent,
3. b) Nous devons déterminer les coordonnées des points d'intersection de avec les courbes d'équations et
Déterminons les coordonnées des éventuels points d'intersection de avec la courbe d'équation
Les abscisses de ces points d'intersection sont les solutions de l'équation :
D'où les coordonnées des points d'intersection de avec la courbe d'équation sont : et
Déterminons les coordonnées des éventuels points d'intersection de avec la courbe d'équation
Les abscisses de ces points d'intersection sont les solutions de l'équation :
D'où les coordonnées du point d'intersection de avec la courbe d'équation sont :
4. Sur [0 ; 2], traçons dans le même repère, les courbes d'équations et puis la courbe
La courbe d'équation est représentée en vert.
La courbe d'équation est représentée en bleu.
La courbe est représentée en rouge.
5. Calculons l'aire de la partie du plan délimitée par et la courbe d'équation sur [0 ; 2]. On pourra utiliser la question 1.
Puisque la courbe d'équation est située au-dessus de sur [0 ; 2], l'aire demandée se calcule par :
Or
Calculons
Calculons
En utilisant la question 1, nous obtenons :
Nous en déduisons que :
Or dans le repère, l'unité de longueur mesure 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 8 cm2.
Par conséquent, l'aire de la partie du plan délimitée par et la courbe d'équation sur [0 ; 2] est égale à
PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (15 POINTS)
1. Nous devons déterminer en combien d'années le gisement A s'épuisera.
Considérons la suite telle que représente, en m3, la quantité de gaz extraite du gisement A au temps t = n .
Nous savons que et que la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m3 par rapport à celle de l'année précédente.
Dès lors, avant que le gisement ne soit épuisé, nous obtenons :
La suite est une suite arithmétique de raison r = 0,75 dont le premier terme est
La quantité totale de gaz extraite au bout de n années (avant épuisement du gisement) est la somme de ces n termes.
Nous en déduisons que
Donc la quantité totale de gaz extraite au bout de n années (avant épuisement du gisement) s'exprime par
Nous devons déterminer en combien d'années le gisement A s'épuisera, ce qui revient à déterminer le plus petit nombre naturel n tel que , soit tel que
Résolvons l'inéquation
Discriminant :
Racines :
Tableau de signe du trinôme dans :
Nous en déduisons que le plus petit nombre naturel n vérifiant l'inéquation est n = 12.
Par conséquent, le gisement A s'épuisera en 12 ans.
2. Si est la quantité totale (en milliards de m3) de gaz extraite du gisement B à la date t , alors le taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement à cette date t est (milliards de m3 par an).
L'ensemble des primitives q de la fonction q' est défini par ,
soit par
Or nous savons que
Donc la quantité totale (en milliards de m3) de gaz extraite du gisement B à la date t est donnée par
Nous devons calculer le nombre d'années d'extraction qui suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B.
Pour ce faire, déterminons un encadrement de la valeur t vérifiant l'équation
La fonction q est continue sur ]0 ; +[ (somme de deux fonctions continues sur ]0 ; +[)
La fonction q est strictement croissante sur ]0 ; +[.
En effet,
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une seule solution dans l'intervalle [98 ; 99].
Par conséquent, le gisement B sera épuisé à la 99ième année.
3. Au niveau du gisement C, les taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement (aux dates t ) sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates.
A la date t = 1, ce taux était 5,01 milliards de m3 par an et la quantité totale du gaz extraite du gisement était également de 5,01 milliards de m3.
Donc à tout temps t ,
Les solutions de l'équation sont les fonctions de la forme où C est une constante.
D'où
Le gisement sera vidé au temps t tel que .
Par conséquent, après l'inauguration, il faudra 4 ans à ce pays pour vider le gisement C de son contenu.
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Hiphigenie pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !