Fiche de mathématiques
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Bac Guinée 2022

Sciences Mathématiques

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Durée : 4 heures
Coefficient : 4

5 points

exercice 1

Soit la suite (U_n)_{n\in\N^{*}} définie par : \begin{cases}U_1=\dfrac{5}{2} \\\forall n\in\N^{*}\text{ ; }U_{n+1}=3-\dfrac{n}{2(n+1)}\times(3-U_n)\end{cases} .

1) Prouver que \forall n\in\N^{*}\text{ ; }U_n<3 .

2-a) Justifier que : U_{n+1}-U_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}\times(3-U_n) .
b) Etudier ainsi la monotonie de (U_n) .

3) Montrer que (U_n) est convergente .

4) On pose V_n=n(3-U_n)\text{ où }n\in\N^{*} .
a) Prouver que (V_n) est une suite géométrique .
b) Calculer V_n en fonction de n .

5-a) En déduire le terme général de (U_n) .
b) Calculer ainsi la limite de (U_n) .
4 points

exercice 2

Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement : une filière A , une filière B et une filière C .
Chaque étudiant de l'université est inscrit dans une des trois filières et une seule .
Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B . Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C .
On sait que :

30\% des étudiants de la filière A sont des filles .
25\% des étudiants de la filière B sont des filles .
35\% des étudiants de la filière C sont des filles .

On choisit au hasard un étudiant de cette université .

On note A l'évènement : "L'étudiant est inscrit dans la filière A" . De même pour B et C .

On note F l'évènement : "L'étudiant est une fille" .

1) Calculer les probabilités des évènements A,B\text{ et }C .

2) Calculer les probabilités : P_A(F)\text{ ; }P_A(\bar{F})\text{ ; }P_B(F)\text{ ; }P_B(\bar{F})\text{ ; }P_C(F)\text{ et }P_C(\bar{F}) .

3) Calculer les probabilités des évènements : F\cap A\text{ ; }F\cap B\text{ et }F\cap C .

4) Calculer la probabilité que l'étudiant soit une fille . En déduire celle d'être un garçon .

5) Calculer la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A sachant que c'est une fille .

6) L'étudiant , choisi au hasard , n'est pas inscrit dans la filière A . Calculer alors la probabilité que ce soit une fille .

11 points

probleme

Le but du problème est d'étudier la fonction f définie par : \begin{cases} \forall x\in]0;1[\cup ]1;+\infty[ \text{ ; }f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\times\ln x .\\f(0)=0\text{ et}f(1)=1\end{cases} .
On notera (C) la courbe représentative de f relativement à un repère orthonormé (O,I,J) d'unité 5cm .

Partie A :

On considère la fonction g dérivable sur ]0;+\infty[ et définie par : g(x)=(x-2)\ln x+(x-1) .

1) Démontrer que pour tout réel x élément de ]0;+\infty[ \text{ : }g'(x)=\dfrac{2(x-1)}{x}+\ln x .

2) Etudier le sens de variation de g , puis dresser son tableau de variation .

3) Déduire de 2) que g(x) est positif pour tout réel x élément de ]0;+\infty[ .

Partie B :

1-a) Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) .
b) Démontrer que f est continue à droite en 0 , et continue en 1 .
c) Calculer le nombre dérivé de f à droite en 0 .
Donner une interprétation graphique de ce résultat .
d) On admettra ici que f est dérivable en 1 et que : f\,' (1)=\dfrac{3}{2} .
En déduire une équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 .

2-a) On admettra ici que f est dérivable sur ]0;1[\cup]1;+\infty[ .
Démontrer que pour tout réel x appartenant à ]0;1[\cup]1;+\infty[ \text{ ; }f'(x)=\dfrac{x}{(x-1)^2}\times g(x) .
b) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation .
c) Démontrer que pour tout réel x appartenant à [0;1]\text{ , on a : }0\leq f(x)\leq 1 .
d) Dans le repère (O,I,J) , tracer la demi-tangente à (C) au point O , la tangente à (C) au point B de coordonnées (1;1) et la courbe (C) .
On donne : \ln 2\approx 0,69 \text{ ; }\ln 3\approx 1,1 .

Partie C :

1) Pour tout réel \alpha appartenant à \left]0;\dfrac{1}{2}\right[ , on considère l'intégrale A(\alpha) telle que A(\alpha)=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}\dfrac{t^2}{t-1}\ln t\text{ d}t .
On note A la limite de A(\alpha) quand \alpha tend vers \dfrac{1}{2} par valeurs inférieures .
Que représente géométriquement le nombre A ?

