Fiche de mathématiques

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Bac Guinée 2022

Sciences Sociales

Durée : 2 heures
Coefficient : 2
3 points

exercice 1

On considère la fraction : $F=\dfrac{1386}{3234}$ .

1) Déterminer le $PGCD$ des nombres $1386$ et $3234$ .

2) Rendre irréductible la fraction $F$ .

5 points

exercice 2

On considère le polynôme défini par : $P(x)=2x^3+7x^2+2x-3$ .

1) Vérifier que $P(x)=(x+1)(2x^2+5x-3)$ .

2) Résoudre dans $\R$ l'équation : $2x^3+7x^2+2x-3=0$ .

3) Résoudre les équations suivantes :
a) $2(\ln x)^3+7(\ln x)^2+2\ln x-3=0$
b) $\ln(2x+3)+\ln(x^2+2x+2)=\ln(8x+9)$

12 points

probleme

Le plan $P$ est rapporté à un repère orthonormal $(O,\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique : 2cm) , $E$ est le point de coordonnées $(\ln 2;\ln 2)$ .
On se propose d'étudier la fonction numérique $f$ définie pour tout nombre réel $x$ par : $f(x)=x+2-\dfrac{4e^x}{e^x+2}$ .

1) Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?

2) Montrer que , pour tout nombre réel $x \text{ , }f(x)=x-2+\dfrac{8}{e^x+2}$ .

3-a) En utilisant l'une des expressions de $f(x)$ , calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)\text{ et }\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .
b) Montrer que les droites $(D_1)$ d'équation $y=x-2$ et $(D_2)$ d'équation $y=x+2$ sont asymptotes à la courbe représentative $(C)$ de $f$ dans le plan $P$ .
Préciser la position de la courbe $(C)$ par rapport à chacune de ces droites .

4) Calculer la dérivée de $f$ , étudier son signe et en déduire le tableau de variation de $f$ .

5) Construire dans $P$ la courbe $(C)$ , sa tangente en $E$ et ses asymptotes .

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3 points

exercice 1

1. Cherchons le PGCD de 3234 et de 1386. Voici deux démonstrations (au choix).

${\white{w}}\bullet {\white{w}}$ Par l'algorithme d'Euclide

$\begin{matrix} 3234& = & 1386\times 2& + &462 \\ 1386& = & 462\times 3 & + & 0 \end{matrix}$
Le dernier reste non nul est 462. On en déduit : PGCD ( 3234 ; 1386 ) = 462.

${\white{w}}\bullet {\white{w}}$ Par une décomposition en facteurs premiers

$3234 = 2\times 3\times 7^2\times 11$
$1386 = 2\times 3^2\times 7\times 11$
On en déduit : PGCD ( 3234 ; 1386 ) = 2 multiplie

11 = 462.

2. $\text F=\dfrac{1386}{3234}=\dfrac{462\times 3}{462\times 7}=\dfrac 3 7\cdot$

5 points

exercice 2

1. Développons $(x+1)(2x^2+5x-3)$ .

$(x+1)(2x^2+5x-3)=2x^3+5x²-3x+2x²+5x-3=2x³+7x+2x-3=P(x)$ . On en conclut que $P(x)$ peut bien s'écrire :
$P(x)=(x+1)(2x^2+5x-3)$

2. a. Résoudre dans $\R$ l'équation : $2x^3+7x^2+2x-3=0$ .
En utilisant l'écriture démontrée à la question 1.

$2x^3+7x^2+2x-3=0\Longleftrightarrow (x+1)(2x^2+5x-3)=0 \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x+1& = &0 \\ & \text{ ou }& \\ 2x²+5x-3& = & 0 \end{matrix}\right.$

La seconde équation est une équation du second degré qui admet pour solutions 1 et $-\dfrac 3 2\;\cdot$

$2x^3+7x^2+2x-3=0\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x& = &-1 \\ & \text{ ou } & \\ x=1 &\text{ ou } &x=-\dfrac 3 2 \end{matrix}\right.$

Conclusion : L'équation $2x^3+7x^2+2x-3=0$ admet pour solution dans R l'ensemble $S=\left\lbrace -\dfrac3 2 \,;\,-1\,;\,1\,\right\rbrace\;\cdot$

$\white w$ b. Soit à résoudre dans R l'équation $2(\ln x)^3+7(\ln x)^2+2\ln x-3=0$

Cette équation n'a de sens que pour $x > 0\;\cdot$

Cette équation est celle résolue en a. dans laquelle l'inconnue $x$ serait remplacée par $\ln(x)\;\cdot$
On obtient $\ln(x)=-\dfrac 3 2 \text{ ou } \ln(x)=-1 \text{ ou } \ln(x) = 1$ ce qui donne : $x= \text e ^{-\frac 3 2} \text{ ou } x = \text e ^{-1} \text{ ou } x = \text e \,\cdot$

