Fiche de mathématiques
> >

Baccalauréat Général 2022

Épreuve d'enseignement de spécialité

Mathématiques

Polynésie Jour 2

Partager :


Durée de l'épreuve : 4 heures



L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.


Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1

Thèmes : fonctions, primitives, probabilités

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des six questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur le copie le numéro de la question et la mettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.


1. On considère la fonction f définie et dérivable sur ]0 ; +infini[ par :

f(x)=x\ln (x) - x +1 .


Parmi les quatre expressions suivantes, laquelle est celle de la fonction dérivée de f ?

\begin{matrix} \textbf{a.}& \ln(x) \hspace*{2cm}& \textbf{b.} &\dfrac 1 x -1  \hspace*{2cm} & \textbf{c.}&\ln(x)-2\hspace*{2cm} & \textbf{d.}& \ln(x) -1 \end{matrix}

2. On considère la fonction g définie sur ]0 ; +infini[ par g(x)=x^2\,[1-\ln (x)].

Parmi les quatre affirmations suivantes, laquelle est correcte ?

\begin{matrix} \textbf{a.}&{\lim\limits_{x\to 0}\,g(x)=+\infty} \qquad \qquad & \textbf{b.} &{\lim\limits_{x\to 0}\,g(x)=-\infty}  \qquad \qquad  & \textbf{c.}&{\lim\limits_{x\to 0}\,g(x)= 0} \qquad \qquad & \textbf{d.}& \text{La fonction } g \text{ n'admet pas de limite en 0}\end{matrix}

3. On considère la fonction f définie sur R par f(x)=x^3-0,9x^2-0,1x.

Le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur R est :

\begin{matrix} \textbf{a.}& 0 \qquad \hspace*{2.4cm} & \textbf{b.} &1 \qquad  \hspace*{2cm} & \textbf{c.}&2\qquad \hspace*{2cm}& \textbf{d.}& 3\end{matrix}

4. Si H est une primitive d'une fonction h définie et continue sur R,
et si k est la fonction définie sur R par k(x)=h(2x),
alors, une primitive K de k est définie sur R par :

\begin{matrix} \textbf{a.}& K(x)=H(2x) \hspace*{1.2cm} & \textbf{b.} &K(x)=2H(2x) \hspace*{0.4cm}  & \textbf{c.}& K(x)=\frac1 2 H(2x)\hspace*{0.4cm} & \textbf{d.}& K(x)=2H(x)\end{matrix}

5. L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de la fonction f définie sur R par f(x)=x\,\text e ^x est :

\begin{matrix} \textbf{a.}& y=\text e \,x + \text e  \hspace*{1.8cm} & \textbf{b.} & y=2\,\text e\, x - \text e  \hspace*{0.9cm}  & \textbf{c.}& y=2\,\text e \,x + \text e \hspace*{0.9cm} & \textbf{d.}& y=\text e\,x  \end{matrix}

6. Les nombres entiers n solutions de l'inéquation (0,2)^n < 0,001 sont tous les nombres entiers n tels que :

\begin{matrix} \textbf{a.}& n\le 4  \hspace*{2.6cm} & \textbf{b.} & n\le 5  \hspace*{2cm}  & \textbf{c.}& n\ge 4\hspace*{2cm} & \textbf{d.}& n\ge 5 \end{matrix}

7 points

exercice 2

Thème : probabilités

Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque. Les saisies des douanes permettent d'estimer que :
{\white{w}}\bullet \quad 20\% des casques audio portant le logo de cette marque sont des contrefaçons ;
{\white{w}}\bullet \quad 2\% des casques non contrefaits présentent un défaut de conception ;
{\white{w}}\bullet \quad 10\% des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

L'agence des fraudes commande au hasard sur un site internet un casque affichant le logo de la marque. On considère les événements suivants :
{\white{w}}\bullet \quad C \;: "le casque est contrefait" ;
{\white{w}}\bullet \quad D \;: "le casque présente un défaut de conception" ;
{\white{w}}\bullet \quad \overline C \text{ et } \overline D \; désignent respectivement les événements contraires de C et D.

Dans l'ensemble de l'exercice, les probabilités seront arrondies à 10-3 si nécessaire.

Partie 1

1. Calculer P(C\cap D) . On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.
2. Démontrer que P(D)=0,036.
3. Le casque a un défaut. Quelle est la probabilité qu'il soit contrefait ?

