Fiche de mathématiques
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Bac Guinée 2022

Sciences Sociales

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Durée : 2 heures
Coefficient : 2

3 points

exercice 1

On considère la fraction : F=\dfrac{1386}{3234} .

1) Déterminer le PGCD des nombres 1386 et 3234 .

2) Rendre irréductible la fraction F .

5 points

exercice 2

On considère le polynôme défini par : P(x)=2x^3+7x^2+2x-3 .

1) Vérifier que P(x)=(x+1)(2x^2+5x-3) .

2) Résoudre dans \R l'équation : 2x^3+7x^2+2x-3=0 .

3) Résoudre les équations suivantes :
a) 2(\ln x)^3+7(\ln x)^2+2\ln x-3=0
b) \ln(2x+3)+\ln(x^2+2x+2)=\ln(8x+9)

12 points

probleme

Le plan P est rapporté à un repère orthonormal (O,\vec{i},\vec{j}) (unité graphique : 2cm) , E est le point de coordonnées (\ln 2;\ln 2) .
On se propose d'étudier la fonction numérique f définie pour tout nombre réel x par : f(x)=x+2-\dfrac{4e^x}{e^x+2} .

1) Quel est l'ensemble de définition de f ?

2) Montrer que , pour tout nombre réel x \text{ , }f(x)=x-2+\dfrac{8}{e^x+2} .

3-a) En utilisant l'une des expressions de f(x) , calculer \displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)\text{ et }\lim_{x\to+\infty}f(x) .
b) Montrer que les droites (D_1) d'équation y=x-2 et (D_2) d'équation y=x+2 sont asymptotes à la courbe représentative (C) de f dans le plan P .
Préciser la position de la courbe (C) par rapport à chacune de ces droites .

4) Calculer la dérivée de f , étudier son signe et en déduire le tableau de variation de f .

5) Construire dans P la courbe (C) , sa tangente en E et ses asymptotes .



3 points

exercice 1


1.   Cherchons le PGCD de 3234 et de 1386. Voici deux démonstrations (au choix).

{\white{w}}\bullet {\white{w}} Par l'algorithme d'Euclide

\begin{matrix} 3234& = & 1386\times 2& + &462 \\ 1386& = & 462\times 3 & + & 0 \end{matrix}
Le dernier reste non nul est 462. On en déduit : PGCD ( 3234 ; 1386 ) = 462.

{\white{w}}\bullet {\white{w}} Par une décomposition en facteurs premiers

3234 = 2\times 3\times 7^2\times 11
1386 = 2\times 3^2\times 7\times 11
On en déduit : PGCD ( 3234 ; 1386 ) = 2multiplie3multiplie7multiplie11 = 462.

2.   \text F=\dfrac{1386}{3234}=\dfrac{462\times 3}{462\times 7}=\dfrac 3 7\cdot

5 points

exercice 2


1. Développons  (x+1)(2x^2+5x-3).

(x+1)(2x^2+5x-3)=2x^3+5x²-3x+2x²+5x-3=2x³+7x+2x-3=P(x) . On en conclut que P(x) peut bien s'écrire :
P(x)=(x+1)(2x^2+5x-3)

2. a. Résoudre dans \R l'équation :  2x^3+7x^2+2x-3=0 .
En utilisant l'écriture démontrée à la question 1.

2x^3+7x^2+2x-3=0\Longleftrightarrow (x+1)(2x^2+5x-3)=0 \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x+1& = &0 \\ & \text{ ou }& \\ 2x²+5x-3& = & 0 \end{matrix}\right.

La seconde équation est une équation du second degré qui admet pour solutions 1 et -\dfrac 3 2\;\cdot

2x^3+7x^2+2x-3=0\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} x& = &-1 \\ & \text{ ou } & \\ x=1 &\text{ ou } &x=-\dfrac 3 2   \end{matrix}\right.

Conclusion : L'équation  2x^3+7x^2+2x-3=0  admet pour solution dans R l'ensemble  S=\left\lbrace -\dfrac3 2 \,;\,-1\,;\,1\,\right\rbrace\;\cdot

\white w b. Soit à résoudre dans R l'équation  2(\ln x)^3+7(\ln x)^2+2\ln x-3=0

Cette équation n'a de sens que pour x > 0\;\cdot

Cette équation est celle résolue en a. dans laquelle l'inconnue x serait remplacée par \ln(x)\;\cdot
On obtient \ln(x)=-\dfrac 3 2 \text{ ou } \ln(x)=-1 \text{ ou } \ln(x) = 1   ce qui donne :   x= \text e ^{-\frac 3 2} \text{ ou } x = \text e ^{-1} \text{ ou } x = \text e \,\cdot

On remarque que ces trous valeurs sont bien strictement positives.
Conclusion : l'ensemble solution de cette équation est  S=\left\lbrace \text e ^{-\frac 3 2}  \,;\,\text e ^{-1}\,;\,\text e\,\right\rbrace\;\cdot


\white w c. Soit à résoudre l'équation  \ln(2x+3)+\ln(x^2+2x+2)=\ln(8x+9)\,\cdot

Cette équation n'a de sens que si  \left\lbrace\begin{matrix} & 2x+3& >& 0\\ \text{ et}& x²+2x+2 & >&0 \\ \text{et} & 8x+9 & >& 0 \end{matrix}\right.

