Le plan est muni d'un repère orthonormé . On considère la conique (C ) d'équation
cartésienne
1. a. Parmi les trois propositions suivantes, recopier celle qui est vraie : . (C ) est une parabole ; . (C ) est une hyperbole ; . (C ) est une ellipse. b. Calculer son excentricité et les coordonnées de ses foyers. c. Déterminer des équations cartésiennes des directrices et des asymptotes.
2. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (E ) des points
M ( x ; y ) du plan, tels que b. Déterminer les coordonnées des points de rencontre de (E ) avec
la droite (D ) d'équation
5,5 points
exercice 2
I - On considère les suites définies respectivement par :
1. Montrer que la suite est une suite géométrique dont on déterminera la
raison et le premier terme.
2. Ecrire et en fonction de .
3. Calculer en fonction de .
II - P est le polynôme de la variable complexe z défini par :
1. Calculer
2. En déduire l'écriture de sous la forme où
a , b et c sont des nombres complexes à déterminer.
3. A , B et C sont des points du plan complexe, d'affixes respectives ,
et
a. Ecrire sous la forme algébrique le quotient b. En déduire la nature exacte du triangle ABC.
10 points
probleme
Le tableau de variations ci-après est celui d'une fonction g définie sur R par
où a et b sont des nombres réels.
1. a. Déterminer la dérivée g' de g en fonction de a et b.
b. Justifier que le couple (a ; b) est la solution du système :
c. En déduire que pour tout
2. On considère la fonction f définie sur R par a. Montrer que la dérivée f ' de f est définie sur R par b. Préciser le sens de variations de f .
3. Donner les limites de f en + et en - .
4. Calculer la limite de en + et en donner
une interprétation géométrique.
5. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D ) , tangente à la courbe (C ) de f au point
d'abscisse 0.
On considère la fonction h définie sur R par et
(C ') sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique : 1 cm.
6. Construire (C ) , (D ) et (C ' ) dans le même repère .
7. a. Justifier que la fonction F définie sur R par
est une primitive de la fonction f sur R. b. En déduire l'aire de la portion de plan délimitée par (C), l'axe des abscisses et les droites
d'équations
8. On considère l'équation différentielle a. Justifier que f est une solution de (E ). b. Résoudre l'équation différentielle
Le plan est muni d'un repère orthonormé
On considère la conique (C) d'équation cartésienne
1. a) La conique (C) admet une équation cartésienne de la forme
(C) est une hyperbole dont le centre est l'origine du repère et dont l'axe transversal est l'axe des abscisses.
1. b)Si la conique admet une équation cartésienne de la forme , alors les coordonnées
des foyers sont (-c ; 0) et (c ; 0) où
Donc dans le cas de la conique (C) d'équation cartésienne , nous obtenons : et
Dès lors
Par conséquent, les coordonnées des foyers de (C) sont et
L'excentricité de la conique est et par suite, l'excentricité de (C) est
1. c)Les équations cartésiennes des directrices de l'hyperbole sont de la forme et
D'où les équations cartésiennes des directrices de la conique (C) sont et
Les équations cartésiennes des asymptotes de l'hyperbole sont de la forme et
D'où les équations cartésiennes des asymptotes de la conique (C) sont et
2. a) Nous devons déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (E ) des points M (x ;y ) du plan, tels que
Par conséquent, (E ) est une cercle de centre (-1 ; 2) et de rayon 3.
2. b) Nous devons déterminer les coordonnées des points de rencontre de (E ) avec la droite (D ) d'équation
Ces coordonnées sont les solutions du système :
Par conséquent, les coordonnées des points de rencontre de (E ) avec la droite (D ) sont et
5,5 points
exercice 2
I - On considère les suites définies respectivement par :
1. Nous devons montrer que la suite est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
Pour tout entier naturel n ,
Nous en déduisons que la suite est une suite géométrique de raison dont le premier terme est
2.Exprimons en fonction de n .
Si est une suite géométrique de raison q dont le premier terme est , alors
Or est une suite géométrique de raison dont le premier terme est
Donc , soit
Exprimons en fonction de n .
3. Nous devons calculer en fonction de
Cette somme Sn comprend (n + 1) termes.
Nous rappelons que la somme Sn des termes d'une suite géométrique se calcule par :
II -P est le polynôme de la variable complexe z défini par :
1. Nous devons calculer
2. Nous avons montré dans la question 1. que 4 + 2i est une racine de P .
Donc P est factorisable par (z - (4 + 2i)), soit par (z - 4 - 2i).
Nous en déduisons qu'il existe un polynôme à coefficients complexes tel que
Déterminons les coefficients a, b et c .
Développons le produit
Donc l'égalité peut s'écrire :
Par identification des coefficients, nous obtenons :
Par conséquent,
3.A , B et C sont des points du plan complexe, d'affixes respectives et
3. a) Nous devons écrire sous la forme algébrique le quotient
3. a) Nous en déduisons que le triangle ABC est rectangle en B (et secondairement que AB = 2BC ).
10 points
probleme
Le tableau de variations ci-après est celui d'une fonction g définie sur R par où a et b sont des nombres réels.
1. a) Nous devons déterminer la dérivée g' de g en fonction de a et b .
1. b) Nous devons justifier que le couple (a ; b ) est la solution du système :
Grâce au tableau de variations de g , nous savons que : g' (1) = 0.
Nous savons également grâce au tableau de variations de g que g (1) = -e.
Par conséquent, le couple (a ; b ) est la solution du système :
1. c) Résolvons dans le système
Dès lors, (a ; b ) = (1 ; -2).
Nous en déduisons que pour tout
2. On considère la fonction f définie sur R par
2. a) Montrons que la dérivée f' de f est définie sur R par
2. b) En observant que les fonctions f et g sont égales sur ,
nous en déduisons que le tableau de variations de f est identique à celui de g , à savoir :
Par conséquent, la fonction fest strictement décroissante sur l'intervalle ]- ; 1[ est strictement croissante sur l'intervalle ]1 ; +[ admet un minimum égal à -e pour x = 1.
3. Sur base de la question 2. b), nous déduisons que : et
4. Nous devons calculer la limite de en +.
Or
D'où
Dès lors, la courbe (C ) a pour direction asymptotique la droite d'équation x = 0.
5. Nous devons déterminer une équation cartésienne de la droite (D ) , tangente à la courbe (C ) de f au point d'abscisse 0.
Une équation de la tangente (D ) est de la forme , soit de la forme
Or
D'où une équation de la tangente (D ) est , soit
On considère la fonction h définie sur R par et (C' ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique : 1 cm.
6. Nous devons construire (C ) , (D ) et (C' ) dans le même repère
7. a) Nous devons justifier que la fonction F définie sur R par est une primitive de la fonction f sur R.
La fonction F est dérivable sur R.
Pour tout x réel,
Donc pour tout x réel,
Par conséquent, la fonction F définie sur R par est une primitive de la fonction f sur R.
7. b) Nous devons en déduire l'aire de la portion de plan délimitée par (C ), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 2 et x = 3.
8. On considère l'équation différentielle
8. a) Justifions que f est une solution de (E ).
Nous obtenons alors :
Par conséquent, f est une solution de (E ).
8. b) Nous devons résoudre l'équation différentielle
À cette équation différentielle (E' ), nous associons l'équation caractéristique
Résolvons cette équation caractéristique.
Puisque l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes et , les solutions de l'équation différentielle (E' ) s'écrivent sous la forme :
, soit
Publié par malou
le
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