Fiche de mathématiques

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Bac Congo-Brazzaville 2022

Mathématiques Série E

Durée : 4 heures
Coefficient : 5

5 points

exercice 1

On considère l'équation différentielle $(E)\text{ : }y''-2my'+3y=2(1-2x)e^{x}$ .

1- Résous , suivant les valeurs du réel $m$ , l'équation différentielle : $(E\,')\text{ : }y''-2my'+3y=0$ .

2- Détermine la valeur de $m$ pour laquelle la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x^2e^x$ est une solution de $(E)$ .

3- On donne $m=2$ et soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $\R$ .
a) Montre que $f$ est une solution de $(E\,')$ si et seulement si $f-h$ est une solution de $(E)$ .
b) En déduis la solution de $(E\,')$ puis résous $(E)$ .
c) Détermine la solution $g$ de $(E)$ dont la courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthonormé passe par le point $A(0;-1)$ et admet en ce point une tangente de coeffcient directeur $1$ .

5 points

exercice 2

On désigne par $End(\R^2)$ la famille des endomorphismes $f_{\lambda}$ de $\R^2$ dont la matrice $M_{\lambda}$ relativement à la base canonique $(\vec{i},\vec{j})$ de $\R^2$ est de la forme $M_{\lambda}=\begin{pmatrix} -1+\lambda & 1+\lambda \\\lambda(1-\lambda)&\lambda\end{pmatrix}$ où $\lambda$ est un réel .

1- A quelles conditions sur $\lambda \text{ , }f_{\lambda}$ est-il un automorphisme ?

2- Une boîte $\Omega$ contient cinq boules numérotées $-2,-1,0,1\text{ et }2$ , toutes indiscernables au toucher .
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de $\Omega$ et on note $(p,q)$ le couple des numéros obtenus . On désigne par $X$ la variable aléatoire réelle qui à tout couple $(p,q)$ associe la valeur :

$X=-2$ si aucun des $f_p$ et $f_q$ n'est un automorphisme .
$X=1$ si un seul parmi $f_p$ et $f_q$ est un automorphisme .
$X=3$ si les deux $f_p$ et $f_q$ sont des automorphismes .

a) Détermine la loi de probabilité de $X$ .
b) Calcule l'espérance mathématique et l'écart-type de $X$ .

3- Détermine une équation cartésienne du noyau et de l'image de $f_{-2}$ .

5 points

exercice 3

Soit $f$ la fonction définie sur $]0;\pi[$ par $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ .

1- Etudie la fonction $f$ et construis sa courbe représentative $(C)$ dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

2- Montre que la restriction $g$ de $f$ à l'intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ possède une fonction réciproque $g^{-1}$ dont on construira la courbe dans le même repère que $(C)$ .

3- Soit $y=g^{-1}(x)$ . Montre que $\sin y= \dfrac{1}{x} \text{ et que } \cos y=\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}$ .

4- En déduis que pour tout $x$ de $]1;+\infty[ \text{ , } \left(g^{-1}\right)'(x)=-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ .

5- En se servant des résultats précédents , calcule $I=\displaystyle \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{2}}\dfrac{\text{ d}t }{t\sqrt{t^2-1}}$ .

5 points

exercice 4

Etant donné un repère orthonormal direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ , on considère les points $A$ d'affixe $-4$ , $B$ d'affixe $+4$ , $E$ d'affixe $4i$ , $C\text{ et }D$ tels que les quadrilatères $AOEC$ et $BOED$ soient des carrés .

1- Place les points précédents dans le repère $(O,\vec{u},\vec{v})$ et donne les affixes des points $C$ et $D$ .

2- Soit $f$ la transformation du plan qui a tout point $M$ d'affixe $Z$ fait correspondre le point $M'$ d'affixe $Z'=(1+i)Z+4+4i$ .
a) Détermine la nature et les éléments caractéristiques de $f$ .
b) Précise les points $f(A)$ et $f(O)$ .
Détermine l'image par $f$ de la droite $(CA)$ , et celle de la médiatrice du segment $[AO]$ .
c) Exprime , pour tout $M$ d'affixe $Z$ , l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{MM'} \text{ et }\overrightarrow{MC}$ en fonction de $Z$ . Déduis-en que $MM'=MC$ et pour $M$ distinct de $C$ , montre qu'une mesure de l'angle de vecteurs $(\overrightarrow{MM'},\overrightarrow{MC})$ est $\dfrac{\pi}{2}$ .