On remarque que ces trous valeurs sont bien strictement positives.
Conclusion : l'ensemble solution de cette équation est $S=\left\lbrace \text e ^{-\frac 3 2} \,;\,\text e ^{-1}\,;\,\text e\,\right\rbrace\;\cdot$

$\white w$ c. Soit à résoudre l'équation $\ln(2x+3)+\ln(x^2+2x+2)=\ln(8x+9)\,\cdot$

Cette équation n'a de sens que si $\left\lbrace\begin{matrix} & 2x+3& >& 0\\ \text{ et}& x²+2x+2 & >&0 \\ \text{et} & 8x+9 & >& 0 \end{matrix}\right.$

Remarque : $x²+2x+2=x³+2x+1+1=(x+1)²+1$ quantité toujours strictement positive.
Cette équation n'a de sens que si $x > -\dfrac 3 2$ et $x > -\dfrac 9 2$ ; donc sur $\left]-\dfrac 3 2 \,;\,}+\infty\right[.$

Résolvons cette équation sur $\left]-\dfrac 3 2 \,;\,}+\infty\right[.$

$\text{ Pour } x\in \left]-\dfrac 3 2 \,;\,}+\infty\right[\,, \ln(2x+3)+\ln(x^2+2x+2)=\ln(8x+9) \\ {\phantom{\text{ Pour } x\in \left]-\dfrac 3 2 \,;\,+\infty\right[\,, }} \ln(2x+3)(x²+2x+2)=\ln(8x+9) \\ {\phantom{\text{ Pour } x\in \left]-\dfrac 3 2 \,;\,+\infty\right[\,, }} (2x+3)(x²+2x+2)=8x+9 \\ {\phantom{\text{ Pour } x\in \left]-\dfrac 3 2 \,;\,+\infty\right[\,, }} 2x^3+7x²+2x-3=0$

Les solutions de cette équation sont : $-1\;; -\dfrac 3 2\;; 1$ mais seules -1 et 1 appartiennent à l'ensemble $\left]-\dfrac 3 2 \,;\,}+\infty\right[.$

L'ensemble solution de cette équation est donc $S=\left\lbrace -1 \,;\,1\,\right\rbrace\;\cdot$

12 points

probleme

1. La fonction $f$ est définie pour $\text e ^x + 2 \neq 0$ , ce qui est toujours vrai, donc $\mathcal D_f=\textbf R\,\cdot$

2. $x-2+\dfrac{8}{\text e^x+2}=x+2-4+\dfrac{8}{\text e^x+2}=x+2-\dfrac{4(\text e ^x + 2)+8}{\text e^x + 2}= x+2-\dfrac{4\text e ^x}{\text e ^x+2}=f(x)$

3. a. Limite en - . Choisissons la définition donnée dans l'énoncé.

$\lim\limits_{x\to -\infty}{\text e^x}=0$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}{\dfrac{4\text e^x}{\text e^x + 2}=0$ et $\lim\limits_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{x+2} =-\infty\,\cdot$

Limite en + . Choisissons la forme démontrée à la question 2.

$\lim\limits_{x\to +\infty}\text e ^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x\to + \infty} \dfrac{8}{\text e^x+2}=0$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{x-2} =+\infty\,\cdot$

$\white w$ b. En - infini

, $f(x)-(x+2)=-\dfrac{4\text e^x}{\text e^x + 2}$ dont la limite est 0 en - infini

donc : en - infini

, la droite d'équation $y=x+2$ est asymptote à la courbe. De plus cette différence étant toujours strictement négative, la courbe sera toujours en dessous de son asymtote.

En + infini

, $f(x)-(x-2)=\dfrac{8}{\text e^x + 2}$ dont la limite est 0 en + infini

donc : en + infini

, la droite d'équation $y=x-2$ est asymptote à la courbe. De plus cette différence étant toujours strictement positive, la courbe sera toujours au dessus de son asymptote.

4. Calcul de la dérivée. Choisissons la forme de $f(x)$ démontrée en 2.

La fonction $f$ est dérivable sur R comme somme et quotient de fonctions dérivables (dénominateur non nul). $f'(x)=1+8\times \dfrac{-\text e ^x}{(\text e ^x +2)^2}=\dfrac{(\text e ^x+2)^2-8\text e ^x}{(\text e ^x +2)^2}= \dfrac{(\text e ^x-2)^2}{(\text e ^x +2)^2}$

La dérivée s'annule pour $\text e ^x = 2$ soit $x = \ln (2)$ . Cette dérivée est toujours positive (quotient de carrés, avec dénominateur non nul).

${\white{wwwwwwww}}$

Remarque : $f(\ln(2))=\ln(2) - 2 + \dfrac{8}{2+2}=\ln(2)$ donc le point $E \left(\ln(2)\,;\ln(2)\right)$ est un point de la courbe. En ce point, la dérivée est nulle donc la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

Publié par malou/Panter le 20-08-2022

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