Fiche de mathématiques
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Épreuve d'enseignement de spécialité

Session 2022

Liban (2)

MATHÉMATIQUES

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Durée : 4 heures



L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, "type collège" est autorisé.


Le sujet propose 4 exercices.
Le candidat choisit 3 exercices parmi les 4 exercices et ne doit traiter que ces 3 exercices.

Chaque exercice est noté sur 7 points (le total sera ramené sur 20 points).
Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront prises en compte.


7 points

exercice 1

Bac général spécialité maths 2022 Liban-Mayotte (2) : image 8

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7 points

exercice 2

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7 points

exercice 3

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7 points

exercice 4

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Bac général spécialité maths 2022 Liban-Mayotte (2)

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7 points

exercice 1

Principaux domaines abordés : Probabilités.

Partie A

1.  Données du problème :
{\white{wi}}\bullet{\white{w}} 48% des salariés sont des femmes.
{\white{wwww}} Parmi elles, 16,5% exercent une profession de cadre
{\white{wi}}\bullet{\white{w}} 52% des salariés sont des hommes.
{\white{wwww}} Parmi eux, 21,5% exercent une profession de cadre

Traduisons la situation par un arbre pondéré.

Bac général spécialité maths 2022 Liban-Mayotte (2) : image 13


2.  Nous devons calculer la probabilité  P(F\cap C).

P(F\cap C)=P(F)\times P_F(C) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(F\cap C)}=0,48\times 0,165} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(F\cap C)}=0,0792} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(F\cap C)=0,0792}
D'où, la probabilité que la personne choisie soit une femme qui exerce une profession de cadre est égale à 0,0792.

3. a)  Nous devons calculer la probabilité  P(C).

Les événements  \overset{{\white{.}}}{F}  et  \overset{{\white{.}}}{H}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(C)=P(F\cap C)+P(H\cap C) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(C)}=0,0792+P(H)\times P_{H}(C)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(C)}=0,0792+0,52\times0,215} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(C)}=0,0792+0,1118=0,191} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,191}
Par conséquent, la probabilité que la personne choisie exerce une profession de cadre est égale à 0,191.

3. b)  Vérifions si  P(F\cap C)=P(F)\times P(C).

\left\lbrace\begin{matrix}P(F\cap C)=0,0792\phantom{w}\\P(F)\times P(C) = 0,48\times0,191\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}P(F\cap C)=0,0792\phantom{w}\\P(F)\times P(C) = 0,09168\end{matrix}\right. \\\\\\\Longrightarrow\quad\boxed{P(F\cap C)\neq  P(F)\times P(C)}
Dès lors, les événements F et C ne sont pas indépendants.

4.  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{P_{C}(F).}

P_{C}(F)=\dfrac{P(F\cap C)}{P(C)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}=\dfrac{0,0792}{0,191}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{XXXi}\approx0,4147} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{C}(F)\approx0,4147}

D'où la probabilité que la personne choisie soit une femme sachant qu'elle exerce une profession de cadre est environ égale à 0,4147.

5. a)  On rappelle que la probabilité qu'un salarié choisi au hasard soit cadre est égale à 0,191.
On choisit au hasard un échantillon de 15 salariés.
Soit X  la variable aléatoire donnant le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés.

Lors de cette expérience, on répète 15 fois des épreuves identiques et indépendantes.
Chaque épreuve comporte deux issues :
Succès : "Le salarié choisi est un cadre" dont la probabilité est  \overset{{\white{.}}}{p=0,191} ;
Echec : "Le salarié choisi n'est pas un cadre" dont la probabilité est  \overset{{\white{.}}}{1-p=1-0,191=0,809.}
La variable aléatoire X  compte le nombre de cadres au sein de l'échantillon de 15 salariés, soit le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
D'où la variable aléatoire X  suit une loi binomiale  \overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(15\,;\, 0,191).}

5. b)  Nous devons calculer  \overset{{\white{.}}}{P(X\le 1).}

P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\le1)}=\begin{pmatrix}15\\0\end{pmatrix}\times(0,191)^{0}\times\left(1-0,191\right)^{15-0}+\begin{pmatrix}15\\1\end{pmatrix}\times(0,191)^{1}\times\left(1-0,191\right)^{15-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\le1)}=1\times1\times0,809^{15}+15\times0,191\times0,809^{14}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X\le1)}\approx0,188981} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\le1)\approx0,1890}
Par conséquent, la probabilité que l'échantillon contienne au plus un cadre est environ égale à 0,1890.

