Épreuve d'enseignement de spécialité
Session 2022
Liban (1)
MATHÉMATIQUES
Durée : 4 heures
L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.
Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et
ne doit traiter que ces 3 exercices.
Chaque exercice est noté sur
7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.
7 points exercice 1
Principaux domaines abordés : probabilités.
Dans une station de ski, il existe deux types de forfait selon l'âge du skieur :
- un forfait JUNIOR pour les personnes de moins de vingt-cinq ans ;
- un forfait SÉNIOR pour les autres.
Par ailleurs, un usager peut choisir, en plus du forfait correspondant à son âge,
l'option coupe-file qui permet d'écourter le temps d'attente aux remontées
mécaniques.
On admet que :

20% des skieurs ont un forfait JUNIOR ;

80 % des skieurs ont un forfait SÉNIOR ;

parmi les skieurs ayant un forfait JUNIOR, 6% choisissent l'option coupe-file ;

parmi les skieurs ayant un forfait SÉNIOR, 12,5% choisissent l'option coupe-file.
On interroge un skieur au hasard et on considère les événements :
J : « le skieur a un forfait JUNIOR » ;
C : « le skieur choisit l'option coupe-file ».
Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.
Partie A
1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
2. Calculer la probabilité
)
.
3. Démontrer que la probabilité que le skieur choisisse l'option coupe-file
est égale à 0,112.
4. Le skieur a choisi l'option coupe-file. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un
skieur ayant un forfait SÉNIOR ? Arrondir le résultat à 10
-3 .
5. Est-il vrai que les personnes de moins de vingt-cinq ans représentent moins de
15% des skieurs ayant choisi l'option coupe-file ? Expliquer.
Partie B
On rappelle que la probabilité qu'un skieur choisisse l'option coupe-file est
égale à 0,112.
On considère un échantillon de 30 skieurs choisis au hasard.
Soit
X la variable aléatoire qui compte le nombre des skieurs de l'échantillon ayant
choisi l'option coupe-file.
1. On admet que la variable aléatoire
X suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi.
2. Calculer la probabilité qu'au moins un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file.
Arrondir le résultat à 10
-3 .
3. Calculer la probabilité qu'au plus un des 30 skieurs ait choisi l'option coupe-file.
Arrondir le résultat à 10
-3 .
4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire
X.
7 points exercice 2
Principaux domaines abordés : suites, fonctions, fonction logarithme.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées
est exacte.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question
ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la
réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
1. Un récipient contenant initialement 1 litre d'eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d'eau diminue de 15%.
Au bout de quel nombre entier d'heures le volume d'eau devient-il inférieur à un quart de litre ?

2 heures

8 heures

9 heures

13 heures
2. On considère la suite (
un ) définie pour tout entier naturel
n par

et
u0 = 6. On peut affirmer que :

la suite (
un ) est strictement croissante.

la suite (
un ) est strictement décroissante.

la suite (
un ) n'est pas monotone.

la suite (
un ) est constante.
3. On considère la fonction
f définie sur l'intervalle ]0 ; +

[ par
=4\ln (3x).)
Pour tout réel
x de l'intervalle ]0 ; +

[ , on a :




4. On considère la fonction
g définie sur l'intervalle ]1 ; +

[ par :
=\dfrac{\ln (x)}{x-1})
On note
Cg la courbe représentative de la fonction
g dans un repère orthogonal.
La courbe
Cg admet :

une asymptote verticale et une asymptote horizontale.

une asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.

aucune asymptote verticale et une asymptote horizontale.

aucune asymptote verticale et aucune asymptote horizontale.
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction
h définie sur l'intervalle ]0 ; 2] par :
=x²(1+2\ln(x)).)
On note
Ch la courbe représentative de
h dans un repère du plan.
On admet que
h est deux fois dérivable sur l'intervalle ]0 ; 2].
On note
h ' sa dérivée et
h '' sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel
x de l'intervalle ]0 ; 2], on a :
5. Sur l'intervalle
![\left[ \dfrac{1}{\text e }\,;\,2\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[ \dfrac{1}{\text e }\,;\,2\right])
, la fonction
h s'annule :

exactement 0 fois.

exactement 1 fois.

exactement 2 fois.

exactement 3 fois.
6. Une équation de la tangente à
Ch au point d'abscisse

e est :




7. Sur l'intervalle ]0 ; 2], le nombre de points d'inflexion de la courbe
Ch est égal à :

0

1

2

3
7 points exercice 3
Principaux domaines abordés : suites ; fonctions, fonction exponentielle.
Partie A
On considère la fonction
f définie pour tout réel
x par :
=1+x-\text e ^{0,5x-2}.)
On admet que la onction
f est dérivable sur
R. On note
f ' sa dérivée.
1. a. Déterminer la limite de la fonction
f en -

.
b. Démontrer que, pour tout réel
x non nul,

En déduire la limite de la fonction
f en +

.
2. a. Déterminer
f '(
x) pour tout réel
x.
b. Démontrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation
 < 0)
est
l'intervalle ]4+2ln(2) ; +

[.
3. Déduire des questions précédentes le tableau de variation de la fonction
f sur
R.

On fera figurer la valeur exacte de l'image de 4+2ln(2) par
f .
4. Montrer que l'équation
=0)
admet une unique solution sur l'intervalle [-1 ; 0].
Partie B
On considère la suite (
un ) définie par
u0 = 0 et, pour tout entier naturel
n,
où f est la fonction définie ) la partie A.
1. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n, on a :
b. En déduire que la suite (
un ) converge. On notera

la limite.
2. a. On rappelle que

vérifie la relation

Démontrer que
b. On considère la fonction

écrite ci-contre dans le langage Python :

L'instruction
)
renvoie la valeur 12.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
7 points exercice 4
Principaux domaines abordés : Géométrie dans l'espace.
L'espace est muni d'un repère orthonormé (O;

,

,

).
On considère les points A(5 ; 0 ; -1) , B(1 ;4 ; -1), C(1 ; 0 ; 3), D(5 ; 4 ; 3) et E(10 ; 9 ; 8).
1. a. Soit R le milieu de [AB].

Calculer les coordonnées du point R ainsi que les coordonnées du vecteur
b. Soit

le plan passant par le point R et dont

est un vecteur normal.

Démontrer qu'une équation cartésienne du plan

est :
c. Démontrer que le point E appartient au plan

et que
EA = EB.
2. On considère le plan

d'équation cartésienne
a. Justifier que les plans

et

sont sécants.
b. On note

la droite d'intersection de

et

.

Démontrer qu'un représentation paramétrique de la droite

est :
3. On considère le plan

d'équation cartésienne

Justifier que la droite

est sécante au plan

en
un point

dont on déterminera les coordonnées.
Si S et T sont deux points distincts de l'espace, on rappelle que l'ensemble des points M de l'espace tels que
MS=MT est un plan, appelé plan médiateur du segment [ST].
On admet que les plans

,

,

sont les plans médiateurs respectifs des segments [AB], [AC] et [AD].
4. a. Justifier que

A =

B =

C =

D.
b. En déduire que les points A, B, C et D appartiennent à une même sphère dont on précisera
le centre et le rayon.