Fiche de mathématiques

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Épreuve d'enseignement de spécialité

Session 2022

Liban (1)

MATHÉMATIQUES

Durée : 4 heures

L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.

Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.

7 points

exercice 1

Principaux domaines abordés : probabilités.

Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur :
- un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans ;
- un forfait SÉNIOR pour les autres.
Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge, l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées mécaniques.

On admet que :
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ 20% des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ 80 % des skieurs ont un forfait SÉNIOR ;
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6% choisissent l'option coupe-file ;
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, 12,5% choisissent l'option coupe-file.

On interroge un skieur au hasard et on considère les événements :
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ J : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ C : « le skieur choisit l'option coupe-file ».

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A

1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité $P( J \cap C)$ .
3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,112.
4. Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à 10 ^-3 .
5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,112.
On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file.

1. On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à 10 ^-3 .
3. Calculer la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file. Arrondir le résultat à 10 ^-3 .
4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.

7 points

exercice 2

Principaux domaines abordés : suites, fonctions, fonction logarithme.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

1. Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15%.
Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?

${\white{wi}}\textbf{a. }{\white{w}}$ 2 heures
${\white{wi}}\textbf{b. }{\white{w}}$ 8 heures
${\white{wi}}\textbf{c. }{\white{w}}$ 9 heures
${\white{wi}}\textbf{d. }{\white{w}}$ 13 heures

2. On considère la suite (u_n ) définie pour tout entier naturel n par $u_{n+1}=\frac 1 2 u_n + 3$ et u₀ = 6. On peut affirmer que :

${\white{wi}}\textbf{a. }{\white{w}}$ la suite (u_n ) est strictement croissante.
${\white{wi}}\textbf{b. }{\white{w}}$ la suite (u_n ) est strictement décroissante.
${\white{wi}}\textbf{c. }{\white{w}}$ la suite (u_n ) n'est pas monotone.
${\white{wi}}\textbf{d. }{\white{w}}$ la suite (u_n ) est constante.

3. On considère la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par $f(x)=4\ln (3x).$
Pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + infini

[ , on a :

${\white{wi}}\textbf{a. }{\white{w}}$ $f(2x)=f(x)+\ln (24)$
${\white{wi}}\textbf{b. }{\white{w}}$ $f(2x)=f(x)+\ln(16)$
${\white{wi}}\textbf{c. }{\white{w}}$ $f(2x)=\ln(2) + f(x)$
${\white{wi}}\textbf{d. }{\white{w}}$ $f(2x)=2f(x)$

4. On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]1 ; + infini

[ par :
$g(x)=\dfrac{\ln (x)}{x-1}$

On note C_g la courbe représentative de la fonction g dans un repère orthogonal.
La courbe C_g admet :

${\white{wi}}\textbf{a. }{\white{w}}$ une asymptote verticale et une asymptote horizontale.
${\white{wi}}\textbf{b. }{\white{w}}$ une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
${\white{wi}}\textbf{c. }{\white{w}}$ aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.
${\white{wi}}\textbf{d. }{\white{w}}$ aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction h définie sur l'intervalle ]0 ; 2] par :

$h(x)=x²(1+2\ln(x)).$

On note C_h la courbe représentative de h dans un repère du plan.
On admet que h est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 2].
On note h ' sa dérivée et h '' sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; 2], on a :

$h'(x)=4x(1+\ln(x)).$

5. Sur l'intervalle $\left[ \dfrac{1}{\text e }\,;\,2\right]$ , la fonction h s'annule :

${\white{wi}}\textbf{a. }{\white{w}}$ exactement 0 fois.
${\white{wi}}\textbf{b. }{\white{w}}$ exactement 1 fois.
${\white{wi}}\textbf{c. }{\white{w}}$ exactement 2 fois.
${\white{wi}}\textbf{d. }{\white{w}}$ exactement 3 fois.

6. Une équation de la tangente à C_h au point d'abscisse racine

e est :

${\white{wi}}\textbf{a. }{\white{w}}$ $y=\left(6\text e ^{\dfrac 1 2 }\right)\times x$
${\white{wi}}\textbf{b. }{\white{w}}$ $y=(6\sqrt{\text e})\times x +2\text e$
${\white{wi}}\textbf{c. }{\white{w}}$ $y=6\text e ^{\dfrac x 2 }$
${\white{wi}}\textbf{d. }{\white{w}}$ $y=\left(6\text e ^{\dfrac 1 2 }\right)\times x - 4\text e$

7. Sur l'intervalle ]0 ; 2], le nombre de points d'inflexion de la courbe C_h est égal à :

${\white{wi}}\textbf{a. }{\white{w}}$ 0
${\white{wi}}\textbf{b. }{\white{w}}$ 1
${\white{wi}}\textbf{c. }{\white{w}}$ 2
${\white{wi}}\textbf{d. }{\white{w}}$ 3

7 points

exercice 3

Principaux domaines abordés : suites ; fonctions, fonction exponentielle.

Partie A

On considère la fonction f définie pour tout réel x par :

$f(x)=1+x-\text e ^{0,5x-2}.$

On admet que la onction f est dérivable sur R. On note f ' sa dérivée.

1. a. Déterminer la limite de la fonction f en - infini

.
$\white{w}$ b. Démontrer que, pour tout réel x non nul, $f(x)=1+0,5x\left(2-\dfrac{\text e ^{0,5x}}{0,5 x }\times \text e ^{-2}\right).$
$\white{ww}$ En déduire la limite de la fonction f en + infini

.

2. a. Déterminer f '(x) pour tout réel x.
$\white{w}$ b. Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) < 0$ est l'intervalle ]4+2ln(2) ; + infini

[.

3. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction f sur R.
$\white{w}$ On fera figurer la valeur exacte de l'image de 4+2ln(2) par f .

4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle [-1 ; 0].

Partie B

On considère la suite (u_n ) définie par u₀ = 0 et, pour tout entier naturel n,
$u_{n+1}=f(u_n)$ où f est la fonction définie ) la partie A.

1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a :
$u_n \le u_{n+1} \le 4 \,.$
$\white{w}$ b. En déduire que la suite (u_n ) converge. On notera $\ell$ la limite.

2. a. On rappelle que $\ell$ vérifie la relation $\ell = f(\ell).$
$\white{ww}$ Démontrer que $\ell=4.$

$\white{w}$ b. On considère la fonction $\mathrm{valeur}$
$\white{ww}$ écrite ci-contre dans le langage Python :

Bac général spécialité maths 2022 Liban (1) : image 1

$\white{ww}$ L'instruction $\mathrm{valeur}(3.99)$ renvoie la valeur 12.
$\white{ww}$ Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

7 points

exercice 4

Principaux domaines abordés : Géométrie dans l'espace.

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O; vecti

).
On considère les points A(5 ; 0 ; -1) , B(1 ;4 ; -1), C(1 ; 0 ; 3), D(5 ; 4 ; 3) et E(10 ; 9 ; 8).

1. a. Soit R le milieu de [AB].
$\white{ww}$ Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}.$
$\white{w}$ b. Soit ${\white{i}}\mathscr P_1{\white{i}}$ le plan passant par le point R et dont $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal.
$\white{ww}$ Démontrer qu'une équation cartésienne du plan ${\white{i}}\mathscr P_1{\white{i}}$ est : ${\white{ww}}x-y-1=0.$
$\white{w}$ c. Démontrer que le point E appartient au plan ${\white{i}}\mathscr P_1{\white{i}}$ et que EA = EB.

2. On considère le plan ${\white{i}}\mathscr P_2{\white{i}}$ d'équation cartésienne $x-z-2=0.$
$\white{w}$ a. Justifier que les plans ${\white{i}}\mathscr P_1{\white{i}}$ et ${\white{i}}\mathscr P_2{\white{i}}$ sont sécants.
$\white{w}$ b. On note deltamaj

la droite d'intersection de ${\white{i}}\mathscr P_1{\white{i}}$ et ${\white{i}}\mathscr P_2{\white{i}}$ .
$\white{ww}$ Démontrer qu'un représentation paramétrique de la droite deltamaj

est :
$\left\lbrace\begin{matrix} x &= & 2+t & & \\ y& =& 1+t& (t\in\textbf R).& \\ z& = & t & & \end{matrix}\right.$

3. On considère le plan ${\white{i}}\mathscr P_3{\white{i}}$ d'équation cartésienne $y+z-3=0.$
$\white{w}$ Justifier que la droite deltamaj

est sécante au plan ${\white{i}}\mathscr P_3{\white{i}}$ en un point omegamaj

dont on déterminera les coordonnées.

Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS=MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST].
On admet que les plans ${\white{i}}\mathscr P_1{\white{i}}$ , ${\white{i}}\mathscr P_2{\white{i}}$ , ${\white{i}}\mathscr P_3{\white{i}}$ sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].

4. a. Justifier que omegamaj

A =

B =

C =

D.
$\white{w}$ b. En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera le centre et le rayon.

Voir la correction

Bac général spécialité maths 2022 Liban (1)

7 points

exercice 1

Principaux domaines abordés : Probabilités.

Partie A

1. Données du problème :
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ 20% des skieurs ont un forfait JUNIOR ;
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ 80 % des skieurs ont un forfait SÉNIOR ;
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6% choisissent l'option coupe-file ;
${\white{wi}}\bullet{\white{w}}$ parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, 12,5% choisissent l'option coupe-file.

Traduisons la situation par un arbre pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Liban (1) : image 2

2. Nous devons calculer la probabilité $P(J\cap C).$

$P(J\cap C)=P(J)\times P_J(C) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(J\cap C)}=0,2\times 0,06} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(J\cap C)}=0,012} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(J\cap C)=0,012}$

3. Nous devons calculer la probabilité $P(C).$

Les événements $\overset{{\white{.}}}{J}$ et $\overset{{\white{.}}}{\overline{J}}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(C)=P(J\cap C)+P(\overline{J}\cap C) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(C)}=0,012+P(\overline{J})\times P_{\overline{J}}(C)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(C)}=0,012+0,8\times0,125} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(C)}=0,012+0,1=0,112} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,112}$
Par conséquent, la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,112.

4. Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{P_{C}(\overline{J}).}$

$P_{C}(\overline{J})=\dfrac{P(\overline{J}\cap C)}{P(C)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}=\dfrac{P(\overline{J})\times P_{\overline{J}}(C)}{P(C)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}=\dfrac{0,8\times 0,125}{0,112}=\dfrac{0,1}{0,112}\approx0,893} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{C}(\overline{J})\approx0,893}$

D'où la probabilité que le skieur ait un forfait SENIOR sachant qu'il a choisi l'option coupe-file est environ égale à 0,893.

5. Si nous choisissons comme référentiel l'ensemble des personnes ayant choisi l'option coupe-file, nous obtenons :

$P_C(J)+P_{C}(\overline{J})=1\quad\Longrightarrow\quad P_C(J)=1-P_{C}(\overline{J}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWiW}\approx1-0,893} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWiW}\approx0,107} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_C(J)\approx10,7\,\%}$

Nous venons de montrer que parmi les skieurs ayant choisi l'option coupe-file, environ 10,7% d'entre eux ont moins de 25 ans, soit moins de 15 % de ces skieurs.
Par conséquent, il est vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de 15% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est égale à 0,112.
On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant choisi l'option coupe-file.

1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n,p)}$ de paramètres n = 30 et p = 0,112.

2. Nous devons calculer $P(X\ge 1).$

$P(X\ge1)=1-P(X=0) \\\\\text{Or }\ P(X=0)=\begin{pmatrix}30\\0\end{pmatrix}\times(0,112)^{0}\times\left(1-0,112\right)^{30-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)wwi}=1\times1\times0,888^{30}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)wwi}=0,888^{30}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)wwi}\approx0,02834} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=0)\approx0,028}$

$\text{Dès lors, }\ P(X\ge1)\approx1-0,028 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge1)\approx0,972}$

Par conséquent, la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file est environ égale à 0,972.

3 Nous devons calculer $P(X\le 1).$

$P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1) \\\\\text{Or }\,P(X=0)\approx0,028\quad(\text{voir question 2.}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wiw}P(X=1)=\begin{pmatrix}30\\1\end{pmatrix}\times0,112^1\times\left(1-0,112\right)^{30-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wiwP(X=1)}=30\times0,112\times0,888^{29}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wiwP(X=1)}\approx0,107}$

$\text{D'où }\;P(X\le 1)\approx0,028+0,107 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\le 1)\approx0,135}$

Par conséquent, la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file est environ égale à 0,135.

4. Calculons l'espérance mathématique E (X ) de la variable aléatoire X .

$E(X)=n\times p \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=30\times 0,112} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=3,36} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=3,36}\,.$

7 points

exercice 2

Principaux domaines abordés : Suites, fonctions, fonction logarithme.

Question 1 - Réponse c

Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15%.
Nous devons déterminer au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient inférieur à un quart de litre.

Une diminution de 15% correspond à un coefficient multiplicateur égal à : 1 - 0,15 = 0,85.

Considérons la suite (v_n )_n N dans laquelle v_n représente en litres, le volume d'eau contenu dans le récipient au bout de n heures.
Puisque le récipient contient initialement 1 litre d'eau, nous savons que v ₀ = 1.
En tenant compte de la diminution du volume d'eau, nous obtenons : $v_{n+1}=0,85\,v_n\quad\quad(n\in\N).$
D'où la suite (v_n ) est une suite géométrique de raison q = 0,85 et dont le premier terme est v ₀ = 1.
Le terme général de la suite (v_n ) est $\overset{{\white{.}}}{v_n=v_0\times q^{n}}.$
Donc, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{w}}}{v_n=1\times0,85^{n}.}$ , soit $\overset{{\white{w}}}{\boxed{v_n=0,85^{n}}\,.}$
Nous devons déterminer le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation : $v_n\le\dfrac{1}{4}.$

$v_n\le\dfrac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,85^n\le0,25 \\\phantom{v_n\le\dfrac{1}{4}}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(0,85^n)\le\ln0,25 \\\phantom{v_n\le\dfrac{1}{4}}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln0,85\le\ln0,25 \\\phantom{v_n\le\dfrac{1}{4}}\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge\dfrac{\ln0,25}{\ln0,85} \\\phantom{wwwwwwww}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln 0,85<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln0,25}{\ln0,85}\approx8,53$
Le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation est n = 9.
Par conséquent, le volume d'eau deviendra inférieur à un quart de litre dès la 9^ème heure.
La proposition correcte est donc la réponse c.

Question 2 - Réponse d

On considère la suite (u_n ) définie pour tout entier naturel n par $u_{n+1}=\frac 1 2 u_n + 3$ et u ₀ = 6.
Calculons les premiers termes de cette suite (u_n ).

$\bullet{\white{x}}\boxed{u_0=6} \\\\\bullet{\white{x}} u_{1}=\dfrac{1}{2}\,u_0 + 3=\dfrac{1}{2}\times6 + 3=3+3=6\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=6} \\\\\bullet{\white{x}} u_{2}=\dfrac{1}{2}\,u_1 + 3=\dfrac{1}{2}\times6 + 3=3+3=6\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=6} \\\\\bullet{\phantom{x}} u_{3}=\dfrac{1}{2}\,u_2 + 3=\dfrac{1}{2}\times6 + 3=3+3=6\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_3=6}$
Nous pouvons conjecturer que les termes de la suite (u_n ) sont tous égaux à 6.
Démontrons cette conjecture par récurrence.

Montrons donc par récurrence que pour tout entier naturel n , u_n = 6.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Nous savons par définition de la suite (u_n ) que $u_0=6.$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n=6}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=6.}$

En effet,

$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\, u_n + 3 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{2}\times 6 + 3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_{n+1}}=3+ 3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{a_{n+1}}=6} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=6}$
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n=6.}$
Par conséquent, la suite (u_n ) est constante.
La proposition correcte est donc la réponse d.

Question 3 - Réponse b

Considérons la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; + infini

[ par $f(x)=4\ln (3x).$
Pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; + infini

[ , nous obtenons :

$f(2x)=4\,\ln(3\times2x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(2x)}=4\,\ln(2\times3x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(2x)}=4\,(\ln(2)+\ln(3x))} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(2x)}=4\,\ln(2)+4\,\ln(3x)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(2x)}=\ln(2^4)+4\,\ln(3x)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f(2x)}=\ln(16)+f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(2x)=f(x)+\ln(16)}$
La proposition correcte est donc la réponse b.

Question 4 - Réponse c

On considère la fonction g définie sur l'intervalle ]1 ; + infini

[ par : $g(x)=\dfrac{\ln (x)}{x-1}.$

${\white{w}}\bullet{\white{w}}$ Déterminons si la courbe C_g admet une asymptote verticale au voisinage de 1.

Calculons $\underset{x>1}{\underset{x\to1}\lim}\;\dfrac{\ln (x)}{x-1}.$
Nous sommes en présence d'une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}.$
Or $g(x)=\dfrac{\ln (x)}{x-1}\qud\Longrightarrow\quad g(x)=\dfrac{\ln (x)-\ln(1)}{x-1}.$
Nous en déduisons que $\underset{x>1}{\underset{x\to1}\lim}\;g(x)=\ln'(1)=\dfrac{1}{1}=1$ ,
soit que $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\underset{x>1}{\underset{x\to1}\lim}\;g(x)=1}\,.}$
Par conséquent, la courbe C_g n'admet pas d'asymptote verticale au voisinage de 1.

${\white{w}}\bullet{\white{w}}$ Déterminons si la courbe C_g admet une asymptote horizontale en + infini

.

$\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln (x)}{x-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWiW}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln (x)}{x}\times\dfrac{x}{x-1}}$

$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln (x)}{x}=0\quad(\text{par les croissances comparées})\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x-1}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=1\phantom{WWWWWWWWW}}\end{matrix}\right.$

$\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0\times1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0}$
Par conséquent, la courbe C_g admet une asymptote horizontale en + d'équation : y = 0.
La proposition correcte est donc la réponse c.

Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction h définie sur l'intervalle ]0 ; 2] par : $h(x)=x^2(1+2\ln(x)).$

On admet que h est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 2].
On admet que, pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; 2], on a : $h'(x)=4x(1+\ln(x)).$

Question 5 - Réponse b

Résolvons l'équation h (x ) = 0 sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2\right].$

$h(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2(1+2\ln(x))=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x^2=0\quad\text{ou}\quad1+2\ln(x)=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad\ln(x)=-\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=\text{e}^{-\frac{1}{2}}\approx0,6}$
$\bullet{\white{w}}$ La valeur $x=0$ est à rejeter car $\overset{{\white{.}}}{0\notin\left[\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2\right]}.$
$\bullet{\white{w}}$ La valeur $x=\text{e}^{-\frac{1}{2}}$ convient car $\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{-\frac{1}{2}}\in\left[\dfrac{1}{\text{e}}\,;\,2\right]}.$
Par conséquent, sur l'intervalle $\left[ \dfrac{1}{\text e }\,;\,2\right]$ , la fonction h s'annule exactement une fois.
La proposition correcte est donc la réponse b.

Question 6 - Réponse d

Une équation de la tangente à C_h au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est de la forme : $\overset{{\white{.}}}{y=h'(\sqrt{\text{e}})(x-\sqrt{\text{e}})+h(\sqrt{\text{e}}).}$

$\text{Or }\;\bullet\; h'(x)=4x(1+\ln(x))\quad\Longrightarrow\quad h'(\sqrt{\text{e}})=4\sqrt{\text{e}}(1+\ln(\sqrt{\text{e}})) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW)}\quad\Longrightarrow\quad h'(\sqrt{\text{e}})=4\sqrt{\text{e}}(1+\dfrac{1}{2})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW)}\quad\Longrightarrow\quad h'(\sqrt{\text{e}})=4\sqrt{\text{e}}\times\dfrac{3}{2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{h'(\sqrt{\text{e}})=6\sqrt{\text{e}}}}$

$\phantom{\text{Or }\;}\bullet\;h(x)=x^2(1+2\ln(x))\quad\Longrightarrow\quad h(\sqrt{\text{e}})=(\sqrt{\text{e}})^2[1+2\ln(\sqrt{\text{e}})] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW)}\quad\Longrightarrow\quad h(\sqrt{\text{e}})=\text{e}[1+2\times\dfrac{1}{2}]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{h(\sqrt{\text{e}})=2\,\text{e}}}$
Dès lors, une équation de la tangente à la courbe C_h au point d'abscisse $\sqrt{\text{e}}$ est : $\overset{{\white{.}}}{y=6\sqrt{\text{e}}\,(x-\sqrt{\text{e}})+2\,\text{e},}$
soit $\overset{{\white{.}}}{y=6\sqrt{\text{e}}\,x-6\text{e}+2\,\text{e},}$ soit $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=6\sqrt{\text{e}}\,x-4\text{e}}}\,.$
Cette équation peut également s'écrire : $\overset{{\white{.}}}{\boxed{y=\left(6\text{e}^{\frac{1}{2}}\right)\times x-4\text{e}}}\,.$
La proposition correcte est donc la réponse d.

Question 7 - Réponse b

Nous savons que la fonction h est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 2] et que pour tout réel x de l'intervalle ]0 ; 2], on a : $h'(x)=4x(1+\ln(x)).$

$h''(x)=(4x)'\times[1+\ln(x)]+4x\times[1+\ln(x)]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h''(x)}=4\times[1+\ln(x)]+4x\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h''(x)}=4+4\ln(x)+4} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{h''(x)}=8+4\ln(x)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{h''(x)}=4[2+\ln(x)]} \\\\\Longrightarrow\boxed{h''(x)=4[2+\ln(x)]}$

Etudions le signe de h''(x) sur l'intervalle ]0 ; 2].

$\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}2+\ln(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad \ln(x)<-2\\\phantom{WWWWWWWWi} \Longleftrightarrow\quad x<\text{e}^{-2}\approx0,135\\2+\ln(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=\text{e}^{-2} \phantom{Ww}\\2+\ln(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad x>\text{e}^{-2}\phantom{Ww} \end{matrix}\right.\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&&\text{e}^{-2}\approx0,135&&&2\\&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\f''(x)&||&&-&0&+&&\\&||&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

La dérivée seconde s'annule une seule fois en changeant de signes.
Par conséquent, sur l'intervalle ]0 ; 2], le nombre de points d'inflexion de la courbe C_h est égal à 1.
La proposition correcte est donc la réponse b.

7 points

exercice 3

Principaux domaines abordés : Suites, fonctions, fonction exponentielle.

Partie A

On considère la fonction f définie pour tout réel x par : $f(x)=1+x-\text{e}^{0,5x-2}.$

On admet que la fonction f est dérivable sur R.

1. a) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+x\right)=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{0,5x-2}\underset{{\red{(X=0,5x-2)}}}{=}\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+x-\text{e}^{0,5x-2}\right)=-\infty$

$\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$

1. b) Pour tout réel x non nul,

$f(x)=1+x-\text{e}^{0,5x-2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=1+x-\text{e}^{0,5x}\times \text{e}^{-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=1+2\times 0,5x-\text{e}^{0,5x}\times \text{e}^{-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)}=1+ 0,5x\left(2-\dfrac{\text{e}^{0,5x}}{0,5x}\times \text{e}^{-2}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=1+ 0,5x\left(2-\dfrac{\text{e}^{0,5x}}{0,5x}\times \text{e}^{-2}\right)}$

Déterminons $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x).$

Posons X = 0,5x .
Dans ce cas, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{X\to+\infty}\left[1+X\left(2-\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\times \text{e}^{-2}\right)\right].$

$\text{Or }\;\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{X}}{X}=+\infty\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{X\to+\infty}-\dfrac{\text{e}^{X}}{X}=-\infty \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWwWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{X\to+\infty}-\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\times \text{e}^{-2}=-\infty} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{X\to+\infty}\left(2-\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\times \text{e}^{-2}\right)=-\infty}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWwWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{X\to+\infty}X\left(2-\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\times \text{e}^{-2}\right)=-\infty} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWwWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{X\to+\infty}\left[1+X\left(2-\dfrac{\text{e}^{X}}{X}\times \text{e}^{-2}\right)\right]=-\infty} \\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

2. a) Nous savons que la fonction f est dérivable sur R.

$f'(x)=[1+x-\text{e}^{0,5x-2}]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1'+x'-(\text{e}^{0,5x-2})'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=0+1-(0,5x-2)'\,\text{e}^{0,5x-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1-0,5\,\text{e}^{0,5x-2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=1-0,5\,\text{e}^{0,5x-2}}$

2. b) Résolvons dans R l'inéquation f' (x ) < 0.

$f'(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad 1-0,5\,\text{e}^{0,5x-2}<0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)<0}\quad\Longleftrightarrow\quad -0,5\,\text{e}^{0,5x-2}<-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)<0}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,5\,\text{e}^{0,5x-2}>1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)<0}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{0,5x-2}>2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)<0}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,5x-2>\ln(2)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)<0}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,5x>2+\ln(2)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)<0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{x>4+2\ln(2)}}$
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'inéquation f' (x ) < 0 est l'intervalle ]4+2ln(2) ; +[.

3. Nous en déduisons le tableau de variation de la fonction f sur R.

$\begin{matrix}\left\lbrace\begin{matrix}f'(x)<0\quad\Longleftrightarrow\quad x>4+2\ln(2)\\f'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=4+2\ln(2)\\f'(x)>0\quad\Longleftrightarrow\quad x<4+2\ln(2) \end{matrix}\right.\\\\f(4+2\ln(2))=1+4+2\ln(2)-\text{e}^{0,5(4+2\ln(2))-2}\\\phantom{www}=5+2\ln(2)-\text{e}^{2+\ln(2)-2}\\\phantom{www}=5+2\ln(2)-\text{e}^{\ln(2)}\\\phantom{www}=5+2\ln(2)-2\\\phantom{www}=3+2\ln(2)\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&4+2\ln(2)&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&3+2\ln(2)&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

4. Tableau de variation de la fonction f complété.

$\begin{matrix}f(-1)=1-1-\text{e}^{0,5\times(-1)-2}\\=-\text{e}^{-2,5}\phantom{wwww}\\\approx-0,08\phantom{wiww}\\\\f(0)=1+0-\text{e}^{0,5\times0-2}\\=1-\text{e}^{-2}\phantom{ww}\\\approx0,86\phantom{wwww}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\ |\\ |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&&\\ x&-\infty&&-1&&0&&4+2\ln(2)&&+\infty\\&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&&\\f'(x)&&&+&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&&&\\\hline&&&&&&&3+2\ln(2)&&\\f(x)&&&&\nearrow&\approx0,86&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&\approx-0,08&&&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

La fonction f est continue sur l'intervalle [-1 ; 0] car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [-1 ; 0] (voir tableau de variation de f complété).

$\left\lbrace\begin{matrix}f(-1)=-\text{e}^{2,5}\approx-0,08<0\\f(0)=1-\text{e}^{-2}\approx0,86>0\end{matrix}\right.$
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [-1 ; 0].

Partie B

On considère la suite (u_n ) définie par u ₀ = 0 et, pour tout entier naturel n , $u_{n+1}=f(u_n)$ où f est la fonction définie à la partie A.

1. a) Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , $u_n \le u_{n+1} \le 4 \,.$

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.

$\left\lbrace\begin{matrix}u_0=0\\u_1=f(u_0)\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}u_0=0\phantom{xx}\\u_1=f(0)\end{matrix}\right. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}u_0=0\phantom{WiWWWW}\\u_1=1-\text{e}^{-2}\approx0,86\end{matrix}\right.} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_0\le u_1\le4}$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, $\overset{{\white{.}}}{u_n \le u_{n+1} \le 4}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1} \le u_{n+2} \le 4.}$

En effet, nous avons montré dans la question 3 - Partie A que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]- infini

; 4+2ln(2)[.
Dès lors, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle ]- infini

; 4].
nous en déduisons que :

$u_n \le u_{n+1} \le 4\quad\Longrightarrow\quad f(u_n) \le f(u_{n+1}) \le f(4) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad u_{n+1}\le u_{n+2} \le f(4)} \\\\\text{Or }\;f(4)=1+4-\text{e}^{0,5\times4-2} \\\phantom{WWWi}=1+4-\text{e}^{0} \\\phantom{WWWi}=1+4-1 \\\phantom{WWWi}=4 \\\\\text{D'où }\;\boxed{u_{n+1}\le u_{n+2} \le 4}$
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{u_n \le u_{n+1} \le 4 \,.}$

1. b) De la question précédente, nous déduisons que la suite (u_n ) est croissante et est majorée par 4.
Selon le théorème de convergence des suites monotones, la suite (u_n ) converge.
Posons $\overset{{\white{T}}}{\ell=\lim\limits_{n\to +\infty}u_n\,.}$

2. a) Selon le théorème du point fixe, $\overset{{\white{.}}}{\ell}$ vérifie la relation $\overset{{\white{.}}}{\ell=f(\ell).}$

$\ell=f(\ell)\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=1+\ell-\text{e}^{0,5\ell-2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 0=1-\text{e}^{0,5\ell-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \text{e}^{0,5\ell-2}=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,5\ell-2=\ln(1)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,5\ell-2=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad 0,5\ell=2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WiWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \ell=4}$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\ell=4}\,.}$

2. b) On considère la fonction valeur écrite ci-dessous dans le langage Python.

Bac général spécialité maths 2022 Liban (1) : image 3

L'instruction valeur(3.99) renvoie la valeur 12.

La fonction valeur détermine le plus petit entier naturel n tel que : $\overset{{\white{.}}}{u_n>a.}$
Donc dans ce cas, le plus petit entier naturel n tel que : $\overset{{\white{.}}}{u_n>3,99}$ est n = 12.
Par conséquent, à partir du rang 12, les valeurs de u_n seront supérieures à 3,99.

7 points

exercice 4

Principaux domaines abordés : Géométrie dans l'espace.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O; \vec i, \vec j, \vec k).$
On considère les points A(5 ; 0 ; -1) , B(1 ; 4 ; -1), C(1 ; 0 ; 3), D(5 ; 4 ; 3) et E(10 ; 9 ; 8).

1. a) Soit R le milieu de [AB].
Nous devons calculer les coordonnées du point R.

$R\,\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A+z_B}{2}\right)=\left(\dfrac{5+1}{2}\,;\,\dfrac{0+4}{2}\,;\,\dfrac{-1-1}{2}\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{R\,(3\,;\,2\,;\,-1)}$

Nous devons ensuite calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}.$

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-5\\4-0\\-1+1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}}\,.$

1. b) Soit $\mathscr P_1$ le plan passant par le point R et dont $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur normal.
Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overset{{\phantom{.}}}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}}$ est orthogonal au plan $\mathscr P_1$ , nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan $\mathscr P_1$ est de la forme $\overset{{\white{.}}}{-4x+4y+d=0.}$

Or le point R(3 ; 2 ; -1) appartient au plan $\mathscr P_1$ .
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où $\overset{{\white{.}}}{-4\times3 +4\times2+d=0,}$ soit d = 4.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan $\mathscr P_1$ est $\overset{{\white{.}}}{-4x+4y+4=0,}$ ou encore en divisant les deux membres par (-4), cette équation est : $\overset{{\white{.}}}{\boxed{x-y-1=0}.}$

1. c) Démontrons que le point E(10 ; 9 ; 8) appartient au plan $\mathscr P_1.$

Il suffit de vérifier que $-4x_E+4y_E+4=0.$
Or $-4\times10+4\times9+4=0.$
Puisque cette dernière égalité est correcte, nous avons montré que le point E appartient au plan $\mathscr P_1.$

Démontrons ensuite que EA = EB.

$\left\lbrace\begin{array}l E(10\ ;\,9\ ;\,8)\\A(5\,;\,0\,;\,-1)\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{EA}\begin{pmatrix}5-10\\0-9\\-1-8\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{EA}\begin{pmatrix}-5\\-9\\-9\end{pmatrix}}$

$\Longrightarrow\quad EA=\sqrt{(-5)^2+(-9)^2+(-9)^2} =\sqrt{25+81+81}=\sqrt{187} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{EA=\sqrt{187}}$

$\left\lbrace\begin{array}l E(10\ ;\,9\ ;\,8)\\B(1\,;\,4\,;\,-1)\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{EB}\begin{pmatrix}1-10\\4-9\\-1-8\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{EB}\begin{pmatrix}-9\\-5\\-9\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow\quad EB=\sqrt{(-9)^2+(-5)^2+(-9)^2} =\sqrt{81+25+81}=\sqrt{187} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{EB=\sqrt{187}}$

Nous en déduisons que EA = EB.

2. a) On considère le plan $\mathscr P_2$ d'équation cartésienne $x-z-2=0.$

Un vecteur normal au plan $\mathscr P_1$ est le vecteur $\overset{{\phantom{.}}}{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}}.$

Un vecteur normal au plan $\mathscr P_2$ est le vecteur $\oversNet{{\phantom{.}}}{\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}.$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{n_2}$ ne sont pas colinéaires.

D'où les plans $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ ne sont pas parallèles.
Par conséquent, $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2$ sont deux plans sécants.

2. b) On note $\Delta$ la droite d'intersection de $\mathscr P_1$ et $\mathscr P_2.$
Soit M(x ; y ; z ) un point quelconque de la droite $\Delta$ .
Les coordonnées du point M vérifient donc le système : $\left\lbrace\begin{matrix}x-y-1=0\\x-z-2=0\end{matrix}\right..$

Posons : z = t .

$\left\lbrace\begin{matrix}x-y-1=0\\x-z-2=0\\z=t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x-y-1=0\\x-t-2=0\\z=t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}x-y-1=0\\x=2+t\\z=t\end{matrix}\right.$

$\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}2+t-y-1=0\\x=2+t\\z=t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}1+t-y=0\\x=2+t\\z=t\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}y=1+t\\x=2+t\\z=t\end{matrix}\right.$

Nous en déduisons qu'une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est donnée par :

$\left\lbrace\begin{matrix} x &= & 2+t & & \\ y& =& 1+t& \\ z& = & t & & \end{matrix}\right.\quad (t\in\R).$

3. On considère le plan $\mathscr P_3$ d'équation cartésienne $y+z-3=0.$

Les coordonnées du point d'intersection omegamaj

de la droite $\Delta$ avec le plan $\mathscr P_3$ se déterminent en résolvant le système :

$\left\lbrace\begin{matrix} x &= & 2+t & & \\ y& =& 1+t& \\ z& = & t & & \\y+z-3&=&0\end{matrix}\right.$

Résolvons ce système.

$\left\lbrace\begin{matrix} x= 2+t\\ y= 1+t \\ z= t\phantom{ww} \\y+z-3=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x= 2+t\\ y= 1+t \\ z= t\phantom{ww} \\1+t+t-3=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x= 2+t\\ y= 1+t \\ z= t\phantom{ww} \\2t-2=0\end{matrix}\right.$

$\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x= 2+t\\ y= 1+t \\ z= t\phantom{ww} \\t=1\phantom{ww} \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix} x= 2+1\\ y= 1+1 \\ z= 1\phantom{ww} \\t=1\phantom{ww} \end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x= 3\\ y= 2 \\ z= 1\\t=1\end{matrix}\right.}$
Par conséquent, les coordonnées de omegamaj

sont : (3 ; 2 ; 1)

Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que MS = MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST].
On admet que les plans $\mathscr P_1{\white{i}},{\white{i}}\mathscr P_2{\white{i}},{\white{i}}\mathscr P_3$ sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].

4. a) Utilisons le rappel de la propriété du plan médiateur d'un segment.

$\bullet{\white{w}}$ omegamaj

appartient à $\mathscr P_1$ , plan médiateur du segment [AB].
Donc omegamaj

B.
$\bullet{\white{w}}$ omegamaj

appartient à $\mathscr P_2$ , plan médiateur du segment [AC].
Donc omegamaj

C.
$\bullet{\white{w}}$ omegamaj

appartient à $\mathscr P_3$ , plan médiateur du segment [AD].
Donc omegamaj

D.
Dès lors, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{\Omega A=\Omega B=\Omega C=\Omega D}\,.}$

4. b) Nous en déduisons que les points A, B, C et D appartiennent à la sphère de centre omegamaj

et de rayon omegamaj

A
(ou

B ou

C ou

D)

Or $\left\lbrace\begin{array}l \Omega(3\ ;\,2\ ;\,1)\\A(5\,;\,0\,;\,-1)\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}5-3\\0-2\\-1-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}2\\-2\\-2\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow\quad \Omega A=\sqrt{2^2+(-2)^2+(-2)^2} =\sqrt{4+4+4}=\sqrt{12} =2\sqrt{3} \\\\\Longrightarrow\quad \boxed{\Omega A=2\sqrt{3}}$

Par conséquent, les points A, B, C et D appartiennent à la sphère de centre (3 ; 2 ; 1) et de rayon $2\sqrt{3}.$

Publié par malou le 05-09-2022

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