Remarque :  x²+2x+2=x³+2x+1+1=(x+1)²+1 quantité toujours strictement positive.
Cette équation n'a de sens que si x > -\dfrac 3 2 et x > -\dfrac 9 2  ; donc sur  \left]-\dfrac 3 2 \,;\,}+\infty\right[.

Résolvons cette équation sur \left]-\dfrac 3 2 \,;\,}+\infty\right[.

\text{ Pour } x\in \left]-\dfrac 3 2 \,;\,}+\infty\right[\,, \ln(2x+3)+\ln(x^2+2x+2)=\ln(8x+9)  \\  {\phantom{\text{ Pour } x\in \left]-\dfrac 3 2 \,;\,+\infty\right[\,, }} \ln(2x+3)(x²+2x+2)=\ln(8x+9) \\  {\phantom{\text{ Pour } x\in \left]-\dfrac 3 2 \,;\,+\infty\right[\,, }} (2x+3)(x²+2x+2)=8x+9 \\  {\phantom{\text{ Pour } x\in \left]-\dfrac 3 2 \,;\,+\infty\right[\,, }} 2x^3+7x²+2x-3=0

Les solutions de cette équation sont : -1\;; -\dfrac 3 2\;; 1 mais seules -1 et 1 appartiennent à l'ensemble \left]-\dfrac 3 2 \,;\,}+\infty\right[.

L'ensemble solution de cette équation est donc  S=\left\lbrace -1  \,;\,1\,\right\rbrace\;\cdot

12 points

probleme


1.  La fonction f est définie pour  \text e ^x + 2 \neq 0 , ce qui est toujours vrai, donc \mathcal D_f=\textbf R\,\cdot

2.  x-2+\dfrac{8}{\text e^x+2}=x+2-4+\dfrac{8}{\text e^x+2}=x+2-\dfrac{4(\text e ^x + 2)+8}{\text e^x + 2}=  x+2-\dfrac{4\text e ^x}{\text e ^x+2}=f(x)

3. a.  Limite en - infini. Choisissons la définition donnée dans l'énoncé.

\lim\limits_{x\to -\infty}{\text e^x}=0 donc \lim\limits_{x\to -\infty}{\dfrac{4\text e^x}{\text e^x + 2}=0 et \lim\limits_{x\to -\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{x+2} =-\infty\,\cdot

Limite en + infini . Choisissons la forme démontrée à la question 2.

\lim\limits_{x\to +\infty}\text e ^x = +\infty donc \lim\limits_{x\to + \infty} \dfrac{8}{\text e^x+2}=0 et \lim\limits_{x\to +\infty}{f(x)}=\lim\limits_{x\to -\infty}{x-2} =+\infty\,\cdot

\white w b.  En -infini , f(x)-(x+2)=-\dfrac{4\text e^x}{\text e^x + 2} dont la limite est 0 en - infini donc : en - infini, la droite d'équation y=x+2 est asymptote à la courbe. De plus cette différence étant toujours strictement négative, la courbe sera toujours en dessous de son asymtote.

En +infini , f(x)-(x-2)=\dfrac{8}{\text e^x + 2} dont la limite est 0 en + infini donc : en + infini, la droite d'équation y=x-2 est asymptote à la courbe. De plus cette différence étant toujours strictement positive, la courbe sera toujours au dessus de son asymptote.

4.   Calcul de la dérivée. Choisissons la forme de  f(x)   démontrée en 2.

La fonction  f  est dérivable sur R comme somme et quotient de fonctions dérivables (dénominateur non nul). f'(x)=1+8\times \dfrac{-\text e ^x}{(\text e ^x +2)^2}=\dfrac{(\text e ^x+2)^2-8\text e ^x}{(\text e ^x +2)^2}=  \dfrac{(\text e ^x-2)^2}{(\text e ^x +2)^2}

La dérivée s'annule pour  \text e ^x = 2  soit  x = \ln (2). Cette dérivée est toujours positive (quotient de carrés, avec dénominateur non nul).

{\white{wwwwwwww}}
Bac Guinée 2022 série SS : image 4


Remarque :  f(\ln(2))=\ln(2) - 2 + \dfrac{8}{2+2}=\ln(2)  donc le point  E \left(\ln(2)\,;\ln(2)\right)  est un point de la courbe. En ce point, la dérivée est nulle donc la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.

Bac Guinée 2022 série SS : image 6
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