Partie 2

On commande n casques portant le logo de cette marque. On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

1. Dans cette question, n = 35.
{\white{w}}\textbf {a. }{\white{w}} Justifier que X suit une loi binomiale \mathcal{B}(n\,,p)n = 35 et p = 0,036.
{\white{w}}\textbf {b. }{\white{w}} Calculer la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception.
{\white{w}}\textbf {c. }{\white{w}} Calculer P(X\le 1).

2. Dans cette question, n n'est pas fixé.
Quel doit être le nombre minimal de casques à commander pour que la probabilité qu'au moins un casque présente un défaut soit supérieure à 0,99 ?

7 points

exercice 3

Thèmes : suites, fonctions

Au début de l'année 2021, une colonie d'oiseaux comptait 40 individus. L'observation conduit à modéliser l'évolution de la population par la suite (un ) définie pour tout entier naturel n par :

\left\lbrace\begin{matrix} u_0 & = & 40\\ u_{n+1}& =& 0,008\,u_n(200-u_n) \end{matrix}\right.


où un désigne le nombre d'individus au début de l'année (2021+n).

1. Donner une estimation, selon ce modèle, du nombre d'oiseaux dans la colonie au début de l'année 2022.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0; 100] par  f (x) = 0,008\,x\,(200- x).

2. Résoudre dans l'intervalle [0; 100] l'équation f (x) = x.
3. a. Démontrer que la fonction f est croissante sur l'intervalle [0; 100] et dresser son tableau de variations.
\white wi b. En remarquant que, pour tout entier naturel n, u_{n+1} = f (u_n) démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :

\white wi 0 \le u_n \le u_{n+1} \le 100.

\white wi c. En déduire que la suite (un ) est convergente.
\white wi d. Déterminer la limite \ell de la suite (un ) . Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

4. On considère l'algorithme suivant :

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (2) : image 2


L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur. Expliquer pourquoi à l'aide de la question 3.

7 points

exercice 4

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l'espace

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.
L'espace est muni du repère orthonormé \left(\text A\;;\overrightarrow{\text A\text B }\,,\overrightarrow{\text A\text D }\,, \overrightarrow{\text A\text E }\right). Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG].

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (2) : image 1


Le but de l'exercice est de calculer de deux manières différentes, la distance du point B au plan (AIG).

Partie 1. Première méthode

1. Donner, sans justification, les coordonnées des points A, B, et G.
\white{w}On admet que les points I et K ont pour coordonnées \text I (\frac 12\,;0\,;1)\text{ et K } (0\,;\frac 12\,;\frac 12).

2. Démontrer que la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

3. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est : 2x - y - z = 0.

4. Donner une représentation paramétrique de la droite (BK).

5. En déduire que le projeté orthogonal L du point B sur le plan (AIG) a pour coordonnées \text L (\dfrac 13 \,; \dfrac 13 \,;\dfrac 13 ).

6. Déterminer la distance du point B au plan (AIG).


Partie 2. Deuxième méthode

On rappelle que le volume V d'une pyramide est donné par la formule {\white i} V =\dfrac 1 3 \,b\times h , b est l'aire d'une base et h la hauteur associée à cette base.

1. a. Justifier que dans le tétraèdre ABIG, [GF] est la hauteur relative à la base AIB.
\white wi b. En déduire le volume du tétraèdre ABIG.

2. On admet que AI = IG = \frac{\sqrt 5}{2} et que AG = \sqrt 3
\white wi Démontrer que l'aire du triangle isocèle AIG est égale à \frac{\sqrt 6}{4} unité d'aire.

3. En déduire la distance du point B au plan (AIG).




Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (2)

Partager :



7 points

exercice 1

Thèmes : fonctions, primitives, probabilités

Question 1 - Réponse a :  On considère la fonction f  définie et dérivable sur ]0 ; +infini[ par :  f(x)=x\ln (x)-x+1.
Déterminons l'expression algébrique de f' (x ).

f'(x)=[x\ln (x)]'-1+0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=x'\times \ln (x)+x\times[\ln(x)]'-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times \ln (x)+x\times\dfrac{1}{x}-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\ln (x)+1-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\ln (x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\ln(x)}
La réponse correcte est la  proposition a.

Question 2 - Réponse c :  On considère la fonction g  définie sur ]0 ; +infini[ par :  g(x)=x^2\,[1-\ln (x)].

g(x)=x^2\,[1-\ln (x)]\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{g(x)=x^2-x^2\ln (x)} \\\\\text{Or }\,\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0}x^2=0\phantom{XXXXXXXXXXXXXXX}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to0}x^2\ln(x)=0\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0}[x^2-x^2\ln(x)]=0 \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to0}g(x)=0}
La réponse correcte est la  proposition c.

Question 3 - Réponse d :  On considère la fonction f  définie sur R par  f(x)=x^3-0,9x^2-0,1x.
Le nombre de solutions de l'équation  \overset{{\white{.}}}{f(x)=0}  sur R est 3.

En effet,  

f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^3-0,9x^2-0,1x = 0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x(x^2-0,9x-0,1) = 0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x^2-0,9x-0,1 = 0} \\\\\bullet\;\boxed{x=0}

\bullet\;x^2-0,9x-0,1=0 \\\\\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(-0,9)^2-4\times1\times(-0,1) \\\phantom{wwwWWWWw}=0,81+0,4 \\\phantom{wwwWWWWw}=1,21>0 \\\\\underline{\text{Racines}}:x_1=\dfrac{0,9-\sqrt{1,21}}{2}=\dfrac{0,9-1,1}{2}=-0,1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_1=-0,1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwvviww}x_2=\dfrac{0,9+\sqrt{1,21}}{2}=\dfrac{0,9+1,1}{2}=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{x_2=1}}

L'ensemble des solutions de l'équation  \overset{{\white{.}}}{f(x)=0}  est  \overset{{\white{.}}}{S=\lbrace0\,;\,-0,1\,;\,1\rbrace.}
Donc l'équation  \overset{{\white{.}}}{f(x)=0}  admet 3 solutions réelles.
La réponse correcte est la  proposition d.

Question 4 - Réponse c :  Une primitive K  de k  est définie sur R par :  {\red{K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x).}}

En effet, K  est dérivable sur R car H  est une primitive d'une fonction h  définie et continue sur R.
De plus,

K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x)\quad\Longrightarrow\quad K'(x)=\dfrac{1}{2}\times[H(2x)]' \\\\\phantom{XXXXWWWWwWiXXXX}=\dfrac{1}{2}\times(2x)'\times H'(2x) \\\\\phantom{XXXXWWWWwWiXXXX}=\dfrac{1}{2}\times2\times H'(2x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXXWWWWwWiXXXX}=H'(2x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXXWWWWwWiXXXX}=h(2x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXXWWWWwWiXXXX}=k(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;K'(x)=k(x)}
Nous en déduisons qu'une primitive K  de k  est définie sur R par :  K(x)=\dfrac{1}{2}H(2x).
La réponse correcte est la  proposition c.

Question 5 - Réponse b :  L'équation réduite de la tangente au point d'abscisse 1 de la courbe de la fonction f  définie sur R par  \overset{{\white{.}}}{f(x)=x\,\text{e}^x}  est :  \overset{{\white{.}}}{{\red{y=2\,\text{e}\,x-\text{e}.}}}

En effet, une équation de la tangente à la courbe représentative de f  au point d'abscisse 1 est de la forme :  \overset{{\white{.}}}{y=f'(1)(x-1)+f(1).}

La fonction f est dérivable sur R.

f'(x)=x'\times\text{e}^x+x\times(\text{e}^x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^x+x\times\text{e}^x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(1+x)\,\text{e}^x} \\\\\bullet\;f'(x)=(1+x)\,\text{e}^x\quad\Longrightarrow\quad f'(1)=2\,\text{e}^1 \\\phantom{WWWWWWwwv}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(1)=2\,\text{e}} \\\\\bullet\;f(x)=x\,\text{e}^x\quad\Longrightarrow\quad f(1)=1\,\text{e}^1 \\\phantom{WWWWW)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f(1)=\text{e}}
Dès lors, une équation de la tangente à la courbe représentative de f  au point d'abscisse 1 est :  \overset{{\white{.}}}{y=2\,\text{e}(x-1)+\text{e},}  soit  \overset{{\white{.}}}{y=2\,\text{e}\,x-2\,\text{e}+\text{e}},  soit  \overset{{\white{.}}}{y=2\,\text{e}\,x-\text{e}}.
La réponse correcte est la  proposition b.

