On considère l'ensemble des couples d'entiers relatifs tels que : .
1) Vérifier que , pour tout couple de , on a .
2) Soit . Il existe alors deux entiers et premiers entre eux , tels que .
Justifier que divise .
3) Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de .
4) Trouver l'ensemble des couples de tels que .
5) En déduire le couple pout lequel .
8 points
exercice 2
Dans le plan orienté , on considère un triangle équilatéral direct , de centre de gravité . est le symétrique de par rapport à , où est le milieu de . est le symétrique de par rapport à et le milieu de .
Pour la figure , on prendra horizontalement tels que BC=5cm .
1) Faire une figure , que l'on complètera au fur et à mesure .
2) Construire l'ensemble des points du plan tels que .
3) Soit le cercle de diamètre . Montrer que est l'ensemble des points du plan tels que .
4) Soit l'application ponctuelle qui à tout point du plan associe le point tels que : .
a) Démontrer que .
b) En déduire la nature de l'application .
5) Soit .
a) Déterminer .
b) Montrer que est une similitude plane directe d'angle de mesure et dont on précisera le rapport .
c) Déduire des questions 2) et 3) une construction du centre de .
6) Soit le point du plan tel que soit un losange . On considère la transformation du plan telle que .
a) Montrer que est une symétrie glissée .
b) Sachant que et utilisant , déterminer le vecteur de puis déduire son axe .
7) La parallèle à la droite passant par coupe la médiatrice du segment en un point . Soit la parabole de foyer et de directrice la droite .
a) Montrer que est un point de .
b) Soit le symétrique de par rapport à et la droite passant par et perpendiculaire à . Construire les points et de situés sur .
On désignera par celui situé dans le demi-plan de frontière contenant le point .
c) Achever la construction de .
5 points
exercice 3
On considère la fonction définie sur par : et la fonction telle que : On admet que est dérivable en et .
1-a) Montrer que pour .
b) Sachant que est négative sur , déduire le signe de pour tout .
2) Soit la fonction définie sur par : .
a) Montrer que , pour tout réel .
b) En déduire que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
3) Montrer que , pour tout sachant que et .
4) Soit la suite un entier naturel , définie par : .
a) Montrer que si .
b) En remarquant que , pour tout entier naturel , montrer que : .
c) Montrer que , pour tout entier naturel .
d) En déduire que la suite converge vers .
e) En déduire un entier naturel tel que pour tout , on ait .
3 points
exercice 4
En prévision du lancement d'un nouveau produit , une société a effectué une enquête auprès de clients éventuels pour fixer le prix de vente ( en milliers de francs) de ce produit . Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
On a effectué un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés et on a obtenu la droite de régression de en telle que : .
1) On donne .
Calculer la variance de . En déduire la covariance de et .
2) On veut déterminer l'équation de la droite de régression de en .
On donne . Déterminer puis en déduire la valeur de .
3) En utilisant l'équation de la droite de en , estimer le prix de vente si le nombre d'acheteurs potentiels est de .
4) Déterminer l'inertie par rapport au point moyen .
Puisqu'il existe deux entiers et premiers entre eux , tels que .
Alors on peut écrire .
Notons , alors .
On en déduit que :
3) Décomposons en produit des facteurs premiers :
Les diviseurs positifs de sont alors :
Conclusion :
4) Soit , alors
D'où : et donc
On en déduit que
On remplace par toutes ces valeurs dans les expressions de et de du système pour trouver les couples demandés :
L'ensemble des couples de tels que est donc :
5) On a :
On en déduit que :
exercice 2
1)Voir la figure à la fin .
2) L'ensemble des points qui vérifient est le lieu géométrique des points d'où l'on "voit" le segment sous l'angle .
C'est-à-dire :
Voir la figure en-dessous de la correction de cet exercice , l'arc capabley est construit en rouge .
3) Déterminons l'ensemble des points vérifiant
On remarque tout d'abord que et n'appartiennent pas à cet ensemble de points , car sinon on aurait , ce qui est impossible puisque et ne sont pas confondus .
On a donc :
On tire de cette expression qu'il faut trouver une relation entre les points et et les barycentres des systèmes .
est le centre de gravité du triangle et est le milieu de , donc :
est le symétrique de par rapport à , donc :
On fait intervenir et dans , on obtient :
Conclusion :
4-a) On a :
b) est l'application ponctuelle qui à tout point du plan associe le point et .
Donc :
5-a) Déterminons :
On a :
Or , puisque , alors .
D'où .
Il s'ensuit que , en effet , le point est invariant par la rotation puisqu'il est son centre .
b) On peut écrire sous la forme .
Donc :
est donc la composée de la rotation et de l'homothétie .
c) On a : , donc .
On déduit donc de 2) et 3) , que :
Voir la figure à la fin de la correction de cet exercice .
6-Erreur dans l'énoncé : Le losange est et pas .
En effet , Comme on donne à la question 6-b) : , et comme , donc .
est alors l'image de par la réflexion d'axe .
a) est la composée de qui est la reflexion d'axe et de , la translation de vecteur .
Et puisque n'est ni normal à ni directeur de car le triangle est équilatéral et donc :
Donc :
b)
Déterminons le vecteur de :
On sait que si est le vecteur de , alors est le vecteur de .
Or , puisque , alors le vecteur de .
On en tire que , ou encore .
Enfin , est le milieu du segment , alors .
Conclusion :
Déterminons l'axe de :
Comme et alors :
7-a) On sait que est le projeté orthogonal de sur la directrice de la parabole .
De plus , est un point de la médiatrice du segment avec le foyer de la parabole .
Par conséquent :
b)Voir figure ci-dessous .
c)Voir figure ci-dessous :
exercice 3
1-a) Les fonctions et sont dérivables sur avec ne n'annule pas sur cet ensemble .
Il s'ensuit que est une fonction dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables sur .
Et on a , pour tout réel :
1-b) , donc et ont le même signe sur .
Et puisque sur , et donc sur , alors : .
Enfin , est dérivable en avec .
Conclusion :
2-a) On a :
Donc est une fonction dérivable sur comme somme des fonctions et dérivables sur
De plus , on a .
b) L'équation est équivalente à .
On a :
est continue sur (car dérivable sur et donc sur ) .
est strictement décroissante sur (puisque pour tou réel )
.
D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I.) , l'équation admet une solution unique sur l'intervalle .
Ou encore :
3) D'après 1-b) :
De plus ,
D'où :
De
Il nous reste à vérifier que sur :
On sait que est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur , donc :
Le signe de est donc celui de , on dresse le tableau de variations de :
La fonction atteint sa valeur maximale en .
On en déduit que et donc
De , on conclut que :
4-a) Soit , donc , puisque est décroissante sur , alors .
Or , .
D'où :
b) est continue et dérivable sur .
Et d'après 3) , , d'où .
Ou encore .
De plus
Alors : .
Donc d'après le théorème de l'Inégalité des Accroissements Finis :
Or , et d'après 4-a), pour
Alors par récurrence :
Et on a .
Donc , on a l'inégalité suivante :
Enfin , puisque , alors :
c) On a , d'après ce qui précède : :
Pour Pour Pour
Au rang Au rang
En multiplant membre à membre les inégalités ci-dessus , on obtient :
Et en simplifiant cette expression , on obtient :
Reste à montrer que :
On a , donc .
D'où , ou encore
Il s'ensuit que
On déduit de et que :
d) Puisque .
Donc
D'autre part
Donc , d'après le théorème des gendarmes :
D'où :
e) Trouvons un entier naturel tel que pour tout , on ait .
Puisqu'on a pour tout entier .
On peut prendre :
D'où :
En sachant que :
On peut prendre :
exercice 4
1)La variance :
La covariance :
D'où :
2)Caclul de :
On a
D'où :
Calcul de :
Puisque alors
3) Estimation du prix de vente si le nombre d'acheteurs potentiels est :
La droite de régression de en est .
Donc pour , on a:
4)L'inertie par rapport au point moyen :
Directement : .
Publié par malou/Panter
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