Fiche de mathématiques
> >

Bac Maroc

Sciences et technologies 2022

Partager :



Durée : 3 heures
Coefficient : 7
L'usage de la calculatrice non programmable est autorisé.

3,5 points

exercice 1

Soit (u_n)_{n\in\N} la suite numérique définie par : u_0=\dfrac{9}{4} \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{1}{8}\left(7u_n+\dfrac{1}{4}\right) \text{ pour tout }n\text{ de }\N

1. Calculer u_1 \text{ et }u_2 .

2.a. Montrer par récurrence que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n>\dfrac{1}{4}
2.b. Montrer que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{4}-u_n\right) .
2.c. En déduire que (u_n)_{n\in\N} est une suite décroissante .
2.d.Déduire de ce qui précède que la suite (u_n)_{n\in\N} est convergente .

3. On pose pour tout n\text{ de }\N\text{ : }v_n=u_n-\dfrac{1}{4}
3.a. Calculer v_0.
3.b. Montrer que (v_n)_{n\in\N} est une suite géométrique de raison \dfrac{7}{8} .
3.c. Donner v_n en fonction de n .

4.a. Montrer que pour tout n \text{ de }\N\text{ : }u_n=2\left(\dfrac{7}{8}\right)^n+\dfrac{1}{4} .
4.b. Calculer \displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n .

7,5 points

exercice 2

On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie sur ]0;+\infty[\text{ par : }f(x)=\dfrac{1-x^2}{x}+\ln x
et soit (\mathcal C_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O;\vec{i};\vec{j}) .

1.a. Calculer \displaystyle\lim_{\begin{smallmatrix}x\to 0\\x>0\end{smallmatrix}}f(x) (Remarquer que f(x)=\dfrac{1-x^2+x\ln x}{x} ) .
et donner une interprétation géométrique du résultat .
1.b. Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)= .(Remarquer que f(x)=x\left(\dfrac{1-x^2}{x^2}+\dfrac{\ln x}{x}\right) )
1.c. Calculer \displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x}\text{ et }\lim_{x\to +\infty} \left(f(x)+x\right) .
et donner une interprétation géométrique du résultat .

2.a. Montrer que \forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\dfrac{-x^2+x-1}{x^2} .
2.b. Montrer que \forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)<0 .
2.c. Dresser le tableau de variations de f .

3.a. Montrer que : \forall x\in]0;+\infty[\text{ ; }f''(x)=\dfrac{2-x}{x^3} (Remarquer que f'(x)=-1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} )
3.b. Etudier le signe de f''(x) et montrer que (C_f) admet un point d'inflexion d'abscisse 2 .
3.c. Montrer que l'équation de la tangente à (\mathcal C_f) au point d'inflexion est : y=-\dfrac{3}{4}x+\ln 2 .

4. Dans la figure ci-dessous (\mathcal C_f ) est la courbe représentative de f et (\Delta) la droite d'équation y=-x dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j}) .
4.a. A l'aide d'une intégration par parties , montrer que \displaystyle\int_{1}^{2}\ln x \text{ d}x=2\ln 2-1  .
4.b. En déduire l'aire de la partie hachurée .

Bac Maroc 2022 STE-STM (sciences et technologies) : image 2


3 points

exercice 3

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes \C l'équation z^2-6z+13=0 .

2. Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O,\vec{u},\vec{v}) , on considère les points A et B d'affixes respectives z_A=3+2i\text{ et }z_B=3-2i .
2.a. Montrer que AB=4 .
2.b. Soit M un point du plan d'affixe xx est un nombre réel différent de 3 .
Montrer que le triangle AMB est isocèle en M .

3. Soit C le point d'affixe le nombre réel z_C=3-2\sqrt{3} .
3.a. Montrer que \dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i .
3.b. Déterminer un argument du nombre complexe \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i .
3.c.En déduire que le triangle ACB est équilatéral .

3 points

exercice 4

L'espace est rapporté à un repère (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) .
On considère les points A(-1;3;-1)\text{ ; }B(2;1;-2)\text{ ; }C(-2;1;2) \text{ et }F(-5;3;3) .

1.a. Montrer que \det\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)=-8 .
1.b. En déduire que les points O,A,B\text{ et }C ne sont pas coplanaires .

2. Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : x+y+z-1=0 .

3.a. Vérifier que F\in(ABC) .
3.b. Déterminer sans calcul l'intersection de la droite (OF) et du plan (ABC) .