2-a)Démontrer que la fonction H_n , définie pour tout entier naturel non nul n sur ]0;+\infty[ par : H_n(t)=\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)}\times\left(\ln t -\dfrac{1}{n+1}\right)
est une primitive de la fonction t\mapsto t^n\times\ln t \text{ sur }]0;+\infty[ .
b) Soit \alpha dans \left]0;\dfrac{1}{2}\right[ . Pour tout entier naturel non nul n , on pose I_n(\alpha)=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^n\ln t\text{ d}t \text{ et }I_n=\lim_{\alpha\to\left(\frac{1}{2}\right)^{-}} I_n(\alpha) . Calculer I_n(\alpha) et déduire que I_n=-\dfrac{1}{(n+1)^2} .

3) Pour tout réel t différent de 1 , et pour tout entier naturel non nul n , calculer la somme : t^2+t^3+\cdots+t^{n+1} (Somme des n premiers termes d'une suite géométrique) .
Démontrer que \dfrac{t^2}{t-1}=-t^2-t^3-\cdots-t^{n+1}+\dfrac{t^{n+2}}{t-1} et que A(\alpha)=-I_2(\alpha)-I_3(\alpha)-\cdots-I_{n+1}(\alpha)+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^nf(t)\text{ d}t .







exercice 1

1) Montrons par récurrence que pour tout n\in\N^*\text{ : }U_n<3

Initialisation : Pour n=1\text{ , on a }U_1=\dfrac{5}{2}<3
La proposition est vérifiée pour n=1

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain n\in\N^* \text{ , } U_n<3\text{ , } montrons alors qu'on a aussi U_{n+1}<3

On a U_{n+1}=3-\dfrac{n}{2(n+1)}\times(3-U_n)\enskip\iff\enskip 3- U_{n+1}=\dfrac{n}{2(n+1)}\times(3-U_n)

Et on sait que , pour n\in\N^* \text{ : } 0<\dfrac{n}{2(n+1)}\enskip\enkip\text{ , et d'après l'hypothèse }\enskip\enskip U_n<3\text{ , donc }\enskip\enskip 0<3-U_n

Il s'ensuit que 0<3-U_{n+1} , par conséquent\text{ : }U_{n+1}<3

Conclusion : On conclut par récurrence que :
\boxed{\forall n\in\N^*\text{ : }U_n<3}


2-a) On a pour tout entier naturel non nul n\text{ : }

\begin{matrix} U_{n+1}-U_n&=& 3-\dfrac{n}{2(n+1)}\times(3-U_n)-U_n &=& (3-U_n)-\dfrac{n}{2(n+1)}\times(3-U_n) \\\\&=& (3-U_n)\left(1-\dfrac{n}{2(n+1)}\right) &=& (3-U_n) \times\dfrac{2n+2-n}{2(n+1)}\\\\&=&  \boxed{\dfrac{n+2}{2(n+1)}\times (3-U_n)}\end{matrix}

b) On a :
\forall n\in\N^*\text{ : } U_{n+1}-U_n=\dfrac{n+2}{2(n+1)}\times (3-U_n)


Et puisque pour tout n\in\N^*\text{ : } 0<\dfrac{n+2}{2(n+1)}\enskip\text{ et }\enskip U_n<3\enskip \text{ ( ou encore }0<3-U_n\text{)}

Donc :
\boxed{\forall n\in\N^*\text{ : } 0<U_{n+1}-U_n}


On conclut que :
\boxed{\text{ La suite }(U_n)\text{ est strictement croissante }}


3) On a vu que :

(U_n) est une suite strictement croissante .

(U_n) est une suite majorée par 3 .

Donc :
\boxed{\text{ La suite }(U_n)\text{ est convergente }}


4-a) On a pour tout n \text{ de }\N^*\text{ : }

\begin{matrix}V_{n+1}&=& (n+1)(3-U_{n+1})&=&(n+1)\left(\dfrac{n}{2(n+1)}\times(3-U_n)\right)\\\\&=&\dfrac{1}{2} \times n(3-U_n) &=& \dfrac{1}{2}V_n \end{matrix}

D'où :
\boxed{\forall n\in\N^*\text{ : }V_{n+1}=\dfrac{1}{2}V_n}


Et donc :
\boxed{\text{ La suite }(V_n)\text{ est une suite géométrique de raison }q=\dfrac{1}{2}}


b) La raison de la suite géométrique (V_n) est q=\dfrac{1}{2} , calculons son premier terme :

V_1=1\times (3-U_1)=3-\dfrac{5}{2}=\dfrac{6-5}{2}=\dfrac{1}{2}


On en déduit :

\forall n\in\N^*\text{ : }V_n=V_1 \enskip q^{n-1}=\dfrac{1}{2}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1} =\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}

Conclusion :

\boxed{\forall n\in\N^*\text{ : }V_n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}


5-a) On a , pour tout entier naturel n non nul :

\begin{matrix}V_n=n(3-U_n)&\iff& \dfrac{V_n}{n}=3-U_n &\iff& U_n=3-\dfrac{V_n}{n} &\iff& U_n=3-\dfrac{1}{n}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} \end{matrix}

\boxed{\forall n\in\N^*\text{ : }U_n=3-\dfrac{1}{n}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}


b) Comme -1<\dfrac{1}{2}<1 , alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0

De plus , on sait que \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0

On obtient :
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}U_n=\lim_{n\to+\infty} 3-\dfrac{1}{n}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}=3-0\times 0 \iff \boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}U_n=3}


exercice 2

1) Puisque il y a trois orientations et trois seulement : la filière A , la filière B et la filière C , alors :

P(A)+P(B)+P(C)=1


De plus , les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B et les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C , alors :

P(B)=3P(C)\enskip\enskip\text{ et } \enskip \enskip P(A)=2P(B)=6P(C)


On obtient donc :
6P(C)+3P(C)+P(C)=1 \iff 10P(C)=1 \iff \boxed{P(C)=\dfrac{1}{10}}


D'où :
P(B)=3P(C)\iff \boxed{P(B)=\dfrac{3}{10}} \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip  P(A)=6P(C)=\dfrac{6}{10}\iff \boxed{P(A)=\dfrac{3}{5}}


2) Calcul de P_A(F)\text{ et de }P_A(\bar{F})\text{ : }

On a P_A(F)=\dfrac{P(F\cap A)}{P(A)}\enskip\enskip\text{ et } 30\% \text{ des étudiants de la filière A sont des filles }\enskip\text{ , donc }\enskip P(F\cap A)=\dfrac{3}{10}P(A)

D'où :
P_A(F)=\dfrac{P(F\cap A)}{P(A)}=\dfrac{3}{10}\times\dfrac{P(A)}{P(A)}\iff \boxed{P_A(F)=\dfrac{3}{10}}


Ensuite :
P_A(\bar{F})=1-P_A(F)=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{10-3}{10} \iff \boxed{P_A(\bar{F})=\dfrac{7}{10}}



Calcul de P_B(F)\text{ et de }P_B(\bar{F})\text{ : }

On a P_B(F)=\dfrac{P(F\cap B)}{P(B)}\enskip\enskip\text{ et } 25\% \text{ des étudiants de la filière B sont des filles }\enskip\text{ , donc }\enskip P(F\cap B)=\dfrac{25}{100}P(B)=\dfrac{1}{4}P(B)

D'où :
P_B(F)=\dfrac{P(F\cap B)}{P(B)}=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{P(B)}{P(B)}\iff \boxed{P_B(F)=\dfrac{1}{4}}


Ensuite :
P_B(\bar{F})=1-P_B(F)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4-1}{4} \iff \boxed{P_B(\bar{F})=\dfrac{3}{4}}



Calcul de P_C(F)\text{ et de }P_C(\bar{F})\text{ : }

On a P_C(F)=\dfrac{P(F\cap C)}{P(C)}\enskip\enskip\text{ et } 35\% \text{ des étudiants de la filière C sont des filles }\enskip\text{ , donc }\enskip P(F\cap C)=\dfrac{35}{100}P(C)=\dfrac{7}{20}P(C)

D'où :
P_C(F)=\dfrac{P(F\cap C)}{P(C)}=\dfrac{7}{20}\times\dfrac{P(C)}{P(C)}\iff \boxed{P_C(F)=\dfrac{7}{20}}


De plus :
P_C(\bar{F})=1-P_C(F)=1-\dfrac{7}{20}=\dfrac{20-7}{20} \iff \boxed{P_C(\bar{F})=\dfrac{13}{20}}


3) Dirtectement , d'après ce qui précède :

 P(F\cap A)=\dfrac{3}{10}P(A) = \dfrac{3}{10}\times \dfrac{3}{5} \iff \boxed{P(F\cap A)=\dfrac{9}{50}}

 P(F\cap B)=\dfrac{1}{4}P(B) = \dfrac{3}{10}\times \dfrac{1}{4} \iff \boxed{P(F\cap B)=\dfrac{3}{40}}

 P(F\cap C)=\dfrac{7}{20}P(C) = \dfrac{7}{20}\times \dfrac{1}{10} \iff \boxed{P(F\cap C)=\dfrac{7}{200}}

4) La fille choisie peut être dans la filière A , ou bien dans la filière B ou encore dans la filière C , donc , la probabilité que l'étudiant soit une fille est :

\begin{matrix}P(F)&=&P(F\cap A)+P(F\cap B)+P(F\cap C)&=&\dfrac{9}{50}+\dfrac{3}{40}+\dfrac{7}{200}\\\\&=&\dfrac{9\times 4+3\times 5+7 }{200}&=&\dfrac{36+15+7}{200}\\\\&=&\dfrac{58}{200}&=&\dfrac{29}{100}\end{matrix}

\boxed{P(F)=\dfrac{29}{100}}


Et on en déduit la probabilité que l'étudiant soit un garçon :

P(\bar{F})=1-P(F)=1-\dfrac{29}{100}\iff \boxed{P(\bar{F})=\dfrac{71}{100}}


5) Calculons la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A sachant que c'est une fille :

P_F(A)=\dfrac{P(A\cap F)}{P(F)}=\dfrac{9}{50} \times \dfrac{100}{29} = \dfrac{9\times 2 }{29}\iff \boxed{P_F(A)=\dfrac{18}{29}}


6) La probabilité que l'étudiant est une fille sachant qu'il n'est pas inscrit dans la filière A est :

P_{\bar{A}}(F)=\dfrac{P(\bar{A}\cap F)}{P(\bar{A})}


Calculons P(\bar{A}) \enskip\text{ : } \enskip P(\bar{A})=1-P(A)=1-\dfrac{3}{5}\iff \boxed{P(\bar{A})=\dfrac{2}{5}}

De plus , Si l'étudiant n'est pas inscrit dans la filière A , alors il est nécessairement inscrit soit dans la filière B , soit dans la filière C , alors : \bar{A}=B\cup C

Il s'ensuit que : \bar{A}\cap F= (B\cup C)\cap F = (B\cap F)\cup (C\cap F) , d'où :

\begin{matrix} P(\bar{A}\cap F)&=& P(B\cap F)+P(C\cap F)&=&\dfrac{3}{40}+\dfrac{7}{200}&=& \dfrac{15+7}{200}&=&\dfrac{22}{200}\end{matrix}\iff \boxed{P(\bar{A}\cap F)=\dfrac{11}{100}}

On obtient la probabilité demandée :

P_{\bar{A}}(F)=\dfrac{P(\bar{A}\cap F)}{P(\bar{A})}=\dfrac{11}{100}\times \dfrac{5}{2} = \dfrac{11}{20\times 2}\iff \boxed{P_{\bar{A}}(F)=\dfrac{11}{40}}


probleme

Partie A

On considère la fonction g dérivable sur ]0;+\infty[ et définie par : g(x)=(x-2)\ln x+(x-1) .

1) La fonction g est dérivable qur ]0;+\infty[\text{ , alors pour tout réel }x\in]0;+\infty[\text{ : }

\begin{matrix}g'(x)&=&\left((x-2)\ln x+(x-1)\right)'&=& (x-2)'\ln x+(x-2)\left(\ln x\right)'+(x-1)' &=& \ln x+\dfrac{x-2}{x}+1\\\\&=& \dfrac{x-2+x}{x}+\ln x &=& \dfrac{2x-2}{x}+\ln x &=&\boxed{\dfrac{2(x-1)}{x}+\ln x}\end{matrix}

2) La fonction dérivée g' est la somme de :

La fonction \ln qui est continue et strictement croissante sur ]0;+\infty[ .

La fonction homograhique x\mapsto \dfrac{2x-2}{x} , qui est de la forme x\mapsto \dfrac{ax+b}{cx+d} , avec a=2\text{ , }b=-2\text{ , }c=1\text{ et }d=0 .
Cette fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0;+\infty[\enskip\text{ car }\enskip ad-bc=2\times 0 -(-2)\times 1 = 2 >0

On en tire que :
La fonction dérivée g' est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0;+\infty[\enskip\blue (i) .


