Fiche de mathématiques

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Bac Cameroun 2022

Mathématiques série F

Durée : 3 heures

Coefficient : 3

4,5 points

exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,; \, \vec i\,,\vec j)$ . On considère la conique (C ) d'équation cartésienne ${\white i} \dfrac{x²}{4}-\dfrac{y²}{9}=1\,\cdot$

1. a. Parmi les trois propositions suivantes, recopier celle qui est vraie :
$\white{www}$ alpha

. (C ) est une parabole ;
$\white{www}$ beta

. (C ) est une hyperbole ;
$\white{www}$ gamma

. (C ) est une ellipse.
$\white w$ b. Calculer son excentricité et les coordonnées de ses foyers.
$\white w$ c. Déterminer des équations cartésiennes des directrices et des asymptotes.

2. a. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (E ) des points M ( x ; y ) du plan, tels que ${\white i} x²+y²+2x-4y=4\,\cdot$

$\white w$ b. Déterminer les coordonnées des points de rencontre de (E ) avec la droite (D ) d'équation ${\white i} x-1=0\,\cdot$

5,5 points

exercice 2

I - On considère les suites $(u_n)_{n\in \textbf N} \text{ et } (v_n)_{n\in \textbf N}$ définies respectivement par :

$\left\lbrace\begin{matrix} u_0& = & 3\\ u_{n+1} & = & \frac 1 3 u_n +\frac 4 3 \end{matrix}\right.\quad \text{ et } \quad v_n=u_n - 2\,\cdot$

1. Montrer que la suite $(v_n)_{n\in \textbf N}$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

2. Ecrire ${\white i }v_n {\white i }$ et ${\white i }u_n{\white i }$ en fonction de $n$ .

3. Calculer ${\white i }S_n=v_0+v_1+\dots + v_{n-1}+v_n{\white i }$ en fonction de ${\white i }n$ .

II - P est le polynôme de la variable complexe z défini par : ${\white i} P(z)=z^3-(6+8\text i)z²+(-9+38\text i)z+40-30\text i\,\cdot$

1. Calculer ${\white i} P(4+2\text i ) \,\cdot$

2. En déduire l'écriture de ${\white i}P(z){\white i}$ sous la forme ${\white i}P(z)=(z-4-2\text i)(az²+bz+c){\white i}$ où a , b et c sont des nombres complexes à déterminer.

3. A , B et C sont des points du plan complexe, d'affixes respectives ${\white i}z_A=5\text i {\white i}$ , ${\white i}z_B=2+\text i{\white i}$ et ${\white i}z_C=4+2\text i {\white i}\cdot$

$\white w$ a. Ecrire sous la forme algébrique le quotient ${\white i}\dfrac{z_A-z_B}{z_c-z_B}\,\cdot$
$\white w$ b. En déduire la nature exacte du triangle ABC.

10 points

probleme

Le tableau de variations ci-après est celui d'une fonction g définie sur R par ${\white i} g(x)=(ax+b)\text e ^x{\white i}$ où a et b sont des nombres réels.

$\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x & -\infty & & 1 & & +\infty & \\ \hline g'(x)& & - & 0 & + & & \\ \hline g(x)& &^0 \searrow & _{-\text e }& \nearrow & ^{+\infty}& \\ \hline \end{array}$

1. a. Déterminer la dérivée g' de g en fonction de a et b.
$\white w$ b. Justifier que le couple (a ; b) est la solution du système : $\left\lbrace\begin{matrix} 2x+y& = & 0\\ x+y& = & -1 \end{matrix}\right.$
$\white w$ c. En déduire que pour tout ${\white i}x\in \textbf R \,, g(x)=(x-2)\text e ^x\,\cdot$

2. On considère la fonction f définie sur R par ${\white i}f(x)=(x-2)\text e ^x\,\cdot$
$\white w$ a. Montrer que la dérivée f ' de f est définie sur R par ${\white i}f'(x)=(x-1)\text e ^x\,\cdot$
$\white w$ b. Préciser le sens de variations de f .

3. Donner les limites de f en + infini

et en -

.

4. Calculer la limite de ${\white i } \dfrac{f(x)}{x}{\white i}$ en + infini

et en donner une interprétation géométrique.

5. Déterminer une équation cartésienne de la droite (D ) , tangente à la courbe (C ) de f au point d'abscisse 0.

$\white w$ On considère la fonction h définie sur R par ${\white i } h(x)=-f(x){\white i}$ et (C ') sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,; \, \vec i\,,\vec j)$ d'unité graphique : 1 cm.

6. Construire (C ) , (D ) et (C ' ) dans le même repère $(O\,; \, \vec i\,,\vec j)$ .

7. a. Justifier que la fonction F définie sur R par ${\white i}F(x)=(x-3)\text e ^x\white i$ est une primitive de la fonction f sur R.
$\white w$ b. En déduire l'aire de la portion de plan délimitée par (C), l'axe des abscisses et les droites d'équations ${\white i } x=2 \text{ et } x=3 \,\cdot$

8. On considère l'équation différentielle ${\white i} (E)\; : \; y''+2y'-y=2x\text e ^x\,\cdot$
$\white w$ a. Justifier que f est une solution de (E ).
$\white w$ b. Résoudre l'équation différentielle ${\white i} (E\,')\; : \; y''+2y'-y=0\,\cdot$

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Bac Cameroun 2022 série F

4,5 points

exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\,; \, \vec i\,,\vec j).$
On considère la conique (C ) d'équation cartésienne ${\white i} \dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{9}=1.$

1. a) La conique (C ) admet une équation cartésienne de la forme $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1.$
(C ) est une hyperbole dont le centre est l'origine du repère et dont l'axe transversal est l'axe des abscisses.

1. b) $_\bullet{\white{x}}$ Si la conique admet une équation cartésienne de la forme $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ , alors les coordonnées des foyers sont (-c ; 0) et (c ; 0) où $c=\sqrt{a^2+b^2}.$
Donc dans le cas de la conique (C ) d'équation cartésienne ${\white i} \dfrac{x²}{4}-\dfrac{y²}{9}=1$ , nous obtenons : $a^2=4$ et $b^2=9.$
Dès lors $c=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.$

Par conséquent, les coordonnées des foyers de (C ) sont $\overset{{\white{.}}}{(-\sqrt{13}\,;\,0)}$ et $\overset{{\white{.}}}{(\sqrt{13}\,;\,0)}$

$_\bullet{\white{x}}$ L'excentricité de la conique est $\overset{{\white{.}}}{e=\dfrac{c}{a}}$ et par suite, l'excentricité de (C ) est $e=\dfrac{\sqrt{13}}{2}.$

1. c) $_\bullet{\white{x}}$ Les équations cartésiennes des directrices de l'hyperbole sont de la forme $x=\dfrac{a^2}{c}$ et $x=-\dfrac{a^2}{c}.$
D'où les équations cartésiennes des directrices de la conique (C ) sont $\overset{{\white{.}}}{x=\dfrac{4}{\sqrt{13}}}$ et $\overset{{\white{.}}}{x=-\dfrac{4}{\sqrt{13}}}.$

$_\bullet{\white{x}}$ Les équations cartésiennes des asymptotes de l'hyperbole sont de la forme $y=\dfrac{b}{a}x$ et $y=-\dfrac{b}{a}x.$
D'où les équations cartésiennes des asymptotes de la conique (C ) sont $\overset{{\white{.}}}{y=\dfrac{3}{2}x}$ et $\overset{{\white{.}}}{y=-\dfrac{3}{2}x}.$

2. a) Nous devons déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble (E ) des points M (x ;y ) du plan, tels que ${\white i} x²+y²+2x-4y=4.$

$x^2+y^2+2x-4y=4\quad\Longleftrightarrow\quad (x^2+2x)+(y^2-4y)=4 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x^2+y^2+2x-4y=4}\quad\Longleftrightarrow\quad (x^2+2x\,{\red{+1}}\,)+ (y^2-4y\,{\red{+4}}\,)=4\,{\red{+1}}\,{\red{+4}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x^2+y^2+2x-4y=4}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{(x+1)^2+ (y-2)^2=9} }$

Par conséquent, (E ) est une cercle de centre (-1 ; 2) et de rayon 3.

2. b) Nous devons déterminer les coordonnées des points de rencontre de (E ) avec la droite (D ) d'équation $\overset{{\white{.}}}{{\white i} x-1=0.}$

Ces coordonnées sont les solutions du système : $\left\lbrace\begin{matrix}(x+1)^2+ (y-2)^2=9\\\overset{{\white{.}}}{x-1=0\phantom{WWWWW}}\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}x-1=0\phantom{WWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{(x+1)^2+ (y-2)^2=9}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{WWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{(x+1)^2+(y-2)^2=9}\end{matrix}\right.$
${\white{WWWWWWWWWwW}}$ $\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{WWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{(1+1)^2+(y-2)^2=9}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{WWWW}\\\overset{{\phantom{.}}}{4+(y-2)^2=9}\end{matrix}\right.}$
${\white{WWWWWWWWWw}}$ $\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{WW}\\\overset{{\phantom{.}}}{(y-2)^2=5}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{W}\\\overset{{\phantom{.}}}{y-2=\pm\sqrt{5}}\end{matrix}\right.}$
${\white{WWWWWWWWWw}}$ $\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{WW}\\\overset{{\phantom{.}}}{y=2\pm\sqrt{5}}\end{matrix}\right.}$

Par conséquent, les coordonnées des points de rencontre de (E ) avec la droite (D ) sont $\overset{{\white{.}}}{(1\,;\,2+\sqrt{5})}$ et $\overset{{\white{.}}}{(1\,;\,2-\sqrt{5}).}$

5,5 points

exercice 2

I - On considère les suites $\overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in \textbf N} \text{ et } (v_n)_{n\in \textbf N}}$ définies respectivement par :

$\left\lbrace\begin{matrix} u_0& = & 3\\ u_{n+1} & = & \frac 1 3 u_n +\frac 4 3 \end{matrix}\right.\quad \text{ et } \quad v_n=u_n - 2.$

1. Nous devons montrer que la suite $\overset{{\white{.}}}{(v_n)_{n\in \textbf N}}$ est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.

$_\bullet{\white{x}}$ $v_0=u_0-2=3-2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{v_0=1}$

$_\bullet{\white{x}}$ Pour tout entier naturel n ,

${\white{xx}}$ $v_{n+1}=u_{n+1}-2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=\left(\dfrac 1 3\, u_n +\dfrac 4 3\right)-2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac 1 3\, u_n -\dfrac 2 3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac 1 3\,( u_n -2)}$
$\\ {\white{xx}}\overset{{\white{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac 1 3\,v_n} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,n\in\N,\;v_{n+1}=\dfrac 1 3\,v_n}$
Nous en déduisons que la suite $\overset{{\white{.}}}{(v_n)_{n\in \N}}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ dont le premier terme est $v_0=1.$

2. $_\bullet{\white{x}}$ Exprimons $\overset{{\white{.}}}{v_n}$ en fonction de n .

Si $\overset{{\white{.}}}{(v_n)}$ est une suite géométrique de raison q dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{v_0}$ , alors $\boxed{v_n=v_0\times q^{n}}$
Or $\overset{{\white{.}}}{{\white i} (v_n)_{n\in \textbf {N}}{\white i}}$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{3}$ dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{v_0=1.}$
Donc $v_{n}=1\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}$ , soit $\boxed{v_{n}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}}\,.$

$_\bullet{\white{x}}$ Exprimons $\overset{{\white{.}}}{u_n}$ en fonction de n .

$\left\lbrace\begin{matrix}u_n=v_n+2\\\overset{{\white{.}}}{v_{n}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{u_n=2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}}$

3. Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{{\white i }S_n=v_0+v_1+\dots + v_{n-1}+v_n{\white i }}$ en fonction de $\overset{{\white{.}}}{{\white i }n.}$

Cette somme S_n comprend (n + 1) termes.
Nous rappelons que la somme S_n des termes d'une suite géométrique se calcule par :

$S_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_n}=1\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{1}{3} }} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_n}=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}}{\dfrac{2}{3} }} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S_n}=\dfrac{3}{2}\times\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{S_n=\dfrac{3}{2}\left[1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}\right]}$

II - P est le polynôme de la variable complexe z défini par : $\overset{{\white{.}}}{{\white i} P(z)=z^3-(6+8\text i)z²+(-9+38\text i)z+40-30\text i.}$