5. c)  Calculons l'espérance mathématique E (X ) de la variable aléatoire X .

E(X)=n\times p \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=15\times 0,191} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{E(X)}=2,865} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(X)=2,865}\,.

6.  Soit n  le nombre naturel non nul représentant le nombre de salariés.
Soit Y  la variable aléatoire donnant le nombre de cadres.
La variable aléatoire Y  suit une loi binomiale de paramètres n  et p  = 0,191.

Calculons d'abord  P(Y\ge 1).

L'événement contraire de l'événement "au moins un salarié est cadre dans l'entreprise" est "aucun salarié n'est cadre dans l'entreprise".
Donc  P(Y\ge1)=1-P(Y=0).

\text{Or }\ P(Y=0)=\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times(0,191)^0\times\left(1-0,191\right)^{n-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(Y=0)}=1\times1\times0,809^{n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(Y=0)}=0,809^{n}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y=0)=0,809^{n}}\\\\\text{Dès lors, }\ \boxed{P(Y\ge1)=1-0,809^n}

Nous devons déterminer n  tel que  P(Y\ge 1)\ge 0,99.

P(Y\ge 1)\ge 0,99\Longleftrightarrow 1-0,809^n\ge0,99  \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow -0,809^{n}\ge0,99-1 \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow -0,809^{n}\ge-0,01\\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow 0,809^{n}\le0,01\\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow \ln\left(0,809^{n}\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow n\times\ln\left(0,809\right)\le\ln\left(0,01\right) \\\phantom{P(Y\ge 1)\ge 0,99}\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,809\right)} \\\phantom{wwwwwwwwww}\ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,809)<0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(0,01\right)}{\ln\left(0,809\right)}\approx21,7

Le plus petit nombre naturel vérifiant l'inégalité est n  = 22.
Par conséquent, il faut au minimum 22 salariés dans l'entreprise pour que la probabilité qu'au moins l'un d'entre eux soit cadre, soit supérieure à 99%.

7 points

exercice 2

Principaux domaines abordés : Géométrie dans l'espace.

On considère le cube ABCDEFGH de côté 1 représenté ci-dessous.

Bac général spécialité maths 2022 Liban-Mayotte (2) : image 15


L'espace est muni d'un repère orthonormé  (A\,; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}).

1. a)  Les droites (AH) et (ED) forment les diagonales du carré ADHE.
Les diagonales d'un carré sont perpendiculaires.
D'où les droites (AH) et (ED) sont perpendiculaires.

1. b)  Montrons que la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH) en montrant que (GH) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (EDH).
\bullet{\white{w}} La droite (GH) est perpendiculaire à (EH) car EFGH est un carré.
\bullet{\white{w}} La droite (GH) est perpendiculaire à (DH) car DCGH est un carré.
Donc la droite (GH) est perpendiculaire à deux droites sécantes (EH) et (DH) du plan (EDH).
Par conséquent, la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).

1. c)  Montrons que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH) en montrant que (ED) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (AGH).
\bullet{\white{w}} La droite (ED) est orthogonale à (AH) (voir question 1. a)
\bullet{\white{w}} La droite (ED) est orthogonale à (GH) car (ED) est incluse dans le plan (EDH) qui est orthogonal à la droite (GH) (voir question 1. b)
Donc la droite (ED) est orthogonale à deux droites sécantes (AH) et (GH) du plan (AGH).
Nous en déduisons que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).

2.  Déterminons les coordonnées du vecteur  \overrightarrow{ED}. \left\lbrace\begin{array}l E(0\ ;\,0\ ;\,1)\\D(0\,;\,1\,;\,0)\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}0-0\\1-0\\0-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}}

Déterminons ensuite une équation cartésienne du plan (AGH).
Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}   admet une équation cartésienne de la
forme ax  + by  + cz  + d  = 0.

Puisque le vecteur  \overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}   est orthogonal au plan (AGH), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (AGH) est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y-z+d=0.}

Or le point A(0 ; 0 ; 0) appartient au plan (AGH).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où  \overset{{\white{.}}}{0-0+d=0,}  soit d   = 0.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (AGH) est  \boxed{y-z=0}.