De plus , on sait que : \begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln x = +\infty \\\\ \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln x = -\infty\end{cases}\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \begin{cases}\displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{2x-2}{x}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{2x}{x}=2\\\\\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{2x-2}{x}=\dfrac{-2}{0^+}=-\infty\end{cases}

Donc
\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g'(x)=2+\infty=+\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^+}g'(x)=-\infty-\infty=-\infty\enskip\blue (ii)


On remarque aussi que : g'(1)=\dfrac{2(1-1)}{1}+\ln 1=0\enskip \blue (iii)

De \blue (i)\black\text{ , }\blue (ii)\black \text{ et }\blue (iii)\black \text{ , on dresse la tableau de variations de }g'\text{ : }

\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x       & 0  &&       &1&   &   +\infty    \\ \hline               & \dbarre& &&  &     &+\infty    \\           &\dbarre &&    & &\nearrow&  \\   g'                  & \dbarre&&&   0 &   & \\                    & \dbarre&& \nearrow&  &      &    \\                    & \dbarre& -\infty&&&        &    \\   \hline \end{array}


On en déduit que :

\begin{cases} \forall x\in]0;1[\text{ : }g'(x)<0 \\ g'(1)=0 \\ \forall x\in]1;+\infty[\text{ : }0<g'(x)\end{cases}


Ce qui veut dire que :

\boxed{\begin{cases} g\text{ est strictement décroissante sur }]0;1[\\ g\text{ est strictement croissante sur }]1;+\infty[ \end{cases}}


Enfin : g(1)=(1-2)\ln 1 +(1-1)=0+0=0

On dresse le tableau de variations de g :

\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x       & 0  &&       &1&   &   +\infty   \\ \hline            g'(x)   & \dbarre& &-& \barre{0} &   +  &   \\ \hline               & \dbarre& &&  &    &    \\            g  & \dbarre& &\searrow&  &    \nearrow &    \\                    & \dbarre&&&   0 &   &  \\   \hline \end{array}


Remarque :

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3)D'après ce qui précède , la fonction g admet sur l'intervalle ]0;+\infty[ un minimum en 1 , alors :

\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g(x)\geq g(1)=0


Conclusion :
\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }g(x)\geq 0}



Partie B


1-a) On a :

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{x-1}=\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{x}=\lim_{x\to +\infty}x=+\infty\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln x = +\infty

Donc :
\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x^2}{x-1}\times\ln x = +\infty }


b)
Continuité en 0 à droite :

On a \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x}{x-1}=\dfrac{0}{-1}=0 \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0

Donc : \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x^2}{x-1}\times\ln x =\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x}{x-1}\times(x\ln x)=0\iff \boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)= f(0)=0}

\boxed{f\text{ est continue à droite en }0}

Continuité en 1 :

On a \displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1 \enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to 1}x^2=1

Donc : \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2}{x-1}\times\ln x =\displaystyle\lim_{x\to 1}x^2\times \dfrac{\ln x}{x-1}=1\iff \boxed{\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)= f(1)=1}

On en déduit que :
\boxed{f\text{ est continue en }1}


c) Calculons le nombre dérivé de f à droite en  0 :

\begin{matrix}f'_d(0)&=&\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}&=&\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x)}{x}\\\\&=& \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x}{x-1}\ln x &=& \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{x\ln x}{x-1}\\\\&=& \dfrac{0}{-1}&=&0&&\left(\text{ en effet : }\displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x=0\right)\end{matrix}

\boxed{f'_d(0)=0}


interprétation graphique :

\boxed{\text{ La courbe }(C)\text{ admet une demi-tangente horizontale à droite en }0}


d)Un équation de la tangente à (C) au point d'abscisse 1 , qu'on note (T) , s'écrit :

(T)\text{ : }y=f'(1)(x-1)+f(1) \iff (T)\text{ : }y=\dfrac{3}{2}(x-1)+1 \iff \boxed{(T)\text{ : }y=\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}}


2-a) La fonction f est dérivable sur ]0;1[\cup]1;+\infty[ , alors pour tout réel x de ]0;1[\cup]1;+\infty[\text{ : }

\begin{matrix}f'(x)&=&\left(\dfrac{x^2}{x-1}\ln x\right)'&=&\left(\dfrac{x^2}{x-1}\right)'\ln x + \left(\dfrac{x^2}{x-1}\right)(\ln x)' \\\\&=& \dfrac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}\ln x + \dfrac{x^2}{x-1}\times\dfrac{1}{x}&=& \dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2}\ln x + \dfrac{x}{x-1} \\\\&=& \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\ln x +\dfrac{x}{x-1} &=& \dfrac{x}{(x-1)^2} \left[(x-2)\ln x+(x-1)\right]   \end{matrix}