1. Nous devons calculer ${\white i} P(4+2\text i ).$

$P(4+2\text i )=(4+2\text i )^3-(6+8\text i)(4+2\text i)^2+(-9+38\text i)(4+2\text i )+40- 30\text i \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(4+2\text i )}=(4+2\text i )(4+2\text i )^2-(6+8\text i)(4+2\text i)^2+(-9+38\text i)(4+2\text i )+40- 30\text i} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(4+2\text i )}=(4+2\text i )(16+16\text i-4)-(6+8\text i)(16+16\text i-4)+(-9+38\text i)(4+2\text i )+40- 30\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(4+2\text i )}=(4+2\text i )(12+16\text i)-(6+8\text i)(12+16\text i)+(-9+38\text i)(4+2\text i )+40- 30\text i}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(4+2\text i )}=(48+64\text i+24\text i-32)-(72+96\text i+96\text i-128)+(-36-18\text i+152\text i-76)+40-30\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(4+2\text i )}=(16+88\text i)-(-56+192\text i)+(-112+134\text i)+40-30\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(ff2e\text i )}=0} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(4+2\text i )=0}$

2. Nous avons montré dans la question 1. que 4 + 2i est une racine de P .
Donc P est factorisable par (z - (4 + 2i)), soit par (z - 4 - 2i).
Nous en déduisons qu'il existe un polynôme ${\white i}az²+bz+c{\white i}$ à coefficients complexes tel que $\overset{{\white{.}}}{{\white i}P(z)=(z-4-2\text i)(az²+bz+c).{\white i}}$

Déterminons les coefficients a, b et c .

Développons le produit $(z-4-2\text i)(az²+bz+c).$

$(z-4-2\text i)(az²+bz+c)=az^3+bz^2+cz-(4+2\text{i})az^2-(4+2\text{i})bz-(4+2\text{i})c \\\\\Longrightarrow\boxed{(z-4-2\text i)(az²+bz+c)=az^3+[b-(4+2\text{i})a]z^2+[c-(4+2\text{i})b]z-(4+2\text{i})c}$

Donc l'égalité $P(z)=(z-4-2\text i)(az²+bz+c)$ peut s'écrire :

$z^3-(6+8\text i)z²+(-9+38\text i)z+40-30\text i =az^3+[b-(4+2\text{i})a]z^2+[c-(4+2\text{i})b]z-(4+2\text{i})c$

Par identification des coefficients, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\white{.}}}{b-(4+2\text{i})a=-(6+8\text i)}\\\overset{{\white{.}}}{c-(4+2\text{i})b=-9+38\text i}\\\overset{{\white{.}}}{-(4+2\text{i})c=40-30}\text i\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b-4-2\text{i}=-6-8\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c-(4+2\text{i})b=-9+38\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{-(4+2\text{i})c=40-30}\text i\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b=-2-6\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c-(4+2\text{i})(-2-6\text{i})=-9+38\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{-(4+2\text{i})c=40-30}\text i\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}a=1\\\overset{{\phantom{.}}}{b=-2-6\text i}\\\overset{{\phantom{.}}}{c=-5+10\text{i}}\end{matrix}\right.$

Par conséquent, $\boxed{P(z)=(z-4-2\text i)(z²-(2+6\text i)z-5+10\text i)}\,.$

3. A , B et C sont des points du plan complexe, d'affixes respectives $\overset{{\white{.}}}{{\white i}z_A=5\text i {\white i}, {\white i}z_B=2+\text i{\white i}}$ et $\overset{{\white{.}}}{{\white i}z_C=4+2\text i .{\white i}}$

3. a) Nous devons écrire sous la forme algébrique le quotient $\overset{{\white{.}}}{{\white i}\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}.}$

${\white{xxxx}}$ $\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=\dfrac{5\text i-2-\text i}{4+2\text i-2-\text i}=\dfrac{-2+4\text i}{2+\text i}=\dfrac{2\text i(2+\text i)}{2+\text i}=2\text i \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_A-z_B}{z_C-z_B}=2\text i}$

3. a) Nous en déduisons que le triangle ABC est rectangle en B (et secondairement que AB = 2BC ).

10 points

probleme

Le tableau de variations ci-après est celui d'une fonction g définie sur R par $\overset{{\white{.}}}{{\white i} g(x)=(ax+b)\,\text e ^x{\white i}}$ où a et b sont des nombres réels.

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-\infty&&&1&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& g'(x)&& - && 0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&0&&&&&&+\infty\\ g(x)&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&-\text e &&&\\ \hline \end{array}$

1. a) Nous devons déterminer la dérivée g' de g en fonction de a et b .

$g'(x)=(ax+b)'\times\text e ^x+(ax+b)\times(\text e^x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=a\times\text e ^x+(ax+b)\times\text e^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=(a+ax+b)\times\text e^x} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{g'(x)=(ax+a+b)\,\text e^x}$

1. b) Nous devons justifier que le couple (a ; b ) est la solution du système : $\left\lbrace\begin{matrix} 2x+y& = & 0\\ x+y& = & -1 \end{matrix}\right.$

$_\bullet{\white{x}}$ Grâce au tableau de variations de g , nous savons que : g' (1) = 0.

$\left\lbrace\begin{matrix}g'(x)=(ax+a+b)\,\text e^x\\g'(1)=0\phantom{xxxxxxxxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad (a\times1+a+b)\,\text e^1=0 \\\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad (2a+b)\,\text e=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2a+b=0}\quad(\text{en divisant les deux membres par e}\neq0)}$

$_\bullet{\white{x}}$ Nous savons également grâce au tableau de variations de g que g (1) = -e.

$\left\lbrace\begin{matrix}g(x)=(ax+b)\,\text e^x\\g(1)=-\,\text {e}\phantom{xxxxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad (a\times1+b)\,\text e^1=-\,\text {e} \\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad (a+b)\,\text e=-\,\text {e} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{a+b=-1}\quad(\text{en divisant les deux membres par e}\neq0)}$

Par conséquent, le couple (a ; b ) est la solution du système : $\left\lbrace\begin{matrix} 2x+y& = & 0\\ x+y& = & -1 \end{matrix}\right.$

1. c) Résolvons dans $\R^2$ le système $\left\lbrace\begin{matrix} 2x+y&=&0\phantom{wwww}(1)\\ x+y&=& -1\quad\quad(2) \end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}(1) - (2):\quad2x+y-x-y=0+1\\ (2):\quad y=-1-x\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{xxxx}\\y=-1-1\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{ \left\lbrace\begin{matrix}x=1\phantom{x}\\y=-2\end{matrix}\right.}$

Dès lors, (a ; b ) = (1 ; -2).
Nous en déduisons que pour tout ${\white i}x\in \textbf R \,, \boxed{g(x)=(x-2)\,\text e ^x}\,.$

2. On considère la fonction f définie sur R par ${\white i}f(x)=(x-2)\text e ^x.$

2. a) Montrons que la dérivée f' de f est définie sur R par ${\white i}f'(x)=(x-1)\text e ^x.$

$f'(x)=(x-2)'\times \text e ^x+(x-2)\times(\text e ^x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}}=1\times \text e ^x + (x-2)\times \text e ^x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}}=(1+x-2)\times\text e ^x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}}=(x-1)\times\text e ^x \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\forall\,x\in\R,\;f'(x)=(x-1)\,\text e ^x}$

2. b) En observant que les fonctions f et g sont égales sur $\R$ , nous en déduisons que le tableau de variations de f est identique à celui de g , à savoir :

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-\infty&&&1&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&0&&&&&&+\infty\\ f(x)&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&-\text e &&&\\ \hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]- ; 1[
${\white{iWWWWWWWWWWW}}$ est strictement croissante sur l'intervalle ]1 ; +[
${\white{iWWWWWWWWWWW}}$ admet un minimum égal à -e pour x = 1.

3. Sur base de la question 2. b), nous déduisons que : $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0}}$ et $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}\,.}$

4. Nous devons calculer la limite de ${\white i } \dfrac{f(x)}{x}{\white i}$ en + infini

.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(x-2)\,\text e ^x}{x}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}= \lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{(x-2)}{x}\times\,\text e ^x\right]}$

Or $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(x-2)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=1\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text e^x=+\infty\phantom{WWWWWW}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{(x-2)}{x}\times\,\text e ^x\right]=+\infty}$

D'où $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Dès lors, la courbe (C ) a pour direction asymptotique la droite d'équation x = 0.

5. Nous devons déterminer une équation cartésienne de la droite (D ) , tangente à la courbe (C ) de f au point d'abscisse 0.

Une équation de la tangente (D ) est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=f'(0)(x-0)+f(0)}$ , soit de la forme $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=f'(0)x+f(0)}\,.}$

Or $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}f(x)=(x-2)\,\text e ^x\\f'(x)=(x-1)\,\text e ^x\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=(0-2)\,\text e ^0\\f'(0)=(0-1)\,\text e ^0\end{matrix}\right.}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=-2\\f'(0)=-1\end{matrix}\right.$

D'où une équation de la tangente (D ) est $\overset{{\white{.}}}{y=(-1)\, x-2}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=-x-2}\,.}$

On considère la fonction h définie sur R par $\overset{{\white{.}}}{{\white i } h(x)=-f(x){\white i}}$ et (C' ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\,; \, \vec i\,,\vec j)$ d'unité graphique : 1 cm.