3 points

exercice 5

(Tous les résultats seront données sous forme de fraction)

Une urne contient une boule rouge, deux boules vertes et cinq boules jaunes . .
(Toutes les boules sont indiscernables au toucher) .
On tire simultanément et sans remise deux boules de l'urne .
On considère les événements suivants :

A: " Les deux boules tirées sont vertes"
B: "La première boule tirée est jaune"
C: "Les deux boules tirées sont de couleurs différentes"

1. Montrer que p(A)=\dfrac{2}{56} .

2.a. Calculer p(B) .
2.b. Montrer que p(\overline{C})=\dfrac{22}{56} et en déduire p(C) (\overline{C} est l'évènement contraire à l'évènement C )

3. Soit X la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules vertes tirées .
3.a. Copier et remplir le tableau ci-contre en justifiant les réponses .

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2\\  \hline p(X=x_i) & &\enskip& \\ \hline   \end{array}

3.b. Calculer E(X) l'espérance mathématique de la variable aléatoire X .







exercice 1

Soit (u_n)_{n\in\N} la suite numérique définie par  u_0=\dfrac{9}{4} \text{ et }u_{n+1}=\dfrac{1}{8}\left(7u_n+\dfrac{1}{4}\right) \text{ pour tout }n\text{ de }\N

1) On a :

u_1=\dfrac{1}{8}\left(7u_0+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{8}\left(7\times \dfrac{9}{4} +\dfrac{1}{4}\right) =\dfrac{1}{8}\times \dfrac{64}{4}=2
u_2=\dfrac{1}{8}\left(7u_1+\dfrac{1}{4}\right)=\dfrac{1}{8}\left(7\times 2+\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{8}\times \dfrac{57}{4}=\dfrac{57}{32}

\boxed{u_1=2\enskip\text{ , }\enskip u_2=\dfrac{57}{32}}


2-a)Montrons par récurrence que pour tout n\in\N\text{ : }u_n>\dfrac{1}{4}

Initialisation : Pour n=0\text{ , on a }u_0=\dfrac{9}{4}>\dfrac{1}{4}
La proposition est vérifiée pour n=0

Hérédité : Supposons qu'on a , pour un certain n\in\N \text{ , } u_n>\dfrac{1}{4}\text{ , } montrons alors qu'on a aussi u_{n+1}>\dfrac{1}{4}

On a \begin{matrix}u_n>\dfrac{1}{4}&\Rightarrow&7u_n>\dfrac{7}{4}&\Rightarrow& 7u_n+\dfrac{1}{4}>\dfrac{7}{4}+\dfrac{1}{4}  &\Rightarrow& 7u_n+\dfrac{1}{4}>2&\Rightarrow& \dfrac{1}{8}\left(7u_n+\dfrac{1}{4}\right)>\dfrac{2}{8}\end{matrix}

Par conséquent\text{ : }u_{n+1}>\dfrac{1}{4}

Conclusion : On conclut par récurrence que :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_n>\dfrac{1}{4}}


b) Pour tout n\in\N\text{ : }

\begin{matrix}u_{n+1}-u_n&=&\dfrac{1}{8}\left(7u_n+\dfrac{1}{4}\right)-u_n&=&\dfrac{7}{8}u_n+\dfrac{1}{32}-u_n\\\\&=& \dfrac{7-8}{8}u_n+\dfrac{1}{32}&=&\dfrac{1}{32}-\dfrac{1}{8}u_n\\\\&=& \dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{4}-u_n\right)\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{\forall n\in\N\text{ : }u_{n+1}-u_n= \dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{4}-u_n\right)}


c) Puisque pour tout entier naturel n\text{ , }\dfrac{1}{4}<u_n , alors \dfrac{1}{4}-u_n<0 .

D'où :
\text{Pour tout }n\in\N\text{ : }u_{n+1}-u_n<0


Ce qui veut dire que :

\boxed{ (u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite (strictement) décroissante }}


d) D'après ce qui précède :

(u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite (strictement) décroissante }
(u_n)_{n\in\N} \text{ est minorée par } \dfrac{1}{4}

D'où :

\boxed{ (u_n)_{n\in\N} \text{ est une suite convergente }}


3-a) Directement : v_0=u_0-\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{4}=2