Question 6 - Réponse d :  Les nombres entiers n  solutions de l'inéquation  \overset{{\white{.}}}{(0,2)^n<0,001}   sont tous les nombres entiers n  tels que \overset{{\white{.}}}{{\red{n\ge5.}}}
En effet,

(0,2)^n<0,001\Longleftrightarrow \ln\left(\overset{}(0,2)^{n}\right)\le\ln(0,001)  \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{xxxxxxxxxxxi}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,2)\le\ln(0,001) } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{xxxxxxxxxxxi}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)} \quad(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,2)<0)}\\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(0,001)}{\ln(0,2)}\approx4,292
Donc le plus petit entier naturel n  vérifiant l'inéquation est n  = 5.

Par conséquent, les nombres entiers n  solutions de l'inéquation  \overset{{\white{.}}}{(0,2)^n<0,001}   sont tous les nombres entiers n  tels que \overset{{\white{.}}}{n\ge5.}
La réponse correcte est la  proposition d.

7 points

exercice 2

Thèmes : probabilités

Les douanes s'intéressent aux importations de casques audio portant le logo d'une certaine marque.
Les saisies des douanes permettent d'estimer que :
{\white{x}}\bullet{\white{x}}20% des casques audio sont des contrefaçons ;
{\white{x}}\bullet{\white{x}}2% des casques non contrefaits portent un défaut de conception ;
{\white{x}}\bullet{\white{x}}10% des casques contrefaits présentent un défaut de conception.

Modélisons la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (2) : image 3


Partie 1

1.  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P(C\cap D).}

P(C\cap D)=P(C)\times P_C(D) \\\phantom{P(C\cap D)}=0,2\times 0,1 \\\phantom{P(C\cap D)}=0,02 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C\cap D)=0,02}

2.  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P(D).}

Les événements  \overset{{\white{.}}}{C}  et  \overline{C}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(D)=P(C\cap D)+P(\overline{C}\cap D) \\\phantom{P(D)}=0,02+P(\overline{C})\times P_{\overline{C}}(D) \\\phantom{P(D)}=0,02+0,8\times0,02 \\\phantom{P(D)}=0,02+0,016 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D)=0,036}
Par conséquent, la probabilité que le casque présente un défaut de conception est égale à 0,036.

3.  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P_D(C).}

P_{_D}(C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,02}{0,036}\approx0,556 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{_D}(C)\approx0,556}
D'où, la probabilité que le casque soit contrefait sachant qu'il présente un défaut est environ égale à 0,556 (valeur arrondie au millième).

Partie 2

On commande n  casques audio portant de logo de cette marque.
On assimile cette expérience à un tirage aléatoire avec remise.
On note X  la variable aléatoire qui donne le nombre de casques présentant un défaut de conception dans ce lot.

1.  Dans cette question, n  = 35.

1. a)  Lors de cette expérience, on répète 35 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "le casque présente un défaut de conception" dont la probabilité est p  = 0,036 (voir question 2 - Partie 1).
Echec : "le casque ne présente pas de défaut de conception" dont la probabilité est 1 - p  = 1 - 0,036 = 0,964.
La variable aléatoire X  compte le nombre de casques présentant un défaut de conception, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X  suit une loi binomiale  \overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n,p)}  de paramètres n  = 35 et p  = 0,036.

1. b)  Nous devons déterminer  P(X=1).

P(X=1)=\begin{pmatrix}35\\1\end{pmatrix}\times0,036^1\times(1-0,036)^{35-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}=35\times0,036\times0,964^{34}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}\approx0,362.} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=1)\approx0,362}
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait parmi les casques commandés, exactement un casque présentant un défaut de conception est environ égale à 0,362 (valeur arrondie au millième).

1. c)  Nous devons calculer  P(X\le 1).

P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1) \\\\\text{Or }\,P(X=0)=\begin{pmatrix}35\\0\end{pmatrix}\times(0,036)^0\times\left(1-0,036\right)^{35-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwww}=1\times1\times0,964^{35}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwww}\approx0,277} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ww}P(X=1)\approx0,362\quad(\text{voir question 1. b})} \\\\\text{D'où }\;P(X\le 1)\approx0,277+0,362 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\le 1)\approx0,639}

2.  Soit n  le nombre naturel non nul représentant le nombre de casques commandés.
Soit Y  la variable aléatoire attribuant le nombre de casques présentant un défaut de conception.
La variable aléatoire Y  suit une loi binomiale de paramètres n  et p  = 0,036.

Calculons d'abord  P(Y\ge 1).

L'événement contraire de l'événement "au moins un casque présente un défaut" est "aucun casque ne présente de défaut".
Donc  P(Y\ge1)=1-P(Y=0).

\text{Or }\ P(Y=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times(0,036)^0\times\left(1-0,036\right)^{n-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(Y=0)}=1\times1\times0,964^{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(Y=0)}=0,964^{n}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y=0)=0,964^{n}}\\\\\text{Dès lors, }\ \boxed{P(Y\ge1)=1-0,964^n}

Nous devons déterminer n  tel que  P(Y\ge 1)\ge 0,99.

P(Y\ge 1)\ge 0,99\Longleftrightarrow 1-0,964^n\ge0,99  \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow -0,964^{n}\ge0,99-1 \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow -0,964^{n}\ge-0,01\\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow 0,964^{n}\le0,01\\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow \ln\left(0,964^{n}\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow n\times\ln\left(0,964\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,964\right)} \\\phantom{wwwwwwwwww}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,964)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,964\right)}\approx125,6

Le plus petit nombre naturel vérifiant l'inégalité est n  = 126.
Par conséquent, il faut commander au minimum 126 casques pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux ait un défaut, soit supérieure à 99%.

7 points

exercice 3

Thèmes : suites, fonctions

Considérons la suite (un ) définie par :   \left\lbrace\begin{matrix}u_0=40{\white{WWWWWWWWWWx}}\\u_{n+1}=0,008u_n(200-u_n){\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.
un  désigne le nombre d'individus au début de l'année (2021+n )

1.  Au début de l'année 2022, le rang est n  = 1.

u_{1}=0,008u_0(200-u_0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{1}}=0,008\times40(200-40)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{1}}=0,008\times40\times160} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{1}}=51,2} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=51,2}
Par conséquent, au début de l'année 2022, nous pouvons estimer qu'il y a 51 oiseaux dans la colonie.

On considère la fonction f  définie sur l'intervalle [0 ; 100] par :  f(x)=0,008x\,(200-x).

2.  Nous devons résoudre dans l'intervalle [0 ; 100] l'équation :  f(x)=x.

f(x)=x\quad\Longleftrightarrow\quad f(x)-x=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,008x\,(200-x)-x=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x[0,008\,(200-x)-1]=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x(1,6-0,008x-1)=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x(0,6-0,008x)=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad 0,6-0,008x=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad 0,008x=0,6} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{0,6}{0,008}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(x)=x}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x=0\quad\text{ou}\quad x=75}}

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation  f(x)=x  dans l'intervalle [0 ; 100] est  \boxed{S=\lbrace0\,;\,75\rbrace}\,.

3. a)  Nous devons démontrer que la fonction f  est croissante sur l'intervalle [0 ; 100].

La fonction f  est dérivable sur l'intervalle [0 ; 100] (produit de deux fonctions dérivables sur l'intervalle [0 ; 100]).

f'(x)=0,008\times[x\,(200-x)]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0,008\times[x'\times(200-x)+x\times(200-x)']} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0,008\times[1\times(200-x)+x\times(-1)]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0,008\times(200-x-x)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=0,008\times(200-2x)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=0,016\times(100-x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=0,016(100-x)}

Etudions le signe de la dérivée f' (x ) et dressons le tableau de variations de f  sur l'intervalle [0 ; 100].

x\in[0\;;100]\quad\Longrightarrow\quad x\le100 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\in[0\;;100]}\quad\Longrightarrow\quad -x\ge-100} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\in[0\;;100]}\quad\Longrightarrow\quad 100-x\ge0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{x\in[0\;;100]}\quad\Longrightarrow\quad 0,016(100-x)\ge0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{x\in[0\;;100]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{f'(x)\ge0}} \\\\\text{D'où }\;\boxed{\forall\,x\in[0\;;100],\;f'(x)\ge0}
Nous en déduisons que la fonction f  est croissante sur l'intervalle [0 ; 100].

Tableau de variations de f  sur l'intervalle [0 ; 100].

\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}f(0)=0,008\times0\times(200-0)\phantom{wwwwww}\\=0\phantom{wwwwwwwwwwwww}\\\\\bullet{\phantom{w}}f(100)=0,008\times100\times(200-100)\phantom{ww}\\=80\phantom{wwwwxwwwww}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&&&100\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&+&+&+&+&0\\&&&&&\\\hline&&&&&80\\f(x)&&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&0&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

3. b)  Nous devons montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a :  \overset{{\white{.}}}{0\le u_n\le u_{n+1}\le100.}

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que :  \overset{{\white{.}}}{0\le u_0\le u_{1}\le100.}
En effet, nous savons par la question 1 que : u0 = 0 et u1 = 51,2.
Dès lors,  \overset{{\white{.}}}{0\le40\le 51,2\le100\quad\Longrightarrow\quad\boxed{0\le u_0\le u_{1}\le100}\,.}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{0\le u_n\le u_{n+1}\le100} , alors  \overset{{\white{.}}}{0\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le100.}

En effet,

0\le u_n\le u_{n+1}\le100\quad\Longrightarrow\quad f(0)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(100) \\\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad(\text{car }f\text{ est croissante sur [0 ; 100]}) \\\\\phantom{0\le u_n\le u_{n+1}\le100}\quad\Longrightarrow\quad  0\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 80 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0\le u_n\le u_{n+1}\le100}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 100}}
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{0\le u_n\le u_{n+1}\le100.}

3. c)  De la question précédente, nous déduisons que la suite (un ) est croissante et est majorée par 100.
Selon le théorème de convergence des suites monotones, la suite (un ) converge vers  \ell.

3. d)  Nous savons que la suite (un ) converge vers  \ell.
Selon le théorème du point fixe,  \overset{{\white{.}}}{\ell}  vérifie la relation   \overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}

En utilisant le résultat de la question 2, nous déduisons que  \overset{{\white{.}}}{\ell=0}  ou  \overset{{\white{.}}}{\ell=75.}
La valeur  \overset{{\white{.}}}{\ell=0}  est à rejeter car  \overset{{\white{.}}}{u_0=40>0.}
Par conséquent,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=75}\,.}

Cela signifie que la population d'oiseaux augmente avec le temps et à très long terme, cette population atteindra 75 oiseaux.

4.  On considère l'algorithme suivant :

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (2) : image 5


L'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur.

En effet, nous savons par la question 3 que la suite (un ) est croissante et converge vers 75.
Dès lors, pour tout entier naturel n ,  u_n\le75.
Or la boucle "while" s'exécute tant que un  est inférieur à 100, ce qui est le cas pour tout entier naturel n .
Cette boucle tournera donc indéfiniment.
Par conséquent, l'exécution de seuil(100) ne renvoie aucune valeur.

7 points

exercice 4

Thèmes : géométrie dans le plan et dans l'espace

On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1.
L'espace est muni d'un repère orthonormé  (A\;;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE} ). .
Le point I est le milieu du segment [EF], K le centre du carré ADHE et O le milieu du segment [AG].

Bac général spécialité maths 2022 Polynésie (2) : image 4


Partie 1. Première méthode

1.  Citons les coordonnées des points A, B et G :  A(0\,;\,0\,;\,0),\quad B(1\,;\,0\,;\,0),\quad G(1\,;\,1\,;\,1).
On admet que les points I et K ont pour coordonnées :  I(\frac{1}{2}\,;\,0\,;\,1),\quad K(0\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2}).

2.  Nous devons démontrer que la droite (BK ) est orthogonale au plan (AIG ).

\left\lbrace\begin{array}l B(1\ ;\,0\ ;\,0)\\K(0\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}0-1\\\frac{1}{2}-0\\\overset{{\white{.}}}{\frac{1}{2}-0}\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}-1\\\frac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\frac{1}{2}}\end{pmatrix}}

\boxed{\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}}

\text{D'où }\;\overrightarrow{BK}\cdot\overrightarrow{AI}=(-1)\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times0+\frac{1}{2}\times1\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=-\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{BK}\cdot\overrightarrow{AI}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BK}\cdot\overrightarrow{AI}=0}
Dès lors, le vecteur  \overrightarrow{BK}  est orthogonal au vecteur  \overrightarrow{AI}.

