Fiche de mathématiques
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Bac Congo-Brazzaville 2022

Mathématiques Série C

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Durée : 4 heures
Coefficient : 5

Calculatrice non programmable autorisée


4 points

exercice 1

On considère l'ensemble (S) des couples (x,y) d'entiers relatifs tels que : \begin{cases}x=12+3t\\y=37-7t\end{cases}\enskip,\enskip \text{ où }t\text{ est entier relatif} .

1) Vérifier que , pour tout couple (x;y) de (S) , on a 7x+3y=195 \enskip (E) .

2) Soit d=PGCD(x;y) . Il existe alors deux entiers x' et y' premiers entre eux , tels que x=dx'\text{ et }y=dy' .
Justifier que d divise 195 .

3) Déterminer l'ensemble des diviseurs positifs de 195 .

4) Trouver l'ensemble des couples (x;y) de (S) tels que 0\leq y\leq 37 .

5) En déduire le couple (x_0;y_0) pout lequel d=3 .

8 points

exercice 2

Dans le plan orienté (P) , on considère un triangle ABC équilatéral direct , de centre de gravité G . I est le symétrique de C par rapport à O , où O est le milieu de [AB] . J est le symétrique de G par rapport à O et K le milieu de [BC] .
Pour la figure , on prendra [BC] horizontalement tels que BC=5cm .

1) Faire une figure , que l'on complètera au fur et à mesure .

2) Construire l'ensemble (\Gamma) des points M du plan tels que (\overrightarrow{MO};\overrightarrow{MC})=-\dfrac{2\pi}{3}\enskip[2\pi] .

3) Soit (C) le cercle de diamètre [IG] . Montrer que (C) est l'ensemble des points M du plan tels que MC=2MO .

4) Soit h l'application ponctuelle qui à tout point M du plan associe le point M' tels que : \overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} .
a) Démontrer que \overrightarrow{GM'}}=-2\overrightarrow{GM} .
b) En déduire la nature de l'application h .

5) Soit f=r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\circ h(G;-2) .
a) Déterminer f(O) .
b) Montrer que f est une similitude plane directe d'angle de mesure \dfrac{-2\pi}{3} et dont on précisera le rapport .
c) Déduire des questions 2) et 3) une construction du centre \Omega de f .

6) Soit D le point du plan tel que ABCD soit un losange . On considère la transformation du plan (P) telle que g=S_{(BC)}\circ t_{\overrightarrow{CA}} .
a) Montrer que g est une symétrie glissée .
b) Sachant que g(C)=D \text{ et }g(D)=B et utilisant (g\circ g)(C) , déterminer le vecteur \overrightarrow{u} de g puis déduire son axe (\Delta) .

7) La parallèle à la droite (BC) passant par J coupe la médiatrice du segment [CJ] en un point M_0 . Soit (p) la parabole de foyer C et de directrice la droite (BJ) .
a) Montrer que M_0 est un point de (p) .
b) Soit N le symétrique de K par rapport à C et (\Delta') la droite passant par N et perpendiculaire à (BC) . Construire les points M_1 et M_2 de (p) situés sur (\Delta') .
On désignera par M_1 celui situé dans le demi-plan de frontière (BC) contenant le point A .
c) Achever la construction de (p) .

5 points

exercice 3

On considère la fonction g définie sur \R par : g(x)=e^x(1-x)-1 et la fonction f telle que : \begin{cases}f(x)=\dfrac{x}{e^x-1}+2 &\text{ si }x\neq 0\\f(0)=3 \end{cases}
On admet que f est dérivable en 0 et f'(0)=-\dfrac{1}{2} .

1-a) Montrer que pour x\neq 0\text{ , }f'(x)=\dfrac{g(x)}{(e^x-1)^2} .
b) Sachant que g(x) est négative sur \R , déduire le signe de f'(x) pour tout x\in\R .

2) Soit la fonction h définie sur \R par : h(x)=f(x)-x .
a) Montrer que , pour tout réel x\text{ , }h'(x)<0 .
b) En déduire que l'équation f(x)=x admet une solution unique \alpha dans l'intervalle ]2;2,5[ .

3) Montrer que , pour tout x\in]2;2,5[ \text{ ; }-0,5\leq f'(x)<0 sachant que -g(x)\leq 20 et \dfrac{1}{(e^x-1)^2}\leq \dfrac{1}{40} .

4) Soit la suite (u_n) \text{ , }n un entier naturel , définie par : \begin{cases} u_0=2\\u_{n+1}=f(u_n)\end{cases} .
a) Montrer que si u_n\in[2;2,5]\text{ , }u_{n+1}\in[2;2,5] .
b) En remarquant que , pour tout entier naturel n \text{ , }u_{n+1}-\alpha=f(u_n)-f(\alpha) , montrer que : |u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_n-\alpha| .
c) Montrer que , pour tout entier naturel n \text{ , }|u_n-\alpha|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \times |u_0-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} .
d) En déduire que la suite (u_n) converge vers \alpha .
e) En déduire un entier naturel n_0 tel que pour tout n\geq n_0 , on ait |u_n-\alpha|\leq 10^{-3} .

3 points

exercice 4

En prévision du lancement d'un nouveau produit , une société a effectué une enquête auprès de clients éventuels pour fixer le prix de vente ( en milliers de francs) de ce produit . Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Prix de vente en milliers de francs }(x_i)&9&10&11&12&14&15&16&17\\  \hline  \text{Nombre d'acheteurs potentiels }(y_i)&180&160&150&130&100&90&80&70 \\ \hline   \end{array}


On a effectué un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés et on a obtenu la droite de régression (D) de y en x telle que : (D)\text{ }y=-13,83x+299,83 .

1) On donne \overline{x}=13\text{ et }\overline{y}=120 .
Calculer la variance de x . En déduire la covariance de x et y .

2) On veut déterminer l'équation de la droite de régression de x en y .
On donne (D'):x=a'y+b' \text{ et }V(y)=1450 . Déterminer a' puis en déduire la valeur de b' .

3) En utilisant l'équation de la droite (D') de x en y , estimer le prix de vente si le nombre d'acheteurs potentiels est de 250 .

4) Déterminer l'inertie par rapport au point moyen G .







exercice 1

(S)=\left\lbrace (x;y)\in\Z^2\text{ / }\begin{cases}x=12+3t\\ y=37-7t\end{cases}\text{; }t\in\Z\right\rbrace }


1) On a :

\forall (x;y)\in(S) \text{ : }\begin{cases}x=12+3t\\ y=37-7t\end{cases}\text{; }t\in\Z\right\rbrace } \iff \begin{cases}7x=84+21t\\ 3y=11-21t\end{cases}\text{; }t\in\Z\right\rbrace }

On aditionne les deux équations du système : 7x+3y=84+21t+11-21t \text{ ; }t\in\Z .

Donc :
\boxed{7x+3y=195}


2) Soit d=PGCD(x;y) .

Puisqu'il existe deux entiers x' et y' premiers entre eux , tels que x=dx'\text{ et }y=dy' .

Alors on peut écrire 7(dx')+3(dy')=195 \iff d(7x'+3y')=195 .

Notons k=7x'+3y'\in\Z , alors dk=195 .

On en déduit que :
\boxed{k\text{ divise }195 }


3) Décomposons 195 en produit des facteurs premiers : 195=3\times 5 \times 13

Les diviseurs positifs de 195 sont alors : 3\text{ ; }5\text{ ; }13\text{ ; }(3\times 5) \text{ ; }(3\times 13) \text{ ; }(5\times 13) \text{ et }195

Conclusion :
\boxed{ \text{ L'ensemble des diviseurs positifs de }195 \text{ est : }D_{195}=\lbrace 3\text{ ; }5\text{ ; }13\text{ ; }15\text{ ; }39\text{ ; }65\text{ ; }195\rbrace }}


4) Soit 0\leq y\leq 37 , alors 0\leq 37-7t\leq 37

D'où : 0\leq 7t\leq 37 et donc 0\leq t\leq \dfrac{37}{7}\approx 5,28

On en déduit que t\in\lbrace 0\text{ ; }1\text{ ; }2\text{ ; }3\text{ ; }4\text{ ; }5 \rbrace

On remplace t par toutes ces valeurs dans les expressions de x et de y du système pour trouver les couples demandés :

\text{ Pour }t=0\enskip\text{ : }\enskip x=12\text{ et }y=37

\text{ Pour }t=1\enskip\text{ : }\enskip x=15\text{ et }y=30

\text{ Pour }t=2\enskip\text{ : }\enskip x=18\text{ et }y=23

\text{ Pour }t=3\enskip\text{ : }\enskip x=21\text{ et }y=16

\text{ Pour }t=4\enskip\text{ : }\enskip x=24\text{ et }y=9

\text{ Pour }t=5\enskip\text{ : }\enskip x=27\text{ et }y=2

L'ensemble des couples (x;y) de (S) tels que 0\leq y\leq 37 est donc :

\boxed{\lbrace(12;37)\text{ , }(15;30)\text{ , }(18;23)\text{ , }(21;16)\text{ , }(24;9)\text{ , }(27;2)\rbrace }


5) On a :

PGCD(12;37)=1\enskip\enskip,\enskip PGCD(15;30)=15\enskip\enskip,\enskip PGCD(18;23)=1

PGCD(21;16)=1\enskip\enskip,\enskip PGCD(24;9)=3\enskip\enskip,\enskip PGCD(27;2)=1

On en déduit que :
\boxed{(x_0;y_0)=(24;9)\text{ avec }d=PGCD(x_0;y_0)=3}


exercice 2

1) Voir la figure à la fin .

2) L'ensemble (\Gamma) des points M qui vérifient (\overrightarrow{MO};\overrightarrow{MC})=-\dfrac{2\pi}{3}\enskip[2\pi] est le lieu géométrique des points d'où l'on "voit" le segment [OC] sous l'angle -\dfrac{2\pi}{3}.
C'est-à-dire :
\boxed{(\Gamma)\text{ est l'arc capable relatif au segment } [OC]\text{ à un angle }-\dfrac{2\pi}{3}.}

Voir la figure en-dessous de la correction de cet exercice , l'arc capable (\Gamma) y est construit en rouge .

3) Déterminons l'ensemble des points M vérifiant MC=2MO

On remarque tout d'abord que C et O n'appartiennent pas à cet ensemble de points , car sinon on aurait M=C=O , ce qui est impossible puisque C et O ne sont pas confondus .

On a donc :
MC=2MO \iff MC^2=4MO^2\iff \overrightarrow{MC}^2=4\overrightarrow{MO}^2\iff \left(\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MO}\right)\left(\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MO}\right)=0\enskip (*)

On tire de cette expression qu'il faut trouver une relation entre les points I et G et les barycentres des systèmes \left\lbrace(C;1);(O;2)\right\rbrace\text{ et }\left\lbrace(C;1);(O;-2)\right\rbrace .

G est le centre de gravité du triangle ABC et O est le milieu de [AB], donc :
\overrightarrow{CG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CO}\iff 3\overrightarrow{CG}=2\overrightarrow{CG}+2\overrightarrow{GO}\iff \blue \overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0}\black\enskip\enskip\left[ \iff G=\text{ bary}\left\lbrace(C;1);(O;2)\right\rbrace\right]


I est le symétrique de C par rapport à O , donc :
\overrightarrow{IO}=\overrightarrow{OC}\iff \overrightarrow{IO}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IC}\iff \magenta\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{IO}=\overrightarrow{0}\black \enskip\enskip\left[\iff  I=\text{ bary}\left((C;1);(O;-2)\right)\right]


On fait intervenir I et G dans (*) , on obtient :

\begin{matrix}(*)&\iff& \left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IO})\right)\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}+2(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GO})\right)=0\\&\iff& \left(-\overrightarrow{MI}+\magenta\overrightarrow{IC}-2\overrightarrow{IO}\black\right)\left(3\overrightarrow{MG}+\blue \overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GO}\black\right)=0\\&\iff& -3\overrightarrow{MI}\text{ . }\overrightarrow{MG}=0\\&\iff&\overrightarrow{MI}\text{ . }\overrightarrow{MG}=0\\&\iff& M\text{ appartient au cercle de diamètre }[IG] \\&\iff&M\in(C) \end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\text{ Le cercle }(C) \text{ est l'ensemble des points }M \text{ du plan tels que } MC=2MO}}


4-a) On a :

\begin{matrix}\overrightarrow{MM'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} &\iff& \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GM'}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}&\\&\iff& \overrightarrow{GM'}=2\overrightarrow{MG}+\underbrace{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}}_{\overrightarrow{0}}&\text{ (Puisque }G \text{ est le centre de gravité du triangle }ABC\text{ )}\\&\iff& \boxed{\overrightarrow{GM'}=-2\overrightarrow{GM}}\end{matrix}

b) h est l'application ponctuelle qui à tout point M du plan associe le point M' et \overrightarrow{GM'}=-2\overrightarrow{GM} .

Donc :
\boxed{h\text{ est l'homothétie de centre }G\text{ est de rapport }-2}


5-a) Déterminons f(O) :

On a : f(O)= r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\circ h(G;-2)(O)= r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\left[ h(G;-2)(O)\right]

Or , puisque \overrightarrow{GC}+2\overrightarrow{GO}=\overrightarrow{0} , alors \overrightarrow{GC}=-2\overrightarrow{GO} .

D'où h(G;-2)(O)=C .

Il s'ensuit que f(O)= r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)(C)=C , en effet , le point C est invariant par la rotation r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right) puisqu'il est son centre .

\boxed{f(O)=C}


b) On peut écrire h(G;-2) sous la forme r(G;\pi)\circ h(G;2) .

Donc :

\begin{matrix}f&=&r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\circ h(G;-2)\\&=&r\left(C;\dfrac{\pi}{3}\right)\circ r(G;\pi)\circ h(G;2)\\&=&r\left(\Omega;\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)\circ h(G;2)&\text{( où }\Omega \text{ est le centre de la nouvelle rotation , composée des rotations de centres }G\text{ et }C\text{ ) }\\&=&r\left(\Omega;\dfrac{4\pi}{3}\right)\circ h(G;2)\\&=&\boxed{r\left(\Omega;\dfrac{-2\pi}{3}\right)\circ h(G;2)}\end{matrix}

f est donc la composée de la rotation r\left(\Omega;\dfrac{-2\pi}{3}\right) et de l'homothétie h(G;2).

\boxed{ f \text{ est une similitude directe d'angle }\dfrac{-2\pi}{3}\text{ et de rapport }2}


c) On a : \begin{cases} f(\Omega)=\Omega \\f(O)=C \end{cases} , donc \begin{cases}\Omega C=2\Omega O \\ (\overrightarrow{\Omega O};\overrightarrow{\Omega C})=-\dfrac{2\pi}{3}\enskip[2\pi] \end{cases}.

On déduit donc de 2) et 3) , que :

\boxed{\Omega \text{ est le point d'intersection du cercle }(C) \text{ et de l'arc }(\Gamma)}


Voir la figure à la fin de la correction de cet exercice .

6-Erreur dans l'énoncé : Le losange est ACDB et pas ABCD .
En effet , Comme on donne à la question 6-b) : g(C)=D , et comme g(C)=\left(S_{(BC)}\circ t_{\overrightarrow{CA}}\right)(C)=S_{(BC)}\left( t_{\overrightarrow{CA}}(C)\right)=S_{(BC)}(A) , donc S_{(BC)}(A)=D .
D est alors l'image de A par la réflexion d'axe (BC) .


a) g est la composée de S_{(BC)} qui est la reflexion d'axe (BC) et de t_{(\overrightarrow{CA})} , la translation de vecteur \overrightarrow{CA} .
Et puisque \overrightarrow{CA} n'est ni normal à (BC) ni directeur de (BC) car le triangle (ABC) est équilatéral et donc : \begin{cases}(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\equiv \dfrac{\pi}{6}\enskip[2\pi]\neq \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi] \\\text{et }\\\text{ A,B et C ne sont pas alignés}\end{cases}

Donc :
\boxed{g \text{ est une symétrie glissée .}}


b)

Déterminons le vecteur \overrightarrow{u} de g :

On sait que si \overrightarrow{u} est le vecteur de g , alors 2\overrightarrow{u} est le vecteur de g\circ g .

Or , puisque g\circ g(C)=g(g(C))=g(D)=B , alors le vecteur de g\circ g \text{ est } \overrightarrow{CB} .

On en tire que 2\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CB} , ou encore \overrightarrow{u}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB} .

Enfin , K est le milieu du segment [BC] , alors \dfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CK} .

Conclusion :
\boxed{\text{Le vecteur de }g \text{ est }\overrightarrow{u}=\overrightarrow{CK}}


Déterminons l'axe (\Delta) de g :

Comme g(C)=D et g(D)=B alors :

\boxed{\text{ L'axe }(\Delta) \text{ de }g \text{ est la droite passant par les milieux de }[CD]\text{ et }[DB]}


7-a) On sait que J est le projeté orthogonal de M_0 sur la directrice (BJ) de la parabole (p) .

De plus , M_0 est un point de la médiatrice du segment [CJ] avec C le foyer de la parabole (p) .

Par conséquent :
\boxed{M_0\in(p)}


b) Voir figure ci-dessous .

c) Voir figure ci-dessous :

Bac Congo-Brazzaville 2022 série C : image 1


exercice 3

1-a) Les fonctions x\mapsto x et x\mapsto e^x-1 sont dérivables sur \R^{*} avec x\mapsto e^x-1 ne n'annule pas sur cet ensemble .

Il s'ensuit que f est une fonction dérivable sur \R^{*} comme quotient de fonctions dérivables sur \R^{*} .

Et on a , pour tout réel x\neq 0 :

\begin{matrix} f'(x)&=& \left(\dfrac{x}{e^x-1}+2\right)'&=&\dfrac{e^x-1-xe^x}{(e^x-1)^2}&=&\dfrac{e^x(1-x)-1}{(e^x-1)^2}&=&\boxed{\dfrac{g(x)}{(e^x-1)^2}}\end{matrix}

1-b) \forall x\in\R^{*} \text { : } (e^x-1)^2>0 , donc f' et g ont le même signe sur \R^{*} .

Et puisque 0\geq g(x) sur \R , et donc sur \R^{*} , alors : \forall x\in\R^{*}\text{ : } 0\geq f'(x) .

Enfin , f est dérivable en 0 avec f'(0)=-\dfrac{1}{2}<0 .

Conclusion :
\boxed{\forall x\in\R\text{ : }f'(x)\leq 0}


2-a) On a : \begin{cases}f'(x)=\dfrac{g(x)}{(e^x-1)^2} &\text{ si }x\neq 0\\f'(0)=-\dfrac{1}{2} \end{cases}\enskip\text{ et }\forall x\in\R\text{ : }h(x)=f(x)-x

Donc h est une fonction dérivable sur \R comme somme des fonctions f et x\mapsto-x dérivables sur \R

De plus , on a \forall x\in\R \text{ : }h'(x)=f'(x)-1\leq -1<0 .

\boxed{\text{Pour tout réel }x\text{ , }h'(x)<0 }


b) L'équation f(x)=x est équivalente à h(x)=0 .

On a :

h est continue sur ]2;2,5[ (car dérivable sur \R et donc sur ]2;2,5[) .

h est strictement décroissante sur ]2;2,5[ (puisque pour tou réel x\text{ , }h'(x)<0)

h(2)=f(2)-2=\dfrac{2}{e^2-1}\approx 0,31 >0 \enskip\text{ et }\enskip h(2,5)=f(2,5)-2,5=\dfrac{2,5}{e^{2,5}-1}-0,5\approx -0,28<0

\text{ D'où }h(2).h(2,5)<0 .

D'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (T.V.I.) , l'équation h(x)=0 admet une solution unique \alpha sur l'intervalle ]2;2,5[ .

Ou encore :
\boxed{\text{ L'équation }f(x)=x\text{ admet une unique solution }\alpha \text{ sur } ]2;2,5[}


3) D'après 1-b) : \forall x\in\R\text{ : } 0\geq f'(x)\enskip\text{ , d'où }\enskip \forall x\in]2;2,5[\text{ : } 0\geq f'(x)\enskip \blue (i)

De plus , \forall x\in]2;2,5[\text{ : }0\leq-g(x)\leq 20 \text{ et } 0\leq\dfrac{1}{(e^x-1)^2}\leq \dfrac{1}{40} \Longrightarrow \dfrac{-g(x)}{(e^x-1)^2}\leq \dfrac{20}{40}=0,5

