Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques Cameroun 2022

Série D

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Durée : 4 heures

Coefficient : 4



Partie A : Évaluation des ressources (13 points)

4,5 points

exercice 1

1. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal  (O\,; \vec u \,,\vec v)  et on considère les points A, B et I  d'affixes respectives  4+\text i\;\; ,3\text i \;\; \text{ et } 1\,\cdot
\white w a. Démontrer que IAB  est un triangle rectangle isocèle de sens direct.

\white w b. On donne le point J  d'affixe  \text i\,\cdot  Calculer   \dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}   et donner la nature du triangle ABJ .
\white w c. Démontrer que les points I, A, B et J  appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe du centre et le rayon.

2. Soit  s  la similitude directe du plan de centre A qui transforme I en B.
\white w a. Démontrer que l'écriture complexe de  s  est   z'=(1-\text i)z-1+4\text i\,\cdot
\white w b. Donner l'angle et le rapport de  s .
\white w c. En déduire l'image par  s  du cercle de centre A et de rayon  \sqrt 2\,\cdot

4,5 points

exercice 2

On considère la fonction  f  définie sur [0 ; +infini[ par   f(x)=\ln ( \text e^x+x)-x\,\cdot Soit  (\mathcal C)  sa courbe représentative dans un repère orthonormal  (O\;; \vec i\,,\vec j)  ; unités : 5 cm sur les axes.

1. Etudier le sens des variations de  f  sur [0 ; +infini[.

2. a. Montrer que pour tout  x\in [0\,; +\infty[\,,\; f(x)=\ln \left(1+\dfrac{x}{\text e ^x}\right) \,\cdot
\white w b. En déduire la limite de   f  en + infini ; puis l'existence d'une asymptote dont une équation est à préciser.

3. Dresser le tableau de variations de   f   sur [0 ; + infini[.

4. a. Déterminer une équation de la tangente  (\mathcal D)  à  (\mathcal C )  en O .
\white w b. Tracer  (\mathcal D)  et  (\mathcal C )\,\cdot

4 points

exercice 3

1. Le réseau ferroviaire d'un pays compte cinq gares A, B, C, D et E, reliées de la façon suivante :


\begin{array} {|c|cccccccccccccc|} \hline \text{ Allant de }& A& |&A &| & A& | & B & |& C & | & C & | & D& \\ \hline \text {à}& B & |& C & | & D& | &C & | & D& | & E& | & E& \\ \hline \text{ Distance en centaines de km }& 2 & |& 6& |&5 & |&3 &| & 1& |& 3&|&4 & \\ \hline \end{array}


\white w a. Construire un graphe pondéré associé à ce réseau, sur lequel ABCD est un quadrilatère extérieur au triangle CDE .
\white w b. Déterminer par l'algorithme de DIJKSTRA, le plus court chemin de A à E.

2. Les droites de régression de  x  en  y  et de   y  en  x  d'une série statistique double sont respectivement données par :  

x=0,135 y + 6,65 \;\text{ et }\; y=6x-38\,\cdot

\white w a. Déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de cette série.
\white w b. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre  x  et  y ,puis l'interpréter.

3. Une boîte contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Calculer la probabilité d'obtenir :
\white w a. deux boules de la même couleur ;
\white w b. deux boules de couleurs différentes.

Partie B : Évaluation des compétences (7 points)

Bac Cameroun 2022 série D : image 5

Le conseil à la fin de cette étude basée sur un repère orthonormé  (O\;;\vec u\,,\vec v)  d'unité graphique 1 cm pour 100 m, adresse ses solutions à Tapi, un élève compétent, en stage auprès du conseil, en ces termes :
\textbf -   Le bénéfice à réaliser en milliers de francs en fonction de la quantité  x  de papayes en tonnes par an est donné par la fonction  h  telle que  h''(x)-3h'(x)+2h(x) = 0   et dont la courbe intégrale  (\mathcal C _ h)   passe par le point  A(0\;;15\,000)   et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 10 000.
\textbf - La rivière suit la courbe de la fonction numérique  g  définie par   g(x)=\ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}\;;  les routes 1 et 2 suivent respectivement les droites d'équations   y=0   et   x=1\,\cdot. Dans le repère  (O\;;\vec u\,,\vec v) , la rivière est tangente à la route 1 à l'origine O. La production de la pastèque n'est bénéfique que si elle se fait sur le domaine compris entre les deux routes et la rivière.
\textbf -   Sur le plan complexe associé au repère  (O\;;\vec u\,,\vec v) , les pieds des deux baobabs sont assimilés aux points B1 et B2 dont les affixes respectives sont les solutions de l'équation  z²-(2+4\text i)z-6+8\text i=0\,\cdot  Le domaine bénéfique à la production de bananes est délimité par l'ensemble des points M  tels que   \overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0\,\cdot

Tâches :
1. Déterminer le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'il se lance dans la production de papayes.
2. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques.
3. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes.





Bac Cameroun 2022 série D

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PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES (13 POINTS)

4,5 points

exercice 1

1.  On munit le plan complexe d'un repère orthonormal  \overset{{\white{.}}}{(O\,; \vec u \,,\vec v)}  et on considère les points A , B  et I  d'affixes respectives  \overset{{\white{.}}}{4+\text i\;,\; 3\text i \;\; \text{ et } 1.}

1. a)  Nous devons démontrer que IAB  est un triangle rectangle isocèle de sens direct.

\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}=\dfrac{3\text{i}-1}{4+\text{i}-1} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}}=\dfrac{3\text{i}-1}{3+\text{i}}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}}=\dfrac{\text{i}\,(3+\text{i})}{3+\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}}=\text{i}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_B-z_I}{z_A-z_I}=\text{i}}

Nous en déduisons que le triangle IAB  est rectangle isocèle en I  de sens direct.

1. b)  On donne le point J  d'affixe  \overset{{\white{.}}}{\text i.}
Nous devons calculer  \overset{{\white{.}}}{\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}}et donner la nature du triangle ABJ .

\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}=\dfrac{3\text{i}-\text{i}}{4+\text{i}-\text{i}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_I}}=\dfrac{2\text{i}}{4}} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_I}}=\dfrac{\text{i}}{2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}=\dfrac{1}{2}\,\text{i}}

Nous en déduisons que le triangle ABJ  est rectangle en J .

1. c)  Nous devons démontrer que les points I, A, B  et J  appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe du centre et le rayon.

Les triangles IAB  et JAB  sont rectangles respectivement en I  et en J .
Ils sont donc inscrits dans le même cercle de diamètre [AB ].

_\bullet{\white{x}}Le centre  \Omega  de ce cercle est le milieu du segment [AB ].

L'affixe de  \Omega  est  z_{ \Omega}=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{4+\text{i}+3\,\text{i}}{2}=\dfrac{4+4\,\text{i}}{2}=2+2\text{i}.

_\bullet{\white{x}}Le rayon de ce cercle est égal à  \dfrac{AB}{2}=\dfrac{|z_B-z_A|}{2}=\dfrac{|3\,\text{i}-4-\text{i}|}{2}=\dfrac{|-4+2\,\text{i}|}{2}=|-2+\text{i}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.

_\bullet{\white{x}}Par conséquent, les points I, A, B  et J  appartiennent à un même cercle de centre  \Omega  d'affixe  \overset{{\white{.}}}{2+2\text{i}}  et de rayon  \sqrt{5}.

2.  Soit s  la similitude directe du plan de centre A  qui transforme I  en B .

2. a)  Nous devons démontrer que l'écriture complexe de s  est  \overset{{\white{.}}}{z'=(1-\text i)z-1+4\text i.}

Nous savons que si s  une similitude directe du plan, alors il existe un unique nombre complexe a  different 0 et un unique nombre complexe b  tels que, pour tout point M  d'affixe z  et tout point M'  d'affixe z' ,
M'  est l'image de M  par s  si et seulement si :  z' = az + b.

Le point A  étant le centre de la symétrie s , nous avons :  \overset{{\white{.}}}{A=s(A).}
Le point B  étant l'image du point I  par la symétrie s , nous avons :  \overset{{\white{.}}}{B=s(I).}

Dès lors,

\left\lbrace\begin{matrix}A=s(A)\\\overset{{\white{.}}}{B=s(I)}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A=a\,z_A+b\\\overset{{\white{.}}}{z_B=a\,z_I+b}\end{matrix}\right. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}4+\text{i}=a\,(4+\text{i})+b\\\overset{{\phantom{.}}}{3\,\text{i}=a\times1+b}\end{matrix}\right.}
{\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}4+\text{i}=a\,(4+\text{i})+b\quad(1)\\\overset{{\phantom{.}}}{3\,\text{i}=a+b}\phantom{wWWwi}\quad(2)\end{matrix}\right.} \\\\ (1)-(2)\quad\Longleftrightarrow\quad 4+\text{i}-3\,\text{i}=4a+\text{i}\,a+b-a-b \\\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad 4-2\,\text{i}=3a+\text{i}\,a \\\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad 4-2\,\text{i}=(3+\text{i})\,a \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{4-2\,\text{i}}{3+\text{i}}=\dfrac{(4-2\,\text{i})(3-\text{i})}{(3+\text{i})(3-\text{i})}=\dfrac{12-4\text{i}-6\,\text{i}-2}{9+1}}  \\\\\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{10-10\,\text{i}}{10}=\dfrac{10\,(1-\text{i})}{10}=1-\text{i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{a=1-\text{i}}

\left\lbrace\begin{matrix}a=1-\text{i}\phantom{www}\\\overset{{\phantom{.}}}{3\,\text{i}=a+b}\quad(2)\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=1-\text{i}\phantom{w}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=3\,\text{i}-a}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=1-\text{i}\phantom{www}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=3\,\text{i}-1+\text{i}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=1-\text{i}\phantom{ww}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=-1+4\,\text{i}}\end{matrix}\right.}

D'où, l'écriture complexe de s  est  \overset{{\white{.}}}{z'=(1-\text i)z-1+4\text i.}

2. b)  Nous devons donner l'angle et le rapport de s .

_\bullet{\white{x}}Le rapport de la similitude s  est  |\,a\,|=|\,1-\text{i}\,|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\,.

_\bullet{\white{x}}Déterminons l'angle  \theta  de la similitude s .

\left\lbrace\begin{matrix}\cos\theta=\dfrac{1}{|a|}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\sin\theta=\dfrac{-1}{|a|}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\theta=-\dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]

Par conséquent, s  est une similitude de rapport  \sqrt{2}  et d'angle  -\dfrac{\pi}{4}.

2. c)  Nous devons en déduire l'image par s  du cercle de centre A  et de rayon  \sqrt 2.

s  est une similitude de centre A .
Donc  \overset{{\white{.}}}{s(A)=A.}

Le rapport de s  est  \sqrt{2}. 
Donc le rayon de l'image par s  du cercle de rayon  \sqrt 2  est égal à   \sqrt 2\times \sqrt 2 = 2. 

Nous en déduisons que l'image par s  du cercle de centre A  et de rayon  \sqrt 2  est un cercle de centre A  et de rayon  \overset{{\white{.}}}{2.}

4,5 points

exercice 2

On considère la fonction f  définie sur [0 ; +infini[ par  f(x)=\ln ( \text e^x+x)-x.
Soit  (\mathcal C)  sa courbe représentative dans un repère orthonormal  (O\;; \vec i\,,\vec j).

1. Nous devons étudier le sens des variations de f  sur [0 ; +infini[.

La fonction f  est dérivable sur [0 ; +infini[.

f\,'(x)=\left(\overset{}{\ln ( \text e^x+x)-x}\right)' \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{ f\,'(x)}= \dfrac{(\text e^x+x)'}{\text e^x+x}-1} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{ f\,'(x)}= \dfrac{\text e^x+1}{\text e^x+x}-1} \\\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\phantom{ f\,'(x)}= \dfrac{\text e^x+1-\text e^x-x}{\text e^x+x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{ f\,'(x)}= \dfrac{1-x}{\text e^x+x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\,[0\;,\;+\infty[,\;f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x+x}}

Pour tout x  appartenant à [0 ; +infini[, le dénominateur de f' (x ) est strictement positif (somme d'un nombre strictement positif et d'un nombre strictement positif).
Dès lors, le signe de f' (x ) est le signe de (1 - x ).

Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de f'  sur [0 ; +infini[.

\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}1-x<0\quad\Longleftrightarrow\quad  x>1\\1- x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=1\\1-x>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<1\end{matrix}\right.\end{matrix}{\white{ww}} \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&1&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline& &&&&&&\\1- x&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline& &&&&&&\\f'(x)&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où f  est strictement croissante sur [0 ; 1[ et est strictement décroissante sur ]1 ; +infini[.

2. a)  Montrons que pour tout  \overset{{\white{.}}}{x\in [0\,; +\infty[\,,\; f(x)=\ln \left(1+\dfrac{x}{\text e ^x}\right).}

f(x)=\ln ( \text e^x+x)-x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\ln ( \text e^x+x)-\ln \text{e}^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\ln \left( \dfrac{\text e^x+x}{\text e^x}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=\ln \left(1+ \dfrac{x}{\text e^x}\right)} \\\\\boxed{\forall\,x\in\,[\,0\,;\,+\infty\,[\,,\;f(x)=\ln \left(1+ \dfrac{x}{\text e^x}\right)}

2. b)  Nous devons en déduire la limite de f  en +infini ; puis l'existence d'une asymptote dont une équation est à préciser.

\lim\limits_{x\to+\infty}\,\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\quad(\text{croissances comparées})\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(1+ \dfrac{x}{\text e^x}\right)=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(1+ \dfrac{x}{\text e^x}\right)=\ln1=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\,f(x)=0}}

La courbe  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C)}  admet une asymptote horizontale au voisinage de +infini d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=0.}

3.  Dressons le tableau de variations de f  sur [0 ; +infini[.

\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=\ln(\text{e}^0+0)-0\\=\ln 1\phantom{f(0).}\\=0\phantom{f(0)wv}\\\\f(1)=\ln(\text{e}^1+1)-1\\\phantom{wv}=\ln(\text{e}+1)-1\\\approx0,31\phantom{wvw}\end{matrix}\right.\end{matrix}{\white{ww}} \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&1&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline& &&&&&&\\f'(x)&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&\ln(\text{e}+1)-1&&&\\f(x)&&&\nearrow&&\searrow&&\\&0&&&&&&0\\ \hline \end{array}\end{matrix}

4. a)  Nous devons déterminer une équation de la tangente  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal D)}  à  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C )}  en  \overset{{\white{.}}}{O.}

Une équation de la tangente  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal D)}  est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=f'(0)(x-0)+f(0)} , soit de la forme  \overset{{\white{.}}}{\boxed{y=f'(0)x+f(0)}\,.} 
Or  \overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\phantom{www}\\f'(x)=\dfrac{1-x}{\text e^x+x}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f'(0)=1\end{matrix}\right.}
D'où une équation de la tangente  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal D)}  est  \overset{{\white{.}}}{y=1\times x+0} , soit  \overset{{\white{.}}}{\boxed{y=x}\,.}

4. b)  Traçons  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal D)}  et  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C ).}

Bac Cameroun 2022 série D : image 8


4 points

exercice 3

1.  Le réseau ferroviaire d'un pays compte cinq gares A, B, C, D et E, reliées de la façon suivante :

\begin{array} {|c|cccccccccccccc|} \hline \text{ Allant de }& A& |&A &| & A& | & B & |& C & | & C & | & D& \\ \hline \text {à}& B & |& C & | & D& | &C & | & D& | & E& | & E&  \\ \hline \text{ Distance en centaines de km }& 2 & |& 6& |&5 & |&3 &| & 1& |& 3&|&4 & \\ \hline \end{array}


1. a)  Construisons un graphe pondéré associé à ce réseau, sur lequel ABCD est un quadrilatère extérieur au triangle CDE .

Bac Cameroun 2022 série D : image 10


1. b)  Déterminons par l'algorithme de DIJKSTRA, le plus court chemin de A à E.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c} \hline A&B&C&D&E& \text{Sommet sélectionné}  \\\hline 0&\infty&\infty&\infty&\infty&A\\\hline\cellcolor{magenta}&2_A&6_A&5_A&\infty&B\\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&5_B&5_A&\infty&C\\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&5_A&8_C&D \\\hline\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&\cellcolor{magenta}&8_C&E\\\hline \end{array}

D'où le chemin le plus court pour aller de A à E est A - B - C - E.
La longueur de ce trajet est de 8 km.


2.  Les droites de régression de x  en y  et de y  en x  d'une série statistique double sont respectivement données par :

x=0,135 y + 6,65 \;\text{ et }\; y=6x-38.

2. a)  Déterminons les coordonnées du point moyen du nuage de cette série.

Résolvons le système  \left\lbrace\begin{matrix}x=0,135 y + 6,65\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix}x=0,135 y + 6,65\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=0,135(6x-38) + 6,65\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38\phantom{wwwww}\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=0,81x-5,13 + 6,65\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38\phantom{wwwww}\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right.

{\white{wwwwwwwwwwwwww}}\\\\\phantom{WWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}0,19x=1,52\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38}\end{matrix}\right.  \\\\\phantom{WWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=8\phantom{WiW}\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38}\end{matrix}\right.  \\\\\phantom{WWWWWWWiW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=8\\\overset{{\white{.}}}{y=10}\end{matrix}\right. }

Paer conséquent, les coordonnées du point moyen du nuage de cette série sont (8 ; 10).

2. b)  Déterminons le coefficient de corrélation linéaire entre x  et y .

Les droites de régression de x  en y  et de y  en x  sont telles que  

\left\lbrace\begin{matrix}x=0,135 y + 6,65=ay+b\\\overset{{\white{.}}}{y=6x-38=a'x+b'\phantom{wwwi}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=0,135\\\overset{{\white{.}}}{a'=6\phantom{xxx}}\end{matrix}\right.

Si r  est le coefficient de corrélation, nous savons que  \overset{{\white{.}}}{r^2=a\times a'=0,135\times6=0,81\quad\Longrightarrow\quad (r=0,9\quad\text{ou}\quad r=-0,9).}

Or  \left\lbrace\begin{matrix}a=0,135>0\\\overset{{\white{.}}}{a'=6>0\phantom{xxx}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad  r>0.
Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{r=0,9}\,.}

3.  Une boîte contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.

3. a)  Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
Il y a  \overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}10\\2\end{pmatrix}=\dfrac{10\times9}{2}=45}  façons différentes de tirer simultanément 2 boules parmi les 10 boules de la boîte.

_\bullet{\white{x}}Il y a  \overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}=3}  façons différentes de tirer 2 boules vertes parmi les 3 boules vertes.
_\bullet{\white{x}}Il y a une seule façon de tirer 2 boules rouges parmi les 2 boules rouges.
_\bullet{\white{x}}Il y a  \overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=10}  façons différentes de tirer 2 boules jaunes parmi les 5 boules jaunes.

Il y a donc 3 + 1 + 10 = 14 façons différentes de tirer 2 boules de la même couleur.

Par conséquent, la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur est égale à  \dfrac{14}{45}.

3. b)  Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes.
La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à  1-\dfrac{14}{45}=\dfrac{31}{45}.

PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (7 POINTS)

1.  Nous devons déterminer le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'il se lance dans la production de papayes.

Le bénéfice à réaliser en milliers de francs en fonction de la quantité x  de papayes en tonnes par an est donné par la fonction h  telle que   \overset{{\white{.}}}{h''(x)-3h'(x)+2h(x) = 0}  et dont la courbe intégrale  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C _ h)}  passe par le point  \overset{{\white{.}}}{A(0\;;15\,000)}  et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 10 000.

Déterminons les solutions de l'équation différentielle  \overset{{\white{.}}}{h''(x)-3h'(x)+2h(x) = 0.} 

À cette équation différentielle, nous associons l'équation caractéristique  \overset{{\white{.}}}{r^2-3r+2=0}

Résolvons cette équation caractéristique.

\underline{\text{Discriminant}}\;:\Delta=(-3)^2-4\times1\times2=9-8=1>0 \\\\\underline{\text{Racines}}\;:r_1=\dfrac{3-1}{2}=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}r_2=\dfrac{3+1}{2}=2}

Puisque l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes  \overset{{\white{.}}}{r_1=1}  et  \overset{{\white{.}}}{r_2=2} , les solutions de l'équation différentielles s'écrivent sous la forme : \overset{{\white{.}}}{h(x)=\alpha\,\text{e}^{r_1x}+\beta\,\text{e}^{r_2x}} , soit  \overset{{\white{.}}}{\boxed{h(x)=\alpha\,\text{e}^{x}+\beta\,\text{e}^{2x}\quad\quad(\alpha\in\R\,,\beta\in\R)}}

_\bullet{\white{x}}D'une part, la courbe  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C _ h)}  passe par le point  \overset{{\white{.}}}{A(0\;;15\,000)}
Nous en déduisons que  

h(0)=15\,000\quad\Longleftrightarrow\quad \alpha\,\text{e}^{0}+\beta\,\text{e}^{0}=15\,000 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(0)=15\,000}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{\alpha+\beta=15\,000}}

_\bullet{\white{x}}D'autre part, la courbe  \overset{{\white{.}}}{(\mathcal C _ h)} admet en A une tangente de coefficient directeur 10 000.

Nous en déduisons que  \overset{{\white{.}}}{h'(0)=10\,000.} 

\text{Or }\;h'(x)=(\alpha\,\text{e}^{x}+\beta\,\text{e}^{2x})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;h'(x)}=\alpha\,\text{e}^{x}+2\beta\,\text{e}^{2x}} \\\\\Longrightarrow h'(0)=\alpha\,\text{e}^{0}+2\beta\,\text{e}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Longrightarrow }\,h'(0)=\alpha+2\beta} \\\\\text{D'où }\;h'(0)=10\,000\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\alpha+2\beta=10\,000}

Dès lors,

\left\lbrace\begin{matrix}\alpha+\beta=15\,000\quad(1)\\\overset{{\white{.}}}{\alpha+2\beta=10\,000\quad(2)}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}(2)-(1):\beta=-5\,000 \\\overset{{\white{.}}}{(1):\alpha-5\,000=15\,000}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\alpha=20\,000\\\overset{{\white{.}}}{\beta=-5\,000}\end{matrix}\right.

D'où, pour tout réel x positif,  \boxed{h(x)=20\,000\,\text{e}^{x}-5\,000\,\text{e}^{2x}} 

Étudions les variations de la fonction h  sur l'intervalle [0 ; +infini[.

h'(x)=20\,000\,\text{e}^{x}-5\,000\times2\,\text{e}^{2x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=20\,000\,\text{e}^{x}-10\,000\,\text{e}^{2x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h'(x)}=10\,000\,\text{e}^{x}(2-\text{e}^{x})}

Puisque  \overset{{\white{.}}}{10\,000\,\text{e}^{x}>0}  pour tout x  réel, le signe de h' (x ) est le signe de  \overset{{\white{.}}}{(2-\text{e}^{x}).}

\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}2-\text{e}^{x}<0\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^x>2\\\phantom{WiWWWW} \Longleftrightarrow\quad x>\ln 2\\\\2-\text{e}^{x}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\ln 2\\\\2-\text{e}^{x}>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<\ln 2\end{matrix}\right.\\\\h(\ln 2)=20\,000\times2-5\,000\times4\\=20\,000\phantom{xxxxxxx}\end{matrix}{\white{ww}} \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&\ln 2&&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline& &&&&&&\\2-\text{e}^{x}&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\h'(x)&&&+&0&-&&\\&&&&&&&\\\hline&&&&20\,000&&&\\h(x)&&&\nearrow&&\searrow&&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

La fonction h  admet donc un maximum égal à 20 000.
Par conséquent, le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'élève à 20 000 000 francs.

2.  Nous devons déterminer l'aire  \mathcal{A}_P  du domaine bénéfique à la production de pastèques.

Le domaine fermé bénéfique à la production de pastèques est colorié en rouge dans le figure ci-dessous.

Bac Cameroun 2022 série D : image 9


Déterminons  \mathcal{A}_P  en unité d'aire.

\mathcal{A}_P=\displaystyle\int_0^1\left[\ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}\right]\,\text{d}x \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathcal{A}_P=\displaystyle\int_0^1\ln(x+1)\,\text{d}x-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text{d}x}

\bullet{\white{x}}\text{Calculons }\displaystyle\int_0^1\ln(x+1)\,\text{d}x\text{ par parties}  \\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1}  u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{0}^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{1} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}.  \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln (x+1)\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=\dfrac{1}{x+1}\\v'(x)=1\phantom{wwwwwwwv}\Longrightarrow\quad\quad v(x)=x\phantom{ww}\end{matrix}\right.

\text{Dès lors, }\ \displaystyle\int_0^1\ln(x+1)\,\text{d}x=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- \displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x+1}\times x\,\text d x \\\\\phantom{WWWWWWWWWW}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text d x \\\\\bullet{\phantom{x}}\text{D'où }\mathcal{A}_P=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- \displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text d x-\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text{d}x

{\white{.}}\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- 2\displaystyle\int_0^1\dfrac{x}{x+1}\,\text d x \\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- 2\displaystyle\int_0^1\dfrac{x+1-1}{x+1}\,\text d x
{\white{.}}\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- 2\displaystyle\int_0^1\left(1-\dfrac{1}{x+1}\right)\,\text d x
{\white{.}}\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}- 2\displaystyle\int_0^11\,\text d x+ 2\displaystyle\int_0^1\dfrac{1}{x+1}\,\text d x

\\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\left[\overset{}{x\times\ln (x+1)}\right]\limits_{0}^{1}-2\left[\overset{}{x}\right]_0^1+2\left[\overset{}{\ln(x+1)}\right]_0^1 \\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=(\ln2-0)-2(1-0)+2(\ln2-0) \\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=3\ln2-2 \\\\\phantom{\text{D'où }\mathcal{A}_P}=\ln8-2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathcal{A}_P=(\ln8-2)\text{ u. a.}}

Or dans le repère, l'unité de longueur est de 1 cm pour 100 m en abscisse et 1 cm pour 100 m en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 100 multiplie 100 = 10 000 m2.

Par conséquent, l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques est égale à  \overset{{\white{.}}}{10\,000\,(\ln8-2)\text{ m}^2\approx\boxed{794\text{ m}^2}\,.}

3.  Nous devons déterminer l'aire  \mathcal{A}_B  du domaine bénéfique à la production de bananes.

_\bullet{\white{x}}Déterminons d'abord les affixes de B 1 et B 2, solutions de l'équation  z²-(2+4\text i)z-6+8\text i=0.

Résolvons donc l'équation  z²-(2+4\text i)z-6+8\text i=0.

\underline{\text{Discriminant}}\;:\Delta=[-(2+4\text i)]^2-4\times1\times(-6+8\text i) \\\phantom{WWWWWWW}=4+16\text i-16+24-32\text i \\\phantom{WWWWWWW}=12-16\text i \\\phantom{WWWWWWW}=16-16\text i-4 \\\phantom{WWWWWWW}=(4-2\text i)^2  \\\\\underline{\text{Racines}}\;:z_1=\dfrac{2+4\text i-(4-2\text i)}{2}=\dfrac{-2+6\text i}{2}=-1+3\text i \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}z_2=\dfrac{2+4\text i+(4-2\text i)}{2}=\dfrac{6+2\text i}{2}=3+\text i}
D'où l'affixe de B 1 est -1 + 3i et l'affixe de B 2 est 3 + i.

_\bullet{\white{x}}Déterminons ensuite l'ensemble des points M  tels que  \overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0.

Soit le point I , milieu du segment [B 1B 2].
Dans ce cas, nous savons que :  \overrightarrow{IB_2}=-\overrightarrow{IB_1}.

Dès lors,

\overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0\quad\Longleftrightarrow\quad(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB_1})\cdot(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB_2})=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}\quad\Longleftrightarrow\quad(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB_1})\cdot(\overrightarrow{MI}-\overrightarrow{IB_1})=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{MI}\,^2-\overrightarrow{IB_1}^2=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}\quad\Longleftrightarrow\quad MI\,^2-IB_1^2=0}
{\white{.}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW.}\quad\Longleftrightarrow\quad MI\,^2=IB_1^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWv}\quad\Longleftrightarrow\quad MI=IB_1}

Donc la distance des points M  au point I  est une constante et est égale à IB 1.
Les points M  sont situés sur un cercle de centre I  et de rayon IB 1.
Par conséquent, l'ensemble des points M  tels que  \overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0  est le cercle de centre centre I  et de rayon IB 1, c'est-à-dire le cercle de diamètre [B 1B 2].

Le rayon de ce cercle est donné par :

IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2=\dfrac{1}{2}\left|z_2-z_1\right| \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=\dfrac{1}{2}|\,3+\text i+1-3\text i\,|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=\dfrac{1}{2}|\,4-2\text i\,|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=|\,2-\text i\,|} \\\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=\sqrt{4+1} \\\phantom{IB_1=\dfrac{1}{2}B_1B_2}=\sqrt{5}
Donc le rayon du cercle est égal à  \sqrt{5}.

_\bullet{\white{x}}Déterminons enfin l'aire  \mathcal{A}_B  en unité d'aire du disque délimité par ce cercle.

\mathcal{A}_B=\pi\times(\sqrt{5})^2=5\,\pi\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal{A}_B=5\,\pi\text{ u. a.}}

Or dans le repère, l'unité de longueur est de 1 cm pour 100 m en abscisse et 1 cm pour 100 m en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 100 multiplie 100 = 10 000 m2.

Par conséquent, l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes est égale à  \overset{{\white{.}}}{10\,000\,\times5\,\pi\text{ m}^2=50\,000\,\pi\text{ m}^2\approx\boxed{157\,080\text{ m}^2}\,.}

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