\boxed{\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}-1\\\frac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\frac{1}{2}}\end{pmatrix}}\quad\text{et}\quad\boxed{\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}

\text{D'où }\;\overrightarrow{BK}\cdot\overrightarrow{AG}=(-1)\times1+\frac{1}{2}\times1+\frac{1}{2}\times1\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{FD}\cdot\overrightarrow{AB}}=-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\\\phantom{\text{D'où }\;\overrightarrow{BK}\cdot\overrightarrow{AG}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BK}\cdot\overrightarrow{AG}=0}
Dès lors, le vecteur  \overrightarrow{BK}  est orthogonal au vecteur  \overrightarrow{AG}.

Manifestement, les vecteurs  \overrightarrow{AI} et  \overrightarrow{AG} ne sont pas colinéaires.

Donc nous venons de montrer que le vecteur  \overrightarrow{BK}  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AIG).
Nous en déduisons que le vecteur  \overrightarrow{BK}  est orthogonal au plan (AIG).
Par conséquent, la droite (BK) est orthogonale au plan (AIG).

3. Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}   admet une équation cartésienne de la
forme ax  + by  + cz  + d  = 0.

Puisque le vecteur  \overset{{\phantom{.}}}{\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}-1\\\frac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\frac{1}{2}}\end{pmatrix}}   est orthogonal au plan (AIG), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (AIG) est de la forme  -x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z+d=0.

Or le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan (AIG).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où  0+\frac{1}{2}\times0+\frac{1}{2}\times0+d=0,  soit d   = 0.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (AIG) est  -x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z=0,  ou encore en multipliant les deux membres par (-2),  \boxed{2x-y-z=0}.

4.  Déterminons une représentation paramétrique de la droite (BK).

La droite (BK) est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}{\red{-1}}\\ {\red{\frac{1}{2}}}\\\overset{{\white{.}}}{{\red{\frac{1}{2}}}}\end{pmatrix}.

La droite (BK) passe par le point  B({\blue{1}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite (BK) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{(-1)}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{\frac{1}{2}}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{\frac{1}{2}}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{(BK):\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=\frac{1}{2}t\\\overset{{\white{.}}}{z=\frac{1}{2}t} \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

5.  Les coordonnées du point L  sont les solutions du système composé par les équations de la droite (BK) et du plan (AIG), soit du système :

\left\lbrace\begin{array}lx=1-t\\y=\frac{1}{2}t\\\overset{{\white{.}}}{z=\frac{1}{2}t} \\\overset{{\phantom{.}}}{2x-y-z=0 }\end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}lx=1-t\\y=\frac{1}{2}t\\\overset{{\phantom{.}}}{z=\frac{1}{2}t} \\\overset{{\phantom{.}}}{2(1-t)-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}t=0 }\end{array}

\quad\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=\frac{1}{2}t\\\overset{{\phantom{.}}}{z=\frac{1}{2}t} \\\overset{{\phantom{.}}}{2-2t-\frac{1}{2}t-\frac{1}{2}t=0 }\end{array}\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1-t\\y=\frac{1}{2}t\phantom{xx}\\\overset{{\phantom{.}}}{z=\frac{1}{2}t\phantom{xx}} \\\overset{{\phantom{.}}}{2-3t=0 }\end{matrix}\right.

\quad\left\lbrace\begin{matrix}x=1-t\\y=\frac{1}{2}t\phantom{xx}\\\overset{{\phantom{.}}}{z=\frac{1}{2}t\phantom{xx}} \\\overset{{\phantom{.}}}{t=\frac{2}{3}\phantom{xx} }\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=1-\frac{2}{3}\\\overset{{\phantom{.}}}{y=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}}\\\overset{{\phantom{.}}}{z=\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}} \\\overset{{\phantom{.}}}{t=\frac{2}{3}\phantom{xxx} }\end{matrix}\right.\quad\left\lbrace\begin{matrix} x=\frac{1}{3}\\\overset{{\white{.}}}{y=\frac{1}{3}}\\\overset{{\white{.}}}{z=\frac{1}{3}}\\\overset{{\white{.}}}{t=\frac{2}{3} }\end{matrix}\right.
D'où les coordonnées du point L sont  \boxed{\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{3}\, ;\, \dfrac{1}{3}\right)}.

6.  La distance du point B au plan (AIG) est la distance BL par définition du projeté orthogonal du point B sur le plan (AIG).

\left\lbrace\begin{array}l B(1\ ;\,0\ ;\,0)\\L(\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3}\,;\,\frac{1}{3})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BL}\begin{pmatrix}\frac{1}{3}-1\\\overset{{\phantom{.}}}{\frac{1}{3}-0}\\\overset{{\white{.}}}{\frac{1}{3}-0}\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BL}\begin{pmatrix}-\frac{2}{3}\\\frac{1}{3}\\\overset{{\white{.}}}{\frac{1}{3}}\end{pmatrix}}

\Longrightarrow\quad BL=\sqrt{\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwwxw}=\sqrt{\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{6}{9}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{BL=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}

D'où la distance du point B au plan (AIG) est égale à  \dfrac{\sqrt{6}}{3}}.

Partie 2. Deuxième méthode

1. a)  Dans le cube ABCDEFGH, l'arête [GF] est perpendiculaire au plan (ABF) de la face ABFE.
Le point I appartient à l'arête [EF] et par suite, ce point I appartient au plan (ABF).
D'où l'arête [GF] est perpendiculaire au plan (ABI).
Par conséquent, [GF] est la hauteur du tétraèdre ABIG relative à la base AIB.

1. b)  Déterminons le volume du tétraèdre ABIG.

\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABIG}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{AIB}\times GF \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{AB\times AE}{2}\times GF} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1\times 1}{2}\times 1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{1}{6}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABIG}}=\dfrac{1}{6}}

2.  On admet que  AI=IG=\dfrac{\sqrt{5}}{2}  et que  AG=\sqrt{3}.

Dans le triangle AIG isocèle en I, le point O est le milieu de la base [AG] (par définition du point O).
Il s'ensuit que (IO) est la hauteur du triangle AIG issue du sommet I et également la médiatrice de [AG].
Donc,  \text{Aire}_{\text{ triangle AIG}}=\dfrac{1}{2}\times AG\times IO =\dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}\times IO.

Calculons IO.
Par Pythagore dans le triangle AOI rectangle en O, nous obtenons :

AI^2=AO^2+IO^2\quad\Longrightarrow\quad IO^2=AI^2-AO^2 \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWiWWWW}\Longrightarrow\quad IO^2=\left(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWiWWWW}\Longrightarrow\quad IO^2=\dfrac{5}{4}-\dfrac{3}{4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWiWWWW}\Longrightarrow\quad IO^2=\dfrac{2}{4}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWiWWWW}\Longrightarrow\quad \boxed{IO=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}

Par conséquent,

\text{Aire}_{\text{ triangle AIG}}=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}\times IO=\dfrac{1}{2}\times\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Aire}_{\text{ triangle AIG}}= \dfrac{\sqrt{6}}{4}}

3.  Nous devons en déduire la distance du point B au plan (AIG).

La distance du point B au plan (AIG) est la distance BL par définition du projeté orthogonal du point B sur le plan (AIG).

Nous pouvons concevoir le tétraèdre ABIG comme suit :
{\white{xxx}}  la base est le triangle AIG
{\white{xxx}}  la hauteur est BL.

Donc  \text{Volume}_{\text{tétraèdre ABIG}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{AIG}\times BL.

\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABIG}}=\dfrac{1}{6}\quad(\text{voir question 1. b)}\\\\\text{Aire}_{\text{ triangle AIG}}= \dfrac{\sqrt{6}}{4}\quad(\text{voir question 2})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où :}\;\text{Volume}_{\text{tétraèdre ABIG}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{AIG}\times BL \\\\\phantom{wwwwwwwWWi}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}\times BL \\\\\phantom{wwwwwwwWWi}\Longleftrightarrow\quad\dfrac{1}{6}= \dfrac{\sqrt{6}}{12}\times BL \\\\\phantom{wwwwwwwWWi}\Longleftrightarrow\quad BL =\dfrac{1}{6}\times \dfrac{12}{\sqrt{6}}=\dfrac{2}{\sqrt{6}}=\dfrac{2\times\sqrt{6}}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\dfrac{2\times\sqrt{6}}{6} \\\\\Longrightarrow\boxed{BL=\dfrac{\sqrt{6}}{3}}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Hiphigenie
/
malou Webmaster
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !