2-a) Justifier que : .
b) Etudier ainsi la monotonie de .
3) Montrer que est convergente .
4) On pose .
a) Prouver que est une suite géométrique .
b) Calculer en fonction de .
5-a) En déduire le terme général de .
b) Calculer ainsi la limite de .
4 points
exercice 2
Une université propose aux étudiants trois orientations et trois seulement : une filière A , une filière B et une filière C .
Chaque étudiant de l'université est inscrit dans une des trois filières et une seule .
Les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B . Les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C .
On sait que :
des étudiants de la filière A sont des filles .
des étudiants de la filière B sont des filles .
des étudiants de la filière C sont des filles .
On choisit au hasard un étudiant de cette université .
On note l'évènement : "L'étudiant est inscrit dans la filière A" . De même pour et .
On note l'évènement : "L'étudiant est une fille" .
1) Calculer les probabilités des évènements .
2) Calculer les probabilités : .
3) Calculer les probabilités des évènements : .
4) Calculer la probabilité que l'étudiant soit une fille . En déduire celle d'être un garçon .
5) Calculer la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A sachant que c'est une fille .
6) L'étudiant , choisi au hasard , n'est pas inscrit dans la filière A . Calculer alors la probabilité que ce soit une fille .
11 points
probleme
Le but du problème est d'étudier la fonction définie par : .
On notera la courbe représentative de relativement à un repère orthonormé d'unité 5cm .
Partie A :
On considère la fonction dérivable sur et définie par : .
1) Démontrer que pour tout réel élément de .
2) Etudier le sens de variation de , puis dresser son tableau de variation .
3) Déduire de 2) que est positif pour tout réel élément de .
Partie B :
1-a) Calculer .
b) Démontrer que est continue à droite en , et continue en .
c) Calculer le nombre dérivé de à droite en .
Donner une interprétation graphique de ce résultat .
d) On admettra ici que est dérivable en et que : .
En déduire une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse .
2-a) On admettra ici que est dérivable sur .
Démontrer que pour tout réel appartenant à .
b) En déduire le sens de variation de et dresser son tableau de variation .
c) Démontrer que pour tout réel appartenant à .
d) Dans le repère , tracer la demi-tangente à au point , la tangente à au point de coordonnées et la courbe .
On donne : .
Partie C :
1) Pour tout réel appartenant à , on considère l'intégrale telle que .
On note la limite de quand tend vers par valeurs inférieures .
Que représente géométriquement le nombre ?
2-a)Démontrer que la fonction , définie pour tout entier naturel non nul sur par :
est une primitive de la fonction .
b) Soit dans . Pour tout entier naturel non nul , on pose . Calculer et déduire que .
3) Pour tout réel différent de , et pour tout entier naturel non nul , calculer la somme : (Somme des premiers termes d'une suite géométrique) .
Démontrer que et que .
Initialisation : Pour
La proposition est vérifiée pour
Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain montrons alors qu'on a aussi
On a
Et on sait que , pour
Il s'ensuit que , par conséquent
Conclusion : On conclut par récurrence que :
2-a) On a pour tout entier naturel non nul
b) On a :
Et puisque pour tout
Donc :
On conclut que :
3) On a vu que :
est une suite strictement croissante .
est une suite majorée par .
Donc :
4-a) On a pour tout
D'où :
Et donc :
b) La raison de la suite géométrique est , calculons son premier terme :
On en déduit :
Conclusion :
5-a) On a , pour tout entier naturel non nul :
b) Comme , alors
De plus , on sait que
On obtient :
exercice 2
1) Puisque il y a trois orientations et trois seulement : la filière A , la filière B et la filière C , alors :
De plus , les effectifs de la filière A sont le double de ceux de la filière B et les effectifs de la filière B sont le triple de ceux de la filière C , alors :
On obtient donc :
D'où :
2)Calcul de
On a
D'où :
Ensuite :
Calcul de
On a
D'où :
Ensuite :
Calcul de
On a
D'où :
De plus :
3) Dirtectement , d'après ce qui précède :
4) La fille choisie peut être dans la filière A , ou bien dans la filière B ou encore dans la filière C , donc , la probabilité que l'étudiant soit une fille est :
Et on en déduit la probabilité que l'étudiant soit un garçon :
5) Calculons la probabilité que l'étudiant soit inscrit dans la filière A sachant que c'est une fille :
6) La probabilité que l'étudiant est une fille sachant qu'il n'est pas inscrit dans la filière A est :
Calculons
De plus , Si l'étudiant n'est pas inscrit dans la filière A , alors il est nécessairement inscrit soit dans la filière B , soit dans la filière , alors :
Il s'ensuit que : , d'où :
On obtient la probabilité demandée :
probleme
Partie A
On considère la fonction dérivable sur et définie par : .
1) La fonction est dérivable qur
2) La fonction dérivée est la somme de :
La fonction qui est continue et strictement croissante sur .
La fonction homograhique , qui est de la forme , avec .
Cette fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle
On en tire que :
La fonction dérivée est continue et strictement croissante sur l'intervalle .
De plus , on sait que :
Donc
On remarque aussi que :
De
On en déduit que :
Ce qui veut dire que :
Enfin :
On dresse le tableau de variations de :
Remarque :
Cliquez pour afficher
On peut aussi dériver une seconde fois la fonction pour en déduire le sens de variation de la fonction dérivée sur l'intervalle .
3)D'après ce qui précède , la fonction admet sur l'intervalle un minimum en , alors :
Conclusion :
Partie B
1-a) On a :
Donc :
b) Continuité en 0 à droite :
On a
Donc :
Continuité en 1 :
On a
Donc :
On en déduit que :
c) Calculons le nombre dérivé de à droite en :
interprétation graphique :
d)Un équation de la tangente à au point d'abscisse , qu'on note , s'écrit :
2-a) La fonction est dérivable sur , alors pour tout réel de
Donc :
b) On a pour tout
De plus , d'après les résultats de la partie A
On en déduit que :
D'où :
Dressons le tableau de variations de
c) Puisque la fonction est dérivable sur , et en particulier sur , alors est continue sur .
De plus , on a vu que est continue en et en , alors est continue sur .
Ensuite , d'après la question précédente , est strictement croissante sur . Donc :
d) Tout d'abord , étudions la branche infinie en
On a vu que , on calcule alors
Interprétation graphique :
Le tracé de la fonction
Partie C
1) Pour tout réel appartenant à , on a .
Et on a :
Or , d'après la quastion 2-c) de la partie B ,
Donc :
On en déduit que :
2-a) la fonction , définie pour tout sur par : , est une fonction dérivable sur cet intervalle comme produit et somme de fonctions dérivables sur cet intervalle .
Donc , pour tout
Donc :
Ou encore :
b) Pour tout entier naturel non nul , calculons
D'où :
Calculons pour tout entier naturel non nul
Calcul de
On a :
Calcul de
Posons pour simplifier le calcul , donc , lorsque
Or , on sait que :
Donc :
On conclut que :
3) Calculons la somme
Puisque , alors , pour tout
Démontrons que
Pour tout
Conclusion :
Démontrons que
On a
D'où :
Publié par malou/Panter
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