Fiche de mathématiques
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Bac Centrafrique 2022

Séries : A4-A4'

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Epreuve du 1er groupe
Durée : 3 heures
Coefficient : 3


exercice 1

On considère le polynôme défini par : P(x)=x^3-2x^2-5x+6 .

1/ Calculer P(3) . En déduire une factorisation de P(x) .

2/ Résoudre dans \R , les équations suivantes :
a) P(x)=0 .
b) e^{2x}-2e^{x}-5+6e^{-x}=0 .
c) (\ln x)^3-2(\ln x)^2-5\ln x+6=0



exercice 2

On considère la suite (u_n)_{n\in\N^{*}} définie par : \begin{cases} u_1=1\\u_{n+1}=-\dfrac{1}{2}u_n+2 \end{cases} .

1/ Calculer les 4 premiers termes de cette suite .

2/ Soit la suite (v_n)_{n\in\N^{*}} définie par : v_n=u_n-\dfrac{4}{3} .
a) Montrer que (v_n)_{n\in\N^{*}} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison .
b) Exprimer v_n en fonction de n .
c) Exprimer en fonction de n la somme S_n=v_1+v_2+\cdots + v_n .



probleme

Soit f la fonction définie dans \R par : f(x)=-e^{2x}+5e^{x}-4 .
On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) (unité graphique 2 cm) .

1/ Déterminer la limite de f en -\infty . En déduire que C admet une asymptote que l'on précisera .
On appelle D cette asymptote .

2/ Montrer que pour tout réel x \text{ , }f(x)=-e^{2x}(1-5e^{-x}+4e^{-2x}) .
En déduire la limite de f en +\infty en justifiant la réponse .

3/ Calculer f'(x) et étudier les variations de f . Etablir un tableau de variations .
Préciser l'ordonnée exacte du point A de la courbe C ayant \ln\left(\dfrac{5}{2}\right) pour abscisse .

4/a) Résoudre l'équation f(x)=0 .
En déduire les abscisses des points d'intersection de C avec l'axe (O,\vec{i}) .
b) Résoudre l'équation f(x)=-4 .
En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe C avec la droite D définie dans 1/ .
c) Etudier la position de C par rapport à D .

5/ Tracer D et C dans le repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .






exercice 1


On considère le polynôme défini par : P(x)=x^3-2x^2-5x+6 .

1.  P(3)=27-18-15+6=0 . On peut donc factoriser  P(x)  par  (x-3).

P(x)=x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(x²+bx+c)  avec b et c réels (il est évident que le coefficient de  x²  ne peut être que 1).

Or  (x-3)(x²+bx+c)= x^3+bx²+cx-3x²-3bx-3c=x^3+x²(b-3)+x(c-3b)-3c

Pour tout x réel, on a :  x^3-2x^2-5x+6=x^3+x²(b-3)+x(c-3b)-3c

Par identification des coefficients, on obtient :

\left\lbrace\begin{matrix} -2 & =& b-3 &\text{ égalité des coefficients de } x² \\ -5& = & c-3b &\text{ égalité des coefficients de } x \\ 6& = & -3c & \text{ égalité des constantes} \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} 1 & =& b &\\ -5& = & c-3b & \\ -2& = & c &  \end{matrix}\right.

On reporte les résultats obtenus dans la seconde ligne du système :  c-3b=-2-3\times 1=-5. Le système est compatible.

Conclusion :  P(x)=x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(x²+x-2).

2/
a.   Résoudre dans R l'équation  P(x)=0.

On utilise la factorisation trouvée précédemment.
\overset{{\white{.}}}P(x)=0\Longleftrightarrow (x-3)(x²+x-2)=0 \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(x)=0}}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x-3& =& 0\\ &\text{ ou }& \\ x²+x-2& =0& \end{matrix}\right.\\ \\ \overset{{\white{.}}}{\phantom{P(x)=0}}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x = 3\\ \text{ ou } \\ x=1 \text{ ou } x=-2 \end{matrix}\right.\\

Conclusion : L'ensemble solution de l'équation  P(x)=0  est  S= \lbrace -2\,; 1\,; 3\rbrace

b.  Résoudre dans R l'équation  \text e^{2x}-2\text e^{x}-5+6\text e^{-x}=0 .
On peut remplacer  \text e^{-x}  par  \dfrac{1}{\text e ^x}  puis réduire au même dénominateur. On peut également faire le choix de multiplier les deux membres par  \text e ^x  qui est une quantité non nulle.

\text e^{2x}-2\text e^{x}-5+6\text e^{-x}=0 \\ \text e ^x(\text e^{2x}-2\text e^{x}-5+6\text e^{-x})=\text e^x\times 0 \\ \text e^{3x}-2\texte ^{2x}-5\text e ^x +6 =0 \\  (\text e ^x)^3-2(\text e ^x)^2-5\text e ^x +6 =0

qui est l'équation de la question 1.  dans laquelle l'inconnue x est remplacée par  e^x .

