On considère la fonction f définie sur I = [0 ; +[ par
1. a) Nous devons montrer que f est continue à droite de 0.
Par la question Partie A2., nous obtenons : ,
Divisons les trois membres des inégalités par x2 0.
Nous obtenons :
Or
En appliquant le "théorème des gendarmes", nous en déduisons que ,
soit
Or par définition de f , nous savons que
D'où
Par conséquent, f est continue à droite de 0.
1. b) Nous devons montrer que f est dérivable à droite de 0.
Nous devons donc montrer que existe et est un nombre réel,
soit que existe et est un nombre réel.
Nous avons montré dans le développement de la question 1. a) que
Dès lors, ,
soit en divisant les trois membres des inégalités par x 0,
Or
En appliquant le "théorème des gendarmes", nous en déduisons que
D'où existe et est un nombre réel.
Par conséquent, f est dérivable à droite de 0.
1. c) Nous devons calculer
D'où
Nous déduisons que la courbe (C ) admet une asymptote horizontale d'équation y = 0 au voisinage de +.
2. a) Soit la fonction g définie sur [0 ; +[ par :
2. b) Nous devons montrer que
Par conséquent,
2. c) Nous avons montré dans la question précédente que :
Dès lors, ,
soit
soit
Or
Par conséquent,
2. d) Nous devons déterminer le sens de variation de f sur [0 ; +[.
Etudions le signe de la dérivée f' (x ) sur [0 ; +[.
Nous savons que
Nous savons également que
Dès lors,
De plus, nous avons montré dans la question 1. c) que et par suite que
Par conséquent, la fonction f est strictement décroissante sur [0 ; +[.
3. a) En utilisant les résultats des questions précédentes, nous pouvons dresser le tableau de variation de f sur [0 ; +[.
3. b) Représentation graphique de la courbe (C ) dans le repère
Partie C
1. Soit la fonction h définie sur [0 ; 1] par :
La fonction h est continue et strictement décroissante sur [0 ; 1] (somme de deux fonctions continues et strictement décroissantes sur [0 ; 1]).
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation h (x ) = 0 admet une unique solution notée dans l'intervalle ]0 ; 1[, soit telle que
Par conséquent, il existe un unique réel tel que , soit tel que
2. Considérons la suite définie par :
2. a) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
C'est une évidence car
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,
2. b) Démontrons que pour tout entier naturel n ,
Nous savons par les questions 2 a) et c) - Partie B que
Dès lors,
Utilisons l'inégalité des accroissements finis.
La fonction f est continue sur [0 ; 1] et dérivable sur ]0 ; 1[.
De plus, pour tout x appartenant à ]0 ; 1[,
Alors : pour tout x et tout y appartenant à [0 ; 1],
Dans cette dernière inégalité, nous pouvons remplacer x par un car pour tout entier naturel n , (voir question 2. a) Partie C).
De même , nous pouvons remplacer y par car (voir question 1. Partie C).
Nous obtenons ainsi : pour tout entier naturel n , , soit
2. c) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n ,
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que
En effet,
Donc l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet, en utilisant le résultat de la question 2. b) et l'hypothèse de récurrence, nous obtenons :
L'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que, pour tout entier naturel n ,
2. d) Nous avons montré que pour tout entier naturel n ,
De plus,
Selon le théorème des gendarmes avec valeurs absolues, la suite converge vers
Partie D
Pour tout xI , on pose :
1. Nous devons d'abord montrer que la fonction F est dérivable sur I .
La fonction f est continue sur ]0 ; +[ (quotient de fonctions continues sur ]0 ; +[) et est également continue à droite de 0 (voir question 1. a)-Partie B).
Dès lors, la fonction f est continue sur I = [0 ; +[.
De plus, pour tout xI ,
Selon le théorème fondamental du calcul intégral, nous en déduisons que F est l'unique primitive de (-f ) sur I qui s'annule en 1.
Nous en déduisons que F est dérivable sur I.
Nous devons ensuite calculer F' (x ) pour tout xI .
Puisque F est une primitive de (-f ), il s'ensuit que pour tout xI ,
Par conséquent,
2. a) En utilisant la méthode d'intégration par parties , nous devons montrer que :
En effet,
Par conséquent,
2. b) Nous devons calculer
Nous en déduisons que , soit que
De plus,
2. b) Nous devons calculer en , l'aire du domaine plan limité par la courbe (C ), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1.
La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 1].
Par conséquent,
Partie E
On pose, pour tout k de :
et pour tout n de :
1. a) Nous devons montrer que
Nous avons montré dans la Partie B 2. d) que la fonction f est strictement décroissante sur [0 ; +[.
Soit k un nombre entier naturel.
Alors la fonction f est strictement décroissante sur [k ; k + 1].
Dès lors,
Nous en déduisons que :
Par conséquent,
1. b) Nous devons en déduire que :
En utilisant le résultat de la question précédente, nous obtenons pour tout entier n naturel non nul :
Nous obtenons ainsi :
Or
Dès lors,
Par conséquent,
2. a) Nous devons montrer que la suite est monotone.
Or nous avons montré dans la question 1. a) que
Donc,
Par conséquent, la suite est croissante.
2. b) Nous avons montré que la suite est croissante et est majorée par
Selon le théorème de convergence monotone, nous en déduisons que la suite est convergente.
2. c) Nous avons montré que la suite est croissante et donc :
La suite est majorée par et donc :
Dès lors,
Nous obtenons ainsi :
Nous en déduisons que
soit que
3,5 points
exercice 2
Soit m un nombre complexe non nul donné et
Partie I
On considère dans l'ensemble l'équation d'inconnue z :
1. Nous devons montrer que
De plus, est la somme des trois premiers termes d'une progression géométrique de raison j dont le premier terme est 1.
Donc
2. a) Calculons le discriminant de l'équation (Em ).
En outre, nous obtenons :
Nous en déduisons que :
Par conséquent,
2. b) Déterminons et les deux solutions de l'équation (Em ).
3. Dans cette question, on suppose que :
Nous devons montrer que est un imaginaire pur.
Nous savons que la somme des racines et (si elles existent) de l'équation est donnée par la formule :
Par suite, la somme des racines et de l'équation (Em ) est donnée par :
Dès lors,
Par conséquent, est un imaginaire pur.
Partie II
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct
Soit la transformation du plan complexe qui à tout point fait correspondre le point tel que
1. Nous devons déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application
L'écriture algébrique de la transformation est de la forme : où et
La transformation est une similitude directe.
Puisque , la transformation est une similitude admettant un seul point fixe .
Dans ce cas, cette similitude est la composée d'une homothétie de rapport k = |a | de centre et d'une rotation de même centre et d'angle
Nous en déduisons que la transformation est une rotation de centre et d'angle
L'affixe de est de la forme
Comme b = 0, l'affixe de est donc égal à 0.
Dès lors, le centre de la rotation est l'origine O du repère.
Déterminons l'angle de la rotation.
D'où
Par conséquent, la transformation est une rotation de centre O et d'angle
2. a) Nous devons montrer que
2. b) Nous devons montrer que
En utilisant les définitions de a , b , c et les résultats de la question 2. a), nous obtenons :
Par conséquent,
2. c) Nous devons en déduire que le triangle PQR est équilatéral.
Montrons que les trois côtés de ce triangle ont la même longueur.
Nous en déduisons que :
Par conséquent, le triangle PQR est équilatéral.
3 points
exercice 3
Soit n un entier naturel strictement supérieur à 1 .
On considère dans l'équation :
Soit (x ; y ) une solution de l'équation dans et soit ple plus petit diviseur premier de n .
1. a) Nous devons montrer que :
En effet, p étant un diviseur de n , nous obtenons alors :
1. b) Nous devons montrer que p est premier avec x et avec (x + 1).
Raisonnons par l'absurde. Supposons que p ne soit pas premier avec x , soit que p divise x .
Dans ce cas, nous obtenons :
Or nous savons que si a et b sont deux entiers relatifs et p est un nombre premier et si p divise le produit a .b , alors p divise a ou p divise b .
Dès lors,
Nous avons donc montré que si p divise x , alors p divise (x + 1).
Dans ce cas, p divise leur différence (x + 1) - x , soit p divise 1.
Or si p divise 1, alors p = 1, ce qui est absurde car p est premier et 1 ne l'est pas.
D'où l'hypothèse ''p divise x '' est fausse.
Par conséquent, p est premier avec x .
Supposons que p ne soit pas premier avec (x + 1), soit que p divise (x + 1).
Dans ce cas, nous obtenons :
Or nous savons que si a et b sont deux entiers relatifs et p est un nombre premier et si p divise le produit a .b , alors p divise a ou p divise b .
Dès lors, , ce qui est absurde car nous avons montré que p est premier avec x .
D'où l'hypothèse ''p divise (x + 1)'' est fausse.
Par conséquent, p est premier avec (x +1).
1. c) Nous devons en déduire que :
Nous savons que p est premier et que
Selon le petit théorème de Fermat,
De même, nous savons que p est premier et que
Selon le petit théorème de Fermat,
Par la transitivité de la congruence modulo p , nous obtenons :
2. Nous devons montrer que si n est pair, alors l'équation n'admet pas de solution dans
Nous savons que n est pair et que p est le plus petit diviseur premier de n .
Nous en déduisons que p = 2.
Raisonnons par l'absurde.
Supposons que admet au moins une solution (x ; y ) dans
Dans ce cas, en utilisant le résultat de la question 1. c), nous obtenons : , soit , soit
Cela signifie que 2 divise 1, ce qui est absurde.
D'où l'hypothèse '' admet au moins une solution (x ; y ) dans '' est fausse.
Par conséquent, si n est pair, alors l'équation n'admet pas de solution dans
3. On suppose que n est impair.
3. a) Nous devons montrer qu'il existe un couple (u ; v ) de tel que :
Montrons d'abord que
Posons
Donc
Montrons que est absurde.
Supposons que l'on ait : , soit
Alors d admet un diviseur premier noté q .
Or
Dès lors,
Donc , soit
Nous en déduisons que q est un diviseur premier positif de n strictement inférieur à p , ce qui est absurde car par définition, p est le plus petit diviseur premier de n .
Par conséquent, d = 1, soit
En conclusion, selon le théorème de Bézout, il existe un couple (u ; v ) de tel que :
3. b) Soient q et r respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de u par (p - 1).
Nous obtenons alors :
3. c) On pose .
Montrons que :
Raisonnons par l'absurde.
Supposons que
Or nous avons supposé dans cet exercice que n est impair.
Puisque p est un diviseur de n (qui est supposé être impair dans l'exercice), nous en déduisons que p est impair.
Il s'ensuit que p est supérieur à 3.
Dès lors, nous déduisons que : , ce qui est absurde puisque n > 0 et r 0.
D'où l'hypothèse '' '' est fausse.
Par conséquent,
3. c) Montrons que l'équation n'admet pas de solution dans .
Dans la question 2, nous avons déjà montré que si n est pair, alors l'équation n'admet pas de solution dans
Envisageons le cas où n est impair.
Raisonnons par l'absurde.
Supposons que l'équation admet au moins une solution (x ; y ) dans .
Nous savons par la question 3 qu'il existe un couple (r ; v' ) où r et v' sont des entiers naturels avec r 0 tel que
D'après la question 1. a), nous savons que
D'après la question 1. c), nous obtenons :
Il s'ensuit que :
Or nous avons montré dans la question 1. c) qu'en vertu du petit théorème de Fermat, nous avons :
Dès lors
Nous en déduisons que :
et donc que : , soit , ce qui est absurde.
D'où l'hypothèse ''l'équation admet au moins une solution (x ; y ) dans '' est fausse.
Par conséquent, l'équation n'admet pas de solution dans .
3,5 points
exercice 4
On rappelle que est un anneau unitaire non commutatif d'unité et que est un anneau commutatif unitaire et intègre.
Soit
1. a) Montrons que E est un sous-groupe de
Un critère pratique pour prouver qu'une partie est un sous-groupe de est : E comprend au moins un élément. pour tout
Montrons que E contient au moins un élément.
En effet, si a = b = 0, alors :
Par conséquent, E comprend au moins un élément.
Montrons que pour tout
Soient deux éléments quelconques de E .
Alors,
Nous observons que est de la forme
Nous en déduisons que pour tout
Par conséquent, nous venons de montrer que E est un sous-groupe de
1. b) Pour tout a , b , c et d de ,
1. c) Nous devons montrer que est un anneau commutatif et unitaire.
Montrons que est un groupe commutatif.
D'une part, nous savons que est un anneau et par suite, est un groupe commutatif.
D'autre part, nous avons montré que E est un sous-groupe de
Par conséquent, est un groupe commutatif.
Montrons que E est stable pour la multiplication.
Nous savons que pour tout a , b , c et d de ,
Or
Donc
Par conséquent, E est stable pour la multiplication.
Par conséquent, est un sous-anneau de ,
Donc est un anneau.
Montrons que la multiplication est commutative dans E .
Par la question 1. b), nous savons que pour tout a , b , c et d de ,
Par conséquent, la multiplication est commutative dans E .
Montrons que le neutre multiplicatif de appartient à E .
En effet,
Nous en déduisons que est un anneau commutatif et unitaire.
2. Soit l'application définie de E vers par :
Nous devons montrer que est un homomorphisme de vers
Cela revient à montrer que pour tout
En effet :
Par conséquent, est un homomorphisme de vers
3. Soit
3. a) Montrons que :
Nous savons que pour tout a , b , c et d de ,
Donc, nous obtenons :
3. b) Montrons que si est inversible dans alors
Par définition de , démontrer que revient à démontrer que
Par hypothèse, est inversible dans
Donc nous savons que soit
En utilisant la question 3. a) et en sachant que , nous obtenons :
Puisque la multiplication est commutative dans E , nous pouvons écrire :
Or la matrice est inversible dans , c'est-à-dire qu'il existe une unique matrice inverse appartenant à E telle que
En utilisant l'unicité de la matrice , nous obtenons :
Puisque , nous obtenons :
Par conséquent, si est inversible dans alors
3. c) On suppose que
Nous devons montrer que est inversible dans et préciser son inverse.
Or
D'où
Par conséquent, est inversible dans
De plus, nous avons montré dans la question précédente que
Par hypothèse, nous avons :
Dès lors
Nous en déduisons que
Par suite,
et donc
Par conséquent, si , alors est inversible dans et son inverse est
4. a) Montrons que
Démontrons que
Supposons que
Dans ce cas,
ce qui est absurde car a et b
Donc b = 0
Puisque , nous déduisons que a = 0
Par conséquent, nous avons démontré que
Démontrons que
Supposons que a = b = 0.
Alors
Par conséquent, nous avons démontré que
En résumé, nous avons démontré que
4. b) Nous devons en déduire que l'anneau est intègre.
Rappelons que le neutre pour l'addition dans E est
Nous devons donc montrer que
Soient et deux éléments de E tels que
Dès lors,
Or nous avons montré dans la question 2 que est un homomorphisme de vers et donc que
De plus, (voir question 4. a)
Nous en déduisons que :
Or
Puisque est un anneau intègre, il en découle que :
Selon la question 4. a), nous déduisons que :
D'où
En résumé, nous avons démontré que
Par conséquent, l'anneau est intègre.
4. c) Montrons que n'est pas un corps.
Montrons alors qu'il existe au moins un élément qui n'est pas inversible dans
Nous avons montré dans les questions 3. b) et c) que M (a ,b ) est inversible dans
Prenons par exemple
Dès lors M (1,1) n'est pas inversible dans
Par conséquent, n'est pas un corps.
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 \enskip :\enskip 0\leq 1-x+x^2-\dfrac{1}{x+1}\leq x^3 )
 \enskip :\enskip 0\leq x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\ln(1+x)\leq \dfrac{x^4}{4} )
définie sur 
par :
![f(0)=\dfrac{1}{2}\enskip \text{ et pour tout } x \text{ de } ]0,+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(0)=\dfrac{1}{2}\enskip \text{ et pour tout } x \text{ de } ]0,+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2})
)
sa courbe représentative dans un repère orthonormé )
.
\text{ } ,)
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
![\left(\forall x\in ]0,+\infty[\text{ }\right) : f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x^{3}}\enskip \text{ où }\enskip g(x)=x+\dfrac{x}{x+1}-2\ln(1+x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\forall x\in ]0,+\infty[\text{ }\right) : f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x^{3}}\enskip \text{ où }\enskip g(x)=x+\dfrac{x}{x+1}-2\ln(1+x))
 \enskip : \enskip 0\leq g'(x)\leq x^2)
 \enskip : \enskip 0\leq g(x)\leq \dfrac{x^3}{3})
.
 .\enskip\enskip \left(\text{ On prendra }||\overrightarrow{i}||=2\text{ cm }\enskip \text{ et }\enskip ||\overrightarrow{j}||=2\text{ cm } \right))
![\alpha\in ]0;1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha\in ]0;1[)
tel que =\alpha)
.
_{n\in\N})
définie par :
\text{ : }u_{n+1}=f(u_n))
![\left(\forall n\in \N\right) \enskip : \enskip u_n\in[0;1]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\forall n\in \N\right) \enskip : \enskip u_n\in[0;1])
 \enskip : \enskip |u_{n+1}-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{3}\right)|u_{n}-\alpha|)
 \enskip : \enskip |u_{n}-\alpha|\leq \left(\dfrac{1}{3}\right)^n)
.
, on pose : =\displaystyle \int_{x}^{1} f(t)\text{ }dt)
est dérivable sur )
pour tout ![\enskip\left(\forall x\in ]0,+\infty[\right) \enskip :\enskip F(x)=2\ln 2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\enskip\left(\forall x\in ]0,+\infty[\right) \enskip :\enskip F(x)=2\ln 2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x) )
\text{ } ,)
puis en déduire que :\text{ }dt=2\ln 2-1)
.
, l'aire du domaine plan limite par la courbe 
.
de 
: -\displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\text{ }dt)
de 
: 
 \enskip :\enskip 0\leq \Delta_k\leq f(k)-f(k+1) )
 \enskip :\enskip 0\leq S_n\leq \dfrac{1}{2} )
_{n\in\N^{*}})
est monotone .
de la suite 
un nombre complexe non nul donné et 
l'équation d'inconnue 
:\enskip:\enskip z^2+mj^2z+m^2j=0)
![(E_m)\text{ est }\Delta=\left[m(1-j)\right]^2](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(E_m)\text{ est }\Delta=\left[m(1-j)\right]^2)
.
et 
les deux solutions de l'équation )
.
. Montrer que ^{2022})
est un imaginaire pur .
)
.
la transformation du plan complexe qui de tout point )
fait correspondre le point )
tel que z)
.
d'affixes respectives 
.
 , B'(b')\text{ et }C'(c'))
les images respectives des points  , Q(q)\text{ et }R(r))
les milieux respectifs des segments ![[BA'] , [CB'] \text{ et } [AC']](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[BA'] , [CB'] \text{ et } [AC'])
.
est équilatéral .
3 points 
.
l'équation :  \enskip : \enskip (x+1)^n-x^n=ny)
)
une solution de l'équation )
dans 
le plus petit diviseur premier de ![(x+1)^n \equiv x^n\enskip [p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x+1)^n \equiv x^n\enskip [p])
et avec )
![(x+1)^{p-1} \equiv x^{p-1}\enskip [p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x+1)^{p-1} \equiv x^{p-1}\enskip [p])
)
de 
tel que : v=1)
et 
respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne de 
par )
.
(v+nq))
)
. Montrer que : 
.
,+,\times\right))
est un anneau unitaire non commutatif d'unité 
et que )
est un anneau commutatif unitaire et intègre .
=\begin{pmatrix}a&3b\\b&a\end{pmatrix} \enskip / (a,b)\in\Z^2 \right\rbrace)
est un sous-groupe de ,+\right))
.
de 
, on a : \times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc))
)
est un anneau commutatif et unitaire .
\in\Z^2 \enskip : \enskip \varphi(M(a,b))=|a^2-3b^2|)
)
vers )
.
\in E)
\times M(a,-b)=(a^2-3b^2).I)
)
est inversible dans )=1)
.
\in\Z^2 \enskip : \enskip \varphi(M(a,b))=0\iff a=b=0)
 \enskip :\enskip 0\leq 1-x+x^2-\dfrac{1}{x+1}\leq x^3. )
(1-x+x^2)-1}{x+1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{1-x+x^2-\dfrac{1}{x+1}}=\dfrac{(x^3+1)-1}{x+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{1-x+x^2-\dfrac{1}{x+1}}=\dfrac{x^3}{x+1}})
 \enskip :\enskip 0\le\dfrac{x^3}{x+1}\le x^3)
, \enskip :\enskip 0\le1-x+x^2-\dfrac{1}{x+1}\le x^3})
 \enskip :\enskip 0\leq x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\ln(1+x)\leq \dfrac{x^4}{4})
 \enskip :\enskip 0\le1-t+t^2-\dfrac{1}{t+1}\le t^3.)
 \enskip :\enskip \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}0\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}\left(1-t+t^2-\dfrac{1}{t+1}\right)\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}t^3\,\text d t\end{aligned})
,![\left(\forall x\in \R^{+}\right) \enskip :\enskip0\le \left[t-\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{3}-\ln(t+1)\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\dfrac{t^4}{4}\right]\limits_{0}^{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\forall x\in \R^{+}\right) \enskip :\enskip0\le \left[t-\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{3}-\ln(t+1)\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\dfrac{t^4}{4}\right]\limits_{0}^{x})
 \enskip :\enskip0\le \left(x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\ln(x+1)\right)-0\le \dfrac{x^4}{4}-0.)
 \enskip :\enskip0\le x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\ln(1+x)\le \dfrac{x^4}{4}}\,.)
[ par ![\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=\dfrac{1}{2}\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}\quad\quad(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)}\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=\dfrac{1}{2}\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)=\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}\quad\quad(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)}\end{matrix}\right.)
)
,\le \dfrac{x^4}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\le x-\ln(1+x)\le \dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4})
0.![\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\le \dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}\le \dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}+\dfrac{x^2}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\le \dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}\le \dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}+\dfrac{x^2}{4})
=\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}+\dfrac{x^2}{4}\right)=\dfrac{1}{2}}\end{matrix}\right.)
}{x^2}=\dfrac{1}{2})
,=\dfrac{1}{2}.)
=\dfrac{1}{2}.)
=f(0)}\,.)
-f(0)}{x-0})
existe et est un nombre réel,-\frac{1}{2}}{x})
existe et est un nombre réel.![\overset{{\white{.}}}{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\le f(x)\le \dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}+\dfrac{x^2}{4}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}\le f(x)\le \dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}+\dfrac{x^2}{4}})
![\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad-\dfrac{x}{3}\le f(x)-\dfrac{1}{2}\le -\dfrac{x}{3}+\dfrac{x^2}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad-\dfrac{x}{3}\le f(x)-\dfrac{1}{2}\le -\dfrac{x}{3}+\dfrac{x^2}{4})
,![\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad-\dfrac{1}{3}\le \dfrac{f(x)-\frac{1}{2}}{x}\le -\dfrac{1}{3}+\dfrac{x}{4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad-\dfrac{1}{3}\le \dfrac{f(x)-\frac{1}{2}}{x}\le -\dfrac{1}{3}+\dfrac{x}{4})
=-\dfrac{1}{3}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to 0^+}\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{x}{4}\right)=-\dfrac{1}{3}}\end{matrix}\right.)
-\frac{1}{2}}{x}=-\dfrac{1}{3}\in\R})
.)
=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{x}{x^2}-\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln(1+x)}{{\red {1+x}}}\times\dfrac{{\red{1+x}}}{x^2}\right)})
}{1+x}=\lim\limits_{X\to +\infty}\dfrac{\ln X}{X}}\quad(\,\text{où }X=1+x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}wwwx}=0\quad\text{(croissances comparées)}})
=\lim\limits_{x\to +\infty}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}\right)=0)
=0}\,.)
=x+\dfrac{x}{x+1}-2\ln(1+x).)
![\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)=\dfrac{[x-\ln(1+x)]'\times x^2-[x-\ln(1+x)]\times(x^2)'}{(x^2)^2} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{1+x}\right)\times x^2-[x-\ln(1+x)]\times2x}{x^4} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{x\left[\left(1-\dfrac{1}{1+x}\right)\times x-[x-\ln(1+x)]\times2\right]}{x^4}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)=\dfrac{[x-\ln(1+x)]'\times x^2-[x-\ln(1+x)]\times(x^2)'}{(x^2)^2} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{1+x}\right)\times x^2-[x-\ln(1+x)]\times2x}{x^4} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{x\left[\left(1-\dfrac{1}{1+x}\right)\times x-[x-\ln(1+x)]\times2\right]}{x^4})
![\\ {\white{w}}\phantom{\forall \in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{1+x}\right)\times x-[x-\ln(1+x)]\times2}{x^3} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{x-\dfrac{x}{1+x}-2x+2\ln(1+x)}{x^3} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{-x-\dfrac{x}{1+x}+2\ln(1+x)}{x^3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\ {\white{w}}\phantom{\forall \in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{\left(1-\dfrac{1}{1+x}\right)\times x-[x-\ln(1+x)]\times2}{x^3} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{x-\dfrac{x}{1+x}-2x+2\ln(1+x)}{x^3} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=\dfrac{-x-\dfrac{x}{1+x}+2\ln(1+x)}{x^3})
![\\\\\phantom{ \forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=-\dfrac{x+\dfrac{x}{1+x}-2\ln(1+x)}{x^3} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=-\dfrac{g(x)}{x^3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x^3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\\\phantom{ \forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=-\dfrac{x+\dfrac{x}{1+x}-2\ln(1+x)}{x^3} \\\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)}=-\dfrac{g(x)}{x^3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x^3}})
![\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad 0\le g'(x)\le x^2.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad 0\le g'(x)\le x^2.)
