Fiche de mathématiques

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Bac Congo-Brazzaville 2022

Mathématiques Série C

Durée : 4 heures
Coefficient : 5
Calculatrice non programmable autorisée

4 points

exercice 1

On considère l'ensemble $(S)$ des couples $(x,y)$ d'entiers relatifs tels que : $\begin{cases}x=12+3t\\y=37-7t\end{cases}\enskip,\enskip \text{ où }t\text{ est entier relatif}$ .

1) Vérifier que , pour tout couple $(x;y)$ de $(S)$ , on a $7x+3y=195 \enskip (E)$ .

2) Soit $d=PGCD(x;y)$ . Il existe alors deux entiers $x'$ et $y'$ premiers entre eux , tels que $x=dx'\text{ et }y=dy'$ .
Justifier que $d$ divise $195$ .

3) Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de $195$ .

4) Trouver l'ensemble des couples $(x;y)$ de $(S)$ tels que $0\leq y\leq 37$ .

5) En déduire le couple $(x_0;y_0)$ pout lequel $d=3$ .

8 points

exercice 2

Dans le plan orienté $(P)$ , on considère un triangle $ABC$ équilatéral direct , de centre de gravité $G$ . $I$ est le symétrique de $C$ par rapport à $O$ , où $O$ est le milieu de $[AB]$ . $J$ est le symétrique de $G$ par rapport à $O$ et $K$ le milieu de $[BC]$ .
Pour la figure , on prendra $[BC]$ horizontalement tels que BC=5cm .

1) Faire une figure , que l'on complètera au fur et à mesure .

2) Construire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan tels que $(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{MC})=-\dfrac{2\pi}{3}\enskip[2\pi]$ .

3) Soit $(C)$ le cercle de diamètre $[IG]$ . Montrer que $(C)$ est l'ensemble des points $M$ du plan tels que $MC=2MO$ .

4) Soit $h$ l'application ponctuelle qui à tout point $M$ du plan associe le point $M'$ tels que : $\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$ .
a) Démontrer que $\overrightarrow{GM'}}=-2\overrightarrow{GM}$ .
b) En déduire la nature de l'application $h$ .

5) Soit $f=r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\circ h(G;-2)$ .
a) Déterminer $f(O)$ .
b) Montrer que $f$ est une similitude plane directe d'angle de mesure $\dfrac{-2\pi}{3}$ et dont on précisera le rapport .
c) Déduire des questions 2) et 3) une construction du centre $\Omega$ de $f$ .

6) Soit $D$ le point du plan tel que $ABCD$ soit un losange . On considère la transformation du plan $(P)$ telle que $g=S_{(BC)}\circ t_{\overrightarrow{CA}}$ .
a) Montrer que $g$ est une symétrie glissée .
b) Sachant que $g(C)=D \text{ et }g(D)=B$ et utilisant $(g\circ g)(C)$ , déterminer le vecteur $\overrightarrow{u}$ de $g$ puis déduire son axe $(\Delta)$ .

7) La parallèle à la droite $(BC)$ passant par $J$ coupe la médiatrice du segment $[CJ]$ en un point $M_0$ . Soit $(p)$ la parabole de foyer $C$ et de directrice la droite $(BJ)$ .
a) Montrer que $M_0$ est un point de $(p)$ .
b) Soit $N$ le symétrique de $K$ par rapport à $C$ et $(\Delta')$ la droite passant par $N$ et perpendiculaire à $(BC)$ . Construire les points $M_1$ et $M_2$ de $(p)$ situés sur $(\Delta')$ .
On désignera par $M_1$ celui situé dans le demi-plan de frontière $(BC)$ contenant le point $A$ .
c) Achever la construction de $(p)$ .

5 points

exercice 3

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x)=e^x(1-x)-1$ et la fonction $f$ telle que : $\begin{cases}f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}+2 &\text{ si }x\neq 0\\f(0)=3 \end{cases}$
On admet que $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=-\dfrac{1}{2}$ .

1-a) Montrer que pour $x\neq 0\text{ , }f'(x)=\dfrac{g(x)}{(e^x-1)^2}$ .
b) Sachant que $g(x)$ est négative sur $\R$ , déduire le signe de $f'(x)$ pour tout $x\in\R$ .

2) Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par : $h(x)=f(x)-x$ .
a) Montrer que , pour tout réel $x\text{ , }h'(x)<0$ .
b) En déduire que l'équation $f(x)=x$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $]2;2,5[$ .