On obtient  \text e ^x=-2\text{ impossible (une exponentielle étant toujours strictement positive) ou }  \text e ^x=1 \text{ ou } \text e ^x=3 soit x=0 \text{ ou } x = \ln (3).
Conclusion : l'ensemble solution dans R de cette équation est :   S=\lbrace 0\,; \ln (3)\rbrace\;\cdot

c. Soit à résoudre dans R l'équation  (\ln x)^3-2(\ln x)^2-5\ln x+6=0 .

Cette équation est définie dès que le logarithme est défini c'est à dire pour    x > 0 . Dans l'équation résolue en a. il suffit de remplacer l'inconnue x par   \ln (x) .
On obtient :   \ln(x)=-2 \text{ ou } \ln(x)= 1 \text{ ou } \ln(x)=3 d'où x= \text e ^{-2} \text{ ou } x=\text e \text{ ou }  x = \text e ^3 \;\cdot Ces trois valeurs sont bien strictement positives et conviennent.
Conclusion : l'ensemble solution de cette équation est   S = \lbrace \text e ^{-2}\;;\text e\;;\text e ^3 \rbrace\;\cdot



exercice 2

On considère la suite  (u_n)_{n\in\N^{*}} définie par :   \begin{cases} u_1=1\\u_{n+1}=-\dfrac{1}{2}u_n+2 \end{cases} .

1. Calculer les 4 premiers termes de cette suite .
La suite étant définie sur N*, le premier terme est   u_1=1 donné par l'énoncé.

u_2=u_{1+1}=-\dfrac{1}{2}u_1+2=-\dfrac{1}{2}\times 1+2=-\dfrac{1}{2}+2=\dfrac 3 2 \;\cdot

u_3=-\dfrac 1 2 \times \dfrac 32 +2=-\dfrac 3 4 + 2=\dfrac 5 4 et u_4=-\dfrac 1 2 \times 5 4 + 2 = -\dfrac 5 8 + 2 = \dfrac{ 11}{8}\;\cdot

2.   Soit la suite   (v_n)_{n\in\N^{*}} définie par : v_n=u_n-\dfrac{4}{3} .
a. Montrons que   (v_n)_{n\in\N^{*}}   est une suite géométrique.
Pour tout n\in\textbf N^{*}\,, v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac 4 3 = -\dfrac 1 2 u_n+2-\dfrac 4 3 = -\dfrac 1 2 u_n+\dfrac 2 3 =  -\dfrac 1 2 \left(u_n-\dfrac 4 3 \right) = -\dfrac 1 2 v_n

Tout terme se déduit du précédent par multiplication de la constante   -\dfrac 1 2\;\cdot La suite   (v_n)_{n\in\N^{*}} est donc une suite géométrique de raison   -\dfrac 1 2\;\cdot Son premier terme est :   v_1=u_1-\dfrac 4 3 = 1-\dfrac 4 3 = -\dfrac 1 3\;\cdot

b. Exprimons   v_n\;\cdot
v_n=v_1\times \left(-\dfrac 1 2 \right)^{n-1}=-\dfrac 1 3\times \left(-\dfrac 1 2 \right)^{n-1}\;\cdot

c. Exprimons en fonction de n la somme   S_n=v_1+v_2+\cdots + v_n .
Cette somme est la somme des n premiers termes de la suite géométrique définie préalablement.

S_n=\text{ premier terme } \times \dfrac{ 1 - \text{ raison} ^{\text{ nombre de termes}}}{1-\text{ raison}}=    -\dfrac 1 3\times\dfrac{1-\left(-\frac 1 2 \right)^{n} }{ 1-\left(-\frac 1 2 \right)}=     -\dfrac 1 3\times\dfrac{1-\left(-\frac 1 2 \right)^{n} }{ \frac 3 2}=     -\dfrac 1 3\times \dfrac 2 3 \times \left(1-\left(-\frac 1 2 \right)^{n}\right) =      -\dfrac 2 9 \times  \left(1-\left(-\dfrac 1 2 \right)^{n}\right)



probleme


Soit   f   la fonction définie dans R par :   f(x)=-\text e^{2x}+5\text e^{x}-4 .
On appelle C sa représentation graphique dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) (unité graphique 2 cm) .

1.   Déterminer la limite de   f en   -\infty .
En - infini, les exponentielles tendent vers 0. La limite de f est donc -4.
\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x))=-4.
La courbe \mathcal C admet donc en -infini la droite d'équation   y=4 pour asymptote.

2. Montrer que pour tout réel x \text{ , }f(x)=-\text e^{2x}(1-5\text e^{-x}+4\text e^{-2x}) .

f(x)=-\text e^{2x}+5\text e^{x}-4=-\text e^{2x}\left(\dfrac{\text e^{2x} }{ \text e^{2x}}+\dfrac{\text e^{x} }{\text e^{2x} }-\dfrac{ 4}{\text e^{2x} } \right)  = -\text e^{2x}\left(1-5\text e^{-x}+4\text e^{-2x}\right)

Utilisons cette écriture pour déterminer la limite de   f   en + infini .

\lim\limits_{x\to +\infty}\left(1-5\text e^{-x}+4\text e^{-2x}\right)=1 et \lim\limits_{x\to +\infty}\left(\text e ^{2x}\right)=+\infty

On en déduit : \lim\limits_{x\to +\infty}-\text e^{2x}\left(1-5\text e^{-x}+4\text e^{-2x}\right)=-\infty et \lim\limits_{x\to +\infty}(f(x)=-\infty

3.   Calculer  f'(x)  et étudier les variations de   f .
Choisissons cette écriture :   f(x)=-\text e^{2x}+5\text e^{x}-4 . La fonction   f   est dérivable sur R et :

f'(x)=-2\text e^{2x}+5\text e^{x}=\text e^{x}\left(-2\text e ^x + 5\right) .

Une exponentielle étant strictement positive,   f'(x)   a le même signe que   -2\text e ^x + 5 .

Cette quantité s'annule pour   -2\text e ^x + 5 = 0 \text{ soit } \text e ^x = \dfrac 5 2 \text{ ou encore } x=\ln\left(\dfrac 5 2 \right)\,
et
-2\text e ^x + 5 > 0 \Longleftrightarrow 5 > 2\text e ^x \Longleftrightarrow \dfrac 5 2 > \text e^x  \Longleftrightarrow \ln\left(\dfrac 5 2 \right) > x

Évaluons   f\left(\ln\left(\dfrac 5 2 \right)\right) .

Remarque :  f(x)=-\text e^{2x}+5\text e^{x}-4=-\left(\text e ^x\right)^2+5\text e^{x}-4

f\left(\ln\left(\dfrac 5 2 \right)\right)= -\left(\text e ^{\ln\left(\dfrac 5 2 \right)}\right)^2+5\text e^{\ln\left(\dfrac 5 2 \right)}-4 =   -\left(\dfrac 5 2 \right)^2+5\times \left(\dfrac 5 2 \right)-4 = -\dfrac{25}{4}+\dfrac {25}{2}-4=-\dfrac{25}{4}+\dfrac{50}{4}-\dfrac{16}{4}=\dfrac 9 4

Le point A de la courbe d'abscisse   \ln\left(\dfrac 5 2 \right)   a donc pour ordonnée   \dfrac 9 4 \;\cdot

\begin{array} {|c|cccccc|}\hline x & -\infty & & \ln\left(\dfrac 5 2\right) & & +\infty & \\ \hline \text{signe de } f'(x)& & + & 0 & - & & \\ \hline \text{variations de } f& _{-4} & \nearrow & ^{\dfrac 9 4 }& \searrow &_{-\infty} & \\ \hline \end{array}


4.
a.   Résolvons l'équation f(x)=0 .
\left(\text e ^x\right)^2+5\text e^{x}-4=0 . On remarque que   \text e ^x = 1 est solution de cette équation car -1² + 5 - 4 = 0. L'autre solution de cette équation du second degré en   \text e^x est donc 4.
\text e^x = 1 \text{ soit } x = 0 \text{ ou } \text e^x = 4 \text{ soit } x = \ln (4)\,\cdot
Les abscisses des points d'intersection de   C   avec l'axe (O,\vec{i}) sont les valeurs de   x   telles que f(x)=0 .
Les abscisses des points d'intersection de C avec l'axe (O,\vec{i}) sont 0 et \ln (4)\,\cdot

b. Résolvons l'équation   f(x)=-4 .
-\left(\text e ^x\right)^2+5\text e^{x}-4=-4 \Longleftrightarrow -\left(\text e ^x\right)^2+5\text e^{x}=0   \Longleftrightarrow \text e ^x (-\text e ^x + 5 ) = 0 \Longleftrightarrow 5 = \text e ^x \Longleftrightarrow  x = \ln (5)
Les coordonnées du point d'intersection de la courbe   C   avec la droite   D   définie dans 1. sont donc (\ln(5)\;; -4)

c. Etudions la position de   C   par rapport à   D .
f(x)-(-4)=-\left(\text e ^x\right)^2+5\text e^{x}-4-(-4)=-\left(\text e ^x\right)^2+5\text e^{x}=\text e ^x (-\text e ^x + 5 ) quantité qui a le signe de   -\text e ^x + 5 .
C   est au dessus de   D  pour   -\text e ^x + 5 > 0   soit   5 > \text e ^x soit x < \ln(5)
et   C   est en dessous de   D   pour   x < \ln(5)\;\cdot

5.
Bac Centrafrique 2022 séries A4-A4' - 1er groupe : image 1
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