![\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)=1+\dfrac{x'\times(x+1)-x\times(x+1)'}{(x+1)^2}-2\times\dfrac{1}{1+x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=1+\dfrac{1\times(x+1)-x\times1}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{1+x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=1+\dfrac{x+1-x}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{1+x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)=1+\dfrac{x'\times(x+1)-x\times(x+1)'}{(x+1)^2}-2\times\dfrac{1}{1+x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=1+\dfrac{1\times(x+1)-x\times1}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{1+x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=1+\dfrac{x+1-x}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{1+x}})
![{\white{x}}\phantom{\forall x\in\,]\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=1+\dfrac{1}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{1+x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=\dfrac{(x+1)^2+1-2(1+x)}{(x+1)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=\dfrac{x^2+2x+1+1-2-2x}{(x+1)^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{x}}\phantom{\forall x\in\,]\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=1+\dfrac{1}{(x+1)^2}-\dfrac{2}{1+x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=\dfrac{(x+1)^2+1-2(1+x)}{(x+1)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=\dfrac{x^2+2x+1+1-2-2x}{(x+1)^2}})
![\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=\dfrac{x^2}{(x+1)^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\phantom{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad g'(x)}=\dfrac{x^2}{(x+1)^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=\dfrac{x^2}{(x+1)^2}})
![\text{Or }\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad x+1\ge1\quad\Longrightarrow (x+1)^2\ge1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad x+1\ge1}\quad\Longrightarrow 0\le\dfrac{1}{(x+1)^2}\le1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad x+1\ge1}\quad\Longrightarrow 0\le\dfrac{x^2}{(x+1)^2}\le x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Or }\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad x+1\ge1\quad\Longrightarrow (x+1)^2\ge1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad x+1\ge1}\quad\Longrightarrow 0\le\dfrac{1}{(x+1)^2}\le1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad x+1\ge1}\quad\Longrightarrow 0\le\dfrac{x^2}{(x+1)^2}\le x^2})
![\boxed{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad 0\le g'(x)\le x^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad 0\le g'(x)\le x^2})
![\forall t\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad 0\le g'(t)\le t^2.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall t\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad 0\le g'(t)\le t^2.)
![\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}0\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}g'(t)\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}t^2\,\text d t\end{aligned}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip \begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}0\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}g'(t)\,\text d t\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{x}t^2\,\text d t\end{aligned})
,![\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip 0\le \left[\overset{.}{g(t)}\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\dfrac{t^3}{3}\right]\limits_{0}^{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip 0\le \left[\overset{.}{g(t)}\right]\limits_{0}^{x}\le \left[\dfrac{t^3}{3}\right]\limits_{0}^{x})
![\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip 0\le g(x)-g(0)\le \dfrac{x^3}{3}-0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip 0\le g(x)-g(0)\le \dfrac{x^3}{3}-0)
=0+\dfrac{0}{1}-2\ln(1)\quad\Longrightarrow\quad g(0)=0)
![\boxed{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip 0\le g(x)\le \dfrac{x^3}{3}}\,.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip 0\le g(x)\le \dfrac{x^3}{3}}\,.)
![\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x^3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\quad f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x^3})
![\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip \left\lbrace\begin{matrix}g(x)\ge0\quad(\text{voir question 2. c)}\\\overset{{\white{.}}}{x^3>0}\phantom{WWWWWWWWW}\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip \left\lbrace\begin{matrix}g(x)\ge0\quad(\text{voir question 2. c)}\\\overset{{\white{.}}}{x^3>0}\phantom{WWWWWWWWW}\end{matrix}\right.)
![\boxed{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip f'(x)\le0}\,.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[,\enskip f'(x)\le0}\,.)
=-\dfrac{1}{3})
et par suite que <0}\,.)
&||&-&-&-&\\&||&&&&\\\hline&\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{2}}&&&&\\f(x)&&\searrow&\searrow&\searrow&\\&&&&&0\\ \hline \end{array}\end{matrix})
.)
=f(x)-x.})
=f(0)-0\phantom{WWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{h(1)=f(1)-1=1-\ln(2)-1}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}h(0)=\dfrac{1}{2}>0\phantom{WW}\\\overset{{\white{.}}}{h(1)=-\ln(2)<0}\end{matrix}\right.)
dans l'intervalle ]0 ; 1[, soit telle que =0.})
![\overset{{\white{.}}}{\alpha\in\,]0\,;\,1[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\alpha\in\,]0\,;\,1[})
tel que -\alpha=0})
, soit tel que =\alpha.})
{\white{www}}(n\in\N)\end{matrix}\right.)
![\overset{{\white{.}}}{u_n\in\,[0\,;1].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{u_n\in\,[0\,;1].})
![\overset{{\white{.}}}{u_0\in\,[0\,;1].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{u_0\in\,[0\,;1].})
![u_0=\dfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_0\in\,[0\,;1]}\,.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_0=\dfrac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_0\in\,[0\,;1]}\,.)
![\overset{{\white{.}}}{u_n\in\,[0\,;1]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{u_n\in\,[0\,;1]})
, alors ![\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}\in\,[0\,;1].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}\in\,[0\,;1].})
![u_n\in\,[0\,;1]\quad\Longleftrightarrow\quad 0\le u_n\le1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad f(0)\ge f(u_n)\ge f(1)\quad(\text{car }f\text{ est décroissante sur [0 ; 1])}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\ge u_{n+1}\ge 1-\ln(2) }\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad 1-\ln(2)\le u_{n+1}\le \dfrac{1}{2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?u_n\in\,[0\,;1]\quad\Longleftrightarrow\quad 0\le u_n\le1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad f(0)\ge f(u_n)\ge f(1)\quad(\text{car }f\text{ est décroissante sur [0 ; 1])}}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad \dfrac{1}{2}\ge u_{n+1}\ge 1-\ln(2) }\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWW}\Longrightarrow\quad 1-\ln(2)\le u_{n+1}\le \dfrac{1}{2}})
>\ln(2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or e}\approx2,7}\quad\Longrightarrow\quad 1>\ln(2)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or e}\approx2,7}\quad\Longrightarrow\quad 1-\ln(2)>0})
![\text{D'où }u_n\in\,[0\,;1]\quad\Longrightarrow\quad 0<1-\ln(2)\le u_{n+1}\le \dfrac{1}{2}<1 \\\phantom{\text{D'où }u_n\in\,[0\,;1]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\le u_{n+1}\le 1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{D'où }u_n\in\,[0\,;1]\quad\Longrightarrow\quad 0<1-\ln(2)\le u_{n+1}\le \dfrac{1}{2}<1 \\\phantom{\text{D'où }u_n\in\,[0\,;1]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{0\le u_{n+1}\le 1})
![\overset{{\white{.}}}{u_n\in[0\,;\,1].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{u_n\in[0\,;\,1].})
|\,u_{n}-\alpha\,|.)
![\forall x\in\,]0\,;\,1[,\quad \left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x^3}\\ \overset{{\white{.}}}{0\le g(x)\le \dfrac{x^3}{3}}\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,1[,\quad \left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x^3}\\ \overset{{\white{.}}}{0\le g(x)\le \dfrac{x^3}{3}}\end{matrix}\right.)
![\forall x\in\,]0\,;\,1[,\quad\left\lbrace\begin{matrix} \left|\overset{}{f'(x)}\right|=\left|-\dfrac{g(x)}{x^3}\right|=\left|\dfrac{g(x)}{x^3}\right|=\dfrac{g(x)}{x^3}\\\overset{{\white{.}}}{0\le \dfrac{g(x)}{x^3}\le\dfrac{1}{3}\phantom{WWWWWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad0\le \left|\overset{}{f'(x)}\right|\le\dfrac{1}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left|\overset{}{f'(x)}\right|\le\dfrac{1}{3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\,]0\,;\,1[,\quad\left\lbrace\begin{matrix} \left|\overset{}{f'(x)}\right|=\left|-\dfrac{g(x)}{x^3}\right|=\left|\dfrac{g(x)}{x^3}\right|=\dfrac{g(x)}{x^3}\\\overset{{\white{.}}}{0\le \dfrac{g(x)}{x^3}\le\dfrac{1}{3}\phantom{WWWWWW}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad0\le \left|\overset{}{f'(x)}\right|\le\dfrac{1}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left|\overset{}{f'(x)}\right|\le\dfrac{1}{3}})
}\right|\le\dfrac{1}{3}.)
-f(y)\,|\le\left(\dfrac{1}{3}\right)|\,x-y\,|.)
car -f(\alpha)\right\mid\le\left(\dfrac{1}{3}\right)|\,u_{n}-\alpha\,|)
, soit |\,u_{n}-\alpha\,|}\,.)
^n.)
^0.)
^0})
^n )
, alors ^{n+1} )
|\,u_{n}-\alpha\,|\\|\, u_{n}-\alpha\right\,|\le\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\phantom{wwww}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad|\, u_{n+1}-\alpha\,|\le\left(\dfrac{1}{3}\right)\times\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \\\\\text{D'où }\quad\boxed{|\, u_{n+1}-\alpha\,|\le\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1}})
^n.)
^n=0.)
_{n\in\N}})
converge vers 
I , on pose : =\displaystyle \int_{x}^{1} f(t)\,dt.)
Nous devons d'abord montrer que la fonction F est dérivable sur I .=\displaystyle \int_{x}^{1} f(t)\,dt \\\phantom{F(x)}=\displaystyle -\int_{1}^{x} f(t)\,dt \\\\\Longrightarrow\boxed{F(x)=\displaystyle \int_{1}^{x} -f(t)\,dt})
=-f(x).})
![{\white{wwwww}}\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}F'(0)=-\dfrac{1}{2}\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\\\overset{{\white{.}}}{F'(x)=\dfrac{-x+\ln(1+x)}{x^2}\quad\quad(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)}\end{matrix}\right.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{wwwww}}\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}F'(0)=-\dfrac{1}{2}\phantom{WWWWWWWWWWWWx}\\\overset{{\white{.}}}{F'(x)=\dfrac{-x+\ln(1+x)}{x^2}\quad\quad(\,\forall x\in\,]0\,;\,+\infty[\,)}\end{matrix}\right.})
![\enskip\left(\forall x\in\, ]0,+\infty[\right) \enskip :\enskip F(x)=2\ln 2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x) .](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\enskip\left(\forall x\in\, ]0,+\infty[\right) \enskip :\enskip F(x)=2\ln 2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x) .)
![\left(\forall x\in\, ]0,+\infty[\right), \,F(x)=\displaystyle \int_{x}^{1} f(t)\,dt \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\left(\forall x\in\, ]0,+\infty[\right), \,F(x)}=\displaystyle \int_{x}^{1}\dfrac{t-\ln(1+t)}{t^2}\,dt} \\\\\Longrightarrow\boxed{F(x)=\displaystyle \int_{x}^{1}\left(\overset{}{t-\ln(1+t)}\right)\times\dfrac{1}{t^2}\,dt}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\forall x\in\, ]0,+\infty[\right), \,F(x)=\displaystyle \int_{x}^{1} f(t)\,dt \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\left(\forall x\in\, ]0,+\infty[\right), \,F(x)}=\displaystyle \int_{x}^{1}\dfrac{t-\ln(1+t)}{t^2}\,dt} \\\\\Longrightarrow\boxed{F(x)=\displaystyle \int_{x}^{1}\left(\overset{}{t-\ln(1+t)}\right)\times\dfrac{1}{t^2}\,dt})
![\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{x}^{1} u(t)v'(t)\,\text d t\end{aligned}=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_{x}^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_{x}^{1} u'(t)v(t)\,\text d t\end{aligned}}}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{x}^{1} u(t)v'(t)\,\text d t\end{aligned}=\left[\overset{}{u(t)v(t)}\right]\limits_{x}^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_{x}^{1} u'(t)v(t)\,\text d t\end{aligned}}}. )
=t-\ln(1+t)\phantom{wwwww}\Longrightarrow\quad u'(t)=1-\dfrac{1}{1+t}=\dfrac{1+t-1}{1+t}=\dfrac{t}{1+t}\\v'(t)=\dfrac{1}{t^2}\phantom{wwwwwwwvwww}\Longrightarrow\quad \overset{{\white{.}}}{v(t)}=-\dfrac{1}{t}\phantom{WWWWWWWWWWWn}\end{matrix}\right.)
![\text{Dès lors, }\,F(x)=\left[\overset{}{\left(\overset{}{t-\ln(1+t)}\right)\times\left(-\dfrac{1}{t}\right)}\right]\limits_{x}^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_{x}^{1}\dfrac{t}{1+t}\times\left(-\dfrac{1}{t}\right)\,\text d t\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWW}=\left[\overset{}{\dfrac{-t+\ln(1+t)}{t}}\right]\limits_{x}^{1}+\begin{aligned}\int\nolimits_{x}^{1}\dfrac{1}{1+t}\,\text d t\end{aligned}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Dès lors, }\,F(x)=\left[\overset{}{\left(\overset{}{t-\ln(1+t)}\right)\times\left(-\dfrac{1}{t}\right)}\right]\limits_{x}^{1}-\begin{aligned}\int\nolimits_{x}^{1}\dfrac{t}{1+t}\times\left(-\dfrac{1}{t}\right)\,\text d t\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWW}=\left[\overset{}{\dfrac{-t+\ln(1+t)}{t}}\right]\limits_{x}^{1}+\begin{aligned}\int\nolimits_{x}^{1}\dfrac{1}{1+t}\,\text d t\end{aligned} )
![{\white{.}}\phantom{WWWWWW}=\left(\overset{}{\dfrac{-1+\ln(1+1)}{1}-\dfrac{-x+\ln(1+x)}{x}}\right)+\left[\overset{}{\ln(1+t)}\right]\limits_{x}^{1} \\\phantom{WWWWWW}=\left(\overset{}{-1+\ln2+1-\dfrac{\ln(1+x)}{x}}\right)+\left(\overset{}{\ln(1+1)-\ln(1+x)}\right) \\\phantom{WWWWWW}=\left(\overset{}{\ln2-\dfrac{\ln(1+x)}{x}}\right)+\left(\overset{}{\ln2-\ln(1+x)}\right)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{.}}\phantom{WWWWWW}=\left(\overset{}{\dfrac{-1+\ln(1+1)}{1}-\dfrac{-x+\ln(1+x)}{x}}\right)+\left[\overset{}{\ln(1+t)}\right]\limits_{x}^{1} \\\phantom{WWWWWW}=\left(\overset{}{-1+\ln2+1-\dfrac{\ln(1+x)}{x}}\right)+\left(\overset{}{\ln(1+1)-\ln(1+x)}\right) \\\phantom{WWWWWW}=\left(\overset{}{\ln2-\dfrac{\ln(1+x)}{x}}\right)+\left(\overset{}{\ln2-\ln(1+x)}\right))
}{x}-\ln(1+x) \\\phantom{WWWWWW}=2\ln2-\ln(1+x)-\dfrac{1}{x}\ln(1+x) \\\phantom{WWWWWW}=2\ln2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x))
![\enskip\left(\forall x\in\, ]0,+\infty[\right) \enskip :\enskip \boxed{F(x)=2\ln 2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x)}\, .](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\enskip\left(\forall x\in\, ]0,+\infty[\right) \enskip :\enskip \boxed{F(x)=2\ln 2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x)}\, .)
.})
![\lim\limits_{x\to 0^+}F(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[2\ln 2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[2\ln 2-\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\ln(1+x)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[2\ln 2-(x+1)\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right)\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to 0^+}F(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[2\ln 2-\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\ln(1+x)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[2\ln 2-\left(\dfrac{x+1}{x}\right)\ln(1+x)\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWW}=\lim\limits_{x\to 0^+}\left[2\ln 2-(x+1)\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x}\right)\right]})
=1)
}{x}=\lim\limits_{X\to1^+}\dfrac{\ln(X)}{X-1}\quad\text{où }X=1+x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWnWW}=\lim\limits_{X\to1^+}\dfrac{\ln(X)-\ln(1)}{X-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWnWW}=\ln'(1)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWnWW}=\dfrac{1}{1}}\quad\text{car }(\ln(x))'=\dfrac{1}{x})
}{x}=1})
=2\ln 2-1\times1})
, soit que =2\ln 2-1}})
\,dt=\lim\limits_{x\to0}\displaystyle \int_{x}^{1} f(t)\,dt \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWiW}=\lim\limits_{x\to0}F(x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWiW}=2\ln2-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\displaystyle \int_{0}^{1} f(t)\,dt=2\ln2-1})
du domaine plan limité par la courbe (C ), l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x = 1.
\,dt\quad\text{u. a.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{v}=(2\ln2-1)\quad\text{u. a.}} \\\\\text{Or }\,||\vec i||=||\vec j||=2\,\text{cm}\quad\Longrightarrow\quad1\,\text{u. a.}=4\,\text{cm}^2 \\\\\Longrightarrow\mathscr{A}=(2\ln2-1)\times4\,\text{cm}^2)
\,\text{cm}^2}\,.)
: -\displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt)
et pour tout n de 
: 
 \enskip :\enskip 0\leq \Delta_k\leq f(k)-f(k+1).)
![\forall\ t\in[k\,;\,k+1]: f(k+1)\le f(t)\le f(k).](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall\ t\in[k\,;\,k+1]: f(k+1)\le f(t)\le f(k).)
![\displaystyle \int_{k}^{k+1} f(k+1)\,dt\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(k)\,dt \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad f(k+1)\displaystyle \int_{k}^{k+1} 1\,dt\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)\displaystyle \int_{k}^{k+1} 1\,dt} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad f(k+1)\times\left[\overset{}t\right]_{k}^{k+1}\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)\times\left[\overset{}t\right]_{k}^{k+1}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \int_{k}^{k+1} f(k+1)\,dt\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(k)\,dt \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad f(k+1)\displaystyle \int_{k}^{k+1} 1\,dt\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)\displaystyle \int_{k}^{k+1} 1\,dt} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad f(k+1)\times\left[\overset{}t\right]_{k}^{k+1}\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)\times\left[\overset{}t\right]_{k}^{k+1}})
\times(k+1-k)\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)\times(k+1-k)} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad f(k+1)\times1\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)\times1} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad f(k+1)\le \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)})
\le -\displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le -f(k+1)} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad f(k)-f(k)\le f(k)-\displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)-f(k+1)} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad 0\le f(k)-\displaystyle \int_{k}^{k+1} f(t)\,dt\le f(k)-f(k+1)})
 \enskip :\enskip 0\leq \Delta_k\leq f(k)-f(k+1)}\,.)
![0\leq \Delta_k\leq f(k)-f(k+1)\quad\Longrightarrow\quad\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}0\leq \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\Delta_k\leq \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}[f(k)-f(k+1)] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad 0\leq S_n\leq \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}[f(k)-f(k+1)]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?0\leq \Delta_k\leq f(k)-f(k+1)\quad\Longrightarrow\quad\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}0\leq \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\Delta_k\leq \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}[f(k)-f(k+1)] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad 0\leq S_n\leq \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}[f(k)-f(k+1)]})
![\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}[f(k)-f(k+1)]=[f(0)-f(1)]+[f(1)-f(2)]+[f(2)-f(3)]+\cdots+[f(n-1)-f(n)] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=f(0)+f(1)-f(1)+f(2)-f(2)+\cdots+f(n-1)-f(n+1)-f(n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=f(0)-f(n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{1}{2}-f(n)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}[f(k)-f(k+1)]=[f(0)-f(1)]+[f(1)-f(2)]+[f(2)-f(3)]+\cdots+[f(n-1)-f(n)] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=f(0)+f(1)-f(1)+f(2)-f(2)+\cdots+f(n-1)-f(n+1)-f(n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=f(0)-f(n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}=\dfrac{1}{2}-f(n)})
)
>0.)
\le\dfrac{1}{2}.)
-\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \Delta_k} \\\overset{{\white{\frac{}{.}}}}{\phantom{WWWWWwWWW}=\Delta_n})
_{n\in\N^{*}}})
est convergente.
et donc : 
} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWvWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad f(0)-\displaystyle \int_{0}^{1} f(t)\text{ }dt\le S_n\le\dfrac{1}{2}})
\le S_n\le\dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWvWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{1}{2}-2\ln2+1\le S_n\le\dfrac{1}{2}} \\\\\text{D'où }\,\forall\ n\in\N^*\,:\quad \boxed{\dfrac{3}{2}-2\ln2\le S_n\le\dfrac{1}{2}})
\enskip:\enskip z^2+mj^2z+m^2j=0.)
^3 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWnW \quad\Longrightarrow\quad j^3}=\text{e}^{i2\pi}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWnW\quad\Longrightarrow\quad j^3}=1} \\\\\Longrightarrow\boxed{j^3=1})
est la somme des trois premiers termes d'une progression géométrique de raison j dont le premier terme est 1.
de l'équation (Em ).^2-4\times1\times m^2j \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=m^2j^4-4m^2j} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=m^2j(j^3-4)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\Delta}=m^2j(1-4)}\quad(\text{car }j^3=1,\text{ voir question 1)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\Delta}=-3m^2j})
^2=1-2j+j^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(1-j)^2}=(1+j^2)-2j} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(1-j)^2}=-j-2j\quad(\text{car }1+j+j^2=0\Longrightarrow 1+j^2=-j,\text{ voir question 1)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(1-j)^2}=-3j} \\\\\Longrightarrow\boxed{(1-j)^2=-3j})
^2=-3j}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}\Delta=m^2(-3j)\\\overset{{\white{.}}}{-3j=(1-j)^2}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\Delta=m^2(1-j)^2)
![\boxed{\Delta=[m(1-j)]^2}\,.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\Delta=[m(1-j)]^2}\,.)
et 
les deux solutions de l'équation (Em ).}{2}=\dfrac{-m(j^2-1+j)}{2}=\dfrac{-m(j^2+j-1)}{2} \\\\\text{Or }\,1+j+j^2=0\quad\Longrightarrow\quad j^2+j=-1 \\\\\text{D'où }\,z_1=\dfrac{-m(-1-1)}{2}=\dfrac{-m(-2)}{2}=\dfrac{2m}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_1=m})
}{2}=\dfrac{-m(j^2+1-j)}{2} \\\\\text{Or }\,1+j+j^2=0\quad\Longrightarrow\quad j^2+1=-j \\\\\text{D'où }\,z_2=\dfrac{-m(-j-j)}{2}=\dfrac{-m(-2j)}{2}=\dfrac{2mj}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_2=mj})
^{2022}})
est un imaginaire pur.
est donnée par la formule : 
^{2022}=(-m\,j^2)^{2022}=(m\,j^2)^{2022}=m^{2022}\times j^{4044} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(z_1+z_2)^{2022}}=(1+i)^{2022}\times(j^3)^{1348}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(z_1+z_2)^{2022}}=\left((1+i)^2\right)^{1011}\times1^{1348}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(z_1+z_2)^{2022}}=(1+2i-1)^{1011}})
^{2022}}=(2i)^{1011}=2^{1011}\times i^{1011}}=2^{1011}\times i^{1010}\times i \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(z_1+z_2)^{2022}}=2^{1011}\times( i^2)^{505}\times i}=2^{1011}\times( -1)^{505}\times i=2^{1011}\times( -1)\times i \\\\\Longrightarrow\boxed{(z_1+z_2)^{2022}=-2^{1011}\times i})
 .)
})
fait correspondre le point })
tel que z .})
où 
et 
, la transformation 
.![\overset{{\white{.}}}{\theta\equiv\arg(a)\,[2\pi].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\theta\equiv\arg(a)\,[2\pi].})
^2\right|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{k}=\left|\text{e}^{i\frac{4\pi}{3}}\right|=1} \\\\\Longrightarrow\boxed{k=1})
de 
de la rotation.![\theta\equiv\arg(a)\,[2\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\arg(1+j)\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\arg(-j^2)\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\arg(-1)+\arg(j^2)\,[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\theta\equiv\arg(a)\,[2\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\arg(1+j)\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\arg(-j^2)\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\arg(-1)+\arg(j^2)\,[2\pi]})
![\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\pi+\arg(\text{e}^{i\frac{4\pi}{3}})\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\pi+\dfrac{4\pi}{3}\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\dfrac{7\pi}{3}\,[2\pi]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]}\quad\quad\text{car }\dfrac{7\pi}{3}-2\pi=\dfrac{\pi}{3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\pi+\arg(\text{e}^{i\frac{4\pi}{3}})\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\pi+\dfrac{4\pi}{3}\,[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\dfrac{7\pi}{3}\,[2\pi]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\theta}\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]}\quad\quad\text{car }\dfrac{7\pi}{3}-2\pi=\dfrac{\pi}{3})
![\boxed{\theta\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]}\,.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\theta\equiv\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi]}\,.)
![\overset{{\white{.}}}{\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi].})
\Longleftrightarrow a'=(1+j)a \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow a'=(1+j)m}\quad(\text{car }a=m) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow a'=-j^2m}\quad(\text{car }1+j+j^2=0\Longrightarrow 1+j=-j^2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow \boxed{a'=-mj^2}})
\Longleftrightarrow b'=(1+j)b \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow b'=(1+j)\,mj}\quad(\text{car }b=mj) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow b'=-j^2\,mj}\quad(\text{car }1+j+j^2=0\Longrightarrow 1+j=-j^2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow b'=-j^3m} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow \boxed{b'=-m}}\quad(\text{car }j^3=1))
\Longleftrightarrow c'=(1+j)c \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow c'=(1+j)\,mj^2}\quad(\text{car }c=mj^2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow c'=-j^2\,mj^2}\quad(\text{car }1+j+j^2=0\Longrightarrow 1+j=-j^2) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow c'=-mj\times j^3} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWx}\Longleftrightarrow \boxed{c'=-mj}}\quad(\text{car }j^3=1))
} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{pQ}=|q(1+j)+rj^2|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{pQ}=|q\,(-j^2)+rj^2|\quad(\text{car }1+j+j^2=0\Longrightarrow 1+j=-j^2)})
\,j^2|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{pQ}=|-q+r|\times|j^2|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{pQ}=|r-q|\times1}\quad(\text{ car }|j^2|=\left|\text{e}^{i\frac{4\pi}{3}}\right|=1))
} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{PR}=|r(1+j^2)+qj|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{PR}=|r\,(-j)+qj|\quad(\text{car }1+j+j^2=0\Longrightarrow 1+j^2=-j)})
\,j|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{PR}=|q-r|\times|j|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{PR}=|q-r|\times1}\quad(\text{car }|j|=\left|\text{e}^{i\frac{2\pi}{3}}\right|=1))
 \enskip : \enskip (x+1)^n-x^n=ny.)
![\overset{{\white{.}}}{(x+1)^n \equiv x^n\enskip [p].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{(x+1)^n \equiv x^n\enskip [p].})
![n\equiv0\enskip[p]\quad\Longrightarrow\quad ny\equiv0\enskip[p] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\equiv0\enskip[p]}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^n-x^n\equiv0\enskip[p]}\quad\quad (\text{car }(E_n) \, : \, (x+1)^n-x^n=ny) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\equiv0\enskip[p]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(x+1)^n\equiv x^n\enskip[p]}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\equiv0\enskip[p]\quad\Longrightarrow\quad ny\equiv0\enskip[p] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\equiv0\enskip[p]}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^n-x^n\equiv0\enskip[p]}\quad\quad (\text{car }(E_n) \, : \, (x+1)^n-x^n=ny) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\equiv0\enskip[p]}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(x+1)^n\equiv x^n\enskip[p]}})
Supposons que p ne soit pas premier avec x , soit que p divise x .![p|x\quad\Longrightarrow\quad p|x^n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|x}\quad\Longrightarrow\quad x^n\equiv0\enskip[p]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|x}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^n\equiv0\enskip[p]}\quad\quad\text{car }(x+1)^n\equiv x^n\enskip[p] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|x}\quad\Longrightarrow\quad p|(x+1)^n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p|x\quad\Longrightarrow\quad p|x^n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|x}\quad\Longrightarrow\quad x^n\equiv0\enskip[p]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|x}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^n\equiv0\enskip[p]}\quad\quad\text{car }(x+1)^n\equiv x^n\enskip[p] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|x}\quad\Longrightarrow\quad p|(x+1)^n})
^n\quad\Longrightarrow\quad p|(x+1).)
![p|(x+1)\quad\Longrightarrow\quad p|(x+1)^n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^n\equiv0\enskip[p]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad x^n\equiv0\enskip[p]}\quad\quad\text{car }(x+1)^n\equiv x^n\enskip[p] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad p|x^n}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?p|(x+1)\quad\Longrightarrow\quad p|(x+1)^n \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^n\equiv0\enskip[p]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad x^n\equiv0\enskip[p]}\quad\quad\text{car }(x+1)^n\equiv x^n\enskip[p] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{p|(x+1)}\quad\Longrightarrow\quad p|x^n})
, ce qui est absurde car nous avons montré que p est premier avec x .![(x+1)^{p-1} \equiv x^{p-1}\enskip [p].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x+1)^{p-1} \equiv x^{p-1}\enskip [p].)
![x^{p-1}\equiv1\,[p].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x^{p-1}\equiv1\,[p].)
=1.)
![(x+1)^{p-1}\equiv1\,[p].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x+1)^{p-1}\equiv1\,[p].)
![\left(\overset{}{(x+1)^{p-1}\equiv1\,[p]\quad\text{et}\quad 1\equiv x^{p-1}\,[p]}\right)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(x+1)^{p-1}\equiv x^{p-1}\,[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\overset{}{(x+1)^{p-1}\equiv1\,[p]\quad\text{et}\quad 1\equiv x^{p-1}\,[p]}\right)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(x+1)^{p-1}\equiv x^{p-1}\,[p]})
![\overset{{\white{.}}}{(x+1)^{2-1}\equiv x^{2-1}\,[2]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{(x+1)^{2-1}\equiv x^{2-1}\,[2]})
, soit ![\overset{{\white{.}}}{x+1\equiv x\,[2]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x+1\equiv x\,[2]})
, soit ![\overset{{\white{.}}}{1\equiv 0\,[2].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{1\equiv 0\,[2].})
v=1.})
=1.)
.})
est absurde.
\quad\Longrightarrow\quad d|n\quad\text{et}\quad d|(p-1).})
.})
})
, soit 
=1}\,.})
v=1}\,.})
\,q+r.)
\,q+r}}\\n{\red{u}}+(p-1)v=1\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad n({\red{(p-1)\,q+r}})+(p-1)v=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad n(p-1)\,q+nr+(p-1)v=1})
\,nq-(p-1)v} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad nr=1-(p-1)(nq+v)} \\\\\Longrightarrow\boxed{nr=1-(p-1)(v+nq)})
})
.
(v+nq)\\v'=-(v+nq)\phantom{WWWv}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \boxed{nr=1+(p-1)\,v'})
\,v'\le -(p-1) \\\\\Longrightarrow \,(p-1)\,v'\le -p+1 \\\overset{{\white{.}}}{\Longrightarrow\,1+(p-1)\,v'\le -p+2} \\\overset{{\white{.}}}{\Longrightarrow\,nr\le -p+2})
, ce qui est absurde puisque n > 0 et r 
0.
\,v'.})
![\overset{{\white{.}}}{(x+1)^n\equiv x^n\,[p].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{(x+1)^n\equiv x^n\,[p].})
![(x+1)^n\equiv x^n\,[p]\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{nr}\equiv x^{nr}\,[p]\quad({\blue{\text{car }r>0}}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWWW}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{1+(p-1)\,v'}\equiv x^{1+(p-1)\,v'}\,[p]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad({\blue{\text{car }nr=1+(p-1)\,v'}})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(x+1)\times(x+1)^{(p-1)\,v'}\equiv x\times x^{(p-1)\,v'}\,[p]}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x+1)^n\equiv x^n\,[p]\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{nr}\equiv x^{nr}\,[p]\quad({\blue{\text{car }r>0}}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWWW}\quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{1+(p-1)\,v'}\equiv x^{1+(p-1)\,v'}\,[p]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad({\blue{\text{car }nr=1+(p-1)\,v'}})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWwWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{(x+1)\times(x+1)^{(p-1)\,v'}\equiv x\times x^{(p-1)\,v'}\,[p]}})
![(x+1)^{p-1}\equiv x^{p-1}\,[p]\quad\Longrightarrow\quad\boxed{(x+1)^{(p-1)v'}\equiv x^{(p-1)v'}\,[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x+1)^{p-1}\equiv x^{p-1}\,[p]\quad\Longrightarrow\quad\boxed{(x+1)^{(p-1)v'}\equiv x^{(p-1)v'}\,[p]})
![\left\lbrace\begin{matrix}(x+1)\times{\blue{(x+1)^{(p-1)\,v'}}}\equiv x\times x^{(p-1)\,v'}\,[p]\\\phantom{xxxx}\overset{{\white{.}}}{{\blue{(x+1)^{(p-1)v'}}}\equiv x^{(p-1)v'}\,[p]}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \boxed{(x+1)\times x^{(p-1)v'}\equiv x\times x^{(p-1)\,v'}\,[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}(x+1)\times{\blue{(x+1)^{(p-1)\,v'}}}\equiv x\times x^{(p-1)\,v'}\,[p]\\\phantom{xxxx}\overset{{\white{.}}}{{\blue{(x+1)^{(p-1)v'}}}\equiv x^{(p-1)v'}\,[p]}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad \boxed{(x+1)\times x^{(p-1)v'}\equiv x\times x^{(p-1)\,v'}\,[p]})
![\overset{{\white{.}}}{(x+1)^{p-1}\equiv1\,[p]\quad\text{et}\quad x^{p-1}\equiv1\,[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{(x+1)^{p-1}\equiv1\,[p]\quad\text{et}\quad x^{p-1}\equiv1\,[p]})
![(x+1)^{(p-1)v'}\equiv1\,[p]\quad\text{et}\quad x^{(p-1)v'}\equiv1\,[p].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(x+1)^{(p-1)v'}\equiv1\,[p]\quad\text{et}\quad x^{(p-1)v'}\equiv1\,[p].)
![\left\lbrace\begin{matrix}(x+1)\times x^{(p-1)v'}\equiv x\times x^{(p-1)\,v'}\,[p]\\\overset{{\white{.}}}{x^{(p-1)v'}\equiv1\,[p]\phantom{w}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad x+1\equiv x\,[p]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}(x+1)\times x^{(p-1)v'}\equiv x\times x^{(p-1)\,v'}\,[p]\\\overset{{\white{.}}}{x^{(p-1)v'}\equiv1\,[p]\phantom{w}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad x+1\equiv x\,[p])
![\overset{{\white{.}}}{1\equiv 0\,[p]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{1\equiv 0\,[p]})
, soit 
, ce qui est absurde.,+,\times\right))
est un anneau unitaire non commutatif d'unité 
et que )
est un anneau commutatif unitaire et intègre.=\begin{pmatrix}a&3b\\b&a\end{pmatrix} \enskip /\enskip (a,b)\in\Z^2 \right\rbrace .})
,+\right) .)
,+\right)})
est un sous-groupe de ,+\right)})
est : 
E comprend au moins un élément.\,,\,M(c,d)\in\,E,\quad M(a,b)-M(c,d)\in\,E.})
Montrons que E contient au moins un élément.
=M(0,0) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ M(a,b)}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{ M(a,b)}=\begin{pmatrix}{\red{0}}&3\times{\blue{0}}\\ {\blue{0}}&{\red{0}}\end{pmatrix}\quad\text{avec}\quad(0,0)\in\Z^2.} \\\\\Longrightarrow \boxed{M(0,0)\in E})
\,,\,M(c,d)})
deux éléments quelconques de E .-M(c,d)=\begin{pmatrix}a&3b\\b&a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}c&3d\\d&c\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\begin{pmatrix}a-c&3b-3d\\b-d&a-c\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\begin{pmatrix}a-c&3(b-d)\\b-d&a-c\end{pmatrix}})
-M(c,d)})
est de la forme 
\,,\,M(c,d)\in\,E,\quad \boxed{M(a,b)-M(c,d)\in\,E}\,.})
\times M(c,d)=\begin{pmatrix}a&3b\\b&a\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}c&3d\\d&c\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\begin{pmatrix}ac+3bd&3ad+3bc\\bc+ad&3bd+ac\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\begin{pmatrix}ac+3bd&3(ad+bc)\\ad+bc&ac+3bd\end{pmatrix}})
\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc)})
})
est un groupe commutatif.,+\right))
est un groupe commutatif.\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc).)
\in E.})
)
est un sous-anneau de \times M(a,b)=\begin{pmatrix}c&3d\\d&c\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}a&3b\\b&a\end{pmatrix} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\begin{pmatrix}ca+3db&3cb+3da\\da+cb&3db+ca\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=\begin{pmatrix}ca+3db&3(cb+da)\\da+cb&3db+ca\end{pmatrix}})
\\ad+bc&ac+3bd\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWW}=M(a,b)\times M(c,d)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Pour tout }a,b,c,d\in\Z,\quad M(a,b)\times M(c,d)=M(c,d)\times M(a,b)})
)
appartient à E .\in E.})
\in\Z^2 \enskip : \enskip \varphi(M(a,b))=|a^2-3b^2|.})
.)
, M(c,d) \in E, )
\times M(c,d))=\varphi(M(a,b))\times \varphi(M(c,d)).})
\times M(c,d))=\varphi(M(ac+3bd,ad+bc)) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWcWW}=\left|\,(ac+3bd)^2-3(ad+bc)^2\,\right| } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWcWW}=\left|\,(a^2c^2+6abcd+9b^2d^2)-3(a^2d^2+2abcd+b^2c^2)\,\right| } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWcWW}=\left|\,a^2c^2+6abcd+9b^2d^2-3a^2d^2-6abcd-3b^2c^2\,\right| })
c^2-3d^2(a^2-3b^2)\,\right| })
(c^2-3d^2)\,\right| } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWcWW}=\left|\,a^2-3b^2\right|\times\left|\,c^2-3d^2\,\right| } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWcWW}=\varphi(M(a,b))\times \varphi(M(c,d))} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,M(a,b),\,M(c,d)\in E,\quad\varphi(M(a,b)\times M(c,d))=\varphi(M(a,b))\times \varphi(M(c,d))})
\in E.})
\times M(c,d)=M(ac+3bd,ad+bc).})
\times M(a,-b)=M(a\times a+3b\times(-b),a\times(-b)+ba) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(a,b)\times M(a,-b)}=M(a^2-3b^2,-ab+ab)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(a,b)\times M(a,-b)}=M(a^2-3b^2,0)})
\times M(a,-b)}=\begin{pmatrix}a^2-3b^2&0\\0&a^2-3b^2\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(a,b)\times M(a,-b)}=(a^2-3b^2)\,.\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M(a,b)\times M(a,-b)}=(a^2-3b^2)\,.\,I} \\\\\Longrightarrow\boxed{M(a,b)\times M(a,-b)=(a^2-3b^2)\,.\,I})
})
est inversible dans )=1.)
)=1})
revient à démontrer que 
.)
)\neq0,)
soit 
, nous obtenons : \times M(a,-b)=(a^2-3b^2)\,.\,I\quad\Longrightarrow\quad M(a,b)\times\dfrac{1}{a^2-3b^2} M(a,-b)=I \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad M(a,b)\times M\left(\dfrac{a}{a^2-3b^2},\dfrac{-b}{a^2-3b^2}\right)=I})
\times M\left(\dfrac{a}{a^2-3b^2},\dfrac{-b}{a^2-3b^2}\right)=M\left(\dfrac{a}{a^2-3b^2},\dfrac{-b}{a^2-3b^2}\right)\times M(a,b)=I}\,.)
})
appartenant à E telle que \times M(\alpha,\beta)=M(\alpha,\beta)\times M(a,b)=I.}})
)
, nous obtenons : \times {\red{M(\alpha,\beta)}}={\red{M(\alpha,\beta)}}\times M(a,b)=I\phantom{WWWWWWWWWWWW}\\\\M(a,b)\times {\red{M\left(\dfrac{a}{a^2-3b^2},\dfrac{-b}{a^2-3b^2}\right)}}={\red{M\left(\dfrac{a}{a^2-3b^2},\dfrac{-b}{a^2-3b^2}\right)}}\times M(a,b)=I\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow \boxed{M(\alpha,\beta)=\left(\overset{}{M(a,b,)}\right)^{-1}=M\left(\dfrac{a}{a^2-3b^2},\dfrac{-b}{a^2-3b^2}\right)\in\,E})
\in E})
, nous obtenons : ^2\text{ divise }a^2\\\overset{{\white{.}}}{(a^2-3b^2)^2\text{ divise }b^2}\end{matrix}\right.)
^2\text{ divise }a^2 \\\overset{{\white{.}}}{(a^2-3b^2)^2\text{ divise }3b^2}\end{matrix}\right. \\\\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad(a^2-3b^2)^2\text{ divise }a^2-3b^2} \\\overset{{\white{.}}}{\quad\Longrightarrow\quad a^2-3b^2\text{ divise }1})
)=1})
})
alors )=1\quad\Longleftrightarrow\quad|\,a^2-3b^2\,|=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad a^2-3b^2\neq0})
)=a^2-3b^2. )
)\neq0. )
}\right)^{-1}=M\left(\dfrac{a}{a^2-3b^2},\dfrac{-b}{a^2-3b^2}\right).})
}\right)^{-1}=M\left(\dfrac{a}{a^2-3b^2},\dfrac{-b}{a^2-3b^2}\right){\enskip\red{\in E}}.})
\in\Z^2 \enskip : \enskip \varphi(M(a,b))=0\iff a=b=0.)
\in\Z^2 \, : \, \varphi(M(a,b))=0\quad\Longrightarrow\quad a=b=0}\,.)
)=0\quad\Longleftrightarrow\quad |\,a^2-3b^2\,|=0 \\\phantom{\varphi(M(a,b))=0}\quad\Longleftrightarrow\quad a^2-3b^2=0 \\\phantom{\varphi(M(a,b))=0}\quad\Longleftrightarrow\quad a^2=3b^2.)
, nous déduisons que a = 0\in\Z^2 \, : \, a=b=0\quad\Longrightarrow\quad\varphi(M(a,b))=0 }\,.)
)=\varphi(M(0,0))=|\,0^2-3\times0^2\,|=0\quad\Longrightarrow\quad\varphi(M(a,b))=0.)
\in\Z^2 \enskip : \enskip \varphi(M(a,b))=0\iff a=b=0}\,.)
=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.})
![\overset{{\white{.}}}{\forall\,a,b,c,d\in\Z,\,M(a,b)\times M(c,d)=M(0,0)\quad\Longrightarrow\quad [M(a,b)=M(0,0)\quad\text{ou}\quad M(c,d)=M(0,0)]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\forall\,a,b,c,d\in\Z,\,M(a,b)\times M(c,d)=M(0,0)\quad\Longrightarrow\quad [M(a,b)=M(0,0)\quad\text{ou}\quad M(c,d)=M(0,0)]})
})
deux éléments de E tels que \times M(c,d)=M(0,0).})
\times M(c,d))=\varphi(M(0,0)).)
)=0)
(voir question 4. a)\times M(c,d))=\varphi(M(0,0))\quad\Longleftrightarrow\quad \varphi(M(a,b))\times \varphi(M(c,d))=0.)
)\in\Z\quad\text{et}\quad \varphi(M(c,d))\in\Z.)
![\varphi(M(a,b))\times \varphi(M(c,d))=0\quad\Longleftrightarrow\quad[\varphi(M(a,b))=0\quad\text{ou}\quad \varphi(M(c,d))=0]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\varphi(M(a,b))\times \varphi(M(c,d))=0\quad\Longleftrightarrow\quad[\varphi(M(a,b))=0\quad\text{ou}\quad \varphi(M(c,d))=0])
=M(0,0)\quad\text{ou}\quad M(c,d)=M(0,0).)
![\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall\,a,b,c,d\in\Z,\,M(a,b)\times M(c,d)=M(0,0)\quad\Longrightarrow\quad [M(a,b)=M(0,0)\quad\text{ou}\quad M(c,d)=M(0,0)]}\,.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\boxed{\forall\,a,b,c,d\in\Z,\,M(a,b)\times M(c,d)=M(0,0)\quad\Longrightarrow\quad [M(a,b)=M(0,0)\quad\text{ou}\quad M(c,d)=M(0,0)]}\,.})
\in E\setminus\lbrace M(0,0)\rbrace)
qui n'est pas inversible dans \quad\Longleftrightarrow\quad\varphi(M(a,b))=1.})
\in E\setminus\lbrace0_E\rbrace .)
)=|\,1^2-3\times1^2\,|=|-2\,|=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\varphi(M(1,1))\neq1})
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