3) Montrer que , pour tout $x\in]2;2,5[ \text{ ; }-0,5\leq f'(x)<0$ sachant que $-g(x)\leq 20$ et $\dfrac{1}{(e^x-1)^2}\leq \dfrac{1}{40}$ .

4) Soit la suite $(u_n) \text{ , }n$ un entier naturel , définie par : $\begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}$ .
a) Montrer que si $u_n\in[2;2,5]\text{ , }u_{n+1}\in[2;2,5]$ .
b) En remarquant que , pour tout entier naturel $n \text{ , }u_{n+1}-\alpha=f(u_n)-f(\alpha)$ , montrer que : $|u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|$ .
c) Montrer que , pour tout entier naturel $n \text{ , }|u_n-\alpha|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \times |u_0-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ .
d) En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers $\alpha$ .
e) En déduire un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n\geq n_0$ , on ait $|u_n-\alpha|\leq 10^{-3}$ .

3 points

exercice 4

En prévision du lancement d'un nouveau produit , une société a effectué une enquête auprès de clients éventuels pour fixer le prix de vente ( en milliers de francs) de ce produit . Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Prix de vente en milliers de francs }(x_i)&9&10&11&12&14&15&16&17\\ \hline \text{Nombre d'acheteurs potentiels }(y_i)&180&160&150&130&100&90&80&70 \\ \hline \end{array}$

On a effectué un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés et on a obtenu la droite de régression $(D)$ de $y$ en $x$ telle que : $(D)\text{ }y=-13,83x+299,83$ .

1) On donne $\overline{x}=13\text{ et }\overline{y}=120$ .
Calculer la variance de $x$ . En déduire la covariance de $x$ et $y$ .

2) On veut déterminer l'équation de la droite de régression de $x$ en $y$ .
On donne $(D'):x=a'y+b' \text{ et }V(y)=1450$ . Déterminer $a'$ puis en déduire la valeur de $b'$ .

3) En utilisant l'équation de la droite $(D')$ de $x$ en $y$ , estimer le prix de vente si le nombre d'acheteurs potentiels est de $250$ .

4) Déterminer l'inertie par rapport au point moyen $G$ .

Voir la correction

exercice 1

$(S)=\left\lbrace (x;y)\in\Z^2\text{ / }\begin{cases}x=12+3t\\ y=37-7t\end{cases}\text{; }t\in\Z\right\rbrace }$

1) On a :

$\forall (x;y)\in(S) \text{ : }\begin{cases}x=12+3t\\ y=37-7t\end{cases}\text{; }t\in\Z\right\rbrace } \iff \begin{cases}7x=84+21t\\ 3y=11-21t\end{cases}\text{; }t\in\Z\right\rbrace }$

On aditionne les deux équations du système : $7x+3y=84+21t+11-21t \text{ ; }t\in\Z$ .

Donc : $\boxed{7x+3y=195}$

2) Soit $d=PGCD(x;y)$ .

Puisqu'il existe deux entiers $x'$ et $y'$ premiers entre eux , tels que $x=dx'\text{ et }y=dy'$ .

Alors on peut écrire $7(dx')+3(dy')=195 \iff d(7x'+3y')=195$ .

Notons $k=7x'+3y'\in\Z$ , alors $dk=195$ .

On en déduit que : $\boxed{k\text{ divise }195 }$

3) Décomposons $195$ en produit des facteurs premiers : $195=3\times 5 \times 13$

Les diviseurs positifs de $195$ sont alors : $3\text{ ; }5\text{ ; }13\text{ ; }(3\times 5) \text{ ; }(3\times 13) \text{ ; }(5\times 13) \text{ et }195$

Conclusion : $\boxed{ \text{ L'ensemble des diviseurs positifs de }195 \text{ est : }D_{195}=\lbrace 3\text{ ; }5\text{ ; }13\text{ ; }15\text{ ; }39\text{ ; }65\text{ ; }195\rbrace }}$

4) Soit $0\leq y\leq 37$ , alors $0\leq 37-7t\leq 37$

D'où : $0\leq 7t\leq 37$ et donc $0\leq t\leq \dfrac{37}{7}\approx 5,28$

On en déduit que $t\in\lbrace 0\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ ; }3\text{ ; }4\text{ ; }5 \rbrace$

On remplace $t$ par toutes ces valeurs dans les expressions de $x$ et de $y$ du système pour trouver les couples demandés :

$\text{ Pour }t=0\enskip\text{ : }\enskip x=12\text{ et }y=37$

$\text{ Pour }t=1\enskip\text{ : }\enskip x=15\text{ et }y=30$

$\text{ Pour }t=2\enskip\text{ : }\enskip x=18\text{ et }y=23$

$\text{ Pour }t=3\enskip\text{ : }\enskip x=21\text{ et }y=16$

$\text{ Pour }t=4\enskip\text{ : }\enskip x=24\text{ et }y=9$

$\text{ Pour }t=5\enskip\text{ : }\enskip x=27\text{ et }y=2$

L'ensemble des couples $(x;y)$ de $(S)$ tels que $0\leq y\leq 37$ est donc :

$\boxed{\lbrace(12;37)\text{ , }(15;30)\text{ , }(18;23)\text{ , }(21;16)\text{ , }(24;9)\text{ , }(27;2)\rbrace }$

5) On a :

$PGCD(12;37)=1\enskip\enskip,\enskip PGCD(15;30)=15\enskip\enskip,\enskip PGCD(18;23)=1$

$PGCD(21;16)=1\enskip\enskip,\enskip PGCD(24;9)=3\enskip\enskip,\enskip PGCD(27;2)=1$

On en déduit que : $\boxed{(x_0;y_0)=(24;9)\text{ avec }d=PGCD(x_0;y_0)=3}$

exercice 2

1) Voir la figure à la fin .

2) L'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ qui vérifient $(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{MC})=-\dfrac{2\pi}{3}\enskip[2\pi]$ est le lieu géométrique des points d'où l'on "voit" le segment $[OC]$ sous l'angle $-\dfrac{2\pi}{3}$ .
C'est-à-dire : $\boxed{(\Gamma)\text{ est l'arc capable relatif au segment } [OC]\text{ à un angle }-\dfrac{2\pi}{3}.}$
Voir la figure en-dessous de la correction de cet exercice , l'arc capable $(\Gamma)$ y est construit en rouge .

3) Déterminons l'ensemble des points $M$ vérifiant $MC=2MO$

On remarque tout d'abord que $C$ et $O$ n'appartiennent pas à cet ensemble de points , car sinon on aurait $M=C=O$ , ce qui est impossible puisque $C$ et $O$ ne sont pas confondus .

On a donc :
$MC=2MO \iff MC^2=4MO^2\iff \overrightarrow{MC}^2=4\overrightarrow{MO}^2\iff \left(\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MO}\right)\left(\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MO}\right)=0\enskip (*)$

On tire de cette expression qu'il faut trouver une relation entre les points $I$ et $G$ et les barycentres des systèmes $\left\lbrace(C;1);(O;2)\right\rbrace\text{ et }\left\lbrace(C;1);(O;-2)\right\rbrace$ .

$G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$ et $O$ est le milieu de $[AB]$ , donc : $\overrightarrow{CG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CO}\iff 3\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{CG}+2\overrightarrow{GO}\iff \blue \overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}\black\enskip\enskip\left[ \iff G=\text{ bary}\left\lbrace(C;1);(O;2)\right\rbrace\right]$

$I$ est le symétrique de $C$ par rapport à $O$ , donc : $\overrightarrow{IO}=\overrightarrow{OC}\iff \overrightarrow{IO}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}\iff \magenta\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{IO}=\overrightarrow{0}\black \enskip\enskip\left[\iff I=\text{ bary}\left((C;1);(O;-2)\right)\right]$

On fait intervenir $I$ et $G$ dans $(*)$ , on obtient :

$\begin{matrix}(*)&\iff& \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IO})\right)\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}+2(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GO})\right)=0\\&\iff& \left(-\overrightarrow{MI}+\magenta\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{IO}\black\right)\left(3\overrightarrow{MG}+\blue \overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GO}\black\right)=0\\&\iff& -3\overrightarrow{MI}\text{ . }\overrightarrow{MG}=0\\&\iff&\overrightarrow{MI}\text{ . }\overrightarrow{MG}=0\\&\iff& M\text{ appartient au cercle de diamètre }[IG] \\&\iff&M\in(C) \end{matrix}$

Conclusion : $\boxed{\text{ Le cercle }(C) \text{ est l'ensemble des points }M \text{ du plan tels que } MC=2MO}}$

4-a) On a :

$\begin{matrix}\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} &\iff& \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GM'}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}&\\&\iff& \overrightarrow{GM'}=2\overrightarrow{MG}+\underbrace{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}}_{\overrightarrow{0}}&\text{ (Puisque }G \text{ est le centre de gravité du triangle }ABC\text{ )}\\&\iff& \boxed{\overrightarrow{GM'}=-2\overrightarrow{GM}}\end{matrix}$

b) $h$ est l'application ponctuelle qui à tout point $M$ du plan associe le point $M'$ et $\overrightarrow{GM'}=-2\overrightarrow{GM}$ .