6. Nous devons construire (C ) , (D ) et (C' ) dans le même repère $(O\,; \, \vec i\,,\vec j) .$

7. a) Nous devons justifier que la fonction F définie sur R par ${\white i}F(x)=(x-3)\text e ^x\white i$ est une primitive de la fonction f sur R.

La fonction F est dérivable sur R.

Pour tout x réel,

$F\,'(x)=(x-3)'\times\text e ^x+(x-3)\times(\text e ^x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=1\times\text e ^x+(x-3)\times\text e ^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=[1+(x-3)]\times\text e ^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=(x-2)\times\text e ^x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=f(x)}$
Donc pour tout x réel, $\boxed{F\,'(x)=f(x)}$

Par conséquent, la fonction F définie sur R par $\overset{{\white{.}}}{F(x)=(x-3)\text e ^x}$ est une primitive de la fonction f sur R.

7. b) Nous devons en déduire l'aire $\mathcal{A}$ de la portion de plan délimitée par (C ), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 2 et x = 3.

$\mathcal{A}=\displaystyle\int_2^3f(x)\,\text{d}x =\left[\overset{}{F(x)}\right]_2^3 \\\\\phantom{\mathcal{A}}=\left[\overset{}{(x-3)\,\text e ^x}\right]_2^3 \\\\\phantom{\mathcal{A}}=(3-3)\,\text e ^3-(2-3)\,\text e ^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\mathcal{A}}=0-(-1)\,\text e ^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\mathcal{A}}=\text e ^2} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\mathcal{A}=\text e ^2\text{ cm}^2\approx7,4\text{ cm}^2}$

8. On considère l'équation différentielle $\overset{{\white{.}}}{{\white i} (E)\; : \; y''+2y'-y=2x\text e ^x.}$

8. a) Justifions que f est une solution de (E ).

$\bullet{\white{x}x}f(x)=(x-2)\,\text e ^x. \\\\\bullet{\white{x}x}f'(x)=(x-1)\,\text e ^x\quad(\text{voir question }{\red{2.\;\text{a}}}). \\\\\bullet{\white{x}x}f''(x)=(x-1)'\times\text e ^x+(x-1)\times(\text e ^x)' \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWw}=1\times\text e ^x+(x-1)\times\text e ^x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWw}=[1+(x-1)]\times\text e ^x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWw}=x\times\text e ^x}$

Nous obtenons alors :

$f''(x)+2f'(x)-f(x)=x\,\text e ^x+2(x-1)\,\text e ^x-(x-2)\,\text e ^x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)-f(x)}=[x+2(x-1)-(x-2)]\,\text e ^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)-f(x)}=(x+2x-2-x+2)\,\text e ^x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f''(x)+2f'(x)-f(x)}=2x\,\text e ^x} \\\\\Longrightarrow \quad\boxed{f''(x)+2f'(x)-f(x)=2x\,\text e ^x}$

Par conséquent, f est une solution de (E ).

8. b) Nous devons résoudre l'équation différentielle ${\white i} (E\,')\; : \; y''+2y'-y=0.$

À cette équation différentielle (E' ), nous associons l'équation caractéristique $r^2+2r-1=0.$

Résolvons cette équation caractéristique.

$\underline{\text{Discriminant}}\;:\Delta=2^2-4\times1\times(-1)=4+4=8>0 \\\\\underline{\text{Racines}}\;:r_1=\dfrac{-2-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(-1-\sqrt{2})}{2}=-1-\sqrt{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}r_2=\dfrac{-2+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(-1+\sqrt{2})}{2}=-1+\sqrt{2}}$

Puisque l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_1=-1-\sqrt{2}$ et $r_2=-1+\sqrt{2}$ , les solutions de l'équation différentielle (E' ) s'écrivent sous la forme : $\overset{{\white{.}}}{k(x)=\alpha\,\text{e}^{r_1x}+\beta\,\text{e}^{r_2x}}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{k(x)=\alpha\,\text{e}^{(-1-\sqrt{2})x}+\beta\,\text{e}^{(-1+\sqrt{2})x}\quad\quad(\alpha\in\R\,,\beta\in\R)}}$

Publié par malou le 12-02-2023

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