Donc :

\boxed{\forall x\in ]0;1[\cup]1;+\infty[\text{ : }f'(x)= \dfrac{x}{(x-1)^2} \times  g(x)}


b) On a pour tout x\in ]0;1[\cup]1;+\infty[\text{ : }x>0\text{ et }(x-1)^2 > 0

De plus , d'après les résultats de la partie A \text{ , }\forall x\in ]0;1[\cup]1;+\infty[\text{ : }g(x)>0

On en déduit que :

\boxed{\forall x\in ]0;1[\cup]1;+\infty[\enskip \text{ : }\enskip f'(x)=\dfrac{x}{(x-1)^2}\times g(x)>0}


D'où :
\boxed{\text{La fonction }f\text{ est strictement croissante sur }]0;1[\cup]1;+\infty[}


Dressons le tableau de variations de f\text{ : }

\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x       & 0  &&       &1&   &   +\infty   \\ \hline            f'(x)   & & &+& \barre{3/2} &   +  &   \\ \hline               && &&  &    & +\infty   \\              & & &&  &    \nearrow &   \\      f       & & & &1&      &     \\                    && &\nearrow&    &   &  \\                    &0&&&    &   &   \\   \hline \end{array}


c) Puisque la fonction f est dérivable sur ]0;1[\cup]1;+\infty[ , et en particulier sur ]0;1[ , alors f est continue sur ]0;1[ .

De plus , on a vu que f est continue en 0 et en 1 , alors f est continue sur [0;1] .

Ensuite , d'après la question précédente , f est strictement croissante sur ]0;1[ . Donc :

\forall x\in[0;1]\enskip\text{ : }\enskip f(0)\leq f(x)\leq f(1) \enskip\enskip \iff \enskip\enskip \boxed{\forall x\in[0;1]\enskip\text{ : }\enskip 0\leq f(x)\leq 1 }

\left(\text{ En effet , }f(0)=0\text{ et }f(1)=1 \right)

d) Tout d'abord , étudions la branche infinie en +\infty\text{ : }

On a vu que \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)= +\infty , on calcule alors \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}\text{ : }

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{x-1}\times\ln x = \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x}{x}\times\ln x =\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\ln x=+\infty

Interprétation graphique :

\boxed{\text{ La courbe }(C)\text{ admet une branche parabolique de la direction celle de l'axe des ordonnées au voisinage de }+\infty}


Le tracé de la fonction f\text{ : }

Bac Guinée 2022 série SM : image 1



Partie C

1) Pour tout réel \alpha appartenant à \left]0;\dfrac{1}{2}\right[ , on a A(\alpha)=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}\dfrac{t^2}{t-1}\ln t\text{ d}t .

Et on a : A=\displaystyle\lim_{\alpha\to\frac{1}{2}^-}A(\alpha)=\displaystyle\lim_{\alpha\to\frac{1}{2}^-}\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}\dfrac{t^2}{t-1}\ln t\text{ d}t=\displaystyle\int_{0}^{1}\dfrac{t^2}{t-1}\ln t\text{ d}t=\displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\text{ d}t

Or , d'après la quastion 2-c) de la partie B , \forall x\in[0;1]\text{ : }f(x)\geq 0

Donc :
A= \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\text{ d}t=\displaystyle\int_{0}^{1}\left|f(t)\right|\text{ d}t


On en déduit que :

\boxed{\begin{matrix}A\text{ représente l'aire du domaine délimité par la courbe }(C) \text{ , l'axe des abscisses , }\\ \text{l'axe des ordonnées et la droite d'équation }x=1\text{ en unités d'aire (UA) }\end{matrix}}


2-a) la fonction H_n , définie pour tout n\in\N^* sur ]0;+\infty[ par : H_n(t)=\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)}\times\left(\ln t -\dfrac{1}{n+1}\right) , est une fonction dérivable sur cet intervalle comme produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle .

Donc , pour tout t\in]0;+\infty[\text{ : }

\begin{matrix}H_n'(t)&=&\left(\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)}\times\left(\ln t -\dfrac{1}{n+1}\right)\right)'&=&\left(\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)}\right)'\times\left(\ln t -\dfrac{1}{n+1}\right)+\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)}\times\left[\left(\ln t -\dfrac{1}{n+1}\right)\right]' \\\\&=& t^n\left(\ln t -\dfrac{1}{n+1}\right)+\dfrac{t^{n+1}}{(n+1)}\times\dfrac{1}{t}&=&t^n\left(\ln t -\dfrac{1}{n+1}\right)+\dfrac{t^{n}}{(n+1)}\\\\&=&t^n\left[\left(\ln t -\dfrac{1}{n+1}\right)+\dfrac{1}{(n+1)}\right]&=&t^n\left(\ln t-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}\right)\end{matrix}

Donc :
\boxed{\forall t\in]0;+\infty[\text{ : }H_n'(t)=t^n\times \ln t }


Ou encore :
\boxed{\text{La fonction }H_n \text{ est une primitive de la fonction }t\mapsto t^n\times \ln t \text{ sur }]0;+\infty[}


b) Pour tout entier naturel non nul n , calculons I_n(\alpha)\text{ : }

\begin{matrix} I_n(\alpha)&=&\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^n\ln t\text{ d}t \\\\&=& \displaystyle\left[H_n(t)\right]_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}\\\\&=& H_n\left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right)-H_n\left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right)\\\\&=& \dfrac{\left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right)^{n+1}}{(n+1)}\times\left(\ln \left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right)-\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right)^{n+1}}{(n+1)}\times\left(\ln \left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right) \\\\&=& \dfrac{1}{n+1}\left[\left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]-\left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]\right]    \end{matrix}

D'où :
\boxed{\forall n\in\N^{*}\text{ : }I_n(\alpha)=\dfrac{1}{n+1}\left[\left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]-\left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]\right] }


Calculons pour tout entier naturel non nul n\text{ , }I_n\text{ : }

\begin{matrix}I_n&=&\displaystyle \lim_{\alpha\to\left(\frac{1}{2}\right)^{-}} I_n(\alpha) \\\\&=&\displaystyle \lim_{\alpha\to\left(\frac{1}{2}\right)^{-}}\dfrac{1}{n+1}\left[\left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]-\left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]\right]\\\\&=&\underbrace{\displaystyle \lim_{\alpha\to\left(\frac{1}{2}\right)^{-}}\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]}_{\blue \zeta_1}\black -\underbrace{\displaystyle \lim_{\alpha\to\left(\frac{1}{2}\right)^{-}}\dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]}_{\red \zeta_2} \end{matrix}

Calcul de \blue \zeta_1

On a :

\begin{matrix}\blue \zeta_1\black &=& \displaystyle \lim_{\alpha\to\left(\frac{1}{2}\right)^{-}}\displaystyle \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}+\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]\\\\&=& \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]\\\\&=&\dfrac{1}{n+1}\times 1^{n+1}\left[\ln 1 -\dfrac{1}{n+1}\right]\\\\&=&-\dfrac{1}{(n+1)^2}\end{matrix}

Calcul de \red \zeta_2

Posons \beta=\dfrac{1}{2}-\alpha pour simplifier le calcul , donc , lorsque \alpha\to\dfrac{1}{2}^{-}\enskip\enskip\text{ , on a }\enskip\enskip \beta\to 0^{+}

\begin{matrix}\red \zeta_2\black &=& \displaystyle \lim_{\alpha\to\left(\frac{1}{2}\right)^{-}} \dfrac{1}{n+1}\left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right)^{n+1}\left[\ln \left(\dfrac{1}{2}-\alpha\right) -\dfrac{1}{n+1}\right]\\\\&=&\displaystyle \lim_{\beta\to 0^+} \dfrac{1}{n+1}\beta^{n+1}\left[\ln\beta -\dfrac{1}{n+1}\right]\\\\&=& \displaystyle \lim_{\beta\to 0^+} \dfrac{1}{n+1}\beta^{n}\left[\beta\ln\beta -\dfrac{\beta}{n+1}\right]\end{matrix}

Or , on sait que : \displaystyle \lim_{\beta\to 0^+} \beta^{n}=0\enskip\enskip\text{ , }\enskip\enskip \displaystyle \lim_{\beta\to 0^+} \beta\ln \beta= 0

Donc :

\begin{matrix}\red \zeta_2\black &=& \displaystyle \lim_{\beta\to 0^+} \dfrac{1}{n+1}\beta^{n}\left[\beta\ln\beta -\dfrac{\beta}{n+1}\right] &=& \dfrac{1}{n+1}\times 0 \times\left[ 0- \dfrac{0}{n+1}\right]&=& 0\end{matrix}

On conclut que :

\boxed{\forall n\in\N^*\text{ : }I_n=\blue \zeta_1\black +\red\zeta_2\black = -\dfrac{1}{(n+1)^2}}


3)
Calculons la somme t^2+t^3+\cdots+t^{n+1}\text{ pour tout }t\in\R\backslash\lbrace 1 \rbrace\text{ et pour tout }n\in\N^{*}\text{ : }

Puisque t\neq 0 , alors , pour tout n\in\N^{*} \text{ : }

\begin{matrix}t^2+t^3+\cdots+t^{n}+t^{n+1} &=& t^2\times\dfrac{1-t^{(n+1)-2+1}}{1-t}\\&=&\dfrac{t^2(1-t^n)}{1-t}\\&=&\dfrac{t^2-t^{n+2}}{1-t}\end{matrix}

\boxed{\forall t\in\R\backslash\lbrace 1 \rbrace\text{ , }\forall n\in\N^{*}\text{ : }t^2+t^3+\cdots+t^{n}+t^{n+1} =\dfrac{t^2-t^{n+2}}{1-t}}



Démontrons que \forall t\in\R\backslash\lbrace 1 \rbrace\text{ , }\forall n\in\N^{*}\text{ : }\dfrac{t^2}{t-1}=-t^2-t^3-\cdots-t^{n+1}+\dfrac{t^{n+2}}{t-1}

Pour tout t\in \R\backslash\lbrace 1 \rbrace\text{ et pour tout  }n\in \N^{*}\text{ : }

\begin{matrix}t^2+t^3+\cdots+t^{n}+t^{n+1} =\dfrac{t^2-t^{n+2}}{1-t}&\iff& t^2+t^3+\cdots+t^{n}+t^{n+1} =\dfrac{t^2}{1-t}-\dfrac{t^{n+2}}{1-t}\\&\iff&  t^2+t^3+\cdots+t^{n}+t^{n+1} +\dfrac{t^{n+2}}{1-t} =\dfrac{t^2}{1-t}\\&\iff&  -\left(t^2+t^3+\cdots+t^{n}+t^{n+1} +\dfrac{t^{n+2}}{1-t}\right) =-\dfrac{t^2}{1-t}\\&\iff&  -t^2-t^3-\cdots-t^{n}-t^{n+1} -\dfrac{t^{n+2}}{1-t}\right) =\dfrac{t^2}{t-1}\\&\iff&  -t^2-t^3-\cdots-t^{n}-t^{n+1} +\dfrac{t^{n+2}}{t-1}\right) =\dfrac{t^2}{t-1}\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\forall t\in\R\backslash\lbrace 1 \rbrace\text{ , }\forall n\in\N^{*}\text{ : }\dfrac{t^2}{t-1}=-t^2-t^3-\cdots-t^{n}-t^{n+1} +\dfrac{t^{n+2}}{t-1}\right) }


Démontrons que \forall t\in\R\backslash\lbrace 1 \rbrace\text{ , }\forall n\in\N^{*}\text{ : }A(\alpha)=-I_2(\alpha)-I_3(\alpha)-\cdots-I_{n+1}(\alpha)+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^nf(t)\text{ d}t

On a \forall t\in\R\backslash\lbrace 1 \rbrace\text{ , }\forall n\in\N^{*}\text{ : }

\begin{matrix}A(\alpha) &=& \displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}\dfrac{t^2}{t-1}\ln t\text{ d}t \\&=& \displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}\left(-t^2-t^3-\cdots-t^{n}-t^{n+1} +\dfrac{t^{n+2}}{t-1}\right)\times \ln t\text{ d}t  \\&=& -\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^2\times\ln t \text{ d}t-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^3\times\ln t \text{ d}t-\cdots-\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^{n+1}\times\ln t \text{ d}t +\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}\dfrac{t^{n+2}}{t-1}\times\ln t \text{ d}t \\&=&-I_2(\alpha)-I_3(\alpha)-\cdots-I_{n+1}(\alpha)+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^n\times \underbrace{\dfrac{t^{2}}{t-1}\times\ln t}_{f(t)} \text{ d}t\\&=&-I_2(\alpha)-I_3(\alpha)-\cdots-I_{n+1}(\alpha)+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^nf(t) \text{ d}t\end{matrix}

D'où :

\boxed{\forall t\in\R\backslash\lbrace 1 \rbrace\text{ , }\forall n\in\N^{*}\text{ : }A(\alpha)=-I_2(\alpha)-I_3(\alpha)-\cdots-I_{n+1}(\alpha)+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}-\alpha}^{\frac{1}{2}+\alpha}t^nf(t) \text{ d}}
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