Bac Côte d'Ivoire 2022
Série E
Coefficient : 5
Durée : 4 heures
L'usage de la calculatrice scientifique est autorisé.
exercice 1
On considère deux urnes notées respectivement U et V.
L'urne U contient trois boules marquées respectivement 0 ; 1 et 2.
L'urne V contient quatre boules marquées respectivement 0 ; 1 ; 2 et 3.
Ces boules sont indiscernables au toucher.
Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V.
On considère que tous les tirages de ces deux boules sont équiprobables.
1. a. Représenter tous les tirages possibles dans un tableau à double entrée.
b. Calculer la probabilité de l'événement A : "obtenir 2 boules portant le même chiffre".
2. Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V. Le joueur mise
1000 FCFA. L'organisateur du jeu remet alors au joueur (en milliers de francs CFA) égal au produit des deux nombres figurant sur les
deux boules tirées.
Soit
la variable aléatoire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique du joueur.
a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire
b. Présenter la loi de probabilité de
dans un tableau.
c. Calculer l'espérance mathématique
de
Ce jeu est-il équitable ?
NB : Le jeu est équitable lorsque
3. Déterminer la mise du joueur qui rend le jeu équitable.
exercice 2
Dans le plan orienté, on considère un triangle
ABC tel que
AB = AC et
Soit I le point tel que le triangle
CAI soit rectangle et isocèle avec
1. Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure. On prendra
AB = 5 cm.
2. On appelle
la rotation de centre
A qui transforme
B en
C
et
la rotation de centre
C et
d'angle
On pose :
a. Déterminer les images par
des points
A et
B.
b. Justifier que
est une rotation dont on précisera l'angle et le centre
O. Placer
O sur la figure.
c. Quelle est la nature du quadrilatère
ABOC ?
3. Soit
la similitude directe de centre
O qui transforme
A en
B .
On désigne par
C ' l'image de
C par
,
H
le milieu du segment [
BC ] et
H ' l'image de
H par
.
a. Donner une mesure de l'angle de
.
b. Démontrer que
C ' appartient à la droite (
OA ).
c. Démontrer que (
C'H' ) est perpendiculaire à (
OB ).
e. En déduire que
C ' est le centre du cercle circonscrit au triangle
OBC.
probleme
Partie 1
Soit
un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 2
].
On considère la suite géométrique
de premier terme
et de raison
1. a. Exprimer
en fonction de
b. Déterminer la limite de la suite
(On distinguera les cas
et
).
2. Soit
la somme des
premiers termes consécutifs de la suite
a. Exprimer
en fonction de
b. Déterminer la limite de
lorsque
tend vers +
.
Partie 2
Le plan est muni d'un repère orthonormé
(Unité graphique : 4cm).
1. Tracer la courbe
représentative de la fonction
définie sur
par
2. On considère la fonction
définie sur
par
a. On admet que
est dérivable sur
et
on note
sa dérivée.
Pour
élément de
, calculer
puis vérifier que
b. En déduire le signe de
pour tout
élément de
.
c. Dresser le tableau de variation de
sur
.
3. On considère la fonction
définie sur
par
a. On admet que
est dérivable sur
et on
note
sa dérivée.
Démontrer que :
b. Dresser le tableau de variation de
sur
.
4. a. Démontrer que :
.
b. Tracer les courbes représentatives
et
des
fonctions
et
dans le repère
Partie 3
Pour tout nombre entier naturel
, on considère la fonction
définie sur [0 ; 2
] par
et on pose
1. a. Calculer
b. Justifier que
2. a. Démontrer que pour tout entier naturel
on a :
b. Démontrer par récurrence que :