\boxed{v_0=2}


b) Pour tout n de \N\text{ : }

\begin{matrix}v_{n+1}&=&u_{n+1}-\dfrac{1}{4}&=&\dfrac{1}{8}\left(7u_n+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{1}{4} \\\\&=&\dfrac{7}{8}u_n+\dfrac{1}{32}-\dfrac{8}{32}&=& \dfrac{7}{8}u_n-\dfrac{7}{32}\\\\&=&\dfrac{7}{8}\left(u_n-\dfrac{1}{4}\right)&=&\boxed{\dfrac{7}{8}v_n}\end{matrix}

Conclusion :

\boxed{(v_n)\text{ est une suite géométrique de raison }\dfrac{7}{8}\text{ et de premier terme }v_0=2 }


c) Puisque (v_n) est géométrique de raison \dfrac{7}{8} et de premier terme v_0=2

Alors : \forall n\in\N\text{ : }v_n=v_0\left(\dfrac{7}{8}\right)^n =2\left(\dfrac{7}{8}\right)^n

\boxed{\forall n\in\N\text{ : }v_n=2\left(\dfrac{7}{8}\right)^n}


4-a) On a pour tout n\in\N\text{ : }v_n=u_n-\dfrac{1}{4}\text{ , d'où }\enskip u_n=v_n+\dfrac{1}{4}

On obtient donc :
\boxed{\text{ Pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }u_n=2\left(\dfrac{7}{8}\right)^n+\dfrac{1}{4}}


b) Comme -1<\dfrac{7}{8}<1 , alors \displaystyle \lim_{n\to+\infty}\left(\dfrac{7}{8}\right)^n=0

On obtient :
\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=2\times 0+\dfrac{1}{4}\iff \boxed{\displaystyle \lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac{1}{4}}


exercice 2

\forall x\in ]0;+\infty[\text{ : }f(x)=\dfrac{1-x^2}{x}+\ln x


1-a) On a , pour tout réel x strictement positif : f(x)=\dfrac{1-x^2}{x}+\ln x=\dfrac{1-x^2+x\ln x}{x}

Et d'après le cours , \displaystyle\lim_{x\to 0^+}x\ln x = 0

Donc \displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1-x^2+x\ln x}{x}=\dfrac{1}{0^+}=+\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty}


Interprétation graphique :

\boxed{\text{ L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à }(\mathcal{C}_f) \text{ à droite}}


b) On a , pour tout réel x strictement positif : f(x)=\dfrac{1-x^2}{x}+\ln x=x\left(\dfrac{1-x^2}{x^2}+\dfrac{\ln x}{x}\right)

De plus , on sait que : \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0\enskip\enskip\text{ et }\enskip\enskip \displaystyle\lim_{x\to +\infty} \dfrac{1-x^2}{x^2}=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{-x^2}{x^2}=-1

D'où \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = \displaystyle\lim_{x\to +\infty}x\left(\dfrac{1-x^2}{x^2}+\dfrac{\ln x}{x}\right)=+\infty(-1+0)=-\infty

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty}


c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-x^2}{x^2}+\dfrac{\ln x}{x}=-1+0=-1

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-1}


Ensuite , on a :

\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)+x&=&\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-x^2}{x}+\ln x+x&=&\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1-x^2+x^2}{x}+\ln x\\\\&=& \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}+\ln x&=& 0+\infty\\\\&=&+\infty\end{matrix}

\boxed{\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)+x=+\infty}


Interprétation graphique :

\boxed{(\mathcal{C}_f) \text{ amdet une branche parabolique de la direction celle de la droite }(\Delta)\text{ : }y=-x\text{ au voisinage de }+\infty}


2-a) La fonction f est dérivable sur ]0;+\infty[ comm somme et quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle .

Pour tout x\in ]0;+\infty[\text{ : }

\begin{matrix}f'(x)&=&\left(\dfrac{1-x^2}{x}+\ln x\right)'&=&\dfrac{(1-x^2)'x-(1-x^2)}{x^2}+\dfrac{1}{x} \\\\ &=& \dfrac{-2x^2-1+x^2}{x^2}+\dfrac{x}{x^2} &=& \dfrac{-x^2+x-1}{x^2}\end{matrix}

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=\dfrac{-x^2+x-1}{x^2}}


b) On a , pour tout x \text{ de }]0;+\infty[\text{ : }x^2>0 .

Le signe de f'(x) est celui de -x^2+x-1 , calculons le discriminent :

\Delta=1-4\times(-1)\times (-1)=-3<0 , donc le trinôme \blue-\black x^2+x-1 est strictement négatif sur ]0;+\infty[ .

