Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths bac > Bac 2022 toujours : des sujets venus d'ailleurs

Bac 2022 Bac Côte d'Ivoire

Série C

Durée : 4 heures
Coefficient : 5

Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

2 points

exercice 1

Ecris sur ta feuille de copie , le numéro de chaque proposition du tableau ci-dessous suivi de Vrai si la proposition est vraie ou de Faux si la proposition est fausse .

Bac Côte d'Ivoire 2022 série C : image 2

2 points

exercice 2

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous , les informations des lignes $A\text{ , }B\text{ , }C\text{ et }D$ permettent d'obtenir quatre affirmations dont une seule est vraie .

Ecris , sur ta feuille de copie , le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la ligne qui donne l'affirmation vraie .

Bac Côte d'Ivoire 2022 série C : image 1

3 points

exercice 3

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , on donne les points $A(0,4,1)\text{ , }B(1,3,0)\text{ , }C(2,-1,-2) \text{ , }E(7,-1,4)$ et le vecteur $\vec{u}(2,-1,3)$ .

1. Démontre que les points $A,B\text{ et }$ déterminent un plan .

2.a) Démontre que le vecteur $\vec{u}$ est orthogonal à chacun des vecteurs $\overrightarrow{AB}\text{ et }\overrightarrow{AC}$ .

b) Justifie qu'une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $2x-y+3z+1=0$ .

c) Vérifie que le point $E$ n'appartient pas au plan $(ABC)$ .

3. Soit $(\Delta)$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale au plan $(ABC)$ .

On pose $\lbrace K\rbrace = (\Delta)\cap(ABC)$ .

a) Détermine une représentation paramétrique de la droite $(\Delta)$ .

b) Justifie que le point $K$ a pour coordonnées $(3,1,-2)$ .

c) Calcule la distance $EK$ .

4 points

exercice 4

Un employé se rend au travail en bus . S'il est à l'heure à l'arrêt , il prend le bus de ramassage gratuit mis à sa disposition par l'entreprise . S'il est en retard , il prend le bus de ville .

On suppose que l'employé n'est pas en retard le premier jour . A partir du deuxième jour :

si l'employé est à l'heure un jour donné , la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $\dfrac{1}{5}$ .

s'il est en retard un jour donné , la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $\dfrac{1}{20}$ .

Pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $2$ : on appelle $R_n$ , l'évènement : "l'employé est en retard le jour n" .

On note $p_n$ la probabilité de $R_n$ et $q_n$ celle de $\overline{R_n}$ , l'évènement contraire de $R_n$ .

On suppose que : $p_1=0 \text{ et }p_2=\dfrac{1}{5}$ . On a : $p_{R_n}(R_{n+1})=\dfrac{1}{20} \text{ et }p_{\overline{R_n}}(R_{n+1})=\dfrac{1}{5}$ .

Dans tout ce qui suit , on prend $n\geq 2$ .

1.a) Justifie que : $p(R_n\cap R_{n+1})=\dfrac{1}{20}p_n \text{ et } p(\overline{R_n}\cap R_{n+1})=\dfrac{1}{5}q_n$ .

b) Détermine $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ et $q_n$ .

c) Déduis-en que : $p_{n+1}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{3}{20}p_n$ .

2. On pose $v_n=p_n-\dfrac{4}{23}$ .

a) Démontre que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $-\dfrac{3}{20}$ .

b) Détermine son premier terme $v_2$ .

3.a) Calcule la limite de la suite $(v_n)$ .

b) Déduis-en la limite de la suite $(p_n)$ .

4 points

exercice 5

Soit $n$ un entier naturelnon nul et $f_n$ la fonction définie sur $]0,+\infty[$ par : $f_n(x)=\dfrac{1+n\ln(x)}{x^2}$ .

On désigne par $(C_n)$ la courbe représentative de $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,I,J)$ .

L'unité graphique est $3\text{ cm}$ .

1.a) Justifie que : $\displaystyle \lim_{x\to 0} f_n(x)=-\infty$ .

b) Justifie que : $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f_n(x)=0$ .

c) Donne une interprétation graphique des résultats des questions 1.a) et 1.b) .

2.a) On admet que $f_n$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ .

Justifie que $\forall x\in ]0,+\infty[ \text{ , } f'_n(x)= \dfrac{n-2-2n\ln(x)}{x^3}$ .

b) Détermine les variations de $f_n$ sur $]0,+\infty[$ .

c) Vérifie que $\text{ : } f_n\left(e^{\frac{n-2}{2n}}\right) =\dfrac{n}{2}e^{\frac{2}{n}-1}$ .

d) Dresse le tableau de variation de $f_n$ .

3.a) Justifie que : $\forall x\in ]0,+\infty[ \text{ , }f_{n+1}(x)-f_n(x)=\dfrac{\ln(x)}{x^2}$ .

b) Déduis-en la position relative des courbes $(C_n) \text{ et }(C_{n+1})$ .

4. Soit $I$ l'intégrale telle que : $I=\displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{\ln(x)}{x^2} \text{ d}x$ .

a) A l'aide d'une intégration par parties , justifie que : $I=1-\dfrac{2}{e}$ .

b) Déduis-en l'aire en $\text{ cm}^{2}$ de la partie du plan limitée par les courbes $(C_n)\text{ , }(C_{n+1})$ et les droites d'équations : $x=1 \text{ et }x=e$ .

5 points

exercice 6

La salle du foyer des jeunes d'une commune est dans un état de dégradation avancée .

Le maire , soucieux du bien-être de sa jeunesse , décide de la réhabiliter en commençant en priorité par le revêtement du sol qui est un rectangle de longueur $14,4\text{ m }$ et de largeur $8,70\text{ m}$ .

Pour ce faire , il instruit le chef du service technique de la Mairie qui prend attache avec un fournisseur en vue d'acheter des carreaux .

Ce dernier dispose de trois types de carreaux carrés , de côtés repsectifs $18\text{ cm } , 25\text{ cm et }30\text{ cm . }$ Chaque type de carreaux est livré en paquets de $12$ et de $20$ carreaux .

Pour éviter le gaspillage et la surfacturation , le Maire exige :

qu'il n'y ait pas de découpe de carreaux lors du carrelage .

qu'on lui communique le nombre exact de paquets de $12$ et de paquets de $20$ qu'il faut acheter .

Le chef de service technique pense que les carreaux de côté $30\text{ cm }$ conviennent si l'on veut éviter des découpes de carreaux . N'étant pas qualifié pour faire ces types de calculs , il te sollicite .

1. Vérifie si le chef du service technique a raison ou pas .

2. En supposant qu'il a raison , détermine le nombre de paquets de $20$ et le nombre de paquets de $12$ que le chef du service doit commander , sachant que le nombre de paquets de $20$ est supérieur à $66$ .

Publié par malou/Panter le 03-08-2022

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