Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques Cameroun 2022

Série D

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Durée : 4 heures

Coefficient : 4



Partie A : Évaluation des ressources (13 points)

4,5 points

exercice 1

1. On munit le plan complexe d'un repère orthonormal  (O\,; \vec u \,,\vec v)  et on considère les points A, B et I  d'affixes respectives  4+\text i\;\; ,3\text i \;\; \text{ et } 1\,\cdot
\white w a. Démontrer que IAB  est un triangle rectangle isocèle de sens direct.

\white w b. On donne le point J  d'affixe  \text i\,\cdot  Calculer   \dfrac{z_B-z_J}{z_A-z_J}   et donner la nature du triangle ABJ .
\white w c. Démontrer que les points I, A, B et J  appartiennent à un même cercle dont on donnera l'affixe du centre et le rayon.

2. Soit  s  la similitude directe du plan de centre A qui transforme I en B.
\white w a. Démontrer que l'écriture complexe de  s  est   z'=(1-\text i)z-1+4\text i\,\cdot
\white w b. Donner l'angle et le rapport de  s .
\white w c. En déduire l'image par  s  du cercle de centre A et de rayon  \sqrt 2\,\cdot

4,5 points

exercice 2

On considère la fonction  f  définie sur [0 ; +infini[ par   f(x)=\ln ( \text e^x+x)-x\,\cdot Soit  (\mathcal C)  sa courbe représentative dans un repère orthonormal  (O\;; \vec i\,,\vec j)  ; unités : 5 cm sur les axes.

1. Etudier le sens des variations de  f  sur [0 ; +infini[.

2. a. Montrer que pour tout  x\in [0\,; +\infty[\,,\; f(x)=\ln \left(1+\dfrac{x}{\text e ^x}\right) \,\cdot
\white w b. En déduire la limite de   f  en + infini ; puis l'existence d'une asymptote dont une équation est à préciser.

3. Dresser le tableau de variations de   f   sur [0 ; + infini[.

4. a. Déterminer une équation de la tangente  (\mathcal D)  à  (\mathcal C )  en O .
\white w b. Tracer  (\mathcal D)  et  (\mathcal C )\,\cdot

4 points

exercice 3

1. Le réseau ferroviaire d'un pays compte cinq gares A, B, C, D et E, reliées de la façon suivante :


\begin{array} {|c|cccccccccccccc|} \hline \text{ Allant de }& A& |&A &| & A& | & B & |& C & | & C & | & D& \\ \hline \text {à}& B & |& C & | & D& | &C & | & D& | & E& | & E& \\ \hline \text{ Distance en centaines de km }& 2 & |& 6& |&5 & |&3 &| & 1& |& 3&|&4 & \\ \hline \end{array}


\white w a. Construire un graphe pondéré associé à ce réseau, sur lequel ABCD est un quadrilatère extérieur au triangle CDE .
\white w b. Déterminer par l'algorithme de DIJKSTRA, le plus court chemin de A à E.

2. Les droites de régression de  x  en  y  et de   y  en  x  d'une série statistique double sont respectivement données par :  

x=0,135 y + 6,65 \;\text{ et }\; y=6x-38\,\cdot

\white w a. Déterminer les coordonnées du point moyen du nuage de cette série.
\white w b. Déterminer le coefficient de corrélation linéaire entre  x  et  y ,puis l'interpréter.

3. Une boîte contient 3 boules vertes, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. On tire simultanément 2 boules de la boîte et on suppose que tous les tirages sont équiprobables.
Calculer la probabilité d'obtenir :
\white w a. deux boules de la même couleur ;
\white w b. deux boules de couleurs différentes.

Partie B : Évaluation des compétences (7 points)

Bac Cameroun 2022 série D : image 5

Le conseil à la fin de cette étude basée sur un repère orthonormé  (O\;;\vec u\,,\vec v)  d'unité graphique 1 cm pour 100 m, adresse ses solutions à Tapi, un élève compétent, en stage auprès du conseiln, en ces termes :
\textbf -   Le bénéfice à réaliser en milliers de francs en fonction de la quantité  x  de papayes en tonnes par an est donné par la fonction  h  telle que  h''(x)-3h'(x)+2h(x) = 0   et dont la courbe intégrale  (\mathcal C _ h)   passe par le point  A(0\;;15\,000)   et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 10 000.
\textbf - La rivière suit la courbe de la fonction numérique  g  définie par   g(x)=\ln(x+1)-\dfrac{x}{x+1}\;;  les routes 1 et 2 suivent respectivement les droites d'équations   y=0   et   x=1\,\cdot. Dans le repère  (O\;;\vec u\,,\vec v) , la rivière est tangente à la route 1 à l'origine O. La production de la pastèque n'est bénéfique que si elle se fait sur le domaine compris entre les deux routes et la rivière.
\textbf -   Sur le plan complexe associé au repère  (O\;;\vec u\,,\vec v) , les pieds des deux abobabs sont assimilés aux points B1 et B2 dont les affixes respectives sont les solutions de l'équation  z²-(2+4\text i)z-6+8\text i=0\,\cdot  Le domaine bénéfique à la production de bananes est délimité par l'ensemble des points M  tels que   \overrightarrow{MB_1}\cdot\overrightarrow{MB_2}=0\,\cdot

Tâches :
1. Déterminer le bénéfice maximal annuel à réaliser par l'entreprise de Monsieur Manga s'il se lance dans la production de papayes.
2. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de pastèques.
3. Déterminer l'aire du domaine bénéfique à la production de bananes.
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