3.  On désigne par L le point de coordonnées  (\dfrac{2}{3}\ ;\,1\ ;\,0)

3. a)  La droite (EL) est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{EL}.

\left\lbrace\begin{array}l E(0\ ;\,0\ ;\,1)\\\overset{{\white{.}}}{L(\dfrac{2}{3}\ ;\,1\ ;\,0)}\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{EL}\begin{pmatrix}\dfrac{2}{3}-0\\\overset{{\white{.}}}{1-0}\\0-1\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{EL}\begin{pmatrix}{\red{\dfrac{2}{3}}}\\\overset{{\phantom{.}}}{{\red{1}}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix}}

La droite (EL) passe par le point  \overset{{\white{.}}}{E({\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{1}}).}

D'où une représentation paramétrique de la droite (EL) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{\dfrac{2}{3}}}\times t\\\overset{{\white{.}}}{y={\blue{0}}+{\red{1}}\times t}\\z={\blue{1}}+{\red{(-1)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{(EL):\left\lbrace\begin{array}l x=\frac{2}{3}t\\y=t\\z=1-t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

3. b)  Les coordonnées du point d'intersection P de la droite (EL) et du plan (AGH) sont les solutions du système composé par les équations de la droite (EL) et du plan (AGH), soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=\frac{2}{3}t\\y=t\\z=1-t\\y-z=0\end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l  x=\frac{2}{3}t\\y=t\\z=1-t\\t-(1-t)=0 \end{array}\quad\left\lbrace\begin{array}l  x=\frac{2}{3}t\\y=t\\z=1-t\\t-1+t=0 \end{array}

\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l  x=\frac{2}{3}t\\y=t\\z=1-t\\2t=1 \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l  x=\frac{2}{3}t\\y=t\\z=1-t\\t=\frac{1}{2} \end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l  x=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}\\\overset{{\phantom{.}}}{y=\frac{1}{2}}\\z=1-\frac{1}{2}\\t=\frac{1}{2} \end{array}

\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{array}l  x=\frac{1}{3}\\\overset{{\phantom{.}}}{y=\frac{1}{2}}\\\overset{{\white{.}}}{z=\frac{1}{2}}\\\overset{{\white{.}}}{t=\frac{1}{2}} \end{array}
D'où les coordonnées du point P sont  \boxed{\left(\dfrac{1}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\, ;\, \dfrac{1}{2}\right)}.

3. c)  Nous devons démontrer que projeté orthogonal du point L sur le plan (AGH) est le point K de coordonnées  \left(\frac{2}{3}\,;\,\frac{1}{2}\, ;\, \frac{1}{2}\right).

\left\lbrace\begin{array}l L(\frac{2}{3}\ ;\,1\ ;\,0)\\\overset{{\white{.}}}{K(\frac{2}{3}\,;\,\frac{1}{2}\,;\,\frac{1}{2})}\end{array}\quad\Longrightarrow\quad\overrightarrow{LK}\begin{pmatrix}\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\\\overset{{\white{.}}}{\frac{1}{2}-1}\\\overset{{\phantom{.}}}{\frac{1}{2}-0}\end{pmatrix}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\overrightarrow{LK}\begin{pmatrix}0\\-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{pmatrix}}

\text{Or }\,\overrightarrow{ED}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}.

\text{D'où }\,\overrightarrow{LK}=-\dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{ED}.

Nous en déduisons que les vecteurs  \overrightarrow{LK}  et  \overrightarrow{ED}  sont colinéaires.
Donc les droites (LK) et (ED) sont parallèles.
Mais nous avons montré dans la question 1. c) que la droite (ED) est orthogonale au plan (AGH).
Dès lors, la droite (LK) est orthogonale au plan (AGH).
De plus le point K appartient au plan (AGH) car ses coordonnées vérifient l'équation du plan (AGH).
En effet,  \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Par conséquent, le point K est le projeté orthogonal du point L sur le plan (AGH).

3. d)  La distance du point L au plan (AGH) est la distance LK.

LK=\sqrt{0^2+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{LK}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}}
\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{LK}=\sqrt{\dfrac{2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{4}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{LK}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{{LK}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}
D'où la distance du point L au plan (AGH) est égale à  \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

3. e) Déterminons le volume du tétraèdre LAGH.
Nous pouvons concevoir le tétraèdre LAGH comme suit :
{\white{xxx}} la base est le triangle AGH
{\white{xxx}} la hauteur est [LK].

Donc,  \overset{{\white{.}}}{\text{Volume}_{\text{tétraèdre LAGH}}=\dfrac{1}{3}\times \text{Aire}_{AGH}\times LK.}

\bullet{\white{w}} Déterminons l'aire du triangle AGH.

Selon la question 1. b), nous savons que la droite (GH) est orthogonale au plan (EDH).
Or la droite (AH) est incluse dans ce plan (EDH).
Dès lors, la droite (GH) est perpendiculaire à la droite (AH), et par suite, le triangle AGH est rectangle en H.
Nous en déduisons que  \text{Aire}_{AGH}=\dfrac{HG\times AH}{2}.

Puisque HG = 1, nous obtenons :  \text{Aire}_{AGH}=\dfrac{AH}{2}.

Par Pythagore dans le triangle ADH rectangle en D, nous obtenons :

AH^2=AD^2+DH^2 \\\phantom{AH^2}=1^2+1^2 \\\phantom{AH^2}=2 \\\\\Longrightarrow AH=\sqrt{2}.
Par conséquent,  \boxed{\text{Aire}_{AGH}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\,.

\bullet{\white{w}} Nous savons par la question 3. d) que  LK=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

En conséquence,  \text{Volume}_{\text{tétraèdre LAGH}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{12} ,
soit  \boxed{\overset{{\white{.}}}{\text{Volume}_{\text{tétraèdre LAGH}}=\dfrac{1}{6}}\,.}

7 points

exercice 3

Principaux domaines abordés : Fonctions, suites.

Question 1 - Réponse b

Soit la fonction g  définie sur R par  g(x)=x^{1000}+x.
La fonction g  est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R.
Nous obtenons :  \overset{{\white{.}}}{g'(x)=1000x^{999}+1.}

La fonction g'  est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R.
Dès lors,  g''(x)=1000\times999x^{998}\quad\Longrightarrow\quad g''(x)=999\,000x^{998}.

Signe de g''(x) sur R :

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g''(x)&&+&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Par conséquent, la fonction g  est convexe sur R.
La proposition correcte est donc la réponse b.

Question 2 - Réponse a

On considère une fonction f  définie et dérivable sur R.
On note  C  la courbe représentative de f .
On note  \Gamma  la courbe représentative de f' .
Ci-dessous le tracé de la courbe  {\red{\Gamma}} .

Bac général spécialité maths 2022 Liban-Mayotte (2) : image 14


On note T  la tangente à la courbe  {\red{C}}  au point d'abscisse 0.

Le coefficient directeur de cette tangente T  est donné par f' (0).
Or la courbe  {\red{\Gamma}}  nous indique que f' (0) = 1.
Nous cherchons à déterminer l'équation d'une droite parallèle à la tangente T , soit une droite ayant un coefficient directeur égal à 1.
Parmi les propositions de réponse, la seule droite ayant un coefficient directeur égal à 1 est la droite d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=x.}
La proposition correcte est donc la réponse a.

Question 3 - Réponse c

On considère la suite (un ) définie pour tout entier naturel n  par :  u_n=\dfrac{(-1)^n}{n+1}.

Pour tout entier naturel n ,

-1\le(-1)^n\le1\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{-1}{n+1}\le\dfrac{(-1)^n}{n+1}\le\dfrac{1}{n+1} \\\\\text{Or }\quad n\ge0\quad\Longrightarrow\quad n+1\ge1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwvw}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{n+1}\le1\\\overset{{\phantom{.}}}{\dfrac{-1}{n+1}\ge-1}\end{matrix}\right.}

\\\\\text{D'où }\,-1\le(-1)^n\le1\quad\Longrightarrow\quad-1\le\dfrac{-1}{n+1}\le\dfrac{(-1)^n}{n+1}\le\dfrac{1}{n+1}\le1 \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad}-1\le\dfrac{(-1)^n}{n+1}\le1 \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad}\boxed{-1\le u_n \le1}
Par conséquent, la suite (un ) est bornée.
La proposition correcte est donc la réponse c.

