Bac Mathématiques 2022 Cameroun série C-E

Durée : 4 heures

Coefficient : 7 - 6

Cette épreuve est constituée de deux parties indépendantes.

Partie A : Évaluation des ressources (15 points)

5 points

exercice 1

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $(O\,;\overrightarrow{e_1}\,,\overrightarrow{e_2})\cdot$
On considère les points A, B, F et G d'affixes respectives : $Z_A=1+\text i\sqrt 3 \;\;;\;\;Z_B=-1-\text i \sqrt 3 \;\;\text{ et } Z_G=-4\,\cdot$

1. Résoudre dans C, l'équation $z²+2-2\text i \sqrt 3 = 0 \cdot$

2. Soit s la similitude directe d'expression complexe $z'=(1-\text i \sqrt 3)\,z\,\cdot$
$\white w$ a. Donner les élèments caractéristiques de s .
$\white w$ b. Quelles sont les images par s des points A et B ?

3. Soit $(\mathcal E)$ l'ellipse de foyers A et B et d'excentricité $e=\frac 1 2 \,\cdot$
$\white w$ a. Déterminer une équation de l'image $(\mathcal E')$ de $(\mathcal E)$ par la similitude s .
$\white w$ b. Construire $(\mathcal E')$ puis $(\mathcal E)$ dans le même repère.

4. Aicha a choisi au hasard l'un après l'autre, deux points distincts parmi les points O, A, B, F et G comme ceux par lesquels passe l'axe focal de l'ellipse $(\mathcal E')$ .
$\white{w}$ Quelle est la probabilité qu'elle ait choisi deux points de l'axe focal de $(\mathcal E')$ ?

5 points

exercice 2

Soit $(\vec i\,,\vec j\,,\vec k )$ une base d'un espace vectoriel E .
Soit f un endomorphisme de E .

1. Pour k appartenant à R , on considère l'ensemble E_k des vecteurs $\vec u$ de E tels que $f(\vec u)=k\vec u\,\cdot$
$\white w$ a. Démontrer que E_k est un sous-espace vectoriel de E .
$\white w$ b. On suppose que f vérifie l'égalité $f\circ f = 2\,f\,\cdot$
$\white{ww}$ Démontrer que $\vec u \in Im f \text{ si et seulement si } \vec u \in E_2\,\cdot$

2. On suppose ici qu'on a :

${\white{wwww}}f(\vec i+\vec j)=2\vec i+2\vec j$
${\white{wwww}}f(\vec i-\vec j)=2\vec i-2\vec j$
${\white{wwww}}f(\vec i -\vec j +\vec k)=\vec 0\,\cdot$

$\white w$ a. Démontrer que $f(\vec i)=2\vec i\;\;, f(\vec j)=2\vec j \;\text{ et } \; f(\vec k)=-2\vec i + 2 \vec j \,\cdot$
$\white w$ b. Donner la matrice M de f dans la base $(\vec i\,,\vec j\,,\vec k )$ .
$\white w$ c. Démontrer que $f\circ f=2\,f\,\cdot$
$\white w$ d. Déterminer par une de ses bases, le noyau Ker f de f .
$\white w$ e. Déterminer l'image Im f de f . On précisera une de ses bases.

5 points

exercice 3

f est une fonction définie sur [0 ; 2

] par $f(x)=\text e ^{-x}\,\cos (x)\,\cdot$
$(\mathcal C_f)$ est la courbe de $f$ dans un repère orthogonal où en abscisse, on a 2 cm pour unité et en ordonnée 4 cm pour unité.

1. Démontrer que $f''(x)+2f'(x)+2f(x)=0\,\cdot$

2. Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variations.

3. a. Démontrer qu'on a : $-\text e ^{-x} \le f(x) \le \text e^ {-x}\,\cdot$
$\white w$ b. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(\mathcal C_f)$ avec les courbes d'équations $y=\text e ^{-x}$ et $y=-\text e ^{-x}\,\cdot$

4. Sur [0 ; 2

], tracer dans le même repère, les courbes d'équations $y=\text e ^{-x}$ et $y=-\text e ^{-x}$ puis la courbe $(\mathcal C_f)\,\cdot$

5. Calculer l'aire de la partie du plan délimitée par $(\mathcal C_f)$ et la courbe d'équation $y=\text e ^{-x}$ sur [0 ; 2

]. On pourra utiliser la question 1.

Partie B : Évaluation des compétences (15 points)

Situation :

Trois gisements de gaz A, B et C présentant chacun 100 milliards de m³ de quantité, ont été découverts dans un pays. L'inauguration a eu lieu une certaine année (année 0) prise comme origine des temps t (en années).
L'exploitation du gaz des gisements A et B avait commencé à la date t = 0 et celle du gisement C légèrement avant. Seulement, à la date t = 1 , la quantité totale du gaz extraite de chacun des gisements A et C était de 5,01 milliards de m³.

$-$ Pour le gisement A et à partir de la 2e année, la quantité de gaz extraite chaque année augmente de 0,75 milliards de m³ par rapport à celle de l'année précédente.
$-$ Pour les gisements B et C, les ingénieurs pétrochimistes savent que si $q(t)$ est la quantité totale (en milliards de m³) de gaz extraite de chacun de ces gisements à la date $t$ , alors le taux d'extraction ou de consommation de gaz du gisement à cette date $t$ est $q'(t)$ (milliards de m³ par an).
${\white w}\bullet$ Au niveau du gisement B, ce taux est $\left(\dfrac{1}{2t+1}+0,02t\right)$ milliard de m³ par an.
${\white w}\bullet$ Au niveau du gisement C, ces taux (aux dates $t$ ) sont proportionnels aux quantités de gaz extraites à ces dates. A la date $t=1$ ce taux était 5,01 milliards de m³ par an.

Tâches :

1. En combien d'années le gisement A s'épuisera-t-il ?
2. Combien d'années d'extraction suffiront à ce pays pour épuiser le contenu du gisement B ?
3. Après l'inauguration, combien d'années faudra-t-il à ce pays pour vider le gisement C de son contenu ?

Publié par malou le 31-07-2022

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