3- Soit $J$ le milieu du segment $[EB]$ et $I$ le milieu du segment $[AO]$ . Détermine l'image de $J$ par la rotation de centre $I$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ . (On justifiera la réponse) .

Voir la correction

exercice 1

$(E)\text{ : }y''-2my'+3y=2(1-2x)e^{x} \text{ , }m\in\R$

1) Résolvons suivant les valeurs du réel $m$ l'équation différentielle $(E')\text{ : }y''-2my'+3y=0$ .

L'équation caractérisitique de $(E')$ de la variable complexe $r$ s'écrit : $r^2-2mr+3=0$

Calculons le discriminent $\Delta=(-2m)^2-4\times 3 =4m^2-12=4(m^2-3)=4(m-\sqrt{3})(m+\sqrt{3})$ .

Cas 1 : $m\in]-\infty;-\sqrt{3}[\cup ]\sqrt{3};+\infty[$

Dans ce cas , $\Delta>0$ et $\sqrt{\Delta}=2\sqrt{m^2-3}$ , donc l'équation caractéristique admet deux solutions réelles :

$r_1=\dfrac{2m-2\sqrt{m^2-3}}{2}=m-\sqrt{m^2-3}\enskip\enskip\text{ ; }\enskip\enskip r_2=\dfrac{2m+2\sqrt{m^2-3}}{2}=m+\sqrt{m^2-3}$
Les solutions homogènes de l'équation différentielle $(E')$ sont donc de la forme : $y\text{ : }x\mapsto A \text{ e }^{r_1 x}+B\text{ e }^{r_2 x}\text{ ; }A,B\in\R$ .

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Si }m\in]-\infty;-\sqrt{3}[\cup ]\sqrt{3};+\infty[\text{ , alors les solutions de l'équation }(E')\text{ s'écrivent : }\\\\ y\text{ : }x\mapsto A \text{ e }^{\left(m-\sqrt{m^2-3}\right) x}+B\text{ e }^{\left(m+\sqrt{m^2-3}\right) x}\text{ ; }A,B\in\R\end{matrix}}$

Cas 2 : $m=-\sqrt{3}\text{ ou }m=\sqrt{3}$

Dans ce cas , $\Delta=0$ , donc l'équation caractéristique admet une solution réelle double :

$r_0=\dfrac{2m}{2}=m$
Les solutions homogènes de l'équation différentielle $(E')$ sont donc de la forme : $y\text{ : } x\mapsto (Ax+B) \text{ e }^{r_0 x}\text{ ; }A,B\in\R$ .

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Si }m=-\sqrt{3}\text{ ou }m=\sqrt{3}\text{ , alors les solutions de l'équation }(E')\text{ s'écrivent : }\\\\ y\text{ : }x\mapsto (Ax + B)\text{ e }^{m x}\text{ ; }A,B\in\R\end{matrix}}$

Cas 3 : $m\in]-\sqrt{3};\sqrt{3}[$

Dans ce cas , $\Delta<0$ et $\sqrt{\Delta}=2i\sqrt{3-m^2}$ , donc l'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées :

$r_1=\dfrac{2m-2i\sqrt{3-m^2}}{2}=\underbrace{m}_{\lambda}-i\underbrace{\sqrt{3-m^2}}_{\mu}\enskip\enskip\text{ ; }\enskip\enskip r_2=\dfrac{2m+2i\sqrt{3-m^2}}{2}=\underbrace{m}_{\lambda}+i\underbrace{\sqrt{3-m^2}}_{\mu}$
Les solutions homogènes de l'équation différentielle $(E')$ sont donc de la forme : $y\text{ : } x\mapsto \text{e}^{\lambda x} (A\cos\mu x+ B\sin\mu x) \text{ ; }A,B\in\R$ .

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Si }m\in]-\sqrt{3};\sqrt{3}[\text{ , alors les solutions de l'équation }(E')\text{ s'écrivent : }\\\\ y\text{ : }x\mapsto \text{e}^{m x} \left[A\cos\left(x\sqrt{3-m^2} \right)+ B\sin\left(x\sqrt{3-m^2} \right)\right] \text{ ; }A,B\in\R\end{matrix}}$

2) Soit $m\in\R$ , pour que la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x^2e^x$ soit une solution de $(E)$ , il faut que :

$\forall x\in\R\text{ : }h''(x)-2mh'(x)+3h(x)=2(1-2x)e^{x}$
On a , pour tout réel $x\text{ : }$

$h(x)=x^2e^x$

$h'(x)=2xe^{x}+x^2e^x=(x^2+2x)e^x$

$h''(x)=2e^x+2xe^x+2xe^x+x^2e^x=(x^2+4x+2)e^x$

Donc :

$\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : }h''(x)-2mh'(x)+3h(x)=2(1-2x)e^{x}&\iff&(x^2+4x+2)e^x-2m(x^2+2x)e^x+3x^2e^x =(-4x+2)e^{x}\\&\iff& x^2-2mx^2+3x^2+4x-4mx+2=-4x+2 \\&\iff& (4-2m)x^2+(4-4m)x+2=-4x+2\\&\iff& \begin{cases}4-2m=0\\4-4m=-4\end{cases}\\&\iff& \boxed{m=2}\end{matrix}$

3) Soit $m=2$ , l'équation $(E)$ devient $y''-4y'+3y=2(1-2x)e^{x}$ et l'équation $(E')$ devient $y''-4y'+3y=0$

a) Erreur dans l'énoncé : Montre que $\magenta f$ est une solution de $\magenta(E)$ si et seulement si $\blue f-h$ est une solution de $\blue (E')$ , en effet :

On a :

$\begin{matrix}f-h \text{ est solution de l'équation }(E')&\iff&(f-h)''(x)-4(f-h)'(x)+3(f-h)(x) =0\\&\iff& f''(x)-h''(x)-4f'(x)+4h'(x)+3f(x)-3h(x)=0\\&\iff& f''(x)-4f'(x)+3f(x)-\underbrace{(h''(x)-4h'(x)+3h(x))}_{=2(1-2x)e^{x} \text{ ( }h\text{ solution de (E) )}}=0\\\\&\iff& f''(x)-4f'(x)+3f(x)-2(1-2x)e^{x}=0\\&\iff& f''(x)-4f'(x)+3f(x)=2(1-2x)e^{x}\\&\iff& \boxed{ f \text{est solution de }(E)}\end{matrix}$

b)
D'après 1) , Les solutions de l'équation $(E')$ s'écrivent $y\text{ : }x\mapsto x\mapsto A \text{ e }^{\left(m-\sqrt{m^2-3}\right) x}+B\text{ e }^{\left(m+\sqrt{m^2-3}\right) x}\text{ ; }A,B\in\R$ dans le cas où $m>\sqrt{3}$ .
Alors directement, pour $m=2>\sqrt{3}$ :

$\boxed{\begin{matrix}\text{ les solutions de l'équation }(E')\text{ s'écrivent : }\\\\ y\text{ : }x\mapsto A \text{ e }^{ x}+B\text{ e }^{3 x}\text{ ; }A,B\in\R\end{matrix}}$

Résolution de $(E)$ :

On a vu en 3-a) , qu'une fonction $f$ deux fois dérivable sur $\R$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ si et seulement si la fonction $f-h$ avec $h(x)=x^2e^x$ est solution de l'équation différentielle $(E')$ .

$f-h$ étant une solution de $(E')$ , alors $(f-h)(x)=A \text{ e }^{ x}+B\text{ e }^{3 x}\text{ ; }A,B\in\R$

D'où : $f(x)=A \text{ e }^{ x}+B\text{ e }^{3 x}+h(x) \text{ ; }A,B\in\R$

Ou encore : $f(x)= A \text{ e }^{ x}+B\text{ e }^{3 x}+x^2e^x \text{ ; }A,B\in\R$

Conclusion :

$\boxed{\begin{matrix}\text{ les solutions de l'équation }(E)\text{ s'écrivent : }\\\\ y\text{ : }x\mapsto (A+x^2) \text{ e }^{ x}+B\text{ e }^{3 x}\text{ ; }A,B\in\R\end{matrix}}$

c) La courbe représentative de la fonction $g$ passe par le point $A(0;-1)$ , cela se traduit par $g(0)=-1$ .

La courbe représentative de la fonction $g$ admet en $A(0;-1)$ une tangente de coeffcient directeur $1$ , c'est-à-dire qu'on a $g'(0)=1$

Il s'agit donc de trouver $A,B\in\R$ tels que $g(x)=(A+x^2) \text{ e }^{ x}+B\text{ e }^{3 x}\text{ avec }\begin{cases}g(0)=-1\\g'(0)=1\end{cases}$

On a :
$\begin{matrix}\forall x\in\R\text{ : } g'(x)&=& \left[(A+x^2) \text{ e }^{ x}+B\text{ e }^{3 x}\right]' \\&=& (A+x^2)'e^x+(A+x^2)e^x+3Be^{3x} \\&=&2xe^x+(A+x^2)e^x+3Be^{3x}\\&=&(x^2+2x+A)e^x+3Be^{3x}\end{matrix}$

Donc :

$g(0)=-1\iff A \text{ e }^{ 0}+B\text{ e }^{0}=-1\iff A+B=-1$

$g'(0)=-1\iff g(x)=A \text{ e }^{ 0}+3B\text{ e }^{0}=1\iff A+3B=1$

On résoud le système suivant : $\begin{cases}A+B=-1\\A+3B=1 \end{cases}\iff \begin{cases}A=-1-B\\2B=2 \end{cases}\iff \begin{cases}A=-2\\B=1 \end{cases}$

On remplace dans l'expression de $g$ :

$\boxed{\forall x\in\R\text{ : }g(x)=(x^2-2)e^x+e^{3x} }$

exercice 2

1) Soit $\lambda\in\R$ .

$f_{\lambda}$ est un automorphisme si et seulement si la matrice $M_{\lambda}$ est inversible .

Et on sait qu'une matrice est inversible si et seulement son déterminant est non nul .

D'où :

$\begin{matrix} f_{\lambda } \text{ est un automorphisme }&\iff& M_{\lambda}\text{ est inversible }\\&\iff& \det\left(M_{\lambda}\right)\neq 0 \\&\iff& \begin{vmatrix}-1+\lambda & 1+\lambda \\\lambda(1-\lambda)&\lambda\end{vmatrix}\neq 0\\&\iff& \lambda (-1+\lambda)-\lambda(1-\lambda)(1+\lambda)\neq 0 \\&\iff&\lambda \left[(\lambda-1)+(\lambda-1)(1+\lambda)\right]\neq 0\\&\iff&\lambda(\lambda-1)(\lambda+2)\neq 0\\&\iff&\lambda\neq 0\text{ et }\lambda\neq 1\text{ et }\lambda\neq -2\\&\iff&\boxed{ \lambda \in\R\backslash\lbrace -2;0;1\rbrace }\end{matrix}$

2-a) On a $X(\Omega)=\lbrace -2;1;3\rbrace$ .

On tire au hasard successivement et sans remise , il s'agit donc d'arrangements .

$X=-2$ : aucun des $f_p$ et $f_q$ n'est un automorphisme , pour cela , d'après la question précédente ,
$p \text{ et } q$ doivent être parmi $\lbrace -2;0;1\rbrace\enskip\left(2\text{ parmi }3 \right )$ , d'où :

$P(X=-2)=\dfrac{A_3^2}{A_5^2}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$

$X=-2$ : Les deux $f_p$ et $f_q$ sont des automorphismes , pour cela , $p \text{ et } q$ doivent être parmi $\lbrace -1;2\rbrace\enskip\left(2\text{ parmi }2 \right )$ , d'où :

$P(X=3)=\dfrac{A_2^2}{A_5^2}=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}$

$X=1$ : On a $P(X=-2)+P(X=1)+P(X=3)=1$ , donc :

$P(X=1)=1-P(X=-2)-P(X=3)\iff P(X=1)=\dfrac{3}{5}$

On a donc déterminé la loi de probabilité de $X$ , le tableau suivant récapitule les informations trouvées:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&-2&1&3\\ \hline p_i=P(X=x_i)&\frac{3}{10}&\frac{3}{5}&\frac{1}{10}\\\hline \end{array}$

b)
L'espérance mathématique se calcule par la formule suivante : $E\left(X\right)= \displaystyle\sum_{i} x_{i}p_i$ .

Donc : $E\left(X\right)= \displaystyle\sum_{i} x_{i}p_i=-2\times \dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{5}+3\times \dfrac{1}{10}\iff \boxed{E(X)=\dfrac{3}{10}}$

Pour calculer l'écart-type , il faut tout d'abord calculer la variance , on a la formule : $V(X)=\displaystyle\sum_{i} x_{i}^2p_i-\left(E(X)\right)^2$

Donc : $V(X)=(-2)^2\times \dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{5}+3^2\times \dfrac{1}{10}-\left(\dfrac{3}{10}\right)^2= \dfrac{27}{10}-\dfrac{9}{100}\iff \boxed{V(X)=\dfrac{261}{100}}$

On en déduit l'écart-type $\sigma (X)=\sqrt{V(X)}$ , ou encore $\boxed{\sigma(X)=\sqrt{\dfrac{261}{100}}\approx 1,615 }$

3) L'endomorphisme $f_{-2}$ a pour matrice relativement à la base canonique de $\R^2$ la matrice $M_{-2}=\begin{pmatrix}-3 & -1\\-6&-2\end{pmatrix}$ .
L'expression analytique de $f_{-2}:(x,y)\mapsto (x';y')$ est tel que : $(f_{-2})\text{ : }\begin{cases} x'=-3x-y\\y'=-6x-2y\end{cases}$ .

Noyau $\text{ Ker}\left(f_{-2}\right)$ :

Soit $\vec{u}(x;y) \in \R^{2}$
$\vec{u}\in \text{ Ker}\left(f_{-2}\right)\iff f_{-2}\left(\vec{u}\right)=\vec{0}\iff \begin{cases} -3x-y=0\\-6x-2y=0\end{cases}\iff 3x+y=0$

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Ker}\left(f_{-2}\right) \text{ est la droite vectorielle d'équation : }3x+y=0 \text{ , c'est-à-dire : } \\ \text{ Ker}\left(f_{-2}\right)=\lbrace (x,y)\in \R^{2} / 3x+y=0\rbrace \end{matrix}}$

Image $\text{ Im}\left(f_{-2}\right)$ :

L'image de l'application $f_{-2}$ est l'ensemble des vecteurs de $\R^{2}$ de la forme $f(\vec{u})$ avec $\vec{u}\in \R^{2}$ .

Soit $\vec{u}(x;y)\in \R^{2}$ et soit $\vec{u'}(x';y')\in \R^{2}$ son image par $f_{-2}$ :

$f_{-2}(\vec{u})=\vec{u'}\iff \begin{cases} x'=-3x-y\\y'=-6x-2y\end{cases} \iff \begin{cases} -2x'=6x+2y\\-y'=6x+2y\end{cases}\iff -y'=-2x' \iff -2x'+y'=0$

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Im}\left(f_{-2}\right) \text{ est la droite vectorielle d'équation : }-2x+y=0 \text{ , c'est-à-dire : } \\ \text{ Im}\left(f_{-2}\right)=\lbrace (x,y)\in \R^{2} / -2x+y=0\rbrace \end{matrix}}$

exercice 3

1) Le domaine d'étude de la fonction $f$ est $D_{e}=]0;\pi[$ .

Limites aux bornes de $D_{e}$

On a $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \sin x = 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{\sin x} = +\infty$

De plus $\displaystyle\lim_{x\to \pi^-} \sin x = 0^{+}$ , donc $\displaystyle\lim_{x\to \pi^-} f(x)=\lim_{x\to \pi^-}\dfrac{1}{\sin x} = +\infty$

Interprétation graphique : les droites d'équations $(x=0)\text{ et }(x=\pi)$ sont deux asymptotes verticales à la courbe $(C)$ .

Variations de $f$

Puisque la fonction $\sin$ est dérivable sur $]0;\pi[$ et ne s'annule pas sur cet intervalle , alors $f$ est dérivable sur $]0;\pi[$ .

$\forall x\in]0;+\pi[\text{ : }f'(x)=\left(\dfrac{1}{\sin x}\right)'=-\dfrac{(\sin x)'}{\sin ^2 x} =\boxed{-\dfrac{\cos x}{\sin^2 x}}$

Le signe de $f'(x)$ est celui de $-\cos x$

Pour $x\in\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[\text{ : }\cos x>0 \text{ , d'où }-\cos x<0\text{ et donc }f'(x)<0$ .

Pour $x\in\left]\dfrac{\pi}{2};\pi\right[\text{ : }\cos x<0 \text{ , d'où }-\cos x>0\text{ et donc }f'(x)>0$ .

$\cos \dfrac{\pi}{2}=0\text{ et donc }f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$

On dresse le tableau de variation de $f$ :

$\text{ On calcule }f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{1}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}=1$

$\begin{array}{|c||rcccccc||} \hline x & 0 & & & \pi/2 & & & \pi\\ \hline f'(x) & & - & &\barre{0} & &+ & \\ \hline & +\infty & & & & & & +\infty \\ f & &\searrow& & & &\nearrow& \\ & & & &1 & & & \\ \hline \end{array}$

Le tracé de la courbe $(C)$ : Voir la correction de la question suivante .

2) La fonction $g$ étant la restriction de la fonction $f$ à l'intervalle $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ .
Donc , d'après le tableau de variation de la fonction $f$ , la fonction $g$ est continue et strictement décroissante sur $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ .

Elle réalise alors une bijection de $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ vers $g\left(\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right]\right)=\left[g\left(\dfrac{\pi}{2}\right);\displaystyle\lim_{x\to 0^+}g(x)\right[ = [1;+\infty[$

$\boxed{\begin{matrix}\text{ La restriction }g \text{ de }f \text{ à l'intervalle }\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right] \text{ possède une fonction réciproque } \\g^{-1}\text{ définie sur }[1;+\infty[\end{matrix}}$

Construction de la courbe $\left(C_{g^{-1}}\right)$ de la fonction $g^{-1}$ :

$\left(C_{g^{-1}}\right)$ se déduit de $(C)$ , par symétrie d'axe la première bissectrice du repère , qui n'est autre que la droite d'équation $y=x$ .

Bac Congo-Brazzaville 2022 série E : image 1

3) Soient $x\in [1;+\infty[ \text{ et }y\in \left]0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ pour que l'équation $y=g^{-1}(x)$ ait un sens , on a :
$y=g^{-1}(x)\iff g(y)=g\left(g^{-1}(x)\right)\iff g(y)=g\circ g^{-1}(x)\iff g(y)=x\iff x=\dfrac{1}{\sin y }\iff \boxed{\sin y = \dfrac{1}{x}}$

D'autre part :
$\cos^2 y+\sin^2y=1 \iff \cos^2 y =1-\sin^2 y \iff \cos^2 y = 1-\left(\dfrac{1}{x}\right)^2 \iff \cos^2 y = \dfrac{x^2-1}{x^2}$

Et puisque $x\in [1;+\infty[$ , alors $x^2-1\geq 0$ , et on peut donc écrire :

$\cos^2 y = \dfrac{x^2-1}{x^2} \iff \cos y =\sqrt{\dfrac{x^2-1}{x^2}}\iff \boxed{\cos y = \dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}}$

4) On a vu que la fonction $g$ est dérivable sur $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\red\right[$ , avec $g'(x)\neq 0$ sur cet intervalle .

Alors $g^{-1}$ est dérivable sur $\red]\black 1;+\infty[$ et pour tout $x\in ]1;+\infty[\text{ : } \left(g^{-1}\right)'(x)=\dfrac{1}{g'\circ g^{-1}(x)}$
$\begin{matrix}\forall x\in]1;+\infty[ \text{ : } \left(g^{-1}\right)'(x)&=&\dfrac{1}{g'\circ g^{-1}(x)}&=&\dfrac{1}{g'\left(g^{-1}(x)\right)}\\&=&\dfrac{1}{g'(y)}&=&\dfrac{1}{-\dfrac{\cos y}{\sin^2 y}}\\&=&-\dfrac{\sin^2 y}{\cos y }&=&-\dfrac{\dfrac{1}{x^2}}{\dfrac{\sqrt{x^2-1}}{x}}\\&=&\boxed{-\dfrac{1}{x\sqrt{x^2-1}} }\end{matrix}$ .

Remarque :
Puisque $g'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$ , la courbe représentative $(C)$ admet une tangente horizontale en $\dfrac{\pi}{2}$ , donc, par symétrie, la courbe $(C_{g^{-1}})$ admet une tangente verticale en $g\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$ , $g^{-1}$ n'est donc pas dérivable en $1$ . Et c'est pour cette raison que l'intervalle est ouvert en $1$ .

5) Calculons $I=\displaystyle \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{2}}\dfrac{\text{ d}t }{t\sqrt{t^2-1}}$ .

On remarque qu'il s'agit de l'expression de $\left(g^{-1}\right)'$ sur l'intevalle $]1;+\infty[$ , et pusique $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\approx 1,15 > 1$ , alors :

$I=\displaystyle \int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{2}}\dfrac{\text{ d}t }{t\sqrt{t^2-1}}=-\int_{\frac{2\sqrt{3}}{3}}^{\sqrt{2}}g^{-1}(t)\text{ d}t =-g^{-1}(\sqrt{2})+g^{-1}\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

On résoud les équations $g(x)=\sqrt{2} \text{ et } g(x)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ sur $\left]0,\dfrac{\pi}{2}\right[$ :
$g(x)=\sqrt{2}\iff \dfrac{1}{\sin x}=\sqrt{2}\iff \sin x =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\iff \sin =\dfrac{\sqrt{2}}{2} \iff x=\dfrac{\pi}{4}$
$g(x)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\iff \dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\iff \sin x =\dfrac{3}{2\sqrt{3}}\iff \sin =\dfrac{\sqrt{3}}{2} \iff x=\dfrac{\pi}{3}$

On a donc : $g^{-1}(\sqrt{2})=\dfrac{\pi}{4} \text{ et }g^{-1}\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}$

Et on conclut avec : $I=-g^{-1}(\sqrt{2})+g^{-1}\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\boxed{\dfrac{\pi}{12}}$

exercice 4

1) Voir la figure à la fin de l'exercice .

Affixes de $C$ et $D$ :

Puisque $AOEC$ est un carré , alors $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{AC} \iff z_E-z_O=z_C-z_A \iff z_C= z_E-z_O+z_A\iff \boxed{z_C=-4+4i}$

De même , $BOED$ est un carré , alors $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{BD} \iff z_E-z_O=z_D-z_B \iff z_D= z_E-z_O+z_B\iff \boxed{z_D=4+4i}$

2-a)

Nature de la transformation $f$ :
L'écriture complexe de la transformation $f$ est $Z'=(1+i)Z+4+4i$ .
Elle est donc de la forme $Z'=aZ+b \text{ , avec } a=1+i\in\C^{*} \text{ et }b=4+4i\in\C$
De plus , $f$ fait intervenir l'affixe $Z$ du point $M$ et pas son conjugué .
Donc :
$\boxed{ f \text{ est une similitude directe }}$
Les éléments caractéristiques de $f$ :

$\bullet\text{ Centre : }$ L'affixe du centre de la similitude $f$ est $\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{4+4i}{1-1-i}=i(4+4i)=-4+4i=z_C$

$\bullet\text{ Rapport : }$ Le rapport $k$ de la similitude $f$ est $k=|a|=|1+i|=\sqrt{2}$

$\bullet\text{ Angle : }$ L'angle $\theta$ de la similitude $f$ est $\theta=\arg(a)=\arg(1+i)=\arg\left[\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\right]=\arg\left[\sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}+i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)\right]\equiv \dfrac{\pi}{4}\text{ }[2\pi]$

$\boxed{f \text{ est une similitude directe de centre }C\text{ , de rapport }k=\sqrt{2}\text{ et d'angle }\theta\equiv\dfrac{\pi}{4}\text{ }[2\pi] }$

b)
Le point $f(A)$ a pour affixe :

$\begin{matrix}z_{f(A)}&=&(1+i)z_A+4+4i&=&-4(1+i)+4+4i\\& =&-4-4i+4+4i&=&0\\&=&z_O\end{matrix}$

Donc $z_{f(A)}=z_O$ , d'où :

$\boxed{f(A)=O}$
Le point $f(O)$ a pour affixe :

$\begin{matrix}z_{f(O)}&=&(1+i)z_O+4+4i&=&0+4+4i\\& =&4+4i&=&0\\&=&z_D\end{matrix}$

Donc $z_{f(O)}=z_D$ , d'où :

$\boxed{f(O)=D}$
L'image de la droite $(CA)$ par $f$ :

Puisque $C$ est le centre de $f$ , alors $C$ est invariant par $f$ et $f(C)=C$ .

De plus , $f(A)=O$ , alors :

$\boxed{f((AC))=(OC)}$

L'image de la médiatrice de $[AO]$ par $f$ :

L'image de la médiatrice du segment $[AO]$ par $f$ est la médiatrice de l'image du segment $[AO]$ par $f$ .

C'est donc la médiatrice du segment $[f(A)f(O)]=[OD]$

Or , $BOED$ est un carré , et on sait que les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires .

Donc la médiatrice de $[OD]$ n'est autre que la droite $(EB)$ .

$\boxed{\text{L'image de la médiatrice de }[AO] \text{ par } f\text{ est la droite }(EB) }$

c) Soit $M$ un point d'affixe $Z$ distinct de $C$ .

On note $Z(\overrightarrow{MM'}) \text{ et }Z(\overrightarrow{MC})$ respectivement les affixes des vecteurs $\overrightarrow{MM'} \text{ et }\overrightarrow{MC}$ .

$Z(\overrightarrow{MC})=z_{C}-z_{M}=-4+4i-Z=-Z-4+4i$ .

$Z(\overrightarrow{MM'})=z_{M'}-z_{M}=Z'-Z=(1+i)Z+4+4i-Z= iZ+4+4i=-i(-Z-4+4i)$ .

On en déduit que $Z(\overrightarrow{MM'})=-iZ(\overrightarrow{MC})$

D'où $MM'=\left|Z(\overrightarrow{MM'})\right|=\left|-iZ(\overrightarrow{MC})\right|=|-i|\left|Z(\overrightarrow{MC})\right|=|-i|MC$

Et puisque $|-i|=1$ , alors : $\boxed{MM'=MC}$

Mesure d'angle $\left(\widehat{\overrightarrow{MM'},\overrightarrow{MC}}\right)$

$\left(\widehat{\overrightarrow{MM'},\overrightarrow{MC}}\right)=\arg\left(\dfrac{Z(\overrightarrow{MC})}{Z(\overrightarrow{MM'})}\right)=\arg\left(\dfrac{Z(\overrightarrow{MC})}{-iZ(\overrightarrow{MC})}\right)=\arg\left(-\dfrac{1}{i}\right)=\arg(i)\equiv \boxed{\dfrac{\pi}{2}\enskip [2\pi] }$ .

3)

Puisque :
$I$ est le milieu de $[OA]$ , donc $z_J=\dfrac{z_A}{2} = \dfrac{-4}{2}=-2$ .
$J$ est le milieu de $[EB]$ , donc $z_J=\dfrac{z_B+z_E}{2} = \dfrac{4+4i}{2}=2+2i$

L'image du point $I$ par la similitude $f$ a pour affixe :

$z'=(1+i)z_I+4+4i=(1+i)\times (-2) +4+4i=-2-2i+4+4i=2+2i=z_J$ .

$J$ est donc l'image de $I$ par $f$ , et on peut appliquer les résultats trouvés en 2-c) , en remplaçant $M$ par $I$ et $M'$ par $J$ :

$IJ=IC\enskip\text{ et }\enskip \left(\widehat{\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IC}}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\enskip [2\pi]$
On en déduit que : $\boxed{ \text{ Le point }C\text{ est l'image de }J \text{ par la rotation de centre }I \text{ et d'angle }\dfrac{\pi}{2} }$

Figure :

Bac Congo-Brazzaville 2022 série E : image 2

Publié par malou/Panter le 13-09-2022

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