Donc : $\boxed{h\text{ est l'homothétie de centre }G\text{ est de rapport }-2}$

5-a) Déterminons $f(O)$ :

On a : $f(O)= r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\circ h(G;-2)(O)= r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\left[ h(G;-2)(O)\right]$

Or , puisque $\overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}$ , alors $\overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GO}$ .

D'où $h(G;-2)(O)=C$ .

Il s'ensuit que $f(O)= r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)(C)=C$ , en effet , le point $C$ est invariant par la rotation $r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)$ puisqu'il est son centre .

$\boxed{f(O)=C}$

b) On peut écrire $h(G;-2)$ sous la forme $r(G;\pi)\circ h(G;2)$ .

Donc :

$\begin{matrix}f&=&r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\circ h(G;-2)\\&=&r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\circ r(G;\pi)\circ h(G;2)\\&=&r\left(\Omega;\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)\circ h(G;2)&\text{( où }\Omega \text{ est le centre de la nouvelle rotation , composée des rotations de centres }G\text{ et }C\text{ ) }\\&=&r\left(\Omega;\dfrac{4\pi}{3}\right)\circ h(G;2)\\&=&\boxed{r\left(\Omega;\dfrac{-2\pi}{3}\right)\circ h(G;2)}\end{matrix}$

$f$ est donc la composée de la rotation $r\left(\Omega;\dfrac{-2\pi}{3}\right)$ et de l'homothétie $h(G;2)$ .

$\boxed{ f \text{ est une similitude directe d'angle }\dfrac{-2\pi}{3}\text{ et de rapport }2}$

c) On a : $\begin{cases} f(\Omega)=\Omega \\f(O)=C \end{cases}$ , donc $\begin{cases}\Omega C=2\Omega O \\ (\overrightarrow{\Omega O};\overrightarrow{\Omega C})=-\dfrac{2\pi}{3}\enskip[2\pi] \end{cases}$ .

On déduit donc de 2) et 3) , que :

$\boxed{\Omega \text{ est le point d'intersection du cercle }(C) \text{ et de l'arc }(\Gamma)}$

Voir la figure à la fin de la correction de cet exercice .

6-Erreur dans l'énoncé : Le losange est $ACDB$ et pas $ABCD$ .
En effet , Comme on donne à la question 6-b) : $g(C)=D$ , et comme $g(C)=\left(S_{(BC)}\circ t_{\overrightarrow{CA}}\right)(C)=S_{(BC)}\left( t_{\overrightarrow{CA}}(C)\right)=S_{(BC)}(A)$ , donc $S_{(BC)}(A)=D$ .
$D$ est alors l'image de $A$ par la réflexion d'axe $(BC)$ .

a) $g$ est la composée de $S_{(BC)}$ qui est la reflexion d'axe $(BC)$ et de $t_{(\overrightarrow{CA})}$ , la translation de vecteur $\overrightarrow{CA}$ .
Et puisque $\overrightarrow{CA}$ n'est ni normal à $(BC)$ ni directeur de $(BC)$ car le triangle $(ABC)$ est équilatéral et donc : $\begin{cases}(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]\neq \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi] \\\text{et }\\\text{ A,B et C ne sont pas alignés}\end{cases}$

Donc : $\boxed{g \text{ est une symétrie glissée .}}$

b)

Déterminons le vecteur $\overrightarrow{u}$ de $g$ :

On sait que si $\overrightarrow{u}$ est le vecteur de $g$ , alors $2\overrightarrow{u}$ est le vecteur de $g\circ g$ .

Or , puisque $g\circ g(C)=g(g(C))=g(D)=B$ , alors le vecteur de $g\circ g \text{ est } \overrightarrow{CB}$ .

On en tire que $2\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CB}$ , ou encore $\overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ .

Enfin , $K$ est le milieu du segment $[BC]$ , alors $\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CK}$ .

Conclusion : $\boxed{\text{Le vecteur de }g \text{ est }\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CK}}$

Déterminons l'axe $(\Delta)$ de $g$ :

Comme $g(C)=D$ et $g(D)=B$ alors :

$\boxed{\text{ L'axe }(\Delta) \text{ de }g \text{ est la droite passant par les milieux de }[CD]\text{ et }[DB]}$

7-a) On sait que $J$ est le projeté orthogonal de $M_0$ sur la directrice $(BJ)$ de la parabole $(p)$ .

De plus , $M_0$ est un point de la médiatrice du segment $[CJ]$ avec $C$ le foyer de la parabole $(p)$ .

Par conséquent : $\boxed{M_0\in(p)}$

b) Voir figure ci-dessous .

c) Voir figure ci-dessous :

Bac Congo-Brazzaville 2022 série C : image 1

exercice 3

1-a) Les fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto e^x-1$ sont dérivables sur $\R^{*}$ avec $x\mapsto e^x-1$ ne n'annule pas sur cet ensemble .

Il s'ensuit que $f$ est une fonction dérivable sur $\R^{*}$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\R^{*}$ .

Et on a , pour tout réel $x\neq 0$ :

$\begin{matrix} f'(x)&=& \left(\dfrac{x}{e^x-1}+2\right)'&=&\dfrac{e^x-1-xe^x}{(e^x-1)^2}&=&\dfrac{e^x(1-x)-1}{(e^x-1)^2}&=&\boxed{\dfrac{g(x)}{(e^x-1)^2}}\end{matrix}$

1-b) $\forall x\in\R^{*} \text { : } (e^x-1)^2>0$ , donc $f'$ et $g$ ont le même signe sur $\R^{*}$ .

Et puisque $0\geq g(x)$ sur $\R$ , et donc sur $\R^{*}$ , alors : $\forall x\in\R^{*}\text{ : } 0\geq f'(x)$ .

Enfin , $f$ est dérivable en $0$ avec $f'(0)=-\dfrac{1}{2}<0$ .

Conclusion : $\boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'(x)\leq 0}$

2-a) On a : $\begin{cases}f'(x)=\dfrac{g(x)}{(e^x-1)^2} &\text{ si }x\neq 0\\f'(0)=-\dfrac{1}{2} \end{cases}\enskip\text{ et }\forall x\in\R\text{ : }h(x)=f(x)-x$

Donc $h$ est une fonction dérivable sur $\R$ comme somme des fonctions $f$ et $x\mapsto-x$ dérivables sur $\R$

De plus , on a $\forall x\in\R \text{ : }h'(x)=f'(x)-1\leq -1<0$ .

$\boxed{\text{Pour tout réel }x\text{ , }h'(x)<0 }$

b) L'équation $f(x)=x$ est équivalente à $h(x)=0$ .

On a :

$h$ est continue sur $]2;2,5[$ (car dérivable sur $\R$ et donc sur $]2;2,5[$ ) .

$h$ est strictement décroissante sur $]2;2,5[$ (puisque pour tou réel $x\text{ , }h'(x)<0$ )

$h(2)=f(2)-2=\dfrac{2}{e^2-1}\approx 0,31 >0 \enskip\text{ et }\enskip h(2,5)=f(2,5)-2,5=\dfrac{2,5}{e^{2,5}-1}-0,5\approx -0,28<0$

$\text{ D'où }h(2).h(2,5)<0$ .

D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I.) , l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $]2;2,5[$ .

Ou encore : $\boxed{\text{ L'équation }f(x)=x\text{ admet une unique solution }\alpha \text{ sur } ]2;2,5[}$

3) D'après 1-b) : $\forall x\in\R\text{ : } 0\geq f'(x)\enskip\text{ , d'où }\enskip \forall x\in]2;2,5[\text{ : } 0\geq f'(x)\enskip \blue (i)$

De plus , $\forall x\in]2;2,5[\text{ : }0\leq-g(x)\leq 20 \text{ et } 0\leq\dfrac{1}{(e^x-1)^2}\leq \dfrac{1}{40} \Longrightarrow \dfrac{-g(x)}{(e^x-1)^2}\leq \dfrac{20}{40}=0,5$