D'où :

\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)<0}


c) Le tableau de variations de la fonction f \text{ :}

\begin{array}{|c|cccc|} \hline x       & 0  &       &   &   +\infty    \\ \hline f'(x)     &\dbarre& &- &                                  \\ \hline               & \dbarre&+\infty &  &         \\      f      &\dbarre &    & \searrow&  \\                    & \dbarre&&       &  \\                    & \dbarre&&        &  -\infty   \\   \hline \end{array}


3-a) f' est dérivable sur ]0;+\infty[ comme quotient de fonctions dérivables sur ]0;+\infty[ \text{ , et : }

\begin{matrix}f''(x)&=&\left(\dfrac{-x^2+x-1}{x^2}\right)'&=&\left(-1+\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2} )\right)'\\\\&=& -\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}&=&\boxed{\dfrac{2-x}{x^3}}\end{matrix}

b) Puisque pour tout réel x de ]0;+\infty[ \text{ , }0<x^3 , donc le signe de f''(x) est celui de 2-x .

Traçons le tableau de signe :

\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x       & 0  &     &        & 2  &    &      +\infty    \\ \hline f''(x)     &\dbarre& &+ & \barre{0} &  -    &    \\   \hline \end{array}

Donc :

\boxed{ \begin{matrix}(\mathcal{C}_f) \text{ est convexe sur }]0;2] \\ (\mathcal{C}_f) \text{ est concave sur }[2;+\infty[ \\ (\mathcal{C}_f) \text{ admet un point d'inflexion au point d'abscisse }2 \end{matrix} }


c) Une équation de la tangente à (\mathcal C_f) au point d'inflexion , donc au point d'abscisse 2 s'écrit : y=f'(2)(x-2)+f(2)

De plus , f(2)= \dfrac{1-4}{2}+\ln 2= -\dfrac{3}{2}+\ln 2 .

Et f'(2)=\dfrac{-2^2+2-1}{2^2}=-\dfrac{3}{4}

Donc l'équation s'écrit :

\begin{matrix}y=f'(2)(x-2)+f(2)&\iff& y=-\dfrac{3}{4}(x-2)-\dfrac{3}{2}+\ln 2 \\\\&\iff& y=-\dfrac{3}{4}x +\dfrac{3-3}{2}+\ln 2 \\\\&\iff& \boxed{y=-\dfrac{3}{4}x +\ln 2}\end{matrix}

4-a) Intégration par parties :

On pose \begin{cases}u(x)=\ln x \\v'(x)=1 \end{cases}\enskip\enskip \text{ et donc }\enskip\enskip \begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v(x)=x\end{cases}

Donc :

\begin{matrix}\displaystyle \int_{1}^{2}\ln x\text{ d}x&=&\displaystyle \left[x\ln x\right]_{1}^{2} -\int_{1}^{2}1\text{ d}x \\\\&=&\displaystyle \left[x\ln x\right]_{1}^{2} -\left[x\right]_{1}^{2} \\\\&=&\displaystyle 2\ln2-\ln 1 -(2-1) \\\\&=& \boxed{2\ln 2 -1}\end{matrix}

b) L'aire de la partie hachurée qui représente l'aire démimitée par la courbe (\mathcal C_f ) et (\Delta) \text{ : }y=-x et les droites d'équation x=1 et x=2 est en unité d'aire (UA) :

\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)-y|\text{ d}x=\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)+x|\text{ d}x


Et puisque la courbe (\mathcal{C}_f) est au-dessus de la droite (\Delta) sur l'intervalle [1;2] , alors f(x)+x\geq 0 \text{ , pour tout }x\in\left[1; 2 \right]

L'aire de la partie hachurée est donc en unité d'aire (UA) :

\begin{matrix}\displaystyle \int_{1}^{2} |f(x)+x|\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1}^{2} f(x)+x\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{1-x^2}{x}+\ln x+x\text{ d}x\\\\&=&\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{1}{x}+\ln x\text{ d}x &=&\displaystyle \left[\ln x\right]_1^2 +\int_{1}^{2}\ln x\text{ d}x  \\\\&=&\ln 2+2\ln 2 -1 &=& \boxed{3\ln 2 - 1 \enskip (UA)}\end{matrix}

\boxed{\text{  L'aire de la partie hachurée vaut en unité d'aire }3\ln 2-1\enskip(UA)}


exercice 3

1) Résolvons l'équation du second degré z^2-6z+13=0 . Pour cela , on calcule le discriminent \Delta \text{ : }