D'où : \forall x\in]2;2,5[\text{ : } -0,5\leq f'(x)\enskip \blue (ii)

De \blue(i)\black\text{ et }\blue(ii) \black\enskip ,\enskip \forall x\in]2;2,5[\text{ : } -0,5\leq f'(x)\leq 0\enskip \magenta (a)

Il nous reste à vérifier que f'(x)\neq 0 sur ]2;2,5[ :

On sait que g est dérivable sur \R comme produit de fonctions dérivables sur \R , donc :

\forall x\in \R\text{ : }g'(x)=\left(e^x(1-x)-1\right)'=e^x(1-x)'+e^x(1-x)=-xe^x

Le signe de g'(x) est donc celui de -x , on dresse le tableau de variations de g :

\begin{array}{|c|rcccccc|} \hline x     & -\infty  &        &          & 0      &            &        &   +\infty\\ \hline g'(x) &          & +      &          &\barre{0} &            &-       & \\ \hline       &         &        &          & g(0)=0 &     &        &                                         \\  g           &          &\nearrow&          & &            &\searrow&                                         \\	             &          &        &  & &            &        &                                       \\  \hline \end{array}

La fonction g atteint sa valeur maximale 0 en x=0 .

On en déduit que g(x)\neq 0 \text{ sur } ]2;2,5[ et donc f'(x)\neq 0 \text{ sur } ]2;2,5[\enskip\magenta (b)

De \magenta (a)\black\text{ et }\magenta(b) , on conclut que :
\boxed{\forall x\in]2;2,5[\text{ : } -0,5\leq f'(x)< 0}


4-a) Soit u_n\in[2;2,5] , donc , puisque f est décroissante sur [2;2,5] , alors f(u_n)\in [f(2,5);f(2)] .

Or , f(2)= \dfrac{2}{e^2-1}+2\approx 2,31\text{ et }f(2,5)=\dfrac{2,5}{e^{2,5}-1}+2\approx 2,22 .

D'où : u_{n+1}=f(u_n)\in [2,22;2,31] \subset [2;2,5]

\boxed{u_n\in[2;2,5]\Longrightarrow u_{n+1}\in[2;2,5]}


b) f est continue et dérivable sur [2;2,5].

Et d'après 3) , \forall x\in]2;2,5[\text{ : } -0,5\leq f'(x)< 0 , d'où -0,5\leq f'(x)\leq 0,5 .

Ou encore \forall x\in]2;2,5[\text{ : } |f'(x)|\leq 0,5 .

De plus \begin{cases} f'(2)=\dfrac{g(2)}{(e^2+1)^2}\approx -0,2\Rightarrow |f'(2)|\leq 0,5\\f'(2,5)=\dfrac{g(2,5)}{(e^{2,5}+1)^2}\approx -0,15\Rightarrow |f'(2,5)|\leq 0,5\end{cases}

Alors : \forall x\in[2;2,5]\text{ : } |f'(x)|\leq \dfrac{1}{2} .

Donc d'après le théorème de l'Inégalité des Accroissements Finis :

\forall x,y\in[2;2,5] \text{ : }\left|f(x)-f(y)\right|\leq \dfrac{1}{2} |x-y|


Or , u_0=2\in [2;2,5] et d'après 4-a), pour n\in\N\text{ tel que } u_n\in[2;2,5]\enskip\text{ : } u_{n+1}\in[2;2,5]

Alors par récurrence : \forall n\in\N\text{ : }u_n\in[2;2,5]

Et on a \alpha\in]2;2,5[ .

Donc , on a l'inégalité suivante :
\left|f(u_n)-f(\alpha)\right|\leq \dfrac{1}{2} |u_n-\alpha|


Enfin , puisque \forall n\in\N\text{ : } u_{n+1}-\alpha=f(u_n)-f(\alpha) , alors :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }|u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_n-\alpha| }


c) On a , d'après ce qui précède : \forall n\in\N\text{ : }|u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_n-\alpha| :

Pour n=0\text{ : }|u_{1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_0-\alpha|
Pour n=1\text{ : }|u_{2}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_1-\alpha|
Pour n=2\text{ : }|u_{3}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_2-\alpha|

 \vdots

Au rang n-2 \text{ : }|u_{n-1}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_{n-2}-\alpha|
Au rang n-1 \text{ : }|u_{n}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}|u_{n-1}-\alpha|

En multiplant membre à membre les inégalités ci-dessus , on obtient :

|u_1-\alpha|\times|u_2-\alpha|\times\cdots\times \left|u_{n-1}-\alpha\right|\times|u_n-\alpha|\leq \dfrac{1}{2}\left|u_0-\alpha\right|\times\dfrac{1}{2}\left|u_1-\alpha\right|\times \cdots\times \dfrac{1}{2}\left|u_{n-1}-\alpha\right|

Et en simplifiant cette expression , on obtient : |u_n-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\left|u_0-\alpha\right|\enskip \blue (a)

Reste à montrer que \left|u_0-\alpha\right|\leq\dfrac{1}{2} :

On a 2\leq \alpha\leq 2,5 , donc -2,5\leq-\alpha\leq -2 .

D'où u_0-2,5\leq u_0-\alpha\leq u_0-2 , ou encore -0,5\leq u_0-\alpha \leq 0 \leq 0,5

Il s'ensuit que |u_0-\alpha|\leq\dfrac{1}{2}\enskip\blue (b)

On déduit de \blue(a) et \blue(b) que :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }|u_n-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\left|u_0-\alpha\right|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}


d) Puisque \forall n\in\N\text{ : }|u_n-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}} .

Donc \forall n\in\N\text{ : }\alpha-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\leq u_n \leq \alpha+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}

D'autre part \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}=0

Donc , d'après le théorème des gendarmes : \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha

D'où :
\boxed{(u_n)\text{ converge vers }\alpha}


e) Trouvons un entier naturel n_0 tel que pour tout n\geq n_0 , on ait |u_n-\alpha|\leq 10^{-3} .

Puisqu'on a pour tout entier n\text{ : }|u_n-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1} .

On peut prendre :  \forall n\geq n_0\text{ : }\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\leq 10^{-3}

D'où :  \forall n\geq n_0\text{ : }\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\leq 10^{-3}\iff \ln \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\leq \ln 10^{-3}\iff -(n+1)\ln 2\leq -3\ln 10 \iff n \geq \dfrac{3\ln 10}{\ln 2}-1

En sachant que : \dfrac{3\ln 10}{\ln 2}-1\approx 8,96

On peut prendre :
\boxed{n_0=9}


exercice 4

1) La variance :

\begin{matrix}V(x)&=&\dfrac{1}{8}\displaystyle\sum_{i=1}^{8} x_i^2-\bar{x}^2\\&=&\dfrac{1}{8}\left(9^2+10^2+11^2+12^2+14^2+15^2+16^2+17^2\right) -13^2 \\&=& \dfrac{1}{8}\times 1412 -169 \\&=&\boxed{7,5 }\end{matrix}

La covariance :

\text{Cov}(x,y)=aV(x)\text{ , avec }a\text{ le coefficient directeur de la droite de régression de y en x  } (D)

D'où : \text{Cov}(x,y)=aV(x)=-13,83\times 7,5 =\boxed{ -103,725}

2) Caclul de a' :

On a \text{Cov}(x,y)=a'V(y)\text{ , avec }a'\text{ le coefficient directeur de la droite de régression de x en y  } (D')

D'où : a'=\dfrac{\text{Cov}(x,y)}{V(y)}=\dfrac{-103,725}{1450}\approx\boxed{-0,071}

Calcul de b' :

Puisque x=a'y+b' alors \bar{x}=a'\bar{y}+b'

\bar{x}=a'\bar{y}+b' \Longrightarrow b'=\bar{x}-a'\bar{y}=13+0,071\times 120 =\boxed{21,52}

3) Estimation du prix de vente si le nombre d'acheteurs potentiels est 250 :

La droite de régression de x en y est (D')=-0,071y+21,52 .

Donc pour y=250 , on a: x=-0,071\times 250+21,52 = \boxed{3,77}

\boxed{\text{Le prix de vente si le nombre d'acheteurs potentiels est de 250 est estimé à }3,77\text{ milliers de francs } }


4) L'inertie par rapport au point moyen G :

Directement : I_G=8(V(x)+V(y))\Longrightarrow I_G=8(7,5+1450)=\boxed{11660} .
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