D'où : $\forall x\in]2;2,5[\text{ : } -0,5\leq f'(x)\enskip \blue (ii)$

De $\blue(i)\black\text{ et }\blue(ii) \black\enskip ,\enskip \forall x\in]2;2,5[\text{ : } -0,5\leq f'(x)\leq 0\enskip \magenta (a)$

Il nous reste à vérifier que $f'(x)\neq 0$ sur $]2;2,5[$ :

On sait que $g$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$ , donc :

$\forall x\in \R\text{ : }g'(x)=\left(e^x(1-x)-1\right)'=e^x(1-x)'+e^x(1-x)=-xe^x$

Le signe de $g'(x)$ est donc celui de $-x$ , on dresse le tableau de variations de $g$ :

$\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x & -\infty & & & 0 & & & +\infty\\ \hline g'(x) & & + & &\barre{0} & &- & \\ \hline & & & & g(0)=0 & & & \\ g & &\nearrow& & & &\searrow& \\ & & & & & & & \\ \hline \end{array}$

La fonction $g$ atteint sa valeur maximale $0$ en $x=0$ .

On en déduit que $g(x)\neq 0 \text{ sur } ]2;2,5[$ et donc $f'(x)\neq 0 \text{ sur } ]2;2,5[\enskip\magenta (b)$

De $\magenta (a)\black\text{ et }\magenta(b)$ , on conclut que : $\boxed{\forall x\in]2;2,5[\text{ : } -0,5\leq f'(x)< 0}$

4-a) Soit $u_n\in[2;2,5]$ , donc , puisque $f$ est décroissante sur $[2;2,5]$ , alors $f(u_n)\in [f(2,5);f(2)]$ .

Or , $f(2)= \dfrac{2}{e^2-1}+2\approx 2,31\text{ et }f(2,5)=\dfrac{2,5}{e^{2,5}-1}+2\approx 2,22$ .

D'où : $u_{n+1}=f(u_n)\in [2,22;2,31] \subset [2;2,5]$

$\boxed{u_n\in[2;2,5]\Longrightarrow u_{n+1}\in[2;2,5]}$

b) $f$ est continue et dérivable sur $[2;2,5]$ .

Et d'après 3) , $\forall x\in]2;2,5[\text{ : } -0,5\leq f'(x)< 0$ , d'où $-0,5\leq f'(x)\leq 0,5$ .

Ou encore $\forall x\in]2;2,5[\text{ : } |f'(x)|\leq 0,5$ .

De plus $\begin{cases} f'(2)=\dfrac{g(2)}{(e^2+1)^2}\approx -0,2\Rightarrow |f'(2)|\leq 0,5\\f'(2,5)=\dfrac{g(2,5)}{(e^{2,5}+1)^2}\approx -0,15\Rightarrow |f'(2,5)|\leq 0,5\end{cases}$

Alors : $\forall x\in[2;2,5]\text{ : } |f'(x)|\leq \dfrac{1}{2}$ .

Donc d'après le théorème de l'Inégalité des Accroissements Finis :

$\forall x,y\in[2;2,5] \text{ : }\left|f(x)-f(y)\right|\leq \dfrac{1}{2} |x-y|$

Or , $u_0=2\in [2;2,5]$ et d'après 4-a), pour $n\in\N\text{ tel que } u_n\in[2;2,5]\enskip\text{ : } u_{n+1}\in[2;2,5]$

Alors par récurrence : $\forall n\in\N\text{ : }u_n\in[2;2,5]$

Et on a $\alpha\in]2;2,5[$ .

Donc , on a l'inégalité suivante : $\left|f(u_n)-f(\alpha)\right|\leq \dfrac{1}{2} |u_n-\alpha|$

Enfin , puisque $\forall n\in\N\text{ : } u_{n+1}-\alpha=f(u_n)-f(\alpha)$ , alors : $\boxed{\forall n\in\N\text{ : }|u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_n-\alpha| }$

c) On a , d'après ce qui précède : $\forall n\in\N\text{ : }|u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_n-\alpha|$ :

Pour $n=0\text{ : }|u_{1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_0-\alpha|$
Pour $n=1\text{ : }|u_{2}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_1-\alpha|$
Pour $n=2\text{ : }|u_{3}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_2-\alpha|$

$\vdots$

Au rang $n-2 \text{ : }|u_{n-1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_{n-2}-\alpha|$
Au rang $n-1 \text{ : }|u_{n}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_{n-1}-\alpha|$

En multiplant membre à membre les inégalités ci-dessus , on obtient :

$|u_1-\alpha|\times|u_2-\alpha|\times\cdots\times \left|u_{n-1}-\alpha\right|\times|u_n-\alpha|\leq \dfrac{1}{2}\left|u_0-\alpha\right|\times\dfrac{1}{2}\left|u_1-\alpha\right|\times \cdots\times \dfrac{1}{2}\left|u_{n-1}-\alpha\right|$

Et en simplifiant cette expression , on obtient : $|u_n-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\left|u_0-\alpha\right|\enskip \blue (a)$

Reste à montrer que $\left|u_0-\alpha\right|\leq\dfrac{1}{2}$ :

On a $2\leq \alpha\leq 2,5$ , donc $-2,5\leq-\alpha\leq -2$ .

D'où $u_0-2,5\leq u_0-\alpha\leq u_0-2$ , ou encore $-0,5\leq u_0-\alpha \leq 0 \leq 0,5$

Il s'ensuit que $|u_0-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}\enskip\blue (b)$

On déduit de $\blue(a)$ et $\blue(b)$ que : $\boxed{\forall n\in\N\text{ : }|u_n-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\left|u_0-\alpha\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}$

d) Puisque $\forall n\in\N\text{ : }|u_n-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}$ .

Donc $\forall n\in\N\text{ : }\alpha-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\leq u_n \leq \alpha+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

D'autre part $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}=0$

Donc , d'après le théorème des gendarmes : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha$

D'où : $\boxed{(u_n)\text{ converge vers }\alpha}$

e) Trouvons un entier naturel $n_0$ tel que pour tout $n\geq n_0$ , on ait $|u_n-\alpha|\leq 10^{-3}$ .

Puisqu'on a pour tout entier $n\text{ : }|u_n-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$ .

On peut prendre : $\forall n\geq n_0\text{ : }\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\leq 10^{-3}$

D'où : $\forall n\geq n_0\text{ : }\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\leq 10^{-3}\iff \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\leq \ln 10^{-3}\iff -(n+1)\ln 2\leq -3\ln 10 \iff n \geq \dfrac{3\ln 10}{\ln 2}-1$

En sachant que : $\dfrac{3\ln 10}{\ln 2}-1\approx 8,96$

On peut prendre : $\boxed{n_0=9}$

exercice 4

1) La variance :

$\begin{matrix}V(x)&=&\dfrac{1}{8}\displaystyle\sum_{i=1}^{8} x_i^2-\bar{x}^2\\&=&\dfrac{1}{8}\left(9^2+10^2+11^2+12^2+14^2+15^2+16^2+17^2\right) -13^2 \\&=& \dfrac{1}{8}\times 1412 -169 \\&=&\boxed{7,5 }\end{matrix}$

La covariance :

$\text{Cov}(x,y)=aV(x)\text{ , avec }a\text{ le coefficient directeur de la droite de régression de y en x } (D)$

D'où : $\text{Cov}(x,y)=aV(x)=-13,83\times 7,5 =\boxed{ -103,725}$

2) Caclul de $a'$ :

On a $\text{Cov}(x,y)=a'V(y)\text{ , avec }a'\text{ le coefficient directeur de la droite de régression de x en y } (D')$

D'où : $a'=\dfrac{\text{Cov}(x,y)}{V(y)}=\dfrac{-103,725}{1450}\approx\boxed{-0,071}$

Calcul de $b'$ :

Puisque $x=a'y+b'$ alors $\bar{x}=a'\bar{y}+b'$

$\bar{x}=a'\bar{y}+b' \Longrightarrow b'=\bar{x}-a'\bar{y}=13+0,071\times 120 =\boxed{21,52}$

3) Estimation du prix de vente si le nombre d'acheteurs potentiels est $250$ :

La droite de régression de $x$ en $y$ est $(D')=-0,071y+21,52$ .

Donc pour $y=250$ , on a: $x=-0,071\times 250+21,52 = \boxed{3,77}$

$\boxed{\text{Le prix de vente si le nombre d'acheteurs potentiels est de 250 est estimé à }3,77\text{ milliers de francs } }$

4) L'inertie par rapport au point moyen $G$ :

Directement : $I_G=8(V(x)+V(y))\Longrightarrow I_G=8(7,5+1450)=\boxed{11660}$ .

Publié par malou/Panter le 05-09-2022

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