Pour chacune des questions , une seule des quatre propositions est exacte . Vous indiquerez sur votre copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie . Une bonne réponse rapporte 1 point , une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte et ne fait perdre aucun point .
1. Les droites de régression de en et de en d'une série statistique double sont respectivement . On note la valeur approchée à près du coefficient de corrélation linéaire . Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?
2. On lance une pièce de monnaie parfaitement équilibrée dix fois de suite . On note la variable aléatoire qui désigne le nombre de "PILE" obtenus . Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?
3. On veut déterminer par récurrence que pour tout entier naturel supérieur ou égal à , . Laquelle des affirmations suivantes est l'hypothèse de récurrence dans cette démonstration ?
4. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct . On désigne par les points du plan représentés ci-dessous . Soit la mesure principale de l'angle orienté
Laquelle des affirmations ci-dessous est correcte ?
5. On considère l'équation différentielle . Laquelle des fonctions suivantes est solution de l'équation différentielle ?
5 points
exercice 2
Géométrie de l'espace
est un cube d'arête .
Tous les calculs seront faits dans le repère orthonormal direct .
1.a) Démontrer que le produit vectoriel a pour coordonnées .
b) En déduire une équation cartésienne du plan .
2.a) Donner une représentation paramétrique de la droite .
b) Montrer que la droite et le plan sont sécants en un point .
3.a) Montrer que les points ne sont pas coplanaires .
b) Déterminer le volume du tétraèdre .
4. On considère l'ensemble des points de l'espace tels que : .
a) Vérifier que est le centre de gravité du triangle .
b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble .
c) Etudier l'intersection de et du plan .
5 points
exercice 3
Transformations du plan
1. Résoudre dans l'équation : .
2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct d'unité graphique 2cm .
On considère par les points et d'affixes respectives .
On désigne par l'image de par la rotation de centre et d'angle et l'image de par la transformation d'écriture complexe a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de .
b) Déterminer les affixes des points .
c) Placer les points et . Construire et , on expliquera rigoureusement la construction .
d) Démontrer que les points sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon .
3. Démontrer que est un trapèze isocèle , puis qu'une mesure de l'angle orienté est .
4. Soit la similitude directe du plan qui transforme en et en .
a) Déterminer l'écriture complexe de .
b) Donner la nature exacte et les éléments caractéristiques de .
5 points
exercice 4
Etude d'une fonction exponentielle et sa réciproque
On considère la fonction f définie sur par : .
1. Déterminer les limites de en et en .
2.a) Justifier que la fonction est dérivable sur .
b) On désigne par la fonction dérivée de , montrer que pour tout réel .
c) Dresser le tableau de variations de .
3. Soit la restriction de à l'intervalle .
a) Montrer que réalise une bijection de sur un intervalle à préciser .
b) Soit la bijection réciproque de , Calculer .
est-elle dérivable en ?
c) Calculer la valeur exacte de .
4. On représente ci-dessous la courbe de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé d'unité graphique 2cm .
a) Expliquer comment construire la courbe de la fonction à partir de la courbe .
b) Calculer en la valeur exacte de l'aire du domaine du plan hachurée sur la figure ci-dessus .
Si on note (respectivement ) le coefficient directeur de la droite de regression de en (respectivement de en )
Alors le coefficient de corrélation se calcule par:
2) La réponse correcte est A.
Cliquez pour afficher
correspond à: "obtenir 5 fois PILE", le nombre de combinaisons possibles est donc .
De plus, la probabilité d'obtenir PILE à chaque lancé de la pièce de monnaie est , de même, la probabilité d'obtenir FACE à chaque lancé est .
Et puisqu'on lance 10 fois de suite la pièce de monnaie, alors:
3) La réponse correcte est A.
Cliquez pour afficher
En effet, l'hypothèse de récurrence consiste à supposer que la propriété à démontrer est vraie pour un entier naturel fixé , cet entier naturel doit bien évidemment être supérieur ou égal au premier rang qui est dans ce cas, donc
L'hypothèse est donc:
4) La réponse correcte est B.
Cliquez pour afficher
Sans faire de calcul, on s'aperçoit que l'angle est orienté positivement, donc les réponses A et C sont fausses.
On s'aperçoit aussi que la mesure de cet angle est inférieure à , donc, la réponse D est fausse car .
5) La réponse correcte est B.
Cliquez pour afficher
L'équation caractéristique associée est:
Son discriminent vaut: . L'équation caractéristique admet donc une solution double
Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions de la forme: des constantes réelles quelconques.
On en déduit que seule la fonction définie par convient.
exercice 2
1-a) L'espace est muni du repère orthonormal direct .
Donc:
On calcule les coordonnées de:
On en tire les coordonnées du produit vectoriel:
Donc:
b) Le vecteur est un vecteur normal au plan .
Donc une équation de ce plan s'écrit:
Ce qui donne .
De plus, on a , alors:
On obtient :
2-a) On a
Le vecteur est un vecteur directeur de la droite , de plus , cette droite passe par le point .
Alors une représentation paramétrique de la droite s'écrit :
b) On a :
On résoud donc l'équation d'inconnue dans suivante :
Pour trouver les coordonnées du point , on remplace la solution dans la représentation paramétrique de
3-a) Puisqu'on a une équation du plan , il suffit donc de montrer que les coordonnées du point ne la vérifient pas.
On a
On en tire que , ce qui veut dire que:
b) Le volume du tétraèdre qu'on note en unité de volume (UV) est donné par la relation:
l'aire du triangle en unité d'aire (UA).
Et puisque est un cube, alors , de plus ce cube est d'arête 1 , alors
D'autre part, L'aire en unité d'aire (UA) est donnée par la relation:
Calculons On a
Donc:
On obtient donc:
Finalement, on calcule:
4-a) Montrer que le point est le centre de gravité du triangle revient à montrer que
Calculons les coordonnées des vecteurs
On en tire les coordonnées du vecteur somme
On en déduit que
Conclusion:
b) Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble , soit un point de l'espace :
On en déduit que:
c) Le centre de la sphère appartient au plan d'après 2-b).
On en tire que la distance entre le centre et le plan , qu'on note est nulle, .
On en déduit que . L'intersection de la sphère et du plan est donc un cercle de centre et de rayon .
exercice 3
1) Résolvons dans l'équation :
On calcule le discriminent
Le discriminent étant non nul, l'équation admet dans deux racines et qui sont:
2-a)Cherchons les éléments caractéristiques de
Centre: Notons l'affixe du centre, on a donc: Le centre de est le point .
Rapport: C'est le module du coefficient de Le rapport est
Angle: C'est un argument du coefficient de L'angle de mesure principal est
Conclusion:
b) Notons la rotation de centre et d'angle , son écriture complexe est donc:
Notons et respectivement les affixes de et . Et puisque est l'image de par la transformation et est l'image de par la transformation , alors:
c) Voir la figure à la fin de l'exercice.
Explication:
Les points et sont placés respectivement sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées puisque l'affixe du premier est réel et celui du deuxième est imaginaire pur, de plus, ces deux points distancent l'origine de unités car .
Ensuite, pour construire le point , qui est l'image de par la rotation de centre et d'angle , on place le centre du rapporteur sur l'origine , puis, en faisant pivoter le rapporteur, on fait coïncider son "zéro droit" sur l'axe des abscisses, et on marque l'angle , enfin, en sachant que la rotation conserve les modules, la distance entre et est égale à celle entre et , donc unités (on le constate aussi en calculant ), ce qui permet de placer le point .
De la même manière, pour construire le point , l'image de par la rotation de centre et d'angle , on place le centre du rapporteur sur l'origine , puis, en faisant pivoter le rapporteur, on fait coïncider son "zéro gauche" cette fois-ci sur l'axe des ordonnées, et on marque l'angle , enfin, en sachant que , on place le point .
d)On a vu que , donc et les points appartiennent au cercle de centre et de rayon .
De plus, puisque et sont respectivement les images de et par des rotations de centre et puisque les rotations conservent les distances (donc les modules), alors
Donc sont aussi sur le cercle de centre et de rayon .
3)Pour montrer que est un trapèze isocèle, on doit montrer que et que .
Calculons l'affixe des vecteurs
D'où:
D'autre part:
On en tire que:
De
Montrons qu'une mesure de l'angle orienté est .
4-a) est une similitude directe, donc admet comme écriture complexe
Or, transforme en et en . Déterminons alors les constantes complexes :
D'où:
b)Cherchons les éléments caractéristiques de
Centre: Notons le centre de et son affixe, on a donc: Le centre de est le point d'affixe .
Rapport: C'est le module du coefficient de Le rapport est
Angle: C'est un argument du coefficient de L'angle de mesure principal est
Conclusion:
Figure:
exercice 4
1)La limite en
Puisque
La limite en
Puisque
2-a) Puisque la fonction exponentielle est dérivable sur , alors la fonction est dérivable sur .
De plus, pour tout réel .
On en déduit que est une fonction dérivable sur comme quotient de fonctions dérivables sur .
b) Pour tout réel
c) On sait que pour tout de
On en tire que pour tout réel , comme quotient de deux fonctions strictement positives sur .
D'où , pour tout , comme quotient de deux fonctions strictement positives sur .
On en déduit que:
Et on dresse le tableau de variations de la fonction
3-a)Soit la restrition de à l'intervalle
Puisque est dérivable sur , donc est continue sur et donc aussi sur Donc est une fonction continue sur
D'autre part, est strictement croissante sur , et donc sur Donc est strictement croissante sur
De
Or, Donc
Conclusion:
b) On a
Etude de la dérivabilité de en
On a vu que est dérivable sur
c)
4-a) La construction de la courbe de la fonction se déduit par symétrie axiale d'axe la première bissectrice du repère, c'est-à-dire la droite d'équation , de la partie de sur l'intervalle (c'est la partie qui représente la fonction )
b) L'aire de la partie hachurée, qu'on note , et qui représente l'aire démimitée par la courbe et l'axe des abscisses et les droites d'équation et est en unité d'aire (UA) :
En effet, pour tout
Donc:
On obtient:
Finalement, l'unité graphique est , donc:
On conclut alors que:
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en 
et de 
. On note 
la valeur approchée à 
près du coefficient de corrélation linéaire . Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?
la variable aléatoire qui désigne le nombre de "PILE" obtenus . Laquelle des affirmations suivantes est correcte ?
=\dfrac{63}{256}&P(X=5)=\dfrac{1}{32}&P(X=5)=\dfrac{1}{2}&P(X=5)=\dfrac{1}{1024}\\\hline \end{array})
supérieur ou égal à 
, 
. Laquelle des affirmations suivantes est l'hypothèse de récurrence dans cette démonstration ?
les points du plan représentés ci-dessous . Soit 
la mesure principale de l'angle orienté )
\text{ : }y''-6y'+9y=0)
. Laquelle des fonctions suivantes est solution de l'équation différentielle )
?
=(1-x)e^{-3x}&y(x)=(1+x)e^{3x}&y(x)=(1-x)e^{2x}&y(x)=(1+x)e^{-3x}\\\hline \end{array})
est un cube d'arête 
.
)
.
a pour coordonnées )
.
)
.
)
.
 )
.
ne sont pas coplanaires .
.
)
des points 
de l'espace tels que : 
.
est le centre de gravité du triangle 
.
l'équation : z-2+2i\sqrt{3}=0)
.
)
d'unité graphique 2cm .
et 
d'affixes respectives 
.
l'image de 
et d'angle 
et 
l'image de 
d'écriture complexe z)
.
sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon .
est un trapèze isocèle , puis qu'une mesure de l'angle orienté )
est 
.
la similitude directe du plan qui transforme 
par : =\dfrac{e^{x}}{1+e^x})
.
et en 
.
la fonction dérivée de =\dfrac{f(x)}{1+e^x})
.
la restriction de ![[-1;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-1;1])
.
à préciser .
la bijection réciproque de )
.
?
'\left(\dfrac{1}{2}\right))
.
)
de la fonction 
)
de la fonction 
la valeur exacte de l'aire du domaine du plan hachurée sur la figure ci-dessus .
Cliquez pour afficher
\text{ , }A(1;0;0)\text{ , }C(0;1;0)\text{ et } H(0;0;1))
![\left(\overrightarrow{HA}\wedge \overrightarrow{HC}\right)\left(\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\times (-1)-(-1)\times 1\\-\left[1\times (-1)-(-1)\times 0\right]\\1\times 1-0\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\overrightarrow{HA}\wedge \overrightarrow{HC}\right)\left(\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\times (-1)-(-1)\times 1\\-\left[1\times (-1)-(-1)\times 0\right]\\1\times 1-0\times 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix})
\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}})
\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix})
est un vecteur normal au plan \text{ : }1\times x +1\times y +1\times z +d=0\text{ , avec }d\in\R )
\text{: }x +y+z +d=0\text{ , avec }d\in\R)
.
)
, alors: 
\text{: }x+y+z-1=0})
\text{ et } F(1;1;1))
est un vecteur directeur de la droite  )
.
\text{ : }\begin{cases} x=\blue0\black+\red 1\black\times t \\ y=\blue 0\black+\red 1\black\times t\\z=\blue 0\black+\red 1\black\times t\end{matrix} \text { , } t\in\R \enskip\enskip\iff \enskip\enskip \boxed{(FD)\text{ : }\begin{cases} x=t \\ y=t\\z=t\end{cases} \text { , } t\in\R})
\text{ : }x+y+z-1=0\\\\ (DF)\text{ : }\begin{cases} x=t \\ y=t\\z=t\end{matrix} \text { , } t\in\R \end{cases})
dans 
dans la représentation paramétrique de  \text{: })
})
ne la vérifient pas.
)
, ce qui veut dire que:
en unité de volume (UV) est donné par la relation:
) \enskip\text{ , avec: })
l'aire du triangle )\text{ la distance entre }D\text{ et le plan }HAC )
)=DH)
, de plus ce cube est d'arête 1 , alors )=DH=1)
en unité d'aire (UA) est donnée par la relation:
On a \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}.)
})
)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times 1\Rightarrow \boxed{ \mathscr{V}_{DHAC} =\dfrac{\sqrt{3}}{6} \enskip\text{ (UV)}})
\begin{pmatrix} \dfrac{2}{3}- \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{3}- \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \\ \dfrac{2}{3}- \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\0\\0\end{pmatrix})
&\iff& ||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MH} ||=9 \\&\iff& ||\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IH} ||=9\\&\iff& ||3\overrightarrow{MI}+\vec{0}||=9\\&\iff& ||3\overrightarrow{MI}||=9 \\&\iff& 3||\overrightarrow{MI}||=9 \\&\iff& MI=3\end{matrix})
\text{ est la sphère de centre I et de rayon }r=3})
))
est nulle, 
.
. L'intersection de la sphère 
.
 \text{ et du plan }(HAC) \text{ est le cercle de centre }I\text{ et de rayon }r=3})
![\begin{matrix}\Delta&=&[-(1+i\sqrt{3})]^2-4(-2+2i\sqrt{3})\\&=&(1+i\sqrt{3})^2-4(-2+2i\sqrt{3})\\&=&(1+2i\sqrt{3}-3)-4(-2+2i\sqrt{3})\\&=&(-2+2i\sqrt{3})-4(-2+2i\sqrt{3})&&\left(\text{ On remarque que: }(1+i\sqrt{3})^2=-2+2i\sqrt{3}\right) \\&=& (1+i\sqrt{3})^2-4(1+i\sqrt{3})^2 \\&=&-3(1+i\sqrt{3})^2\\&=&\left(\sqrt{3} i (1+i\sqrt{3})\right)^2 \\&=& (-3+i\sqrt{3})^2\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}\Delta&=&[-(1+i\sqrt{3})]^2-4(-2+2i\sqrt{3})\\&=&(1+i\sqrt{3})^2-4(-2+2i\sqrt{3})\\&=&(1+2i\sqrt{3}-3)-4(-2+2i\sqrt{3})\\&=&(-2+2i\sqrt{3})-4(-2+2i\sqrt{3})&&\left(\text{ On remarque que: }(1+i\sqrt{3})^2=-2+2i\sqrt{3}\right) \\&=& (1+i\sqrt{3})^2-4(1+i\sqrt{3})^2 \\&=&-3(1+i\sqrt{3})^2\\&=&\left(\sqrt{3} i (1+i\sqrt{3})\right)^2 \\&=& (-3+i\sqrt{3})^2\end{matrix})
![z_1= \dfrac{-[-(1+i\sqrt{3})]-(-3+i\sqrt{3})}{2} =\dfrac{1+i\sqrt{3}+3-i\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4}{2}=2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z_1= \dfrac{-[-(1+i\sqrt{3})]-(-3+i\sqrt{3})}{2} =\dfrac{1+i\sqrt{3}+3-i\sqrt{3}}{2}=\dfrac{4}{2}=2)
![z_2= \dfrac{-[-(1+i\sqrt{3})]+(-3+i\sqrt{3})}{2} =\dfrac{1+i\sqrt{3}-3+i\sqrt{3}}{2}=\dfrac{-2+2i\sqrt{3}}{2}=-1+i\sqrt{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?z_2= \dfrac{-[-(1+i\sqrt{3})]+(-3+i\sqrt{3})}{2} =\dfrac{1+i\sqrt{3}-3+i\sqrt{3}}{2}=\dfrac{-2+2i\sqrt{3}}{2}=-1+i\sqrt{3})
z)
l'affixe du centre, on a donc: z\iff z=0\enskip\enskip \left(\text{ car : }-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\neq 1\right))
+i\sin\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\end{matrix})
+i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)z&\iff& z'=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)z\end{matrix})
et 
respectivement les affixes de &\iff& z_E= \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)z_A&\iff& z_E=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\iff \boxed{z_E=1+i\sqrt{3}})
&\iff& z_F= -\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)z_B&\iff& z_F=-2i\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\iff \boxed{z_F=\sqrt 3-i})
.
 \equiv 60°)
, on place le centre du rapporteur sur l'origine 
, enfin, en sachant que la rotation conserve les modules, la distance entre 
), ce qui permet de placer le point  \equiv -120°)
, on place le centre du rapporteur sur l'origine 
, enfin, en sachant que 
, on place le point 
et les points 
appartiennent au cercle de centre 
sont aussi sur le cercle de centre 
//(BF))
et que 
.
=\sqrt{3}(1-\sqrt{3}i))
//(EA)}\enskip (i))
|=\sqrt{1+(\sqrt{3}-2)^2})
-i|=\sqrt{(\sqrt{3}-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{1+(\sqrt{3}-2)^2})
)
\text{ et }(ii)\text{ , on conclut que: })
![\begin{matrix} (\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AF})&\equiv& \arg\left(\dfrac{z_F-z_A}{z_E-z_B}\right)\enskip [2\pi] \\&\equiv& \arg\left(\dfrac{(\sqrt{3}-2)-i}{1+i(\sqrt{3}-2)}\right)\enskip [2\pi] \\&\equiv& \arg\left(\dfrac{(\sqrt{3}-2)-i}{i\left((\sqrt{3}-2)-i\right)}\right)\enskip [2\pi]\\&\equiv& \arg\left(\dfrac{1}{i}\right)\enskip [2\pi]\\&\equiv& \arg\left(-i\right)\enskip [2\pi]\\&\equiv& -\dfrac{\pi}{2}\enskip [2\pi]\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} (\overrightarrow{BE},\overrightarrow{AF})&\equiv& \arg\left(\dfrac{z_F-z_A}{z_E-z_B}\right)\enskip [2\pi] \\&\equiv& \arg\left(\dfrac{(\sqrt{3}-2)-i}{1+i(\sqrt{3}-2)}\right)\enskip [2\pi] \\&\equiv& \arg\left(\dfrac{(\sqrt{3}-2)-i}{i\left((\sqrt{3}-2)-i\right)}\right)\enskip [2\pi]\\&\equiv& \arg\left(\dfrac{1}{i}\right)\enskip [2\pi]\\&\equiv& \arg\left(-i\right)\enskip [2\pi]\\&\equiv& -\dfrac{\pi}{2}\enskip [2\pi]\end{matrix})
 \text{ est }-\dfrac{\pi}{2} })
:
=z_F\\S(z_E)=z_B\end{cases} &\iff& \begin{cases}z_F=az_A+b\\z_B=az_E+b\end{cases}&\iff& \begin{cases}\sqrt{3}-i=2a+b\\ 2i=a(1+i\sqrt{3})+b\end{cases}\\&\iff& \begin{cases}\sqrt{3}-i=2a+b\\ \sqrt{3}-3i=(2-1-i\sqrt{3})a\end{cases}&\iff& \begin{cases}b=\sqrt{3}-i-2a\\a=\dfrac{ \sqrt{3}-3i}{1-i\sqrt{3}}\end{cases} \\&\iff& \begin{cases}b=\sqrt{3}-i-2a\\a=\dfrac{ \sqrt{3}\left(1-\dfrac{3}{\sqrt{3}i\right)}}{1-i\sqrt{3}}\end{cases}&\iff& \begin{cases}b=\sqrt{3}-i-2a\\a=\dfrac{ \sqrt{3}\left(1-i\sqrt{3}\right)}{1-i\sqrt{3}}\end{cases}\\&\iff& \begin{cases}b=\sqrt{3}-i-2\sqrt{3}\\a= \sqrt{3}\end{cases} &\iff& \boxed{\begin{cases}b=-\sqrt{3}-i\\a= \sqrt{3}\end{cases} }\end{matrix})
})
)
son affixe, on a donc: \iff z_M (1-\sqrt{3})=-(\sqrt{3}+i)\iff z_M=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}+i\dfrac{1}{\sqrt{3}-1})
.
=0)
=\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{e^{x}}{1+e^x} =\dfrac{0}{0+1}=0)
=\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^{x}}{1+e^x} =\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{e^{x}}{e^x\left(e^{-x}+1\right)} =\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{e^{-x}+1}=\dfrac{1}{0+1}=1)
=0\text{ et }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=1})
est dérivable sur 
.
est une fonction dérivable sur 
&=& \left(\dfrac{e^x}{e^x+1}\right)'&=& \dfrac{(e^x)'(e^x+1)-e^x(e^x+1)'}{(e^x+1)^2} \\&=& \dfrac{e^x(e^x+1)-(e^x)^2}{(e^x+1)^2}&=&\dfrac{e^x(e^x+1-e^x)}{(e^x+1)^2}\\&=& \dfrac{e^x}{(e^x+1)(e^x+1)}&=&\dfrac{f(x)}{e^x+1}\end{matrix})
=\dfrac{f(x)}{1+e^x}})
=\dfrac{e^x}{1+e^x} >0)
, comme quotient de deux fonctions strictement positives sur =\dfrac{f(x)}{1+e^x}>0)
, comme quotient de deux fonctions strictement positives sur 
 & & & + & \\ \hline & & & & 1 \\ f & & & \nearrow & \\ & 0 & & & \\ \hline \end{array}} )
![[-1;1].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-1;1].)
![[-1;1]\enskip (i)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-1;1]\enskip (i) )
![[-1;1]\enskip (ii)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-1;1]\enskip (ii))
\text{ et } (ii)\text{ :})
![g \text{ réalise une bijection de }[-1;1] \text{ sur l'intervalle }K=[g(-1);g(1)]=[f(-1);f(1)].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g \text{ réalise une bijection de }[-1;1] \text{ sur l'intervalle }K=[g(-1);g(1)]=[f(-1);f(1)].)
=\dfrac{e^1}{1+e^1}=\dfrac{e}{1+e} \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip f(-1)=\dfrac{e^{-1}}{1+e^{-1}}=\dfrac{1}{1+e})
![K=\left[\dfrac{1}{1+e};\dfrac{e}{1+e}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K=\left[\dfrac{1}{1+e};\dfrac{e}{1+e}\right])
![\boxed{g \text{ réalise une bijection de }[-1;1] \text{ sur }K=\left[\dfrac{1}{1+e};\dfrac{e}{1+e}\right] }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{g \text{ réalise une bijection de }[-1;1] \text{ sur }K=\left[\dfrac{1}{1+e};\dfrac{e}{1+e}\right] })
![0\in[-1;1]\text{ , donc }g(0)=f(0)=\dfrac{e^0}{e^0+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0\in[-1;1]\text{ , donc }g(0)=f(0)=\dfrac{e^0}{e^0+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2})
=\dfrac{1}{2}})
![[-1;1]\text{ , donc }g\text{ est dérivable en }0\enskip\enskip(I)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[-1;1]\text{ , donc }g\text{ est dérivable en }0\enskip\enskip(I))
=f'(0)=\dfrac{f(0)}{1+e^0}=\dfrac{f(0)}{2}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{4} \Longrightarrow g'(0)\neq 0\enskip\enskip (II) )
\text{ et }(II)\text{ : })
=\dfrac{1}{2}})
'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{g'(0)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4)
'\left(\dfrac{1}{2}\right)=4})
, de la partie de )
et l'axe des abscisses et les droites d'équation 
et 
est en unité d'aire (UA) :
|\text{ d}x=\displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\text{ d}x)
![x\in [-1;1]\text{ : }|f(x)|=f(x) \text{ , car pour tout réel }x\text{ , }f(x)>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in [-1;1]\text{ : }|f(x)|=f(x) \text{ , car pour tout réel }x\text{ , }f(x)>0)
![\begin{matrix} A&=& \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{e^x}{1+e^x}\text{ d}x \\\\&=& \displaystyle \int_{-1}^{1}\dfrac{(1+e^x)'}{1+e^x}\text{ d}x &=& \left[\ln|1+e^x|\right]_{-1}^{1} & \left(\text{Puisque: }\forall x\in\R\text{ , }1+e^x>0\right)\\ \\&=& \left[\ln(1+e^x)\right]_{-1}^{1} &=&\ln(1+e)-\ln(1+e^{-1})\\\\&=& \ln\left(\dfrac{1+e}{1+e^{-1}}\right)&=& \ln\left(\dfrac{e(e^{-1}+1)}{1+e^{-1}}\right)\\\\&=& \ln e&=& 1\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix} A&=& \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle \int_{-1}^{1} \dfrac{e^x}{1+e^x}\text{ d}x \\\\&=& \displaystyle \int_{-1}^{1}\dfrac{(1+e^x)'}{1+e^x}\text{ d}x &=& \left[\ln|1+e^x|\right]_{-1}^{1} & \left(\text{Puisque: }\forall x\in\R\text{ , }1+e^x>0\right)\\ \\&=& \left[\ln(1+e^x)\right]_{-1}^{1} &=&\ln(1+e)-\ln(1+e^{-1})\\\\&=& \ln\left(\dfrac{1+e}{1+e^{-1}}\right)&=& \ln\left(\dfrac{e(e^{-1}+1)}{1+e^{-1}}\right)\\\\&=& \ln e&=& 1\end{matrix})
})
, donc: 
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