Fiche de mathématiques

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Bac Mathématiques Cameroun 2022

Série D

Durée : 4 heures

Coefficient : 4

Partie A : Évaluation des ressources (13 points)

4,5 points

exercice 1

1. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal $(O\,; \vec u \,,\vec v)$ et on considère les points A, B et I d'affixes respectives $4+\text i\;\; ,3\text i \;\; \text{ et } 1\,\cdot$
$\white w$ a. Démontrer que IAB est un triangle rectangle isocèle de sens direct.

$\white w$ b. On donne le point J d'affixe $\text i\,\cdot$ Calculer $\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}$ et donner la nature du triangle ABJ .
$\white w$ c. Démontrer que les points I, A, B et J appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe du centre et le rayon.

2. Soit s la similitude directe du plan de centre A qui transforme I en B.
$\white w$ a. Démontrer que l'écriture complexe de s est $z'=(1-\text i)z-1+4\text i\,\cdot$
$\white w$ b. Donner l'angle et le rapport de s .
$\white w$ c. En déduire l'image par s du cercle de centre A et de rayon $\sqrt 2\,\cdot$

4,5 points

exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur [0 ; + infini

[ par $f(x)=\ln ( \text e^x+x)-x\,\cdot$ Soit $(\mathcal C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\;; \vec i\,,\vec j)$ ; unités : 5 cm sur les axes.

1. Etudier le sens des variations de $f$ sur [0 ; + infini

[.

2. a. Montrer que pour tout $x\in [0\,; +\infty[\,,\; f(x)=\ln \left(1+\dfrac{x}{\text e ^x}\right) \,\cdot$
$\white w$ b. En déduire la limite de $f$ en + infini

; puis l'existence d'une asymptote dont une équation est à préciser.

3. Dresser le tableau de variations de $f$ sur [0 ; + infini

[.

4. a. Déterminer une équation de la tangente $(\mathcal D)$ à $(\mathcal C )$ en O .
$\white w$ b. Tracer $(\mathcal D)$ et $(\mathcal C )\,\cdot$

4 points

exercice 3

1. Le réseau ferroviaire d'un pays compte cinq gares A, B, C, D et E, reliées de la façon suivante :

$\begin{array} {|c|cccccccccccccc|} \hline \text{ Allant de }& A& |&A &| & A& | & B & |& C & | & C & | & D& \\ \hline \text {à}& B & |& C & | & D& | &C & | & D& | & E& | & E& \\ \hline \text{ Distance en centaines de km }& 2 & |& 6& |&5 & |&3 &| & 1& |& 3&|&4 & \\ \hline \end{array}$

$\white w$ a. Construire un graphe pondéré associé à ce réseau, sur lequel ABCD est un quadrilatère extérieur au triangle CDE .
$\white w$ b. Déterminer par l'algorithme de DIJKSTRA, le plus court chemin de A à E.

2. Les droites de régression de $x$ en $y$ et de $y$ en $x$ d'une série statistique double sont respectivement données par :

$x=0,135 y + 6,65 \;\text{ et }\; y=6x-38\,\cdot$
$\white w$ a. Déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de cette série.
$\white w$ b. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ ,puis l'interpréter.

3. Une boîte contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Calculer la probabilité d'obtenir :
$\white w$ a. deux boules de la même couleur ;
$\white w$ b. deux boules de couleurs différentes.

Partie B : Évaluation des compétences (7 points)

Le conseil à la fin de cette étude basée sur un repère orthonormé $(O\;;\vec u\,,\vec v)$ d'unité graphique 1 cm pour 100 m, adresse ses solutions à Tapi, un élève compétent, en stage auprès du conseil, en ces termes :
$\textbf -$ Le bénéfice à réaliser en milliers de francs en fonction de la quantité $x$ de papayes en tonnes par an est donné par la fonction $h$ telle que $h''(x)-3h'(x)+2h(x) = 0$ et dont la courbe intégrale $(\mathcal C _ h)$ passe par le point $A(0\;;15\,000)$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 10 000.
$\textbf -$ La rivière suit la courbe de la fonction numérique $g$ définie par $g(x)=\ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}\;;$ les routes 1 et 2 suivent respectivement les droites d'équations $y=0$ et $x=1\,\cdot$ . Dans le repère $(O\;;\vec u\,,\vec v)$ , la rivière est tangente à la route 1 à l'origine O. La production de la pastèque n'est bénéfique que si elle se fait sur le domaine compris entre les deux routes et la rivière.
$\textbf -$ Sur le plan complexe associé au repère $(O\;;\vec u\,,\vec v)$ , les pieds des deux baobabs sont assimilés aux points B₁ et B₂ dont les affixes respectives sont les solutions de l'équation $z²-(2+4\text i)z-6+8\text i=0\,\cdot$ Le domaine bénéfique à la production de bananes est délimité par l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0\,\cdot$

Tâches :
1. Déterminer le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'il se lance dans la production de papayes.
2. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques.
3. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes.

Voir la correction

Bac Cameroun 2022 série D

PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (13 POINTS)

4,5 points

exercice 1

1. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal $\overset{{\white{.}}}{(O\,; \vec u \,,\vec v)}$ et on considère les points A , B et I d'affixes respectives $\overset{{\white{.}}}{4+\text i\;,\; 3\text i \;\; \text{ et } 1.}$

1. a) Nous devons démontrer que IAB est un triangle rectangle isocèle de sens direct.

$\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}=\dfrac{3\text{i}-1}{4+\text{i}-1} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}}=\dfrac{3\text{i}-1}{3+\text{i}}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}}=\dfrac{\text{i}\,(3+\text{i})}{3+\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}}=\text{i}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}=\text{i}}$

Nous en déduisons que le triangle IAB est rectangle isocèle en I de sens direct.

1. b) On donne le point J d'affixe $\overset{{\white{.}}}{\text i.}$
Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}}$ et donner la nature du triangle ABJ .

$\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}=\dfrac{3\text{i}-\text{i}}{4+\text{i}-\text{i}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_I}}=\dfrac{2\text{i}}{4}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_I}}=\dfrac{\text{i}}{2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}=\dfrac{1}{2}\,\text{i}}$

Nous en déduisons que le triangle ABJ est rectangle en J .

1. c) Nous devons démontrer que les points I, A, B et J appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe du centre et le rayon.

Les triangles IAB et JAB sont rectangles respectivement en I et en J .
Ils sont donc inscrits dans le même cercle de diamètre [AB ].

$_\bullet{\white{x}}$ Le centre $\Omega$ de ce cercle est le milieu du segment [AB ].

L'affixe de $\Omega$ est $z_{ \Omega}=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{4+\text{i}+3\,\text{i}}{2}=\dfrac{4+4\,\text{i}}{2}=2+2\text{i}.$

$_\bullet{\white{x}}$ Le rayon de ce cercle est égal à $\dfrac{AB}{2}=\dfrac{|z_B-z_A|}{2}=\dfrac{|3\,\text{i}-4-\text{i}|}{2}=\dfrac{|-4+2\,\text{i}|}{2}=|-2+\text{i}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.$

$_\bullet{\white{x}}$ Par conséquent, les points I, A, B et J appartiennent à un même cercle de centre $\Omega$ d'affixe $\overset{{\white{.}}}{2+2\text{i}}$ et de rayon $\sqrt{5}.$

2. Soit s la similitude directe du plan de centre A qui transforme I en B .

2. a) Nous devons démontrer que l'écriture complexe de s est $\overset{{\white{.}}}{z'=(1-\text i)z-1+4\text i.}$

Nous savons que si s une similitude directe du plan, alors il existe un unique nombre complexe a different

0 et un unique nombre complexe b tels que, pour tout point M d'affixe z et tout point M' d'affixe z' ,
M' est l'image de M par s si et seulement si : $z' = az + b.$

Le point A étant le centre de la symétrie s , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{A=s(A).}$
Le point B étant l'image du point I par la symétrie s , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{B=s(I).}$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}A=s(A)\\\overset{{\white{.}}}{B=s(I)}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A=a\,z_A+b\\\overset{{\white{.}}}{z_B=a\,z_I+b}\end{matrix}\right. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}4+\text{i}=a\,(4+\text{i})+b\\\overset{{\phantom{.}}}{3\,\text{i}=a\times1+b}\end{matrix}\right.}$
${\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}4+\text{i}=a\,(4+\text{i})+b\quad(1)\\\overset{{\phantom{.}}}{3\,\text{i}=a+b}\phantom{wWWwi}\quad(2)\end{matrix}\right.} \\\\ (1)-(2)\quad\Longleftrightarrow\quad 4+\text{i}-3\,\text{i}=4a+\text{i}\,a+b-a-b \\\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad 4-2\,\text{i}=3a+\text{i}\,a \\\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad 4-2\,\text{i}=(3+\text{i})\,a \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{4-2\,\text{i}}{3+\text{i}}=\dfrac{(4-2\,\text{i})(3-\text{i})}{(3+\text{i})(3-\text{i})}=\dfrac{12-4\text{i}-6\,\text{i}-2}{9+1}} \\\\\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{10-10\,\text{i}}{10}=\dfrac{10\,(1-\text{i})}{10}=1-\text{i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{a=1-\text{i}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}a=1-\text{i}\phantom{www}\\\overset{{\phantom{.}}}{3\,\text{i}=a+b}\quad(2)\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=1-\text{i}\phantom{w}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=3\,\text{i}-a}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=1-\text{i}\phantom{www}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=3\,\text{i}-1+\text{i}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=1-\text{i}\phantom{ww}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=-1+4\,\text{i}}\end{matrix}\right.}$

D'où, l'écriture complexe de s est $\overset{{\white{.}}}{z'=(1-\text i)z-1+4\text i.}$

2. b) Nous devons donner l'angle et le rapport de s .

$_\bullet{\white{x}}$ Le rapport de la similitude s est $|\,a\,|=|\,1-\text{i}\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\,.$

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons l'angle $\theta$ de la similitude s .

$\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{1}{|a|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin\theta=\dfrac{-1}{|a|}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\theta=-\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]$

Par conséquent, s est une similitude de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{4}.$

2. c) Nous devons en déduire l'image par s du cercle de centre A et de rayon $\sqrt 2.$

s est une similitude de centre A .
Donc $\overset{{\white{.}}}{s(A)=A.}$

Le rapport de s est $\sqrt{2}.$
Donc le rayon de l'image par s du cercle de rayon $\sqrt 2$ est égal à $\sqrt 2\times \sqrt 2 = 2.$

Nous en déduisons que l'image par s du cercle de centre A et de rayon $\sqrt 2$ est un cercle de centre A et de rayon $\overset{{\white{.}}}{2.}$

4,5 points

exercice 2

On considère la fonction f définie sur [0 ; + infini

[ par $f(x)=\ln ( \text e^x+x)-x.$
Soit $(\mathcal C)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal $(O\;; \vec i\,,\vec j).$

1. Nous devons étudier le sens des variations de f sur [0 ; + infini

[.

La fonction f est dérivable sur [0 ; + infini

[.

$f\,'(x)=\left(\overset{}{\ln ( \text e^x+x)-x}\right)' \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{ f\,'(x)}= \dfrac{(\text e^x+x)'}{\text e^x+x}-1} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{ f\,'(x)}= \dfrac{\text e^x+1}{\text e^x+x}-1} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{ f\,'(x)}= \dfrac{\text e^x+1-\text e^x-x}{\text e^x+x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{ f\,'(x)}= \dfrac{1-x}{\text e^x+x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;,\;+\infty[,\;f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x+x}}$

Pour tout x appartenant à [0 ; + infini

[, le dénominateur de f' (x ) est strictement positif (somme d'un nombre strictement positif et d'un nombre strictement positif).
Dès lors, le signe de f' (x ) est le signe de (1 - x ).

Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de f' sur [0 ; + infini

[.

$\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}1-x<0\quad\Longleftrightarrow\quad x>1\\1- x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=1\\1-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<1\end{matrix}\right.\end{matrix}{\white{ww}} \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&1&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline& &&&&&&\\1- x&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline& &&&&&&\\f'(x)&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

D'où f est strictement croissante sur [0 ; 1[ et est strictement décroissante sur ]1 ; +[.

2. a) Montrons que pour tout $\overset{{\white{.}}}{x\in [0\,; +\infty[\,,\; f(x)=\ln \left(1+\dfrac{x}{\text e ^x}\right).}$

$f(x)=\ln ( \text e^x+x)-x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\ln ( \text e^x+x)-\ln \text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\ln \left( \dfrac{\text e^x+x}{\text e^x}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\ln \left(1+ \dfrac{x}{\text e^x}\right)} \\\\\boxed{\forall\,x\in\,[\,0\,;\,+\infty\,[\,,\;f(x)=\ln \left(1+ \dfrac{x}{\text e^x}\right)}$

2. b) Nous devons en déduire la limite de f en + infini

; puis l'existence d'une asymptote dont une équation est à préciser.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\,\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\quad(\text{croissances comparées})\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+ \dfrac{x}{\text e^x}\right)=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(1+ \dfrac{x}{\text e^x}\right)=\ln1=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\,f(x)=0}}$

La courbe $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C)}$ admet une asymptote horizontale au voisinage de + d'équation $\overset{{\white{.}}}{y=0.}$

3. Dressons le tableau de variations de f sur [0 ; + infini

[.

$\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=\ln(\text{e}^0+0)-0\\=\ln 1\phantom{f(0).}\\=0\phantom{f(0)wv}\\\\f(1)=\ln(\text{e}^1+1)-1\\\phantom{wv}=\ln(\text{e}+1)-1\\\approx0,31\phantom{wvw}\end{matrix}\right.\end{matrix}{\white{ww}} \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&1&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline& &&&&&&\\f'(x)&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&\ln(\text{e}+1)-1&&&\\f(x)&&&\nearrow&&\searrow&&\\&0&&&&&&0\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

4. a) Nous devons déterminer une équation de la tangente $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal D)}$ à $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C )}$ en $\overset{{\white{.}}}{O.}$

Une équation de la tangente $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal D)}$ est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=f'(0)(x-0)+f(0)}$ , soit de la forme $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=f'(0)x+f(0)}\,.}$
Or $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\phantom{www}\\f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x+x}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f'(0)=1\end{matrix}\right.}$
D'où une équation de la tangente $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal D)}$ est $\overset{{\white{.}}}{y=1\times x+0}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=x}\,.}$

4. b) Traçons $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal D)}$ et $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C ).}$

4 points

exercice 3

1. b) Déterminons par l'algorithme de DIJKSTRA, le plus court chemin de A à E.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline A&B&C&D&E& \text{Sommet sélectionné} \\\hline 0&\infty&\infty&\infty&\infty&A\\\hline\cellcolor{magenta}&2_A&6_A&5_A&\infty&B\\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&5_B&5_A&\infty&C\\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&5_A&8_C&D \\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&8_C&E\\\hline \end{array}$
D'où le chemin le plus court pour aller de A à E est A - B - C - E.
La longueur de ce trajet est de 8 km.

2. Les droites de régression de x en y et de y en x d'une série statistique double sont respectivement données par :

$x=0,135 y + 6,65 \;\text{ et }\; y=6x-38.$
2. a) Déterminons les coordonnées du point moyen du nuage de cette série.

Résolvons le système $\left\lbrace\begin{matrix}x=0,135 y + 6,65\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x=0,135 y + 6,65\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=0,135(6x-38) + 6,65\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38\phantom{wwwww}\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=0,81x-5,13 + 6,65\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38\phantom{wwwww}\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right.$

${\white{wwwwwwwwwwwwww}}$ $\\\\\phantom{WWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}0,19x=1,52\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=8\phantom{WiW}\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=8\\\overset{{\white{.}}}{y=10}\end{matrix}\right. }$

Paer conséquent, les coordonnées du point moyen du nuage de cette série sont (8 ; 10).

2. b) Déterminons le coefficient de corrélation linéaire entre x et y .

Les droites de régression de x en y et de y en x sont telles que

$\left\lbrace\begin{matrix}x=0,135 y + 6,65=ay+b\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38=a'x+b'\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=0,135\\\overset{{\white{.}}}{a'=6\phantom{xxx}}\end{matrix}\right.$

Si r est le coefficient de corrélation, nous savons que $\overset{{\white{.}}}{r^2=a\times a'=0,135\times6=0,81\quad\Longrightarrow\quad (r=0,9\quad\text{ou}\quad r=-0,9).}$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}a=0,135>0\\\overset{{\white{.}}}{a'=6>0\phantom{xxx}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad r>0.$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{r=0,9}\,.}$

3. Une boîte contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

3. a) Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
Il y a $\overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}=\dfrac{10\times9}{2}=45}$ façons différentes de tirer simultanément 2 boules parmi les 10 boules de la boîte.

$_\bullet{\white{x}}$ Il y a $\overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=3}$ façons différentes de tirer 2 boules vertes parmi les 3 boules vertes.
$_\bullet{\white{x}}$ Il y a une seule façon de tirer 2 boules rouges parmi les 2 boules rouges.
$_\bullet{\white{x}}$ Il y a $\overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=10}$ façons différentes de tirer 2 boules jaunes parmi les 5 boules jaunes.

Il y a donc 3 + 1 + 10 = 14 façons différentes de tirer 2 boules de la même couleur.

Par conséquent, la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur est égale à $\dfrac{14}{45}.$

3. b) Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.
La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $1-\dfrac{14}{45}=\dfrac{31}{45}.$

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (7 POINTS)

1. Nous devons déterminer le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'il se lance dans la production de papayes.

Le bénéfice à réaliser en milliers de francs en fonction de la quantité x de papayes en tonnes par an est donné par la fonction h telle que $\overset{{\white{.}}}{h''(x)-3h'(x)+2h(x) = 0}$ et dont la courbe intégrale $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C _ h)}$ passe par le point $\overset{{\white{.}}}{A(0\;;15\,000)}$ et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 10 000.

Déterminons les solutions de l'équation différentielle $\overset{{\white{.}}}{h''(x)-3h'(x)+2h(x) = 0.}$

À cette équation différentielle, nous associons l'équation caractéristique $\overset{{\white{.}}}{r^2-3r+2=0}$

Résolvons cette équation caractéristique.

$\underline{\text{Discriminant}}\;:\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=9-8=1>0 \\\\\underline{\text{Racines}}\;:r_1=\dfrac{3-1}{2}=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}r_2=\dfrac{3+1}{2}=2}$

Puisque l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $\overset{{\white{.}}}{r_1=1}$ et $\overset{{\white{.}}}{r_2=2}$ , les solutions de l'équation différentielles s'écrivent sous la forme : $\overset{{\white{.}}}{h(x)=\alpha\,\text{e}^{r_1x}+\beta\,\text{e}^{r_2x}}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{h(x)=\alpha\,\text{e}^{x}+\beta\,\text{e}^{2x}\quad\quad(\alpha\in\R\,,\beta\in\R)}}$

$_\bullet{\white{x}}$ D'une part, la courbe $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C _ h)}$ passe par le point $\overset{{\white{.}}}{A(0\;;15\,000)}$
Nous en déduisons que

$h(0)=15\,000\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\,\text{e}^{0}+\beta\,\text{e}^{0}=15\,000 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(0)=15\,000}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha+\beta=15\,000}}$

$_\bullet{\white{x}}$ D'autre part, la courbe $\overset{{\white{.}}}{(\mathcal C _ h)}$ admet en A une tangente de coefficient directeur 10 000.

Nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{h'(0)=10\,000.}$

$\text{Or }\;h'(x)=(\alpha\,\text{e}^{x}+\beta\,\text{e}^{2x})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;h'(x)}=\alpha\,\text{e}^{x}+2\beta\,\text{e}^{2x}} \\\\\Longrightarrow h'(0)=\alpha\,\text{e}^{0}+2\beta\,\text{e}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Longrightarrow }\,h'(0)=\alpha+2\beta} \\\\\text{D'où }\;h'(0)=10\,000\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\alpha+2\beta=10\,000}$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}\alpha+\beta=15\,000\quad(1)\\\overset{{\white{.}}}{\alpha+2\beta=10\,000\quad(2)}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}(2)-(1):\beta=-5\,000 \\\overset{{\white{.}}}{(1):\alpha-5\,000=15\,000}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha=20\,000\\\overset{{\white{.}}}{\beta=-5\,000}\end{matrix}\right.$

D'où, pour tout réel x positif, $\boxed{h(x)=20\,000\,\text{e}^{x}-5\,000\,\text{e}^{2x}}$

Étudions les variations de la fonction h sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

$h'(x)=20\,000\,\text{e}^{x}-5\,000\times2\,\text{e}^{2x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=20\,000\,\text{e}^{x}-10\,000\,\text{e}^{2x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=10\,000\,\text{e}^{x}(2-\text{e}^{x})}$

Puisque $\overset{{\white{.}}}{10\,000\,\text{e}^{x}>0}$ pour tout x réel, le signe de h' (x ) est le signe de $\overset{{\white{.}}}{(2-\text{e}^{x}).}$

$\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}2-\text{e}^{x}<0\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^x>2\\\phantom{WiWWWW} \Longleftrightarrow\quad x>\ln 2\\\\2-\text{e}^{x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln 2\\\\2-\text{e}^{x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\ln 2\end{matrix}\right.\\\\h(\ln 2)=20\,000\times2-5\,000\times4\\=20\,000\phantom{xxxxxxx}\end{matrix}{\white{ww}} \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&\ln 2&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline& &&&&&&\\2-\text{e}^{x}&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\h'(x)&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&20\,000&&&\\h(x)&&&\nearrow&&\searrow&&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

La fonction h admet donc un maximum égal à 20 000.
Par conséquent, le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'élève à 20 000 000 francs.

2. Nous devons déterminer l'aire $\mathcal{A}_P$ du domaine bénéfique à la production de pastèques.

Le domaine fermé bénéfique à la production de pastèques est colorié en rouge dans le figure ci-dessous.

Déterminons $\mathcal{A}_P$ en unité d'aire.

$\mathcal{A}_P=\displaystyle\int_0^1\left[\ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}\right]\,\text{d}x \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathcal{A}_P=\displaystyle\int_0^1\ln(x+1)\,\text{d}x-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text{d}x}$

$\bullet{\white{x}}\text{Calculons }\displaystyle\int_0^1\ln(x+1)\,\text{d}x\text{ par parties} \\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{0}^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln (x+1)\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=\dfrac{1}{x+1}\\v'(x)=1\phantom{wwwwwwwv}\Longrightarrow\quad\quad v(x)=x\phantom{ww}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors, }\ \displaystyle\int_0^1\ln(x+1)\,\text{d}x=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- \displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x+1}\times x\,\text d x \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text d x \\\\\bullet{\phantom{x}}\text{D'où }\mathcal{A}_P=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text d x-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text{d}x$

${\white{.}}\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- 2\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text d x \\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- 2\displaystyle\int_0^1\dfrac{x+1-1}{x+1}\,\text d x$
${\white{.}}\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- 2\displaystyle\int_0^1\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)\,\text d x$
${\white{.}}\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- 2\displaystyle\int_0^11\,\text d x+ 2\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x+1}\,\text d x$

$\\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}-2\left[\overset{}{x}\right]_0^1+2\left[\overset{}{\ln(x+1)}\right]_0^1 \\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=(\ln2-0)-2(1-0)+2(\ln2-0) \\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=3\ln2-2 \\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\ln8-2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathcal{A}_P=(\ln8-2)\text{ u. a.}}$

Or dans le repère, l'unité de longueur est de 1 cm pour 100 m en abscisse et 1 cm pour 100 m en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 100 multiplie

100 = 10 000 m².

Par conséquent, l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques est égale à $\overset{{\white{.}}}{10\,000\,(\ln8-2)\text{ m}^2\approx\boxed{794\text{ m}^2}\,.}$

3. Nous devons déterminer l'aire $\mathcal{A}_B$ du domaine bénéfique à la production de bananes.

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons d'abord les affixes de B ₁ et B ₂, solutions de l'équation $z²-(2+4\text i)z-6+8\text i=0.$

Résolvons donc l'équation $z²-(2+4\text i)z-6+8\text i=0.$

$\underline{\text{Discriminant}}\;:\Delta=[-(2+4\text i)]^2-4\times1\times(-6+8\text i) \\\phantom{WWWWWWW}=4+16\text i-16+24-32\text i \\\phantom{WWWWWWW}=12-16\text i \\\phantom{WWWWWWW}=16-16\text i-4 \\\phantom{WWWWWWW}=(4-2\text i)^2 \\\\\underline{\text{Racines}}\;:z_1=\dfrac{2+4\text i-(4-2\text i)}{2}=\dfrac{-2+6\text i}{2}=-1+3\text i \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}z_2=\dfrac{2+4\text i+(4-2\text i)}{2}=\dfrac{6+2\text i}{2}=3+\text i}$
D'où l'affixe de B ₁ est -1 + 3i et l'affixe de B ₂ est 3 + i.

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons ensuite l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0.$

Soit le point I , milieu du segment [B ₁B ₂].
Dans ce cas, nous savons que : $\overrightarrow{IB_2}=-\overrightarrow{IB_1}.$

Dès lors,

$\overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0\quad\Longleftrightarrow\quad(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB_1})\cdot(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB_2})=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}\quad\Longleftrightarrow\quad(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB_1})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB_1})=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{MI}\,^2-\overrightarrow{IB_1}^2=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}\quad\Longleftrightarrow\quad MI\,^2-IB_1^2=0}$
${\white{.}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW.}\quad\Longleftrightarrow\quad MI\,^2=IB_1^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}\quad\Longleftrightarrow\quad MI=IB_1}$

Donc la distance des points M au point I est une constante et est égale à IB ₁.
Les points M sont situés sur un cercle de centre I et de rayon IB ₁.
Par conséquent, l'ensemble des points M tels que $\overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0$ est le cercle de centre centre I et de rayon IB ₁, c'est-à-dire le cercle de diamètre [B ₁B ₂].

Le rayon de ce cercle est donné par :

$IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2=\dfrac{1}{2}\left|z_2-z_1\right| \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=\dfrac{1}{2}|\,3+\text i+1-3\text i\,|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=\dfrac{1}{2}|\,4-2\text i\,|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=|\,2-\text i\,|} \\\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=\sqrt{4+1} \\\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=\sqrt{5}$
Donc le rayon du cercle est égal à $\sqrt{5}.$

$_\bullet{\white{x}}$ Déterminons enfin l'aire $\mathcal{A}_B$ en unité d'aire du disque délimité par ce cercle.

$\mathcal{A}_B=\pi\times(\sqrt{5})^2=5\,\pi\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal{A}_B=5\,\pi\text{ u. a.}}$

Or dans le repère, l'unité de longueur est de 1 cm pour 100 m en abscisse et 1 cm pour 100 m en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 100 multiplie

100 = 10 000 m².

Par conséquent, l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes est égale à $\overset{{\white{.}}}{10\,000\,\times5\,\pi\text{ m}^2=50\,000\,\pi\text{ m}^2\approx\boxed{157\,080\text{ m}^2}\,.}$

Publié par malou le 27-01-2023

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