Fiche de mathématiques
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Bac Côte d'Ivoire 2022

Série E

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Coefficient : 5

Durée : 4 heures


L'usage de la calculatrice scientifique est autorisé.


exercice 1

On considère deux urnes notées respectivement U et V.
L'urne U contient trois boules marquées respectivement 0 ; 1 et 2.
L'urne V contient quatre boules marquées respectivement 0 ; 1 ; 2 et 3.
Ces boules sont indiscernables au toucher.

Une expérience aléatoire consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V.
On considère que tous les tirages de ces deux boules sont équiprobables.

1. a. Représenter tous les tirages possibles dans un tableau à double entrée.
\white w b. Calculer la probabilité de l'événement A : "obtenir 2 boules portant le même chiffre".

2. Un jeu consiste à tirer au hasard une boule de l'urne U, puis une boule de l'urne V. Le joueur mise 1000 FCFA. L'organisateur du jeu remet alors au joueur (en milliers de francs CFA) égal au produit des deux nombres figurant sur les deux boules tirées.

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque jeu, associe le gain algébrique du joueur.
\white w a. Déterminer les valeurs prises par la variable aléatoire X\,\cdot
\white w b. Présenter la loi de probabilité de X dans un tableau.
\white w c. Calculer l'espérance mathématique  E(X) de X\,\cdot Ce jeu est-il équitable ?

NB : Le jeu est équitable lorsque  E(X)=0\,\cdot

3. Déterminer la mise du joueur qui rend le jeu équitable.



exercice 2

Dans le plan orienté, on considère un triangle ABC  tel que AB = AC   et   \text {mes}(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})}=\dfrac{\pi}{4}\,\cdot
Soit I le point tel que le triangle CAI  soit rectangle et isocèle avec   \text {mes}(\widehat{\overrightarrow{CA};\overrightarrow{CI})}=-\dfrac{\pi}{2}\,\cdot

1. Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure. On prendra AB = 5 cm.

2. On appelle r_A la rotation de centre A   qui transforme B   en C   et  r_C  la rotation de centre C  et d'angle  -\dfrac{\pi}{2}\,\cdot
On pose :  f=r_C \circ r_A\,\cdot

  \white w a. Déterminer les images par f des points A et B.
\white w b. Justifier que f est une rotation dont on précisera l'angle et le centre O. Placer O sur la figure.
\white w c. Quelle est la nature du quadrilatère ABOC  ?

3. Soit S la similitude directe de centre O qui transforme A  en B .
\white w On désigne par C '  l'image de C  par S,  H  le milieu du segment [BC ] et H '  l'image de H  par S.
\white w a. Donner une mesure de l'angle de S.
\white w b. Démontrer que C ' appartient à la droite (OA ).
\white w c. Démontrer que (C'H' ) est perpendiculaire à (OB ).
\white w e. En déduire que C ' est le centre du cercle circonscrit au triangle OBC.



probleme

Partie 1



Soit a un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 2pi].
On considère la suite géométrique u de premier terme u_0=\cos(a) et de raison \sin (a)\,\cdot

1. a. Exprimer u_n en fonction de n\cdot
\white w b. Déterminer la limite de la suite (u_n) (On distinguera les cas |\sin (a)|=1 et |\sin (a)| < 1 ).

2. Soit S_n=u_0+u_1+\dots + u_n la somme des n+1 premiers termes consécutifs de la suite u.
\white w a. Exprimer S_n en fonction de n.
\white w b. Déterminer la limite de S_n lorsque n tend vers + infini.

Partie 2


Le plan est muni d'un repère orthonormé (O\,;\vec i\,,\vec j). (Unité graphique : 4cm).
1. Tracer la courbe (C_0) représentative de la fonction S_0 définie sur \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right] par S_0(x)=\cos(x).

2. On considère la fonction S_1 définie sur \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right] par S_1(x)=\cos (x)+\cos (x)\,\sin (x).
\white w a. On admet que S_1 est dérivable sur \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right] et on note S_1' sa dérivée.
\white{ww} Pour x élément de \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right], calculer S_1'(x) puis vérifier que S_1'(x)=-2(\sin (x) + 1)(\sin (x) -\frac 1 2).
\white w b. En déduire le signe de S_1'(x) pour tout x élément de \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right].
\white w c. Dresser le tableau de variation de S_1 sur \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right].

3. On considère la fonction S définie sur \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right] par S(x)=\dfrac{\cos (x)}{1-\sin (x)}\,\cdot
\white w a. On admet que S est dérivable sur \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right] et on note S' sa dérivée.
\white {ww} Démontrer que : \forall x \in  \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right]\,;\; S'(x)=\dfrac{1}{1-\sin (x)}\,\cdot
\white w b. Dresser le tableau de variation de S sur \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right] .

4. a. Démontrer que : \forall x \in  \left[\dfrac{3\pi}{2}\,; 2\pi\right]\,;\;S_1(x)\le S(x)\le S_0(x).

\white w b. Tracer les courbes représentatives (\mathcal C_1) et (\mathcal C) des fonctions S_1 et S dans le repère (O\,;\vec i\,,\vec j).

Partie 3


Pour tout nombre entier naturel n, on considère la fonction S_n définie sur [0 ; 2pi] par

S_n(x)=\cos(x)\,(1+\sin(x)+\dots+\sin^n (x)) et on pose  \begin{aligned}\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}{S_n(x)}\;$d$x\end{aligned}\,\cdot


1. a. Calculer I_0\,,I_1\text{ et } I=\begin{aligned}\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}{S(x)}\;$d$x\end{aligned}\,\cdot
\white w b. Justifier que I_1\le I\le I_0\,\cdot

2. a. Démontrer que pour tout entier naturel n\,, on a : I_{n+1}-I_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n+2}\,\cdot
\white w b. Démontrer par récurrence que : \forall n \in \textbf N , I_n=1-\dfrac 1 2 + \dfrac 1 3 +\dots + \dfrac{(-1)^n}{n+1}\,\cdot
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