\Delta=(-6)^2-4\times 13 = 36-52=-16=(4i)^2\neq 0

L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées z_1 \text{ et }z_2\text{ : }

\begin{matrix}z_1&=&\dfrac{6-4i}{2}\\&=&3-2i\end{matrix} \enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip\enskip  \begin{matrix}z_2&=&\dfrac{6+4i}{2}\\&=& 3+2i\end{matrix}


L'ensemble des solutions de l'équation est :

\boxed{S=\lbrace 3-2i\text{ ; }3+2i\rbrace }


2-a) On a : AB=|z_B-z_A|=|3-2i-3-2i|=|-4i|=|-4||i|=4\times 1 =4

\boxed{AB=4}


b) Calculons les distances MA \text{ et } MB\text{ : }

MA=|z_A-z_M|=|3+2i-x|=|(3-x)+2i|=\sqrt{(3-x)^2+4}

MB=|z_B-z_M|=|3-2i-x|=|(3-x)-2i|=\sqrt{(3-x)^2+4}

Donc , pour tout x différent de 3 , on a : MB=MA=\sqrt{(3-x)^2+4}

On en déduit que :

\boxed{\text{ Le triangle }AMB \text{ est isocèle en }M}


3-a) On a :

\begin{matrix}\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}&=&\dfrac{3+2i-(3-2\sqrt{3})}{3-2i-(3-2\sqrt{3})}&=&\dfrac{2\sqrt{3}+2i}{2\sqrt{3}-2i}\\\\&=&\dfrac{( 2\sqrt{3}+2i)^2}{(2\sqrt{3}-2i)(2\sqrt{3}+2i)}&=&\dfrac{12+8\sqrt{3}i-4}{12+4}\\\\&=&\dfrac{8+8\sqrt{3}i}{16}&=&\dfrac{1+\sqrt{3}i}{2}\\\\&=& \boxed{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i }\end{matrix}

b) On a : \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i =\cos\dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}

Donc
\boxed{\arg \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\right)\equiv \dfrac{\pi}{3} \enskip [2\pi] }


c) Puisque pour tout point M d'affixe réel différent de 3 , le triangle AMB est isocèle en M .

Et puisque le point C est d'affixe z_C=3-2\sqrt{3}\in\R\enskip \text{ avec }z_C\neq 3 , alors :

ACB est un triangle isocèle en C \enskip\enskip\blue (i)


De plus , d'après ce qui précède : \arg \left(\dfrac{z_A-z_C}{z_B-z_C}\right)\equiv \dfrac{\pi}{3} \enskip [2\pi]

Donc :
\left(\overrightarrow{CB};\overrightarrow{CA}\right)\equiv \dfrac{\pi}{3}\enskip[2\pi]\enskip\enskip\blue (ii)


\text{ De }\enskip \blue (i)\enskip\black \text{ et }\enskip\blue (ii)\black\enskip\text{ : }

\boxed{\text{ Le triangle }ACB\text{ est équilatéral }}


exercice 4

On considère les points O(0;0;0)\text{ ; }A(-1;3;-1)\text{ ; }B(2;1;-2)\text{ ; }C(-2;1;2) \text{ et }F(-5;3;3) .

1-a) On a :

\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}\enskip , \enskip \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix}2\\1\\-2\end{pmatrix}\enskip \text{ et }\enskip \overrightarrow{OC}\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}


Donc :

\begin{matrix}\det(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})&=&\begin{vmatrix}-1&2&-2\\3&1&1\\-1&-2&2\end{vmatrix}&=&-\begin{vmatrix}1&-2\\1&2\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}2&-2\\-2&2\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}2&1\\-2&1\end{vmatrix} \\\\&=& -(2+2)-3(4-4)-(2+2)&=&-4-4 \\\\&=&-8\end{matrix}

\boxed{\det(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=-8}


b)Puisque \det\left(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}\right)=-8\neq 0

Donc les vecteurs \overrightarrow{OA}\text{ ; }\overrightarrow{OB}\text{ et }\overrightarrow{OC} ne sont pas coplanaires .

Il s'ensuit alors que :

\boxed{\text{Les points }O\text{ , }A\text{ , }B\text{ et }C \text{ ne sont pas coplanaires }}


2) Soit (P) le plan d'équation cartésienne x+y+z-1=0 . Montrons que (P)=(ABC)

On a :

x_A+y_A+z_A-1=-1+3-1-1=-3+3=0 \text{ , d'où  }A\in(P)

x_B+y_B+z_B-1=2+1-2-1=3-3=0 \text{ , d'où  }B\in(P)

x_C+y_C+z_C-1=-2+1+2-1=0 \text{ , d'où  }C\in(P)

On en déduit que (P)=(ABC) , ou encore :

\boxed{\text{ Une équation cartésienne de }(ABC) \text{ s'écrit : }x+y+z-1=0 }


3-a) \text{On a : }x_F+y_F+z_F-1=-5+3+3-1=-2+2=0 \text{ , d'où : }

\boxed{F\in(ABC)}


b)Puisque O\notin (ABC) , car : x_O+y_O+z_O-1=0-1=-1\neq 0

Donc la droite (OF) n'est pas incluse dans le plan (ABC)

De plus , F\in(ABC) , alors :

\boxed{\text{L'intersection de la droite }(OF) \text{ et du plan }(ABC)\text{ est le point }F }


exercice 5

L'urne contient 1 boule rouge, 2 boules vertes et 5 boules jaunes . (Toutes les boules sont indiscernables au toucher) , donc 8 au total .

Et on tire simultanément et sans remise deux boules de l'urne .

Donc :
\boxed{\text{Card }\Omega={8 \choose 2}=28}


1) On a A " Les deux boules tirées sont vertres" . Donc A=\lbrace V\text{ , }V\rbrace

p(A)=\dfrac{ {2\choose 2}}{28}=\dfrac{1}{28}=\dfrac{2}{56}

\boxed{p(A)=\dfrac{2}{56}}


2-a) On a B: "La première boule tirée est jaune" . Donc B=\lbrace J\text{ , }R\rbrace\text{ ou }\lbrace J\text{ , }V\rbrace\text{ ou }\lbrace J\text{ , }J\rbrace

p(B)=\dfrac{ {5\choose 1 }{2\choose 1 } +{5\choose 1 }{1\choose 1 }+{5\choose 2 }}{28}=\dfrac{10+5+10}{28}=\dfrac{25}{28}

\boxed{p(B)=\dfrac{50}{56}}


b) On a C: "Les deux boules tirées sont de couleurs différentes" . Donc \bar{C}\text{ : } "Les deux boules tirées sont de la même couleur"

On en déduit que : \bar{C}=\lbrace V\text{ , }V\rbrace\text{ ou }\lbrace J\text{ , }J\rbrace

p(\bar{C})=p(A)+\dfrac{ {5\choose 2 }}{28}=\dfrac{2}{56}+\dfrac{10}{28}=\dfrac{2+20}{56}=\dfrac{22}{56}

\boxed{p(\bar{C})=\dfrac{22}{56}}


On en déduit :

p(C)=1-p(\bar{C})=1-\dfrac{22}{56}\iff \boxed{p(C)=\dfrac{34}{56}}


3-a) X étant la variable aléatoire qui correspond au nombre de boules vertes tirées.

(X=0) : \lbrace \bar{V}\text{ , }\bar{V	}\rbrace

p(X=0)=\dfrac{{6\choose 2 }}{28}=\dfrac{15}{28}\Rightarrow\boxed{p(X=0)=\dfrac{15}{28}}

(X=1) , on a \lbrace V\text{ , }\bar{V}\rbrace

Donc :
\boxed{p(X=1)=\dfrac{ {2\choose 1}{6\choose 1}}{28}=\dfrac{12}{28}}

(X=2) , n'est autre que l'événement A , donc :

p(X=2)=p(A)\Longrightarrow \boxed{p(X=2)=\dfrac{1}{28} }


Vérification : p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)=\dfrac{15+12+1}{28}=\dfrac{28}{28}=1

Et on remplie le tableau :

\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&0&1&2\\\hline   &  &&\\   p(X=x_i) & \dfrac{15}{28} &\dfrac{12}{28}&\dfrac{1}{28}\\   && & \\ \hline   \end{array}


b) L'espérance mathématique se calcule par : E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)

\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)\\&=& 0\times\dfrac{15}{28}+1\times\dfrac{12}{28}+2\times\dfrac{1}{28}\\\\&=&\dfrac{12+2}{28}\\\\&=&\dfrac{14}{28}\\\\&=&\dfrac{1}{2}\end{matrix}

Conclusion :
\boxed{E(X)=\dfrac{1}{2}}
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
Panter Correcteur
/
Panter Correcteur
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1580 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !