Durée : 4 heures

Coefficient : 4

Partie A : Évaluation des ressources (13 points)

4,5 points

exercice 1

1. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal    et on considère les points A, B et I  d'affixes respectives  
a. Démontrer que IAB  est un triangle rectangle isocèle de sens direct.

b. On donne le point J  d'affixe    Calculer     et donner la nature du triangle ABJ .
c. Démontrer que les points I, A, B et J  appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe du centre et le rayon.

2. Soit  s  la similitude directe du plan de centre A qui transforme I en B.
a. Démontrer que l'écriture complexe de  s  est  
b. Donner l'angle et le rapport de  s .
c. En déduire l'image par  s  du cercle de centre A et de rayon  

4,5 points

exercice 2

On considère la fonction    définie sur [0 ; +[ par   Soit    sa courbe représentative dans un repère orthonormal    ; unités : 5 cm sur les axes.

1. Etudier le sens des variations de    sur [0 ; +[.

2. a. Montrer que pour tout  
b. En déduire la limite de     en + ; puis l'existence d'une asymptote dont une équation est à préciser.

3. Dresser le tableau de variations de     sur [0 ; + [.

4. a. Déterminer une équation de la tangente    à    en O .
b. Tracer    et  

4 points

exercice 3

1. Le réseau ferroviaire d'un pays compte cinq gares A, B, C, D et E, reliées de la façon suivante :



a. Construire un graphe pondéré associé à ce réseau, sur lequel ABCD est un quadrilatère extérieur au triangle CDE .
b. Déterminer par l'algorithme de DIJKSTRA, le plus court chemin de A à E.

2. Les droites de régression de    en    et de     en    d'une série statistique double sont respectivement données par :  


a. Déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de cette série.
b. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre    et   ,puis l'interpréter.

3. Une boîte contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Calculer la probabilité d'obtenir :
a. deux boules de la même couleur ;
b. deux boules de couleurs différentes.

Partie B : Évaluation des compétences (7 points)

Le conseil à la fin de cette étude basée sur un repère orthonormé    d'unité graphique 1 cm pour 100 m, adresse ses solutions à Tapi, un élève compétent, en stage auprès du conseiln, en ces termes :
  Le bénéfice à réaliser en milliers de francs en fonction de la quantité    de papayes en tonnes par an est donné par la fonction    telle que     et dont la courbe intégrale     passe par le point     et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 10 000.
La rivière suit la courbe de la fonction numérique    définie par     les routes 1 et 2 suivent respectivement les droites d'équations     et   . Dans le repère   , la rivière est tangente à la route 1 à l'origine O. La production de la pastèque n'est bénéfique que si elle se fait sur le domaine compris entre les deux routes et la rivière.
  Sur le plan complexe associé au repère   , les pieds des deux abobabs sont assimilés aux points B₁ et B₂ dont les affixes respectives sont les solutions de l'équation    Le domaine bénéfique à la production de bananes est délimité par l'ensemble des points M  tels que  

Tâches :
1. Déterminer le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'il se lance dans la production de papayes.
2. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques.
3. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes.