1. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal et on
considère les points A, B et I d'affixes respectives a. Démontrer que IAB est un triangle rectangle isocèle de sens direct.
b. On donne le point J d'affixe Calculer
et donner la nature du triangle ABJ .
c. Démontrer que les points I, A, B et J appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe
du centre et le rayon.
2. Soit s la similitude directe du plan de centre A qui transforme I en B.
a. Démontrer que l'écriture complexe de s est
b. Donner l'angle et le rapport de s .
c. En déduire l'image par s du cercle de centre A et de rayon
4,5 points
exercice 2
On considère la fonction définie sur [0 ; +[ par
Soit sa courbe représentative dans un
repère orthonormal ; unités : 5 cm sur les axes.
1. Etudier le sens des variations de sur [0 ; +[.
2. a. Montrer que pour tout b. En déduire la limite de en + ; puis
l'existence d'une asymptote dont une équation est à préciser.
3. Dresser le tableau de variations de sur [0 ; + [.
4. a. Déterminer une équation de la tangente à
en O .
b. Tracer et
4 points
exercice 3
1. Le réseau ferroviaire d'un pays compte cinq gares A, B, C, D et E, reliées de la façon suivante :
a. Construire un graphe pondéré associé à ce réseau, sur lequel ABCD est un quadrilatère extérieur
au triangle CDE . b. Déterminer par l'algorithme de DIJKSTRA, le plus court chemin de A à E.
2. Les droites de régression de en et de
en d'une série statistique double sont respectivement données par :
a. Déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de cette série. b. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre
et ,puis l'interpréter.
3. Une boîte contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la
boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Calculer la probabilité d'obtenir : a. deux boules de la même couleur ; b. deux boules de couleurs différentes.
Partie B : Évaluation des compétences (7 points)
Le conseil à la fin de cette étude basée sur un repère orthonormé d'unité graphique
1 cm pour 100 m, adresse ses solutions à Tapi, un élève compétent, en stage auprès du conseil, en ces termes : Le bénéfice à réaliser en milliers de francs en fonction de la quantité
de papayes en tonnes par an est donné par la fonction telle que
et dont la courbe intégrale
passe par le point et admet en ce point une tangente de coefficient
directeur 10 000. La rivière suit la courbe de la fonction numérique définie par
les routes 1 et 2 suivent respectivement les droites d'équations
et . Dans le repère , la rivière
est tangente à la route 1 à l'origine O. La production de la pastèque n'est bénéfique que si elle se fait sur le domaine
compris entre les deux routes et la rivière.
Sur le plan complexe associé au repère , les pieds
des deux baobabs sont assimilés aux points B1 et B2 dont les affixes respectives sont les solutions de l'équation
Le domaine bénéfique à la production de bananes est délimité
par l'ensemble des points M tels que
Tâches : 1. Déterminer le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'il se lance dans
la production de papayes. 2. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques.
3. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes.
1. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal et on considère les points A , B et I d'affixes respectives
1. a) Nous devons démontrer que IAB est un triangle rectangle isocèle de sens direct.
Nous en déduisons que le triangle IAB est rectangle isocèle en I de sens direct.
1. b) On donne le point J d'affixe
Nous devons calculer et donner la nature du triangle ABJ .
Nous en déduisons que le triangle ABJ est rectangle en J .
1. c) Nous devons démontrer que les points I, A, B et J appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe du centre et le rayon.
Les triangles IAB et JAB sont rectangles respectivement en I et en J .
Ils sont donc inscrits dans le même cercle de diamètre [AB ].
Le centre de ce cercle est le milieu du segment [AB ].
L'affixe de est
Le rayon de ce cercle est égal à
Par conséquent, les points I, A, B et J appartiennent à un même cercle de centre d'affixe et de rayon
2. Soit s la similitude directe du plan de centre A qui transforme I en B .
2. a) Nous devons démontrer que l'écriture complexe de s est
Nous savons que si s une similitude directe du plan, alors il existe un unique nombre complexe a 0 et un unique nombre complexe b tels que, pour tout point M d'affixe z et tout point M' d'affixe z' , M' est l'image de M par s si et seulement si :
Le point A étant le centre de la symétrie s , nous avons :
Le point B étant l'image du point I par la symétrie s , nous avons :
Dès lors,
D'où, l'écriture complexe de s est
2. b) Nous devons donner l'angle et le rapport de s .
Le rapport de la similitude s est
Déterminons l'angle de la similitude s .
Par conséquent, s est une similitude de rapport et d'angle
2. c) Nous devons en déduire l'image par s du cercle de centre A et de rayon
s est une similitude de centre A .
Donc
Le rapport de s est
Donc le rayon de l'image par s du cercle de rayon est égal à
Nous en déduisons que l'image par s du cercle de centre A et de rayon est un cercle de centre A et de rayon
4,5 points
exercice 2
On considère la fonction f définie sur [0 ; +[ par
Soit sa courbe représentative dans un repère orthonormal
1. Nous devons étudier le sens des variations de f sur [0 ; +[.
La fonction f est dérivable sur [0 ; +[.
Pour tout x appartenant à [0 ; +[, le dénominateur de f' (x ) est strictement positif (somme d'un nombre strictement positif et d'un nombre strictement positif).
Dès lors, le signe de f' (x ) est le signe de (1 - x ).
Nous pouvons alors dresser le tableau de signes de f' sur [0 ; +[.
D'où f est strictement croissante sur [0 ; 1[ et est strictement décroissante sur ]1 ; +[.
2. a) Montrons que pour tout
2. b) Nous devons en déduire la limite de f en + ; puis l'existence d'une asymptote dont une équation est à préciser.
La courbe admet une asymptote horizontale au voisinage de + d'équation
3. Dressons le tableau de variations de f sur [0 ; +[.
4. a) Nous devons déterminer une équation de la tangente à en
Une équation de la tangente est de la forme , soit de la forme
Or
D'où une équation de la tangente est , soit
4. b) Traçons et
4 points
exercice 3
1. Le réseau ferroviaire d'un pays compte cinq gares A, B, C, D et E, reliées de la façon suivante :
1. a) Construisons un graphe pondéré associé à ce réseau, sur lequel ABCD est un quadrilatère extérieur au triangle CDE .
1. b) Déterminons par l'algorithme de DIJKSTRA, le plus court chemin de A à E.
D'où le chemin le plus court pour aller de A à E est A - B - C - E.
La longueur de ce trajet est de 8 km.
2. Les droites de régression de x en y et de y en x d'une série statistique double sont respectivement données par :
2. a) Déterminons les coordonnées du point moyen du nuage de cette série.
Résolvons le système
Paer conséquent, les coordonnées du point moyen du nuage de cette série sont (8 ; 10).
2. b) Déterminons le coefficient de corrélation linéaire entre x et y .
Les droites de régression de x en y et de y en x sont telles que
Si r est le coefficient de corrélation, nous savons que
Or
Par conséquent,
3. Une boîte contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.
3. a) Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur.
Il y a façons différentes de tirer simultanément 2 boules parmi les 10 boules de la boîte.
Il y a façons différentes de tirer 2 boules vertes parmi les 3 boules vertes. Il y a une seule façon de tirer 2 boules rouges parmi les 2 boules rouges. Il y a façons différentes de tirer 2 boules jaunes parmi les 5 boules jaunes.
Il y a donc 3 + 1 + 10 = 14 façons différentes de tirer 2 boules de la même couleur.
Par conséquent, la probabilité d'obtenir deux boules de la même couleur est égale à
3. b) Calculons la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes. La probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à
PARTIE B : ÉVALUATION DES COMPÉTENCES (7 POINTS)
1. Nous devons déterminer le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'il se lance dans la production de papayes.
Le bénéfice à réaliser en milliers de francs en fonction de la quantité x de papayes en tonnes par an est donné par la fonction h telle que
et dont la courbe intégrale passe par le point
et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 10 000.
Déterminons les solutions de l'équation différentielle
À cette équation différentielle, nous associons l'équation caractéristique
Résolvons cette équation caractéristique.
Puisque l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes et , les solutions de l'équation différentielles s'écrivent sous la forme :
, soit
D'une part, la courbe passe par le point
Nous en déduisons que
D'autre part, la courbe admet en A une tangente de coefficient directeur 10 000.
Nous en déduisons que
Dès lors,
D'où, pour tout réel x positif,
Étudions les variations de la fonction h sur l'intervalle [0 ; +[.
Puisque pour tout x réel, le signe de h' (x ) est le signe de
La fonction h admet donc un maximum égal à 20 000.
Par conséquent, le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'élève à 20 000 000 francs.
2. Nous devons déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques.
Le domaine fermé bénéfique à la production de pastèques est colorié en rouge dans le figure ci-dessous.
Déterminons en unité d'aire.
Or dans le repère, l'unité de longueur est de 1 cm pour 100 m en abscisse et 1 cm pour 100 m en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 100 100 = 10 000 m2.
Par conséquent, l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques est égale à
3. Nous devons déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes.
Déterminons d'abord les affixes de B1 et B2, solutions de l'équation
Résolvons donc l'équation
D'où l'affixe de B1 est -1 + 3i et l'affixe de B2 est 3 + i.
Déterminons ensuite l'ensemble des points M tels que
Soit le point I , milieu du segment [B1B2].
Dans ce cas, nous savons que :
Dès lors,
Donc la distance des points M au point I est une constante et est égale à IB1.
Les points M sont situés sur un cercle de centre I et de rayon IB1.
Par conséquent, l'ensemble des points M tels que est le cercle de centre centre I et de rayon IB1, c'est-à-dire le cercle de diamètre [B1B2].
Le rayon de ce cercle est donné par :
Donc le rayon du cercle est égal à
Déterminons enfin l'aire en unité d'aire du disque délimité par ce cercle.
Or dans le repère, l'unité de longueur est de 1 cm pour 100 m en abscisse et 1 cm pour 100 m en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 100 100 = 10 000 m2.
Par conséquent, l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes est égale à
Publié par malou
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