L'utilisation d'une machine calculatrice scientifique non programmable est autorisée
5 points
exercice 1
Soit le polynôme à variable complexe défini par : .
1) Résoudre dans l'équation .
2) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct d'unité 1cm , on donne les points d'affixes respectives .
a) Placer les points .
b) Montrer que est un triangle rectangle en .
c) Déterminer et construire , dans , l'ensemble des points d'affixe vérifiant .
3) Soit la similitude plane directe qui laisse invariant le point et transforme en .
a) Donner l'expression complexe et les éléments caractéristiques de .
b) Déterminer et construire , dans , l'ensemble image de l'ensemble par .
5 points
exercice 2
On dispose d'une urne contenant six jetons indiscernables au toucher dont :
Trois jetons numérotés 1 .
Deux jetons numérotés 2 .
Un jeton numéroté 3 .
Et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1,1,2,2,2,3 .
L'épreuve consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de l'urne et à lancer une fois le dé .
A/ On effectue une épreuve . On suppose que tous les événements élémentaires sont équiprobables
1) Calculer les probabilités des évènements suivants :
A: "Le produit des trois numéros obtenus est égal à 4 B: "La somme des trois numéros obtenus est égale à 5
2) Soit la variable aléatoire égale au nombre de numéro 2 lors d'une épreuve .
Donner la loi de probabilité de .
B/ 1) Lors d'une épreuve , on appelle "succès" l'obtention de trois numéros impairs .
Montrer que la probabilité d'avoir un succès est égale à .
2) Soit . On répète fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve .
a) Calculer la probabilité de l'événement : :"Obtenir au moins un succès lors des épreuves" .
b) Déterminer le nombre minimum d'épreuves qu'on doit effectuer pour que .
10 points
probleme
On considère la fonction numérique définie sur par :
On désigne par sa courbe représentative dans un repère orthonormé tels que .
1-a) Etudier la continuité à droite en de la fonction .
b) Montrer que .
2) Soit la fonction définie sur par .
a) Etudier la variation de .
b) Calculer et en déduire le signe de suivant les valeurs de .
3-a) Calculer où est la fonction dérivée première de .
b) Dresser le tableau de variation de .
4-a) Etudier la branche infinie de .
b) Construire en précisant la demi-tangente au point d'abscisse .
5) A l'aide d'une intégration par partie , calculer , en , l'aire du domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives .
6) Soit la suite définie par : .
a) Exprimer en fonction de .
b) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme .
Soit P le polynôme à variable complexe z défini par :
1. Résoudre dans l'équation
Discriminant :
Solutions :
D'où l'ensemble des solutions de l'équation est
2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct d'unité 1cm , on donne les points A, B, C d'affixes respectives
2. a) Plaçons les points A, B, C .
Voir le graphique à la question 3. b)
2. b) Nous devons montrer que ABC est un triangle rectangle en B .
Nous en déduisons que le triangle ABC est rectangle en B (et secondairement que BC = 2AB ).
2. b) Déterminons et construisons , dans , l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant
D'où les points M sont équidistants des points A et B .
Par conséquent l'ensemble est la médiatrice du segment [AB ].
Voir le graphique à la question 3. b)
3. Soit S la similitude plane directe qui laisse invariant le point B et transforme A en C .
3. a) Nous devons donner l'expression complexe et les éléments caractéristiques de S .
Nous savons que si S est une similitude directe du plan, alors il existe un unique nombre complexe a 0 et un unique nombre complexe b tels que, pour tout point M d'affixe z et tout point M' d'affixe z' , M' est l'image de M par S si et seulement si :
Le point B étant un point invariant, nous avons :
Le point C étant l'image du point A par S , nous avons :
Dès lors,
D'où, l'écriture complexe de S est
Nous devons donner l'angle et le rapport de S .
Le rapport de la similitude s est L'angle de la similitude S est un argument de a , soit
Par conséquent, S est une similitude de centre B , de rapport 2 et d'angle
3. b) Déterminons et construisons , dans , l'ensemble , image de l'ensemble par S .
Soit le point D , d'affixe zD , milieu du segment [AB ].
Ce point D appartient à la droite car est la médiatrice du segment [AB ] et comprend donc le point D , milieu de [AB ].
Dès lors, selon la question 3. a), l'image de la droite par S est la droite passant par le point D' = S (D ) et formant un angle avec la droite .
Déterminons l'affixe zD' de D' .
Par conséquent, l'ensemble , image de l'ensemble par S est la droite perpendiculaire à la droite au point D' d'affixe 3i.
5 points
exercice 2
On dispose d'une urne contenant six jetons indiscernables au toucher dont :
Trois jetons numérotés 1 .
Deux jetons numérotés 2 .
Un jeton numéroté 3 .
Et d'un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1, 1, 2, 2, 2, 3.
L'épreuve (E ) consiste à tirer au hasard et simultanément deux jetons de l'urne et à lancer une fois le dé .
Partie A
1. On suppose que tous les événements élémentaires sont équiprobables.
Considérons les tirages de deux jetons de l'urne et calculons leurs probabilités.
La probabilité de tirer les jetons numérotés i et j se notera : P (i,j).
Par exemple, P (1,3) représente la probabilité de tirer de l'urne les jetons numérotés 1 et 3.
Le nombre de tirages possibles de deux jetons parmi six jetons est égal à
Nous obtenons ainsi :
Considérons les lancers du dé et calculons les probabilités d'apparitions des numéros sur la face supérieure.
La probabilité de voir apparaître le numéro 1 sur la face supérieure se note P' (1), de voir apparaître le numéro 2 sur la face supérieure se note P' (2)
et de voir apparaître le numéro 3 sur la face supérieure se note P' (3).
Nous obtenons ainsi :
Soit les événements suivants :
A : "Le produit des trois numéros obtenus est égal à 4." B : "La somme des trois numéros obtenus est égale à 5."
Calculons P (A ).
L'événement A est réalisé lorsque l'on tire les jetons 1 et 2 de l'urne en obtenant 2 sur la face supérieure du dé ou lorsque l'on tire les jetons 2 et 2 de l'urne en obtenant 1 sur la face supérieure du dé.
Nous en déduisons que :
L'événement B est réalisé lorsque :
l'on tire les jetons 1 et 1 de l'urne en obtenant 3 sur la face supérieure du dé ou
l'on tire les jetons 1 et 2 de l'urne en obtenant 2 sur la face supérieure du dé ou
l'on tire les jetons 1 et 3 de l'urne en obtenant 1 sur la face supérieure du dé ou
l'on tire les jetons 2 et 2 de l'urne en obtenant 1 sur la face supérieure du dé ou
Nous en déduisons que :
2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de numéro 2 lors d'une épreuve.
La variable aléatoire X peut prendre les valeurs 0, 1; 2 ou 3.
La loi de probabilité de X est donc :
Résumons cette loi de probabilité par un tableau.
Partie B
1. Lors d'une épreuve , on appelle "succès" l'obtention de trois numéros impairs.
La probabilité d'avoir un succès est égale à la probabilité de ne pas obtenir de numéro "deux", soit
Par conséquent, la probabilité d'avoir un succès est égale à
2. Soit
On répète n fois de suite et d'une manière indépendante l'épreuve (E ) .
Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de succès à l'issue des n épreuves.
La variable aléatoire Y suit une loi binomiale
2. a) Calculer la probabilité de l'événement : : "Obtenir au moins un succès lors des n épreuves" .
La loi de probabilité de Y est donnée par :
L'événement contraire de est : "Ne pas obtenir de succès lors des n épreuves".
Donc :
2. b) Nous devons déterminer le nombre minimum d'épreuves à effectuer pour que
Déterminons le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation
Le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation est n = 21.
Par conséquent, il faudra effectuer au minimum 21 épreuves pour obtenir
10 points
probleme
On considère la fonction numérique f définie sur par :
1. a) Nous devons étudier la continuité à droite en de la fonction f .
D'une part, calculons
Nous en déduisons que
Par conséquent, f est continue à droite en
1. b) Montrons que
Par conséquent, , soit
2. Soit g la fonction définie sur ]-1 ; +[ par
2. a) Nous devons étudier la variation de g .
La fonction g est dérivable sur ]-1 ; +[.
Il s'ensuit que la fonction g est strictement croissante sur ]-1 ; +[.
2. b)
Nous en déduisons le signe de g (x ) sur ]-1 ; +[.
3. a) Déterminons l'expression de
3. b) Dressons le tableau de variation de f .
Calculs préliminaires
Tableau de variation de f
4. a)D'une part, nous savons que
D'autre part,
Nous en déduisons que la courbe admet une branche parabolique de direction asymptotique l'axe des ordonnées en +.
4. b) Construisons
5. Nous devons calculer , en , l'aire du domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 0 et x = 2.
L'aire demandée se calcule par :
Calculons
Calculons
Par conséquent,
Or dans le repère, l'unité de longueur est de 2 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée.
Donc l'unité d'aire est égale à 2 cm2.
Nous en déduisons que l'aire du domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives x = 0 et x = 2 est égale à , soit
6. Soit la suite définie par : 6. a) Exprimons en fonction de n
6. b) Montrons que est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel n ,
Par conséquent, est une suite géométrique de raison dont le premier terme est
Publié par malou/Panter
le
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