Question 4 - Réponse c

Soit k  un nombre réel non nul.
Soit (vn ) une suite définie pour tout entier naturel n .
On suppose que v 0 = k  et que pour tout n , on a :  v_n\times v_{n+1}<0.
On peut affirmer que v 10 est du signe de k .

En effet, la relation  \overset{{\white{.}}}{v_n\times v_{n+1}<0}  signifie que pour tout n , deux termes consécutifs  \overset{{\white{.}}}{v_n}  et  \overset{{\white{.}}}{v_{n+1}}  sont de signes contraires.
Dès lors pour tout n ,  \overset{{\white{.}}}{v_n}  et  \overset{{\white{.}}}{v_{n+2}}  sont de même signe.
D'où les termes  v_0,\,v_2,\,v_4,\,v_6,\,v_8,\,v_{10},\,...  sont du même signe que v 0, soit du même signe que k .
Par conséquent, v 10 est du signe de k .
La proposition correcte est donc la réponse c.

Question 5 - Réponse b

On considère la suite (wn ) définie pour tout entier naturel n  par :  \left\lbrace\begin{matrix}w_{n+1}=2w_n-4\\w_2=8\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.

Nous obtenons ainsi :

\left\lbrace\begin{matrix}w_{2}=2w_1-4\\w_2=8\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad8=2w_1-4 \\\phantom{wwwwwwwww}\quad\Longrightarrow\quad2w_1=12 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwww}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_1=6}}

\left\lbrace\begin{matrix}w_{1}=2w_0-4\\w_1=6\phantom{xxxx}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad6=2w_0-4 \\\phantom{wwwwwwwww}\quad\Longrightarrow\quad2w_0=10 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwwwwww}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{w_0=5}}
La proposition correcte est donc la réponse b.

Question 6 - Réponse b

On considère la suite (an ) définie pour tout entier naturel n  par :  \left\lbrace\begin{matrix}a_{n+1}=\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}\,a_n\\\overset{{\white{.}}}{a_0=1\phantom{xxxxxxx}}\end{matrix}\right.

Déterminons les premiers termes de la suite (an ).

\bullet{\white{x}}\boxed{a_0=1} \\\\\bullet{\white{x}}a_{1}=\dfrac{\text{e}^0}{\text{e}^0+1}\,a_0=\dfrac{1}{1+1}\times1=\dfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a_1=\dfrac{1}{2}}

\bullet{\white{x}}a_{2}=\dfrac{\text{e}^1}{\text{e}^1+1}\,a_1=\dfrac{\text{e}}{\text{e}+1}\times\dfrac{1}{2}=\dfrac{\text{e}}{2(\text{e}+1)}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a_2=\dfrac{\text{e}}{2(\text{e}+1)}\approx0,366}

\bullet{\white{x}}a_{3}=\dfrac{\text{e}^2}{\text{e}^2+1}\,a_2=\dfrac{\text{e}^2}{\text{e}^2+1}\times\dfrac{\text{e}}{2(\text{e}+1)}=\dfrac{\text{e}^3}{2(\text{e}+1)(\text{e}^2+1)} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a_3=\dfrac{\text{e}^3}{2(\text{e}+1)(\text{e}^2+1)}\approx0,322}

Nous pouvons conjecturer que la suite (an ) est strictement décroissante.
Démontrons cette conjecture.

Montrons d'abord par récurrence que pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{a_n>0.}

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que  \overset{{\white{.}}}{a_0>0.}
C'est une évidence car  a_0=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a_0>0}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{a_n>0} , alors  \overset{{\white{.}}}{a_{n+1}>0.}

En effet,   \left\lbrace\begin{matrix}a_{n+1}=\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}\,a_n\\\overset{{\white{.}}}{\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}>0\phantom{wwww}}\\\overset{{\white{.}}}{a_n>0\phantom{ww}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a_{n+1}>0}
L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{a_n>0.}

Montrons ensuite que pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{a_{n+1}<a_n.}
D'une part, pour tout entier naturel n ,  0<\text{e}^n<\text{e}^n+1\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}<1.

D'autre part, pour tout entier naturel n ,

\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}<1\\\overset{{\white{ô}}}{a_n>0}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{\text{e}^n}{\text{e}^n+1}\times a_n<1\times a_n \\\phantom{xxxxxwwww}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a_{n+1}<a_n}
Par conséquent, la suite (an ) est strictement décroissante.
La proposition correcte est donc la réponse b.

