Fiche de mathématiques

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Bac Madagascar 2022

Mathématiques Série D

Durée : 3 heures 15 minutes
Coefficient : 4

L'utilisation d'une machine calculatrice scientifique non programmable est autorisée

5 points

exercice 1

Soit $P$ le polynôme à variable complexe $z$ défini par : $P(z)=z^2-iz-1+i$ .

1) Résoudre dans $\C$ l'équation $P(z)=0$ .

2) Dans le plan complexe $(\mathscr{P})$ muni d'un repère orthonormé direct $(O,\vec{u},\vec{v})$ d'unité 1cm , on donne les points $A,B,C$ d'affixes respectives $z_A=1\text{ ; }z_B=-1+i\text{ et }z_C=1+5i$ .
a) Placer les points $A,B,C$ .
b) Montrer que $ABC$ est un triangle rectangle en $B$ .
c) Déterminer et construire , dans $(\mathscr{P})$ , l'ensemble $(\mathscr{D})$ des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $\left|\dfrac{z-1}{z+1-i}\right|=1$ .

3) Soit $S$ la similitude plane directe qui laisse invariant le point $B$ et transforme $A$ en $C$ .
a) Donner l'expression complexe et les éléments caractéristiques de $S$ .
b) Déterminer et construire , dans $(\mathscr{P})$ , l'ensemble $(\Gamma)$ image de l'ensemble $(\mathscr{D})$ par $S$ .

5 points

exercice 2

probleme

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[-1;+\infty[$ par : $\begin{cases} f(-1)=e &\\f(x)=(x+1)\ln(x+1)+e^{-x} &\text{ si }x>-1\end{cases}$

On désigne par $(\mathscr{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ tels que $||\vec{i}||=2\text{ cm et }||\vec{j}||=1\text{ cm }$ .

1-a) Etudier la continuité à droite en $x_0=-1$ de la fonction $f$ .
b) Montrer que $\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}}\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=-\infty \text{ (On peut poser }X=x+1)$ .

2) Soit $g$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=1+\ln(1+x)-e^{-x}$ .
a) Etudier la variation de $g$ .
b) Calculer $g(0)$ et en déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ .

3-a) Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée première de $f$ .
b) Dresser le tableau de variation de $f$ .

4-a) Etudier la branche infinie de $(\mathscr{C})$ .
b) Construire $(\mathscr{C})$ en précisant la demi-tangente au point d'abscisse $x_0=-1$ .

5) A l'aide d'une intégration par partie , calculer , en $\text{ cm}^2$ , l'aire du domaine plan limité par la courbe $(\mathscr{C})$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=0 \text{ et }x=2$ .

6) Soit $(U_n)_{n\in\N}$ la suite définie par : $U_n=\displaystyle\int_{\frac{n}{2}}^{\frac{n+1}{2}} e^{-x}\text{ d}x \text{ pour tout }n\in\N$ .
a) Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ .
b) Montrer que $(U_n)_{n\in\N}$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .

Correction

Bac Madagascar 2022 série D

5 points

exercice 1

Soit P le polynôme à variable complexe z défini par : $\overset{{\white{.}}}{P(z)=z^2-\text{i}z-1+\text{i}.}$

1. Résoudre dans $\C$ l'équation $\overset{{\white{.}}}{P(z)=0.}$

$P(z)=0\quad\Longleftrightarrow\quad z^2-\text{i}z-1+\text{i}=0$

Discriminant :

$\Delta=(-\text i)^2-4\times1\times(-1+\text{i}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=-1+4-4\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=3-4\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=4-4\text{i}-1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\Delta}=(2-\text{i})^2}$

Solutions :

$\bullet\quad z_1=\dfrac{\text{i}+(2-\text{i})}{2}=\dfrac{\text{i}+2-\text{i}}{2}=\dfrac{2}{2}=1 \\\overset{{\white{.}}}{\bullet\quad z_2=\dfrac{\text{i}-(2-\text{i})}{2}=\dfrac{\text{i}-2+\text{i}}{2}=\dfrac{-2+2\text{i}}{2}=\dfrac{2(-1+\text{i})}{2}=-1+\text{i}}$

D'où l'ensemble des solutions de l'équation $\overset{{\white{.}}}{P(z)=0}$ est $\overset{{\white{.}}}{\boxed{S=\lbrace1\;;\,-1+\text{i}\rbrace}\,.}$

2. Dans le plan complexe $\overset{{\white{.}}}{(\mathscr{P})}$ muni d'un repère orthonormé direct $\overset{{\white{.}}}{(O,\vec{u},\vec{v})}$ d'unité 1cm , on donne les points A, B, C d'affixes respectives $\overset{{\white{.}}}{z_A=1\text{ ; }z_B=-1+\text i\text{ et }z_C=1+5\text i .}$

2. a) Plaçons les points A, B, C .

Voir le graphique à la question 3. b)

2. b) Nous devons montrer que ABC est un triangle rectangle en B .

${\white{xxxx}}$ $\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\dfrac{1+5\text i+1-\text i}{1+1-\text i}=\dfrac{2+4\text i}{2-\text i}=\dfrac{2\text i(2-\text i)}{2-\text i}=2\text i \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=2\text i }$

Nous en déduisons que le triangle ABC est rectangle en B (et secondairement que BC = 2AB ).

2. b) Déterminons et construisons , dans $(\mathscr{P})$ , l'ensemble $(\mathscr{D})$ des points M d'affixe z vérifiant $\overset{{\white{.}}}{\left|\dfrac{z-1}{z+1-\text i}\right|=1.}$
$\left|\dfrac{z-1}{z+1-\text i}\right|=1\quad\Longleftrightarrow\quad\left|\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right|=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\dfrac{|z-z_A|}{|z-z_B|}=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad |z-z_A|=|z-z_B|\quad\text{et}\quad z\neq z_B} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{MA=MB\quad\text{et}\quad M\neq B}}$

D'où les points M sont équidistants des points A et B .
Par conséquent l'ensemble $(\mathscr{D})$ est la médiatrice du segment [AB ].

Voir le graphique à la question 3. b)

3. Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point B et transforme A en C .

3. a) Nous devons donner l'expression complexe et les éléments caractéristiques de S .

Nous savons que si S est une similitude directe du plan, alors il existe un unique nombre complexe a different

0 et un unique nombre complexe b tels que, pour tout point M d'affixe z et tout point M' d'affixe z' ,
M' est l'image de M par S si et seulement si : $z' = az + b.$

Le point B étant un point invariant, nous avons : $\overset{{\white{.}}}{B=S(B).}$
Le point C étant l'image du point A par S , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{C=S(A).}$

Dès lors,

$\left\lbrace\begin{matrix}B=S(B)\\\overset{{\white{.}}}{C=S(A)}\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_B=a\,z_B+b\\\overset{{\white{.}}}{z_C=a\,z_A+b}\end{matrix}\right. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}-1+\text{i}=a\,(-1+\text{i})+b\\\overset{{\phantom{.}}}{1+5\,\text{i}=a\times1+b}\end{matrix}\right.}$
${\white{.}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWw}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}-1+\text{i}=a\,(-1+\text{i})+b\quad(1)\\\overset{{\phantom{.}}}{1+5\,\text{i}=a+b}\phantom{wWWwi}\quad(2)\end{matrix}\right.} \\\\ (2)-(1)\quad\Longleftrightarrow\quad 1+5\,\text{i}+1-\text{i}=a+b+a-\text{i}\,a-b \\\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad 2+4\,\text{i}=2a-\text{i}\,a \\\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad 2+4\,\text{i}=(2-\text{i})\,a \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(1)-(2)}\quad\Longleftrightarrow\quad a=\dfrac{2+4\,\text{i}}{2-\text{i}}=\dfrac{(2+4\,\text{i})(2+\text{i})}{(2-\text{i})(2+\text{i})}=\dfrac{4+2\text{i}+8\,\text{i}-4}{4+1}} \\\\\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{10\,\text{i}}{5}=2\,\text{i} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{a=2\,\text{i}}$

$\left\lbrace\begin{matrix}a=2\,\text{i}\phantom{www}\\\overset{{\phantom{.}}}{1+5\,\text{i}=a+b}\quad(2)\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=2\,\text{i}\phantom{w}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=1+5\,\text{i}-a}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}a=2\,\text{i}\phantom{www}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=1+5\,\text{i}-2\,\text{i}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=2\,\text{i}\phantom{ww}\\\overset{{\phantom{.}}}{b=1+3\,\text{i}}\end{matrix}\right.}$

D'où, l'écriture complexe de S est $\overset{{\white{.}}}{z'=2\,\text iz+1+3\text i.}$

Nous devons donner l'angle et le rapport de S .

$_\bullet{\white{x}}$ Le rapport de la similitude s est $\overset{{\white{.}}}{|\,a\,|=|\,2\,\text{i}\,|=2\,.}$
$_\bullet{\white{x}}$ L'angle $\theta$ de la similitude S est un argument de a , soit $\overset{{\white{.}}}{\theta = \dfrac{\pi}{2}.}$

Par conséquent, S est une similitude de centre B , de rapport 2 et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$

3. b) Déterminons et construisons , dans $(\mathscr{P})$ , l'ensemble $(\Gamma)$ , image de l'ensemble $(\mathscr{D})$ par S .

Soit le point D , d'affixe z_D , milieu du segment [AB ].
$\overset{{\white{.}}}{z_D=\dfrac{z_A+z_B}{2}=\dfrac{1-1+\text{i}}{2}=\dfrac{\text{i}}{2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{z_D=\dfrac{1}{2}\,\text{i}}}$

Ce point D appartient à la droite $(\mathscr{D})$ car $(\mathscr{D})$ est la médiatrice du segment [AB ] et comprend donc le point D , milieu de [AB ].

Dès lors, selon la question 3. a), l'image de la droite $(\mathscr{D})$ par S est la droite $(\Gamma)$ passant par le point D' = S (D ) et formant un angle $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{\pi}{2}}$ avec la droite $(\mathscr{D})$ .

Déterminons l'affixe z_D' de D' .

$\overset{{\white{.}}}{z_{D'}=2\,\text iz_D+1+3\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_{D'}}=2\,\text i\,\left(\dfrac{1}{2}\,\text{i}\right)+1+3\text i} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{z_{D'}}=-1+1+3\text i} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{z_{D'}}=3\text i} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_{D'}=3\text i}$

Par conséquent, l'ensemble $(\Gamma)$ , image de l'ensemble $(\mathscr{D})$ par S est la droite perpendiculaire à la droite $(\mathscr{D})$ au point D' d'affixe 3i.

5 points

exercice 2

On dispose d'une urne contenant six jetons indiscernables au toucher dont :

Trois jetons numérotés 1 .
Deux jetons numérotés 2 .
Un jeton numéroté 3 .

Et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1, 1, 2, 2, 2, 3.
L'épreuve (E ) consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de l'urne et à lancer une fois le dé .

Partie A

1. On suppose que tous les événements élémentaires sont équiprobables.

$_\bullet{\white{x}}$ Considérons les tirages de deux jetons de l'urne et calculons leurs probabilités.
La probabilité de tirer les jetons numérotés i et j se notera : P (i,j).
Par exemple, P (1,3) représente la probabilité de tirer de l'urne les jetons numérotés 1 et 3.

Le nombre de tirages possibles de deux jetons parmi six jetons est égal à $\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=\dfrac{6\times5}{2}=15.$

Nous obtenons ainsi :

$P(1,1)=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}{15}=\dfrac{3}{15}=\dfrac{1}{5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(1,1)=\dfrac{1}{5}} \\\\P(1,2)=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{15}=\dfrac{3\times2}{15}=\dfrac{2}{5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(1,2)=\dfrac{2}{5}} \\\\P(1,3)=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{15}=\dfrac{3\times1}{15}=\dfrac{1}{5}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(1,3)=\dfrac{1}{5}} \\\\P(2,2)=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}{15}=\dfrac{1}{15}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(2,2)=\dfrac{1}{15}} \\\\P(2,3)=\dfrac{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{15}=\dfrac{2\times1}{15}=\dfrac{2}{15}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(2,3)=\dfrac{2}{15}}$

$_\bullet{\white{x}}$ Considérons les lancers du dé et calculons les probabilités d'apparitions des numéros sur la face supérieure.
La probabilité de voir apparaître le numéro 1 sur la face supérieure se note P' (1), de voir apparaître le numéro 2 sur la face supérieure se note P' (2) et de voir apparaître le numéro 3 sur la face supérieure se note P' (3).

Nous obtenons ainsi :

$P\,'(1)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P\,'(1)=\dfrac{1}{3}} \\\\P\,'(2)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P\,'(2)=\dfrac{1}{2}} \\\\\boxed{P\,'(3)=\dfrac{1}{6}}$

$_\bullet{\white{x}}$ Soit les événements suivants :

A : "Le produit des trois numéros obtenus est égal à 4."
B : "La somme des trois numéros obtenus est égale à 5."

Calculons P (A ).

L'événement A est réalisé lorsque l'on tire les jetons 1 et 2 de l'urne en obtenant 2 sur la face supérieure du dé ou lorsque l'on tire les jetons 2 et 2 de l'urne en obtenant 1 sur la face supérieure du dé.

Nous en déduisons que :

$P(A)=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{15}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{45}=\dfrac{2}{9} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(A)=\dfrac{2}{9}}$

L'événement B est réalisé lorsque :
l'on tire les jetons 1 et 1 de l'urne en obtenant 3 sur la face supérieure du dé ou
l'on tire les jetons 1 et 2 de l'urne en obtenant 2 sur la face supérieure du dé ou
l'on tire les jetons 1 et 3 de l'urne en obtenant 1 sur la face supérieure du dé ou
l'on tire les jetons 2 et 2 de l'urne en obtenant 1 sur la face supérieure du dé ou

Nous en déduisons que :

$P(B)=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{29}{90} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(B)=\dfrac{29}{90}}$

2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de numéro 2 lors d'une épreuve.
La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1; 2 ou 3.

La loi de probabilité de X est donc :

$P(X=0)=P(1,1)\times P\,'(1)+P(1,1)\times P\,'(3)+P(1,3)\times P\,'(1)+P(1,3)\times P\,'(3) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)}=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{6}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)}=\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{30}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)}=\dfrac{1}{5}} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=0)=\dfrac{1}{5}}$

$P(X=1)=P(1,1)\times P\,'(2)+P(1,2)\times P\,'(1)+P(1,2)\times P\,'(3)+P(1,3)\times P\,'(2) \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWW}+P(2,3)\times P\,'(1)+P(2,3)\times P\,'(3)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=0)}=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{15}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{15}\times\dfrac{1}{6}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{15}+\dfrac{1}{15}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{45}+\dfrac{1}{45}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=1)}=\dfrac{7}{15}} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=1)=\dfrac{7}{15}}$

$P(X=2)=P(1,2)\times P\,'(2)+P(2,2)\times P\,'(1)+P(2,2)\times P\,'(3)+P(2,3)\times P\,'(2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{15}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}\times\dfrac{1}{6}+\dfrac{2}{15}\times\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{45}+\dfrac{1}{90 }+\dfrac{1}{15}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=2)}=\dfrac{3}{10}} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=2)=\dfrac{3}{10}}$

$P(X=3)=P(2,2)\times P\,'(2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=3)}=\dfrac{1}{15}\times\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(X=3)}=\dfrac{1}{30}} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{P(X=3)=\dfrac{1}{30}}$

Résumons cette loi de probabilité par un tableau.

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccc|ccc|ccc|ccc|} \hline &&&&&&&&&&&&\\ x_i &&0&&&1&&&2&&&3&&& &&&&&&&&&&&\\ \hline&&&&&&&&&&&&\\ P(X=x_i)&&\dfrac{1}{5}&&&\dfrac{7}{15}&&&\dfrac{3}{10}&&&\dfrac{1}{30}&\\&&&&&&&&&&&&\\ \hline \end{array}$

Partie B

1. Lors d'une épreuve , on appelle "succès" l'obtention de trois numéros impairs.

La probabilité d'avoir un succès est égale à la probabilité de ne pas obtenir de numéro "deux", soit $\overset{{\white{.}}}{P(X=0)=\dfrac{1}{5}.}$
Par conséquent, la probabilité d'avoir un succès est égale à $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{5}.}$

2. Soit $\overset{{\white{.}}}{n\in\N^{*}\backslash\lbrace 1\rbrace.}$
On répète n fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve (E ) .
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de succès à l'issue des n épreuves.
La variable aléatoire Y suit une loi binomiale $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{B}(n\,;\, \dfrac{1}{5}).}$

2. a) Calculer la probabilité $\overset{{\white{.}}}{p_n}$ de l'événement : $\overset{{\white{.}}}{A_n}$ : "Obtenir au moins un succès lors des n épreuves" .

La loi de probabilité de Y est donnée par :

$\boxed{p(Y=k)=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^k\times\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-k}\quad\text{ avec }k\in\N,\,k\le n}$

L'événement contraire de $\overset{{\white{.}}}{A_n}$ est $\overset{{\white{.}}}{\overline{A_n}}$ : "Ne pas obtenir de succès lors des n épreuves".
Donc :

${\white{xxxxxx}}$ $p_n=P(A_n)=1-P(\overline{A_n}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n=P(A_n)}=1-P(Y=0)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n=P(A_n)}=1-\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}\times\left(\dfrac{1}{5}\right)^0\times\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n-0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n=P(A_n)}=1-1\times1\times\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}}$
${\white{xxxxxx}}$ $\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p_n=P(A_n)}=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{p_n=1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}}$

2. b) Nous devons déterminer le nombre minimum d'épreuves à effectuer pour que $\overset{{\white{.}}}{p_n>0,99.}$

Déterminons le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation $\overset{{\white{.}}}{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}>0,99.}$
$1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}>0,99\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}<1-0,99 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}<0,01} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}<\ln0,01} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad n\times\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)<\ln0,01}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad n>\dfrac{\ln0,01}{\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)}}\quad\text{(changement de sens de l'inégalité car }\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)<0) \\\\\text{Or }\;\dfrac{\ln0,01}{\ln\left(\dfrac{4}{5}\right)}\approx20,6.$

Le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation est n = 21.

Par conséquent, il faudra effectuer au minimum 21 épreuves pour obtenir $\overset{{\white{.}}}{p_n>0,99.}$

10 points

probleme

On considère la fonction numérique f définie sur $\overset{{\white{.}}}{[-1;+\infty[}$ par : $\begin{cases} f(-1)=\text{e} &\\f(x)=(x+1)\ln(x+1)+\text{e}^{-x} &\text{ si }x>-1\end{cases}$

1. a) Nous devons étudier la continuité à droite en $\overset{{\white{.}}}{x_0=-1}$ de la fonction f .

D'une part, calculons $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to -1^+} f(x).}$

$\lim\limits_{x\to-1^+} f(x)=\lim\limits_{x\to-1^+}\left [\overset{}{(x+1)\ln(x+1)+\text{e}^{-x}}\right] \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-1^+}(x+1)\ln(x+1)\quad\underset{(X=x+1)}{=}\quad\lim\limits_{X\to0^+}X\,\ln X\quad=\quad0\quad(\text{croissances comparées})\\\lim\limits_{x\to-1^+}\text{e}^{-x}=\text{e}^{-(-1)}=\text{e}{\white{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW}} \end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to-1^+}\left [\overset{}{(x+1)\ln(x+1)+\text{e}^{-x}}\right]=0+\text{e}=\text{e} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-1^+} f(x)=\text{e}}$

Nous en déduisons que $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\boxed{\lim\limits_{x\to -1^+} f(x)=f(-1)}}$

Par conséquent, f est continue à droite en $\overset{{\white{.}}}{x_0=-1.}$

1. b) Montrons que $\displaystyle\lim_{x\to -1^{+}}\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=-\infty.$

$\lim\limits_{x\to -1^+}\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1^+}\dfrac{(x+1)\ln(x+1)+\text{e}^{-x}-\text{e}}{x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWiW}=\lim\limits_{x\to -1^+}\left[\ln(x+1)+\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}}{x+1}\right]} \\\\\text{Or }\;\lim\limits_{x\to -1^+}\ln(x+1)\quad\underset{(X=x+1)}{=}\quad\lim\limits_{X\to 0^+}\ln X\quad=-\infty \\\\\quad\quad\Longrightarrow\boxed{\lim_{x\to -1^+}\ln(x+1)=-\infty}$
$\text{et }\;\lim\limits_{x\to -1^+}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}}{x+1}=\lim\limits_{x\to -1^+}\dfrac{\text{e}\,(\text{e}^{-x-1}-1)}{x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}=\text{e}\times\lim\limits_{x\to -1^+}\dfrac{\text{e}^{-x-1}-1}{x+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}=\text{e}\times\lim\limits_{x+1\to 0^+}\dfrac{\text{e}^{-(x+1)}-1}{x+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}=\text{e}\times\lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{\text{e}^{-X}-1}{X}}$
$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}=\text{e}\times\lim\limits_{X\to 0^+}\dfrac{\text{e}^{-X}-\text{e}^0}{X-0}} \\\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}=\text{e}\times h'(0)\quad\quad\text{où }\,h(X)=\text{e}^{-X}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}=\text{e}\times (-1)\quad\quad\text{[ car }\,h'(X)=-\text{e}^{-X}\Longrightarrow h'(0)=-\text{e}^0=-1]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWi}=-\text{e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to -1^+}\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}}{x+1}=-\text{e}}}$

Par conséquent, $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to -1^+}\left[\ln(x+1)+\dfrac{\text{e}^{-x}-\text{e}}{x+1}\right]=-\infty}$ , soit $\boxed{\lim_{x\to -1^{+}}\dfrac{f(x)-f(-1)}{x+1}=-\infty}\,.$

2. Soit g la fonction définie sur ]-1 ; + infini

[ par $g(x)=1+\ln(x+1)-\text{e}^{-x}.$

2. a) Nous devons étudier la variation de g .

La fonction g est dérivable sur ]-1 ; + infini

[.

$g'(x)=[1+\ln(x+1)-\text{e}^{-x}]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=0+\dfrac{1}{x+1}-(-\text{e}^{-x})} \\\\\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g'(x)=\dfrac{1}{x+1}+\text{e}^{-x}}$

$\text{Or }\;\forall\ x\in\;]-1\,;\,+\infty]\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x+1>0\\\text{e}^{-x}>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWo}\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}>0\\\text{e}^{-x}>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWo}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{x+1}+\text{e}^{-x}>0 \\\\\phantom{WWWWWWWWo}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{g'(x)>0}$

Il s'ensuit que la fonction g est strictement croissante sur ]-1 ; +[.

2. b) $\overset{{\white{.}}}{g(0)=1+\ln1-\text{e}^{0}=1+0-1=0\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(0)=0}\,.}$

Nous en déduisons le signe de g (x ) sur ]-1 ; + infini

[.

$\bullet\quad-1<x<0 \quad\Longrightarrow\quad g(x)<g(0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWwWx}\quad\Longrightarrow\quad g(x)<0} \\\\\bullet\quad x>0\quad\Longrightarrow\quad g(x)>g(0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WwWix}\quad\Longrightarrow\quad g(x)>0} \\\\\text{D'où }\quad\boxed{\begin{matrix}-1<x<0 \quad\Longrightarrow\quad g(x)<0\\\phantom{www}x>0\quad\Longrightarrow\quad g(x)>0\end{matrix}}$

3. a) Déterminons l'expression de $\overset{{\white{.}}}{f'(x).}$

$f'(x)=(x+1)'\times\ln(x+1)+(x+1)\times[\ln(x+1)]'+(\text{e}^{-x})' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\ln(x+1)+(x+1)\times\dfrac{1}{x+1}+(-\text{e}^{-x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\ln(x+1)+1-\text{e}^{-x}} \\\\\Longrightarrow\quad\boxed{f'(x)=1+\ln(x+1)-\text{e}^{-x}\,{\red{=g(x)}}}$

3. b) Dressons le tableau de variation de f .

Calculs préliminaires

$f(0)=(0+1)\ln(0+1)+\text{e}^{0}=\ln1+1=0+1=1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{f(0)=1} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(x+1)\ln(x+1)=+\infty\phantom{wwwww}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}\quad\underset{(X=-x)}{=}\quad\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^{X}=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}[(x+1)\ln(x+1)+\text{e}^{-x}]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}$

Tableau de variation de f

${\white{xxxxxx}}\begin{array} {|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&& x &-1&&&0&&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline&&&&&&&& f'(x)=g(x)&& - && 0 & &+ &\\&&&&&&&\\ \hline&\text{e}&&&&&&+\infty\\ f(x)&&\searrow&&&&\nearrow&\\&&&&1 &&&\\ \hline \end{array}$

4. a) $_\bullet{\white{x}}$ D'une part, nous savons que $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.}$

$_\bullet{\white{x}}$ D'autre part,

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(x+1)\ln(x+1)+\text{e}^{-x}}{x} \\\\\phantom{WWWWw}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{x+1}{x}\times\ln(x+1)+\dfrac{\text{e}^{-x}}{x}\right] \\\\\phantom{WWWWw}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{x+1}{x}\times\ln(x+1)+\dfrac{1}{x\,\text{e}^{x}}\right]$
$\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x+1}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x}=1\phantom{WWWW} \\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x+1)=+\infty\phantom{WWWWWW} \\\\\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text{e}^{x}=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x\,\text{e}^{x}}=0\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\;\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\dfrac{x+1}{x}\times\ln(x+1)+\dfrac{1}{x\,\text{e}^{x}}\right]=+\infty \\\\\text{soit }\;\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}$

Nous en déduisons que la courbe $\overset{{\white{.}}}{(\mathscr{C})}$ admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées en + infini

.

4. b) Construisons $\overset{{\white{.}}}{(\mathscr{C}).}$

5. Nous devons calculer , en $\text{ cm}^2$ , l'aire du domaine plan limité par la courbe $\overset{{\white{.}}}{(\mathscr{C})}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 0 et x = 2.

L'aire demandée se calcule par : $\mathcal{A}=\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,\text{d}x.$
$\mathcal{A}=\displaystyle \int_{0}^{2} f(x)\,\text{d}x \\\phantom{\mathcal{A}}=\displaystyle \int_{0}^{2} [(x+1)\ln(x+1)+\text{e}^{-x}]\,\text{d}x \\\phantom{\mathcal{A}}=\displaystyle \int_{0}^{2} (x+1)\ln(x+1)\,\text{d}x+\displaystyle \int_{0}^{2} \text{e}^{-x}\,\text{d}x$

Calculons $I=\displaystyle \int_{0}^{2} (x+1)\ln(x+1)\,\text{d}x$

$\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{2} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_{0}^{2}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{2} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\ln(x+1)\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=\dfrac{1}{x+1}\phantom{ww}\\v'(x)=x+1\phantom{wwwwwwwv}\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{\overset{}{(x+1)^{2}}}{2}\phantom{ww}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors, }\ \displaystyle \int_{0}^{2} (x+1)\ln(x+1)\,\text{d}x=\left[\overset{}{\dfrac{(x+1)^{2}}{2}}\times\ln(x+1)\right]\limits_0^{2}-\begin{aligned}\int\nolimits_0^{2}\dfrac{1}{x+1}\times\dfrac{(x+1)^{2}}{2}\,\text d x\end{aligned} \\\\\text{Or }\ \left[\overset{}{\dfrac{(x+1)^{2}}{2}}\times\ln(x+1)\right]\limits_0^{2}=\dfrac{(2+1)^2}{2}\times\ln(2+1)-\dfrac{(0+1)^2}{2}\times\ln(0+1) \\\phantom{WWWWWWWWxWWW}=\dfrac{9}{2}\ln3-0 \\\\\phantom{WWWWWWWWxWWW}=\dfrac{9}{2}\ln3$

$\\\\\text{et }\ \begin{aligned}\int\nolimits_0^{2}\dfrac{1}{x+1}\times\dfrac{(x+1)^{2}}{2}\,\text d x\end{aligned} =\dfrac{1}{2}\begin{aligned}\int\nolimits_0^{2}(x+1)\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{(x+1)^2}{2}\right]_0^2 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{(2+1)^2}{2}-\dfrac{(0+1)^2}{2}\right] \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\right] \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}=2$

$\text{D'où }\;\displaystyle \int_{0}^{2} (x+1)\ln(x+1)\,\text{d}x=\dfrac{9}{2}\ln3-2 \\\\\text{soit }\;\boxed{I=\dfrac{9}{2}\ln3-2}$

Calculons $J=\displaystyle \int_{0}^{2} \text{e}^{-x}\,\text{d}x$

$\displaystyle \int_{0}^{2} \text{e}^{-x}\,\text{d}x=-\displaystyle \int_{0}^{2} -\text{e}^{-x}\,\text{d}x=-\left[\overset{}{\text{e}^{-x}}\right]_0^2 \\\\\phantom{WWWi}=-\left(\overset{}{\text{e}^{-2}-\text{e}^{0}}\right)=-\left(\overset{}{\text{e}^{-2}-1}\right) \\\\\text{D'où }\;\boxed{J=1-\text{e}^{-2}}$

Par conséquent, $\mathcal{A}=I+J=\dfrac{9}{2}\ln3-2+1-\text{e}^{-2}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\mathcal{A}=\dfrac{9}{2}\ln3-1-\text{e}^{-2}\;(\text{u.a.})}$

Or dans le repère, l'unité de longueur est de 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 2 cm².

Nous en déduisons que l'aire du domaine plan limité par la courbe $\overset{{\white{.}}}{(\mathscr{C})}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 0 et x = 2 est égale à $\overset{{\white{.}}}{2\times\left(\dfrac{9}{2}\ln3-1-\text{e}^{-2}\right)\text{ cm}^2 }$ , soit $\overset{{\white{.}}}{ \boxed{\left(9\ln3-2-2\,\text{e}^{-2}\right)\text{ cm}^2\approx7,6\text{ cm}^2}}$

6. Soit $\overset{{\white{.}}}{(U_n)_{n\in\N}}$ la suite définie par : $\overset{{\white{.}}}{U_n=\displaystyle\int_{\frac{n}{2}}^{\frac{n+1}{2}} e^{-x}\text{ d}x \text{ pour tout }n\in\N . }$
6. a) Exprimons $\overset{{\white{.}}}{U_n}$ en fonction de n

$\overset{{\white{.}}}{U_n=\displaystyle\int_{\frac{n}{2}}^{\frac{n+1}{2}} e^{-x}\text{ d}x=\displaystyle-\int_{\frac{n}{2}}^{\frac{n+1}{2}} -e^{-x}\text{ d}x} \\\\\phantom{WWWWWxW}=-\left[\overset{}{e^{-x}}\right]_{\frac{n}{2}}^{\frac{n+1}{2}}=-\left[\overset{}{e^{-\frac{n+1}{2}}-e^{-\frac{n}{2}}}\right] \\\\\phantom{WWWWWxW}=e^{-\frac{n}{2}}-e^{-\frac{n+1}{2}} =e^{-\frac{n}{2}}-e^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{1}{2}} \\\\\phantom{WWWWWxW}=e^{-\frac{n}{2}}\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{U_n=e^{-\frac{n}{2}}\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)}$

6. b) Montrons que $\overset{{\white{.}}}{(U_n)_{n\in\N}}$ est une suite géométrique.

$U_0=e^{0}\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)=1\times\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)\quad\Longrightarrow\quad\boxed{U_0=\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)}\,.$

Pour tout entier naturel n ,

$U_{n+1}=e^{-\frac{n+1}{2}}\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{U_{n+1}}=e^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{1}{2}}\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{U_{n+1}}=e^{-\frac{1}{2}}\times e^{-\frac{n}{2}}\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{U_{n+1}}=e^{-\frac{1}{2}}\times U_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{U_{n+1}=e^{-\frac{1}{2}}\times U_n}$

Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{(U_n)_{n\in\N}}$ est une suite géométrique de raison $e^{-\frac{1}{2}}$ dont le premier terme est $\overset{{\white{.}}}{U_0=\left(1-e^{-\frac{1}{2}}\right).}$

Publié par malou/Panter le 12-02-2023

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