Question 7 - Réponse c

Nous devons déterminer le plus petit entier naturel n  vérifiant l'inéquation :  \overset{{\white{.}}}{2^n\ge4\,000.}

2^n\ge4000\quad\Longleftrightarrow\quad  \ln(2^n)\ge\ln4\,000 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2^n\ge4000}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln2\ge\ln4\,000}  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{2^n\ge4000}\quad\Longleftrightarrow\quad n\ge\dfrac{\ln4\,000}{\ln2} } \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln4\,000}{\ln2}\approx11,97
Le plus petit entier naturel n  vérifiant l'inéquation est n = 12.
Donc durant les 4 heures soit durant 240 minutes, il y a eu 12 fois un temps de génération pour obtenir 4000 cellules.
Dès lors, le temps de génération est de  \dfrac{240}{12}=20  minutes.
La proposition correcte est donc la réponse c.

7 points

exercice 4

Principaux domaines abordés : Fonctions, fonction exponentielle, fonction logarithme, suites.

Partie A

On considère la fonction f  définie pour tout réel x  de ]0 ; 1] par :  f(x)=\text{e}^{-x}+\ln(x).

1.  Nous devons calculer la limite de f  en 0.

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\text{e}^{-x}=1\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(\overset{}{\text{e}^{-x}+\ln(x)}\right)=-\infty \\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}

2.  Pour tout x  appartenant à ]0 ; 1],

f'(x)=(-x)'\,\text{e}^{-x}+\dfrac{1}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=-\text{e}^{-x}+\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-x\,\text{e}^{-x}+1}{x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1-x\,\text{e}^{-x}}{x}}

3.  Pour tout x  appartenant à ]0 ; 1],

0<x\le1\quad\Longrightarrow\quad-1\le -x<0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x\le1}\quad\Longrightarrow\quad\text{e}^{-1}\le \text{e}^{-x}<\text{e}^{0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x\le1}\quad\Longrightarrow\quad0<\text{e}^{-1}\le \text{e}^{-x}<1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{0<x\le1}\quad\Longrightarrow\quad0<\text{e}^{-x}<1}

\text{D'où }\,\left\lbrace\begin{matrix}0<x\le1\\\overset{{\phantom{.}}}{0<\text{e}^{-x}<1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad0<x\,\text{e}^{-x}<1
Par conséquent, pour tout x  appartenant à ]0 ; 1],  \boxed{x\,\text{e}^{-x}<1}

Nous en déduisons que pour tout x  appartenant à ]0 ; 1],  \overset{{\white{.}}}{1-x\,\text{e}^{-x}>0.}

D'où le tableau de variation de f  sur ]0 ; 1].

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0\phantom{www}&&&&1\\&&&&&\\\hline&&&&&\\1-x\,\text{e}^{-x}&&+&+&+&\\x&0\phantom{www}&+&+&+&\\&&&&&\\\hline&||\phantom{www}&&&&\\f'(x)&||\phantom{www}&+&+&+&\\&||\phantom{www}&&&&\\\hline&||\phantom{www}&&&&\text{e}^{-1}\\f(x)&||\phantom{www}&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&||-\infty&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

4.  La fonction f  est continue sur l'intervalle ]0 ; 1] car elle est dérivable sur cet intervalle.
La fonction f  est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 1] (voir tableau de variation de f ).

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\\\overset{{\white{.}}}{f(1)=\text{e}^{-1}>0}\end{matrix}\right.
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution notée  \overset{{\white{.}}}{\ell}  dans l'intervalle ]0 ; 1].

Partie B

1.  On définit deux suites (an ) et (bn ) par :

 {\white{xxxxxxx}}\left\lbrace\begin{matrix}a_0=\frac{1}{10}\\\overset{{\white{.}}}{b_0=1}\end{matrix}\right.  et pour tout entier naturel n ,  \left\lbrace\begin{matrix}a_{n+1}=\text{e}^{-b_n}\\\overset{{\white{.}}}{b_{n+1}=\text{e}^{-a_n}}\end{matrix}\right.

{\red{\text{1\ a)}}} {\white{xx}}\bullet{\white{x}}a_1=\text{e}^{-b_0}=\text{e}^{-1}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{a_1=\text{e}^{-1}\approx0,37} \\\\ {\white{xxxxx}}\bullet{\phantom{x}}b_1=\text{e}^{-a_0}=\text{e}^{-\frac{1}{10}}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{b_1=\text{e}^{-\frac{1}{10}}\approx0,90}

1. b)  En supposant que la fonction "exp() "a été importée à partir de la librairie "math ", la fonction termes  calculant les termes des suites (an ) et (bn ) se définit comme suit :

Bac général spécialité maths 2022 Liban-Mayotte (2) : image 17


2.  On rappelle que la fonction  x\mapsto \text{e}^{-x}  est décroissante sur  \R.

2. a)  Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{0<a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le1.}

Initialisation  : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que  \overset{{\white{.}}}{0<a_0\le a_{1}\le b_{1}\le b_0\le1.}

C'est une évidence car  \left\lbrace\begin{matrix}a_0=\frac{1}{10}=0,1\\\overset{{\white{.}}}{a_1\approx0,37}\phantom{wwv}\\\overset{{\white{.}}}{b_1\approx0,90}\phantom{wwv}\\\overset{{\white{.}}}{b_0=1\phantom{wwww}} \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{0<a_0\le a_{1}\le b_{1}\le b_0\le1}
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{0<a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le1} , alors  \overset{{\white{.}}}{0<a_{n+1}\le a_{n+2}\le b_{n+2}\le b_{n+1}\le1.}

En effet,  

0<a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le1 \\\\\Longrightarrow\quad\text{e}^{0}>\text{e}^{-a_n}\ge \text{e}^{-a_{n+1}}\ge \text{e}^{-b_{n+1}}\ge \text{e}^{-b_n}\ge\text{e}^{-1}\quad(\text{car }x\mapsto\text{e}^{-x}\text{ est décroissante)}

\\\\\Longrightarrow\quad1>b_{n+1}\ge b_{n+2}\ge a_{n+2}\ge a_{n+1}\ge\text{e}^{-1}(>0) \\\\\Longrightarrow\quad \overset{{\white{.}}}{0<\text{e}^{-1}\le a_{n+1}\le a_{n+2}\le b_{n+2}\le b_{n+1}\le1} \\\\\Longrightarrow\quad \overset{{\white{.}}}{\boxed{0<a_{n+1}\le a_{n+2}\le b_{n+2}\le b_{n+1}\le1}}

L'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{0<a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n\le1.}

2. b)  Nous avons montré dans la question précédente que pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{0<a_n\le a_{n+1}\le 1.}
La suite (an ) est donc croissante et majorée par 1.
Selon le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite (an ) est convergente.

Nous avons montré dans la question précédente que pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{0<b_{n+1}\le b_n\le 1.}
La suite (bn ) est donc décroissante et minorée par 0.
Selon le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite (bn ) est convergente.

3.  On note A  la limite de (an ) et B  la limite de (bn ).
On admet que A  et B  appartiennent à l'intervalle ]0 ; 1] et que  A=\text{e}^{-B}  et  B=\text{e}^{-A}.

3. a)  Nous devons montrer que f (A ) = 0.

\left\lbrace\begin{matrix}A=\text{e}^{-B}\\B=\text{e}^{-A}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\ln(A)=-B\\-B=-\text{e}^{-A}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\ln(A)=-\text{e}^{-A}

{\white{WWWWWWWWWWWWWWW}}\Longrightarrow\quad\text{e}^{-A}+\ln(A)=0 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(A)=0}

3. b)  En appliquant le même raisonnement que dans la question 3. a), nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}B=\text{e}^{-A}\\A=\text{e}^{-B}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\ln(B)=-A\\-A=-\text{e}^{-B}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\ln(B)=-\text{e}^{-B}

{\white{WWWWWWWWWWWWWWW}}\Longrightarrow\quad\text{e}^{-B}+\ln(B)=0 \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(B)=0}

Puisque f (A ) = 0 et f (B ) = 0, nous en déduisons que A  et B  sont deux solutions de l'équation f (x ) = 0.
Or nous savons par la question 4. Partie A, que l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution notée  \ell  dans l'intervalle ]0 ; 1].
Dès lors  A=B=\ell .
Par conséquent,  \boxed{A-B=0}\,.
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